反比例函数最全知识点

合集下载

数学反比例函数知识点大全

数学反比例函数知识点大全

数学反比例函数知识点大全反比例函数知识点反比例函数定义一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x 是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^(-1)。

反比例函数图像性质反比例函数的图像为双曲线。

1.当k 0时,反比例函数图像经过一,三象限,每一象限内,从左往右,y随x的增大而减小。

2.当k 0时,反比例函数图像经过二,四象限,每一象限内,从左往右,y随x的增大而增大。

反比例函数图像是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形,其对称轴为y=x和y=-x;反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。

知识点1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

2.对于双曲线y= k/x,若在分母上加减任意一个实数m (即y=k/x(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移m 个单位。

(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移) 数学反比例函数知识反比例性质1规律:反比函数与一次函数(与正比例函数相交,交点关于原点对称)相交,求线段数量关系时,切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式,那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。

2规律:一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知,此时一次函数所在直线与交点分别于x轴,y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的,同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与x轴,y轴的交点的距离是相等的。

3规律:题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题,利用同底等高三角形面积与高之间的关系,面积与k之间的关系。

求出k(此时不用具体求出点坐标)。

4规律:有中点时利用中点坐标公式,再根据反比函数上任何一点处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。

(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例

(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
似。
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质,我们可以建立 比例关系,从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形,找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中, ∠C=90°,AC=3,BC=4,将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF,若AG⊥DE于点G ,则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$,且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$,求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中,胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中,牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比,与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中,供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时,商 品价格下降;反之,供应量减少时, 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ,解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像,找出交点并 确定其坐标。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结一、定义和性质y=k/x其中k为常数,称为反比例函数的比例常数。

1.y随着x的增加而减小,或随着x的减小而增加。

2.当x=0时,函数y无定义。

3.曲线y=k/x在第一象限中,以坐标轴为渐近线。

二、图像和图像特征第一象限:当x>0时,y>0,两者同号,图像在该象限中呈现右上方向的增长,且随着x增大而逐渐降低,但不会等于0。

这个分支与y轴无交点,但是它和x轴的交点是(1/k,k)。

第二象限:当x<0时,y<0,两者异号,图像在该象限中呈现左下方向的增长,且随着x减小而逐渐增大,但不会等于0。

这个分支与y轴无交点,但是它和x轴的交点是(-1/k,-k)。

三、定义域和值域四、解析表达式五、反比例函数的性质与变换1.反比例函数的比例常数k越大,曲线的形状越平缓,即曲线与坐标轴之间的夹角越小。

2.反比例函数的图像关于y轴对称。

3.对于反比例函数的图像,x轴和y轴是渐近线,即曲线会无限接近x轴和y轴。

4.若给定一个特定的函数值y0,可以通过求解方程y0=k/x,得到x 与y的关系式。

六、反比例函数的应用1.马力与速度的关系:汽车的马力与速度成反比例关系,马力越大,达到其中一速度所需的时间越短。

2.投资收益与投资金额的关系:在一些投资项目中,投资收益与投资金额成反比例关系,这意味着投资金额较小的项目可能会有更高的投资收益率。

3.速度与时间的关系:在物理学中,速度和时间是反比例关系,速度越大,所需的时间越短。

4.电阻与电流的关系:根据欧姆定律,电阻与电流成反比例关系,电阻越大,所能通过的电流越小。

总结:反比例函数是一类常见的函数关系,具有重要的应用价值。

对于反比例函数的定义和性质,需要了解其图像特征以及定义域和值域的范围。

同时,反比例函数可以通过解析表达式表示,并具有一些特殊的性质和变换规律。

在实际生活中,反比例函数有着广泛的应用,例如在汽车马力与速度的关系、投资收益与投资金额的关系、速度与时间的关系以及电阻与电流的关系等方面。

反比例函数知识点总结归纳

反比例函数知识点总结归纳

反比例函数知识点总结归纳反比例函数知识点总结归纳反比例函数的表达式X是自变量,Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x(-1)(即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0,x≠0)假设y=k/nx此时比例系数为:k/n函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的'取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一实在数y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x(-1) y=kx(k为常数(k≠0),x不等于0)反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时,假设能灵敏运用反比例函数中k 的几何意义,会给解题带来很多方便。

拓展阅读:进步数学成绩的窍门学习效率之关于难题很多学生喜欢攻克难题的那种乐趣,于是他们拿出那种不到黄河心不死的精神,有时候消耗一节课时间,攻克一道难题,并且很有成就感。

