高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第5课时 2.3.1平面向量基本定理
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高中数学必修 4 第二章平面向量教课设计（ 12课时 )本章内容介绍向量这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具 .向量看法引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理即可转变为向量的加（减）法、数乘向量、数目积运算，从而把图形的基天性质转变为向量的运算系统.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实质背景.在本章中，学生将认识向量丰富的实质背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数目积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.而后介绍本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的看法，并说了然向量与数目的差别，了向量的一些基本看法 . （让学生对整章有个初步的、全面的认识 .）第 1课时§2.1 平面向量的实质背景及基本看法教课目标：1.认识向量的实质背景，理解平面向量的看法和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等看法；并会划分平行向量、相等向量和共线向量 .2.经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.3.经过学生对向量与数目的鉴别能力的训练，培育学生认识客观事物的数学实质的能力.教课要点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法，会表示向量.教课难点：平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.学法：本节是本章的入门课，看法许多，但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法，联合图形实物划分平行向量、相等向量、共线向量等看法.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、情形设置：如图，老鼠由 A 向西北逃跑，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）C结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A DB 解析：老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实质上都是有方向、有长短的量 .前言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的看法：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数目与向量有何差别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何差别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向同样或相反，这组向量有什么关系？7、假如把一组平行向量的起点所有移到一点O，这是它们能否是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）研究学习1、数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小.2.向量的表示方法：a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂA(起点)（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；B （终点）④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.3.有向线段：拥有方向的线段就叫做有向线段，三个因素：起点、方向、长度.向量与有向线段的差别：（1）向量只有大小和方向两个因素，与起点没关，只要大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个因素，起点不一样，尽管大小和方向同样，也是不一样的有向线段 .4、零向量、单位向量看法：①长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一直量平行.说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完好定义；（ 2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明：（ 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，而且与有．．向线段的起点没关.．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同向来线上（与有向线段的．．．．．．起点没关）．．．．． .说明：（ 1）平行向量可以在同向来线上，要差别于两平行线的地点关系；（2）共线向量可以相互平行，要差别于在同向来线上的线段的地点关系.（四）理解和牢固：例1 书籍 86页例 1.例2判断：（1）平行向量能否必定方向同样？（不必定）（2）不相等的向量能否必定不平行？（不必定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同向来线上，则这两个向量必定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向同样）（7）共线向量必定在同向来线上吗？（不必定）例 3 以下命题正确的选项是（）A. ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有同样起点的两个非零向量不平行解：因为零向量与任一直量都共线，所以 A 不正确；因为数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同向来线上，而此时就构不行四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个极点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向同样或相反即可，与起点能否同样没关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来下手考虑，倘若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ最少有一个是零向量，而由零向量与任一直量都共线，可有ａ与ｂ共线，不吻合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C.例 4如图，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：能否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）课堂练习：1．判断以下命题能否正确，若不正确，请简述原由.①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、 B、 C、D 四点必在向来线上；②单位向量都相等；③任一直量与它的相反向量不相等；④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝ DC⑤一个向量方向不确立当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不一样，则终点必定不一样.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向同样或相反即可，其实不要求两个向量AB 、 AC 在同向来线上.②不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向其实不确立.③不正确 .零向量的相反向量还是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确 .⑥不正确 .如图AC与BC共线，虽起点不一样，但其终点却相同. 2．书籍 88 页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书籍 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时§向量的加法运算及其几何意义教课目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量，培育数形联合解决问题的能力；3、经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；教课要点：会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.教课难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义.联合图形掌握向量加法的三角形法规和平行四边形法规 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和联合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、设置情形：1、复习：向量的定义以及相关看法重申：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向同样的向量相等.