§2.3多元线性回归模型的参数估计Estimationof(精)
计量经济学 多元线性回归模型及参数估计 ppt课件
i
)
i 1 n
E(X
ik i )
0 0 0
i1
i 1
i1
0
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
二、多元线性回归模型的参数估计
1.普通最小二乘估计
随机抽取被解释变量和解释变量的n组样本观测值
X i 1 ,X i 2 , ,X i, Y k i i 1 , 2 , , n
则有
YX ˆe
其中
Y 1
Y
Y2
Y n
1 X 1
X11
X21
X12
X22
X1k X2k
1 Xn1
Xn2
Xnk
n(k1) 1
e
e2
e n
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
2.多元线性回归模型的基本假定(见教材P64-65)
习惯上，把常数项看成为一个虚变量（记作Xio） 的系数，在参数估计过程中该虚变量的样本观测值 始终取1（即Xi0 ≡1）。
这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）。
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
• 多元线性回归模型的矩阵表达式为： 注意这里的符号
YX
和教材P63的对 应关系。
其中
Y
Y Y
一、多元线性回归模型及其基本假定 二、多元线性回归模型的参数估计 三、OLS参数估计量的统计性质 四、样本容量问题 五、多元线性回归模型实例
计量经济学 多元线性回归模型及参 数估计
一、多元线性回归模型及其基本假定
• 由于：
– 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原 因变量的影响；
– “从一般到简单”的建模思路。
秩(X)=k+1，即Xn×(k+1)为列满秩矩阵。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量（被预测或解释的变量），X1,X2,...,Xn表示自变量（用于预测或解释因变量的变量），β0,β1,β2,...,βn表示模型的参数，ε表示误差项。
参数估计就是指通过样本数据来估计模型中的参数。
在多元线性回归中，常用的参数估计方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和。
为了评估多元线性回归模型的显著性，可以进行假设检验。
最常用的假设检验是利用F检验来检验整个回归模型的显著性。
F检验的原假设是回归模型中所有自变量的系数都等于零，即H0:β1=β2=...=βn=0，备择假设是至少存在一个自变量的系数不等于零，即H1:β1≠β2≠...≠βn≠0。
F统计量的计算公式为：F=(SSR/k)/(SSE/(n-k-1))其中，SSR表示回归平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，k表示自变量的个数，SSE表示误差平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，n表示样本容量。
根据F统计量的分布特性，可以计算得出拒绝原假设的临界值，若计算出来的F统计量大于临界值，则可以拒绝原假设，认为回归模型是显著的，即至少存在一个自变量对因变量有显著影响。
除了整体的回归模型显著性检验，我们还可以进行各个自变量的显著性检验。
每一个自变量的显著性检验都是基于t检验。
t检验的原假设是自变量的系数等于零，即H0:βi=0，备择假设是自变量的系数不等于零，即H1:βi≠0。
t统计量的计算公式为：t = (βi - bi) / (SE(βi))其中，βi表示模型中第i个自变量的系数估计值，bi表示模型中第i个自变量的理论值（一般为零），SE(βi)表示第i个自变量的系数的标准误。
根据t统计量的分布特性，可以计算得出对应自由度和置信水平的临界值，若计算出来的t统计量的绝对值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为该自变量是显著的，即对因变量有显著影响。
第三章 多元线性回归模型的参数估计(2)-文档资料
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
上述假设的矩阵符号表示式：
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩
=k+1，即X满秩。
假设2，
E (μ)
E
1
E (1 )
0
n E( n )
E (μμ )
E
1
n
1
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
2
i E(i )
假设3，E(X’)=0，即
E
X 1i i
X 1i E(i )
0
X Ki i X Ki E(i )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I)
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变
量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的 均值E(Y)的变化;
或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的
“直接”或“净”（不含其他变量）影响。
多元线性回归模型的参数估计
在最小二乘法基础上，对不同的观测值赋予不同的权重，以调整其 对回归参数估计的影响。
广义最小二乘法（GLS）
考虑自变量之间的相关性，通过转换自变量和因变量来消除自变量 之间的多重共线性影响。
03
参数估计的方法
普通最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差 平方和来估计参数。在多元线性回归模型中，普通最小二 乘法通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
模型选择
