第五章_统计力学基本原理
热力学与统计物理第五章知识总结
热⼒学与统计物理第五章知识总结§5.1 热⼒学量的统计表达式我们根据Bolzman分布推导热⼒学量的统计表达式⼀、配分函数粒⼦的总数为令（1）名为配分函数，则系统的总粒⼦数为（2）⼆、热⼒学量1、内能（是系统中粒⼦⽆规则运动的总能量的统计平均值）由（1）（2）得（3）此即内能的统计表达式2、⼴义⼒，⼴义功由理论⼒学知取⼴义坐标为y时，外界施于处于能级上的⼀个粒⼦的⼒为则外界对整个系统的⼴义作⽤⼒y为（4）此式即⼴义作⽤⼒的统计表达式。
⼀个特例是（5）在⽆穷⼩的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统所做的功为（6）对内能求全微分，可得（7）（7）式表明，内能的改变分为两项：第⼀项是粒⼦的分布不变时，由于能级的改变⽽引起的内能变化；地⼆项是粒⼦能级不变时，由于粒⼦分布发⽣变化⽽引起的内能变化。
在热⼒学中我们讲过，在⽆穷⼩过程中，系统在过程前后内能的变化dU等于在过程中外界对系统所作的功及系统从外界吸收的热量之和：（8）与（6）（7）式相⽐可知，第⼀项代表在准静态过程中外界对系统所作的功，第⼆项代表在准静态过程中系统从外界吸收的热量。
这就是说，在准静态过程中，系统从外界吸收的热量等于粒⼦在其能级上重新分布所增加的内能。
热量是在热现象中所特有的宏观量，它与内能U和⼴义⼒Y不同。
3、熵1）熵的统计表达式由熵的定义和热⼒学第⼆定律可知（9）由和可得⽤乘上式，得由于引进的配分函数是，的函数。
是y的函数，所以Z是，y的函数。
LnZ的全微分为：因此得（10）从上式可看出：也是的积分因⼦，既然与都是的积分因⼦，我们可令（11）根据微分⽅程关于积分因⼦的理论，当微分式有⼀个积分因⼦时，它就有⽆穷多个积分因⼦，任意两个积分因⼦之⽐是S的函数（dS是⽤积分因⼦乘微分式后所得的全微分）⽐较（9）、（10）式我们有积分后得（12）我们把积分常数选为零，此即熵的统计表达式。
2）熵函数的统计意义由配分函数的定义及得由玻⽿兹曼分布得所以（13）此式称为Boltzman关系，表明某宏观状态的熵等于玻⽿兹曼k乘以相应的微观状态数的对数。
第五章 玻耳兹曼统计
i
哪个相格与另一个粒子处于哪个相格是互相独立的。
16
(7) 推导玻耳兹曼分布的方法 发现W的极大值较麻烦，转向求ln W的极大值，因为
ln W是关于W的单调函数，所以两者是等价的，总数为N的
粒子如何往相格数等于Gi的 i能级上投放, 能够导致系统的
微观状态数极大，则即为平衡态分布。
求ln W在约束条件( Ni N和 i Ni E)下的极值，
U (qi )
( ) ... dq1dq2 dqr dp1 dp2 dpr
H ε
等能面就像 “洋葱”
在
等
能
X
面 上
√
画
格
子？
10
【例题5.1】处于边长为L的立方容器内由单原子分子组成
的理想气体，粒子的能量表示为：
H
1 2m
p
2 x
p
2 y
p
2 z
解：根据相体积定义H 等能面所维的相体积是
李政道语：统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为 它的基础假设是简单的，但它的应用却十分广泛。
1
3. (平衡态)统计物理的基本任务是什么？ 定义取平均值的严格方法，首先从微观状态 数出发，计算系统在一个态的概率，在一定 条件下计算均匀物性系统的状态方程和热力 学函数。因此它是连接微观和宏观的桥梁。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是研究大量粒子的宏观性质与微观行为之间关系的学科。
它的发展使得我们能够理解和描述物质的性质，特别是在处于热平衡状态下的系统。
本文将探讨统计物理学的基本原理，包括其基本概念、定律及其在物理学和其他领域中的应用。
统计物理学的基本概念统计物理学的核心在于利用概率和统计方法研究微观状态与宏观状态之间的联系。
宏观态是指系统的大规模特性，如温度、压力和体积等，而微观态则是指系统中所有粒子具体的位置和动量。
为了连接这两者，统计物理使用了几种重要的概念。
熵熵是统计物理中一个关键的概念，它可以被视为系统微观状态的不确定性度量。
一个系统的熵越高，代表可用的微观状态越多，系统越混乱。
例如，在热力学第二定律中，孤立系统的熵总是趋向增加，这意味着熵是不可逆的，反映了自然向更高无序状态发展的趋势。
