综合法与分析法

综合法与分析法

学习目标：

1． 理解综合法和分析法的概念及区别

2． 熟练的运用综合法分析法证题

学习重难点:

综合法和分析法的概念及区别

自主学习：

一：知识回顾

1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。

2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究

1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.

2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所

求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.

3. 分析法:

一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使

结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析

法．分析法是一种执果索因的证明方法.

4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ⇒⇒⇒L (结论)

5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤;

要正(或为了证明)B 成立,

只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件).

要证1A 成立,

只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件).

… ,

要证k A 成立,

只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)..

Q A 成立, ∴B 成立.

三: 例题解析

例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc

证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc.

又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0

所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.

例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.

求证: 2a b x y

+=. 证明: 依题意, :a,b,c 三数成等比数列, ∴

a b b c =,∴a b a b b c =++, 又由题设: 2a b x +=,2b c y +=, 而22222()2a b a c b c b c x y a b b c b c b c b c

++=+=+==+++++. 例3. 设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，

只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，

即证a 2-ab+b 2＞ab 成立。(∵a+b ＞0)

只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，

也就是要证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b ，有a-b≠0，

所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.

例4 已知a,b 是正整数,求证:

≥

证明: 要证

≥

只需证≥成立，

即证(a b +≥

.

即证a b +≥

也就是要证a b +≥,即0≥.

该式显然成立,

≥巩固练习

1. 下列正确命题的序号是________.

① 若,a b R ∈,则2b a a b

+≥;

② 若,a b R ∈,则lg lg a b +≥

③ 若x R ∈,则44||||||x x x x +=+≥④ 2

y =的最小值是2. 2. 函数()ln(1)2x x f x e =+-

( ) A.

是偶函数,但不是奇函数 B.

是奇函数,但不是偶函数 C.

既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数

3. 若,x y R ∈,且2226x y +=,则222x y x ++的最大值是( )

A 14

B 15 C16 D17

4. 定义在(,)-∞+∞上的函数()y f x =在(,2)-∞上是增函数,且函数(2)y f x =+为偶函数,则f(-1), f(4), f(15

2)的大小关系是__________________________________.

归纳反思：

合作探究：

1.求证:

<.

2.已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x,都有()0f x ≥,则(1)'(0)

f f 的最小值为( ) A 3 B

52 C 2 D 32

例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，

求证：c b a c b b a ++=+++311。答案：证明：要证

c b a c b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b c b a b a c b a 。即证1=+++c

b a b a

c 。又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证2

22b ac a c +=+∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理，有ο60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

变式训练2：用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+

a a a a 。答案：证明：要证212122-+≥-+

a a a a ，只需证2121

22++≥++a

a a a 。∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++

a a a a 只需证)1(222211441

222222a a a a a a a a +++++≥+

+++，只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+a a a a ，即证2122≥+

a a ，它显然成立。∴原不等式成立。

课题：直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的

两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的

思考过程、特点。