2020版高三一轮复习：第5课 函数的基本性质

第5课函数的基本性质普查讲5 函数的基本性质1．函数的单调性 a ．函数单调性的判断(1)(经典题，9分)利用定义判断函数f(x)＝axx －1(a ≠0)在x ∈(－1，1)的单调性．答案：a>0时，f(x)在(－1，1)上单调递减；a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增 解：设－1<x 1<x 2<1, f(x)＝a （x －1＋1）x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1－1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.(3分) ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0.(5分)∴当a>0时，a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(－1，1)上单调递减；(7分)当a<0时，a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(－1，1)上单调递增．(9分)(2)(2018山东德州模拟，5分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( B ) A ．f(x)＝4x 2＋1－2x B ．f(x)＝2x －1x ＋2C ．f(x)＝2x 2＋6x D ．f(x)＝1x ＋1－ln(x ＋1)解析：A 选项，f(x)＝4x 2＋1－2x ＝（4x 2＋1－2x ）（4x 2＋1＋2x ）4x 2＋1＋2x ＝14x 2＋1＋2x.∵在(0，＋∞)内，y ＝4x 2＋1为增函数，y ＝2x 为增函数，且两函数值均为正数， ∴y ＝4x 2＋1＋2x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴y ＝14x 2＋1＋2x为(0，＋∞)上的减函数， ∴f(x)＝4x 2＋1－2x 在(0，＋∞)上单调递减， 故A 不符合题意；B 选项，f(x)＝2x －1x ＋2＝2x ＋4－5x ＋2＝2－5x ＋2，∴f(x)的图像是由反比例函数y ＝－5x的图像向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的，如图：∴由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞)．∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故符合题意；C 选项，f(x)＝2x 2＋6x ＝2x ＋6x.如图，根据对勾函数y ＝ax ＋b x (a>0，b>0)的图像可知其单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b a ，⎣⎢⎡⎭⎪⎫b a ，＋∞，单调减区间为[－b a ，0)，⎝⎛⎦⎥⎤0，b a ， ∴可得函数f(x)＝2x ＋6x在(0，3]上单调递减，故不符合题意；D 选项，由函数f(x)＝1x ＋1－ln(x ＋1)可知函数的定义域为(－1，＋∞)．∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝1x ＋1－ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合题意．(3)(2017全国Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x 2－2x －8) 的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：令t ＝x 2－2x －8，则g(t)＝lnt ，∵y ＝lnt 为增函数，∴求函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间，只需求得函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间即可．由x 2－2x －8>0得函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的定义域为x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，由二次函数的性质可知，当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8单调递增，∴函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．b ．利用函数的单调性求取值范围(4)(经典题，5分)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）2＋1，x ＜1，（a ＋3）x ＋4a ，x ≥1满足对于任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，则a 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0__．解析：根据题意，由增函数的定义知，函数f(x)是一个增函数， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＋3>0，1≤a ＋3＋4a ，解得－25≤a ＜0，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0.2．函数的奇偶性 a ．函数奇偶性的判断(5)(2019汇编，5分)下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是__④__． ①f(x)＝log 2(x ＋x 2＋1)；②f(x)＝4－x2||x ＋3－3；③f(x)＝1x ＋1－x 2x 3； ④f(x)＝(x －1)1＋x1－x； ⑤f(x)＝2x－12x ＋1；⑥f(x)＝lg 1＋x1－x.解析：①为奇函数，由f(x)＝log 2(x ＋x 2＋1)，得x ＋x 2＋1>0，∴函数f(x)的定义域为x ∈R ，关于原点对称．又f(－x)＋f(x)＝log 2(－x ＋x 2＋1)＋log 2(x ＋x 2＋1) ＝log 2(－x ＋x 2＋1)(x ＋x 2＋1)＝log 21＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数．②为奇函数，由f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3，得4－x 2≥0且|x ＋3|－3≠0，∴函数f(x)的定义域为x ∈[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．∵定义域为[－2，0)∪(0，2]，∴x ＋3>0， ∴f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x .由奇偶性定义易得f(x)＝4－x2x为奇函数．③为奇函数，由f(x)＝1x ＋1－x 2x 3，得1－x 2≥0且x ≠0，∴函数f(x)的定义域为x ∈[－1，0)∪(0，1]，定义域关于原点对称．易知y ＝1－x 2为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴y ＝1－x2x3为奇函数．