1.2完备化

( xn, yn ) < (n+)．求证{xn}收敛．
泛函分析题 1_2 完备化 20070501
泛函分析题 1_2 完备化 p13 1.2.1 (空间 S) 令 S 为一切实(或复)数列 x = ( 1, 2, ..., n, ... ) 组成的集合，在 S 中定义距离为 (x, y) = k 1 (1/2k) · | k k |/(1 + | k k | )， 其中 x = ( 1, 2, ..., k, ... )， y = ( 1, 2, ..., k, ... )． 求证 S 为一个完备的距离空间． 证明：(1) 首先证明是 S 上的距离． 的非负性和对称性是显然的； 因为实函数 f (t) = t /(1 + t ) = 1 1/(1 + t )在[0, +)严格单调增， 故对任意 a, b，有 | a |/(1 + | a | ) + | b |/(1 + | b | ) | a | /(1 + | a | + | b | ) + | b |/(1 + | a | + | b | ) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b | ) ( | a + b | )/(1 + | a + b | )， 由此可立即得知在 S 上满足三角不等式． 所以，是 S 上的距离，从而(S, )为距离空间． (2) 设{xn}是 S 中的一个 Cauchy 列，记 xn = ( 1(n), 2(n), ..., k(n), ... )． 则k+，(1/2k) · | k(n) k(m) |/(1 + | k(n) k(m) | ) (xn, xm) 0 (m, n )． ， 因此| k(n) k(m) | 0 (m, n )． 故{k(n)}n 1 是(或)中的 Cauchy 列，因此也是收敛列． 设k(n) k ( n )，并设 x = ( 1, 2, ..., k, ... )，则 xS． 下面证明(xn, x) 0 ( n )． > 0，存在 K+，使得k > K (1/2k) < /2． 又存在 N+，使得n+，当 n > N 时，k K 都有| k(n) k | < /2． 此时，(xn, x) = k 1 (1/2k) · | k(n) k |/(1 + | k(n) k | ) = k K (1/2k)· | k(n) k |/(1 + | k(n) k | ) + k > K (1/2k)· | k(n) k |/(1 + | k(n) k | ) k K (1/2k)· | k(n) k | + k > K (1/2k) < ( /2) · k K (1/2k) + /2 < /2 + /2 = ． 所以，xn x ( n )． 因此 S 中的 Cauchy 列都是收敛列，故 S 为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, )上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串 收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{xn}是 X 中的一个 Cauchy 列，且{xn}有一个收敛子列{xn(k)}，记 xn(k) x． > 0，存在 N+，使得m, n N 都有(xn, xm) <备化 20070501
对此，存在 K+，使得k K 都有(xn(k), x) < /2． 令 L = max{K, N}，则(xn(L), x) < /2，且 n(L) L N． 当 n N 时，(xn, xn(L)) < /2． 故(xn, x) (xn, xn(L)) + (xn(L), x) < /2 + /2 = ． 所以，xn x ( n )． 因此{xn}是 X 中的收敛列． 1.2.3 设 F 是只有有限项不为 0 的实数列全体，在 F 上引进距离 (x, y) = sup k 1 | k k |， 其中 x = {k }F，y = {k }F．求证(F, )不完备，并指出它的完备化空间． 证明：(1) 首先，容易验证(F, )是度量空间． n+，令 xn = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 0, 0, ...}，则 xnF． 当 m > n 时， (xn, xm) = sup k 1 | k(n) k(m) | = max{1/(n + 1), 1/(n + 2), ..., 1/m} = 1/(n + 1) 0 ( n )． 故{xn}为 F 中的 Cauchy 列． 下面证明{xn}不是 F 中的收敛列． 若不然，设 xn xF．记 x = ( 1, 2, ..., N, 0, 0, ... )． 当 n > N 时，总有(xn, x) | 1/(N + 1) – 0 | = 1/(N + 1)， 故(xn, x)不收敛于 0，这与前面的假设 xn x 相矛盾． 