投影面体系及点的投影基本知识

a' aZ A O a W a" aY Y
X
aX
点A可写成 A(xA，yA，zA)
如图所示，由点A的三面投影可得点A的三个坐标， 同样也可由点A的三个坐标得出唯一的交点A。
Z
点的三面投影和坐 标的关系为：
Z
a'
zA xA O xA yA a zA yA
a"
a反映A 点x和y的坐标； A a
● ●
（3）投影轴上的点
Z V Dd' d" X
d
Z d' d"
W
X
O
O
b"
d
Yw
H
Y
YH
投影特点：投影轴上的点必有两个坐标为零，也就是 该点与相交于这条投影轴的两个投影面的距离都是零，在 相交于这条投影轴的两个投影面上的投影，都与该点相重 合，另一投影则重合与原点O。
（4）与原点O重合的点
Z V Z
Z
a'
b'
a"(b")
A、B为W面 的重影点
X
O
YW
a
b
YH
V
对V面的重影点 a' (c')d'
b'
可见性的判断： 对正面V的重影点：
C D
A B 对H面的重影点 a(b)
前遮后
对水平面H的重影点： 上遮下
c
d
对侧面W的重影点： 左遮右
[例2.5] 如图所示，已知点A，并知点B在点A之右 8mm，之后6mm，之下6mm，点E在点A的正下方、在H 面上，作点B和E的三面投影，并表明可见性。
Z
a"
X
O
YW
YH
投影特点：三个坐标都不是零，三个投影都不在投影 轴上。
（2）投影面上的点：只在一个投影面上的点。
Z V
Aa'
c'
a"
a'
Z
a"
W
O Cc" X a
X
b'
a H
b'
c'
c"
O b" Yw
c
Bb
b"
c
Y
b
YH
投影特点：投影面上的点必有一个坐标为零，也就是 点与该投影面的距离为零，在该点所在的投影面上的投影 与该点相重合，另外两个投影则分别位于这个投影面的两 条投影轴上。
[解] 因为点与投影面的距离，分别是该点的相应 的坐标，亦即xA=WA=14， yA=VA=10， zA=HA=11，所 以仍用例题2.1同样的作图原理和步骤，即可作出点A的 三面投影。 Z
a' a"
X
O
YW
a YH
5. 各种位置的点
（1）空间点：不在任一投影面上的点。
Z V a'
A
a'
a" W O a Y a X
点A的正面投影——a
3.点的三面投影的形成（形成过程）
Z V a ● ax
●
az A O a● H ay Y
●
a
X
W
3.点的三面投影的形成（形成过程）
Z
V
a●
az O ay
H
●
a
W 不动 YW Z V a ●
●
X
ax a● H
ay
W
向右翻
YH
A O
●
a W
X a●
向下翻
H
Y
展开投影面