又易知y ＝1x 为奇函数，∴f(x)＝1x ＋1－x 2x3为奇函数． ④为非奇非偶函数，由f(x)＝(x －1)1＋x 1－x ，得1＋x1－x≥0且x ≠1，∴函数f(x)的定义域为x ∈[－1，1)，定义域不关于原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数．⑤为奇函数，f(x)＝2x－12x ＋1的定义域为R ，关于原点对称，f(－x)＝2－x－12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．⑥为奇函数，由f(x)＝lg 1＋x 1－x ，得1＋x1－x >0，∴函数f(x)的定义域为x ∈(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(6)(经典题，6分)判断函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x>0，x 2－x ，x<0的奇偶性．答案：偶函数解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x>0，x 2－x ，x<0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．(2分)当x>0时，－x<0, f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x 2＋x ＝f(x)；当x<0时，－x>0, f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x 2－x ＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，函数为偶函数．(6分)b ．利用函数的奇偶性求值(7)(2018湖南衡阳二模，5分)已知函数f(x)，g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x ，则f(log 25)＝__135__．解析：∵函数f(x)，g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x ①， ∴f(－x)＋g(－x)＝2－x－x ，即f(x)－g(x)＝2－x－x ②，由①②得f(x)＝12(2x ＋2－x )，则f(log 25)＝12×(2log 25＋2－log 25)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋15＝135.(8)(经典题，5分)设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinxx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__． 解析：函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinxx 2＋1， 设g(x)＝2x ＋sinxx 2＋1，定义域为R ，则f(x)＝g(x)＋1.∵g(－x)＋g(x)＝－2x －sinx x 2＋1＋2x ＋sinxx 2＋1＝0，∴g(x)为奇函数，∴g(x)的最大值和最小值互为相反数，设为t 和－t ，则M ＋m ＝1＋t ＋1－t ＝2.c ．利用函数奇偶性求分段函数的解析式(9)(2018山东期末，5分)已知f(x)在R 上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x 2＋x ＋1，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ＜0，0，x ＝0，－x 2＋x ＋1，x>0__．解析：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＋1＝－x 2－x ＋1，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x 2＋x －1.综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ＜0，0，x ＝0，－x 2＋x ＋1，x>0.d ．已知函数奇偶性求参数值(10)(2018江西期末，5分)若函数f(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a]，则a ＝__13__，b ＝__1__．解析：∵函数f(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋3a ＋b 是定义域为[a －1，2a]的偶函数，∴其定义域关于原点对称，故a －1＝－2a ，解得a ＝13.又∵函数f(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋3a ＋b 是偶函数，∴其奇次项系数必为0，∴b ＝1.∴a ＝13，b ＝1.3．函数单调性与奇偶性的综合应用 a ．利用函数单调性、奇偶性比较大小(11)(2017天津，5分)已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a ＝g(－log 25.1)，b ＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．b<c<a解析：∵f(x)为奇函数，∴易知g(x)＝xf(x)为偶函数．又f(x)在R 上是增函数，且f(0)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且函数值为正，∴g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．又∵g(x)＝xf(x)为偶函数，∴g(log 25.1)＝g(－log 25.1)．又∵20.8<2<log 25.1<3，∴g(20.8)<g(－log 25.1)<g(3)，∴b<a<c.b ．利用函数单调性、奇偶性解不等式(12)(2017全国Ⅰ，5分)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]解析：∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1. 又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，－1≤f(x －2)≤1， ∴f(1)≤f(x －2)≤f(－1)， ∴－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3， ∴x 的取值范围是[1，3]．(13)(2018辽宁沈阳月考，5分)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x ＜0时，f(x)＝x(x －1)，则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为( A )A ．[0，1)B ．(－2，1)C ．(－2，2)D ．(0，2)解析：当x ＜0时，f(x)＝x(x －1)， 则f(x)在[－1，0]上单调递减． 又f(x)在[－1，1]上是奇函数， ∴f(x)在 [－1，1]上单调递减． ∴由f(1－m)＋f(1－m 2)<0得 f(1－m)<－f(1－m 2)＝f(m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤m 2－1≤1，1－m>m 2－1，解得0≤m ＜1， ∴原不等式的解集为[0，1)．