抛物线的性质(圆锥曲线)
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
圆锥曲线的平面几何性质-抛物线
(,0)M m ，则DN 过定点2(,0)a P m .特别地，当P 为焦点(,0)c ±时，M 2(,0)a c±在准线上.三、抛物线1.抛物线的直径抛物线的平行弦的中点在一条直线上，这条直线叫做抛物线的直径，如图，AB 即为直径.抛物线的直径有若干条，它们与对称轴平行.设平行弦斜率为k ，则直径方程为p y k=，其中抛物线为22(0)y px p =>.2.抛物线的切线（1）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若AB BM =，则AC 、AD 是抛物线的切线.反之，若AC 、AD 是抛物线的切线，则AB BM =.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是抛物线的切线.反之，若BK 是抛物线的切线，则BK CD .404（3）如图，EA 、EB 、GH 是三条切线，则AH EG HC HE GB CG==.另外，GH 在准线上的射影为定值；E 、G 、H 、F （焦点）四点共圆；2ABC EGH S S ∆∆=.（4）如图，抛物线的焦点弦AB 交y 轴于M ，直线TH AB 交y 轴于N ，则0MF NF TH ⋅=⇔ 与抛物线相切；0MF NF TH ⋅>⇔ 与抛物线相交；0MF NF TH ⋅<⇔ 与抛物线相离.（5）如图，抛物线焦点为F ，PM y ⊥轴，则MPF ∆的内角平分线PT 就是抛物线在P 点的切线，外角平分线PN 就是抛物线在P 点的法线.405（6）如图，过抛物线焦点F 作切线PT 的垂线，则垂足H 在y 轴上.（7）如图，抛物线的切线PT 、QT 交于T ，F 是焦点，则PTF TQF ∠=∠、TPF QTF ∠=∠.推广：抛物线任意两条切线的夹角等于过两切点的焦半径的夹角的一半.如图抛物线的切线PT 、QT 交于T ，F 是焦点，则12PTQ PFQ ∠=∠.（8）如图，抛物线22(0)y px p =>,设点(,)M x y ，切线AB 平行于弦MN ，d 是AB 到MN 的距离，则弧OM 的长为2222[(1)ln(1)]2p x x x x l p p p p =++++；弓形MON 的面积为23MON S MN d =⋅弓形，特别地，当MN x ⊥轴时，43MON S xy =弓形.4063.抛物线的一组性质如图，抛物线22(0)y px p =>，F 是焦点，O 是顶点，AB 是焦点弦，1AA 、1BB 垂直于准线11A B 交纵轴于R 、Q ，M 是AB 的中点，1M 是11A B的中点，则（1）以AB 为直径的圆与准线11A B 相切,且切点是11A B 的中点1M ；以11A B 为直径的圆与AB 相切，且切点是焦点F ；以AF 为直径的圆与纵轴相切,且切点是OR 的中点S ；以BF 为直径的圆与纵轴相切,且切点是OQ 的中点T ；以OQ 、OR 为直径的圆均与AB 相切.（2）图中有六组三点共线：A 、O 、1B ；1A 、O 、B ；A 、S 、1M ；1A 、S 、F ；B 、T 、1M ；1B 、T 、F .（3）1111112AA BB OD OF p+===.（4）1AM 、1BM 分别是1BAA ∆、1ABB ∆的角平分线，也是抛物线的切线.（5）抛物线的焦点弦AB 端点处的切线1AM 、1BM 交的点在准线上，反之，过准线上一点作抛物线的切线，则切点的连线（即极线）过焦点.（6）1M F 是1Rt AM B ∆斜边上的高；DF 是11Rt A FB ∆斜边上的高.四、二次曲线的几个结论1.结论（一）过一点的斜率之和为零的两条直线交椭圆于四点，则这四点共圆.反之，若圆与椭圆交于四点，则两对对边及对角线斜率之和分别为零.如图，过点M （或P 或Q ）且斜率之和为零的直线MA 、MB （或PA 、PC ，或QA 、407。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线抛物线的基本知识点
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点到焦点距离等于该点到准线距离的轨迹。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的对称轴是准线，焦点在对称轴上；2. 抛物线上任意一点与其对称轴的距离相等；3. 焦点到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等；4. 抛物线在对称轴上有最小值，即顶点；5. 抛物线开口方向由焦点和准线位置决定。