所以，我们研究的向量是与起点没关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移就任何地点2、情形设置：A B C（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：AB BC AC（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， C A B 则两次的位移和：AB BC ACC （3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC A BC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB BC AC二、研究研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B２、三角形法规（“首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、ｂ .在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂAB BC AC ，规定： a + 0-= 0 + aaaaC bbａa+ b ｂA a+ bｂaB研究：（ 1）两相向量的和还是一个向量；（ 2）当向量a与b不共线时， a + b 的方向不一样向，且|a + b |<|a |+| b |；（ 3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向，O a A且| a + b |=| a |+|b |，当a与b反向时，若 | a |>|b |，bb b a则 a + b 的方向与 a 同样，且| a + b |=| a |-| b |；若a B | a |<| b |，则a + b的方向与b同样，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推行到n个向量连加３．例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a + b作法：在平面内取一点，作OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法规问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 能否同样？考据结果同样从而获得：１）向量加法的平行四边形法规（对于两个向量共线不适应）aa +b = b + a２）向量加法的交换律：５．向量加法的联合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )证：如图：使AB a ，BC b ，CD c则( a + b ) + c = AC CD AD ， a + ( b + c ) =AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而，多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（ P94— 95）略练习： P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和联合律；３、注意： | a + b | ≤ | a | + | b |，当且仅当方向同样时取等号.五、课后作业：P103 第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以23km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，求水流的速度.2、一艘船距对岸 4 3km ，以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实质航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，方向与水流间的夹角是60，求v1和 v2.4、一艘船以5km/h的速度内行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实质航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力 F 与F1的夹角是60，|F|=10N 求 F1和 F2的大小 .６、用向量加法证明：两条对角线相互均分的四边形是平行四边形第 3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教课目标：1.认知趣反向量的看法；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.经过论述向量的减法运算可以转变为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转变的辩证思想 .教课要点：向量减法的看法和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、复习：向量加法的法规：三角形法规与平行四边形法规向量加法的运算定律：DCB BA BA例：在四边形中，.解： CB BA BA CB BA AD CDA B二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（ 1）“相反向量”的定义：与 a 长度同样、方向相反的向量.记作a（ 2）规定：零向量的相反向量还是零向量. ( a) = a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0假如 a、 b 互为相反向量，则 a =b， b = a， a + b = 0（ 3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： a b = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b3．求作差向量：已知向量a、 b，求作向量∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a a O作法：在平面内取一点O，bba bBCa作 OA = a，AB = b则 BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .注意： 1AB 表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + ( b)明显，此法作图较繁，但最后作图可一致.B’a bB a+ ( b)Ob ab bAB4．研究：１）假如从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.a ab a bbO B A B’O BAa ab a bb O A b B BO A２）若 a∥b，如何作出 a b？三、例题：例一、（ P９７例三）已知向量a、b、 c、 d，求作向量 a b、 c d.解：在平面上取一点O，作OA = a，OB = b，OC = c，OD = d，作 BA ，DC ，则BA= a b，DC = c db aA BD dcCOD CA B例二、平行四边形ABCD 中，AB a，AD b ，用 a、 b 表示向量AC 、 DB .解：由平行四边形法规得：，DB= AB AD= a bAC = a + b变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（ a， b 相互垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）练习：Ｐ 98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业： P103 第 4、５题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在△ABC中，BC=a，CA=b ，则AB等于 ()A. a+bB.- a+(- b) D. b-a为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d ，则A. a+b+c+d=0３ .如图，在四边形B.a-b+c-d=0 C.a+b -c-d=0ABCD 中，依据图示填空：D.a-b -c+d=0a+b=， b+c=，c-d=， a+b+c-d=.４、以以下图，O 是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确立a、b 、 c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC，并画出 b -c 和a+d.第３题平面向量的基本定理及坐标表示第 4课时§ 2.3.1 平面向量基本定理教课目标：（1）认识平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）可以在详尽问题中合适地采用基底，使其余向量都可以用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ ||a |；（ 2）λ >0 时λa与a方向同样；λ <0 时λa与a方向相反；λ =0 时λa =02．运算定律联合律：λ ( μa )=( λ μ)；分配律： (λ +μ)=λa +μ，λ ( a +b)= λa+λba a a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1e1+λ2e2.研究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . 1λ，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目三、讲解模范：例 1 已知向量e1，e2求作向量 2.5 e1 +3 e2 .例 2如图ABCD的两条对角线交于点M ，且AB = a，AD = b ，用a， b 表示 MA ， MB ， MC 和 MD例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E， O 是任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE例 4（ 1）如图，OA，OB不共线，AP =t AB(t R)用OA，OB表示OP.uuur uur（ 2 ）设OA、OB不共线，点P 在 O、A、B所在的平面内，且uuur uuur uuurR) .求证：A、B、P三点共线.OP(1t )OA tOB (t例 5已知 a=2 e121212不共线，向量12-3e ， b= 2e +3e ，此中 e ， e c=2e -9e，问能否存在这样的ur r r实数、 ,使 d a b 与c共线.