高一数学(人教A版)二次函数与一元二次方程、不等式(2)-课后练习
人教A版(2019)高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题(含答案)
人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
二次函数与一元二次方程不等式(两个课时)高一数学教学课件练习(人教A版2019)
x2 30x 200 0 解集为{x |10 x 20} 又 x 15 15 x 20 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个 15 元到 20 元之间(包括 15 元但不包括 20 元),才能 使这批削笔器每天获得 400 元以上的销售收入. 【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.
课本P55 习题
3.已知 M x 4x2 4x 15 0 ， N x x2 5x 6 0 ，求 M N ， M N .
【详解】
M
x 4x2 4x 15 0
x 2x 32x 5 0
x
x
3 2
或
x
5 2
，
N x x2 5x 6 0 x x 1 x 6 0 x x 1或 x 6.
因此，
M
N
x
x
3 2
或
x
6，
M
N
x
x
1
或
x
5 2
.
【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数
集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
课本P55 习题
4.一名同学以初速度 v0 12m/s 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2m 以上的位置最多停
|
x
1或
x
3 2
；
（6） x2 3x 4 0 其相应方程 x2 3x 4 0 的判别式为 32 4 4 7 0 ，
所以不等式 x2 3x 4 0 的解集为 R；
章节： 第二章一元二次函数、方程和不等式
.1二次函数与一元二次方程、不等 式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(析训练)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划
2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A 版2019必修第一册)第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、单选题1．（2021·全国高一专题练习）不等式220x x ->的解集为（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x < C ．{}02x x <<D ．{0x x <或}2x >2．（2021·全国）关于x 的不等式ax －b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －3）>0的解集是（ ） A ．{1x <-或}3x > B ．{x |－1<x <3} C ．{x |1<x <3}D ．{x |x <1或x >3}3．（2021·全国）二次不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，则ab 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．6-D ．64．（2021·江苏）不等式()2110m x mx m +-+-<的解集为∅，则m 的取值范围是（ ）A ． 1m <-B ．m ≥C ．m ≤D ．m ≥或m ≤5．（2021·全国）将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<6．（2021·全国高一课时练习）已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤7．（2021·全国高一专题练习）已知命题p ： “[)1,x ∀∈+∞，20x a -≥”，命题q ： “0x R ∃∈，200220x ax a ++-=”，若命题p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}|2,1a a a ≤-=或 B ．{}|2,12a a a ≤-≤≤或 C ．{}1a a ≥D ．{}21a a -≤≤8．（2021·全国高一课时练习）若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解为一切实数，则实数m 的取值范围为（ ）．A ．1()8-∞-，B ．11()()44-∞-⋃+∞，，C ．11()24--，D ．∅9．（2021·江西南昌十中高一月考）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-10．（2021·全国）若不等式()()20ax x b --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则（ ） A ．0a >，12ab =B ． 0a >，2ab =C ．0a >，2a b =D ．0a >，2b a =二、多选题11．（2020·江苏高一月考）已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>12．（2020·江苏省黄桥中学高一月考）已知关于x 的不等式230ax bx +-<，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）A ．不等式230ax bx +-<的解集可以是RB ．不等式230ax bx +-<的解集可以是{}|3x x >-C ．不等式230ax bx +-<的解集可以是∅D ．不等式230ax bx +-<的解集可以是{}|13x x -<<13．（2021·江苏南京·）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分条件有（ ）．A ．0aB ．322a -+C ．33a --<<-+0aD ．3a <--14．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ） A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当1,4a b ==时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}|04x x ≤≤ C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b |≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b |≤≤，那么4b a -= 15．（2020·江苏省江阴高级中学高一月考）下列结论正确的是（ ）A ．当0x >2≥ B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为()(),15,-∞-+∞C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．对于x R ∀∈，22421ax x x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是[)6,+∞三、填空题16．（2021·汕头市潮师高级中学高一月考）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______.17．