三、抛物线方程1. 标准式：y = ax^2 （a>0）其中 a 为常数，表示开口方向和开口大小。
2. 顶点式：y - k = a(x - h)^2其中 (h, k) 为顶点坐标。
3. 参数式：x = at^2, y = 2at其中 t 为参数。
四、抛物线应用1. 物理学中，抛物运动就是指在重力作用下，以一定初速度沿着一个确定角度投掷出去后，运动轨迹为抛物线的运动方式。
2. 工程学中，抛物线常用于设计拱形桥、天桥、高架桥等建筑结构。
3. 数学中，抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，也是研究圆锥曲线的基础。
五、抛物线相关概念1. 焦距：焦点到顶点的距离。
2. 焦直线：过焦点且与准线垂直的直线。
3. 焦半径：从焦点到抛物线上任意一点的距离。
4. 垂直平分线：过顶点且与对称轴垂直的直线。
六、抛物线相关定理1. 抛物定理：从焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线距离的一半。
2. 切角定理：从焦点引一条切线，该切线与准线之间的夹角等于该切点处法向量与准线方向向量之间夹角（即反射角等于入射角）。
3. 两个相交抛物面交于一条直母线。
高考抛物线知识点总结
高考抛物线知识点总结高中数学中的抛物线是一个重要的知识点，也是高考数学中经常会出现的考点。
在解题过程中，对于抛物线的性质、方程及应用需要有深入的理解。
本文将对高考抛物线知识点进行总结，帮助考生加深对这一部分内容的理解和应用能力。
一、抛物线的基本形状和性质抛物线是一种二次曲线，其基本形状为开口朝上或朝下的弧线。
抛物线由一个定点（焦点）和一条定线（准线）确定，焦点和准线之间的距离称为焦距。
抛物线的顶点为曲线上的最低点或最高点，称为顶点。
在图像上，抛物线呈现出对称性，即以顶点为对称中心将曲线分成两个对称的部分。
抛物线的开口方向取决于二次曲线的二次项的系数正负。
若为开口朝上，则二次项系数为正，反之为负。
二、抛物线的常见方程1. 顶点坐标形式：设抛物线的顶点为(h, k)，焦点坐标为(F, k)，则抛物线的顶点坐标形式方程为：(x-h)² = 4a(y - k)，其中a为焦距的一半。
2. 标准形式：设抛物线的焦点坐标为(F, 0)，焦距为2a，则抛物线的标准形式方程为：y² = 4ax。
3. 配方形式：将标准形式方程简化得到的抛物线的配方形式方程为：x = ay² + by + c。
三、抛物线的性质及相关公式1. 抛物线的对称轴是与准线垂直并通过抛物线的顶点的直线。
对称轴的方程为x = h。
2. 离心率和焦距之间的关系：抛物线的离心率e等于焦距与准线之间的比值：e = F/a。
3. 焦点和准线之间的关系：焦点关于对称轴对称，焦点到准线的距离等于焦距。
4. 定点和定线之间的关系：抛物线上任意一点到定点的距离等于该点到准线的距离。
5. 直角坐标系中的曲线长度公式：设函数y = f(x)在闭区间[a,b]上连续，则抛物线上的曲线长度：L = ∫[a,b]√(1+(f'(x))²)dx。
四、抛物线的应用抛物线的应用范围广泛，在数学、物理、经济等多个学科中都有应用。
以下是抛物线在几个常见领域中的应用案例：1. 圆锥曲线：抛物线是圆锥曲线的一种，它在天文学、建筑学等领域中有着广泛的应用。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
抛物线性质的概念
抛物线性质的概念抛物线是一种代数曲线，定义为平面上所有点到一个固定点（焦点）与到一条固定线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。
抛物线具有许多重要的性质，如对称性、焦准关系、切线、拱高、焦距、方程等，这些性质在几何和物理学中有广泛的应用。
下面将详细介绍抛物线的性质。
1. 对称性：抛物线固定线（准线）是对称轴，焦点是对称轴上的一个点，抛物线关于对称轴对称。
这意味着对于任意点P(x, y)在抛物线上，点P关于对称轴的对称点也在抛物线上。
抛物线的对称性质有助于解决一些几何问题。
2. 焦准关系：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离与这点P到准线的距离的比值是一个常数（离心率），用e表示。
即PF/PL = e。
焦准关系是抛物线最重要的性质之一，它用于构造抛物线方程。
3. 切线：抛物线上的切线与准线垂直。
如果在抛物线上选取一点P，则该点P处的切线与准线的交点为准线上该点的垂足。
4. 拱高：抛物线固定线（准线）的中垂线与抛物线的焦点相交于抛物线的顶点，该点也是抛物线的最高点，称为拱高。