选择多元线性回归模型作 为预测模型，以商品价格 和用户评价作为自变量， 销量作为因变量。
参数估计
使用最小二乘法进行参数 估计，通过最小化误差平 方和来求解回归系数。
模型检验
对模型进行假设检验，确 保满足线性回归的前提假 设。
结果解释与模型评估
结果解释
根据回归系数的大小和符号，解释各自变量对因变量 的影响程度和方向。
05
参数估计的实例分析
数据来源与预处理
数据来源
数据来源于某大型电商平台的销售数据，包括商 品价格、销量、用户评价等。
数据清洗
对原始数据进行清洗，去除异常值、缺失值和重 复值，确保数据质量。
数据转换
对连续变量进行离散化处理，对分类变量进行独 热编码，以便进行回归分析。
模型建立与参数估计
01
02
03
THANKS
感谢观看
04
参数估计的步骤
确定模型形式
确定自变量和因变
量
首先需要确定回归模型中的自变 量和因变量，通常因变量是研究 的响应变量，自变量是对响应变 量有影响的预测变量。
确定模型的形式
根据自变量和因变量的关系，选 择合适的回归模型形式，如线性 回归、多项式回归等。
多元线性回归分析的参数估计方法
多元线性回归分析的参数估计方法多元线性回归是一种常用的数据分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
在多元线性回归中，参数估计方法有多种，包括最小二乘估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。
本文将重点讨论多元线性回归中的参数估计方法。
在多元线性回归中，最常用的参数估计方法是最小二乘估计（Ordinary Least Squares,OLS）。
最小二乘估计是一种求解最优参数的方法，通过最小化残差平方和来估计参数的取值。
具体而言，对于给定的自变量和因变量数据，最小二乘估计方法试图找到一组参数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小。
这样的估计方法具有几何和统计意义，可以用来描述变量之间的线性关系。
最小二乘估计方法有一系列优良的性质，比如无偏性、一致性和有效性。
其中，无偏性是指估计值的期望等于真实参数的值，即估计值不会出现系统性的偏差。
一致性是指当样本容量趋近无穷时，估计值趋近于真实参数的值。
有效性是指最小二乘估计具有最小的方差，即估计值的波动最小。
这些性质使得最小二乘估计成为了多元线性回归中最常用的参数估计方法。
然而，最小二乘估计方法在面对一些特殊情况时可能会出现问题。
比如，当自变量之间存在多重共线性时，最小二乘估计的解不存在或不唯一。
多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，导致在估计回归系数时出现不稳定或不准确的情况。
为了解决多重共线性问题，可以采用一些技术手段，如主成分回归和岭回归等。
另外一个常用的参数估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）。
最大似然估计方法试图找到一组参数，使得给定样本观测值的条件下，观测到这些值的概率最大。
具体而言，最大似然估计方法通过构建似然函数，并对似然函数求导，找到能够最大化似然函数的参数取值。
最大似然估计方法在一定条件下具有良好的性质，比如一致性和渐近正态分布。
但是，在实际应用中，最大似然估计方法可能存在计算复杂度高、估计值不唯一等问题。
32多元线性回归参数估计(精)
(*)
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
4
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 0 ˆ X 11 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k 1
1
可求得
0.0003 0.7226 ( XX) 0.0003 1.35 E 07
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 2 0.0003 1.35 E 07 39648400 0.7770
ˆ 1 ˆ ˆ β 2 ˆ k
i=1,2…n
注意：此 处的 不 包括0
令
则离差形式可用形式下，参数的最小二乘估计结果为 why？
ˆ Y ˆ X ˆ X 0 1 1 k k
10
2的最小二乘估计
随机误差项的方差的估计量为
ˆ2 e e n k 1 n k 1
2 e i
其中，n- k+1是 ei2的自由度。 注意：该估计量为无偏估计量 why？
11
估计参数的方差－协方差矩阵（补充）
的方差－协方差矩阵如下：
Why？
Why？
12
多变量OLS回归线的性质
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
23多元线性回归模型的参数估计
23多元线性回归模型的参数估计多元线性回归是一种机器学习算法，用于预测因变量与多个自变量之间的关系。
其数学模型可表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn + ε其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn为待估计的参数，ε为误差项。
参数估计是指通过样本数据，求解出最佳参数值的过程，常用的方法有最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是使残差平方和最小化，即求解出使误差平方和最小的参数估计。
具体的参数估计方法有多种，下面介绍常用的两种方法：普通最小二乘法和梯度下降法。
1.普通最小二乘法：普通最小二乘法是最常用的参数估计方法，通过最小化残差平方和来估计参数。
其基本思想是求解出使误差平方和最小的参数估计。
数学上，可以通过最小化误差平方和的一阶导数为0来求解最佳参数估计。
2.梯度下降法：梯度下降法是一种优化算法，通过迭代的方式逐步更新参数值，使损失函数逐渐趋于最小值。
参数的更新是根据误差和参数的梯度进行的，即参数的更新方向是误差下降最快的方向。
模型参数估计的步骤如下：1.收集样本数据：收集包含自变量和因变量的样本数据。
