积分基本公式
基本积分公式
基本积分公式在本文中，我们将介绍24个基本积分公式，这些公式可用于求解多种函数的积分。
下面是这些公式的详细介绍：1.常数函数积分公式：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数2.幂函数积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，n为实数，C 为常数3.指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数4.对数函数积分公式：∫dx/x = ln，x， + C，其中C为常数5.反三角函数积分公式：∫(1- x^2)^0.5 dx = (sin^(-1)x + C，其中C为常数6.三角函数积分公式：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C∫tan x dx = -ln，cos x， + C∫cot x dx = ln，sin x， + C∫sec x dx = ln，sec x + tan x， + C∫csc x dx = -ln，csc x + cot x， + C7.双曲函数积分公式：∫sinh x dx = cosh x + C∫cosh x dx = sinh x + C∫tanh x dx = ln，cosh x， + C∫coth x dx = ln，sinh x， + C∫sech x dx = arc tanh(sech x) + C∫csch x dx = -arc coth(csch x) + C8.反双曲函数积分公式：∫(x^2 + 1)^0.5 dx = sinh^(-1)x + C∫(x^2 - 1)^0.5 dx = cosh^(-1)x + C∫(1 - x^2)^0.5 dx = (1 - x^2)^0.5 + C9.反函数积分公式：∫f'(x)/f(x) dx = ln，f(x)， + C，其中f(x)的反函数为f^(-1)(x)10.正切函数积分公式：∫sec^2x dx = tan x + C11.立方函数积分公式：∫x^3 dx = (x^4)/4 + C12.正切平方函数积分公式：∫sec^2x dx = tan x + C13.正余弦乘积函数积分公式：∫sin x cos x dx = (sin^2 x)/2 + C = (cos^2 x)/2 + C 14.正余弦商函数积分公式：∫(cos x)/(sin x) dx = ln，tan x， + C15.正切平方函数积分公式：∫tan^2x dx = tan x - x + C16.正切立方函数积分公式：∫tan^3x dx = (tan^2 x)/2 - ln，cos x， + C17.反余弦函数积分公式：∫dx/(1 - x^2)^0.5 = sin^(-1)x + C18.余弦平方函数积分公式：∫cos^2x dx = (x + (sin 2x)/2)/2 + C19.正弦平方函数积分公式：∫sin^2x dx = (x - (sin 2x)/2)/2 + C20.幂函数乘指数函数积分公式：∫x^n e^x dx = x^n e^x - n∫x^(n - 1)e^x dx，其中n为非负整数21.平方差函数积分公式：∫(a^2 - x^2)^0.5 dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2)arcsinx/a + C，其中a为正数，C为常数22.x的逆函数积分公式：∫f^(-1)(x) dx = xf^(-1)(x) - ∫(f^(-1)(x))/x dx，其中f^(-1)(x)为f(x)的逆函数23.分式函数积分公式：∫f'(x)/f(x) dx = ln，f(x)， + C，其中f(x)为形式为a^x的函数24.超越函数积分公式：∫e^x*f(x) dx = e^x*F(x) - ∫e^x*F'(x) dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数以上是基本积分公式的详细介绍，这些公式可用于求解各种函数的积分问题。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，而掌握基本的积分公式是进行积分运算的基础。
以下为您介绍三十个常见且重要的基本积分公式。
公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这意味着对于任何常数 k，其积分结果是 k 乘以 x 再加一个常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。
当 n 为正整数时，这个公式可以通过不断求导的逆过程来理解。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C特别要注意绝对值符号，因为对数函数的定义域要求 x 不为 0 。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）不同底数的指数函数积分形式略有不同。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分需要借助对数函数来表示。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分形式。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分相对复杂一些。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分。
公式十二：∫sec² x dx ＝ tan x ＋ C正割函数平方的积分。
公式十三：∫csc² x dx ＝ cot x ＋ C余割函数平方的积分。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割函数与正切函数乘积的积分。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割函数与余切函数乘积的积分。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
定积分基本计算公式
定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。
它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。
下面将介绍一些定积分基本计算公式。
1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
积分基本公式和法则
积分基本公式和法则积分是微积分学中非常重要的概念之一，它是求解函数的面积、曲线的长度和平面的体积的工具。
积分的基本公式和法则是我们进行积分运算的基础，下面将介绍一些常见的积分基本公式和法则。
