基于MATLAB的金融工程方法与实践第七章 基于蒙特卡洛方法的期权定价
期权定价的蒙特卡罗模拟方法精选 课件
90.66702 2.667019
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计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]erT 7.000053 e0.11 6.27 用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
从 S0开始模拟得 ST Sn
CT max{ST SX ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
(3)计算 E[CT ]或 E[PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250
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ห้องสมุดไป่ตู้
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欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
周心莲
【期刊名称】《《科技创业月刊》》
【年(卷),期】2007(20)8
【摘要】采用Monte-Carlo模拟方法对欧式看涨期权价格进行了数值实验模拟,把对偶变量(AV)方差下降技术运用于模拟试验中,并用标准MC方法模拟出的结果与AV法模拟出的结果进行比较,发现AV方法是有效的,能显著地降低方差。
【总页数】2页(P33-34)
【作者】周心莲
【作者单位】武汉理工大学应用数学系湖北武汉 430070
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.欧式期权定价的Monte-Carlo方法 [J], 张丽虹
2.基于异质理念的欧式股票期权价格模型 [J], 郭文英;谢飞
3.欧式看跌期权价格的计算方法:计算机模拟与比较 [J], 代维
4.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛; 薛红; 王琪
5.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛;薛红;王琪
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期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格
期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格摘要期权是功能最多、最激动人心的融衍生工具之一。
期权定价问题一直是金融数学当中最复杂的问题之一,简要介绍几种基本的期权定价理论,并利用matlab金融工具箱计算出香港恒生指数期权的价格并与实际价格进行比较,指出可能导致偏差的一些原因。
关键词期权定价;MATLAB;B-S模型1 期权概述期权是一种独特的衍生金融产品,实质上是将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利具有选择权,而义务方必须履行其义务。
它使买方能够避免坏的结果,同时,又能从好的结果中获益。
2 期权的定价模型2.1 二项式期权定价模型设:S0=股票现行价格,u=股价上行乘数,d=股价下行乘数,r=无风险利率,C0=期权现行价格,Cu=股价上行时期权的到期日价值,Cd=股价下行时期权的到期日价值,X=期权的执行价格,H=套期保值比率,则二项式定价模型为:u=1+上升百分比=d=1+下降百分比=其中:e是自然对数;σ为标的资产连续复利收益率的标准差;t为以年表示的时段长度。
2.2 Black—Scholes期权定价模型1)假设条件B-S微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的:①股价遵循预期收益率μ和标准差σ为常数的马尔科夫随机过程;②允许使用全部所得卖空衍生证券;③没有交易费用或税金,且所有证券高度可分;④在衍生证券的有效期内没有支付红利;⑤不存在无风险的套利机会;⑥证券交易是连续的,股票价格连续平滑变动;⑦无风险利率r为常数,能够用同一利率借入或贷出资金;⑧只能在交割日执行期权。
2)Black—Scholes期权定价公式C=SN(d1)-Xe-rTN(d2)P=C-X+Xe-rT=Xe-rT · N(-d2)-S · N(-d1),式中:C表示买入期权的价格;S表示标的资产的现行市场价格;r表示无风险利率(以连续复利率计算);σ表示标的资产的价格波动率;X表示看涨期权的执行价格;T表示距离期权到期日的时间(以年表示);t表示现在的时间;N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数。
基于MATLAB的美式期权定价的教学思考
基于MATLAB的美式期权定价的教学思考
宋丽平
【期刊名称】《廊坊师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(014)004
【摘要】以二叉树方法和有限差分方法为例,探讨如何利用MATLAB进行美式期权定价的教学.首先对数值方法的原理进行简介,然后利用MATLAB进行编程计算,这样可以提高学生的学习兴趣.
