几何原本.ppt
几何起源课件ppt
几何变换
01
02
03
平移
将图形在平面内沿某一方 向移动一定的距离。平移 不改变图形的大小和形状 。
旋转
将图形绕某一点旋转一定 的角度。旋转同样不改变 图形的大小和形状。
缩放
将图形沿某一方向放大或 缩小一定的比例。缩放可 以改变图形的大小，但不 改变其形状。
基础几何定理与证明
03
相似与全等
相似
如果两个图形形状相同， 大小可以不同，则它们是 相似的。
近代几何的演变
要点一
总结词
随着科学技术的进步，几何学在近代经历了巨大的变革和 发展。
要点二
详细描述
文艺复兴时期之后，几何学得到了极大的发展。笛卡尔创 立了解析几何，将几何与代数相结合，为微积分学的发展 奠定了基础。同时，欧拉在图论和拓扑学方面做出了重要 贡献，这些领域的研究对数学和物理学的发展产生了深远 影响。在现代，几何学已经渗透到了各个学科领域，如计 算机图形学、量子力学和宇宙学等。
建筑设计中，几何学被广泛应用于平面规划、空间布局、立 面设计等方面，如利用圆形、三角形、矩形等基本几何形状 进行组合和变形，创造出独特的建筑风格和空间效果。
工程绘图
工程绘图是几何学在实践中的重要应用之一，工程师利用 几何学原理进行工程设计和绘图，以确保工程的安全性和 准确性。
在工程绘图中，几何学被广泛应用于机械设计、土木工程 、航空航天等领域，如利用坐标系、向量、线性代数等几 何知识进行计算和分析，为工程设计和施工提供科学依据 。
几何分析与计算复杂性
几何问题往往具有很高的计算复杂性，如何高效地解决几何问题仍然是当前面临的重要 挑战。
几何在交叉学科中的应用
随着科技的发展，几何学在交叉学科中的应用越来越广泛，如何更好地与其他学科进行 交叉融合，发挥几何学的优势和作用，也是当前需要关注和研究的问题。
几何原本
数学中最古老的一门分科。
据说是起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry就是由geo（土地）与metry（测量）组成的。
泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作；毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。
在中国古代早有勾股测量，汉朝人撰写的《周髀算经》的第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000）周公姬旦同商高的问答，讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定律，并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。
在埃及产生的几何学传到希腊，然后逐步发展起来而变为理论的数学。
哲学家柏拉图（公元前429～前348）对几何学作了深奥的探讨，确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。
此外，梅内克缪斯（约公元前340）已经有了圆锥曲线的概念。
希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起来，它长时间成了文化的中心。
欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《几何原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学(简称欧氏几何)。
于1606年翻译了《几何原本》前六卷，至1847年才把其余七卷译完。
“几何”与其说是geo的音译，毋宁解释为“大小”较为妥当。
诚然，现代几何学是有关图形的一门数学分科，但是在希腊时代则代表了数学的全部。
欧几里得在《几何原本》中首先叙述了一些定义，然后提出五个公设和五个公理。
其中第五公设尤为著名：如果两直线和第三直线相交而且在同一侧所构成的两个同侧内角之和小于二直角，那么这两直线向这一侧适当延长后一定相交。
《几何原本》中的公理系统虽然不能说是那么完备，但它恰恰成了现代几何学基础论的先驱。
直到19世纪末，才建立了严密的欧氏几何公理体系。
第五公设和其余公设相比较，内容显得复杂，于是引起后来人们的注意，但用其余公设来推导它的企图，都失败了。
第五讲几何原本和九章算术
第五讲《几何原本》和《九章算术》在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。
《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。
一、《几何原本》《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。
演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。
约公元前300 年，古希腊数学家欧几里得（Eucild ）将希腊当时最为发达的数学--- 几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。
《几何原本》的原名为《原本》（“ Elements” ），17 世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。
《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。
欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。
（一）《几何原本》的基本内容欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475 个命题（包括 5 个公设（Postulate ）和 5 个公理（Axiom ））。
除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。
第一篇有5个公设、5个公理和48 个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras ）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。
所有图形都是由直线段组成的。
欧几里得在这篇中给出了23 个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。
接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。
（II ）有限直线可以继续延长。
（III ）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。
（IV ）所有直角都相等。
（V ）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。
一几何原本与几何基础 优质课件
1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他 的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修 正和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》 一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给 出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概 念的的准确定义。
《几何基础》将公理体系分为下述五类。 第一类叫做关联公理，由8个公理组成。第二类 叫做顺序公理，由4个公理组成。第三类是合同公 理（或全等公理），由5个公理组成。第四类中只有
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于 1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初 小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开 始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半 叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课 本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上 了正轨。
辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育 部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓 于三十年代在民间普及），学制改为初小4年， 高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面 几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温 德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育 的水平已大大提高。