1.基本积分表达式：a)定积分基本公式：∫1dx = x + C，其中C为常数∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数（n为非负整数，不等于-1）∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数b)不定积分基本公式：∫u(du) = u^2/2 + C，其中C为常数2.基本积分法则：a) 线性性质：对于任意常数a、b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb)基本算术运算法则：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫(Cf(x))dx = C∫f(x)dx，其中C为常数c)分部积分法则：∫(u(x)v'(x))dx = u(x)v(x) - ∫(u'(x)v(x))dxd)替换法则：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du，其中u=g(x)3.基本的积分求导关系：a) 反函数关系：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则∫f(x)dx = x∙f(x) - ∫xf'(x)dx + C，其中C为常数b) 对数函数：∫(1/x)dx = ln，x， + Cc) 指数函数：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a为常数且a>0且a≠1d) 双曲函数：∫sinh(x)dx = cosh(x) + C，∫cosh(x)dx = sinh(x) + C，∫tanh(x)dx = ln，cosh(x)， + C，∫coth(x)dx = ln，sinh(x)，+ C以上仅是一些基本的积分公式和法则，实际上积分的应用非常广泛，涉及到各种函数和曲线的求解。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
积分表24个公式
积分表24个公式积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算曲线下的面积，解决各种数学和物理问题。
在本文中，我将介绍24个与积分相关的常见公式。
这些公式涵盖了微积分中的不同应用领域，帮助我们理解积分的重要性和灵活性。
1. 定积分的定义公式：∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]区间内的定积分，表示曲线下的面积。
2. 反导数公式：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C，其中C为常数。
3. 线性性质公式：∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx。
4. 反函数求积分公式：若F(x)是f(x)的一个反函数，则∫f(x) dx = F^{-1}(x) + C。
5. 分部积分公式：∫u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx，可以将一个积分转化为另一个积分。
6. 第一类换元积分公式：∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du，u = g(x)。
7. 第二类换元积分公式：∫f(g(x)) dx = ∫f(u) |g'(x)| dx，u = g(x)。
8. 倒置积分公式：∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx，改变积分区间时改变积分符号。
9. 对称性公式：若f(x)在某区间关于x轴对称，则∫[-a, a] f(x) dx = 0。
10. 积分中值定理公式：若f(x)在[a, b]上连续，则存在c∈(a, b)，使得∫[a, b] f(x) dx = f(c)(b-a)。
11. 反常积分定义公式：若f(x)在[a, b]上有界，则∫[a, b] f(x) dx = lim_{n→∞} ∫[a,b] f(x) dx。
12. 曲边梯形面积公式：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b-a)((f(a)+f(b))/2)，对应梯形近似法则。
基本积分公式
基本积分公式
基本积分公式是指求解某一类微分方程的非常重要的数学工具，它是
由伟大的法国数学家约瑟夫·黎赛尔提出的，也称为“黎赛尔积分”。
基
本积分公式可以表示为：给定复变函数f(x)，区间[a,b]上可导，则。
∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a).
这里F(x)是f(x)的一个原函数，F'(x)=f(x)。
基本积分公式具有一
般性，它不仅可以解决定积分问题，还可以求解不定积分。
它的使用很简单，只需通过求导来求得积分函数F(x)，然后求出原积分所需的函数值
即可。
基本积分公式被用来求解微分方程的积分。
在求解定积分的时候，
基本积分公式也可以被用来求解定积分，只需计算出积分函数F(x)即可。
使用基本积分公式可以有效地解决微分方程及定积分，使理论准确、推理
规范，计算运算简便，结果可靠，是解算某类微分方程的重要方法。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
积分公式则是解决积分问题的有力工具。
下面，我们就来详细介绍一下高等数学中的积分公式。
一、不定积分的基本公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数，C 为积分常数）2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫lnx dx ＝ xlnx x ＋ C∫log_a x dx ＝（1 ／ lna)x(log_a x 1) ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）二、三角函数的积分公式1、∫sinx dx ＝ cosx ＋ C2、∫cosx dx ＝ sinx ＋ C3、∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C4、∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C5、∫secx dx＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C6、∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C三、反三角函数的积分公式1、∫arcsinx dx ＝ xarcsinx ＋√（1 x^2) ＋ C2、∫arccosx dx ＝xarccosx √（1 x^2) ＋ C3、∫arctanx dx ＝ xarctanx （1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C4、∫arccotx dx ＝ xarccotx ＋（1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C四、有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如P(x) ／Q(x) 的有理函数，其中 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，可以通过多项式的除法将其化为一个多项式和一个真分式之和。
真分式可以通过部分分式分解的方法化为较简单的分式，然后再进行积分。