四、课堂练习：1.设 e 、 e 是同一平面内的两个向量，则有()12A. e1、 e2必定平行1、 e2的模相等C.同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+μe2 (λ、μ∈ R )D.若 e1、 e2不共线，则同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、 u∈R )2.已知矢量 a = e1-2e2， b =2e1+e2，此中 e1、 e2不共线，则a+b 与 c =6 e1-2e2的关系A. 不共线B.共线C.相等D. 没法确立3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于 ( )4.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈ R)，若 c 与 b 共线，则λ1=.5.已知λ1＞ 0，λ2＞ 0，e1、e2是一组基底，且 a =λ1e1+λ2e2，则 a 与 e1_____，a 与 e2_________( 填共线或不共线 ).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：第 5课时§—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）理解平面向量的坐标的看法；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点：平面向量的坐标运算教课难点：向量的坐标表示的理解及运算的正确性.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1 e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . λ1，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向同样的两个单位向量基底 .任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得i 、j 作为a xi yj ○1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y) ○2此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 .与a相等的向量的坐标也为( x, y).．．．．．．．．．．．特别地， i(1,0) ， j(0,1)， 0 (0,0) .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a ，则点A的地点由 a 独一确立.设 OA xi yj ，则向量OA的坐标(x, y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标(x, y)也就是向量 OA 的坐标.所以，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数独一表示 .2．平面向量的坐标运算（1）若a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 )，则 a b(x1x2 , y1y2 )，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ，则 a b( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1x2 )i ( y1y2 ) j即 a b(x1x2 , y1y2 ) ，同理可得a b(x1x2 , y1y2 )（2）若A (x1,y1)， B( x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB= OB OA=( x 2，y2)(x1， y1)= (x2x1，y2y1)（3）若a(x, y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.设基底为 i 、j ，则a( xi yj )xi yj ，即 a ( x, y)三、讲解模范：uuur例 1 已知 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，求AB的坐标 .r r r r r r r r例 2 已知a =(2 ，1)，b =(-3 ，4) ，求a + b，a - b，3 a +4 b的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个极点 .解：当平行四边形为 ABCD 时，由 AB DC 得 D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得 D 2=(4 ， 6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D 3=( 6， 0)例 4 已知三个力 F 1 (3， 4)， F 2 (2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0 ，求 F 3 的坐标 .解：由题设 F 1 + F 2 +F 3=0得： (3， 4)+ (2 ， 5)+(x ， y)=(0 ， 0)32 x 0x 5 ∴ F 3 ( 5，1)即：5 y∴14 y四、课堂练习 ：1．若 M(3 ， -2)N(-5 ， -1) 且 MP1MN ，求 P 点的坐标22．若 A(0 ， 1)， B(1， 2)，C(3 ， 4) ，则AB 2BC = .3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)，D(5 ， -3)， 求证：四边形 ABCD是梯形 .五、小结 （略）六、课后作业 （略）七、板书设计 （略）八、课后记：第 6课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教课目标：（ 1）理解平面向量的坐标的看法；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点： 平面向量的坐标运算教课难点： 向量的坐标表示的理解及运算的正确性讲课种类： 新讲课教 具：多媒体、实物投影仪教课过程 ：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y轴方向同样的两个单位向量 i、 j.a ，由平面作为基底 任作一个向量 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，i (1,0) ， j (0,1) ， 0(0,0) .2．平面向量的坐标运算若 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b(x1x , y1y ) ，a b(x1x , yy ) ，a ( x, y).22212若 A( x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1二、讲解新课：a ∥b ( b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1，y )， b=(x 2，y )此中 b a.12x 1 x 2 由 a =λ b 得， (x 1， y 1) = λ (x 2， y 2)消去λ， x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2研究：（ 1）消去λ时不可以两式相除，∵y 1， y 2 有可能为0， ∵ b 0∴ x 2， y 2 中最少有一个不为 0（ 2）充要条件不可以写成y 1 y 2 ∵ x 1， x 2 有可能为 0x 1x 2(3) 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ b( b 0ab)x 1 y 2 x 2 y 1 0三、讲解模范：例 1 已知 a =(4 ，2) ， b =(6 ， y)，且 a ∥ b ，求 y.例 2 已知 A(-1 ， -1) ， B(1 ，3) ， C(2 ， 5)，试判断 A ， B ， C 三点之间的地点关系 .例 3 设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是 (x1， y1)， (x2， y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三均分点时，求点P 的坐标 .例 4 若向量a =(-1 ，x) 与b =(-x ， 2)共线且方向同样，求x解：∵ a =(-1，x)与b=(-x，2)共线∴ (-1)×2- x?(-x)=0∴ x=±2∵ a与b方向同样∴ x=2例 5 已知A(-1 ， -1)， B(1 ， 3)， C(1， 5) ， D(2 ， 7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2 ，4)，CD=(2-1 ， 7-5)=(1 ， 2)又∵ 2× 2-4× 1=0∴ AB∥ CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)， AB =(2，平行∴A ，B，C 不共线∴AB与CD不重合四、课堂练习：1.若 a=(2 ， 3)， b=(4， -1+ y) ，且 a∥ b，则 y=（）4)，2× 4-2× 6 0∴AB ∥ CD∴ AC与AB不2.若A(x， -1) ， B(1，3) ，C(2，5)三点共线，则x 的值为（）3.若AB=i+2 j ，DC=(3- x)i+(4- y)j(此中i 、j的方向分别与x、y 轴正方向同样且为单位向量). AB与 DC共线，则x、 y的值可能分别为（）A.1 ， 2， 24.已知 a=(4 ， 2)，b=(6， y)，且5.已知 a=(1 ， 2)，b=( x， 1)，若6.已知□ABCD 四个极点的坐标为， 2 D.2 ，4a∥b，则 y=.a+2b 与 2a-b 平行，则x 的值为.A(5， 7)，B(3， x)，C(2，3)， D(4， x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：§ 平面向量的数目积第7课时一、 平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标：1.