抛物线的拱高是该曲线在垂直方向上的最大值。
5. 焦距：焦距是焦点到抛物线固定线（准线）的距离。
对于抛物线来说，焦距等于离心率的两倍。
6. 方程：抛物线的一般方程形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
根据焦准关系，当抛物线的焦点在y轴上时，焦点坐标为(0, p)，准线方程为y = -p，此时抛物线的方程为y^2 = 4px。
当抛物线的焦点不在y轴上时，需要通过平移来求得抛物线的方程。
7. 焦点到顶点的距离：焦点到抛物线顶点的距离等于拱高的两倍。
由此可得，当已知拱高和焦准关系中的焦点到准线的距离时，可以计算出焦准关系中离心率的值。
8. 离心率：抛物线的离心率是一个常数，用e表示。
离心率等于焦点到准线的距离与焦点到顶点的距离的比值。
离心率描述了抛物线的形状，当离心率小于1时，抛物线开口朝下；当离心率大于1时，抛物线开口朝上；当离心率等于1时，抛物线是一个特殊的圆锥曲线，称为拋物线。
圆锥曲线知识点归纳汇总 - 抛物线
抛物线1．抛物线的概念定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质(教材定义)标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
3．抛物线的补充的性质及二级结论以开口向右为例：y 2＝2px (p >0)1）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为p MN 2=） 2）准线：2px l -=：准线 3）焦半径公式：如图二θp x p AF A cos -=+=12，θpx p BF B cos +=+=12 推导：A x pAP AF +==2，AFcos θRF FT RF RT AP AF +=+=== 所以：AFcos θp AF +=即θpAF cos -=1，同理可证BF4）过焦点弦长公式：如图二θsin px x p AB B A 22=++= 推导：B A B A x x p x px p BF AF AB ++=+++=+=22θsin p cos θp cos θp BF AF AB 2211=++-=+= 5）被焦点截的线段倒数之和=p24==通径 如图二所示：pBF AF 241111==+通径 推导：由焦半径公式可知θp AF cos -=1，θpBF cos +=1所以：通径421111==++-=+p p θp θBF AF cos cos 6）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与抛物线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为()212212212411x x x x k x x k AB -++=-+=或者()21221221241111y y y y k y y k AB -++=-+=7）sin θp 2S 2OAB=∆（如图二，直线l 过F 交抛物线与A 、B 两点） 8）42p x x B A =，2p y y B A -=（如图二，直线l 过F 交抛物线与A 、B 两点）【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．3.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.。
第2章 圆锥曲线与方程-----抛物线
＝.① 当直线AB⊥x轴时，①也成立． ∴S＝|OF||AF|sinθ＋|OF||BF|sin(π－θ) ＝|OF||AB|sinθ ＝·sinθ＝. (2)当θ＝90°时，Smin＝p2. 若Smin＝4，则p2＝4. ∴p＝2. ∴此时抛物线的方程为y2＝4x.
考题赏析
1．(辽宁高考)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点 (0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA. B．3 C. D. 解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等 于点P到焦点的距离|PF|. 因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点 (0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距 离，则距离之和的最小值为 ＝.