基本积分公式直接积分法
基本积分公式直接积分法1.幂函数的积分公式：- 若a≠-1，则∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C- 若a=-1，则∫1/xdx=ln，x，+C- 若a≠0，则∫a^xdx=1/(lna)*a^x+C2.指数函数的积分公式：- ∫e^xdx=e^x+C3.三角函数的积分公式：- 若n为奇数，则∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫sin^nx dx= -(1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx- 若n为奇数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- 若n为偶数，则∫cos^nx dx= (1/(n-1))*cos^(n-1)x*sinx +(n-2)/(n-1)∫cos^(n-2)x dx- ∫secxdx=ln，secx+tanx，+C- ∫cscxdx=ln，cscx-cotx，+C- ∫secxtanxdx= secx+C- ∫cscxcotxdx= -cscx+C4.反三角函数的积分公式：- ∫1/(√1-x^2)dx = sin^(-1)x + C- ∫1/(1+x^2)dx = tan^(-1)x + C- ∫1/(x√x^2-1)dx = sec^(-1)x + C这些基本积分公式为直接积分法提供了基础工具，也为我们求解各类函数的不定积分提供了便利。
直接积分法主要根据基本积分公式进行计算，其基本步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择相应的基本积分公式。
2.对函数进行化简和分解，将其转化为基本积分公式形式。
3.由基本积分公式计算出积分结果。
4.在计算结果中加上积分常数C。
以下是一些例题来演示直接积分的具体过程：例题1：计算∫(3x^2 + 2x + 1)dx解：根据基本积分公式∫x^ndx=(1/n+1)x^(n+1)+C∫(3x^2 + 2x + 1)dx =(1/3+1)x^(3+1)+(1/2+1)x^(2+1)+x^(1+1)+C=(1/4)x^4+(1/3)x^3+x^2+C例题2：计算∫sin^3xdx解：根据基本积分公式∫sin^nx dx= (-1/(n-1))*sin^(n-1)x*cosx +(n-2)/(n-1)∫sin^(n-2)x dx∫sin^3xdx = (-1/(3-1))*sin^(3-1)x*cosx +(3-2)/(3-1)∫sin^(3-2)x dx= (-1/2)*sin^2x*cosx +(1/2)∫sinxdx= (-1/2)*sin^2x*cosx -(1/2)cosx + C通过以上例题，我们可以看到直接积分法的基本原理和步骤。
26个基本积分公式
26个基本积分公式基本积分公式是数学中常用的一组公式，用于求解定积分。
以下是26个基本积分公式：1. ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1。
2. ∫ 1/x dx = ln|x| + C，其中x不等于0。
3. ∫ e^x dx = e^x + C。
4. ∫ a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a为常数且不等于1。
5. ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C。
6. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C。
7. ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C。
8. ∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
9. ∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C。
10. ∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C。
11. ∫ 1/(x^2 + a^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C。
12. ∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C。
13. ∫ 1/(x√(x^2 - a^2)) dx = (1/a)arcsec(|x|/a) + C。
14. ∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C。
15. ∫ 1/(a^2 - x^2) dx = (1/2a)ln|((a+x)/(a-x))| + C。
16. ∫ e^axsin(bx) dx = (e^ax/a^2 + b^2)e^axsin(bx) - (e^ax/a)(be^axcos(bx)) + C。
17. ∫ e^axcos(bx) dx = (e^ax/a^2 + b^2)e^axcos(bx)+ (e^ax/a)(be^axsin(bx)) + C。
18. ∫ sin^n(x) cos(x) dx = - (1/(n+1)) sin^(n+1)(x) + C，其中n不等于-1。
常见积分公式24个
常见积分公式24个积分是微积分的一个重要概念，它是对函数的一个连续求和过程。
在微积分中，我们常常使用积分公式来计算各种函数的积分，以解决实际问题。
下面是常见的24个积分公式，详细介绍每个公式的积分计算过程。
1. $∫dx=x+C$：对任意常数 $C$，常数的积分是它自己，即对$x$ 的积分是 $x$ 加上一个常数 $C$。
2. $∫x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$：这个公式称为幂函数的积分公式，其中 $n$ 是不等于 $-1$ 的实数。
3. $∫e^xdx=e^x+C$：这是指数函数的积分公式，它的导数是 $e^x$。
4. $∫a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$：这是对数函数的积分公式，其中 $a$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常数。
5. $∫\frac{1}{x}dx=\ln，x，+C$：这是倒数函数的积分公式，其中 $x$ 不等于 $0$。
6. $∫\sin xdx=-\cos x+C$：这是正弦函数的积分公式，它的导数是 $-\cos x$。
7. $∫\cos xdx=\sin x+C$：这是余弦函数的积分公式，它的导数是$\sin x$。
8. $∫\frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$：这是正切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\cos^2 x}$。
9. $∫\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$：这是余切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sin^2 x}$。
