清华 水力学 讲义 第二章

第二章 流体静力学
本章研究流体平衡规律，由平衡条件求静压分布，并求静水总压力。

静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以本章的讨论不须区分流体是实际（粘性）流体或理想流体。

§2—1 流体静压强及其特性
● 静止流体的应力只有法向分量（因无相对运动），而且沿内法线方向（流体不能受拉），称为静压强。

● 静压强p 仅取决于场点的空间位置，而与
作用面的方位无关。

对如图以M 为顶点的
小四面体，写出平衡方程，再令小四面体
趋于M 点，注意到质量力比起面力为高阶
无穷小，即得证。

● 静止流体的应力状态只须用一个静压强数量场p=p (x,y,z )来描述，任意一点、任意方位
上的应力为： p pn n =-. §2—2 流体的平衡微分方程
● 在直角坐标系中，取体积微元六面体，建立流
体的平衡微分方程： X p x -=10ρ∂∂； Y p y
-=10ρ∂∂； Z p z -=10ρ∂∂. 合并表示成矢量形式 f p -∇=10ρ. X,Y,Z 是质量力 f 的三个分量，∇p 是静压强场的梯度：∇=++p p x i p y j p z
k ∂∂∂∂∂∂ . 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡。

● 把 k z
j y i x ∂∂∂∂∂∂++≡∇ 称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。

用它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。

● ∇p 的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数，它反映了数量场),,(z y x p 在空间上的不均匀性。

流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡，压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。

§2—3 重力作用下的液体平衡
一. 重力作用下的平衡方程
● 重力
f gk =-（z 轴垂直向上），液体（看成不可压缩流体）的平衡微分方程具体化为：γρ∂∂-=-==
g z
p z p d d . 其解为：z p gz p p γρ-=-=00. 有时令 h z =-（向下为正），则
h p p γ+=0. 其中p 0为z =0处的压强。

显然等压面为水平面，与质量力（重力）垂直。

● 重力场中连通的同种静止液体中：①压强随位
置高程线性变化；②等压面是水平面，与重力垂直；③γp
z +是常数。

二. 绝对压强、相对压强、真空
● 压强p 记值的零点不同，有不同的名称：
绝对压强 —— 以完全真空为零点，记
为 p abs ；相对压强 —— 以当地大气压
p a 为零点，记为 p r . 两者的关系为:
a abs r p p p -=. 相对压强为负值时，其绝
对值称为真空压强。

● 今后讨论压强一般指相对压强，省略下
标，记为p . 若指绝对压强则特别注明。

● 如果z =0为静止液体的自由表面，自由表面上压强为p a ，则液面以下h 处的相对压强为
h γ，所以在液体指定以后，用高度也可度量压强，称为液柱高，例如：××m(H 2O)，××mm(Hg) 等。

特别地，将水柱高称为水头。

把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。

● 一个工程大气压为kgf / cm 2，相当于10 m(H 2O)或736 mm(Hg).
三. 位置水头、压强水头、测管水头
液体平衡微分方程：z p d d γ-=，积分得C p z =+γ.这里基准面z =0是水平面，可以任取。

各项量纲为长度，称为水头（液柱高）。

将z 称为位置水头；
γp
称为压强水头；位置水头与压强水头之和γp z +称为测管水头。

各项也可解释成单位重量液体的能量，分别对应为位
置势能（从基准面z =0算起）、压强势能（从大气压强算起）和总势能。

液体的平衡规律表明：位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和——测管水头（总势能）是保持不变的。

§2—4 静止液体作用在平面上的总压力
● 这是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，即 ⎰⎰⎰⎰-=-A A A p n A n p d d
. 作用力垂直于
作用面，指向自己判断。

● 静压强分布是不均匀的，沿铅垂方向呈线性分布，其平均值为作用面（平面图形）形
心处的压强。

总压力大小等于作用面形心C 处的压强p C 乘上作用面的面积A .即 A p A p C A
⎰⎰=d
● 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面
下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。

§2—5 静止液体作用在曲面上的总压力
● 对曲面A 求解总压力 ⎰⎰A A n p d
时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。

● x 方向水平力的大小为 x C A x A x A h A h A n p x
γγ==⎰⎰⎰⎰d d . 这里，x A 是曲面A 沿x 轴向oyz 平
面的投影，C h 是平面图形 x S 的形心浸深。

这说明，静止液体作用在曲面上的总压力
在x 方向分量的大小等于作用在曲面沿x
轴方向的投影面上的总压力。

y 方向水平力大小的算法与
x 方向类似。

● z 方向(垂向)力的大小为
p A z A z V A h A n p z
γγ==⎰⎰⎰⎰d d . 这里，z A 是曲面
A 沿z 轴向oxy 平面的投影，
V p 称为压力体，是曲面A 与z A 之间的柱体体积。

这说明，
静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分
量的大小等于压力体中装满此种液体的重
量。

● 压力体应由曲面A 向上一直画到液面所在平面。

压力体中，不见得装满了液体。

严格
的压力体的概念是与液体重度γ联系在一起的，这在分层流体情况时，显得尤为重要。

● 总压力各分量的大小已知，指向自己判断，这样总压力的大小和方向就确定了。

总压
力的作用点为水平方向两条作用线和过压力体形心的铅垂线的交点。

特别地，当曲面是圆柱或球面的一部分时，总压力是汇交力系的合成，必然通过圆心或球心。

§2—6 非惯性系中液体的平衡 — 相对平衡
● 根据达朗伯原理，在非惯性系中液体的平衡机理是：质量力、压差力及惯性力的平衡。

惯性力与质量成比例，在力的表现形式上也属质量力范畴，若将它合并到流体质点所受的真实质量力（外力，一般为重力）中去，那么平衡方程就与惯性系没有区别了。

● 单位质量流体的惯性力为流体质点的加速度，冠以负号：a
-.
● 相对于匀加速直线运动的坐标系静止的所
有流体质点加速度大小、方向都相同，重力
加上惯性力仍是均匀的，因此等压面还是平
面，但不再是水平的，除非加速度在铅垂方
向。

● 如果铅垂方向只有重力作用（惯性力在铅垂
方向无分量），那么铅垂方向压强分布仍与
自由面下垂直距离h 成正比。

● 相对平衡原理可用来测量加速度。