视图与视图的关系

主、俯分左右 主、左看上下
主、俯长对正
主、左高平齐 俯、左宽相等
俯、左辨前后
3.点的三面投影的形成（形成过程）
Z
如图所示， 把点A放 入三投影面体系中，由点 A作垂直于V面、H面、W 面的投射线。
X
V
a ●
●
A
O
●
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ W
a●
H Y
点A的水平投影——a 点A的侧面投影——a
H
同样，长方体的投影是一个长方形，但根据投影是 长方形也不能确定产生它的是长方体还是楔形体，因此， 对单面正投影，点不能定位，体不能定形。
要使投影能唯一确定它们的形状和位置，必须建立一 个多面投影体系。
1.两投影面体系的建立
互相垂直的正立投 影面（简称正面或 V 面） 和水平投影面（简称水 平面或 H 面），组成两 投影面体系。交线称为 投影轴 OX 轴，它将空 间划分为四个分角。
a ay
H
aay ⊥OYH， a"ay ⊥OYW
H W
YH
例：已知点A的正面投影a'和水平投影a，求其侧面投 影a"。
a' Z a"
X
O
YW
a YH
从点的投影特性可知：
①已知点的三个坐标或与三个投影面的距离，就可确 定该点的位置，便可作出该点的三面投影。
②由于点的一个投影可以反映该点与相邻的两个投影 面的距离或两个坐标，因而由一点的两个投影，就可反映 该点与三个投影面的距离或坐标，确定该点的位置，也可 按点的投影特性作出该点的第三投影。
V
a A
X
O
a
H
2.三投影面体系的建立
对于一些复杂的物体，只有两个投影往往不能确定其形状， 需建立三投影面体系。 用三个互相垂直的投影面构 成一个三投影面体系，三个投影
Z
V
面分别为：正立投影面，用V表示；
水平投影面，用 H 表示；侧立投 影面，用W表示。 H、V、W面将
O X
空间分成八个分角，处在前、上、
-
例题：已知A点，且B点在A点的左方10mm，下方 20mm，前方15mm，求B点的三面投影。
a'
10
Z
a"
20
b' X
a
15
b"
O
YW
b
YH
（2）重影点及其可见性 两点的某个坐标相同时，在某一投影面上具有重合的 投影，则这两点称为对该投影面的重影点。
Z a' b' X A B O a" b" W A、B为H面 的重影点
点在V、W两投影面体系中的投影，与点在三面体系 中的投影有相同的投影特性。
Z
V
a' A
Z aZ a" O X Y V
Z W a" a' a"
W
a'
aZ
X
O
Y
O
[例题2.4] 已知点A（15，11，17）和点B（0，7， 7），作出这两个点的正投影和侧面投影。
Z a'
15 17 11 a"
b' 7 b"
[解] 点E的侧面投影e''在OY轴上，由于侧面投影在侧 面W上，所以在投影图中， e''一定要标绘在W面的OYW轴 上，不能标绘在H面的OYH轴上。
Z a'
a"
a'
a"
6
b'
X O YW X e'
b" O e" YW
8
b
a YH
a(e) YH
6
本章结束
正立 投影面
第二分角
V
第一分角
投影轴
X
第三分角
H
O
第四分角
水平 投影面
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面 将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分 角。我们通常把物体放在第一分角中来研究，所得投影称为 第一角投影，优先采用第一角画法。
点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
a"
X 左-右
b
a
每个投影面只能反映两个向度。
Z a' a" 后-前 上 b" 下 -
左-右 b' X
上 下 O
后 前 YH
两点间的相对位置可用它们 同方向的坐标差值来判断 两点中X值大的点——在左 两点中Y值大的点——在前 两点中Z值大的点——在上
a
YW
b 左-右
B点在A点 之左、之 后、之下
若已知两个点的相对位置以及其中一个点的投影，就 能作出另一点的投影。
③若已知一点的三面投影或其中任两个投影，可按点 的投影特性量出该点的三个坐标或与三个投影面的距离。
[例2.1] 已知点A（14，10，11），作出该点的三面投
影。
[解] 根据点的投影特性，可由点A的坐标作出它的 三面投影。
Z a' 11 a"
X 10
14
O
YW
a
YH
[例2.2] 已知点A与投影面W、V、H的距离分别为 14mm、10mm、11mm，作出该点的三面投影。
W
X d 'd " O Dd H X
d 'd " O Dd
b"
Yw
Y
YH
投影特点：与原点O相重合的点的三个坐标都是零， 三个投影都重合于原点O。
（1） H、V两投影面体系
Z Z V yA=VA zA=HA a' a' X aX V a'
X
aX
a
A
O
X
O
O a
Y
a
H
Y
在H、V两面体系中的点A的投影图中：不画和不标注 投影面的边框、投影面的名称、OX轴上的点ax。
Z W
V
主视图
左视图
W
O X YW
展开
YH
H
H
俯视图
由于视图的形状和物体与投影面之间的距离无关，因 此工程图样上通常不画投影轴和投影面的边框，如图所示。
三视图
三视图的对应关系如图所示
上 左
主视图
上 右 后
高平齐
左 视 图
主视图
前
长对正
左 视 图
下 后 左 前
俯视图
下 右
45
0
宽相等
俯视图
45
0
图和物的关系
[例2.3] 已知点A（14，10，11）和点B（3，0，0）， 作出这两个点的水平投影和正面投影。
[解] 根据点的投影特性，可由点的坐标作出它的水 平投影和正面投影。
a' 11
X 10
14
b'
b
O
a
注意的是：虽然b、b'都与B点重合，但在投影图中只 标注投影，因而不能在b、b'处标B。
（2） V、W两投影面体系
3.点的三面投影的形成（形成过程）
省略 不注 不画 边框
向前
不注明投 影面名称
Z V a● az
●
a
W
X
向前
ax
O
ay YH
ay
H
YW
W
a●
H 用细
实线画
画辅 助线
投影图
4. 点的坐标和投影特性 将投影轴作为坐标轴，投影面作为坐标面，互相垂直 的OX、OY、OZ轴构成空间的直角坐标系。
Z
V
O
7
例：已知空间点D的坐标(15,10,20)，试作其投影图和 直观图。
Z d' d" Z
V
d' D d" W
X
O
YW X d H
O
d
YH
Y
2.1.3 两点的相对位置
（1）在投影图中能显示两点的相对位置
上 — Z
空间有： 长（左右方向） 宽（前后方向） 高（上下方向） 三个向度。
下
a'
b' A B O b" Y
左侧的分角称为第一分角。通常 把物体放在第一分角中来研究。
Y
三个投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表 示，如图所示
将物体置于三投影面体系中，按正投影法分别向三个 投影面投射，其V面投影称为主视图，H面投影称为俯视 图，W面投影称为左视图。
左视图 主视图
俯视图
为了把物体的三面投影画在同一平面上，规定V面不 动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转 90°，与V面处在同一平面上。
V
水平投影 a ●
X
YW
X
正面投影 a'反映A a 点x和z的坐标；
●
O
W
H
Y
YH
侧面投影a"反映A 点y和z的坐标。
一点的两个投影之间的连线称为投影连线。
Z
a'
a"
可以证明：点的投影连 线垂直于相应的投影轴 （点的两个投影所在的 投影面的交线）。
YW
X
O
ay
W
aa' ⊥ OX轴
a'a"⊥OZ轴
第二章
制图基础
2.1 点的投影
本节提要： （1）三投影面体系及点的三面投影 （2）点的坐标和投影特性 （3）各种位置的点 （4）点在两面体系第一角中的投影 （5）两点的相对位置
2.1.1 三投影面体系及点的三面投影
A3 A2 A1 a a
当空间一点A的位置及投影方向已确定时，它在投 影面上的投影a是唯一确定的。但反过来，根据a却不能 确定产生此投影的空间点是A还是A1或A2。
V
a(b) H
Y
（在投影图中）可见性的判断：根据重影点中有两个 不同的坐标值，相应大者为可见。
a' b' X
A、B为H面 的重影点
zA –zB＞0
Z a" b"
O
xA=xB ab a (b) yA=yB
YW
YH
可见性表明：被挡住的 点的投影加( )（不需 表明可见性时可不加）
例题：已知两点A和B的投影图，试判断该两点在空 间的相对位置。