10. $∫\sec x\tan xdx=\sec x+C$：这是正割函数的积分公式，它的导数是 $\sec x\tan x$。
11. $∫\csc x\cot xdx=-\csc x+C$：这是余割函数的积分公式，它的导数是 $\csc x\cot x$。
12. $∫\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$：这是反正弦函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
积分基本公式
2.基本积分公式表(1)∫ 0dx=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠ -1， x>0)(4)(a>0,a≠ 1)(5)(6)∫ cosxdx=sinx+C(7)∫ sinxdx=-cosx+C(8)∫ sec2xdx=tanx+C(9)∫ csc2xdx=-cotx+C(10)∫ secxtanxdx=secx+C(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C(12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注． (1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对 x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，则(ln|x|)' =(ln(- x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理 .(链锁法则 )设 z=f(y)，y= (x)分别在点 y0= (x0)与 x0可导，则复合函数 z=f[ (x)] 在x0可导，且或(f o )' (x0)=f '(y0) '(x0)．证．对应于自变量 x0处的改变量x，有中间变量 y 在 y00y 及因= (x )处的改变量变量 z 在 z0=f(y0) 处的改变量 z，（注意y 可能为 0）．现z=f (y0) y+v， y= (x0) x+u，且令，则v=y，（注意，当y=0 时， v=y 仍成立）． y 在 x0可导又蕴含y 在 x0连续，即y=0．于是=f '(y0) '(x0 )+0 '(x0)=f '(y0 ) '(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的 x=x 0与 y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去 dy 后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x y z复合函数求导的过程：z y x：各导数相乘例 2.3.15 求y=sin5x的导数．解．令 u=5x，则精品文档精品文档y' ==cosu 5=5cos5x．例 2.3.16 求y=lncosx的导数．解．令 u=cosx，则 y=lnu．于是y'．=例 2.3.17 求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因 y=，令u=mlnx，则y=e u．y' ==e u mm 是正整数 n 时，即例 2.3.2．(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x y z u⋯v w复合函数的求导：w v⋯u z y x：各导数相乘(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量 v，u， z， y 等可不必写出，只要做到心中有数．例 2.3.18 求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：df( (x))= f ( (x))d (x)例 2.3.19 求函数y=的微分解． dy =dsin2x=2sinxdsinx精品文档思考题 .请你仔细研究例 2.3.18 的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算设 u=u(x)， v=v(x) 为可导函数， c 是常数，则有公式 (1) (u v)' = u' v'， d(u v) = du dv．公式 (2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．公式 (3) (cu)' = cu'， d(cu) = cdu．公式 (4)，(v 0)．点击此处看公式 (1)－ (4)的证明．例 2.3.11 求y=tanx的导数解． (tanx)' ===sec2x．同理可得 (cotx)' = csc2x．例 2.3.12 求y=secx的导数．解． (secx)' ==secx tanx．同理可得 (cscx)' = cscx cotx．例 2.3.13 求y=(1+4 x)(2x23x3)的导数．解一． y' =(1+4 x) (2x2 3x3)+(1+4x)(2x2 3x3)'=4(2x2 3x3)+(1+4 x)(2 2x 3 3x2)=8x2 12x3+4x 9x2 +16x2 36x3=4x+15x2 48x3解二．因 y =2x2+5x3 12x4，故y' =2 2x+5 3x2 12 4x3=4x+15x2 48x3．例 2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．解． dy=ln xd(x+sinx)+(x+sinx)dln x=ln x(dx+dsinx)+(x+sinx)dx=ln x (dx+cosxdx)+dx=dx．2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义 .设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域 )内有定义， y000，我们称 x=x x0=f(x )．如果 x X x0( 读作 delta)为自变量的改变量，y=f(x) f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x) 在点x0可导(或可微 )，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x 的导数 (或微商 )．记作．因 x=x x0，x=x0+ x，故还有．此时，曲线 y=f(x)在点 (x0， f(x0))的切线方程是．注意 . x 可正可负，依x 大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点 x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量 x0+ x 处的函数值 f(x0+ x)；(2)计算函数的改变量 y=f(x0+ x) f(x0 )；(3) 写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例 2.3.1 求常数函数y=c 的导数．解．因 y=y(x+ x) y(x)=c c=0，差商=0，故=0．