故选A. c ．与抽象函数的单调性、奇偶性有关的问题(14)(2018辽宁模拟，12分)设函数y ＝f(x)(x ∈R ，且x ≠0)对任意非零实数x 1，x 2，恒有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且对任意x ＞1, f(x)＜0.(Ⅰ)求f(－1)及f(1)的值； 答案：f(1)＝0, f(－1)＝0解：∵y ＝f(x)对任意非零实数x 1，x 2，恒有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，代入，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2分)令x 1＝x 2＝－1，代入f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)， 得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.(4分)(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性； 答案：偶函数解：取x 1＝－1，x 2＝x ，代入f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)， 得f(－x)＝f(x)，(6分)又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函数f(x)是偶函数．(7分)(Ⅲ)求解不等式f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[2，＋∞) 解：任取x 3，x 4∈(0，＋∞)，且x 3＜x 4，则x 4x 3>1，由题设有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4x 3＜0，(8分) ∴f(x 4)－f(x 3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4x 3·x 3－f(x 3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4x 3＋f(x 3)－f(x 3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4x 3＜0，∴f(x 4)＜f(x 3)， 即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．(10分) 又由(Ⅰ)(Ⅱ)知函数f(x)是偶函数，且f(1)＝0，∴f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0等价于f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤f(1)，∴fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤f(1)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥1，解得x ≤－12或x ≥2， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[2，＋∞)．(12分) 4．函数的周期性 a ．利用函数周期性求值(15)(2018甘肃模拟，5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(－3－x)＝f(3－x)，当－3≤x ≤－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1<x ≤0时，f(x)＝2x＋1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝( C )A ．670B ．334C ．－337D ．－673 解析：∵f(－3－x)＝f(3－x)＝f[6＋(－3－x)]， ∴f(x)是周期为6的周期函数． 当－3≤x ≤－1时，f(x)＝－(x ＋2)2， 则f(－3)＝－1, f(－2)＝0, f(－1)＝－1； 当－1<x ≤0时，f(x)＝2x＋1，则f(0)＝2. ∵函数f(x)是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝－1, f(2)＝f(－2)＝0，f(3)＝f(－3)＝－1.又函数f(x)的周期为6， ∴f(4)＝f(－2)＝0, f(5)＝f(－1)＝－1, f(6)＝f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝336×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝336×(－1)－1＝－337.故选C.(16)(经典题，5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f(x)＝x ，则f(105.5)＝__2.5__．解析：∵f(x ＋2)＝－1f （x ），∴f(x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(105.5)＝f(4×26＋1.5)＝f(1.5)．∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(1.5)＝f(－1.5)．又∵f(x)的周期为4，∴f(－1.5)＝f(－1.5＋4)＝f(2.5)．又∵当2≤x ≤3时，f(x)＝x ，∴f(2.5)＝2.5，即f(105.5)＝2.5.b ．利用函数周期性求参数的值或取值范围(17)(2018吉林模拟，5分)已知f(x)是定义在R 上，以3为周期的偶函数，若f(1)<1, f(5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为__(－1，4)__．解析：∵f(x)是定义在R 上，以3为周期的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∴由f(1)<1, f(5)＝2a －3a ＋1，得f(5)＝2a －3a ＋1＜1，即2a －3a ＋1－1＝a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.∴实数a 的取值范围为(－1，4)．5．函数的对称性(18)(2016全国Ⅱ，5分)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则i ＝1m＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝2，可得f(x)的图像关于点(0，1)对称；函数y ＝x ＋1x ，即y ＝1＋1x 的图像关于点(0，1)对称，∴函数y ＝x ＋1x 与y ＝f(x)图像的交点也关于(0，1)对称．关于(0，1)对称的两个点的横坐标之和为0，纵坐标之和为2.当交点不在对称中心上时，m 为偶数， ∴i ＝1m=i ＝1m + i ＝1m =0×+2×=m ； 当有交点在对称中心上时，m 为奇数，则i ＝1m=i ＝1m + i ＝1m =0×+2×=m. 综上，i ＝1m (x i ＋y i )＝m.6．