记住:永远不要花一节课时间去攻克一道难题,这是造成学习效率低下的重大原因。

你用一节课攻克一道题,其他题目怎么办,你时间够用吗,更重要的是,你对这道题目,真的收获很大吗。

看完答案,或者听完讲解之后,你必需要花更多的时间来归纳总结:我为何没有解答出这道题,打破口在哪里,我为什么没找到,是哪些【关键词】:^p 汇触发理解题思路,我该如何建立条件反射,以便以后再次看到这些词汇信息,迅速找到相关打破口。

记住,这才是最重要的工作。

归纳总结很重要数学的归纳总结太重要了。

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理
1. 反比例函数的定义
反比例函数是指当自变量 x 不为零时,函数值 y 的变化遵循比例关系,其中比例常数 k 不等于 0,即 y = k/x。

通常我们把它写成y = k/x+b,其中 b 为常数。

2. 反比例函数的图像
反比例函数的图像在 x 轴上有一个垂线渐近线,而在 y 轴上具有一个水平渐近线。

当 x 接近 0 时,y 显著变化,而当 x 变得很大时,y 变得很小。

例如,如果 k = 1,则函数 y = 1/x+b 的图像看起来如下:
3. 反比例函数的性质
反比例函数的图像不会穿过垂线渐近线和水平渐近线。

当自变量 x 非常大或非常小时,反比例函数的值渐近于 0。

反比例函数也不具有最大值或最小值。

4. 反比例函数的应用
反比例函数有很多实际应用,如工业、商业、科学等领域。

例如,在数学中,它可用于表征第一定律的 Ohm 定律,即电流与电压成反比例关系。

5. 反比例函数的问题解决
解决反比例函数问题的关键在于找到比例常数 k 和常数 b。

这可以通过已知的点对、图像或其他信息来确定。

以上是反比例函数的知识点梳理,希望对您有所帮助。

反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总

反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征:反比例函数的定义为y=k/x,在此函数中,x不等于0,k为常数。

反比例函数的图像特点是:经过第一、二象限两点,以y轴和x轴为渐进线,图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现,图像呈现出一种双曲线的形状。

2.反比例函数的基本性质:(a)定义域:x≠0,即x不能为0。

(b)值域:排除0,即y不能为0。

当x趋近于0时,y趋近于无穷大;当x趋近于无穷大时,y趋近于0。

(c)对称中心:该函数关于原点(0,0)对称。

(d)渐进线:图像与x轴和y轴都有渐进线,即当x趋近于无穷大时,y趋近于0;当y趋近于无穷大时,x趋近于0。

(e)单调性:反比例函数在定义域内是单调递减的。

(f)异号性:当x与y异号时,k为负数;当x与y同号时,k为正数。

(g)零点:当x与y相等时,即x=y≠0。

3.确定反比例函数的常数k:y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k,可以得到:y1*y2=k因此,可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。