此处 x 可为任意实数，即常数函数y=c 在任意点 x 处的导数为 0．例 2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=x n在点 x 处的导数．解．因y(x+ x)=( x+ x)n =x n+，y=y(x+ x) y(x)=，故=．特别，当 n=1 时，函数 y=x 在任意点 x 处的导数为1．例 2.3.3 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程．解．在上例中取n=3 可知函数 y=x3在点 x 处的导数为3x2，于是在点 (2， 8)处的切线斜率是： y'(2)=322=12，故曲线 y=x3在 (2,8)处的切线方程是y 8=12 (x 2)12x y 6=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间 X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y'(x)， x X ．于是 y'(x)成为 X 内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x) 的导函数，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c 的导数是 0， y=x 的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或 y 看作一个整体量，就象sinx 中的 sin 一样，绝不能把x 看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表示x 的平方而不写x2．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例 2.3.4，例 2.3.5，例 2.3.6 证明 )例 2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，y=cosx 的导数是 (cosx)' = sinx ．例 2.3.5 y=log a x(0<a 1)的导数是(log a x)' =．特别， (ln x)' = 1/x ．例 2.3.6 指数函数y=a x(0<a 1)的导数是(a x)' =a x lna．特别， ( e x)' =e x．8.导数的导数 -- 二阶导数一般来说，函数y=f(x) 的导数还是以x 为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得 f ' (x) 的导数： (y' )' =[ f ' (x)] ' ，称为 y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x) ，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，⋯的导数，对任意正整数n ，n 阶导数被定义为y(n)=(y(n 1))' ，n=2， 3，⋯统称为函数y 的高阶导数．例 2.3.22 求y=sin x的n阶导数．解． y' =cosx=sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例 2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)= v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t) 则是运动的加速度．例 2.3.24求y =arc tanx的二阶导数y'' ．解． y' =，y'' = (1+x2)2(1+x2)' =．思考题 .对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么 f '' (x)的正或负，反映函数 y=f(x) 的图像的什么性态 .实验题 .选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响 .7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1)c' =0dc= 0(2)( x m)' =mx m-1dx m=mx m-1dx， m R(3)(a x)' =a x lnada x=a x lnadx，0 <a 1( e x )' = e x d e x= e x dx(4) ( a x)' = d a x=，0<a 1log log精品文档(ln x)' =dlnx=(5) (x)' =x d x=xdxsin cos sin cos(6) (x)' =x d x=xdxcos sin cos sin(7) (x)' =2x d x=2xdxtan sec tan sec(8) (x)' =csc2x d x=2xdxcot cot csc(9) (x)' =x x d x=x xdxsec sec tan sec sec tan(10) (x)' = cscx cotx d x=x cotxdxcsc csc csc(11) (arc x)' =darc x=sinsindarc x=cos (12) (arc x)' =cosdarc x=tan(13) (arc x)' =darccotx= tan(14) (arccot x)' =例 2.3.20求 y=arcsin的微分．解．．例 2.3.21 求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分 ( 选学）设 z=f(x， y)是两个自变量x 与 y 的函数， x 与 y 的变化都会引起函数z 的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z 关于一个变量x 的导数就称为 z 关于 x 的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理， z 关于变量 y 的偏导数是=．我们也记．若 z=f(x， y)有连续的偏导数 f x(x，y)， f y(x，y)，则自变量x 与 y 的改变量x 与 y 的线性表达式f x(x，y) x+f y(x， y) y称为 z=f(x， y)在 (x，y) 处对应于x，y 的全微分，记作dz=f x(x，y) x+f y(x， y)y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx= x，dy= y，于是二元函数的微分公式是dz=．例 2.3.30设f(x，y)=xy+x2 2 y3，求．解．=y+2x (把 y 看作常数，对x 求导数 )．=x 6y2 ( 把 x 看作常数，对y 求导数 )．例 2.3.31 求z= e x siny的全微分．解． dz=siny d e x+e x dsiny=siny e x dx+e x cosy dy=e x(sinydx+cosy dy)．例 2.3.32 设x+2y+2z 2=0 确定二元函数 z=z(x，y)，求．解．对方程 x+2y+2z 2=0 两边求微分，则左端得dx+2dy+2dz 2d右端的微分是0，于是解得dz =，由此得，．13.