函数性质的综合应用(19)(经典题，5分)已知定义在R 上的连续奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，有下列命题：①函数f(x)的图像关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z)对称； ②函数f(x)的单调递增区间为[8k －6，8k －2](k ∈Z)； ③函数f(x)在区间(－2018，2018)上恰有1008个最值点；④若关于x 的方程f(x)－m ＝0在区间[－8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8. 其中真命题的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①正确，∵定义在R 上的连续奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，∴f[(x －4)－4]＝－f(x －4)＝f(x)，即f(x －8)＝f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，8k(k ∈Z 且k ≠0)也是其周期．又f(x)为R 上的连续奇函数，由f(x －4)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x －4)，得f(x)＝f(4－x)，∴函数f(x)的一条对称轴为x ＝42＝2.又8k(k ∈Z 且k ≠0)是f(x)的周期，∴f(x)＝f(x ＋8k)＝f(4－x)，∴函数的对称轴为x＝8k ＋42＝4k ＋2(k ∈Z)．综上，函数f(x)的图像关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z)对称，故①正确； ②错误，作图如下：由图可知，函数f(x)的单调递减区间为[8k －6，8k －2](k ∈Z)，故②错误；③正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个最值点，在区间(－2016，2016)上有504个完整周期，有1008个最值点，在区间(－2018，－2016]和[2016，2018)上没有最值点，故在区间(－2018，2018)上有1008个最值点，③正确；④正确，由图中m 1，m 2，m 3，m 4，m 5五条直线可知，关于x 的方程f(x)－m ＝0在区间[－8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．综上所述，①③④正确，故选C.随堂普查练51．(2016北京，5分)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( D ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cosxC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选项A 中，函数y ＝11－x ＝－1x －1的图像是将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x在区间(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项B 中，根据余弦函数性质可知y ＝cosx 在区间(－π，0)上为增函数，在区间(0，π)上为减函数，∴y ＝cosx 在区间(－1，0)上为增函数，在区间(0，1)上为减函数，不符合题意；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)的图像是将y ＝lnx 的图像向左平移1个单位得到的，故y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故D 正确．2．(2019改编，6分)已知函数f(x)＝||2x ＋a ，若函数的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__－6__；若函数在区间[3，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是__[－6，＋∞)__．解析：作出函数f(x)＝|2x ＋a|的图像，由图像可知f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，∴－a 2＝3，a ＝－6；要使函数f(x)在区间[3，＋∞)单调递增，只需－a2≤3，解得a ≥－6.3. (2018福建月考，5分)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，则下列叙述正确的是( B )A ．f(x)＋g(x)是偶函数B ．f(x)g(x)为奇函数C ．xf(x)－xg(x)为偶函数D ．f(|x|)＋xg(x)为奇函数解析：不妨取f(x)＝1，g(x)＝x ，则f(x)＋g(x)＝x ＋1，不是偶函数；xf(x)－xg(x)＝x －x 2，不是偶函数；f(|x|)＋xg(x)＝1＋x 2，不是奇函数，故A ，C ，D 均错．B 选项，∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．∵f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x), f(x)g(x)的定义域为R ，定义域关于原点对称，∴f(x)g(x)是奇函数，B 正确．故选B.4．(2018全国Ⅲ，5分)已知函数f(x)＝ln(1＋x 2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝__－2__． 解析：(法一)设函数g(x)＝ln(1＋x 2－x)，定义域为R ， 又g(－x)＝ln(1＋（－x ）2－(－x)) ＝ln(1＋x 2＋x)＝ln （1＋x 2＋x ）（1＋x 2－x ）1＋x 2－x ＝ln （1＋x 2）2－x 21＋x 2－x ＝ln11＋x 2－x＝－ln(1＋x 2－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，即g(a)＋g(－a)＝0. 又g(a)＝f(a)－1，g(－a)＝f(－a)－1， 所以f(a)－1＋f(－a)－1＝0， 所以f(－a)＝2－f(a)＝－2.(法二)f(－x)＝ln(1＋x 2＋x)＋1，则f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x 2－x)＋1＋ln(1＋x 2＋x)＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝－2.5．(2018河北唐山二模，5分)已知f(x)＝2e x－1＋a 为奇函数，则a ＝( A ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D.12解析：由f(x)＝2e x －1＋a 为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，即2e x －1＋a ＋2e －x －1＋a ＝2a ＋2e x －1＋2ex1－e x＝2a －2＝0，解得a ＝1，故选A.6．