2.3 常用的离散型分布

P16-11
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX= 例1 某商店某种商品每月的销售量可以用参数为λ=10的泊 10的泊 松分布来描述, 为了以95%以上的概率保证不脱销, 松分布来描述, 为了以95%以上的概率保证不脱销, 问商店 在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货) 在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货). 15
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 2.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
X P
0 1-p
1 p
则称X服从参数为p (0<p<1)的 分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布. EX= DX= [注] 若 X 服从参数为 p 的0-1分布, 则 EX=p, DX=p(1-p). 分布,
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例3 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5次, 求最多投中2次 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5 求最多投中2 的概率. 的概率. （约0.058） 0.058）
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 都可以近似地用泊松分布来描述. [注] 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述. 如, 某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX=
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例2 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 每次从 一个袋子中装有N个球, 其中N 个白球, 个黑球, 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n次, 求取到的 白球数X的分布. 白球数X的分布.
离散型分布
X P
a 1
则称X服从a处的退化分布 则称X服从a处的退化分布. 退化分布. [注] 若X服从a处的退化分布, 则EX=a, DX=0. 服从a处的退化分布, EX= DX=
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
P16-3
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0< 1). (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
离散型分布
§2.3 常用的离散型分布
一、退化分布 二、两点分布 三、二项分布 四、几何分布 五、超几何分布 六、泊松(Poisson)分布 泊松(Poisson) (Poisson)分布
P16-1
一、退化分布 (degenerate distribution)
1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
P16-5
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例5 已知X ~ b(n, p), EX=6, DX=4.2, 求P{X≥5}. 已知X EX=6, DX=4.2, ≥5}. 0.7625
k
[注] 实际应用中，一般要求n≥100, p<0.1. 实际应用中，一般要求n≥100, 例2 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发 纺织厂女工照顾800个纺锭 个纺锭, 生断头的概率为0 005(设短时间内最多只发生一次断头) 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.
P16-8
四、几何分布 (geometric distribution)
离散型分布
1. Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p. 设X为直 Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p 到 A 发生为止所进行的试验次数, 则P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ 发生为止所进行的试验次数, 其中q 其中q=1−p. 此时, 此时, 称随机变量 X 服从参数为p的几何分布, 记作X~g(k, p). 服从参数为p 几何分布, 记作X
1 q [注] 若 X 服从参数为p的几何分布, 则 EX = 服从参数为p 几何分布, , DX = 2 p p
P16-9
五、超几何分布 (hypergeometric distribution)
离散型分布
1.Def.:一个袋子中装有 个球, 其中 1个白球, N2个黑球, 从中 一个袋子中装有N个球 其中N 个白球, 个黑球, 一个袋子中装有 个球, 不放回地抽取 个球 表示取到白球的数目 那么X的分布为 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么 的分布为 抽取 个球, 表示取到白球的数目,
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX= EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例1 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3件:每次1件, 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3 每次1 连续3 连续3次. 求3次中取到的合格品件数X的概率分布. 次中取到的合格品件数X的概率分布.
k n C N 1 C N− k 2 n CN
P{ X = k } =
N 1 k N 2 n− k ) ≈C ( ) ( N N
k n
P16-10
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
P{ X = k } =
C C C
n NFra Baidu bibliotek
k N1
n− k N2
, 0≤ k ≤ n
（这里约定：若a<b，则 这里约定： a<b，
b Ca = 0 ）
以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布 以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布. 超几何分布. [注] 当N很大, N1和N2均较大, 而n相对很小时, 可将不放回近似 很大, 均较大, 相对很小时, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 即
P16-12
六、泊松分布 (Poisson distribution)
离散型分布
3. (泊松定理) 当二项分布b(n, p)的参数n很大, p很小时, 可用参 泊松定理) 当二项分布b 的参数n很大, 很小时, 的泊松分布来近似, 数为λ=np 的泊松分布来近似, 即
C p q
k n
k
n− k
( np ) − np e ≈ k!
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例4 某人射击的命中率为0.8, 今连续射击30次, 求命中率为30% 某人射击的命中率为0.8, 今连续射击30次 求命中率为30% 的概率. 的概率. 0.0064
P16-6
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P16-4
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
X P
x1 p
x2 1-p
P16-2
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
离散型分布
X P
x1 p
P16-7
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为