2.设定初值：为模型中的参数设定初值。
3.定义损失函数：根据模型定义损失函数，即误差平方和。
4.选择优化算法：选择合适的优化算法进行参数估计，如最小二乘法或梯度下降法。
5.迭代计算：通过迭代计算的方式更新参数值，使误差逐渐减小。
6.收敛判断：判断模型是否已经收敛，即误差是否足够小。
7.输出参数估计值：当模型收敛后，输出最佳参数估计值。
总结：多元线性回归模型的参数估计是通过最小化误差平方和的方法求解最佳参数估计。
常用的方法有普通最小二乘法和梯度下降法。
参数估计的步骤包括收集样本数据、设定初值、定义损失函数、选择优化算法、迭代计算、收敛判断和输出参数估计值。
多元线性回归模型的估计
0.0003 1.35 E 07
于是
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
103 .172 0.7770
⃟正规方程组 的另一种写法
求极小值。 因此，参数的最大或然估计为
βˆ (XX)1 XY
结果与参数的普通最小二乘估计相同
*三、矩估计（Moment Method, MM）
OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正 规方程组
(XX)βˆ XY
并对它进行求解而完成的。
该正规方程组 可以从另外一种思路来导:
求期望 :
解此正规方程组即得参数的MM估计量。 易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。
矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV) 和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础
• 在矩方法中关键是利用了
E(X’)=0
• 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1 个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是 IV。
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组： βˆ (Y Xβˆ )(Y Xβˆ ) 0
得到：
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 XY XXβˆ 0
i 1
i 1
n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
计量经济学多元线性回归模型及参数估计
-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
V
ar
Cov( N
)
E
N
E(N
)N
E(
N
)
E(
NN
)
1
E
n2 1
2
12
n
E
2 1
n1
12 22
n2
1n
2n
n2
2
0
0
0
2
0
2
I
0
0
2
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
E(X
N )
E
1 X 11
ei 0 X i1ei 0 X i2ei 0
X ik ei 0
(*) (*)或（**）是多 元线性回归模型正
(**) 规方程组的另一种 写法。
离差形式的样本回归方程
由于
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik
[Yi (ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik )] 0
????eemm??所以有???eem??mnnee???ee?????????????????????????????????????????????nnnnnnnnmmmmmmmmme??????????????2121222211121121????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????21221122221121221111因为xxxxim?????1为对称等幂矩阵即mm??mmmm???2????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????????????????22112222211211221111??nnnnnmmmememem??????????22112222222111?????1212122??????????????kntrtrtrmtr????????xxxxixxxxi其中符号tr表示矩阵的迹其定义为矩阵主对角线元素的和
【2019年整理】多元线性回归模型的参数估计
❖ 最优估计——实际点到拟合平面的纵向距离 最小。
❖ 即拟合值尽可能逼近真实值，使残差的平方 和最小。
min ei2 min (Yi Yˆi )2
利用解析式估计模型参数
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi )2
Y Y Y X ˆ ˆX Y ˆX X ˆ
Y X ˆ ˆX Y
Y Y 2ˆX Y ˆX X ˆ
Q
ˆ
0
X Y X X ˆ 0
ˆ ( X X )1 X Y
模型分布参数的估计
多元 : ˆ 2 ee
n k 1
一元 : ˆ 2
ei2
ei2
n 2 n 11
三、样本容量问题
ˆk
X kiYi
n
X1i
X ki
X1i
X
2 1i
X1i X ki
X ki X1i
X
ki
ˆ0 ˆ1
Yi X1iYi
X
2 ki
ˆk
X kiYi
X X ˆ X Y
1 X11 X 21
X
1
X12
X 22
1 X1n X 2n
Xk1
X
k
2
X kn
1 1
X11
X X ˆ X Y
ˆ ( X X )1 X Y
利用矩阵表达式估计模型参数
Y X Yˆ X ˆ
e Y Yˆ
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
ee (Y Yˆ)(Y Yˆ) (Y X ˆ )(Y X ˆ )
§3.2 多元线性回归模型的参数估计