(2015天津，5分)已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a解析：∵定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即2|－x －m|－1＝2|x －m|－1，解得m ＝0，∴f(x)＝2|x －m|－1＝2|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，2－x －1，x ＜0，∴f(x)在[0，＋∞)单调递增．∵a ＝f(log 0.53)＝f(－log 23)＝f(log 23)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)＝f(0)，0＜log 23＜log 25，∴f(0)＜f(log 23)＜f(log 25)，∴c ＜a ＜b.7．(2016天津，5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a 满足f(2|a －1|)>f(－2)，则a 的取值范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：由题意f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴f(2|a －1|)＝f(－2|a －1|)，∴f(2|a －1|)>f(－2)等价于f(－2|a －1|)>f(－2)．又∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增， ∴－2|a －1|>－2，即2|a －1|<212，即得|a －1|<12， 解得12<a<32.8．(2015全国Ⅱ，5分)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x －1)成立的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x 2的定义域为R ，关于原点对称．又f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋（－x ）2＝ln(1＋|x|)－11＋x2＝f(x)，∴函数为偶函数．∵y ＝ln(1＋|x|)为(0，＋∞)上的增函数，y ＝11＋x 2为(0，＋∞)上的减函数，∴f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2在(0，＋∞)为增函数．又∵f(x)为偶函数，∴f(x)>f(2x －1)等价于|x|>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2，即3x 2－4x ＋1<0，解得13<x<1.9．(2016山东，5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f(6)＝( D ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 解析：∵当x>12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， ∴当x ＋12>12，即x>0时，f(x ＋1)＝f(x)，∴f(6)＝f(1)．∵当－1≤x ≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(1)＝－f(－1)． ∵当x<0时，f(x)＝x 3－1，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(6)＝2.10．(2018河南林州月考，5分)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为__－10__．解析：∵f(x)是定义在R 上且周期为2的函数， f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴1－12a ＝b ＋43①. 又f(－1)＝f(1)，∴2a ＋b ＝0②，由①②得a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋3b ＝－10.11．(2016全国Ⅱ，5分)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A. 0B. mC. 2mD. 4m解析：函数f(x)(x 2∈R)满足f(x)=f(2-x)，∵函数f(x)的图像关于直线x=1对称，而函数y=|x 2-2x-3|的图像也关于直线x=1对称，∴函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)的图像的交点也关于直线x=1对称，且互相对称的两点横坐标之和为2.当f(x)的图像不过点(1，4)时，∑i ＝1mx i ＝m2×2＝m ；当f(x)的图像过点(1，4)时，∑i ＝1mx i ＝m －12×2＋1＝m. 综上，∑i ＝1mx i ＝m.12．(2018山东模拟，5分)已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0；②f(x ＋4)＝－f(x)； ③y ＝f(x ＋4)是偶函数；若a ＝f(6)，b ＝f(11)，c ＝f(2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a解析：根据题意，若对任意的x 1，x 2∈[4，8]，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则函数f(x)在区间[4，8]上为增函数；若f(x ＋4)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为8；若y ＝f(x ＋4)是偶函数，则函数f(x)的图像关于直线x ＝4对称， ∴b ＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c ＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)＝f(7)． 又a ＝f(6)，函数f(x)在区间[4，8]上为增函数， ∴f(5)＜f(6)＜f(7)，即b ＜a ＜c.13．(2018辽宁抚顺期末，12分)已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(Ⅰ)求证：f(x)是R 上的增函数； 答案：见证明过程证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0. ∵当x>0时，f(x)>1， ∴f(x 2－x 1)>1.∵f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1，(3分)∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．(5分)(Ⅱ)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.答案：(－3，2)解：∵m，n∈R，令m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1，(7分)而f(3)＝4，∴f(2＋1)＝f(2)＋f(1)－1＝4，∴3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)．(10分)∵f(x)在R上是增函数，∴a2＋a－5<1，解得－3<a<2，即a的取值范围是(－3，2)．(12分)课后提分练5 函数的基本性质A组(巩固提升)1．