微观状态与宏观状态在统计物理中，一个宏观状态对应着多个可能的微观状态。
例如，一个气体在一定温度和压力下可以通过不同方式实现这些参数。
这些微观状态通过概率分布函数来描述，进一步建立了宏观性质与微观行为之间的联系。
概率分布当涉及到多个粒子时，统计物理依赖于概率分布来描述系统。
最常见的是麦克斯韦-玻尔兹曼（Maxwell-Boltzmann）分布，它描述了气体中分子的速度分布。
此外，还有费米-狄拉克（Fermi-Dirac）分布和玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）分布，用于描述具有不同统计特性的粒子。
统计力学定律统计物理学有几个基础定律，它们帮助我们理解如何从微观行为推导出宏观性质。
这些定律如同热力学定律，提供了一种科学的方法来研究和解释复杂现象。
热力学第一定律热力学第一定律，即能量守恒定律，它说明了能量既不能被创造也不能被摧毁，只能从一种形式转变为另一种形式。
在统计物理中，该定律与系统内粒子的动能和势能有关，强调了内能的变化如何影响系统的行为。
热力学第二定律热力学第二定律引入了熵增加原则，指出在任何孤立系统中，熵总是趋向增加。
统计力学的基本原理
统计力学的基本原理
统计力学是研究宏观系统的微观粒子行为和性质的物理学分支。
它利用概率论和统计学的方法，描述了大量微观粒子的集体行为，
从而揭示了宏观系统的性质和规律。
统计力学的基本原理包括以下
几点：
1. 微观粒子的统计描述，统计力学假设宏观系统是由大量微观
粒子组成的，这些微观粒子之间相互作用，并遵循统计分布的规律。
通过对微观粒子的统计描述，可以得到宏观系统的性质和行为。
2. 统计分布，统计力学使用统计分布描述微观粒子的状态和性质。
其中，玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布描述了不同类型的微观
粒子的分布规律，而正则分布和巨正则分布则描述了粒子数和能量
的分布规律。
3. 统计热力学，统计力学建立了与热力学相对应的统计热力学。
它通过统计分布和微观粒子的性质，揭示了热力学系统的热力学性质，如热容、熵和自由能等。
4. 统计力学的应用，统计力学在各种领域有着广泛的应用，包
括物态方程、相变理论、热传导等。
它为材料科学、凝聚态物理、生物物理等领域提供了重要的理论基础。
总之，统计力学的基本原理为我们理解宏观系统的性质和规律提供了重要的理论框架，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
通过对微观粒子的统计描述和统计分布的应用，统计力学揭示了物质世界的微观本质，为我们认识和探索自然界提供了新的视角和方法。
热力学与统计物理学第五章 玻耳兹曼统计
多大 ？
( d ) ( ) L 3 4 2 m 3 / 2 d 3 / 2 3 / 2 3
L3
4
2
m
3 /2
1
d
3 / 2
1
3
py
L3
4 3
2
m
3
/2
1
3 2
d
1
L 3 2 2 m 3 / 2 1 / 2 d 11
§5.1 玻耳兹曼统计分布律
)
() ... dq1dq2dqrdp1dp2dpr
Hε
等能面就像 “洋葱”
在
等
能
X
面 上
√
画
格
子？
10
【例题5.1】处于边长为L的立方容器内由单原子分子组成
的理想气体，粒子的能量表示为： H
1 2m
p
2 x
p
2 y
p
2 z
解： 根据相体积定义
H 等能面所维的相体积是
空 间 范 围
L
pz
果真如此吗？如果普朗克所言不虚，那么科学争论在科学思想发展史上 的意义就要大打折扣了。普朗克为人平和、正直，被誉为“学林古柏”， 其高尚的人品是值得人们敬仰的，但并不是他所说的每一句话都是正确 的，哪怕这句话多次被人们引用。
由此可见，玻耳兹曼就是他自己发明的“孤立系统的熵增加
原理”的牺牲品。
7
第五章 玻耳兹曼统计
因此而自杀！
6
科学史话(5) “普朗克定律”（一个现代科学的绊脚石）
其表述如下：“一个新的科学真理照例不能用说服对手，等他们表示意见 说‘得益匪浅’这个办法来实行。恰恰相反，只能是等到对手们渐渐死 亡，使得新的一代开始熟悉真理时才能贯彻。”对普朗克来说，学术争论 没有多少诱惑力，因为他认为它们不能产生什么新东西。 由于上述说法 后来又被学界有重大影响的其他学者，如托马斯·库恩等多次引证，它熟，那么当 今统计物理还有那些问题要研究？
