用一元二次方程解决增长率问题

用一元二次方程解决增长率问题

一元二次方程是初中数学中的重要知识，也是中考的必考考点之一. 利用一元二次方程解决实际问题是这一部分中的重点，也是难点，其中增长率问题是主要题型之一.为了使同学们对此内容有更为深刻的理解，特采撷几例加以分类说明，与同学们共赏.

例1、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改

水工程”予以一定比例的补助.2008年，A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）略

分析：对于增长率问题，若增长前的量为a, 平均增长率为x ，经过连续两次增长后的量为b ，

则a(1+x)2=b.

解：（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则

600(1+x)2=1176

解之，得x ＝0.4或x ＝－2.4（不合题意，舍去）

所以，A 市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.

（2）略

例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．

分析：对于降低率问题，与增长率问题类似，若降低前的量为a, 平均降低率为x ，经过连续两次降低后的量为b ，则a(1―x)2=b.

解：设每次降价的百分率为x ，根据题意得：

100(1－x)2

=81

解得：1x =0.1，2x =1.9

经检验2x =1.9不符合题意，∴x=0.1=10%

答：每次降价百分率为10%．

例3：某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%。商厦从四月份起改进

经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，试求四、五两个月的平均增长率.

分析：先算出三月份的销售额为100（1－20%）万元.设四、五两个月的平均增长率为x ，则

四月份销售额为100（1－20%）（1＋x ）万元，五月份的销售额为100（1－20%）（1

＋x ）（1＋x ）＝100（1－20%）(1+x)2万元，于是可列出方程100（1－20%）(1+x)

2＝135.2.

解：设四、五两个月的平均增长率为x ，由题意得方程

100（1－20%）(1+x)2＝135.2

(1+x)2=1.69

即1+x=±1.3

故x 1=0.3，x 2=－2.3

因为x 2=－2.3不符实际，舍去，所以x=0.3=30%，

即四、五两个月的平均增长率为%30.

例4、某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数．．．．．．．

达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．

分析：若设平均增长率为x, 去年招收50名,则今年招收50(1+x)名，明年招收50(1+x)2名，根据“三年招生总人数．．．．．．．

达到450名”可列方程.解题时要特别注意450是三年招生的总人数，而不是某一年的人数．

解：设平均增长率为x ．

根据题意列方程：50+50(1+x)+ 50(1+x)2=450，

整理得：x 2+3x －6=0

解得：132

x -=（舍），23137137%2x -=≈．≈． 答：平均增长率为137%．

温馨提示：这种增长率(或降低率)的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式，正确解答此类问题的关键是掌握好此类问题中的等量关系的确定方法：在存在基础量a 的前提下，若连续增长（或降低）n 次，且平均增长（或降低）率为x ，则增长后的数量为a(1+x)n （或降低后的数量为a(1－x)n ），要特别注意1与x 的位置不要调换.我们可以把它作为一个固定的公式来理解.另外，求得结果后还要注意解的合理性，正确取舍.

下面几题供练习：

1、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A ．3000(1+x)2=5000

B ．3000x 2=5000

C ．3000(1+x%)2=5000

D ．3000(1+x)+3000(1+x)2=5000

2、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为________.

3、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百

分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）

A ．55 (1+x )2=35

B ．35(1+x )2=55

C ．55 (1－x )2=35

D ．35(1－x )2=55

4、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，

则平均每次降价（ ）

A ．10%

B ．19%

C ．9.5%

D ．20%

参考答案：1、A 2、10% 3、C 4、A