(2017全国Ⅰ，5分)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则( C )A．f(x)在(0，2)单调递增B．f(x)在(0，2)单调递减C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称解析：∵函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，∴f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx，即f(x)＝f(2－x)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，C正确，D错误；f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，函数的定义域为(0，2)，∵函数y＝2x－x2在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，A，B错误．2．(2015全国Ⅰ，5分)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__1__．解析：∵f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴(－x)ln(－x＋a＋x2)＝xln(x＋a＋x2)，∴x[ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)]＝0，∴xln[(x＋a＋x2)·(－x＋a＋x2)]＝0，∴xlna ＝0，∴a＝1.3．(2017全国Ⅱ，5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__12__．解析：∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝－12.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝12.4．(2018全国Ⅱ，5分)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( C )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1－(x ＋1))＝f(1＋(x ＋1))，即f(－x)＝f(x ＋2)．又因为函数f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即T ＝4是函数f(x)的周期．由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数图像的对称轴为x ＝1.由函数在x ＝0处有定义，且函数f(x)为奇函数，得f(0)＝0，所以f(2)＝0.对于f(1－x)＝f(1＋x)，令x ＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.根据T ＝4是函数f(x)的周期，可得f(4)＝f(0)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50) ＝12×0＋f(49)＋f(50) ＝0＋f(1＋12×4)＋f(2＋12×4) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C.5．(2018福建模拟，5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f(1)＝__－12__． 解析：∵函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝2x(1－x)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12，f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f(1)＝－12＋0＝－12.6．(2018云南期末，5分)x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在R 上为( D ) A ．奇函数B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：∵f(x)＝x －[x]，∴f(x ＋1)＝(x ＋1)－[x ＋1]＝x ＋1－[x]－1＝x －[x]＝f(x)， ∴f(x)＝x －[x]在R 上是周期为1的函数．7．(经典题，5分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f()≤2f(1), 则a 的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．[1，2] D ．(0，2]解析：∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f()＝f(－log 2a)＝f(log 2a)，则f(log 2a)＋f()≤2f(1)等价于f(log 2a)≤f(1)．∵函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.8．(经典题，5分)已知函数f(x)＝ax 3＋bsinx ＋4(a ，b ∈R), f(lg(log 210))＝5，则f(lg(lg2))＝( D )A ．－5B ．－1C ．4D ．3解析：∵lg(log 210)＋lg(lg2)＝lg(log 210·lg2)＝lg1＝0，∴lg(log 210)与lg(lg2)互为相反数， 则设lg(log 210)＝m ，那么lg(lg2)＝－m.令g(x)＝ax 3＋bsinx ，即f(x)＝g(x)＋4，∵g(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＝－ax 3－bsinx ＝－g(x)，且定义域为R ，关于原点对称，∴g(x)是奇函数，∴g(－m)＋g(m)＝0，∴f(－m)＋f(m)＝g(－m)＋4＋g(m)＋4＝8，又∵f(m)＝5，∴f(－m)＝3，即f(lg(lg2))＝3.9．(2018广西期末，5分)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( D )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x)C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 解析：∵f(x)为定义在R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵g(x)为定义在R 上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∵f(x)＋g(x)＝e x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x②，联立①②解得g(x)＝12(e x －e－x)．10．(2018辽宁期中，5分)定义在R 上的偶函数f(x)，满足f(x ＋2)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则( A )A ．f(sinA)＞f(cosB)B ．f(sinA)＜f(cosB)C ．f(sinA)＞f(sinB)D ．