【总页数】4页(P118-121)
【作者】宋丽平
【作者单位】莆田学院,福建莆田351100
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.基于三叉树模型的美式期权定价及其Matlab算法 [J], 董丽沙;王湘玉
2.运用Matlab基于LSM方法对美式期权定价的新探究 [J], 刘海永;严红
3.Matlab与Visual C++混合编程在美式期权定价中的应用 [J], 廖小漩;王孔敬
4.Matlab与Visual C++混合编程在美式期权定价中的应用 [J], 廖小漩;王孔敬
5.基于MATLAB的美式期权定价的教学思考 [J], 宋丽平
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期权定价matlab程序
1.三叉树法matlab程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Computes the Boyle (1986) Trinomial Tree for American Call/Put Option Values based% on the following inputs:% CallPut = Call = 1, Put = 0% AssetP = Underlying Asset Price% Strike = Strike Price of Option% RiskFree = Risk Free rate of interest% Div = Dividend Yield of Underlying% Time = Time to Maturity% Vol = Volatility of the Underlying% nSteps = Number of Time Steps for Trinomial Tree to take %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CallPut=0; %Call = 1, Put = 0AssetP=50; %Underlying Asset PriceStrike=50; %Strike Price of OptionRiskFree=0.1; %Risk Free rate of interestDiv=0; %Dividend Yield of UnderlyingTime=5/12; %Time to MaturityVol=0.4; %Volatility of the UnderlyingnSteps=200; %Number of Time Steps for Trinomial Tree to take %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% dt = Time / nSteps; % Allocates the time stepscc = RiskFree - Div; % Specifies the cost of carry (r - D)if CallPutb = 1;endif ~CallPutb = -1;endRR = exp(RiskFree * dt);Up = exp(Vol * sqrt(2 * dt)); % The magnitude of an up movementDown = 1 / Up; % The magnitude of a down movement%%% Specifies the probability of up, down and mid moves for trinomial treeP_up = ((exp(cc * dt / 2) - exp(-Vol * sqrt(dt / 2))) / (exp(Vol * sqrt(dt / 2)) - exp(-Vol * sqrt(dt / 2)))) ^ 2;P_down = ((exp(Vol * sqrt(dt / 2)) - exp(cc * dt / 2)) / (exp(Vol * sqrt(dt / 2)) - exp(-Vol * sqrt(dt / 2)))) ^ 2;P_mid = 1 - P_up - P_down;Df = exp(-RiskFree * dt);% Sets up the asset movements on the trinomial treefor i = 0:(2 * nSteps)State = i + 1;Value(State) = max(0, b * (AssetP * Up ^ max(i - nSteps, 0) * Down ^ max(nSteps * 2 - nSteps - i, 0) - Strike));end% Works backwards recursively to determine the price of the optionfor TT = nSteps - 1:-1:0for i = 0:(TT * 2)State = i + 1;Value(State) = (P_up * Value(State + 2) + P_mid * Value(State + 1) + P_down *Value(State)) * Df;endendTrinomial = Value(1)2.隐式差分法matlab程序unction amoption(s0,E,rf,sigma,T,dt,ds,smax) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 隐式法求解美式看跌期权%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 输入参数说明：% s0 0时刻股价% E 执行价% rf 无风险利率% T 到期日（单位：年）% sigma 股票波动的标准差% smax 股票最大值% ds 股票价格离散步长% dt 时间离散步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 初始化% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%M=round(smax/ds);N= round(T/dt);ds=smax/M; % 重新确定股票价格步长dt=T/N; % 确定时间的步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for j=1:Ma(j)=0.5*rf*j*dt-0.5*sigma^2*j^2*dt;b(j)=1+sigma^2*j^2*dt+rf*dt;c(j)=-0.5*rf*j*dt-0.5*sigma^2*j^2*dt;end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%L=zeros(M-1,M-1);L(1,1)=b(1);L(1,2)=c(1); % 边界条件L(M-1,M-2)=a(M-1); L(M-1,M-1)=b(M-1); % 边界条件for j=2:M-2L(j,j-1)=a(j);L(j,j)=b(j);L(j,j+1)=c(j);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for j=1:M-1f(j,N+1)=max(E-j*ds,0);endfor i=N:-1:1F(1)=f(1,i+1)-a(1)*E;F(2:M-1)=f(2:M-1,i+1); % 终值条件f(1:M-1,i)=L^(-1)*F';for j=1:M-1 % 判断是否行权if f(j,i)<E-j*dsf(j,i)=E-j*ds;endendendjdown=floor(s0/ds);jup=ceil(s0/ds);if jdown==jupprice=f(jdown,1)+(s0-jdown*ds)*(f(jup+1,1)-f(jup+1,1))/ds end3. 