因此，{xn}不是 F 中的收敛列． 这就说明了(F, )不是完备的． (2) 从前述的{xn}的构造可以看出， 我们可以任意选定一个收敛于 0 的实数列{uk}， 令 yn = {u1, u2, ..., un, 0, 0, ...}，则{yn}必为 F 中的 Cauchy 列． 我们设 c0 是收敛于 0 的实数列全体，在 c0 上引进距离 (x, y) = sup k 1 | k k |， 其中 x = ( 1, 2, ..., k, ... )c0，y = ( 1, 2, ..., k, ... )c0． 首先我们证明(c0, )是度量空间．事实上，我们只需要证明三角不等式． 设 x = (k), y = (k ), y = (k )c0，则 (x, y) = sup k 1 | k k | sup k 1 (| k k | + | k k | ) sup k 1 | k k | + sup k 1 | k k | = (x, z) + (z, y)． 所以，(c0, )是度量空间． 显然，(F, )是(c0, )的一个子空间． 现在我们证明(c0, )是完备度量空间． 设{xn}是(c0, )中的一个 Cauchy 列，记 xn = ( 1(n), 2(n), ..., k(n), ... )． k+，因为(xn, xm) = sup k 1 | k(n) k(m) | | k(n) k(m) |， 故{k(n)}n 是中的 Cauchy 列，故为收敛列． 设k(n) k ( n )．并设 x = ( 1, 2, ..., k, ... )． 下面证明 x c0．
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> 0，存在 N+，使得m, n N，有(xn, xm) < /2． 特别地，(xn, xN) < /2． 因此，k+，有| k(n) k(N) | < /2． 令 n ，得| k k(N) | /2． 而 xN = (1(N), 2(N), ..., k(N), ... )是一个收敛于 0 的数列． 故存在 K+，使得k K，| k(N) | < /2． 因此，| k | | k k(N) | + | k(N) | < /2 + /2 = ． 即 x = ( 1, 2, ..., k, ... )为一个收敛于 0 的数列，因此，x c0． 下面证明{xn}是 c0 中收敛于 x 的点列． > 0，存在 N+，使得m, n N，有(xn, xm) < ． 因此k+，有| k(n) k(m) | < ．令 m ，得| k(n) k | ． 所以，(xn, x) ．这样就证明{xn}收敛于 x． 综上所述，我们可以把(F, )嵌入到完备度量空间(c0, )中． 最后，我们只要再证明 F 是 c0 的稠密子集即可． 事实上，对照(2)的开始部分，对于任意 x = ( 1, 2, ..., k, ... )c0， 令 yn = {1, 2, ..., n, 0, 0, ...}，则{yn}是 F 中的点列，而且是 c0 中的 Cauchy 列． 根据 c0 的完备性的证明，我们知道，{yn}必然收敛于 x = ( 1, 2, ..., k, ... )． 所以 F 在(c0, )中稠密． 根据教材 p11 命题 1.2.5，(c0, )是(F, )的完备化． 1.2.4 求证：[0, 1]上的多项式全体按照距离 1( p, q ) = [0, 1] | p(x) q(x) | dx ( p, q 是多项式) 是不完备的，并指出它的完备化空间． 证明：记[0, 1]上的多项式全体为 P，连续函数全体为 C，Lebesgue 可积函数全体 为 L 1，则有 P C L 1．记 C 上的度量为( f, g ) = max x[0, 1] | f(x) g(x) |． (1) 令 fn(x) = arctan( x 1/2 )，h(x) = (/2) sign( x 1/2 )，x[0, 1]． 则 fnC，且{ fn}在(L 1, 1)中收敛于 h，因此{ fn}是(L 1, 1)中的基本列． 根据数学分析中的 Weierstrass 定理，P 在(C, )中稠密． 故n+，存在 pnP，使得( pn, fn) < 1/n． 因此1( pn, fn) = [0, 1] | pn(x) fn(x) | dx ( pn, fn) < 1/n． 所以，1( pn, h) 1( pn, fn) + 1( fn, h) 0 ( n )． 这说明{ pn}是(L 1, 1)中的收敛列，从而{ pn}是(L 1, 1)中的基本列． 因此{ pn}也是(P, 1)中的基本列． 假如{ pn}在(P, 1)中收敛于 gP，则{ pn}在(L 1, 1)中也收敛于 gP． 故 g 和 h 是(L 1, 1)中的同一点(几乎处处相等)． 显然，h 不能与连续函数几乎处处相等，故 hC，因此 hP．从而 gP．矛盾． 这样我们就找到了(P, 1)中的基本列，而它不是(P, 1)中的收敛列． 所以(P, 1)不完备．