4.反比例函数的应用:(a)正比例与反比例的混合问题:当一个问题与正比例和反比例函数有关时,可以通过组合两种函数来解决问题。

例如,当一个物体的质量与加速度成反比例关系,而力与加速度成正比例关系时,可以通过设置两个函数来解决问题。

(b)流速与管道宽度:根据波的传播速度,流速与管道宽度成反比例关系。

当管道宽度较小时,流速较大;当管道宽度较大时,流速较小。

(c)投资与收益率:投资的利润与投资金额成反比例关系。

当投资金额较小时,相对的利润率较大;当投资金额较大时,相对的利润率较小。

(d)电阻与电流:电阻与电流成反比例关系,即当电阻较大时,电流较小;当电阻较小时,电流较大。

总结起来,反比例函数是一种特殊的函数关系,其图像呈现出一种双曲线的形状。

反比例函数具有一些基本性质,如定义域、值域、对称中心和渐进线等。

确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。

反比例函数在实际生活中有很多应用,特别是与强度、速度和功率等相关的问题。

第1章 反比例函数 知识点清单 最新最全

第1章 反比例函数 知识点清单 最新最全

第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义:一般地,如果两个变量y与x的关系可表示成y= k(k为常x数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数,k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒:①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数,k≠0),那么x,y就成反比例关系,这里的x和y既可以代表单项式,也可以代表多项式;当x,y只代表一次单项式时,x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例:y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例,x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数,因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值,解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关(k为常数,k≠0).系”时,可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象,在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表:先取一些自变量的值,在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值,如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时,只需计算原点一侧的函数值,另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点:根据表中提供的数据,即点的坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线:用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸,注意双曲线的两支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点:(1)反比例函数y= k(k为常数,k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况,如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0(k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示,过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p(x,y)分别作x轴,y轴的垂线PM,PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I,即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴,y轴的垂线,所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积:如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴,垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中,如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型,再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路:(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系,设出相应的函数表达式,再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值;(2)已知反比例函数模型的表达式,运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法:(1)待定系数法:若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数,则设函数表达式为y=k,( k为常数,k≠0),再求出k的值;x(2)列方程法:若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确,通常列出关于两个变量的方程,通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤:(1)审:审清题意,找出题目中的常量、变量;(2)设:根据常量、变量间的关系,设出函数表达式,待定的系数用字母表示;(3)列:由题目中的已知条件列出方程,求出待定系数;(4)写:用函数的图象和性质去解决实际问题.。

反比例函数最全知识点

反比例函数最全知识点

反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式,它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。

在反比例函数中,当一个变量增大时,另一个变量会相应地减小,反之亦然。

本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为:y=k/x(k≠0),其中y表示因变量(通常是函数的输出值),x表示自变量(通常是函数的输入值),k表示常数。

该定义中的k称为反比例函数的常数项,它决定了反比例函数的性质,也决定了函数图像的形状。

二、反比例函数的图像特征1.零点:当x=0时,由于分母为0,函数无定义。

因此,反比例函数没有定义在x=0的点,这个点称为函数的零点。

2.渐近线:反比例函数有两条渐近线,分别是x轴和y轴。

当x趋近于无穷大或无穷小时,y趋近于0;当y趋近于无穷大或无穷小时,x趋近于0。

3.反比例函数的图像是一个双曲线,由于分母不能为0,因此函数的图像始终存在。

当x取值较小时,y的取值较大;当x取值较大时,y的取值较小。

图像的形状与常数项k相关,k越大,图像越接近于x轴和y 轴。

三、反比例函数的性质1.定义域:反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。

2.值域:反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。

3.奇偶性:反比例函数是个奇函数,即满足f(-x)=-f(x)。

4.单调性:反比例函数在定义域上是单调递减的。

5.对称轴:反比例函数的对称轴为y=x,即函数图像关于对称轴对称。

四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。

具体变换如下:1.平移:当k保持不变时,反比例函数的图像向上平移或向下平移。

若向上平移b个单位,则为y=k/(x+b);若向下平移b个单位,则为y=k/(x-b)。

2.拉伸:当k保持不变时,反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。

若纵向拉伸为a倍,则为y=(k/a)/x;若纵向压缩为a倍,则为y=(a*k)/x。

反比例函数常用知识点总结

反比例函数常用知识点总结

反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数,通常用y=k/x表示,其中k为非零常数。

这种函数的图像是一个双曲线,具有对称轴。

二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0,值域为y≠0。

2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。

3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。

4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线,分别是x轴和y轴。

5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。

6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点,即x=±√k。

当x→0时,y→±∞。

三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线,具有对称轴。

2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。

3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时,反比例函数的图像在第一和第三象限。

当k为负数时,反比例函数的图像在第二和第四象限。

四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系,比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。

2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系,比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。

3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系,比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。

五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义,可以求出反比例函数的定义域和值域。

2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质,可以求出反比例函数的零点和极限。

3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识,画出反比例函数的图像。

4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题,解决实际问题。

六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域,导致在解题过程中出现错误。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义一般地,形如xky =(k 为常数,0k ≠)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数;⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式:①xky =(0k ≠),②1kx y -=(0k ≠), ③k y x =⋅(定值)(0k ≠);⑸函数xk y =(0k ≠)与y kx =(0k ≠)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。

(k 为常数,0k ≠)是反比例函数的一部分,当k=0时,xky =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =(0k ≠)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像与画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置与函数值的增减情况,如下表:反比例函数xky =(0k ≠)k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小。

