2.3 常用的离散型分布
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2.3.1离散型随机变量的数学期望
2 2
3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
五、课堂练习
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7
xn
3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
五、课堂练习
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7
xn
2.3几种重要的离散型分布
C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
2.3离散型随机变量
也称X是参数为p的 贝努利随机变量.
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
X ~ 1 n
1 n
2 1 6 3 1 6
...
1 n
5 1 6 6 1 6
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~ 1 6 4 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 (“重复”指 重复进行n次独立试验, 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验,A发生的概率都是 p, A不发生的 概率都是 q 1 p 这样的 n 次独立重复试验 称作 n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X 表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
p1 p2 ... pk ... pk
k
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1 x2 p2 xk pk
3.离散型随机变量的分布函数为
F ( x) P( X x)
xi x
P( X x )
i
xi x
p
i
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
例 袋中有五张卡片，其中标有数字1的有一 张，标有数字2及3的各有两张.从中一次随机 抽取3张，X表示取到的3张卡片上的最大数字， 求X的概率分布.若Y表示最小数字呢？ X Y 2 3 1 2 解 P P 0 . 6 0 .4 0 .1 0 .9
2.3常用的离散分布
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 DX n p q EX n p
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 6q 4.2 解 EX n p 6
2
n1
1 q p n q p 3 p (1 q) n 1
2
pq n1 ... n
n 1
n1
1 q 1 q 3 p p2
1 q 1 q DX EX ( EX ) 2 2 2 p p p
2
2
' nx n ' x 1时， n x ( n x ) n 1 n 1 n1 x ' 1 x (1 x )2 (1 x )3
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An ) p k q nk C
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
3 n
n ' ( x n )' x n 1 n1
X P
2
1
2.3离散型随机变量的均值与方差 PPT课件
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X
1
2
3
4
P
4
3
10
10
2 10
1 10
权数
加
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
权 平 均
(2)X 1111 2 2 2 3 3 4 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX1 9, EX2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失” 而得出的．
一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：
06离散型连续型随机变量的分布
dx
18
注意要点
x
（2）从几何上看定义中的 F( x) f (t)dt y F (x) = P {X ≤ x }
o
x
x
（3）密度函数不是唯一的。
因为改变 f (x) 在个别点上的函数值，不会改 变分布函数 F(x) 的值。
19
2、概率密度函数的性质：
2、概率密度函数的性质：
(1) f ( x) 0;
P{X 0}, P{X 1}, P{X 2}
7
（3）P{ X 1} F ( 1 ) 0.6
2
2
P{1 X 3} F ( 3) F ( 1 ) 0.9 0.6 0
P{1 X 2} P{X 1} P{X 2} 0.4
8
1、(0-1)分布
二、常见的离散型分布
分布列为： X 0
1
P 1 p p
2、二项分布
2、二项分布
在独立试验概型中，进行 n 次重复试验时 A 发生 k 次的概率已知为：
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, ..., n)
如果用随机变量 X 表示 A 发生的次数，则 X 的可 能取值为：k = 0, 1, 2, …, n ，相应的分布律为：
1、(0-1)分布
若随机变量 X 只取两个值 x0 和 x1 ，并且
已知 P{ X x0 } 1 p, P{X x1} p，
称随机变量 X 服从两点分布。
特别：若 x0 0, x1 1, 则称为(0-1)分布。
其分布律为：P{ X k} pk (1 p)1k , (k 0,1)
k!
则称 X 服从参数为λ的泊松(Poisson)分布。
记为： X ~ ( )， 容易验证：
2.3分布函数的定义及性质
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
§2.3 常用的离散型分布
赢！
是这样的吗？
设 X 表示关老师第一次赢的游戏次数。 连输了99把，意味着 X > 99 ；
下把还是输，表示为 X > 100 ；
Question :
P (X 100 | X 99) ?