显式有限差分法matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%显式差分法求解美式看跌期权%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 输入参数说明：% s0 0时刻股价% E 执行价% rf 无风险利率% T 到期日（单位：年）% sigma 股票波动的标准差% smax 股票最大值% ds 股票价格离散步长% dt 时间离散步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%s0=50;E=50;rf=0.1;sigma=0.4;T=5/12;dt=T/10;ds=5;smax=100;M=round(smax/ds);N= round(T/dt);ds=smax/M; % 重新确定股票价格步长dt=T/N; % 确定时间的步长%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% veti=1:N;vetj=1:M;a=1/(1+rf*dt)*(-1/2*rf*vetj*dt+0.5*sigma^2*vetj.^2*dt); b=1/(1+rf*dt)*(1-sigma^2*vetj.^2*dt);c=1/(1+rf*dt)*(1/2*rf*vetj*dt+0.5*sigma^2*vetj.^2*dt); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% L=zeros(M-1,M-1);L(1,1)=b(1);L(1,2)=c(1); % 边界条件L(M-1,M-2)=a(M-1); L(M-1,M-1)=b(M-1); % 边界条件for j=2:M-2L(j,j-1)=a(j);L(j,j)=b(j);L(j,j+1)=c(j);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% f1=zeros(M-1,N+1);f1(:,N+1)=max(E-vetj(1:M-1)*ds,0);f0=zeros(M-1,1);f0(1,1)=a(1)*E;for i=N:-1:1f1(:,i)=L*f1(:,i+1)+f0;for j=1:M-1 % 判断是否行权if f1(j,i)<=E-vetj(j)*ds;f1(j,i)=E-vetj(j)*ds;endendendf2(1,1:N+1)=50;f2(2:M,1:N+1)=f1;f2(M+1,1:N+1)=0;jdown=floor(s0/ds);jup=ceil(s0/ds);if jdown==jupprice=f2(jdown+1,1)+(s0-jdown*ds)*(f2(jup+1,1)-f2(jup+1,1))/ds end4. 用C-N有限差分法为美式看跌期权定价matlabfunction price = AmPutCK(S0,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt,omega,tol)M = round(Smax/dS); dS = Smax/M; % 建立网格N = round(T/dt); dt = T/N;oldval = zeros(M-1,1); %Gauss-Seidel更新向量newval = zeros(M-1,1);vetS = linspace(0,Smax,M+1)';veti = 0:M; vetj = 0:N;% 建立边界条件payoff = max(K-vetS(2:M),0);pastval = payoff; % values for the last layerboundval = K*exp(-r*dt*(N-vetj)); % 边界值% 建立系数矩阵和式子右边矩阵alpha = 0.25*dt*( sigma^2*(veti.^2) - r*veti );beta = -dt*0.5*( sigma^2*(veti.^2) + r ); gamma = 0.25*dt*( sigma^2*(veti.^2) + r*veti );M2 = diag(alpha(3:M),-1) + diag(1+beta(2:M)) + diag(gamma(2:M-1),1); % 使用SOR方法求解线性方程组aux = zeros(M-1,1);for j=N:-1:1aux(1) = alpha(2) * (boundval(1,j) + boundval(1,j+1));% 建立右端矩阵并进行初始化rhs = M2*pastval(:) + aux;oldval = pastval;error = realmax;while tol < errornewval(1) = max ( payoff(1), ...oldval(1) + omega/(1-beta(2)) * (...rhs(1) - (1-beta(2))*oldval(1) + gamma(2)*oldval(2)));for k=2:M-2newval(k) = max ( payoff(k), ...oldval(k) + omega/(1-beta(k+1)) * (...rhs(k) + alpha(k+1)*newval(k-1) - ...(1-beta(k+1))*oldval(k) + gamma(k+1)*oldval(k+1)));endnewval(M-1) = max( payoff(M-1),...oldval(M-1) + omega/(1-beta(M)) * (...rhs(M-1) + alpha(M)*newval(M-2) - ...(1-beta(M))*oldval(M-1)));error = norm(newval - oldval);oldval = newval;endpastval = newval;endnewval = [boundval(1) ; newval ; 0]; % 加入缺少的值% 返回价格，这个价格可能因为初始资产价格在网格外而由线性插值生成。
运用Matlab基于LSM方法对美式期权定价的新探究
运用Matlab基于LSM方法对美式期权定价的新探究作者：刘海永严红来源：《金融发展研究》2013年第12期摘要：传统期权定价方法是通过主观假定初始价格、执行价格、期限、波动率、无风险利率等条件来对期权进行定价，很少联系实际的期权市场报价对期权进行定价。
本文根据股票期权市场报价，通过Matlab快速方便地求解出隐含的波动率和无风险利率，并在此基础上运用Matlab基于最小二乘蒙特卡洛模拟（LSM）方法对该股票的美式期权进行定价。