第五章_统计力学基本原理
g gt gr gv ge gn
二、子的能级表达式 三维平动子、刚性转子、谐振子
§5-2 预备知识
1. 三维平动子的平动能
t
t
h
2 2 x 2
(
8 v
n
ny b
2
8m a
2
nz c
2
2
)
n y b n z c
sin （
n x a
x） （ sin
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
能级 简并度 g0 g1 g2
j
某一时刻 分布类型 n0 n1 n2
另一时刻 n0 n1 n2 n j
另一时刻 n 0 n 1 n 2 n j
0 1 2
g
kT 4 10
23
21
J
J K
19
1
t 10
r 10
40
J 10
2
kT
可积分求和
通常可积分求和
23
J 10
kT
v 10
20
J 10 kT
级数展开求和
e 100 kT
§5-2 预备知识
2-3 统计力学的基本定理 一、 等概率定理 孤立体系：U、V、N恒定
例：理想气体
目的：单个分子的性质→体系的宏观性质
方法：最可几分布
t max
S k ln k ln t max 热力学函数
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
3-1 近独立定域（可别）粒子体系 当体系达到热力学平衡态时，有
统计力学基本原理
ln tx n j g n j h n j 0
g nj N n0 n1 n2 nj N 0
h nj j U n00 n11 n22 nj j U 0
2. 物理意义
粒子在εj能级上出现的概率： n j N g j exp j kT q
(3-16)
两个能级上粒子数之比： ni n j gi exp i kT g j exp j kT (3-17)
若不考虑简并度，同时规定ε0 = 0 ，则： ni n0 exp i kT (3-18)
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
3
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
(3-6)
∑njεj = U
（3-5） (3-7)
6
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
(b) Lagrange未定乘子法 求满足两个宏观限制条件式(3-6)、（3-7）, 使（3-5）式具有极大值的方 法。 做一新函数：(㏑tx+ αg + βh)，满足：d(㏑tx + αg + βh)= 0 又满足式(3-6)、（3-7）即为所求的一套分布数
关于统计力学的基本原理郑伟谋
关于统计力学的基本原理郑伟谋作者：郑伟谋 (中国科学院理论物理研究所)宏观系统有为数不多的几个可直接观测量，如气体的压强p、体积V和温度T。
热力学描述这些量之间的关系，唯象刻画系统的整体行为。
统计力学的目的是研究宏观物体的行为和性质所遵循的特殊一类规律性，它的一个重要任务是解释作为唯象理论的热力学。
统计力学可由分子微观性质计算热力学量。
统计力学有双重意义：由微观力学(如分子能级、谱学测量)知识计算热力学量，由测量宏观热力学性质反推微观性质(如分子间相互作用)。
统计力学可以突破热力学的局限，将研究延伸至热力学不再成立的领域。
非平衡态体系一般没有简单的热力学宏观量描述，但分布函数描述仍是明确的。
统计力学处理服从哈密顿动力学的微观系统，但原则上微观对象也可以是经济学量、社会学量等，它们并不满足哈密顿动力学。
1 统计规律性考虑体积为V的空间里有遵从经典哈密顿动力学的N个粒子，这个体系的状态由这些粒子的坐标和动量(r1，r2，⋯，r N；p1，p2，⋯，p N) ≡ (r N，p N)给定，这种状态也叫微观构象态或构象态。
构象态对应于由r N和p N 所张成的6N 维相空间中的一点。
设体系哈密顿量为H(r N，p N) = K(p N) +U(r N) ，则运动方程为体系构象态随时间的演化，在相空间中描画出一条“相轨道”或分子轨道。
这样的体系虽然遵从经典力学，不难写下运动微分方程，但其自由度巨大，不可能对给定的初条件积分方程求解。
巨大的自由度数目，导致体系全新的规律性。
作为热力学研究对象的宏观体系总是存在于某种环境之中。
内在的(混沌系统动力学不可预测性)和外在的(环境扰动噪声)原因，使得分子轨道之间不断混合。