分段函数的导数 ( 选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数 y=f(x)在点 x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0 ，由此f(x0+ x)-f(x0)=[ u( x)+f’(x0)] x，于是[f(x000+ x)-f(x )]=[u( x)+f’(x)] x=0，即f(x0+ x) = f(x0) ．如果记 x=x0+ x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在 x0连续．因此有定理．若函数 y=f(x)在 x0可导，则 f(x)在 x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例 2.3.33 讨论函数在点 x=0 的连续性与可导性．解．因,,故,且 f(0)=e0=1．由此可见f(x)在 x=0 连续．其次，为讨论 f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x 代替x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点 (1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数 y =f(x) 定义在区间 (a,b)内， x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点 x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点 x0的左导数是f-'(x0)=.只有 f+' (x0)与 f-' (x0)都存在且相等时，f(x)在点 x0才可导，且 f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0) ．即有定理．设函数 f(x)在区间 (a,b)内有定义， x0(a,b)．则f '( x0)存在f-' ( x0)与 f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例 2.3.34 讨论函数在 x=0 的可导性．解．首先讨论 f(x)在 x=0 的连续性．因，，f(0)=0 ，故 f(x)在 x=0 连续．其次，因，，故 f(x)在 x=0 可导，且 f '(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时 g(x)在 x=0 不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数： g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出 g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数 g(x)的图像 ,因此 ,原点右侧的“半切线”是不存在的 ,也就是说 ,原点处的右导数是不存在的．1.曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P 点处的切线 , 除 P 点外还交曲线于Q 点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点 P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线 y=f(x) 上的给定点．点 Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点 , 可在 P 的两侧：在右侧时 x>x0；在左侧时 x<x0．动直线 PQ 是曲线的割线．如果动点 Q 无限地逼近定点 P 时 , 动直线 PQ 有一个极限位置 T, 即极限则称 PT 为曲线在 P 点的切线．为确定切线 PT 的位置 , 或建立 PT 的方程 , 只需确定其斜率．由于 PT 是 PQ 的极限 , 从而 PT 的斜率是 PQ 斜率的极限 , 极限过程是由 Q→ P 产生的．而Q→ P 即 x→ x0．设 PT 对于 x 轴的倾角 (即 x 轴正向逆时针旋转至PT 经过的角 )为 , PT 的斜率为k=tan ．现在割线 PQ 的斜率为：．而切线 PT 的斜率为：(PQ 的斜率 )=,由此得切线PT 的方程是： y f(x0)=k( x x0)．。
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2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y (n )=(y (n -1))' ，n =2，3，… 统称为函数y 的高阶导数．例2.3.22 求y =sin x 的n 阶导数． 解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y (n )=sin．例2.3.23 若s =s (t )为质点运动的路程函数，则s' (t )=v (t )是运动速度．又,二阶导数s''(t )=v' (t )=a (t )则是运动的加速度．例2.3.24 求y =arc tan x 的二阶导数y'' ． 解．y' =，y'' =-(1+x 2)-2(1+x 2)' =．思考题.对于可导函数y =f (x )来说，导数f ' (x )表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x )还可导，那么f '' (x )的正或负，反映函数y =f (x )的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1) c' =0 (2) ( x m )' =mx m -1 (3) (a x )' =a x ln a (e x )' =e x(4) (loga x )' =d c=0d x m =mx m-1d x ，m ∈R d a x =a x ln a d x ，0 <a ≠1 de x =e x d xdloga x =，0<a ≠1(ln x )' =(5) (sin x )' =cos x (6) (cos x )' =-sin x (7) (tan x )' =sec 2x (8) (cotx )' =-csc 2x (9) (sec x )' = sec x tanx(10) (cscx )' = -csc x cot x (11) (arc sinx )' =(12) (arccosx )' =-(13) (arctanx )' =(14) (arccot x )' =-dln x=dsin x=cos x d xdcosx=-sin x d xdtan x=sec 2x d x dcot x=-csc 2x d x dsec x=sec x tan x d x dcsc x=-cscx cot x d x darc sin x=darc cosx=darc tanx=darccot x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x 0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x 0(a,b)．则f '( x0)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。