（2021·江西省南城一中（文））已知0x >，0y >且211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围______.18．（2020·河北武强中学）不等式20ax bx c ++>的解集是1{|3}2x x -<<，则不等式20cx bx a ++>的解集为______．19．（2021·广西南宁·高一月考）函数222y mx mx m =-++的定义域是R ，则实数m 的取值范围是________． 20．（2020·上海市松江一中高一月考）若不等式2(1)(1)10a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________.21．（2021·浙江湖州中学高一月考）如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x 的取值范围为________.四、解答题22．（2021·湖南省邵东市第三中学）已知()222:8200,2100p x x q x x m m +-≤-+-≤>:，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．23．（2020·如皋市第一中学高一月考）已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >． （1）求a 、b 的值；（2）m 为何值时，230ax mx ++≥的解集为R ？（3）解不等式()20ax ac b x bc -++<．24．（2021·南昌市八一中学）已知函数()2()11()f x ax a x a R =-++∈（1）若()2f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式()0f x ≥的解集；25．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）（1）若函数268y mx mx m =+++有且仅有一个零点，求m 的值； （2）若关于x 的不等式2680mx mx m +++≥在R 上恒成立，求m 的取值范围．26．（2020·江苏省南京市第十二中学高一月考）（1）已知集合()(){}222240x m x m x R ----<=，求实数m 的取值范围；（2）在R 上定义运算“*”：()1a b a b *=+，若存在[]1,2x ∈，使不等式()()10m x m x -*+<成立，求实数m 的取值范围.27．（2020·四川树德中学）函数()()()2f x x a x a =--，a 为参数， （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）当[]1,1x ∈-，()f x 最大值为M ，最小值为m ，若4M m -≤，求参数a 的取值范围；（3）若0a >且1a ≠，()()g x f x a =-在区间[]53,51a a --上与x 轴有两个交点，求a 的取值范围．参考答案1．D 【详解】解不等式220x x ->可得0x <或2x >，故原不等式的解集为{0x x <或}2x >. 故选：D. 2．A 【详解】由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以（ax ＋b ）（x －3）＝a （x ＋1）（x －3）>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}. 故选：A 3．D 【详解】不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，0a ∴<，∴原不等式等价于210ax bx ---<，由韦达定理知113ba -+=-，1113a-⨯=，3a ∴=-，2b =-，6ab ∴=．故选：D ． 4．B 【详解】因为不等式()2110m x mx m +-+-<的解集为∅，∴不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立①当m +1=0，即m =1-时，不等式化为2x -≥0，解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去；②当m +1≠0，即m ≠1-时，对任意x ∈R 要使()2110m x mx m +-+-≥，只需m +1>0且()()()24110m m m ∆=--+-≤，解得m ≥.综上，实数m 的取值范围是m ≥故选：B. 5．A 【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元， 则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<. 故选：A 6．B 【详解】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩， 则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B. 7．A 【详解】由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真命题，故[)1,x ∀∈+∞，2x a ≥恒成立，2minx =1，得1a ≤；由命题q 为真命题，知()24420a a ∆=--≥成立，得2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围为{}|2,1a a a ≤-=或. 故选：A. 8．D 【详解】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去， 当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m >且0∆≤， 即0m >且()2214(1)0m m m +--≤，无解， 综上，m 的取值范围为∅. 故选：D ． 9．C 【详解】若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即max 1a x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，max 52y =-，所以52a ≥-.故选：C 10．B 【详解】由选项可知0a >，故原不等式等价于 ()20x x b a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭， 当0b ≤时，显然不满足题意，故0b >， 由二次函数的性质可知，此时必有2b a=，即2ab =， 故选：B 11．BCD 【详解】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下， 即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>， 又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确； 对D ，1ca=-， 0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD. 12．ABD 【详解】A ：当0a <且2120b a ∆=+<时，解集是R ，正确；B ：当0,1a b ==-时，有30x --<，则解集是{}|3x x >-，正确；C ：当0a ≤：解集不可能为空集；当0a >：2120b a ∆=+>，解集不可能为空集，错误；D ：当1,2a b ==-时，有(3)(1)0x x -+<，则解集是{}|13x x -<<，正确. 故选：ABD 13．