几何分布的无记忆性
无记忆性
设 X 是取值为正整数的随
机变量，则 X 服从几何分布当且仅当
五、几何分布（Bernoulli概型）
Recall：在独立重复试验中，记 X 表示事 P( A) p , 0 p 1. 件 A 第一次发生时的次数， 则
P{X k} q k 1 p , k 1,2,,
P{ X k} g (k , p) ,
（**）
亦可记为
一般地，若随机变量 X 的概率分布由（**） 给出，则称 X 服从参数为 p 的几何分布.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
三、 n 个点上的均匀分布 （古典概型）
概率分布：
X P x1 1 n x2 1 n xn 1 n
赌戏对赌客并不公平，何以许多人一上了赌 台就下不来？ 机会成本，付出的成本一定要赚回来。 沉没成本，赌徒脑子里会出现这样的忠告： “如果现在结束，以前投入的就全白亏了。”
情况不利 那有运气那么坏，该转运了。 ◇再玩若仍输 下次更该赢了。 ◇若幸运赢了开始翻身了。 若情况有利 手气正顺，怎可停止？ 除非是一直输赢不太多(此机率并不大)，让 人觉得此赌戏没趣。
概率论与数理统计-随机变量及其分布
解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分 二项分布、泊松分布、几何
随 布 分布
机 变
函 数
连续型随机变量：密度函数
量 均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
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46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性 （2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个 值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维） 离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
2.2(离散型随机变量)
分布的概率值来近似．
2.2.2 常用离散型分布
泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris),
France
B2, B3, TRUE)
▪ 计算例2-8中的概率
【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关 系．
实验准备：
函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative)
功能：返回泊松分布的概率值．其中x为事件数， mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所 返回的概率形式．如果cumulative为TRUE，函数 POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则 返回泊松概率函数值．
2.2.2 常用离散型分布
【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为 的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格 品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概 率．
解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～ P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为
P{ X 1} 0.50 e0.5 0.51 e0.5 0.91
pk =
, k = 0，1，…，n
定义2.5 如果C随nk机pk变(1 量pX)n的k 分布律是
，k = 0，1，…，n
则称PX{服X 从 k二} 项C分nk p布k (，1 记p为)nXk ～ B(n，p)．
2.2.2 常用离散型分布
二项分布与(0 1) 分布的关系.
二 项 分 布 是(0 1) 分 布 的 推 广, 对 于 n 重 伯 努 利
2.2.2 常用离散型分布
泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris),
France
B2, B3, TRUE)
▪ 计算例2-8中的概率
【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关 系．
实验准备：
函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative)
功能：返回泊松分布的概率值．其中x为事件数， mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所 返回的概率形式．如果cumulative为TRUE，函数 POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则 返回泊松概率函数值．
2.2.2 常用离散型分布
【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为 的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格 品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概 率．
解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～ P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为
P{ X 1} 0.50 e0.5 0.51 e0.5 0.91
pk =
, k = 0，1，…，n
定义2.5 如果C随nk机pk变(1 量pX)n的k 分布律是
，k = 0，1，…，n
则称PX{服X 从 k二} 项C分nk p布k (，1 记p为)nXk ～ B(n，p)．
2.2.2 常用离散型分布
二项分布与(0 1) 分布的关系.
二 项 分 布 是(0 1) 分 布 的 推 广, 对 于 n 重 伯 努 利
2.3常用的离散型分布
P { X m }
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望基础梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X 01…mP C0M·C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N为超几何分布列．4.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 5.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n基础训练1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．A ．出现正面的次数B ．出现正面或反面的次数C ．掷硬币的次数D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．数学期望 平均水平 偏离程度3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )． A ．25 B ．10 C ．7 D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 6.小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.227由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．【训练1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列【例2】►某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．【例3】►(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．【例4】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练4】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．巩固提升1、设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为______________；2、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．。
2.3 二维离散型随机变量及其分布律.
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
定义2.5 (X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi·=P{X xi} = pij (i 1, 2,L ); j1 (X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p·j =P{Y y j} = pij ( j 1,2,L ). i1
第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量，则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对，则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。
3). P{( X ,Y ) G}
pij
( xi , y j )G
例2.10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P{X xi ,Y y j} P( X xi )P{Y y j} i, j 1,2,3,...
若随机变量独立,则
P{X xi | Y y j} P(xi , y j ) / P{Y y j} P{X xi} P{Y y j | X xi} P{Y y j} 与条件无关
pi1
... 。。。
2.3常用的离散型分布
(k 0,1, 2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为 X ~ b(n, p). 注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.