本文揭示了如何根据期权市场报价实现隐含波动率和无风险利率的求解，进而结合LSM方法对美式期权进行定价的一种新方法。
此外，本文对LSM方法的改进技术也进行了探讨。
关键词：LSM方法；美式期权定价；隐含波动率；无风险利率中图分类号：F830.91 文献标识码：A 文章编号：1674-2265（2013）12-0020-05一、引言1973年之前，理论上对于期权定价一直找不到令人满意的模型，主要是由于对标的资产价格的变动过程无法用适当的随机过程来描述。
1973年布莱克、斯科尔斯（Black、Scholes）两位学者将标的资产的价格假设为几何布朗运动，并由此获得了欧式看涨、看跌期权的定价模型，从此期权市场在全球范围内得到了快速的发展。
对于欧式期权的定价，可采用树形法，Black-Scholes模型（以下简称B-S模型）、有限差分法、蒙特卡洛模拟法；对于美式期权的定价，树形法、有限差分法也适用，蒙特卡洛模拟方法在欧式衍生产品的定价方面获得了有效应用，但其采用的是正向求解的方法，这就限制了将蒙特卡洛模拟方法运用于具有后向迭代搜索特征的美式期权定价问题。
1993年蒂利（Tilley）提出了美式期权具有提前执行的特征后，使用蒙特卡洛模拟方法为美式衍生产品进行定价的问题才得到初步解决。
巴里康和马蒂诺（Barraquand和Martineau，1995）将资产价格的状态空间加以分隔，得出每一条路径在不同区域间移动的概率，然后使用类似于二叉树模型的方式进行逆推求解。
(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法最全版
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。
蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若则有显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设为独立同分布的随机变量序列，若则有其等价形式为。
◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。
2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。
3、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5、市场上不存在无风险的套利机会。
6、无风险利率为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。
首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程则有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes 偏微分方程。
基于MATLAB的金融工程方法与实践第四章 简单期权的离散模型定价
举例：
股票当前价格为100,无风险利率为r=0.05 u=1.2 d=0.9 欧式看涨期权的执行价格K=100 资产组合 买入h股股票 卖出1份期权 期初价值 + h*100 -C 期末价值 股价S=120 + h*120 -20 股价S=90 + h*90 0
投资组合的净价值
h*100-C
关系式：
u 1 d
定价公式中u和d的确定
联立以上四式得：
ue
d e
t
t
e r t d p ud
无风险利率r是时间t的函数
利率的期限结构并不总是在一条水平线上，而是随着时 间的增加不断的上升或者下降，即是时间t的函数r(t) 不会影响股票的二叉树图形的结构
风险中性概率p会随着r(t)的变化而变化
连续复利：
C(i, j ) Max{Su j d i j K , er*it [ p * C(i 1, j 1) (1 p) * C(i1, j ) ]}
美式看跌期权的二叉树定价模型：
复利：
j i j P , ( i , j ) Max{K Su d
1 [p*P ( i 1, j 1) (1 p) * P ( i 1, j ) ]} i (1 r )
该股票对应的期权的二叉树图形
按固定数额支付红利
在支付红利之后二叉树的结构将发生变化 在之后的时期中二叉树不能重叠在一起，使得节点数大大 增加 支付固定红利股票的价格的三时期二叉树图形
按固定数额支付红利
在支付红利之后二叉树的结构将发生变化
按固定数额支付红利
基于MATLAB的金融工程方法与实践第七章 基于蒙特卡洛方法的期权定价
• 如果累计损益小于350万元，则合约继续
• 得到多条实际的损益路径 • 现金流贴现定价
谢谢！
END
控制变量法
变量A的数值的估计公式
~ ~ ˆ A B ( A B)
模拟括号中的数值，用解析式计算出B的数值然后相 加得到A的模拟值。
~ ~ ~ ~ ˆ var( A) VAR ( A) VAR ( B ) 2COV ( A B ) VAR ( B) 0
~ ~ ~ 只要 VAR(B ) 2COV ( A B) 0 就有 ~ ˆ var(A) VAR( A)
标的资产到期日价格的直方图
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
第三步，得到多个期权价格，画出直方图
40 35 30 25 20 15 10 5 0 4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
• 得到200个期权价格 • 得到期权价格的直方图及定价区间
• 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续 期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价 之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为 0.1，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区 间?
蒙特卡洛的优缺点
MCMC方法的优点
• 分布假设更一般，描述市场因素可能变化的统计分 布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的扩散 分布、t分布等。 • 随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景,可在 模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测,考 察更多的假设情况。
蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究学士毕业论文 精品
毕业论文基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究STUDY ON THE PRICING OF THE EUROPEAN OPTIONS BASED ON MONTE CARLO ALGORITHM摘要近年来，随着全球经济飞速的发展，金融市场在社会经济领域中的地位也在不断的上涨。
与金融市场相适应的一些金融衍生品也孕育而出，而对于它们的分析研究也就显得尤为重要，其中期权更是在金融市场中占有一席之地的。