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点， 且|AB|＝p，求AB所在的直线方程． 解 焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 若AB⊥Ox，则|AB|＝2p<p，不合题意． 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0. 由消去x， 整理得ky2－2py－kp2＝0. 韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2. ∴|AB|＝ ＝ ＝· ＝2p(1＋)＝p. 解得k＝±2. ∴AB所在直线方程为y＝2(x－)，或y＝－2(x－)． 知识点六 抛物线的焦点弦问题
§2.4 抛物线
典例剖析
知识点一 抛物线概念的应用
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． 解
将x=3代入抛物线方程 y2=2x，得y=±. >2，∴点A在抛物线内部． 设抛物线上点P到准线l： x= 的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d， 当PA⊥l时，|PA|+d最小， 最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为， 此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2， ∴点P坐标为(2,2)．
高中数学解析几何抛物线性质与定义(精)
抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。
F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。
如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。
(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。
圆锥曲线抛物线的基本知识点
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是圆锥曲线抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它由一个平面与一个平行于该平面的直线相交而形成。
抛物线具有独特的形状，呈现出对称性和特定的数学性质。
二、抛物线的定义与特点1.定义：抛物线是平面上到一个定点距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹。
2.特点：–抛物线具有对称性，它关于焦点和准线对称。
–抛物线的焦点是定点，准线是定直线。
–抛物线的离心率为1，是所有圆锥曲线中离心率等于1的一种情况。
–抛物线具有无穷远点，它是一条无限延伸的曲线。
三、抛物线方程的一般形式抛物线的方程通常可以表达为一般二次方程的形式：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
四、抛物线的焦点与准线1.焦点：抛物线的焦点是定义抛物线的重要元素之一，与抛物线的离心率密切相关。
焦点的坐标可通过方程求解得到。
2.准线：抛物线的准线与焦点共同决定了抛物线的形状，准线的坐标也可通过方程求解得到。
五、抛物线的性质1.对称性：抛物线关于焦点对称，对称轴为准线。
这个性质使得抛物线在很多实际应用中具有重要意义。
2.焦距公式：定义抛物线焦点到准线的距离为焦距，通过焦距公式可以计算焦点到准线的距离。
3.切线方程：抛物线上任一点处的切线方程可以通过求导得到，切线斜率即为函数的导数值。
4.弧长与曲率：抛物线上任意两点之间的弧长可以通过积分计算得到，曲率表示曲线的弯曲程度。
六、抛物线的应用抛物线在现实生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是一些例子： 1. 物理学中的抛物线轨迹：在无空气阻力的情况下，自由落体运动的轨迹为抛物线。
2. 抛物面反射：抛物面反射是一种利用抛物面的反射特性设计的照明系统，例如汽车大灯、探照灯等。
3. 投射问题：抛体在给定初始速度和角度下的运动轨迹就是抛物线，如炮弹飞行轨迹、游泳、跳水等。
七、抛物线与其他圆锥曲线的关系抛物线与其他圆锥曲线（椭圆、双曲线）具有一些相似和不同的地方： 1. 相似之处：抛物线、椭圆和双曲线都是圆锥曲线，它们的定义都可以归纳为距离比例关系。
圆锥曲线知识点归纳总结
圆锥曲线知识点归纳总结圆锥曲线知识点归纳总结一、基本概念圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、抛物面或圆锥相交而得到的曲线。
它包括四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
二、椭圆1. 椭圆的定义：平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为椭圆。
2. 椭圆的性质：（1）椭圆的中心为坐标原点。
（2）椭圆的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2-b^2。
（3）椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，满足a>b>0。
（4）离心率e=c/a，0<e<1。
（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与椭圆交点到O的距离之和等于常数2a*cosθ。
三、双曲线1. 双曲线的定义：平面上到两个定点F1和F2距离之差等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为双曲线。
2. 双曲线的性质：（1）双曲线的中心为坐标原点。
（2）双曲线的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2+b^2。
（3）双曲线有两条渐近线，即横坐标趋近于正无穷或负无穷时，纵坐标趋近于两条直线y=±b/a*x。
（4）离心率e=c/a，e>1。
（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与双曲线交点到O的距离之差等于常数2a*cosθ。
四、抛物线1. 抛物线的定义：平面上到定点F与定直线L距离相等的所有点P的轨迹称为抛物线。
2. 抛物线的性质：（1）抛物线的中心为定直线L上方向原点最近的那个点。
（2）抛物线与定直线L垂直，并以其为对称轴。
（3）焦距等于顶点到焦点或顶点到准直径之间的距离。
（4）顶点为抛物线的最高点，即其纵坐标为最大值。
（5）离心率e=1。
五、直线1. 直线的定义：平面上所有点的轨迹都是直线。
2. 直线的性质：（1）直线可以表示为y=kx+b的形式，其中k是斜率，b是截距。
（2）两条不重合的直线相交于一点。
（3）两条平行的直线永远不会相交。
圆锥曲线之抛物线知识点讲解(含解析)
抛物线的概念与几何性质一、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.4.焦半径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m＝－3或5.答案B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135 C.145 D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2. 答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝2p sin2α得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝3 8，故S△AOB ＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.答案D【例3】(2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163 D.203[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C三、课后练习1.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D2.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C3.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx－4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.5.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.答案 B。
抛物线的简单几何性质同步课件(人教A版2019选修一)
直角坐标系，只要证明点D的纵坐标
与点B的纵坐标相等即可．
F
x
D
B
图3.3-5
证明：如图3.3 5,以抛物线的对称轴为x轴, 抛物线的顶点为原点, 建立
平面直角坐标系xOy. 设抛物线的方程为y2 2 px( p 0)
y
点A的坐标为
y02 2p
,
y0
(
y00),①A则直线OA的方程为y 2 p x
直径的圆均与y轴相切.
y
A
OF x
B
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物
线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线
的对称轴．
y
分析：我们用坐标法证明这个结论，
即通过建立抛物线及直线的方程，运
用方程研究直线DB与抛物线对称轴之
A
间的位置关系．建立如图3.3-5所示的
叫做抛物线的离心率, 用e表示.由抛物线的定义可知, e 1.
