公式法和根的判别式
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式课件(共21张)
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
x 2a
1 49 21
x1 4, x2 3
（2）x2+4x+8=2x+11；
解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3) =16>0
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）B
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ B ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般情势的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式公式法和根的判别式是解二次方程的两种方法。
解二次方程是高中数学中的一个重要内容，掌握好这两种方法可以帮助我们更好地理解和求解二次方程。
一、公式法公式法是通过二次方程的求根公式来求解的。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a1.根的个数与判别式根的个数与判别式有关，判别式的值决定了二次方程的根的情况。
判别式（D）= b²-4ac当判别式D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当判别式D=0时，二次方程有两个相等的实根；当判别式D<0时，二次方程没有实根，但有两个虚根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的值来判断二次方程的根的情况；(3)如果二次方程有根，根据求根公式计算根的值。
根的判别式又称判别式法。
它通过判别式的符号来确定二次方程的根的情况。
对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，根的判别式如下：判别式（D）= b²-4ac1.根的个数与判别式判别式的符号决定了二次方程的根的情况。
当D>0时，二次方程有两个不相等的实根；当D=0时，二次方程有两个相等的实根；当D<0时，二次方程没有实根。
2.求解步骤(1) 求出判别式D=b²-4ac的值；(2)根据判别式D的符号来判断二次方程的根的情况。
公式法通过使用求根公式来解二次方程，公式中的判别式决定了二次方程的根的情况。
在使用公式法时，我们需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来判断二次方程的根的情况，最后再根据求根公式计算出根的值。
根的判别式法则是通过判别式的符号来判定二次方程的根的情况。
判别式的值决定了二次方程的根的性质，因此根的判别式也可以用来计算判别式的值，进而判断二次方程的根的情况。
由此可见，根的判别式是公式法的基础，根的判别式提供了公式法所需要的判别二次方程根的信息。
一元二次方程根的判别式
的什么来定
一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ＝b2－4ac.
知识归纳：一元二次方程根的情况
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 b2-4ac ≥0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 方程有实数根
一元二次方程根和判别式
知识回顾：
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根 公式
b b 4ac x＝ 2a
2
（b2－4ac≥0）
2、利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）、把方程化成一般形式。 （2）确定a，b，c的值。
（3）、求出b2-4ac的值并与0作比较。
（4）、代入求根公式。
（5）、写出方程的解： x1=?, x2=?
3、用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结
（1）2x2）4x2＋x＋1＝0
解：（1）x1＝0，x2＝ 数根 （2）x1＝x2＝ 3 ；有两个相等的实数根 （3）无实数根；
3 ；有两个不相等的实 2
探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程
学以致用
• 1、利用判别式判断下列方程的根的情况 • （1）x2-4x-7=0 • (2)3x2-6x-2=0 • (3)x2+17=8x • （4）16x2－24x＋9＝0；
2.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
根 C.有一个实数
) B.有两个相等的实数
根的判别式韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。
例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。
特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
公式法解一元二次方程(根的判别式).
2
ax bx c 0(a 0)中
2
例3.K为何值时，关于X的 方程X2-4X+K+1=0 有两个实数根？
解：△=（-4）2-4（k+1) =16-4k-4 = 12-4k ∵原方程有两个实数根 ∴△≥0 即：12-4k≥0 ∴k≤3时，原方程有两个实数根。
课时训练
4.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则 k的范围 k≤1/4 是__________. 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 (A ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1
2 2
m 2且m 1
试一试：
1.已知关于X的一元二次方程
2
kx (2k 1) x k 0
当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根? 2.已知关于X的方程 kx2 (2k 1) x k 0 当K取什么值时,方程有实数根?