原先的分子轨道图像不复存在，精确求解动力学也不再必要。
体系出现新的规律性即统计规律性，例如，体积V 内任一足够大的体元中的粒子数相当恒定。
这导致热力学中的观测结果：大系统表现出十分简单有序的行为，可仅用少数几个变量表征。
统计力学的基础概念
统计力学的基础概念统计力学是一门探究宏观热力学性质的物理学分支。
它通过对微观粒子的统计分析，将热力学和量子力学结合起来，从而能够解释诸如热传导、热膨胀、相变等现象。
在统计力学中，定义了一些重要的基础概念，这些概念为我们理解热力学性质提供了重要的基础。
1. 熵熵是一种描述物体混乱程度的概念。
在热力学中，熵是表示物质热力学状态的基本参量之一。
在统计力学中，熵的统计定义则是熵等于系统的自由能和温度的乘积减去系统的内能。
它为我们提供了从微观角度理解热力学第二定律的手段。
2. 统计系综统计力学中的一个重要概念是统计系综。
它是描述热力学体系的一组样本在某一时刻的总体。
在统计系综中，每个样本代表一个可能的微观态，而系统的宏观态则是由这些微观态组合而成的。
统计系综在研究概率的物理过程时具有重要意义。
3. 泊松分布泊松分布是统计物理学中的一个重要模型。
它描述了一个随机事件在一定时间或空间内发生的概率。
在热力学中，泊松分布通常用于描述分子自由运动和碰撞的情况。
泊松分布的具体形式为P(n) = e^-μ * μ^n / n!，其中P(n)表示事件发生n次的概率，μ表示平均发生率。
4. 固定能量系综固定能量系综是指在一定能量下的所有可能的微观态组成的集合。
在固定能量系综中，系统与外界不进行热量交换，因此系统的内能是固定的。
在实际的固定能量系综中，能量的取值是连续分布的，因此需要使用能量密度函数来描述系统的状态。
5. 统计物理学和量子场论统计物理学与量子场论的结合被视为是现代物理学的重要发展方向之一。
量子场论描述了所有粒子的物理属性，其中包括它们的质量、自旋等，而统计物理学研究的是宏观物体的状态。
因此，将两者结合起来可以提供对宏观物体行为的更深入理解，如超导电性和超流性。
6. 统计力学和化学动力学统计力学与化学动力学的结合也是一个重要的领域。
化学反应涉及到分子之间的相互作用，而统计力学可以提供分子运动和相互作用的信息。
因此，使用统计力学的方法可以更好地确定化学动力学模型的参数和动力学方程。
统计物理的基本原理
刘维定理 设想我们对一系统观测了很长时间, 把时间分成大量(极限下, 无穷多)的时间 间隔 t1 , t 2 ,L . 在各个瞬间, 系统代表点为 A1 , A2 ,L . 这些相空间中的点 的分布密度正比与统计分布函数 ρ ( p, q ). 我们把这些一个系统在不同时间上存在的态, 形式地, 设想为 大量(极限下, 无穷多)的相同的系统以这些态同时存在. 比方说, 在 t = 0 , 这些相同的系统 处在 A1 , A2 ,L 代表的态上. 这些点的分布密度正比与统计分布函数 ρ ( p, q ) . 由于处于平衡态, 在以后的任何时刻, 这些点的分布密度正比与统计分布函 数 ρ ( p, q ) . 如果我们短时间跟踪这些代表点, 系统可看做是准封闭的, 即与外界无能量, 物质交换. 系统的哈密顿量将不含时间. 这些代表点将在相空间中运动, 对某个相体积元, 有些代表点流出, 有些代表点 流进, 但总数应不变. 我们来看一下这个条件会导致什么结果. 将这些代表点看作在相空间中运动的粒子, 粒子数守恒要求有
pi2 E≤∑ ≤ E+Δ i =1 2m
3N
的相体积．
∫L∫
这个相体积大小为3N维的球壳,
∫L∫
Γ = ∫L ∫ d 3N q
d 3N p =
d 3N y
E ≤ ∑ pi2 / 2 m≤ E + Δ
i =1
3N
2 mE ≤ ∑ yi2 ≤ 2 m ( E + Δ )
i =1
3N
Δ N (2πmE )3 N / 2 = V E [(3 N / 2) − 1]!
根据哈密顿方程: 以及平衡态条件: 可以得到:
∂H qi = , & ∂pi
∂ρ / ∂t = 0
统计力学12_清华大学物理系
P( X ) = 1 2π a
∞ −∞
P(x)
2
e
− x2 / 2 a2
求积分
2 ∞ −∞
I = ∫ dxe
∞
2
− ax 2
?
e
−ax2 − ay2
-a
a
x
I = ∫ dx ∫ dye − ax e− ay
−∞
2
用极坐标（r, θ）!