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点,并且经过点M(2, 2 2), 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点,并且经过点M(2, 2 2), 所以可设它的标准方程为y2 2 px( p 0).
因为点M 在抛物线上, 所以(2 2)2 2 p 2, 解得p 2. 因此, 所求抛物线的标准方程是y2 4x.
第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
思考
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法, 你认为应研究
抛物线
y2 2 px ( p 0)
①
的哪些几何性质 ? 如何研究这些性质 ?
1. 范围
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
抛物线的几何性质(二)
•
三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
•
三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
•
三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
•
三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名
•
三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
•
三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
•
二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
•
三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
•
二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
圆锥曲线--抛物线
【例 4】如图 7，过抛物线 y2＝2px（P＞0）的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点， 自 M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M1、N1，求证：FM1⊥FN1
★⑵
1 1 2 ＋ ＝p | AF | | BF |
p2 p p 【证法一】由⑴x1x2＝ ，且| AF |＝x1＋ ，| BF |＝x2＋ . 4 2 2 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 1 1 1 1 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ | AF | | BF | p p p p p p2 x1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ ) x1x2＋ (x1＋x2)＋ 2 2 2 2 2 4 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2 ＝ 2 ＝ ＝ p p p2 p p ＋ (x ＋x )＋ (x ＋x ＋p) 4 2 1 2 4 2 1 2 p p p 【证法二】由| AF |＝1＝ ，| BF |＝2＝ ＝ . 1－cos 1－cos(＋ ) 1＋cos 1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ | AF | | BF | 1 2 p p p
2 2 2 2
p p 1 1 1 在直线 AB 方程 x＝my＋ 中令 x＝0，得 y3＝－ ，代入上式得 ＋ ＝ 2 2m y1 y2 y3
p p ④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋ ，| BF |＝| BC |＝x2＋ ， 2 2 | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p 又| AB |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2＝ ＝ ＝ 1＋m2 1＋m2 1＋m2| y2－y1 |
【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结 FM，则 FM＝DM. 又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 1 ∴∠2＋∠3＝ ×180＝90 2 ∴∠AMB＝90
圆锥曲线 第3节 抛物线及其性质
第3节抛物线及其性质知识点一抛物线的定义与方程1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．4.抛物线的标准方程思考抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？答案p的几何意义是焦点到准线的距离．一、求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 解析 设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .二、抛物线定义的应用例2 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析 ∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知， 点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d ＝ ⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值． 解 将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝± 6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值是72.即|P A |＋|PF |的最小值是72.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解 如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，|P A 1|＋|PQ |＝|P A 1|＋|PF |≥|A 1F |min .|A 1F |的最小值为点F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1即所求最小值为1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．解析 把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.(2)设点A 的坐标为(1，15)，点P 在抛物线y 2＝8x 上移动，P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＋|P A |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1， 于是|PF |＝d ＋1，所以d ＋|P A |＝|PF |－1＋|P A |的最小值为|AF |－1＝4－1＝3.知识点二 抛物线的简单几何性质x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R抛物线的几何性质的应用例1 (1)等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2 D ．p 2解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点， |AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称，∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4，得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ， 解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C. (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(8,0)D ．(4,0)解析 因为c a ＝2，所以c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，于是b 2＝3a 2，则ba＝3，故双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，则|AB |＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．一、直线与抛物线位置关系的判断例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． 二、直线与抛物线的相交问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0. 延伸探究本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p2的垂线交准线于点C ，D ，E .由定义知|AC |＋|BD |＝52p ，则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ，∴M 点到y 轴的距离为54p －p 2＝34p .反思感悟 直线与抛物线的位置关系1.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．2.一般弦长：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以12AB x =-或12AB y y =-（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122y kx my kx m=+⎧⎨=+⎩AB ∴=1122y kx m y kx m =+⎧⎨=+⎩可得：AB12x ==-同理可证得12AB y y =-（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,A B 为直线与曲线的交点（即AB 为曲线上的弦），则12x x -（或12yy -）可进行变形：12x x -==跟踪训练2 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析 如图，过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个公共点，过P 可作一条与x 轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点．故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且||AF ·||BF ＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ，消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，因为||AF ＝y 1＋1，||BF ＝y 2＋1，所以||AF ·||BF ＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.三、抛物线的综合问题例3 如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值；(2)连接MN ，记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值．