掌握平面向量的数目积及其几何意义；2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；3.认识用平面向量的数目积可以办理相关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件 .教课要点：平面向量的数目积定义教课难点：平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪内容解析：本节学习的要点是启示学生理解平面向量数目积的定义，理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律， 而后经过看法辨析题加深学生对于平面向量数目积的认识 .主要知识点： 平面向量数目积的定义及几何意义； 平面向量数目积的5 个重要性质； 平面向量数目积的运算律 .教课过程：一、复习引入：1． 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λ a .2．平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使a =λ 1 e 1 +λ 2 e 23．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j.a ，由平面向作为基底 任作一个向量 量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 a xi yj把 (x, y)叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)4．平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 )， b( x2, y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )，a (x,y).若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y15．a∥b( b0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l 上的两点，P 是l 上不一样于P1，P2的任一点，存在实数λ，使P1 P= λPP2，λ 叫做点P分P1 P2所成的比，有三种情况：λ>0( 内分 )(外分 ) λ <0 ( λ <-1)( 外分 )λ <0(-1<λ <0)7.定比分点坐标公式：若点P １ (x1， y1 ) ，Ｐ２ (x2， y2) ，λ为实数，且P1P ＝λPP2，则点P 的坐标为（x1x2 ,y1y2），我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118.点 P 的地点与λ的范围的关系：①当λ＞０时， P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ＜０ (1)时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，a b1b .可得OP=a11110．力做的功：W = |F| |s|cos ，是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的看法已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ， OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 .说明：（ 1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（ 2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（ 3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量一定是同起点的.范围0 ≤ ≤180C2．平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π） .并规定0 与任何向量的数目积为0.研究：两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别（1）两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数目积称为内积，写成个向量的数目的积，书写时要严格划分也不可以用“×”取代.a b；今后要学到两个向量的外积a× b，而 ab 是两.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，（3）在实数中，若b=0.因为此中cosa 0，且有可能为a b=0，则0.b=0；但是在数目积中，若 a 0，且 a b=0，不可以推出（4）已知实数a、 b、 c(b0)，则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos= |b||OA|， b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中，有( a b)c = a(b c)，但是 (a b)c a(b c)明显，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与c 不共线.3．“投影”的看法：作图。
2015-2016学年高一数学苏教版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理2
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e1 + 2e2 . 况会是怎样？
特别的，若a与 e（1 e2）共线，则有
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
C
AB的中点,
AE=
=
AD+ DE b+ 1 a A
F
B
CF=
2
CB+ BF
=
-b
-
1 2
a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e1与 e2），从而将 问题转化为关于 e1、e2 的相应运算。
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
第2章 平面向量
2.3.1 平面向量基本定理
高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第5课时 2.3.1平面向量基本定理
无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。
无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。
- 1 -第5课时 §2.3.1 平面向量基本定理【教学目标】 一、知识与技能1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示； 3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
二、过程与方法在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。
三、情感、态度与价值观通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养。
【教学重点难点】基本定理的得出与证明、基本定理的简单应用、 一、创设情景：问题1、 ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，b a,，试用向量a ，b表示,。
结论：由作图可得2211e e a问题2、对于向量a，21, 是否是惟一的一组？ 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, ，使2211e e a注： ①1e r ，2e r均非零向量；②1e r ，2e r不唯一（事先给定）；③1 ，2 唯一；④20 时，a r 与1e r 共线；10 时，a r 与2e r 共线；120 时，0a r rD b rCBa rAM无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。
无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。
- 2 -基底： 正交分解： 三、例题分析：例1、 已知向量1e r ，2e r （如图），求作向量21352e e．例2、 如图，OA u u u r 、OB uuu r 不共线， ()AP t AB t R u u u r u u u r，用OA u u u r 、OB uuu r 表示OP uuu r ．例3、已知梯形ABCD 中，||2||AB DC u u u r u u u r ，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB u u u r 1e r ，2AD e u u u r r ，用1e r ，2e r 表示DC u u u r 、BC uuur 、MN u u u u r ．例4、 已知在四边形ABCD 中，2AB a b u u u r r u u r ，4BC a b u u u r r r ，53CD a b u u u r r r，AM D CNBAC B D1e2e无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