AD 【详解】关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解，若0a =，则20x -->，即2x <-，符合题意；若0a >，则()2120ax a x +-->，符合题意；若0a <，则()2120ax a x +-->，则需满足()()24120a a ∆-=-⨯->，即3a >-+3a <--，故30a -+<或3a <--综上：3a >-+3a <--； 结合充分条件的概念以及选项可知选AD ， 故选：AD 14．ABD 【详解】解：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以48(1)0b ∆=-<，从而不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅，所以A 正确； 当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}|04x x ≤≤，所以B 正确； 当23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b |≤≤，2min 3(34)4a x x ≤-+，即1a ≤，因此,x a xb ==时函数23344y x x =-+值都是b ，由当x b =时，函数值为b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =，当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，所以C错误；当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，所以D 正确，故选：ABD 15．ABD 【详解】对于A ，当0x >2≥=1x =时，等号成立，故A 正确；对于B ，若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则1-和3是方程210ax bx ++=的两根，且0a <，则13113b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,33a b =-=，则不等式23650ax bx ++<即2450x x -->，解得1x <-或5x >，故B 正确；对于C ，当54x <时，450x -<，则11425432314554x x x x ⎛⎫-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立，故C 错误； 对于D ，可得对于x R ∀∈，()22410a x x -++≥恒成立，当2a =时，410x +≥，不满足题意；当2a ≠时，则()2204420a a ->⎧⎨∆=--≤⎩，解得6a ≥，故a 的取值范围是[)6,+∞，故D 正确.故选：ABD. 16．{}3x x > 【详解】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴ 6a =， ∴13x a x -≤-可化为303x -≤- ∴3x > ∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >， 故答案为：{|3}x x >. 17．24m -<< 【详解】∵0x >，0y >，且211x y+=，∴()21422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x=，即4,2x y ==时等号成立，∴2x y +的最小值为8， 由228m m -<解得24m -<<， 故答案为：24m -<<． 18．{|2x x <-或13x ⎫>⎬⎭【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是1{|3}2x x -<<，所以05232a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩ ，所以不等式20cx bx a ++>为210c bx x a a++<， 即2351022x x --+<，即23520x x +->，解得2x <-或13x >，所以不等式20cx bx a ++>的解集为{|2x x <-或13x ⎫>⎬⎭，故答案为：{|2x x <-或13x ⎫>⎬⎭19．[0，＋∞) 【详解】因为函数y R ， 当m ＝0时，符合题意；当m ≠0时，由题意知mx 2－2mx ＋m ＋2≥0对x ∈R 恒成立，则2044(2)0m m m m >⎧⎨∆=-+≤⎩， 解得m ＞0. 综上，m ≥0.所以实数m 的取值范围是[0，＋∞). 故答案为：[0，＋∞). 20．(]3,1- 【详解】①当1a =时，不等式化为10-<对一切x ∈R 恒成立，因此1a =满足题意；②当1a ≠时，要使不等式()()21110a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立， 则必有210314(1)(1)(1)04(1)a a a a a -<⎧⎪∴-<<-⋅---⎨<⎪-⎩． 综上①②可知：实数a 取值的集合是(3,1]-．故答案为：(]3,1-．21．01x <<【详解】设花卉带宽度为x 米()03x <<， 则中间草坪的长为82x -米，宽为62x -米，根据题意可得()()18262862x x -⋅->⨯⨯， 整理得：2760x x -+>，即()()610x x -->，解得01x <<或6x >，6x >不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为01x <<，故答案为：01x <<.22．[)11,+∞【详解】由不等式()()28202100x x x x +-=-+≤，解得102x -≤≤，又由2221(1)(1)0x x m x m x m -+-=-+--≤，因为0m >，可得11m x m -≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，则满足11012m m -≤-⎧⎨+≥⎩且等号不同时成立 ，解得11m ≥， 所以实数m 的取值范围[)11,+∞．23．【详解】（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则320a -+=，得1a =，方程为2320x x -+=，由韦达定理可得12b ⨯=，解得2b =；（2）由题意可知，关于x 的不等式230x mx ++≥的解集为R ，所以，2120m ∆=-≤，解得m -≤（3）不等式()20ax ac b x bc -++<，即为()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<．①当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，原不等式无解．综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；当2c =时，原不等式的解集为∅．24．【详解】解：（1）因为函数2()(1)1()f x ax a x a R =-++∈，所以()2f x x <-恒成立等价于：2(1)12ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax --<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，满足题意;当0a ≠时，要使210ax ax --<恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩， 即2040a a a <⎧⎨+<⎩，解得40a ． 