众所周知，期权又被称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。
其中欧式期权则是最具代表性的期权，不管是在理论价值还是在经济意义上，都是非常值得研究的。
本文以欧式期权为研究对象，基于蒙特卡洛算法并利用Matlab软件编写相关程序。
本文针对基于蒙特卡洛算法下的欧式期权定价问题进行研究，在研究上共分为五章。
第一章为绪论部分，重点阐述了文章的研究背景、研究意义以及国内外研究现状。
第二章是预备知识，主要介绍了文章所用到的基础理论知识，例如蒙特卡洛算法、欧式期权、Black-Scholes模型的概念。
第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。
第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。
第五章为结论，是对本文的研究结果进行总结。
关键词：蒙特卡洛算法；欧式期权定价；方差缩减技术ABSTRACTIn recent years, with the rapid development of global economy, socio-economic status of the financial market is constantly rising. Financial derivatives that are associated with the financial markets also bred out. So it is particularly important to analyze them especially for options. It is well known that the options are also known as choices, which are derivative financial instruments. It is very worthy of studying European option both in theoretical value and in an economic sense which is the most representative of these options.This paper is concerned on European option based on Monte Carlo algorithm, and prepares the relevant procedures by using Matlab software. The organizations of our study are as follows. The first chapter focuses on the article's background, significance and research status at home and abroad. The second chapter is on pre knowledge, introduces the articles used by the foundation of theoretical knowledge, such as Monte Carlo algorithm, European options and Black-Scholes model’s concept. The third chapter is on modeling, using Monte Carlo algorithm to generate European option pricing formula, which received European option pricing based on Monte Carlo algorithm. The fourth chapter is on Monte Carlo algorithm, mainly on the improved algorithm of quasi-Monte Carlo simulation, combined with low-discrepancy sequences Halton which can make option prices closer to European-style call option pricing true value. The fifth chapter is on conclusion and it is the summary of the results of this articles.Keywords: Monte Carlo algorithms；European option pricing；Variance reduction technology目录1 引言 (1)1.1研究背景及研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.3本文研究内容及研究结构 (2)2 基础知识 (4)2.1 蒙特卡洛算法 (4)2.1.1 蒙特卡洛算法简介 (4)2.1.2 蒙特卡洛算法的基本原理 (5)2.1.3 蒙特卡洛算法的效率 (7)2.1.4 蒙特卡洛算法的优缺点 (8)2.2 关于期权的一些介绍 (8)2.2.1 期权的概念 (8)2.2.2 期权的分类 (9)2.2.3 期权价值 (9)2.2.4 期权价格的影响因素 (10)2.2.5 期权的交易原理 (12)2.3 期权的定价模型 (12)2.3.1 欧式期权定价模型介绍 (12)2.3.2 B-S期权定价模型的建立 (12)2.3.3 风险中性期权定价模型 (14)3 基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题实现 (17)4 蒙特卡洛算法的改进 (21)4.1 缩减方差技术 (21)4.1.1 控制变量法 (21)4.1.2 对偶变量法 (22)4.2 拟蒙特卡洛算法 (23)结论 (28)参考文献 (21)致谢 (22)1引言1.1研究背景及研究意义众所周知，在当今21世纪，全球经济都处于一种不断攀升的状态，在我国更是如此，一个国家的兴衰与它的经济状况是紧密相连的，于是在这种大背景下，就衍生出了很多金融衍生品。
蒙特卡罗方法及其在期权定价中的应用总结
ｗｏｒｄｓ：ｏｐｔｉｏｎ Ｃａｒｌｏ
Ｑｕａｓｉ－Ｍｏｎｔｅ
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学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。
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Ｍｏｎｔｅ
Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ
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Ｍｏｎｔｅ
Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｉｎｇ；ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｉｌｅ
ａｒｅ：