2．3 向量的坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理[学习目标] 1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理．[知识链接]1．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.2．0能不能作为基底？答 由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底． 3．平面向量的基底唯一吗？答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底． [预习导引]1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e 1，e 2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.要点一 平面向量基本定理的理解 例1 下列说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0； ⑤e 1与e 2是一组基底，则λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面内． 其中正确的是________．(写出正确的所有序号) 答案 ②③④解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故②③正确；④正确；⑤错，因为在平面内任一向量都可以表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2表示的向量在平面内．规律方法 对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底，λ1e 1＋λ2e 2＝0，在e 1与e 2不共线时，有λ1＝λ2＝0. 跟踪演练1 给出下面四个命题：①若a ∥b ，则必存在唯一的实数λ，使b ＝λa ； ②若λa ＝μ a ，则λ＝μ(λ，μ∈R )；③若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量e 1＋e 2和e 1－e 2也能作为一组基底； ④若λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2(λ1，λ2，μ1，μ2∈R )，则λ1＝μ1，λ2＝μ2. 写出其中所有正确命题的序号________． 答案 ③解析 ①若a 为零向量，满足a ∥b (b ≠0)，但不存在实数λ，使b ＝λa ；②若a 为零向量满足3a ＝2a ，但3≠2；③假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)．即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2，所以e 1和e 2共线，与e 1和e 2不共线矛盾．从而e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，故它们可以作为一组基底；④当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． 要点二 用基底表示向量例2 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c 用a ，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，然后得到关于x ，y 的方程组求解．跟踪演练2 已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.解 如图，连结FD .∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC ∥FB 且DC ＝FB ， ∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .要点三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC .AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1.规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握． 跟踪演练3 如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值． 解 (1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →，∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ， 即(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．若e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是________．①e 1－2e 2和e 1＋2e 2；②e 1与3e 2；③2e 1＋3e 2和－4e 1－6e 2；④e 1＋e 2与e 1. 答案 ③解析 2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2共线不能作为基底．2．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为_______________________________________________________________．答案 －8解析 当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在λ，使得a ＝λb ，即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝12，k ＝－8.3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 如图，连结AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任一向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础达标1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. 答案 ②④2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________. 答案 AD →解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________________________________________________________________________. 答案11＋λa ＋λ1＋λb 解析 ∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足________．①a >0，b >0；②a >0，b <0；③a <0，b >0；④a <0，b <0. 答案 ③解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .7．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、能力提升8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB＝________.答案110解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b .∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110. 9．如图，已知△ABC 中，AD →＝2DB →，BE →＝2EC →，若F 为DE 的中点，AF →＝λAB →＋μAC →，则λ＝________，μ＝________.答案 12 13解析 AF →＝AD →＋DF →＝23AB →＋12DE →＝23AB →＋12(DB →＋BE →)＝23AB →＋12(13AB →＋23BC →)＝23AB →＋16AB →＋13(AC →－AB →)＝12AB →＋13AC →， ∴λ＝12，μ＝13.10．如图，△ABC 中，CD DA ＝AE EB ＝12，若BC →＝a ，CA →＝b ，DE →＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________.答案 0解析 ∵DE →＝AE →－AD →＝13AB →－23AC →＝13(AC →＋CB →)＋23CA →＝－13b －13a ＋23b ＝13b －13a ，∴λ＋μ＝－13＋13＝0.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点，∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC→＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b . 三、探究与创新13．如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG GE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →. 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →. ∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高中数学 第二章 平面向量学案 苏教版必修4