综上所述，实数a 的取值范围是(]4,0-．（2）由()0f x 得2(1)10ax a x -++≥，即(1)(1)0ax x --≥又因为0a >，所以：当11a>，即01a <<时，不等式(1)(1)0ax x --≥的解集为1(1][,)a -∞+∞， 因此不等式()0f x 的解集为1(1][,)a-∞+∞， 当11a =，即1a =时，可得2(1)0x -≥，不等式()0f x 的解集为;R 当11a<，即1a >时，不等式(-1)(-1)0ax x ≥的解集为1(][1,)a -∞+∞，， 因此不等式()0f x 的解集为1(][1,)a-∞+∞， 25．（1）1m =；（2）01m ≤≤．解：（1）当0m =时，8y =无零点；当0m ≠时，268y mx mx m =+++有且仅有一个零点，则()236480m m m -+=，即：20m m -=，解得：1m =或0m =（舍），所以1m =. （2）当0m =，80≥恒成立，所以0m =成立；当0m ≠时，()2036480m m m m >⎧⎨-+<⎩，解得：01m <<. 故01m ≤<.26．（1）(]2,2-；（2）()4,3-.【详解】（1）因为对于任意x ∈R ,都有()()222240m x m x ----<恒成立.①当m -2=0,即m =2时，不等式为-4<0对任意x ∈R 恒成立,∴m =2符合题意；②当m -2≠0,即m ≠2时， ()()222240m x m x ----<对于任意x ∈R 恒成立，只需()()()220224240m m m -<⎧⎪⎨⎡⎤----⨯-<⎪⎣⎦⎩,解得222m m <⎧⎨-<<⎩，所以-2<m <2. 综合①②可得实数m 的取值范围是(-2,2].（2）由题意知不等式()()10m x m x -*+<化为()()110m x m x -++<，即2210m m x x +-<-.设()[]2,1,2f x x x x =-∈,则()f x 的最大值是()2422f =-=所以令2102m m +-<,即2120m m +-<，解得-4<m <3,即实数m 的取值范国是(-4,3)27（1）由题意，函数()()()2f x x a x a =--，因为()0f x >，即()()20x a x a -->，当0a >时，不等式的解集为{} 2xx a x a <>∣或； 当0a =时，不等式的解集为{} 0xx R x ∈≠∣且； 当0a <时，不等式的解集为{}2 xx a x a <>∣或． （2）由函数()()()22223123224f x x a x a x ax a x a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭， 即函数()f x 是开口向上，以32x a =为对称轴的二次函数， 当312a ≤时，即2233a -≤≤时，满足()()31423142f f a f f a ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即229134491344a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩，解得2233a -≤≤； 当312a >时，即23a >时，有()()114f f --≤，可得23a ≤，故a 不存在， 综上可得参数a 的取值范围22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）由题意，函数()()g x f x a =-，0a >且1a ≠，且()0f x >，解得x a <或2x a >，因为()f x 的对称轴为32x a =， 故可得()f x 在(),a -∞上单调递减，在()2,a ∞上单调递增，故当[]()53,51,a a a --⊆-∞或[]()53,512,a a a --⊆+∞时，()0g x =不可能有两解， 故53512a a a a -<⎧⎨->⎩，解得1334a <<．．．① 由()0g x =有两解，可得()f x a =有两解，由()f x 是开口向上，以32x a =为对称轴的二次函数， 只需()()5351f a a f a a ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩．．．．．②， 联立①②求得：12a ≤≤ 故a的取值范围为12⎡⎢⎣⎦．。
2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义2-3 二次函数与一元二次方程、不等式 (解析版)
二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表解析【练1】二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R 的条件是( ) A ．{a >0△>0B ．{a >0△<0C ．{a <0△>0D ．{a <0△<0解析 由题意可知二次不等式ax 2+bx +c <0，对应的二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下，所以a <0 二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R ，所以△<0． 故选：D ． 【练2】解不等式(1) x 2−x −6≤0 (2) x 2−3x +4<0 (3) x 2−4x +4>0 解析 (1) −2≤x ≤3 (2) ∅ (3)x ≠2 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于a b>0与ab >0均意味a,b 同号，故ab>0与ab >0等价的；ab<0与ab <0均意味a,b 异号，故ab <0与ab <0等价的； 可得① f (x )g(x)>0⇒f (x )g (x )>0，f (x )g(x)≥0⇒f (x )g (x )≥0且g (x )≠0. 比如x−1x−2>0⇒(x −1)(x −2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x −1)(x −2)≥0且x −2≠0. ② f (x )g(x)<0⇒f (x )g (x )<0，f (x )g(x)≤0⇒f (x )g (x )≤0且g (x )≠0.比如x−1x−2<0⇒(x −1)(x −2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x −1)(x −2)≤0且x −2≠0. 【例】解不等式x+1x−2<0的解集是 .解析 不等式x+1x−2<0，等价于(x +1)(x −2)≤0，解得−1<x <2. 【练】解不等式x−1x−3≤0的解集是 .解析 不等式x−1x−3≤0，等价于{(x −1)(x −3)≤0x −3≠0，解得1≤x <3. ．【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 解下列不等式：(1) −12x 2+72x −5<0；(2) 4x 2+18x +814>0；(3) x−2x+3≥2.解析(1) 二次项系数化为1得：x 2−7x +10>0， 十字相乘得：(x −2)(x −5)>0，解得x >5或x <2. (2) 4x 2+18x +814>0⇔(2x +92)2>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x ≠−94}. (3)不等式x−2x+3≥2⇔x−2x+3−2≥0⇔−x−8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于{(x +8)(x +3)≤0x +3≠0，解得−8≤x <−3.