2 2π ∞ − ar 2
∫
∞
−∞
dx ∫ dy →∫ dθ ∫ rdr
非相对论p- ε 关系
20
理想气体 §5.3 理想气体
理气在常T，常p下满足非简并条件 eα >> 1 ∴半经典分布
分子运动
质心平动 内部运动
（数值估计见后）
两种运动独立
a, t, i同时代表量子数
ε a = εt + εi ,
ωa = ωtωi
两种运动间无能量交换， 否则 ε a 值无法与ε t 和ε i 的值对应
大量子数的状态在μ空间对应 h γ 的相体积
γ 为粒子自由度
13
半经典近似
举例说明极限定理：
14
半经典近似 例1 (a)一维谐振子
2 1 2 1 2 2 px x2 px + mω x = ε → + =1 2 2m 2 2mε 2ε / mω 2πε 2ε 2π − γ d Ω(ε ) = Ω(ε ) = π 2mε g ( ε ) = h = mω 2 ω dε hω 2π ∆Ω(ε ) = ∆ε ω
21
理想气体 两种运动独立
ε a = εt + εi ,
统计力学基本原理
(c ) 求未定乘子α
将式 (3-11)代入式(3-9)得:
g je exp j N
e g j exp j N
e N g j exp j
定义：q g j exp j
(q 称作粒子的配分函数)
则：e N q
ln N q
(3-12)
(d) 求未定乘子β
将式(3-11) 代入(3-4)式并组成恒定封闭体系Gibbs方程相比较得
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
4
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
2
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
二、统计力学的基本定理
1. 概率（probability）定理
概率指某一件事或某一种状态出现的机会大小。概率定理是在一定宏观条件下， 体系的各个微观运动状态各以一定的概率出现。
2. 等概率定理
对于U, V 和 N 确定的处于热力学平衡态的孤立体系，任何一个可能出现的微观状 态，都有相同的数学概率，所以这个假定又称为等概率定理。
P1= P2 = P3 =… = PΩ= 1/Ω
(3-1)
Ω是宏观体系的总微态数，P1, P2,…是每一种微观状态 出现的数学概率。
3
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
统计物理中的统计力学与平衡态
统计物理中的统计力学与平衡态统计力学是物理学的一个重要分支，其研究的对象是大尺度系统中的微观粒子行为。
本文将探讨统计物理中的统计力学以及与之相关的平衡态。
一、统计力学的基本原理统计力学是基于概率的物理学分支，它研究的是宏观系统中微观粒子的行为。
统计力学的基本原理包括以下几点：1.1 统计力学的基本假设统计力学的基本假设是基于微正则系综、正则系综和巨正则系综三种系综的假设下建立的。
微正则系综假设下，系统的粒子数、体积和能量都是固定的；正则系综假设下，系统的粒子数和体积固定，而能量可以变化；巨正则系综假设下，系统的粒子数可以变化，而体积和能量固定。
1.2 统计力学的可计算性统计力学认为，对于包含大量微观粒子的系统，由于微观粒子的数量庞大，无法通过精确的量子力学方法对其进行求解。
因此，统计力学采用了统计的方法，通过计算微观粒子的概率分布来推导宏观物理量的平均值。
1.3 统计力学的热力学极限统计力学的热力学极限是指系统的微观粒子数量趋于无穷大的情况下，统计力学可以近似地描述系统的宏观行为。
在热力学极限下，有一些基本假设成立，例如系统的熵函数在热力学极限下可以用来描述系统的热力学性质。
二、平衡态与统计力学平衡态是一个重要的概念，在统计力学中起着关键的作用。
平衡态指的是系统在长时间内处于稳定的状态，即系统的宏观性质不随时间变化。
2.1 热平衡态在热平衡态下，物体与外界的温度相等，并且温度在整个系统中保持均匀。
在统计力学中，可以通过统计系统的能级分布来描述热平衡态，根据玻尔兹曼分布定律，系统中的粒子有更高能级的概率较低，而有更低能级的概率较高。
2.2 力学平衡态在力学平衡态下，物体处于宏观上的静止状态，不受力的作用。
统计力学可以通过统计系统的微观粒子在不同动量和位置下的分布来描述力学平衡态。
2.3 平衡态的统计描写统计力学通过分析系统的能级分布和微观粒子的运动状态，来描写平衡态的统计特性。
通过对平衡态下微观粒子的统计分布进行计算，可以得到宏观物理量的平均值，例如温度、压力等。
统计力学的系综理论
统计力学的系综理论（一）相关预备知识概念简介：（1）经典力学如何描述一个刚性物体的运动状态? 一个刚性物体在某一时刻，只要它的坐标以及它在各个坐标轴上的分动量均确定。
那么这个物体的运动状态也就确定了，即一个物体的运动状态可以用(,,,,,)x y z x y z p p p 六个参数来描述。
物体在某一时间段内，所有的运动状态的集合就构成了描述物体运动状态的相空间。
明显，这是一个六维空间6R ，即63pR R R =⊗。
将3R 称之为坐标空间，p R 称之为动量空间。
它们的笛卡尔积就是相应的相空间。