(1)解 依题意，设AB 的方程为x ＝my ＋2， 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4， 设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ny －4＝0， 所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4，由(1)知y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．反思感悟 解决抛物线综合问题的基本策略对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．跟踪训练3 (1) 已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________．解析 设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min ＝72.(2)已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点F ()1，0的距离小1. ①求动点P 的轨迹C 的方程；②设斜率为－1且不过点M ()1，2的直线交C 于A ，B 两点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝0.①解 依题意动点P 的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F ()1，0，准线为x ＝－1， 设其方程为y 2＝2px ()p >0，则p2＝1，解得p ＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ()x >0.②证明 设直线AB ：y ＝－x ＋b ()b ≠3，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋b ，得y ＝－y 24＋b ，即y 2＋4y －4b ＝0，Δ＝16＋16b >0，所以b >－1，y 1＋y 2＝－4，因为x 1＝y 214，x 2＝y 224，所以k 1＋k 2＝y 2－2y 224－1＋y 1－2y 214－1＝4()y 2－2y 22－4＋4()y 1－2y 21－4＝4y 2＋2＋4y 1＋2＝4()y 1＋2＋y 2＋2()y 2＋2()y 1＋2＝0.因此k 1＋k 2＝0.与抛物线有关的最值问题典例 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离． 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点， 则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232－43＋8＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232＋203＝35⎝⎛⎭⎫t －232＋43.所以当t ＝23时，d 取得最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.故最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[素养提升] 求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 三圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为mxx 0＋nyy 0＝1; 对比记忆抛物线y 2=2px 切线为yy 0=p(x+x 0)1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2答案 C解析 抛物线的标准方程为x 2＝－4y ，则准线方程为y ＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x B. y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y答案 AD解析 当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．若抛物线y ＝ax 2()a >0的焦点与椭圆x 22＋y 2＝1的上顶点重合，则a 等于( )A.12B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 椭圆x 22＋y 2＝1的上顶点是()0，1 抛物线y ＝ax 2()a >0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ， 因为两点重合，所以14a ＝1，所以a ＝14.5．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 D解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点， 所以3p －p ＝⎝⎛⎭⎫p 22，解得p ＝8.6．已知双曲线x 2m －y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________.答案 3解析 由题意得m ＋1＝22，解得m ＝3.7．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________． 答案 (－6,62)或(－6，－62)解析 由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3,0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )， 则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2. 所以所求点的坐标为(－6,62)或(－6，－62)．8．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为________，准线方程为________． 答案 (1,0) x ＝－1解析 圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1. 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程． 解 方法一 如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ， 则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.方法二 设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10．花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，点P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)解 如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P (－1，－1)在抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .又点B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝ 2 m ， 则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝(2＋1) m ，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.11．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为抛物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P 到准线x ＝－1的距离是5，则点P 到y 轴的距离是4，所以P (4，±4)，所以△PFO 的面积为12×1×4＝2.12．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________. 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________. 答案 14解析 根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8，则m ＝±4，不妨取M (1,4)，又A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2， 由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.14．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 2解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F (1,0)到直线l 1的距离d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.15．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 答案 ②④解析 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．16．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|P A |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解 (1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由抛物线的定义，知|PF |＝d ， 于是问题转化为求|P A |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12， 因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |， 则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 A解析 由题意，知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， ∵抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23， 则P (3，±23)，∴点P 到抛物线的准线的距离为3＋1＝4， ∴点P 到抛物线的焦点F 的距离为4.故选A.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在答案 B解析 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2， ∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， ∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6，故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24.7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p2＝3，∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________． 解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x . 过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1， 因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程． 