课时x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。
这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，是学生解决一元二次方程问题的重要工具。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一元二次方程的定义、性质等基础知识，对解一元二次方程有一定的了解。
但公式法求解一元二次方程是一种新的方法，学生需要理解和掌握。
同时，根的判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，学生需要理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解公式法的原理，掌握公式法求解一元二次方程的步骤；理解根的判别式的意义，掌握根的判别式的计算方法。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解一元二次方程的步骤；根的判别式的计算方法。
2.难点：理解公式法的原理；根的判别式的意义。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。
教师引导学生通过自主学习，理解公式法的原理和步骤；通过合作交流，共同探讨根的判别式的意义和计算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生准备：笔记本、笔。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出一元二次方程，并提出解决问题的方法——公式法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的定义。
操练（15分钟）教师引导学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，并判断根的情况。
巩固（10分钟）教师通过一些典型的问题，帮助学生巩固公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的计算方法。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以判断一元二次方程的根的情况？激发学生的探究欲望。
华师大版数学九年级上第8讲 公式法及根的判别式
第8讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；（3）x （3x －2）－6x 2-2＝0； （4）x 2＋(3＋1)x ＝0；（5）x （x ＋8）＝-16； （6）（x ＋2）（x －5）＝1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)例2. m 取什么值时，关于x 的方程x 2-2x ＋m －2＝0（1）有两个相等的实数根？ （2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x(x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).（5）x 2+16x-13=0 （6）（x ＋1）2＝2（x ＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥215．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）．A ．0B ．1C ．-1D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=32-±B ．y=32±C ．y=32±D ．y=32-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知关于x 的一元二次方程0322=--k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为___ __．10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．12．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为 ．13．已知关于x 的一元二次方程()0212x 22=-+++k x k 的两根为1x 和2x ，且()()02211=--x x x ，则k 的值是 ________。
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
鲁教版数学八年级下册 八年级数学下册8.3 用公式法解一元二次方程(3)根的判别式(共14张PPT)
❖
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午8时0分13秒上午8时0分08:00:1321.8.14
❖
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
探究一：不解方程判断方程根的情况
❖ห้องสมุดไป่ตู้
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月14日星期六上午8时0分13秒08:00:1321.8.14
❖
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午8时0分21.8.1408:00August 14, 2021
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16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月14日星期六8时0分13秒08:00:1314 August 2021
（1）x2 4x 7, _4_4_>_0, 方程 两__个_不__相_等__的的实数根； （2） 2x2 3x 4 0, 9__1_2_2___0_, 方程无___ 实数根
2、关于x的方程x2 4x m 0,当m _<4__ 时， 方程有两个不相等的实数根;当m _=_4_ 时， 方程有两个相等的实数根； 当m _>_4_ 时， 方程无实数根。
1. A组：课本67页随堂练习第一题，识技 能第一题
2 . B组:课本67页知识技能第一题，随堂练 习第二题；
3 . C组:课本67页随堂练习第二题，数学理 解第二题；
。
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
根的判别式
90 2x40 2x 72% 90 40.
即
解：设金边的宽为 x cm，根据题意 得
x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得 x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
练习1、一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数 1 的 8 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是 多少?你能解决这个问题吗? 解:设猴子总数是x只。
解设：增加了X行
(X+8)(X+12)=12×8+69
化简得
X² +20X=69
X1=3
,X =-23（舍）
2
答:增加了3行。
、解含有字母系数的一元二次方程
1、解关于X的方程mx 2 3x 1 0 1 解：当m 0，x 3 当m 0， 9 4m， 9 当9 4m 0，即m 时， 4
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解这个方程, 得 x1 10 10 ; x2 10 10.
x
. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙( 墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的平行与墙的长为xm,根据题意得
E B
K
F H C
G D
2、课本55页问题解决2：
（课本55页1）如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x米
求根公式法解一元二次方程及方程根的判别式的应用
1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程 1，21202x x -++= 2，2121233x x --+=分析：可先将方程转化为整系数方程，再用求根公式 解：1，整理得：2240x x --= a=1 b=-2 c=-4224(2)41(4)20b ac ∆=-=--⨯⨯-=212x ±∴==±即x 1=1+， x 2=1-（2）整理得：3250x x +-=a=3 b=2, c= -5△ = b 2﹣4ac=2243(5)64-⨯⨯-=∴x=214233-±-±=⨯即x 1=1 ， 253x =-。
例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=分析：这两个方程二次项系数都不是1，但也能将左边分解为两个一次因式乘积的形式。
解：（1）26510x x-+=（2x-1）（3x-1）=0210x∴-=或310x-=即1211,.23x x==（2）261360x x++=()()32230x x++=320230x x∴+=+=或即1223,.x x=-=-例4.选择适当的方法解下列方程()21310x x--=()223)12-=【变式练习】用适当的方法解下列方程(1)()()223243x x-=- (2)()()112x x--=例5 若关于x的方程2420x x k++=有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值。
判别式与求根公式.学生版
定 义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式； ②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）解方程：2310x x -+= 解：131a b c ==-=，， ()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，知识导航模块一 公式法解一元二次方程知识互联网一元二次方程的 判别式与求根公式【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．模块二 一元二次方程根的判别式能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？真题赏析能力提升知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶ ()()121x x x -=-；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________；【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式 2121a a a-++的值．实战演练。
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握一元二次方程的公式法求解和根的判别式的应用。
教材通过引入一元二次方程的求解，让学生理解公式法的原理，并运用根的判别式来判断方程的根的情况。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于公式法的应用和根的判别式的理解还需要进一步的引导和讲解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握公式法和根的判别式的应用。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握一元二次方程的公式法求解。
2.理解根的判别式的含义，能够运用根的判别式判断方程的根的情况。
3.能够运用公式法和根的判别式解决实际问题。
四. 教学重难点1.公式法的原理和应用。
2.根的判别式的理解和应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解公式法的原理和根的判别式的含义，让学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生更好地理解和运用公式法和根的判别式。
3.练习法：通过布置相应的练习题，让学生巩固所学的知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，辅助讲解和展示教学内容。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的原理，引导学生理解一元二次方程的公式法求解过程。
同时，介绍根的判别式的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例题，运用公式法和根的判别式进行求解。
教师引导学生注意观察和理解公式法求解的步骤和根的判别式的运用。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生更好地理解和掌握公式法和根的判别式。