当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1，此时X服从
六. 超几何分布 1 引例 一个袋子中装有N个球，其中N1个白 球，N2个黑球（N=N1+N2），从中不放回地抽取 n个球，X表示取到白球数目，则
P{X k} C C
k N1
n k N2
/ C (0 k n)
n N
规定C 0(b a)
b a
称X服从超几何 分布
注：超几何分布的极限分布是二项分布。即
EX=(x1+x2+…+xn)/n x
1 n 2 D( X ) ( xi x ) n i 1
五.几何分布
1. 定义 若X的概率分布为：
k 1
P( X k ) (1 p)
p, k 1, 2,,
则称 X 服从参数为p 的几何分布。 注：无记忆性： P{X>m+n|X>m}= P{X>n} 2. EX=1/p DX=(1-p)/p2
4. Possion定理 设当 n , npn 0, 则对任意k
k! k 0,1, 2, Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式 k k k nk Cn p (1 p ) e , k 0,1, 2, k!
2-3常见的离散型分布
是确定最小的 N , 使得 P{ X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布,故 P{ X N } N 3k e3 , k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最 小的N是8. 故至少需配置8
个工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修旳 概率不大于0.01.
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但反复次数
多了，就成大约率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布 记作X ~ G( p )
P{ X k} qk1 p, k 1, 2, (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利试验序列中，
解 设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
k0 k !
P{ X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
1 n
,i
1, 2,
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2, n.
实例 抛掷骰子并记出现旳点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布
记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X
概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
P{x1 X x2} P{X x2} P{ X x1}
X
F ( x2 ) F ( x1 ).
o
x1
x2
x
随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概
率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了
直观的描述。
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
例2
掷一颗骰子，用 X 表示出现的点数。则 X 就是一 个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则
X 4表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变
例量如．我们可以定义：
Y
1 0
出现偶数点 出现奇数点
Z
1 0
点数为 6 点数不为 6
例4
观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生
物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为 所有非负实数。
Z 1500
表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事
件．
Z 3000
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
注意 Z 的取值是无界的区间 个！
二、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的定义 如果随机变量 X 的全部不同取值是有限个或可列无 穷多个，则称 X 为离散型随机变量。 离散型随机变量的概率分布
第 2 章 随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布
2.3常用的离散型分布(1)
的 概 率 为0.005(设 短 时 间 内 最 多 发 生 一次 断 头).求 在 这 段 时 间 内
总 共 发 生 的 断 头 次 数 超过2的 概 率.
解 : 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数,则X ~ B(800 ,0.005 )
800
800
P{X 2}
P{X k}
Ck 800
k!
的 泊 松 分 布, 记 作X ~ P().
历 史 上 ， 泊 松 分 布 是 作为 二 项 分 布 的 近 似 ， 于1837年 由 法 国 数 学 家Poisson引 入 的 。
常 见 的 服 从 泊 松 分 布 的随 机 现 象(：随 机 现 象 的 “ 基 本 粒 子”) 容 器 内 的 细 菌 数, 十 字 路 口 的 交 通 事 故, 寻 呼 台 的 寻 呼 次 数, 候车室内旅客人数, 放射性物质分裂到某一区域的质点数等等.
解：设X是1000片芯片中次品数，则X ~ B(1000 ,0.001)
P{X
2}
1000
P{X
k}
1000C1k000(0.001)k
(1
0.001)nk
k2
k2
10001k
e
1
k2 k!
( np 1)
1
1
1k e 1
k0 k!
1 (e1 e1) 1 2 0.367879 0.2642
易 见, P{ X k} k e e e 1 归 一 性
k 0
k0 k!
ex
xn
n0 n!
(1)期 望
EX kP{ X k}
k
e
k 1 e
k 0
k1 (k 1)!
总 共 发 生 的 断 头 次 数 超过2的 概 率.
解 : 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数,则X ~ B(800 ,0.005 )
800
800
P{X 2}
P{X k}
Ck 800
k!
的 泊 松 分 布, 记 作X ~ P().
历 史 上 ， 泊 松 分 布 是 作为 二 项 分 布 的 近 似 ， 于1837年 由 法 国 数 学 家Poisson引 入 的 。
常 见 的 服 从 泊 松 分 布 的随 机 现 象(：随 机 现 象 的 “ 基 本 粒 子”) 容 器 内 的 细 菌 数, 十 字 路 口 的 交 通 事 故, 寻 呼 台 的 寻 呼 次 数, 候车室内旅客人数, 放射性物质分裂到某一区域的质点数等等.