点拨1.求解不等式ax 2+bx +c >0(或<0)，其中a >0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx 2+kx −38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．(−3,0) B ．(),3-∞- (−∞,−3) C ．(−3,0] D ．(−∞,−3)∪(0,+∞) 解析 由题意可知2kx 2+kx −38<0恒成立，当k =0时成立，当k ≠0时需满足{k <0Δ<0，代入求得−3<k <0，所以实数k 的取值范围是(−3,0].点拨 注意二次系数是否为0，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.【典题3】 若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( )A ．[−12,13]B ．[−13,12]C ．[−2,3]D ．[−3,2]解析 不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)， ∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由韦达定理得{−13+12=−2a−13×12=c a，解得a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0，即2x 2−2x −12≤0，解得−2≤x ≤3， 所以所求不等式的解集是[−2,3]， 故选：C ． 【巩固练习】1.下列不等式的解集是空集的是 ( )A ．x 2−x +1>0B ．−2x 2+x +1>0C ．2x −x 2>5D ．x 2+x >2 答案 C2.若不等式kx 2+2kx +2<0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．0<k <2B ．0≤k <2C ．0≤k ≤2D ．k >2答案 C 解析 当k =0时，满足题意；当k >0时，△=4k 2−8k ≤0，解得0<k ≤2； ∴实数k 的取值范围是0≤k ≤2．故选：C ．3.关于x 的不等式x 2+ax −3<0，解集为(−3,1)，则不等式ax 2+x −3<0的解集为 . 答案 {x|−32<x <1}解析由题意知，x=−3，x=1是方程x2+ax−3=0的两根，可得−3+1=−a，解得a=2；所以不等式为2x2+x−3<0，即(2x+3)(x−1)<0，解得−32<x<1，所以不等式的解集为{x|−32<x<1}.4.不等式2x2−x−3>0的解集为.答案{x|x>32或x<−1}解析2x2−x−3>0⇒(2x−3)(x+1)>0⇒x>32或x<−1.5.不等式x2x−1>1的解集为.答案{x|12<x<1}解析原不等式等价于x2x−1−1>0，即x−(2x−1)2x−1>0，整理得x−12x−1<0，不等式等价于(2x−1)(x−1)<0，解得12<x<1．6.若不等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}(1)求不等式ax2−5x+a2−1>0的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2−bx+a>0的解集．答案(1){x|−3<x<12}(2){x|−3<x<−2}解析(1)因为等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}，所以12和2是一元二次方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，解得a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0可化为−2x2−5x+3>0，即2x2+5x−3<0，∴(2x−1)(x−3)<0，解得−3<x<12，所以不等式ax2−5x+a2−1>0的解集为{x|−3<x<12}；(2)由(1)知a=−2，∴二次不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，∴13和12是一元二次方程−2x 2+bx +c =0的两根，∴13+12=−b−2，13×12=−c 2，解得b =53，c =−13，所以不等式cx 2−bx +a >0可化为：−13x 2−53x −2>0， 即x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2．所以关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为{x|−3<x <−2}． 【题型2】求含参一元二次不等式(选学)角度1 按二次项的系数a 的符号分类，即a >0 ,a =0 ,a <0; 解不等式ax 2+(a +2) x +1>0. 解析(不确定不等式对应函数y =ax 2+(a +2) x +1是否是二次函数，分a =0与a ≠0讨论) (1) 当a =0时，不等式为2x +1>0，解集为{x | x >−12} ； (2) 当a ≠0时，∵Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0 (二次函数y =ax 2+(a +2) x +1与x 轴必有两个交点) 解得方程ax 2+(a +2) x +1=0两根x 1=−a−2−√a 2+42a,x 2=−a−2+√a 2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a >0与a <0讨论) (i)当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；(ii)当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.(注意x 1,x 2的大小)综上，当a =0时，解集为{x | x >−12}； 当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.角度2 按判别式的符号分类解不等式x 2+ax +4>0. 解析 ∵Δ=a 2−16(此时不确定二次函数y =x 2+ax +4是否与x 轴有两个交点，对判别式进行讨论) ∴①当−4<a <4，即Δ<0时，解集为R ； ②当a =±4，即Δ=0时，解集为{x | x ≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).解析原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.点拨①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.【巩固练习】1.解关于x的不等式:12x2−ax−a2<0.解析方程12x2−ax−a2=0∴(4x+a)(3x−a)=0，即方程两根为x1=−a4,x2=a3，(1)当a>0时，x2>x1，不等式的解集是{x∣−a4<x<a3}；(2)当a=0时，x1=x2，不等式的解集是ϕ；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集{x∣a3<x<−a4}2.解关于x的不等式 x2+2x+a>0．解析方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a,x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．。
2.3二次函数性质的再研究2—不等式与系数问题2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修1