第二章平面向量1．平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．2．向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．3．向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．4．平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题． 5．平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.题型一 向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a 、b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa ；(2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；(3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |；(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点． 例1 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线． 解 方法一 假设满足条件的m 存在， 由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，∴i －2j ＝λ(i ＋m j )，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二 假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， 故1·m －1·(－2)＝0，解得m ＝－2， ∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．跟踪演练1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.题型二 向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos θ＝a ·b|a ||b |，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标． 2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角． 例2 已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值． (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16，设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.跟踪演练2 已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析 建立如图所示的直角坐标系．∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，又∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12. 题型三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a |2＝a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a |＝x 2＋y 2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．例3 设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值． 解 方法一 ∵|3a －2b |＝3，∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.方法二 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． ∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1. ∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝3x 1－2x 22＋3y 1－2y 22＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13.∴|3a ＋b |＝3x 1＋x 22＋3y 1＋y 22＝9＋1＋6×13＝2 3.跟踪演练3 设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |. 解 f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. ∵0<|a|≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝8＋42＝22＋ 2.1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．。
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B （终点）aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aA B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
数学苏教版必修4学案：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解． 如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一 基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二 待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线． 所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一 学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二 应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ， 则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ， 又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ， 所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1， 即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。
必修4平面向量基本定理
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
y
7 4
D
j | ______, 1 1 （1）| i | _____,|
5 | OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
3 i 4 j OD _________. 5 i 7 j OC ________,
3、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点. 参考答案： A
D
M
C
e2
N
取基底 AB e1, AD e2 ,则有
1 DC e1 ; 2
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 2 e1 e2 2
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 A2 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
A
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。 那么i =（1 ， 0） j =( 0 ， 1 ) 0 =（ 0 ， 0）
y
a
y
A
j
O
i
x
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
平面向量基本定理(教案)
《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。
2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。
因此本节知识在本章中起承上启下的作用。
3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。
它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。
过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。
情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。
【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.3.2.1
5．已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C，D 及C→D的 坐标. 【导学号：06460055】
【解】 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由题意可得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－ 3，－6)． ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2 ABCD 中，O 为中心，且O→A＝(－1，－1)，则O→B＝ ________；O→C＝________；O→D＝________.
图 2-3-13
【解析】 如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)， 所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)． 【答案】 (1，－1) (1,1) (－1,1)
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t)， 若 OABP 是平行四边形，则O→A＝P→B， 所以33－ －33tt＝ ＝12， ， 此方程组无解； 故四边形 OABP 不可能是平行四边形．
已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题， 其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点 的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于 参数的方程组或不等式组，求解即可.
