初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手的旋转

等腰直角三角形手拉手的旋转

例：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，如图，当点D在线段BC上时，求证：（1）CF=BD;（2）CF⊥BD;

分析：根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性质可得AD=AF, ∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形的对应角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直的定义证明即可.

证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°，

∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中，

AB AC

BAD CAF

AD AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，∴△ABD≌△ACF，

所以CF=BD.

（2）∠ACF=∠ABD,

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴CF⊥BD;

总结：（1）两个相似的共直角顶点的等腰直角三角形，旋转所形成的全等三角形相对孤立的边的关系是垂直且相等，如图，△BCD≌△ECA，则AE=BD.AE⊥BD,

（2）延伸：两个共顶点的全等三角形旋转90°时，对应的孤立边的位置关系是垂直且相等,如图，BC=DE.BC⊥DE.

练习：1.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD 分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由

2.如图,已知F是正方形ABCD中BC边上一点,延长AB到E,使得BE=BF,试用旋转的性质说

明:AF=CE且AF⊥CE.

3.(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

①当点D在AC上时,如下面图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;

②将下面图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如下面图2,线段BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.

(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.

甲:AB︰AC=AD︰AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;

乙:AB︰AC=AD︰AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;

丙:AB︰AC=AD︰AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.

1.2100027377

分析：由于条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角相等即∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．解：猜测AE=BD，AE⊥BD；

理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB，

又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC=CD，CE=CB，

在△ACE 与△DCB 中，

AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACE ≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；

∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠DHF=∠ACD=90°，

∴AE ⊥BD ． 2. 3.

分析：（1）①BD=CE ，BD ⊥CE ．根据全等三角形的判定定理SAS 推知△ABD ≌△ACE ，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE 、对应角相等∠ABF=∠ECA ；然后在△ABD 和△CDF 中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD ⊥CF ；

②BD=CE ，BD ⊥CE ．根据全等三角形的判定定理SAS 推知△ABD ≌△ACE ，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE 、对应角相等∠ABF=∠ECA ；作辅助线（延长BD 交AC 于F ，交CE 于H ）BH 构建对顶角∠ABF=∠HCF ，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；

（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC （或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．

解：（1）①结论：BD=CE ，BD ⊥CE ；

②结论：BD=CE ，BD ⊥CE…1分

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE

∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）.

∴BD=CE ，

延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE.

（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°