三、样本容量问题 ⒈ 最小样本容量
样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项） k+1 的数目（包括常数项）,即n ≥ k+1
2、满足基本要求的样本容量
或者至少n≥ 当n≥30或者至少 ≥3(k+1)时，才能说满足模型 ≥ 或者至少 时 估计的基本要求。 估计的基本要求。
六、多元线性回归模型的参数估计实例 在例2.5.1中，已建立了中国居 例3.2.2 在例 中 已建立了中国居 民人均消费一元线性模型 一元线性模型。 民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。 虑建立多元线性模型。 解释变量：人均 解释变量：人均GDP：GDPP ： 前期消费： 前期消费：CONSP(-1) 估计区间：1979~2000年 估计区间
ˆ ˆ ˆ ˆ Σ(β0 + β1 X1i + β2 X2i +L+ βk Xki ) = ΣYi ˆ ˆ ˆ ˆ Σ(β0 + β1 X1i + β2 X2i +L+ βk Xki )X1i = ΣYi X1i ˆ ˆ ˆ ˆ Σ(β0 + β1 X1i + β2i X2i +L+ βk Xki )X2i = ΣYi X2i M ˆ ˆ ˆ ˆ Σ(β0 + β1 X1i + β2 X2i +L+ βk Xki )Xki = ΣYi Xki
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
多元线性回归模型的参数估计
将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
βˆ (Y
Xβˆ )(Y
Xβˆ )
0
得到：
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 XY XXβˆ 0
XY XXβˆ
于是： βˆ (XX)1 XY
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
n Xi
Xi
X
2 i
10 21500
21500 53650000
XY
1 X1
可求得
1 X2
Y1
1 X n
Y2 Yn
Yi X iYi
15674 39468400
(XX) 1
0.7226 0.0003
0.0003 1.35 E 07
于是
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i ) X 2i
Yi Yi X 1i Yi X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得 到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2, , k 。
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ), i 1,2, , n, j 0,1,2, k
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
ˆ
3.2 多元线性回归模型的参数估计
上式中，矩阵PP´的主对角线上所有元素非负，所以
有：Var bi Var(ˆi ),i 0,1 , k
以上证明过程中得到了参数估计量的方差，即：
X X Var ˆi 2
'
1
2Ci1,i1(i 0,1 , k)
i1,i1
若用ˆ 2代替上式中的 2，则可得：
通常称为回归标准差或残差标准差。
其证明过程如下：
e Y Yˆ Y X ˆ Y X (X ' X )1 X 'Y X U X ( X ' X )1 X ' ( X U )
U X ( X ' X )1 X 'U In X ( X ' X )1 X ' U MU
其中：M In X (X 'X )1 X ' ,显然M是n n对称 幂等矩阵，即M M ', M M 2 e'e (MU )' MU U 'M 'MU U 'MU
L122
，S(ˆ2 )
ˆ
L11 L11L22 L122
i1, j1
以下证明最小方差性： 设b是β的又一线性无偏估计量，不失一般性，令
b (A P)Y
其中P为一个非随机的（k 1) n阶常数矩阵。
则：
b ( A P)(X U )
AX PX (A P)U
PX (A P)U
∴ E(b) PX 根据b的无偏性知：PX 0 ∴ b ( A P)U
2、无偏性 无偏性是指估计量的数学期望等于参数真实值。
证明 βˆ = (XX)-1 XY = (XX)-1 X(Xβ U) = β (XX)-1 XU
对上式两端取数学期望得
多元线性回归模型参数估计
x1n x2n
xk1 xk2
xkn
ˆ ˆˆ12
ˆk
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果
为
ˆ (xx)1x
ˆ0 Yˆ1X1 ˆkXk
2、最大似然估计
Y 的随机抽取的n 组样本观测值的联合概率
L(ˆ, ) P(Y ,Y , ,Y ) 2 n 30 时，Z 检验才能应用， t 分布较为稳定 ；
矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础。
Co (Xvji,i)0 j1,2,k
假设4，随机误差项满足正态分布
i ~N(0,2)
假设5，解释变量之间不存在严格的线性关系， 即不存在完全共线性。
上述假设的矩阵符号表示式：
假设2，
1 E(1)
E() E
0
n E(n)
1
E()E 1
n
nE12
n1
var(1)
cov(n,1)
cov(1,n)2 var(n) 0
1n
2 n
0
2I 2
假设3，E(X′)= 0，即
E
i X1i i
E(i ) X1i E(i
)
0
X
ki
i
XkiE(i )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
N(0,2I)
假设5 ，n(k+1)矩阵X 的秩 =k+1，即X 满秩。
例：测度教育的回报问题
w a g e 0 1 e d u c 2 e x p e r u
l n c o n s 0 1 l n i n c 2 l n i n c 2