解：设X是1000片芯片中次品数，则X ~ B(1000 ,0.001)
P{X
2}
1000
P{X
k}
1000C1k000(0.001)k
(1
0.001)nk
k2
k2
10001k
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1
k2 k!
( np 1)
1
1
1k e 1
k0 k!
1 (e1 e1) 1 2 0.367879 0.2642
易 见, P{ X k} k e e e 1 归 一 性
k 0
k0 k!
ex
xn
n0 n!
(1)期 望
EX kP{ X k}
k
e
k 1 e
k 0
k1 (k 1)!
常用的离散型分布
将只有两个可能结果 A和 A的实验独立地重复地进 行n次， 且P ( A) p, 记Bk “n重伯努利试验中事件 A恰好出现k次”
k k P ( Bk ) Cn p (1 p)n k k 0,1,, n 令X “n重伯努利试验中A出现的次数” k k n k k 0,1,, n P ( Bk ) P{ X k } Cn p (1 p)
销售数
a
故商店月底 存货不低于 15件即可.
查泊松分布表 (附表1)得
P{ X k } 0.9513 0.95 k 0
15
2.泊松分布的实际应用
很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 如某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数 候车室内旅客人数 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等
一、两点分布
1. Def . 若r.v.X的概率分布为
X P
x1 p
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
2. Def . 若r.v.X的概率分布为
X P
0 1- p
1 p
EX p DX p(1 p )
则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布.
伯努利试验 : 只有两种对立结果的试 验. n重伯努利试验 : 一个伯努利试验独立重 复n次 .
1 例7 已知某种疾病的发病率为 ，某单位共有5000 1000 人，问该单位患有这种疾病的人数超过 5的概率多大？ 解 该单位患有这种疾病的 人数为X， 1 X ~ P ( 5) p 则 X～b(5000,p) 1000， np 5不太大， 5k 5 k 0,1,,5000 于是 P{ X k } e k! 5 P { X 5} 1 P { X 5} 1 P{ X k } 查表可得，
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P16-3
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0< 1). (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 2.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
X P
0 1-p
1 p
则称X服从参数为p (0<p<1)的 分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布. EX= DX= [注] 若 X 服从参数为 p 的0-1分布, 则 EX=p, DX=p(1-p). 分布,
P16-6
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例5 已知X ~ b(n, p), EX=6, DX=4.2, 求P{X≥5}. 已知X EX=6, DX=4.2, ≥5}. 0.7625
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例3 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5次, 求最多投中2次 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5 求最多投中2 的概率. 的概率. （约0.058） 0.058）
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 都可以近似地用泊松分布来描述. [注] 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述. 如, 某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX=
1 q [注] 若 X 服从参数为p的几何分布, 则 EX = 服从参数为p 几何分布, , DX = 2 p p
P16-9
五、超几何分布 (hypergeometric distribution)
离散型分布
1.Def.:一个袋子中装有 个球, 其中 1个白球, N2个黑球, 从中 一个袋子中装有N个球 其中N 个白球, 个黑球, 一个袋子中装有 个球, 不放回地抽取 个球 表示取到白球的数目 那么X的分布为 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么 的分布为 抽取 个球, 表示取到白球的数目,
P16-8
四、几何分布 (geometric distribution)
离散型分布
1. Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p. 设X为直 Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p 到 A 发生为止所进行的试验次数, 则P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ 发生为止所进行的试验次数, 其中q 其中q=1−p. 此时, 此时, 称随机变量 X 服从参数为p的几何分布, 记作X~g(k, p). 服从参数为p 几何分布, 记作X
X P
x1 p
x2 1-p
P16-2
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
离散型分布
X P
x1 p
P16-12
六、泊松分布 (Poisson distribution)
离散型分布
3. (泊松定理) 当二项分布b(n, p)的参数n很大, p很小时, 可用参 泊松定理) 当二项分布b 的参数n很大, 很小时, 的泊松分布来近似, 数为λ=np 的泊松分布来近似, 即
C p q
k n
k
n− k
( np ) − np e ≈ k!