解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． (1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0， 所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点． (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1，①因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，②由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________． 答案15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________． 答案 x ＝5p2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－yx＝－1.所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2. 因为x ≠0.所以x ＝5p 2.所以直线AB 的方程为x ＝5p2.13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y23＝1得||x ＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8， 所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k 等于( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4.y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k ，y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.1．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹是抛物线．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0答案 B解析 因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 所以当x ＝0时，z 最小，最小值为3.4．(多选)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－4 D ．4答案 CD解析 ∵抛物线C ：y ＝x 28，∴x 2＝8y ， ∴焦点F (0,2)，准线方程为y ＝－2.∵A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，由抛物线的定义，得y 0＋2＝2y 0，∴y 0＝2，∴x 20＝16，∴x 0＝±4.5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，||AF ·||BF ＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， 由抛物线的定义可知，||AF ＝x 1＋p 2，||BF ＝x 2＋p 2， ∴||AF ·||BF ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 22解析 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p 2＝－2，故p ＝2 2. 7．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为________．答案 12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4，∵A ，B 在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，相减得 y 21－y 22＝2(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝24＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l 的斜率为k ，过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ()x －x 0，消y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0， 由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．求曲线C 1的方程． 解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .方法二 由题设知，条件“对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值”等价于“曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离”．所以，曲线C 1是以点(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，所以曲线C 1的方程为y 2＝20x .10．已知抛物线y 2＝－8x 的顶点为O ，点A ，B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，求证：直线AB 经过一个定点．证明 设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为－1k，则直线OA 的方程为y ＝kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝－8x ，得A ⎝⎛⎭⎫－8k 2，－8k ， 同理可得B (－8k 2,8k )，于是直线AB 的方程为y －8k ＝8k ＋8k 8k 2－8k 2(x ＋8k 2)，整理可得y ＝k 1－k 2(x ＋8)， 因此直线AB 经过定点(－8,0)．11．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由题意可知，直线AB 的方程为 y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94， 故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．33答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)，则直线AB 在x 轴上的截距是( )A ．5 B.15 C.14D ．4 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 2216＋y 1y 2＝5，因为y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－20. 设直线AB 在x 轴上的截距为m ， 若AB 斜率不存在，则y 1＝－y 2，所以y 1＝25，从而x 1＝5，m ＝5，若AB 斜率存在，设直线AB 方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4km ＝0，y 1y 2＝－4m ＝－20，m ＝5.综上，直线AB 在x 轴上的截距是5.14．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，则|F A |·|FB |的值为________．答案 8解析 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0， Δ＝36－4＝32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，F (1,0)，|F A |·|FB |＝(x 1－1)2＋y 21·(x 2－1)2＋y 22 ＝x 21－2x 1＋1＋4x 1·x 22－2x 2＋1＋4x 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝8.15．已知直线l 与抛物线y 2＝6x 交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1·k 2＝3，则直线l 恒过定点( )A ．(－63，0)B ．(－33，0)C ．(－23，0)D ．(－3，0) 答案 C解析 设直线l 为x ＝my ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝6x ，消去x 可得y 2－6my －6n ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1y 2＝－6n ，因为k 1·k 2＝3，即y 1x 1·y 2x 2＝3，所以y 1y 2y 216·y 226＝36y 1y 2＝36－6n ＝3， 所以n ＝－23，所以x ＝my －23，所以直线l 一定过点()－23，016．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1，0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1，0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意可知直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎨⎧ y ＝k ()x －1＋2y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，已知此方程一个根为1，∴x 1×1＝()k－22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝()－k 2－4()－k ＋4()－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k ，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k－8k＝－1， 所以，直线AB 的斜率为定值－1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 : 如图,由题意可知点M到点F的距 离等于它到直线x + 4 = 0的距离.故可 得, 点M的轨迹是一条以F为焦点, 直 线x + 4 = 0为准线的抛物线.由抛物线 的定义可知 : 点M的轨迹是一条以 F (4,0)为焦点, x = −4为准线的抛物线, 此时, p = 8. 故所求的点M满足的方程是 : y 2 = 16 x.
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( − ,0 ) x = ） 2 x（p>0） 2
y
O
1
F
l
x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y = − ） 2 2 x∈R x （p>0） ∈ y轴 轴 x2 y≤0 x∈R ∈
y
O F
= -2py F (0,− p ) y = p x（p>0） 2 2 ）
新课程 新思想 新理念
复习回顾：
前面我们已学过椭圆的几何性 质,它们都是通过标准方程的形式 它们都是通过标准方程的形式 研究的,现在请大家想想抛物线的 研究的 现在请大家想想抛物线的 标准方程、图形、 标准方程、图形、焦点及准线是 什么? 什么
y 2 = 2 px( p > 0)
图 形
y
l O F x l O x
o
F( p ,0 ) 2
y
P(x,y)
x
4.离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它 抛物线上的点与焦点的距离和它 距离 到准线的距离 之比， 到准线的距离 之比，叫做抛物线的离 心率，由抛物线的定义，可知e=1。 心率，由抛物线的定义，可知 。
通径： 标准方程中2p的几何意义 通径： 标准方程中 的几何意义） 的几何意义） （ 通过焦点且垂直对称轴的直线， 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 两点的线段叫做抛物线的通径。 通径
y
O F
= -2py F (0,− p ) y = p x（p>0） 2 2 ）
l
例题讲解
例2点M到点F (4,0)的距离比它到直线l : x + 6 = 0 的距离小2.求点M满足的方程.