这个六维空间6R 也称之为μ空间，这样就可以说：一个物体的运动状态可以用μ空间中的一个点来表示。
相体积元为：x y z dxdydzdp dp dp ，相应体系的Hamilton 量（能量函数）为：2221()2x y z H p p p m=++。
当有其它场力存在时，体系的Hamilton 量变为：2221()(,,)2x y z H p p p U x y z m=+++，(,,)U x y z 代表相应的势能。
由以上可知：当有N 个刚性物体运动时，那么就需要一个23N ⨯维空间23N R ⨯来描述，称此空间为Γ空间。
显然有：2361i NNi RR ⨯==⊗（即N 个μ空间的笛卡尔积构成了相应的Γ空间）。
也就是说Γ空间描述了N 个物体的运动状态，Γ空间中的任意一个点均代表着N 个物体在相应时刻上所处的运动状态。
若令：111222(,,,,,,,)N N N x y z x y z x y z p p p p p p p p p p =⋅⋅⋅⋅⋅⋅111222(,,,,,,,)N N N q x y z x y z x y z =⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么Γ空间的代表点即为(,)p q ，相体积元为：d Γ=dpdq ，相应体系的Hamilton 量为：22211()2i i iNx y z i H p p p m==++∑。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是物理学的一个重要分支，它研究的是大量粒子的统计行为和宏观物理现象。
统计物理学的基本原理是基于统计学和概率论的，通过对粒子的统计分布和宏观物理量的平均值进行分析和计算，揭示了物质的统计规律和宏观性质。
一、统计物理学的基本假设统计物理学的基本假设是基于大量粒子的统计行为，而不是个别粒子的运动。
它假设粒子之间相互独立，粒子的运动是随机的，符合统计规律。
这些假设为统计物理学的研究提供了基础。
二、统计物理学的基本概念1. 状态：粒子的状态是指粒子所处的微观状态，包括位置、动量、能量等。
统计物理学研究的是粒子的状态分布和状态变化规律。
2. 统计分布：统计分布是描述粒子状态的概率分布函数，常用的统计分布有玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布等。
3. 统计平均：统计平均是对粒子状态的平均值进行统计，包括能量平均、动量平均等。
统计平均可以用来描述宏观物理量的平均值。
三、统计物理学的基本原理1. 统计物理学的基本原理之一是热力学第一定律，它表明能量守恒，能量可以从一个系统转移到另一个系统，但总能量守恒。
2. 统计物理学的基本原理之二是热力学第二定律，它表明熵的增加是自然界的一个普遍趋势，系统的熵增加趋势决定了物质的演化方向。
3. 统计物理学的基本原理之三是热力学第三定律，它表明在绝对零度时，系统的熵趋于零，物质的运动停止。
四、统计物理学的应用统计物理学的应用非常广泛，涉及到凝聚态物理、热力学、量子力学等领域。
它可以用来解释和预测物质的宏观性质，如热容、热导率、磁化率等。
统计物理学还可以用来研究相变现象，如固液相变、液气相变等。
总结：统计物理学是物理学的一个重要分支，它研究的是大量粒子的统计行为和宏观物理现象。
统计物理学的基本原理是基于统计学和概率论的，通过对粒子的统计分布和宏观物理量的平均值进行分析和计算，揭示了物质的统计规律和宏观性质。
统计物理学的应用非常广泛，可以用来解释和预测物质的宏观性质，研究相变现象等。
统计物理第五章
统计物理（Statistical Physics）黄建明电子工程学院北京邮电大学，北京100876北京邮电大学北京1008761J. –M. Huang目录第章热力学的基本规律第一章第二章均匀物质的热力学性质第三章近独立粒子的最概然分布第四章玻耳兹曼统计第五章玻色统计和费米统计第六章系综理论2J. –M. Huang第五章玻色统计和费米统计§5.1 热力学量的统计表达式51§5.2 弱简并理想玻色气体和费米气体§5.3 玻色－爱因斯坦凝聚：强简并理想玻色气体§5.子5.4 光子气体§5.5 金属中的自由电子气体：强简并理想费米气体3J. –M. Huang11ln ln e e ωΞ≡Ξ≡−⇒Ξ=−−()()ln ll lllN ∂=−Ξ∑∏∏4J. –M. Huangα∂∂yβpdVW −=δVp ∂Ξ∂=⇒ln 1β5J. –M. Huangln d d dy d βαΞ=++y dU Ydy dN βααββ∂∂∂⇒−+ln ln ln d αβαβ⎛⎞⎛⎞∂Ξ∂Ξ=Ξ−−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠6J. –M. Huang()+≡Ξ≡Ξl e1−−=ΦN TS U μ()∑∏∏−−+=Ξll llleβεαω1ln ln Ξ−=Φ⇒ln kT 7J. –M. Huang系统的内能为：()∫∫∞+∞+±=±=02323301221)(βεαβεαεεπεεεed m h V ge d D U 8J. –M. Huang⎝⎠⎣⎦311242U NkT e α−⎡⎤⇒=±⎢⎥⎣⎦9J. –M. Huang效的排斥作用；3）玻色统计的附加内能为负：量子统计关联使玻色粒子间出现等效的吸引作用。