关于反比例函数的知识点

关于反比例函数的知识点

关于反比例函数的知识点反比例函数是数学中常见的一种函数形式,也称为倒数函数。

在反比例函数中,当自变量的值增大时,因变量的值会相应地减小,反之亦然。

本文将介绍反比例函数的基本概念、特点、图像和应用。

一、基本概念反比例函数是一种特殊的函数,可以用以下形式表示:f(x) = k / x其中,f(x)表示因变量的值,x表示自变量的值,k表示常数。

在反比例函数中,自变量和因变量之间呈现出反比例的关系,即当自变量x的值增加时,因变量f(x)的值减小;而当自变量x的值减小时,因变量f(x)的值增大。

二、特点1. 零点:反比例函数的图像除了原点(0, 0)外,没有其他交点。

2. 定义域:反比例函数的定义域为除了x=0的所有实数。

3. 值域:反比例函数的值域为除了f(x)=0以外的所有实数。

4. 对称轴:反比例函数的图像关于y轴对称,即对于每一个点(x, f(x)),如同点(-x, f(-x))也在图像上。

三、图像反比例函数的图像通常呈现出以下特点:1. 斜渐进线:当x的取值趋近于正无穷大或负无穷大时,f(x)趋近于0。

这意味着反比例函数的图像有两条与坐标轴都平行的渐进线。

2. 反比例曲线:除了渐进线以外,反比例函数的图像是一条经过原点的弧线,呈现出“倒U”字型的形状。

四、应用反比例函数在实际生活中有很多应用。

以下是几个常见的应用场景:1. 电阻和电流关系:欧姆定律中的电阻和电流的关系可以用反比例函数来表示。

根据欧姆定律,电阻R等于电压U与电流I的比值,即R = U / I。

2. 货币兑换:在外汇市场中,货币兑换的汇率通常也遵循反比例的关系。

汇率就是两种货币之间的比值,较低的汇率意味着兑换一单位的本国货币可以获得更多的外币。

3. 速度和时间关系:当物体的速度恒定时,物体在一段时间内所走的距离与时间成反比。

即物体走的距离等于速度乘以时间,d = v / t。

总结:反比例函数是数学中常见的一种函数形式,具有许多特点和应用。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0,x ≠ 0) 的函数,其中 k 为常数,称为比例常数,x 为自变量,y 为因变量。

二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。

2. 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。

3. 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。

4. 双曲线的对称轴是 y 轴。

三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数,其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。

2. 反比例函数的值域为全体实数 R。

3. 反比例函数是奇函数,具有对称性,其对称中心为原点 (0, 0)。

4. 当 x 的值增大时,y 的值减小;当 x 的值减小时,y 的值增大。

5. 反比例函数没有渐近线,但当 x 趋向于 0 时,y 趋向于无穷大或负无穷大。

四、运算法则1. 反比例函数的加法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。

2. 反比例函数的减法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。

3. 反比例函数的乘法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。

4. 反比例函数的除法法则:若 y1 = k1/x1,y2 = k2/x2,则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。

五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。

例如,在电路分析中,电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R,其中 V 为电压,I 为电流,R 为电阻,这可以看作是反比例函数的一个特例。

六、常见问题及解析1. 问题:如何确定反比例函数的定义域和值域?解析:反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数,即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。

反比例函数知识点与题型归纳非常全面

反比例函数知识点与题型归纳非常全面

反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;(1) 求I 与R 的函数关系式; (2) 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业:1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=;水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4;当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A .21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A .m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________;当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法:(1) 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值;(2) 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找;(3) 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注:1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1:画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解:1列表:2描点:(3) 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A .第二、三象限 B .第一、三象限 C .第三、四象限 D .第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义:反比例函数y =k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y =kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A . 2S =B . 4S =C .24S <<D .4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -,,,两点.1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; 2求AOB △的面积.O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-,,则这个函数的图象一定经过点A、(21)--,B、122⎛⎫-⎪⎝⎭,C、(21)-,D、122⎛⎫⎪⎝⎭,3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、-2B、-1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A.2y<1y<0B.1y<2y<0C.2y>1y>0 D.1y>2y>06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,-2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为-2,-3,则A点坐标为_________.9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质:甲:第一、三象限有它的图象; 乙:在每个象限内,y 随x 的增大而减小. 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A -2,1、B1,n 两点.1求反比例函数和一次函数的解析式;2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -,,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ,与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B .1分别求出反比例函数与一次函数的解析式;2求点B 的坐标.第3节 反比例函数的应用 本节内容:运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式; 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =-x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题:1、u 与t 成反比,且当u =6时,81=t ,这个函数解析式为 ; 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点; 3、反比例函数x k y =的图像经过-23,5点、a ,-3及10,b 点,则k = ,a = ,b = ;4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限;5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ;7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m = ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ; 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ; 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ; 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ;二、选择题: 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 -a ,-bB 、 a ,-bC 、 -a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点-3,-4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与-3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 -1或1B 、小于21的任意实数 C 、 -1 D、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点-4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,-8C 、 -8,-3D 、 -4,-67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB =3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6;那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题:第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值;2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。