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n k 1
2、满足基本要求的样本容量
虽然当 n k 1 时可以得到参数估计 量，但除了参数估计量质量不好以外，一些建 立模型所必须的后续工作也无法进行。经验表 明，当 n k 8 时 t 分布较为稳定，检验才较 为有效。所以，一般经验认为，当 n 30 或者 至少 n 3( k 1) 时，才能满足模型估计的基 本要求。
个单
Back
位。
三、参数估计量的性质
1、线性性
( X X)1 X Y B
2、无偏性
ˆ) B E( B
证：
ˆ ( X X ) 1 X Y ( X X ) 1 X ( XB N ) B ( X X ) 1 X N B
于是：
ˆ ) E( B) E(( X X ) 1 X N ) B ( X X ) 1 X E( N ) B E( B
ˆ Y ˆ X ˆ X 0 1 1 2 2
1 、 2 称偏回归系数。
ˆ 1 的数值结果表明，当 X 2 保持不变时，
X 1 每增加
1 个单位，Y
ˆ 平均增加 1
个单
位；
ˆ X 2 的数值结果表明，当 1 保持不变时，
X 2 每增加
1 个单位，Y
ˆ 平均增加 2
(2.3.6)
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2,, k 。
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型。二元线性 回归模型的一般形式为：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i u i
其参数的最小二乘估计量如下：
§2.3多元线性回归模型的参数估计
Estimation of Multiple Linear Regression Model
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的参数估计 三、参数估计量的性质 四、样本容量问题 五、多元线性回归模型实例 六、Beta系数 七、弹性系数 八、相关分析 九、虚拟变量问题
i 1
2
(2.3.5)
于是，得到关于待估参数估计值的正规方程组 ：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) X 1i Yi X 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ) X ki Yi X ki
3 、有效性 若 B* 是 B 的任一线性无偏估计量，则有
ˆ B)(B ˆ B)] E[(B* B)(B* B)] E[(B
证明略。
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四、样本容量问题
⒈ 最小样本容量
• 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和 最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 • 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数 目（包括常数项）。即
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五、多元线性回归模型实例991~2000 年的人均居民消费额 Y（千元） ，人均国内生 产总值 X1（千元） ，前一期人均居民消费额 X2（千元）的有 关数据计算出：
∑Yi=22.1 ∑Yi2=56.21 ∑x1ix2i=14.89 ∑yix2i=7.24 其中
随机抽取被解释变量和解释变量的 n 组样本观测值：
(Yi , X ji ), i 1,2, , n, j 0,1,2, k
如果模型的参数估计值已经得到，则有：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆi Y 0 1 1i 2 2i ki Ki
i=1,2,…,n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解：
xi X i X
∑X1i=47.5 ∑x1i2=31.83 ∑yix1i=15.28 ∑yi2=7.37 ，
yi Yi Y
∑X2i=19.5 ∑x2i2=7.27
n=10
（1） 对我国 1991~2000 年的消费模型进行估计
ˆ 1
2 x y x 1 2 x 2 y x1 x 2 2 1 2 2 2 1 2
（i=1，2，…，n）
x x x x 2 x y x 2 1 x1 y x1 x 2 ˆ 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2
Q0 0 Q0 1 Q0 2 Q0 k
(2.3.4)
其中
ˆ )2 Q e (Yi Y i
i 1
n
n
2 i
n
i 1
ˆ ˆY ˆ Y ˆ Y )) (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i=1,2,…,n (2.3.1)
其中：k 为解释变量的数目；
习惯上把常数项看成为一个虚变量的系数，在 参数估计过程中该虚变量的样本观测值始终取 1 。 这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）。
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二、多元线性回归模型的参数估计
• 普通最小二乘估计 • 在满足线性回归模型的基本假设的情况下，多 元线性回归模型可以采用普通最小二乘法估计 参数。
一、多元线性回归模型
1、多元线性回归模型的形式 • 在实际经济问题中，一个变量往往受到 多个原因变量的影响，在线性回归模型 中则表现为有多个解释变量。这样的模 型被称为多元线性回归模型。
• 多元线性回归模型的一般形式为：
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i