ｇａｐ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｃｏｎｔｅｎｔｓ
Ｑｕａｓｉ－Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ
ｂｒｉｄｇｅ ａｎｄ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ Ｘｅｙ
ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｌａｔｅｒ ｃｏｎｓｉｓｔ Ｂｒｏｗｎ
ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ．
ｐｒｉｃｉｎｇ；Ｍｏｎｔｅ
Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ；Ｖａｒｉａｎｃｅ
Ｍｏｎｔｅ
Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄ，ｍａｋｅ ｅｍｐｈａｓｉｓ ｉｎ
ｅｌＴＯｒ
ｅｓｔｉｍａｔｅ ａｎｄ ｗｏｒｋ ｄｆｉｅｉｅｎｅｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｎｏｒｍａｌ ｖａｒｉａｔｅｓ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ雒ｗｅｌｌ．
３．Ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ
期权定价实验报告(M101613110黄清霞)
79.3528 62.9892 50.0000 39.6894 31.5049 0
89.0656 70.6991 56.1200 44.5474 35.3611 28.0692
BinPrice = 6.3595 0 0 0 0 0
9.8734 2.8493 0 0 0 0
14.8597 4.9066 0.7794 0 0 0
广东金融学院实验报告
课程名称：金融工程 实验编号 及实验名称 姓 名 黄清霞 期权定价模型及数值方法综合实验 学号 实验日期 张学奇 其他成员 2013-06-01 黄冬璇、马燕纯 系 班 别 别 应用数学系
实验地点 指导教师
实验时数 成 绩
一、实验目的及要求 1.实验目的 （1）通过期权定价模型与数值方法综合实验，使学生加深对 BSM 期权模型的理解； （2）熟练掌握运用 Matlab 计算欧式期权价格实际应用方法； （3）熟练掌握运用 Matlab 软件计算美式期权价格的有限差分法、蒙特卡罗模拟法。 （4）培养学生运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。 2.实验要求 实验以个人形式进行，要求每位实验人员按照实验指导书，在实验前做好实验原理复习工作，实验 软件的熟悉工作。 实验报告要包括：实验原理、实验工具、实验程序与实验结论。实验内容要详实和规范，实验过程 要完整和可验证，实验结果要准确。 二、实验环境及相关情况 实验设备：实验中心和个人计算机 实验软件：Matlab 软件。 实验资料：期权定价模型及数值方法综合实验指导书。 三、实验内容、步骤及结果 （一）基于 Matlab 的无收益资产的欧式期权定价实验 A.实验原理 1.参量与符号 （1） S :标的资产的价格； （2） X ：行权价格； （3） T t ：到期期限； （4） ：标的资产价格波动率； （5） r ：连续复利的无风险利率； 2.无收益资产欧式期权定价公式 无收益欧式看涨期权的定价公式
蒙特卡洛期权定价方法
蒙特卡洛期权定价方法(总61页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
MATLAB中的马尔科夫链蒙特卡罗方法及其在金融风险分析中的应用
MATLAB中的马尔科夫链蒙特卡罗方法及其在金融风险分析中的应用近年来，随着金融市场的不断发展和金融工具的不断创新，金融风险管理变得越来越重要。
金融风险分析是金融机构和投资者必须面对的挑战，准确评估和管理风险对于维持金融市场的稳定和保护投资者利益至关重要。
在这个背景下，马尔科夫链蒙特卡罗方法成为金融风险分析中的一种重要工具。
马尔科夫链蒙特卡罗方法是一种基于统计的模拟方法，通过生成一系列概率变量的随机样本来模拟随机过程。
在金融风险分析中，我们可以将马尔科夫链蒙特卡罗方法应用于模拟金融市场的价格变动、投资组合的价值波动等。
这种方法的优势在于能够捕捉到金融市场中的不确定性和非线性特征，从而更真实地反映金融市场的实际情况。
在MATLAB中使用马尔科夫链蒙特卡罗方法进行金融风险分析，可以通过利用MATLAB提供的一些强大的工具和函数来实现。
首先，我们需要构建一个马尔科夫链模型。
马尔科夫链是一种数学模型，描述的是一个随机过程，其未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
在金融市场中，我们可以将某个金融资产的价格变动看作是一个马尔科夫链。
我们可以通过分析金融资产的历史价格数据，来估计马尔科夫链模型中的状态转移概率矩阵。
在MATLAB中，可以使用Markov模型对象来表示和计算马尔科夫链。
接下来，我们可以使用马尔科夫链模型来生成模拟路径。
通过模拟路径，我们可以模拟金融市场中的价格变动，并进一步分析其影响。
在MATLAB中，可以使用simulate方法来生成模拟路径。
通过设定路径的长度和模拟次数，可以得到一系列的价格路径样本。
然后，我们可以进一步分析这些模拟路径，计算出相关的风险指标。
例如，可以计算模拟路径中某个时间点的价值-at-risk (VaR)，描述的是在特定置信水平下，投资组合的最大可能损失。
可以使用MATLAB中的quantile函数来计算VaR。
此外，还可以计算条件价值-at-risk (CVaR)，描述在VaR超过特定阈值时的损失情况。
蒙特卡罗算法与matlab(精品教程)——【Matlab算法】
第一章：Monte Carlo方法概述一、Monte Carlo历史渊源Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。
它和Simulation有细微区别。
单独的Simulation 只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。
（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。
虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。
出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。
十一、Monte Carlo方法适用用途（一）数值积分计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。
但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。
如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例1如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。