反比例函数知识点知识点总结

反比例函数知识点知识点总结

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y = k/x(k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中,x 是自变量,y 是因变量。

因为 x 在分母上,所以自变量 x 的取值范围是x≠0。

例如,y = 3/x,y =-5/x 等都是反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式:1、 y = k/x(k 为常数,k≠0)2、 xy = k(k 为常数,k≠0)3、 y = kx^(-1)(k 为常数,k≠0)这三种形式在本质上是相同的,只是形式上有所不同,我们可以根据具体的题目条件灵活选择使用。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

需要注意的是,反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交,因为自变量x≠0,函数值y≠0。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形。

对称轴有两条,分别是直线 y = x 和直线 y = x。

对称中心是坐标原点(0,0)。

2、增减性在每个象限内,当 k>0 时,y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,y 随 x 的增大而增大。

3、渐近线双曲线无限接近于 x 轴和 y 轴,但永远不会与它们相交。

五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y = k/x(k≠0)图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN,垂足为 M、N,则矩形 PMON 的面积 S = PM·PN =|y|·|x| =|xy| =|k|。

2、三角形面积若连接 PO,则三角形 POM 的面积 S = 1/2 |k| 。

六、反比例函数与一次函数的综合应用1、求交点坐标联立反比例函数和一次函数的解析式,组成方程组,解方程组即可得到交点坐标。

反比例函数知识点

反比例函数知识点

反比例函数知识点:1.定义:形如y =xk (k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数。

其中x 是自变量,y 是函数,自变量x 的取值是不等于0的一切实数。

说明:1)y 的取值范围是一切非零的实数。

2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此其解析式也可以写成xy=k ;1-=kx y ;xk y 1=(k 为常数,k ≠0) 3)反比例函数y =xk (k 为常数,k ≠0)的左边是函数,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如xy 1=,x y 213=等都是反比例函数,但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。

2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y =xk 只有一个待定系数,因此只需要知道一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定其解析式。

3. 反比例函数的画法:1)列表;2)描点;3)连线注:(1)列表取值时,x ≠0,因为x =0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y 值(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线(4)由于x ≠0,k ≠0,所以y ≠0,函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交,只是无限靠近两坐标轴4. 图像:反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴:直线y=x 和 y= -x ;对称中心是:原点5. 性质:说明:1)反比例函数的增减性不连续,在讨论函数增减问题时,必须有“在每一个象限内”这一条件。

2)反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴,但与x 轴、y 轴没有交点。

3)越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.4)对称性:图象关于原点对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a ,b )在双曲线的一支上,则(,)和(,) 在双曲线的另一支上.6. 反比例函数y =xk (k ≠0)中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x(k为常数,k≠0)的函数。

其中,自变量x的取值范围为x≠的一切实数,而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k,因此只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。

知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,有两个分支,分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,与原点对称。

由于自变量x≠,函数值y≠,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。

画反比例函数的图像应该先列表,再描点,最后用光滑的曲线连接。

知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。

当k>0时,函数图像的两个分支分别在一、三象限,在每个象限内,y随着x的增大而减小;当k<0时,函数图像的两个分支分别在二、四象限,在每个象限内,y随着x的增大而增大。

反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。

在每个象限内,当k>0时,y随x的增大而减小;当k0.反比例函数y=k/x中,k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。

在反比例函数y=k/x中,k越大,双曲线y=k/x越小,离坐标原点越远;k越小,双曲线y=k/x越大,离坐标原点越近。

双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x和直线y=-x。

练题:1、反比例函数是y=k/x,其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示,自变量x的取值范围相同的是第四象限。

3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。

4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。

九年级数学反比例函数知识点归纳总结

九年级数学反比例函数知识点归纳总结

一、反比例函数的定义:
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x(k≠0),其中k为常数,x≠0。

二、反比例函数的一般式:
1.y=k/x
2.k为比例系数,表示常数项。

三、反比例函数的图像特点:
1.垂直于y轴;
2.不过原点,但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴;
3.上升(k>0)或下降(k<0)。

四、反比例函数的性质:
1.定义域:x≠0,值域:y≠0
2.渐近线:x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性:关于y轴对称。