10J. –M. HuangkT kT−−),(11 n T eeμμ=⇒11 J. –M. Huang()32232021612.22612.221n mk T e dx x c x ππ=⇒×=−∫∞12J. –M. Huangd ∞2()ne m h T n T T kTc=−+⇒−→<∫=021233012)(0εεεεπμ13J. –M. Huang子将全部处在的最低能级。
热力学与统计物理第5章
例子5: 例子 :
经典极限条 件
∑
n
对子相空间的积分
子系的一个量子态 (自由度是 r) ) 一维谐振子: 一维谐振子:经典情况
ε =
p 2 2 m ε p 2 2 m + 1 + m ω 2 x 2 2ε
2 2
大小为h r的相格体积
x
2
= 1
m ω
2ε ; b = 2mε a= 2 mω 2πε 面积:S = πab = =
εn
(五)近独立体系微观状态的量子描述 1.系统粒子的描述
(1)全同粒子组成的系统:就是由具有完全相同的属性(相 全同粒子组成的系统:就是由具有完全相同的属性( 同的质量,电荷,自旋等等)的同类粒子组成的系统; 同的质量,电荷,自旋等等)的同类粒子组成的系统; (2)近独立粒子组成的系统:是指系统中粒子之间相互作用很 近独立粒子组成的系统: 相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量, 弱,相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,因而可以 忽略粒子之间的相互作用, 忽略粒子之间的相互作用,将整个系统的能量表达为单个粒子的 N 能量之和: 能量之和: E = ∑εi
p2 1 2 2 ε= + mω x 2m 2 ( x, p ) p x + =1 2ε 2 mε mω 2 能量ε可以在(0,+∞)任意取值
2 2
2,粒子的量子描述 ,
德布罗意关系: 德布罗意关系:
ε = hω
p = hk
不确定(测不准 关系 不确定 测不准)关系: 测不准 关系:
qp ≈ h
薛定谔方程: 薛定谔方程:
第五章, 第五章,统计物理学的基本概念
(一) 等概率原理 (统计物理学唯一的假设 一 统计物理学唯一的假设) 统计物理学唯一的假设
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例：理想气体
目的：单个分子的性质→体系的宏观性质
方法：最可几分布
t max
S k ln k ln t max 热力学函数
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
3-1 近独立定域（可别）粒子体系 当体系达到热力学平衡态时，有
体系的 U、V、N恒定
S k ln
一、体系的能量分布类型
f ( ) k ln C
S k ln C ( 1, C S 0 )
S k ln
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
对象:由大量近独立粒子组成的体系。可分为：
近独立定域(可别)粒子体系
符合经典统计
例：理想晶体
近独立非定域(等同)粒子体系
符合量子统计
设： f ln t g h
求极值： df d (ln t g h ) 0 (1)
式中：α 、β 为待定常数
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
g ln t n n0 0 g ln t n1 n1 g ln t n n j j h n0 h n1 h n j 0 0
2
2
t
h
2 2 3
n
2
8m V
§5-2 预备知识
由上述公式可知：
(1) t 是量子化的
2
例：
2 h i / 8 mV 2 3
;
nx
ny
nz
gi
( 2 ) t 与 V 3 成反比；
3
6
J
( 3 ) n x n y n z 1,
t
3h 8 mV
质量：mi 动、位能: εi ，uij 转动惯量：I 振动频率：νi
统计力学
质量：m 热力学函数： U,H,S,A,G … 平衡常数：Ka 速率常数：ka
§5-1 引言
二、研究对象：宏观物体 处于热力学平衡态的宏观体系 经典统计力学 平衡态统计力学
统计热力学 处于热力学非平衡态的宏观体系：非平衡态统计力学 三、研究方法： 微观方法
kT 4 10
23
21
J
J K
19
1
t 10
r 10
40
J 10
2
kT
可积分求和
通常可积分求和
23
J 10
kT
v 10
20
J 10 kT
级数展开求和
e 100 kT
§5-2 预备知识
2-3 统计力学的基本定理 一、 等概率定理 孤立体系：U、V、N恒定
… …
n j
j
在εj能级 有nj个粒子 在gj个量子状态上产生 g
方式数
g0 g
n0
n1 1
g
n2 2
g
nj j
j
g
nj j
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
3. 按简并能级分布的某一分布类型的微态数
t N! n j!
j nj j
g
j
nj j
n j j
N !