这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo数值积分方法和上述类似。
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用
蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用１一【－１—＿＿＿—一Ｉ一摘要：蒙特卡罗模拟作为金融衍生证券定价的一种有效的数值方法之一，近年来得到了不断的应用和发展。
本文简要介绍了蒙特卡罗模拟在金融衍生证券定价的应用，评价了蒙特卡罗模拟的三个改进方向：基本方差减少技术、拟蒙特卡罗模拟、随机化的拟蒙特卡罗模拟，提出了利用超均匀序列Ｈａｌｔｏｎ序列的拟蒙特卡罗模拟技术，以欧式看涨期权定价为例，比较了三种蒙特卡罗模拟结果。
关键词：金融衍生证券，期权定价、蒙特卡罗模拟其它数值方法相比，蒙特卡罗模拟具有两大优势：一是比较灵活，易于实现和改进；二是模拟估计的误差及收敛速度与所解决问题的维数具有较强的独立性，从而能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
所以，随着高维衍生证券发展越来越快，交易规模迅速增加，二叉树分析技术和有限差分技术应用将会受到越来越大的限制，蒙特卡罗模拟必将在金融衍生证券定价中发挥更为重要的作用。
与此同时，金融衍生证券定价理论与方法在社会经济发展中也得到日益广泛的应用，特别是在高新技术企业投资决策方面体现出更为重要的价值。
近年来，蒙特卡罗模拟方法在金融衍生证券定价中的应用越来越广泛，以此理论为基础的企业投资决策实物期权分析方法，也越来越成为多方人士关注的焦点。
一、颤特卡罗模拟的改进技术（一）基本方差减少技术用于衍生证券价格的蒙特卡罗模拟的方差减少技术主要有五种，根据其应用特点的不同，将它们分为通用性技术与特殊性技术两类：１．通用性方差减少技术。
这类技术指适合一般性金融定价分析，不依赖所估计证券结构性质的方法，主要包括对偶变量技术、控制变量技术以及分层抽样技术等方面。
（１）对偶变量技术。
这种技术在定价分析中应用最广泛。
应用该技术，每次模拟计算衍生证券的两个值之和，其中一个由通常方法得到，另一个则通过改变所有抽样样本的符号而得到，模拟结果为二者的平均。
对偶变量技术能对许多衍生证券的价格模拟有明显的改进效果，但也存在着一定的局限性。
蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用
5152010金融FINANCE蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用■徐保震武汉理工大学理学院中图分类号：F832文献标识：A文章编号：1006-7833(2010)05-051-02摘要在金融期权的定价尤其是对美式期权的定价中有很多数值方法。
本文简要介绍了期权定价中标的资产的运动模型及其推广，并对欧式期权和美式期权分别用蒙特卡罗模拟法进行定价，并在Matla b 中编程实现，在Excel 软件中运行，给出了详细的实证分析过程。
关键词维纳过程期权定价蒙特卡罗模拟一、维纳过程期权的价格与相应标的资产的价格密切相关，最典型的是股票期权。
研究股票期权首先要考虑股票价格变动模式。
如果某变量以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。
随机过程分为离散时间和连续时间两种。
离散时间随机过程是变量只能在某些确定的时间点上变化的过程，而一个连续时间随机过程是变量的值的变化可以在任何时刻发生。
连续时间随机过程中，时间变量可在某一范围内取任意值，而在离散随机过程中，时间变量只能取某些离散值。
股票行为可用著名的维纳过程来表达。
（一）维纳过程极其性质设随机过程()Z Z t ，在一个很小的时间间隔t 的变化用t z 表示。
如果t z 具有如下性质：1.t z t ，其中是服从标准正态分布的随机变量。
2．对于不同的时间间隔t ，t z 相互独立。
则称()Z Z t 为维纳过程。
（二）风险中性环境中股票的价格运动在风险中性环境中股票的价格遵循的运动公式：()()()dS t S t dt S t dz ，其中dz 是一个标准布朗运动，为在风险中性世界中的收益率，现实世界中一般以LIBOR 为准。
为波动率，()S t 表示时刻t 的股票价格.将上述连续模型进行离散可得：()()()()S t t S t S t t S t t ，则00()()()S t S t S t ，211()()()S t S t S t ，，11()()()n n n S t S t S t ，，1n t ，n t (12)n ，，很接近且0()S t ，1()S t ，，()n S t 为相互独立的随机正态随机变量。
金融工程中的蒙特卡罗方法
金融工程中的蒙特卡罗方法
1. 嘿，你知道吗？金融工程里的蒙特卡罗方法就像是一个神奇的魔法棒！比如说，在评估股票期权价值的时候，它能通过大量随机模拟来给出近似答案呢。
哇塞，是不是很厉害！
2. 哎呀呀，蒙特卡罗方法在金融工程中那可真是太重要啦！就好像是在黑暗中为我们照亮道路的明灯。
举个例子，预测市场风险时它可太管用啦！
3. 哇哦！想想看，金融工程中的蒙特卡罗方法，不就像一个超级厉害的工具嘛！比如说帮助我们估算复杂衍生品的价格，真的太牛啦！
4. 嘿，你难道不觉得蒙特卡罗方法在金融工程里简直是神一般的存在吗？就拿给债券定价来说，它能发挥大作用呢！
5. 啊呀，蒙特卡罗方法对于金融工程而言真的是不可或缺呀！就像是一个万能钥匙。
比如在分析投资组合的表现时，它就能大显身手啦！
6. 哇，蒙特卡罗方法在金融工程里的地位可高啦！这不就是一个得力助手嘛。
就像在计算保险产品的合理定价时，它可太重要咯！
7. 嘿呀嘿呀，金融工程中的蒙特卡罗方法可真是不简单呢！好比是一场冒险中的秘密武器。
像是要确定最优的套期保值策略，它能帮大忙呢！
8. 哎呀，蒙特卡罗方法在金融工程领域那可是超厉害的存在哟！就类似一个神奇的宝盒。
比如说，在评估项目投资的风险收益时，它就会展现出强大的力量！
9. 总之呢，蒙特卡罗方法在金融工程中的作用是非常巨大的！它能帮助我们解决很多复杂的金融问题，真的是非常神奇和有用啊！。
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标的资产到期日价格的直方图
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
第三步，得到多个期权价格，画出直方图
40 35 30 25 20 15 10 5 0 4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
• 得到200个期权价格 • 得到期权价格的直方图及定价区间
• 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续 期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价 之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为 0.1，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区 间?