P16-4
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P{ X = k } =
C C C
n N
k N1
n− k N2
, 0≤ k ≤ n
（这里约定：若a<b，则 这里约定： a<b，
b Ca = 0 ）
以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布 以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布. 超几何分布. [注] 当N很大, N1和N2均较大, 而n相对很小时, 可将不放回近似 很大, 均较大, 相对很小时, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 即
k
Hale Waihona Puke [注] 实际应用中，一般要求n≥100, p<0.1. 实际应用中，一般要求n≥100, 例2 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发 纺织厂女工照顾800个纺锭 个纺锭, 生断头的概率为0 005(设短时间内最多只发生一次断头) 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.
k n C N 1 C N− k 2 n CN
P{ X = k } =
N 1 k N 2 n− k ) ≈C ( ) ( N N
k n
P16-10
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
P16-7
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P16-5
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX= EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例1 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3件:每次1件, 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3 每次1 连续3 连续3次. 求3次中取到的合格品件数X的概率分布. 次中取到的合格品件数X的概率分布.
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例2 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 每次从 一个袋子中装有N个球, 其中N 个白球, 个黑球, 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n次, 求取到的 白球数X的分布. 白球数X的分布.
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0< 1). (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 2.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
X P
0 1-p
1 p
则称X服从参数为p (0<p<1)的 分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布. EX= DX= [注] 若 X 服从参数为 p 的0-1分布, 则 EX=p, DX=p(1-p). 分布,
P16-6
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例5 已知X ~ b(n, p), EX=6, DX=4.2, 求P{X≥5}. 已知X EX=6, DX=4.2, ≥5}. 0.7625
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例3 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5次, 求最多投中2次 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5 求最多投中2 的概率. 的概率. （约0.058） 0.058）
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 都可以近似地用泊松分布来描述. [注] 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述. 如, 某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX=
1 q [注] 若 X 服从参数为p的几何分布, 则 EX = 服从参数为p 几何分布, , DX = 2 p p
P16-9
五、超几何分布 (hypergeometric distribution)
离散型分布
1.Def.:一个袋子中装有 个球, 其中 1个白球, N2个黑球, 从中 一个袋子中装有N个球 其中N 个白球, 个黑球, 一个袋子中装有 个球, 不放回地抽取 个球 表示取到白球的数目 那么X的分布为 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么 的分布为 抽取 个球, 表示取到白球的数目,
P16-8
四、几何分布 (geometric distribution)
离散型分布
1. Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p. 设X为直 Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p 到 A 发生为止所进行的试验次数, 则P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ 发生为止所进行的试验次数, 其中q 其中q=1−p. 此时, 此时, 称随机变量 X 服从参数为p的几何分布, 记作X~g(k, p). 服从参数为p 几何分布, 记作X
X P
x1 p
x2 1-p
P16-2
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
离散型分布
X P
x1 p
P16-12
六、泊松分布 (Poisson distribution)
离散型分布
3. (泊松定理) 当二项分布b(n, p)的参数n很大, p很小时, 可用参 泊松定理) 当二项分布b 的参数n很大, 很小时, 的泊松分布来近似, 数为λ=np 的泊松分布来近似, 即
C p q
k n
k
n− k
( np ) − np e ≈ k!
P16-4
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P{ X = k } =
C C C
n N
k N1
n− k N2
, 0≤ k ≤ n
（这里约定：若a<b，则 这里约定： a<b，
b Ca = 0 ）
以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布 以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布. 超几何分布. [注] 当N很大, N1和N2均较大, 而n相对很小时, 可将不放回近似 很大, 均较大, 相对很小时, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 即
k
Hale Waihona Puke [注] 实际应用中，一般要求n≥100, p<0.1. 实际应用中，一般要求n≥100, 例2 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发 纺织厂女工照顾800个纺锭 个纺锭, 生断头的概率为0 005(设短时间内最多只发生一次断头) 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.
k n C N 1 C N− k 2 n CN
P{ X = k } =
N 1 k N 2 n− k ) ≈C ( ) ( N N
k n
P16-10
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
P16-7
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P16-5
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX= EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例1 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3件:每次1件, 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3 每次1 连续3 连续3次. 求3次中取到的合格品件数X的概率分布. 次中取到的合格品件数X的概率分布.
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例2 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 每次从 一个袋子中装有N个球, 其中N 个白球, 个黑球, 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n次, 求取到的 白球数X的分布. 白球数X的分布.