分析 :由题意知, 点M到定点F的距离比到定 直线的距离小2, 故必定存在另一定直线使 得点M到定点F与到这条直线的距离相等. 只需求出该直线,问题就解决了.
l
0
2
y
2.8 3.5
4
(2)描点： 描点： 描点
1
(3)连线： 连线： 连线
O
1
x
课堂练习
图中是抛物线形拱桥， 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2米，水面宽4米. 水下降 米后，水面宽多？ 米,高 米 水面宽 米 水下降1米后 水面宽多？ 米后， 若在水面上有一宽为2米 高 若在水面上有一宽为 为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？ 米的船只，能否安全通过拱桥？ － A（2,－2） A（2,－2） x2=－2y y=－3代入得 x = － 代入得
方 程
焦 点
准 线
y2 = 2px （p>0） ） y2 = -2px （p>0） ） x2 = 2py
x l
p F ( ,0) 2
y
F
p F (− ,0) 2 p F (0, ) 2
p F (0,− ) 2
y
O
F
（p>0） ） x2 = -2py （p>0） ）
y
O
l F x
p x=− 2 p x= 2 p y=− 2 p y= 2
y = 2 px ( p > 0)
2
2
又因为点M在抛物线上： 又因为点M在抛物线上：
2) = 2 p × 2 ∴ p = 2
= 4x
因此所求抛物线标准方程为： 因此所求抛物线标准方程为：2 y
作图： y = 4 x 作图：
2
(1)列表（在第一象限内列表） 列表（在第一象限内列表） 列表
x y 0 1 2 3 4 … …
x≥0 y∈R ∈ x≤0 y∈R ∈ (0,0) x轴 轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0 ) x = − ） x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( − ,0 ) x = ） 2 x（p>0） 2
y≥0 F (0, ) y = − ） 2 2 x∈R x （p>0） ∈ y轴 轴 x2 y≤0 x∈R ∈
y o l 2 B A
6
∴ 水面宽2 6
B（1，y） y=－0.5 （ ， ） － B到水面的距离为 米 到水面的距离为1.5米 到水面的距离为 不能安全通过
4
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R ∈ x≤0 y∈R ∈ (0,0) x轴 轴
e
y2 = 2px p p F ( ,0 ) x = − ） x （p>0） 2 2
问题 参照椭圆性质的讨论方法,根据下图及抛物线 的标准方程来研究它的几何性质.
y
P(x,y)
y = 2 px( p > 0)
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
1.范围
由抛物线y 由抛物线 2 =2px（p>0） （ ）
而
y
P(x,y)
2 px = y ≥ 0
2
所以抛物线的范围为 x ≥ 0
抛物线在y轴的右侧， 的值增大时， 抛物线在 轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 轴的右侧 的值增大时 ︱ 也增大， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸.抛物线是无界曲线 抛物线是无界曲线. 延伸 抛物线是无界曲线
y
P ( x 0 , y0 )
O
F
x
通径的长度：2P
P越大 开口越开阔 越大,开口越开阔 越大
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 顶点 端点 反映抛物线基本特征的草图。 反映抛物线基本特征的草图。
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
⇒x≥0
p>0
o
F(
p ,0 ) 2
x
2.对称性
通过观察图像可知,抛物线 关于x轴对称,我们把抛物线 的对称轴叫作抛物线的轴. 抛物线只有一条对称轴.
y
P(x,y)
o
F(
p ,0 ) 2
x
3.顶点
抛物线和它的轴的交点 叫作抛物线的顶点.
在方程y 2 = 2 px( p > 0)中, 当y = 0 时, x = 0,因此抛物线的顶点就是 坐标原点.
x=-4 O F
x
x=-6
y
M
例3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在 已知抛物线关于x轴对称， 已知抛物线关于 轴对称 − 坐标原点，并且经过点M（ ），求它 坐标原点，并且经过点 （２， 2 2 ），求它 的标准方程，并用描点法画出图形。 的标准方程，并用描点法画出图形。
因为抛物线关于x轴对称， 解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐 标原点，并且经过点M（２， 2 ）， 标原点，并且经过点M −2 所以设方程为： 所以设方程为： 所以： 所以：−2 (