1．若 a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则 a＋b＝________；a－b＝________；3a＝ ________；－5b＝________.
【解析】 a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－ 20)．
【答案】 (2,6) (－4，－2) (－3,6) (－15，－20)
平面向量坐标的线性运算的方法： 1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量 数乘的运算法则进行. 2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算. 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.1 向量的概念及表示整体设计教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1，图1在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．推进新课新知探究1．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．向量的表示方法(1)字母表示法：如a 、b 、AB →等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．3．零向量长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．4．单位向量模为1个单位长度的向量．5．平行向量方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.规定：0与任一非零向量平行．a 与b 平行，记作a ∥b .6．相等向量长度相等且方向相同的向量，记作a ＝b .7．相反向量长度相等且方向相反的向量．在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，图2在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点、B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，起点要写在终点的前面．已知AB →，线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．用有向线段表示向量的方法是：①起点是A ，终点是B 的有向线段，对应的向量记作：AB →.这里要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．②用字母a ，b ，c ，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a ，书写用 a →)③向量AB →(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a ＞b 就没有意义，而|a |>|b |有意义．注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .如图3.图3又如图4，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．图4这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．应用示例例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.图5因为AB∥CD，所以AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好． 例2见课本本节例1.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．对于相反向量，我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量(opposite vectors)，记作－a ，a 与－a 互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－(－a )＝a .例3见课本本节例2. 图6在以图中的点为端点的所有向量中，与AG →平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？例4下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图7，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.图7证明：∵AB∥CD，∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC. ∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．备课资料备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量…( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图8所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图8A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．如图9所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图9A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →4．如图10所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图10(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．5．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．如图11，O 为正方形ABCD 的中心．图11(1)AB →与CD →是相等向量吗？(2)AO →与AC →是平行向量吗？(3)AD →的长度与AC →的长度之比为________．7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与GF →相等的向量．图128.(1)如果非零向量a 、b 平行，非零向量b 、c 也平行，则a 、c 是否平行？(2)如果非零向量a 、b 共线，非零向量a 、c 也共线，则向量a 、b 是否共线？ 参考答案：1．D 2.C 3.D4．(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →(因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC)．(2)向量EC →的模等于6.5．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．6．(1)不是 (2)是 (3)1∶ 2评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．7．解：与GF →相等的向量有CG →，MH →，NE →.评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.3.1 平面向量基本定理》98
2.3.1平面向量基本定理学习目标： 1、了解平面向量的基本定理及其意义，会用基底表示某一向量2、经历平面向量基本定理的探究过程，培养学生的动手操作能力，让学生体会由特殊到一般，数形结合的思想方法3、在实际应用中，提高学生学习数学的兴趣，加强应用数学的意识学习重点：平面向量基本定理的理解与应用学习难点：平面向量基本定理的发现和形成过程学习过程：一、回顾旧知向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算1、 向量加法的法则有： ，2、 向量共线定理：对于两个向量(0)a a ≠，b ，如果__________________，那么,b a (0)a ≠是共线向量；反之，如果b a 与 (0)a ≠是共线向量，那么______________________向量共线定理的主要应用：证明向量共线、点共线二、问题情境情境1 研究火箭升空的某一时刻的速度的分解．情境2 物理中力的分解．三、新知探究探究：平面中任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？活动：设1e ，2e 是平面内不共线的两个向量，a 是平面内的任一向量，请你任意画出一个向量a ，作图找出a 与1e ，2e 的关系由作图可得1122a e e λλ=⋅+⋅，于是我们有以下定理： 1e 2e平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。