4.单调性:k>0时,单调递减;k<0时,单调递增。

五、反比例函数图像的平移:
1.y=k/(x-h):左右平移h个单位;
2.y=k/(x)+v:上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系:
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起;
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式,即k=1
七、反比例函数的应用:
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系,如一方
的量增大,另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题,如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________.题型二:反比例函数解析式例3 已知A (﹣1,m )与B (2,m ﹣3)是反比例函数图象上的两个点.则m 的值 .例4 已知y 与2x -3成反比例,且41=x 时,y =-2,求y 与x 的函数关系式.变式3已知y 与x 成反比例,当x =2时,y =3.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)当y =-23时,求x 的值.变式4 已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1;x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值.1、反比例函数的图像(1)形状与位置:反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。

(2)变化趋势:由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质(1)对称性:反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形,同时也是轴对称图形,有两条对称轴,分别是一、三象限和二、四象限的角平分线,即直线y x =±。

(注:过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称)(2)双曲线的位置:当k>0时,双曲线位于一、三象限(x ,y 同号);当k<0时,双曲线位于二、四象限(x ,y 同号异号),反之也成立。

(3)增减性: 当k>0时,双曲线走下坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而减小;当k<0时,双曲线走上坡路,在同一象限内,y 随x 的增大而增大。

反比例函数最全知识点

反比例函数最全知识点

反比例函数的图象和性质知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1)定义:形如y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:①y=kx;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)例:函数y=3x m+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.例:若(a,b)在反比例函数kyx=的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x.知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1)意义:从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2)常见的面积类型:失分点警示已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.例:如图所示,三个阴影部分的面积按。

反比例函数知识点大全

反比例函数知识点大全

反比例函数知识点大全反比例函数的定义定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数,其中k≠0,其中X是自变量,1.当k0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x 的增大而减小;当k0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随x的增大而增大。

2.k0时,函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时,函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

3.x的取值范围是: x≠0;y的取值范围是:y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少,函数值无限趋近于0,故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心第1页共6页是坐标原点。

反比例函数的一般形式(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。

其中,x是自变量,y是函数。

由于x在分母上,故取x≠0的一切实数,看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y 也不可能为0。

补充说明:1.反比例函数的解析式又可以写成: (k是常数,k ≠0).2.要求出反比例函数的解析式,利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1。

⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

反比例函数(高一数学)知识点形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

反比例函数的图象和性质
一、知识清单梳理
知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例
1.反比例函
数的概念(1)定义:形如y=
k
x(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的
取值范围是非零的一切实数.
(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:
①y=
k
x;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)
例:函数y=3x m+1,当m=-2时,则该
函数是反比例函数.
2.反比例函
数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上
的方法:①把点的横、纵坐标代入看是
否满足其解析式;②把点的横、纵坐标
相乘,判断其乘积是否等于k.
失分点警示
(2)反比例函数值大小的比较时,首
先要判断自变量的取值是否同号,即是
否在同一个象限内,若不在则不能运用
性质进行比较,可以画出草图,直观地
判断.
k>0 图象经过第
一、三象限
(x、y同号)
每个象限内,函数y的值
随x的增大而减小.
k<0 图象经过第
二、四象限
(x、y异号)
每个象限内,函数y的值
随x的增大而增大.
3.反比例函
数的图象
特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;
(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;
(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分
别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.
例:若(a,b)在反比例函数
k
y
x
=的图
象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填
“在"、"不在")
4.待定系数
法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数
k即可.
例:已知反比例函数图象过点(-3,
-1),则它的解析式是y=3/x.
知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的
几何意义(1)意义:从反比例函数y=
k
x(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线
与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的
面积为1/2|k|.
(2)常见的面积类型:
失分点警示
已知相关面积,求反比例函数的表达
式,注意若函数图象在第二、四象限,
则k<0.
例:已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比
例函数解析式为:
3
y
x
=或
3
y
x
=-.
6.与一次函
数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,
可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程
思想求解.
(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函
数解析式中求解
(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,
涉及与面积有关的问题时,①要善于把
点的横、纵坐标转化为图形的边长,对
于不好直接求的面积往往可分割转化
为较好求的三角形面积;②也要注意系
数k的几何意义.
可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.
也可逐一选项判断、排除.
(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE >S△BOD.
知识点三:反比例函数的实际应用
7.一般步
骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;
(2设出函数表达式;
(3)依题意求解函数表达式;
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。

相关文档
最新文档