对分子的微观量求统计平均值
四、某些名词术语
1.粒子：微观粒子
§5-1 引言
⑴ 热力学
2.体系的分类
封闭体系
敞开体系
孤立体系
⑵ 统计力学分类 ① 按粒子间有无相互作用分类 近独立粒子体系：理想气体、理想晶体 相依粒子体系：实际气体、实际晶体
② 按粒子运动特点分类
定域粒子体系(可别粒子体系)：晶体、固体
式中： I r ,
2
(μ-约化质量)
(1) 转动能级是量子化； ( 3 ) 转动能级是简并的， ( 4 ) J 0时， r 0。
( 2 ) r ~ I 、 J 有关； g r 2 J 1；
§5-2 预备知识
3. 一维谐振子的振动能 双原子沿化学建方向的振动
v (v
分子的简并度:
g gt gr gv ge gn
二、子的能级表达式 三维平动子、刚性转子、谐振子
§5-2 预备知识
1. 三维平动子的平动能
t
t
h
2 2 x 2
(
8 v
n
ny b
2
8m a
2
nz c
2
2
)
n y b n z c
sin （
n x a
x） （ sin
3
g3 n3 2N n3 2N
4
g4 n4 3N n4 0
§5-2 预备知识
体系的N个粒子的每一种可区别的分布方式,
表示体系在这一时刻的一个微观运动状态。
三、相空间与量子状态之间的关系 粒子：子相宇中的点→体积元h3
Px q x h
量子化
Py q y h Pz q z h
非定域粒子体系(等同粒子体系)：气体
§5-2 预备知识
2-1 体系微观状态的描述 一、经典力学的描述方法 经典力学 粒子: 体系： N个粒子 统计力学 6维空间 子相宇(μ空间) 6N维空间 大相宇(G空间)
相：运动状态； 宇：空间 自由度：确定一个质点或一个体系在空间的位置所 必须给出的独立坐标的数目。
S k ln C
规定: C=0
S k ln
适用条件：处于热力学平衡态的孤立体系 2-4 Stirling 公式
当 N 20 ,
N N ln N ! ln 2 N e
当 N 100 ,
ln N ! N ln N N
N q
g j e ( j / kT )
－Boltzmann分布定律
适用条件：热力学平衡态近独立可别粒子的孤立体系
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
五、 Boltzmann分布定律的其他形式
§5-2 预备知识
假设 : S f ( )
体系 1：S 1 f ( 1 )
体系 2：S 2 f ( 2 )
S S1 S 2 f ( 1 ) f ( 2 )
体系 (1 2) ： S f ( )
1 2
S f ( ) f ( 1 2 ) f ( 1 ) f ( 2 )
y） （ sin
z）
式中：m-粒子的质量； a,b,c-长方形势箱的边长
nx,ny,nz-平动量子数；nx,ny,nz=1,2,3,…
§5-2 预备知识
2
若： a b c ,
a ＝b ＝c V
2 2 2
3
t
2
h2Leabharlann 2 3(n n n )
2 x 2 y 2 z
8 mV
2
设： n n x n y n z
*
*
*
*
*
N ! j
g j n *! j
nj
*
ln ln t max
S ln ln t max
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
四、Boltzmann分布定律 Lagrange待定乘子法
g n j N 0 j 每一种分布类型满足： h n j j U 0 j
* j * 解得： n 0 g 0 e e
0
n g 1e e
* 1
1
通式: n g j e e
0
j
( j 0 , 1, 2 , )
下节可求得：
1 kT
满 足
g n j N 0 j h n j j U 0 j
j
nj
微观状态数：
tx
t’x
t”x
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
宏观限制条件：U、N 恒定，即：
N
U
n
n
j
j
n n
j j j
j
j
j
n
j j
j
j
n
j j
j
二、体系某一能量分布类型的微观状态数 1. 粒子按非简并能级排列的微态数
体系：大相宇中的点→体积元h3N h－Planck 常数
§5-2 预备知识
2-2 分子运动形式和能级表达式 一、分子的运动形式 平动、转动、振动、电子运动、核运动
分子的波函数:
t r v e n
t r v e n
分 子 的 能 量:
第五章 统计力学基本原理
•近独立粒子体系的统计规律性 •近独立粒子体系的热力学性质 •近独立非定域分子的配分函数 •理想气体体系的统计规律 •热力学定律的统计力学解释
基本思路
其他热力学函数和热力学定律
S k ln
ln ln t m ax
t m ax f ( q , T , )
1 2 ) h
v-振动量子数；
v=0,1,2,3, …
(1) 振动能级是量子化的;
( 2 ) v 0,
v ,0
1 2
h 1 0
20
J；
(3) 振动能级是非简并的，gv=1
§5-2 预备知识
三、各种运动形式能级间隔的大小 例：T 298 . 15 K ,
k 1 . 3805 10