①当a=0时，f(x)=1不符合要求
②当0<a<1时，开口朝上，
2a
对称轴 x -1
2a
4a （2a ) 2 1
x R，
f min ( x)
4a
2
1
a
2
1 2 1
x x （ ） 0
2 2
1
3
{x | x }
2
2
2
求解析式
例4：已知下列条件的二次函数解析式：
即：mx2-mx-1<-m+5，
∴mx2-mx+m-6<0，
①m=0时，-6<0,符合要求
m 1
②m>0时，开口朝上， 对称轴 x
2m 2
0.5在[1,3]外，结合图像得：f(3)<0
解得m<6/7
∴0<m<6/7
③m<0时，开口朝下， 对称轴 x m 1
2m
2
0.5在[1,3]外，结合图像得：f(1)<0
a
2
a
2
a
2
a
-1
2
1 x a ，a 2
综上：
a = -2
- 1,
2
x -1, - 2 a 0
a
练2：求使得y=-ax2-5x的函数图像处于y=-ax-5上方
的x取值范围 (a<0)
①解：由题意得：-ax2-5x>-ax-5 (a<0)
5
∴-ax2+(a-5)x+5>0
上方的x取值范围(a<0)
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结经典例题 第二章 一元二次函数、方程和不等式
新教材人教A版高一数学必修一知识点总结第二章一元二次函数、方程和不等式【考纲要求】序号考点课标要求1等式与不等式的性质①梳理等式的性质了解②理解不等式的概念理解③掌握不等式的性质掌握2基本不等式①掌握基本不等式掌握②结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题理解3二次函数与一元二次方程、不等式①会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系了解②经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义了解③能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集掌握④借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系了解2.1 等式性质与不等式性质知识点总结1.等式的基本性质性质内容对称性传递性可加性可乘性可除性2.不等式的基本性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性正数乘方性3.比较两个实数大小（1）数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大（2）对于任意两个实数和，①②③4.作差比较法一般步骤（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差（2）变形：对差进行变形，方法有因式分解、配方、通分、分母或分子有理化等（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（4）作出结论5.不等式的推广.（1）几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即若，，…，，则.（2）几个两边都是正数的同向不等式，将它们的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向，即若，，…，，则.（3）.（5）.（6）.考法突破【知识点一等式的基本性质】例1对任意实数，给出下列命题：①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件．其中真命题的序号是__________．答案②④变式训练1给出下列命题①若，则；②方程有两个实根；③对于实数，若，则；④若，则；其中真命题是__________.【知识点二不等式的基本性质】例1若，则（）ABCD变式训练1 已知是实数，给出下列四个命题：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，则其中正确的命题的序号是( ) A①④B①②④C③④【知识点三比较大小】例1已知，，则和的大小关系正确的是（）ABCD变式训练1设，，，则有( )ABCD2.2 基本不等式知识点总结如果,那么，当且仅当时，等号成立。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)-2024-2025学年高一数学同步“导思议展评测”
{|1 < < 2 }
{| ≠ − }
2
∅
∅
复习回顾
问题2 如何求一元二次不等式？
变形
通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数
为正且不等式的右边为0)
求根
求出相应的一元二次方程的根，有三种情况： ∆= 0 (两根相同，
1 = 2 )，∆> 0(两根不同，1 ，2 )，∆< 0(无实数根).
约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数 = 2 − 110 + 3000的图象，结合图象得
不等式 2 − 110 + 3000 < 0的解集为{|50 < < 60}，
从而不等式的解集为{|50 < < 60}.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在
51~59辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益.
1
2
原不等式的解集为{| − 2 ≤ < −1或 ≤ < 3}.
方法小结
分式不等式等价于乘法不等式
同样经历：求根、图像、下结论的步骤
注意：分母不为零
高阶：奇穿偶返
课堂练习
例7 x是何值时， + − 有意义？
解： + − ≥
所以−3 ≤ ≤ 4
根号下大于等于0
(1)
+
>
++
；(2)
− +−
≥ .
分式不等式等价于乘法不等式
同样经历：
2−
2−
−2−1
解：(1)∵
> 1，∴
− 1 > 0，即
二次函数与一元二次方程、不等式(2)-课后练习
（2） ( + 2) > (3 − ) + 1.
2.是什么实数时，下列各式有意义？
（1）√ 2 − 4 + 9；
（2）√−2 2 + 12 − 18.
【综合运用】
1.已知M = { |4 2 − 4 − 15 > 0} ，N = { | 2 − 5 − 6 > 0} ，求M ∩ N，M ∪ N.
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA013
学科
数学
年级
课题
二次函数与一元二次方程、不等式（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册 A 版
高一
学期
第一学期
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
课后练习
【复习巩固】
1.求下列不等式的解集：
（1）14 − 4 2 ≥ ；
2.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 15 元.若按最低售价销售，每天能
卖出 30 个；若一个削笔器的售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 个.为了使这批削笔器每天
获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
【拓展提高】
3
8
1.当取什么值时，一元二次不等式2 2 + − < 0对一切实数都成立？
每个削笔器的销售价格应大于等于 15 元且小于 20 元.