一个平面向量a 用一组基底1e 、2e 表示成a =11e λ22e λ的形式，我们称它为a 的 ，当1e 、2e 所在的直线相互垂直时，这种分解称为a 的 。
问题：1、基底1e 、2e 的选择唯一吗？2、基底1e 、2e 给定时，向量a 分解形式唯一吗？3、若1e ，2e 不共线，且11220e e λλ=⋅+，则1λ，2λ为何值？思考：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？四、数学应用例1、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a ,=−→−AD b ,试用向量a ,b 表示−→−MC ，−→−MA ，−→−MB 和−→−MD ．变式：若AC =a ,BD =b ，则AB = ，AD = （用a 、b 表示） 例2、设1e ,2e 是平面内的一组基底，如果−→−AB =31e -22e ，−→−BC =41e 2e ,−→−CD =81e -92e ．求证：A ，B ，D 三点共线．变式：设12,e e 是两个不共线的向量，已知−→−AB =21e k 2e ,−→−CB =1e 32e ,−→−CD =21e -2e ，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．课堂练习1、若1e ，2e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）2、如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，则斜面对物体的摩擦力→f 的大小为 ，方向为BC a =，3、设,P Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，DA b =，并且,a b 不是共线向量，试用基底,a b 表示向量PQ五、课堂反思 121212*********..3246.33.A e e e e B e e e e C e e e e D e e e +---+++和；和；和；和；。
高中数学2.3.1 向量的坐标表示(一) 教案(苏教版必修4)
第 6 课时： 2.3.1向量的坐标表示（一）【三维目标】：一、知识与技能1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；3.能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
二、过程与方法1.在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。
2.通过练习使学生对平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
3.通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养【教学重点与难点】：重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点：平面向量基本定理的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a ,=−→−AD b ,试用向量a ,b 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→−MD 。
结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？二、研探新知1.共面向量定理【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？教师引导学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量1e 2e aC−→−OA =1e −→−OM =1λ1e −→−OC =a =−→−OM +−→−ON =1λ1e +2λ2e−→−OB =2e −→−ON =2λ2e平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理.【注意】：（1）1e ,2e 均非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.（2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；1λ，2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量（3）由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（4）20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．基底：我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式，我们称它为向量a的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.3.1 平面向量基本定理》6
教学设计
2．平面向量根本定理
错误!e1－5e2且A、B、C三点共线，
1求实数m的值；
2试用向量错误!e1－5e2－3e1－e2
＝m－3e1－4e2，
∴2e1－2e2＝λ[m－3e1－4e2]，
故有错误!错误!
2由上知，错误!＝7e1－5e2，根据平面向量根本定理，存在惟一的实数，t，使得错误!＝错误!＋t错误!
∴7e1－5e2＝e1＋e2＋t3e1－e2．
错误!错误!
∴错误!＝－2错误!＋3错误!
解题反思：①三点共线的等价条件是什么？
②向量相等，对应向量的系数相等．
设计意图：表达解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识任意共线三点A，B，C，满足错误!＝错误!＋t错误!，那么＋t＝1的进一步理解．5小结：
a．平面向量根本定理的内容．
b．对根本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．c．根本定理的作用是什么？
d．定理中蕴涵着哪些数学思想？。
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第5课时§2.3.1 平面向量基本定理
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
二、过程与方法
在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。
三、情感、态度与价值观
通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养。
【教学重点难点】基本定理的得出与证明、基本定理的简单应用、
一、创设情景：
问题1、ABCD的对角线AC和BD交于点M
，，
试用向量，表示。
结论：由作图可得
问题2、对于向量，是否是惟一的一组？
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，
b
AD
a
AB
=
=,
a
b
MD
MB
MA
MC,
,
,
2
2
1
1
e
e
a
λ
λ+
=
a
2
1
,λ
λ
2
1
,e
e
a
2
1
,λ
λ
2
2
1
1
e
e
a
λ
λ+
=
1
e2e
1
e2e
1
λ
2
λ
2
λ=a1e
1
λ=a2e
12
λλ
==0
a=
基底： 正交分解： 三、例题分析：
例1、 已知向量，（如图），求作向量．
例2、 如图，、不共线， ，用、表示．
例3、已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
1e 2e 213
5
2e e
+-
OA OB
()AP
t AB t R =∈OA OB OP ABCD ||2||AB DC =M N DC AB AB
1e =2AD e =1e 2e DC BC MN
1e
2e
例4、 已知在四边形中，，，， 求证：是梯形。
例5、设是两个不共线的非零向量，记，，那么当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线
五、课时小结：
1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。
ABCD 2AB a b =+4BC a b =--53CD a b =--ABCD ,a b ,()OA a OB tb t R ==∈1
()3
OC a b =
+。