蒙特卡洛的优缺点
MCMC方法的优点
• 分布假设更一般，描述市场因素可能变化的统计分 布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的扩散 分布、t分布等。 • 随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景,可在 模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测,考 察更多的假设情况。
1 n limn P{| X k E ( X ) | } 1, 0, n k 1 P{lim n 1 n X k E ( X )} 1, n k 1
辛钦大数定律的Matlab实现
0.6 0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
100
200
第七章 基于蒙特卡洛方法的期权定价
Outline
• 蒙特卡洛方法基本原理 • 估计欧式期权的定价区间 • 估计亚式期权的定价区间 • 蒙特卡洛方法的优缺点 • 提高模拟效率的方法
什么是蒙特卡罗模拟?
根据韦氏词典的解释：
Monte Carlo relates to or involves “the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution” ——Merriam-Webster, Inc.,1994,P754-755
50 10 40 30 5 0 30
dSt St dt St dW dW z dt z服从标准正态分布 St St t St z t
例
• 设有这样一个股票，其现行的市场价格为50元， 无风险利率为0.1,收益率的标准差为0.4。已知 有一种以该股票为标的资产，执行期限为 T=5/12的看涨期权，执行价格为52元，试用蒙 特卡洛模拟法确定该期权的定价区间?
蒙特卡洛方法的基本原理
•基本思想：抽样试验来计算参数的统计特征，最 后给出求解问题的近似值。
•理论依据：中心极限定理及大数定律为其主要理 论基础
•主要手段：随机抽样 •使用前提：已知随机变量服从的分布或可以化为 已知分布的变量的函数。
抽样分布的基础—辛钦大数定律
• 定理：设 X1 , X 2 ,....Xn .... 是独立同分布的 随机变量序列，有有限的数学期望E(X)， 则有
估计亚式期权的定价区间
• 亚式期权是一种路径依赖型期权，它的收益函数依赖于期 权存续期内标的资产的平均价格 • 离散平均价格
1 n A S ti n i 1
• 亚式看涨期权的现金流
1 N max S ti K , 0 , N i 1 T N ; ti i , i 1, 2 N
• 练习
• 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续 期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价 之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为 0.1，下面用蒙特卡洛方法计算亚式期权的价格?
• 注：随机数采用自由度为6的t分布。
提高模拟效率的方法
对偶变量法
对于服从对称分布的随机变量来说，当随机产生一个随机数v 时，可以自动的得到另一个随机数-v，可以得到两个价格p1， p*1。 对价格的模拟可以使用平均P＝（ p1 + p*1)/2代替
* * var(p1 ) var(p1 ) cov(p1 , p1 ) var(p) 4 4 2
Corr(v,-v)=-1 ，P 1和p*1的相关系数显然小于0.
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
20
40
60
80
100
120
80 70 60
30 25 20 15
中心极限定理的Matlab实现
估计欧式期权的定价区间
基于蒙特卡洛方法的定价区间估计
• 找到刻画标的资产价格运动规律的随机过程，需要 对误差项的分布作出假设 • 得到N个标的资产到期日价格，得到一个期权价格
• 得到多个期权价格，给出定价区间
估计欧式看涨股票期权的定价区间
• 假设标的资产满足几何布朗运动的随机过程，估计 其欧式看涨期权的VaR?
第一步，得到此股票价格的一条路径
75 70
65
60
55
50
• 得到第i-1个节点的价格
0
20
40
60
80
100
120
• 根据价格服从的随机过程，进而得到第i个节点的价格
第二步，得到1个期权价格
120 100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
• 得到标的资产的1000个路径 • 得到标的资产到期日1000个价格 • 得到max(P-K,0)的均值的现值——一个期权价格
300
400
500
600
700
800
900
1000
中心极限定理(central limit theorem)
• 定理：设 X1 , X 2 ,....Xn .... 是独立同分布的 随机变量序列，有有限的数学期望和方差
,
2
, 则有
1 n Xk n k 1 lim n P{ x} ( x), / n 1 n 2 X k ~ N ( , ) n k 1 n