【拓展提高】
3
1.由已知得，当二次函数y = 2 2 + − 的图象开口向下并且与轴相离时，一元二次不
8
3
等式2 2 + − < 0对一切实数都成立，所以{
二次函数与一元二次方程、不等式(课时2 一元二次不等式的应用)讲练课件(人教A版2019必修第一册)
/m
<
问题3：.解一元二次不等式应用题的关键是什么？
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，设其中起关键作用的未知
量为 x ，用 x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
>
m
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返回至目录
新知生成
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤：
（1）阅读理解题意，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系；
当 a − 2 = 0 ，即 a = 2 时，不等式恒成立，符合题意；
当 a − 2 ≠ 0 时，要使不等式恒成立，需满足条件
a − 2 < 0,
解得 −2 < a < 2 ．
Δ = [2 a − 2 ]2 − 4 a − 2 × −4 < 0,
综上所述， −2 < a ≤ 2 .故选A.
返回至目录
>
m
<
>
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<
问题1：.提价后的销售量是多少？
[答案] 提价后的销售量为 10
>
m
<
x−3
−
0.1
× 0.1 万本.
>
/m
<
返回至目录
问题2：.要使得提价后的销售总收入不低于42万元，如何建立不等关系？
[答案] 因为销售总收入不低于42万元，
所以列不等式为 10
>
m
<
x−3
−
0.1
× 0.1 x ≥ 42 .
人教版高中数学必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)【课件】
③当a<0时，原不等式可化为(x－2)x－2a<0.
∵2a<2，∴2a<x<2.
综上，当a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；
当0<a<1时，原不等式解集为x|
x<2或x>2a；
当a≥1时，原不等式解集为x|
x<2a或x>2；
当a<0时，原不等式解集为x|
2 a<x<2.
(2)Δ＝m2＋12m＝m(m＋12)．
②若a≠±1，则当
Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）<0，
a2－1<0
时，不等式的解集为
R，解得－35<a<1.
综上，实数a的取值范围是a|
－35<a≤1.
题型三 实际应用题 例3 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为 1.2万元/辆，年销售量为1 000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次， 适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提 高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－ 投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x之间的关系 式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则每辆车投入成本增加的比例x应 在什么范围内？
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)
题型一 解含参数的一元二次不等式
例1 (1)解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. (2)解关于x的不等式3x2－mx－m>0. 【解析】 (1)原不等式可化为(x－2)(ax－2)>0， ①当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，∴x<2. ②当a>0时，原不等式可化为(x－2)x－2a>0. 若0<a<1，则2<2a，∴x<2或x>2a. 若a≥1，则2≥2a，∴x<2a或x>2.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习
2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、基础巩固1.(2020-四川省三台中学高一月考)不等式(Λ-3)(X+5)>O的解集是( )A. {Λf∣-5<x<3)∣B. {xlx<—5或兀>3}C. {ΛT∣-3<X<5)∣D. {xlx<—3或x>5}【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：y = (x-3)(x+5),如图函数开口向上，与X轴的交点为：(—5,0), (3,0),可得不等式的解集为：{x∣ XV-5或X >3}.2.(2020-江苏省高一期末)不等式X1 2 >8的解集是()A. (-2√2,2√2)B. (-OO,-2√2)<J(2√2,-+<O)C. (-4√2,4√2)D. (-s,-4>^)u(4√∑,+s)【答案】B【解析】由”〉8得x2-8>0,即(x-2√2)(x + 2√2)>0,解得X< -2√2或％> 2√Σ，所以不等式的解集为(―s,_2血)u(2√∑, +∞)■3.(2020-吉林省实验高一期中)不等式X(4-Λ)<3的解集为()A. {xlXVI或x>3}B. {∙φvθ或x>4}C. {x∣l<x<3}D. {x∣0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式X(4-J)<3化简为：X2-4X +3>0, (X-I)(X-3)>0,解得：兀< 1或χ>3.1 31 3 1 3A. {χ∣χv--或x> 二}B. {xlxS--或ΛY二}2 2 2 24.(2020-安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式(x + -)(--x)≥0的解集是()221 3C. {x I —≤ x ≤ —}【答案】C221 3所以不等式的解集为.