数学选修2-1第三章电子教材
高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理 (2)
第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
人教版高中数学选修2-1教学课件：第三章1-3
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
④向量的模或长度:向量的大小叫作向量的模或向量的长 度. ⑤零向量:长度为 0 的向量. ⑥单位向量:长度为 1 的向量. 议一议:如何理解有向线段与向量的关系?两个向量能否比 较大小?(抢答)
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
【解析】向量可用有向线段来表示,但有向线段不是向量,它 只是向量的一种表示方法.空间向量是具有大小与方向的量,两 个向量之间只有等与不等之分,而无大小之分.
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
重点:空间向量的有关概念及线性运算法则;共线、共面向量 的判定及应用. 难点:共线、共面向量的判定定理、判定方法及应用. 学法指导:学习本课时内容可先复习必修 4 中关于平面向量 的相关知识,这样可通过类比平面向量来学习空间向量,但要注 意空间向量的独特之处,比如共面的判定等.向量共面的判定及 应用是本课时的一个重难点,要结合导学案中所提供的例题去熟 练掌握.
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
预学 3:共线向量和共面向量的概念及定理 (1)共线向量:若表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量,读作 a 平行于 b,记作 a∥b. 共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要 条件是量,叫作共面向 量. 共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb.
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
预学 2:空间向量的加、减、数乘运算的运算法则及满足 的运算律 加法运算的法则: 平行四边形法则
三角形法则
减法运算的法则:三角形法则
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
人教版高中数学选修2-1教学课件：第三章第3课时
f (x -������x )-f (x ) 的值是( ������ x Δ������ →0
).
B.
1
2 x
C.-
x 2
D.
x 2
数学(RA) 选修1-1
【解析】 ������������������
������ (������ -������ )-������ (������ ) ������
数学(RA) 选修1-1
第 3 课时 几个常用函数的导数及其公式
知识 目标 能力 目标 素养 目标
1.通过实际例子,掌握几个常见函数的导数 2.通过分析实际问题,能够应用导数公式解决问题 通过对导数公式和其他知识的综合,培养学生综合处理问题的能 力 通过对导数公式和其他知识的综合,培养学生整合各种知识、综 合分析问题的数学素养
=2 ������ .
1
∴f'(1)=2.
数学(RA) 选修1-1
预学 3:基本初等函数的导数公式 (1)c'=0(c 为常数);(2)(xα)'=αxα-1(α∈R); (3)(ax)'=axln a(a>0,a≠1),特别地(ex)'=ex;
1 (4)(logax)'=������ ln ������ (a>0,a≠1),特别地(ln 1 x)'=������ ; 1 . co s 2 x
1 -2 (2)y'= x '=(������ )'= ������ 3 . 3 1 (3)y'=(log2x)'=x ������������ 2.
3 1 3
1 ������
数学(RA) 选修1-1
预学 4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数的定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由极限 定义的,所以函数求导总是要归结为求极限,这在运算上很麻烦,有时甚 至很困难,但是用导函数的定义推导出常见函数与基本初等函数的求导 公式后,就可以用公式直接求函数的导数了.
2021最新人教版高二数学选修2-1电子课本课件【全册】
0002页 0084页 0120页 0193页 0308页 0360页 0396页 0398页 0418页 0488页 0514页 0541页 0567页
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
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1.3 简单的逻辑联结词
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第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
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1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
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1.2.2 “非”（否定）
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1.3 充分条件、必要条件与命
题的四种形式
1.3.1
推出与充分条件、必要条件
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第一章 常用逻辑用语
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10最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
1.1.2 量词
2020最新人教版高二数学选修2 －1(B版)电子课本课件【全册】
目录
0002页 0083页 0163页 0188页 0217页 0254页 0277页 0293页 0323页 0365页 0394页 0458页 0508页 0548页 0586页 0676页 0705页
第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词 1.2.2 “非”（否定） 本章小结 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2.2 椭圆的几何性质 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4.2 抛物线的几何性质 本章小结 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.4 二面角及其度量 本章小结 附录 部分中英文词汇对照表
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
高中数学北师大版选修2-1 第3章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(49张)
∴|AB|= 1 +
1 ������2
· |y1-y2|= 1 + 4· |0-2|=2 5.
∴所求直线的方程为 x+2y-4=0,弦长为 2 5.
专题一
专题二专题三ຫໍສະໝຸດ 专题四(方法二 )设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y 2). ∵点 M 是 AB 的中点 ,
∴x1+x2=4,y1+y 2=2.
2.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 中点弦问题 连接圆锥曲线上任意两点所得的线段叫圆锥曲线的弦,有关弦的 中点问题要注意根与系数的关系及“点差法”的灵活运用. 应用 在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所 在的直线的方程和弦长. 提示:题目中涉及弦的中点,既可考虑中点坐标公式,又可考虑“点 差法”. 解:(方法一)设弦的两个端点是A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,当直线 斜率不存在时,M不可能为弦中点, ∴可设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,整理得 (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0. 显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,
−
������2 ������2
=1(a>0,b>0).
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°), 即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
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A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
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那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
北师大版高中数学选修2-1第3章2.1.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F)的距离________的点的集合叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．与抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(116，0)C ．(0,0)D ．(0，116)3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P(－3，m)到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x5．方程2[(x ＋3)2＋(y －1)2]＝|x －y ＋3|表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线6．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A .172 B ．3 C . 5 D .92题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________． 8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11.平面上动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．能力提升12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．AB 为抛物线y ＝x 2上的动弦，且|AB|＝a (a 为常数且a ≥1)，求弦AB 的中点M 离x 轴的最近距离．1．理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题．2．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．3．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2 抛物线2．1 抛物线及其标准方程知识梳理1．相等 焦点 准线2．(2)(p 2，0) x ＝－p 2 向右 (3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p2 向上(5)(0，－p 2) y ＝p2向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2.]2．D [y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线为x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，116.] 3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．B [点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px(p>0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x.] 5．D [原方程变形为(x ＋3)2＋(y －1)2＝|x －y ＋3|2，它表示点M(x ，y)与点F(－3,1)的距离等于点M 到直线x －y ＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．] 6．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P(x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，又A(－1,0)，PA ⊥PQ ，∴PA →·PQ →＝0，即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0.∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p>0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5， 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 方法一 设P 点的坐标为(x ，y)， 则有(x －1)2＋y 2＝|x|＋1， 两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x|.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≥0，0， x<0，即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0 (x<0)．方法二 由题意，动点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F(1,0)到y 轴的距离为1，故当x<0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F(1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y 2＝4x.故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0 (x<0)．12．C [方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解设A 、M 、B 点的纵坐标分别为y 1、y 2、y 3.A 、M 、B 三点在抛物线准线上的射影分别为A ′、M ′、B ′，如图所示． 由抛物线的定义，知|AF|＝|AA ′|＝y 1＋14，|BF|＝|BB ′|＝y 3＋14，∴y 1＝|AF|－14，y 3＝|BF|－14.又M 是线段AB 的中点，∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12⎝⎛⎭⎫|AF|＋|BF|－12 ≥12×⎝⎛⎭⎫|AB|－12＝14(2a －1)． 等号在AB 过焦点F 时成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，M 点与x 轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)．。
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量运算的坐标表示
＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在