f(cosA)＞f(cosB)解析：因为f(x ＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2.又因为f(x)在[－3，－2]上为减函数，所以f(x)在[－1，0]上为减函数．因为f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．因为在锐角三角形中，A ＋B>π2，所以π2>A>π2－B>0，所以sinA>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cosB. 因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(sinA)>f(cosB)．11．(2018黑龙江哈尔滨期末，5分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(－2018)＋f(2019)的值为( C )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵对于x ≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，∴f(－2018)＋f(2019)＝f(2018)＋f(2019)＝f(0)＋f(1)． 又∵当x ∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，∴f(0)＋f(1)＝log 2(0＋1)＋log 2(1＋1)＝1，∴ f(－2018)＋f(2019)＝1. 故选C.12．(2018陕西期末，12分)已知函数f(x)＝x 3＋2x－12x ＋1＋1.(Ⅰ)若g(x)＝x 3＋2x－12x ＋1，判断函数g(x)的单调性、奇偶性；答案：增函数，奇函数解：∵g(x)的定义域为R ，关于原点对称，g(－x)＝－x 3＋2－x－12－x ＋1＝－x 3＋1－2x1＋2x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x－12x ＋1＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．(4分)g(x)＝x 3＋2x－12x ＋1＝x 3＋2x＋1－22x ＋1＝x 3＋1－22x ＋1，∵y ＝x 3为增函数，y ＝－22x ＋1为增函数，∴g(x)＝x3＋1－22x ＋1为增函数．(8分)(Ⅱ)求满足不等式f(2m －1)＋f(m)＞2的实数m 的取值范围．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解：由(Ⅰ)知g(x)＝f(x)－1，g(x)为增函数且为奇函数．由f(2m －1)＋f(m)>2，得f(2m －1)－1＋f(m)－1>0，即g(2m －1)＋g(m)>0，(10分) 则g(2m －1)>－g(m)＝g(－m)，即2m －1>－m ，解得m>13.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(12分)B 组(冲刺满分)13．(经典题，5分)已知a 为实数，函数f(x)＝x 2－||x 2－ax －2在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为( A )A ．[1，8]B ．[3，8]C ．[1，3]D ．[－1，8]解析：令函数g(x)＝x 2－ax －2，∵g(x)＝0的判别式Δ＝a 2＋8>0，∴函数g(x)一定有两个零点，设为x 1和x 2，且x 1＜x 2，∴函数f(x)＝x 2－|x 2－ax －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x ＜x 1或x>x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，∴当x ∈(－∞，x 1]，[x 2，＋∞)时，函数f(x)的图像是位于同一条直线上的两条射线；当x ∈(x 1，x 2)时，函数f(x)的图像是抛物线y ＝2x 2－ax －2下凹的一部分，且各段连在一起，如图所示．由于f(x)在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，∴a>0且函数g(x)较小的零点x 1＝a －a 2＋82≥－1，即a ＋2≥a 2＋8，平方得a 2＋4a ＋4≥a 2＋8，得a ≥1；同时由抛物线y ＝2x 2－ax －2的对称轴为x ＝a 4，得a 4≤2，可得a ≤8.综上可得，1≤a ≤8，故实数a 的取值范围为[1，8]．14．(经典题，5分)x 6－x －2≥(x ＋2)3－x 2的解集为__{x|x ≥2或x ≤－1}__． 解析：将不等式x 6－x －2≥(x ＋2)3－x 2变形为(x 2)3＋x 2≥(x ＋2)3＋(x ＋2)．令函数y ＝t 3＋t ，∵y ＝t 3与y ＝t 均为R 上的增函数，∴y ＝t 3＋t 为R 上的增函数． ∴(x 2)3＋x 2≥(x ＋2)3＋(x ＋2)，即x 2≥x ＋2，∴解集为{x|x ≥2或x ≤－1}．15．(2018北京海淀期中，12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足： ①对于任意的x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x ＞1时，f(x)＞0，且f(2)＝1.(Ⅰ)求f(1), f(－1)的值，并判断函数f(x)的奇偶性；答案：f(1)＝f(－1)＝0，f(x)为偶函数解：令x ＝y ＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；令x ＝y ＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，得f(－1)＝0.(2分)令y ＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．(4分)(Ⅱ)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；答案：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数解：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1. 又∵当x ＞1时，f(x)＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，∴f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f(x 1)＝f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0. ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(8分)(Ⅲ)求函数f(x)在[－4，0)∪(0，4]上的最大值．答案：2解：∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(Ⅰ)(Ⅱ)知函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，4]上是偶函数，且在(0，4]上是增函数， ∴函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.(12分)。