{xl-≤x≤-}2 25. (2020.浙江省髙一期末)不等式3√÷2x-l<0的解集是(【答案】A【解析】由3√+2x-l≤0> 可得，(x + l)(3x-l)≤0,所以，一15x5*,故选：A6.(2020-盘锦市第二高级中学髙一期末)不等式9-X2< 0的解集为()A. {x∣x>3}B. {xprv-3}C. {x∣-3VXV3}D. {尤卜<一3或/>3}【答案】D【解析】将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,解此不等式得Λ<-3或X>3∙因此,不等式9-X2<0的解集为{x∖x<-3或X>3}.7.(2020-浙江省高一期末)不等式X2-3X-∖0< 0的解集是()A. (—2,5)B. (-5,2)C. (YO5)U(2,+°o)D. (Y)2)U(5,+c<>)【答案】A【解析】解：因为F_3X —10V0,所以(x + 2)(x-5)<0,解得-2<x<5,所不等式的解集为{Λ-∣-2<X<5},故选：A8.(2020-邢台市第二中学高一开学考试)已知集合M ={x∣Y<xv2}, N = {x∖x2-x-6 <0},则MCN =A. {X H<XV3}B. {x∖-A<x<-2}C. {x∖-2<x<2}D. {x∣2<x<3}【答案】C【解析】由题意得，M={Λ∣M<X <2},∕√ = {X ∣-2<X <3},则 MCN = {x|—2vxv2}.故选 C.9. （2020-元氏县第四中学髙一月考）一元二次不等式2/+龙一62O 的解集为（）【答案】A【解析】原不等式可化为（2x-3）（x+2）≥0,解得，χ≤-2,或∏∙∣.10. （2020-浙江省诸暨中学髙一期中）关于X 的不等式（Or-I ）（X-I ）<0（Λ>1）的解集为（）A. I h — B ・-G O,— IU （h+cc ） C. I 丄,1 D ・（一8,1）U —.+CCj∖ a ）U 丿 W ）【答案】C【解析】方程（Or-I ）（X-I ）=O 的两根分别为丄,1,又a>∖,所以丄<1,故此不等式的解集为（丄,1 aa ∖ ClH. （2019∙天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是卜∣ΛL 则d+b 的值【解析】X 2—(d + l)x + dv θu>(x-d)(x-l)v θ,因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为 XW(I,d),是（）A. 10【答案】DB. -10C. 14D. -14【解析】解：根据题意，一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是-∣Λ则方程心+反+ 2 = 0的两根为冷和扌,则有<1<~2>「刃31 h+ —=——3G,解可得 a = —12 ♦ b = —2、1 2则α+b = -14,故选：D.12. （2020•安徽省六安中学髙一期末（理））关于X 的不等式X 2- 3+l ）x+d <0的解集中恰有两个正整数,则实数"的取值范国是（）A. [2, 4)【答案】CB. [3, 4]C. (3, 4]D. (3, 4)D.两正整数为2/5,故Λ∈(3,4]V2 - 2 r - ?13.(2020-吉林省实验髙一期末)不等式A、」-V 2的解集为()Jr + X +1A. {x∣x≠-2}B. RC. 0D. {xlXV-2或x>2}【答案】A【解析】由≤≡-2<2得：M二2 =TjTVOΛβ +X+1 χ∙+X+l ΛΓ+X + 1∙.∙χ2 +x + l >0恒成立.∖ -X1 -4x-4 VO又-X2-4Λ--4=-(X +2)2.∙.(X +2)2 >0 .∙.x≠-2不等式I7' 一： < 2的解集为{x∖x ≠ -2}14.(2020-宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式X2+(IX+ ↑≥0对于一切x∈[θ,∣J成立，则α的最小值为()A. YB. 一?C. 2D. -22 2【答案】B【解析】记/(x) = F+dX+l,不等式x2+iιx + ↑≥0对于一切"|°，£|成立，则必须有7(0) = l≥0〔1 1 1 1 n，解得α 2_才，a = _才时，f(x) = X2Λ +1 =(牙_；)2 _77，在Iak j∖ - =- + -a + ∖≥0 2 2 2 4 16 k 2」(2 丿4 2上单调递减，∕ωmin=∕d)=o^满足题意，∙∙.α的最小值是一？.2 215.(2020-浙江省髙一期末)不等式A-2-1<0的解集是()A. (T,l)B. (→×>,-l)C. (-oo,l)D. (v,-l)U(l,P)【答案】A【解析】解：因为A -2-I <0,所以(X-I)(Λ÷1)<0,解得-1<A-<1,即X∈(-l,l) 故选：A16. (2020-重庆高一期末)若关于X 的一元二次不等式ax 2+2x + ∖> 0的解集为R ，则实数。
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1.由已知得，当二次函数 的图象开口向下并且与 轴相离时，一元二次不等式 对一切实数 都成立，所以 ，解得
.
2.分类讨论：当 ，原不等式为 对一切实数 都成立；当 ，由1可得
，所以 .
（1） ； （2） .
【综合运用】
1.已知 ， ，求 .
2.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
【拓展提高】
1.当 取什么值时，一元二次不等式 对一切实数 级
高一
学期
第一学期
课题
二次函数与一元二次方程、不等式（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
课后练习
【复习巩固】
1.求下列不等式的解集：
（1） ； （2） .
2. 是什么实数时，下列各式有意义？
2. 当 取什么值时，不等式 对一切实数 都成立？
【答案与提示】
【复习巩固】
1.（1） ； （2） .
2.（1） ； （2） .
【综合运用】
1.由已知解得 ， ，
所以 ， .
2.设每个削笔器的售价为 （元）,根据题意得每天的销售收入 ，由 得 ，整理得 ，又 解得 ，所以每个削笔器的销售价格应大于等于15元且小于20元.