积分基本公式

2.基本积分公式表

(1)∫0d x=C

(2)=ln|x|+C

(3)(m≠-1，x>0)

(4)(a>0,a≠1)

(5)

(6)∫cos x d x=sin x+C

(7)∫sin x d x=-cos x+C

(8)∫sec2x d x=tan x+C

(9)∫csc2x d x=-cot x+C

(10)∫sec x tan x d x=sec x+C

(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C

(12)=arcsin x+C

(13)=arctan x+C

注．(1)不是在m=-1的特例．

(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则

(ln|x|)' =(ln(-x))' =.

(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6. 复合函数的导数与微分

大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．

定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且

或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．

证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现

∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，

且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是

=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)

为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：

(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式

，

其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．

(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z

复合函数求导的过程：z→−y →−x

：各导数相乘

例2.3.15求y=sin5x的导数．

解．令u=5x，则y=sin u．于是

y' ==cos u⋅5=5cos5x．

例2.3.16求y=lncos x的导数．

解．令u=cos x，则y=ln u．于是

．

y'

=

例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．

解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．

y' ==e u⋅m⋅

m是正整数n时，即例2.3.2．

(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：

复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w

复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x

：各导数相乘

(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．

例2.3.18求的导数

解．

=．

(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)

例2.3.19求函数y=的微分

解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x

=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．

思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.

5. 导数与微分的四则运算

设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有

公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．

公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．

公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．

公式(4)，(v≠0)．

点击此处看公式(1)－(4)的证明．

例2.3.11求y=tan x的导数

解．(tan x)' =

==sec2x．

同理可得(cot x)' =-csc2x．

例2.3.12求y=sec x的导数．

解．(sec x)' =

=sec x tan x．

同理可得(csc x)' =-csc x cot x．

例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．

解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'

=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)

=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3

解二．因y =2x2+5x3-12x4，故

y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．

例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．

解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x

=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x

=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x

=d x．

2. 导数的定义

从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.

定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，

∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．

如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作