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要， 学制改为小学6年，初中3年，Байду номын сангаас中3年，平面几 何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程 为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几 何的基本内容。
从三十年代初直到五十年代初，我国很多初 中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的 Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的 数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中 平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能 力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修 订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元 庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。
几何原本-第一卷几何基础
命题1.35
• 命题：在同底上且在相同的二平行线之间的平行 四边形面积相等；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.36-41
• 命题1.36、在等底上且在相同的二平行线之间的平行四边 形面积相等； • 命题1.37、同底等高的三角形面积相等； • 命题1.38、等底等高的三角形面积相等； • 命题1.39、有共同底边位于同侧面积相等的三角形的令两 点的连线平行于底边； • 命题1.40、等底并在同一边的面积相等的三角形，定点的 连线平行于底边； • 命题1.41、如果一个平行四边形与三角形同底边，并同一 顶点连线平行与底边，那么平行四边形的面积是三角形的 两倍；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.13-15
• 命题1.13、两条直线相交，邻角是两个直角或者 其和为180度； • 命题1.14、平面上两条不在一边的射线过任意直 线上一点，所成的邻角之和若等于两个直角的 和，那么这两条射线构成一条直线； • 命题1.15、两直线相交对顶角相等；
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.18、 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成 的图形，半圆的圆心与原圆心相同；
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.19、 直线图形是由线段首位顺次相接围成 的。 三角形是由三条线段围成的， 四边形是由四条线段围成的， 多边形是由四条以上线段围成的； • 定义1.20、三角形中，三条变相等称为等边三角 形，两条变相等称等腰三角形，三边都不相等称 不等边三角形；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.16-17
• 命题16：任意三角形，其任意一边的延长线所形 成的外角大于任意不相邻的内角；
第二章源头之一几何原本
《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一 篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形的几何学，其中第47命题就是著 名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以 斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。”
几何学的发展简史
几何学的发展历经了四个基本阶段：
一是经验事实的积累和初步整理
据考证西方的几何学就是起源于测地术．“几何 学”这个名词是我国明朝徐光启（1562—1633年） 译的，这个词的原义无论在拉丁文或希腊文都含“测 地术”的意思．
大约公元前1650年，埃及人阿默斯 （Ahrmes，生卒年月不详）手抄了一本书，即 后人所称的“阿默斯手册”，最早发现于埃及 底比斯的废墟中．公元1858年由英国的埃及学 者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故又名“莱因 德纸草书”．此书中载有很多关于面积的测量 法以及关于金字塔的几何问题．
第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面 体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。
第五公设的试证
在摆脱第五公设(也称平行公设)困扰的努力 中，第一个有影响的工作是由古希腊天文学家托 勒密完成的。在这次认真的尝试中，托勒密采取 的方式是直接证明法。他试图通过欧几里得的其 他九个公理、公设直接推导出第五公设。
第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个
题．占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定
的量不可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的无理量。
a b
第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系， 共有39个命题。
第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于 直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、 圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是： 欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等 的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法， 而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理 论几何。
几何原本
第6卷共有33个命题，将第5卷已建立的理论用到平面图形上去，为相似多边形的理论。
创作背景
公元前8至公元前6世纪，在小亚细亚地区，希腊移民建立了一群经济上繁荣富裕的工商业城市，发展出了希 腊城邦制度。希腊人凭借地理上的优势，大力发展海上贸易，广泛吸收先进的古埃及和古巴比伦的文化，成为古 希腊文明的中心，培育出了公元前6世纪以后的小亚细亚诸城邦的一批思想家和学者，小亚细亚、尤其爱奥尼亚成 了古希腊自然哲学和科学的故乡。希波战争以后，雅典取得了希腊城邦的领导地位，海上贸易更加发达。经济生 活更加繁荣，古希腊文明中心由小亚细亚移向希腊本土雅典，此时，希腊民主城邦制度逐步走向全盛时代。“各 城邦实行独立的主权在民和直接民主制度，即城邦的政治主权属于它的公民，公民们直接参与城邦的管 理。”“在这种制度下，凡享有政治权利的公民的各项决议无论在寡头、贵族或民主政体中总是最后的裁断，具 有最高的权威”，这种“民主生活又使得议会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地。 雄辩术可以使一个普通的公民成为民众的领袖”。在这种环境下，雅典学术气氛十分活跃，雅典公民在公开的政 治生活中获得广泛的知识，希腊世界各地的知识分子也群趋雅典，希腊哲学、艺术、文化科学等各方面呈现出百 花齐放、各炫异彩的空前盛况。马其顿王亚历山大的帝国崩溃以后，作为东西海陆交通枢纽的埃及的亚历山大里 亚逐渐成为古希腊文化中心。其时，托勒密一世重视科学文化，在那里修建科学中心。修建博物园，建立图书馆， 藏书70余万卷，几乎包括所有古希腊的著作和东方的一部分典籍，还把当时所有学术中心的许多学者请到亚历山 大里亚，欧几里得就是在公元前300年左右受邀到那里从事教学和研究的。数学在一个自由的学术气氛中最能获 得成功，而希腊的民主城邦制度则提供了这种自由的学术环境，在那里古希腊人创立了思辩的哲学，发展和积累 了丰富的自然科学和数学知识，《几何原本》就是在这样的环境中诞生的。
几何原本-第二卷几何与代数
• ac=c2+c(a-c)
A E D
长方形ABCD面积为长方形 ABFE与正方形EFCD面积之和
B F C
Hanjing shanxi jincheng
命题2.4
命题2.2
• 一条线段被任意分成两部分，这两部分与原线段 为边所构成的矩形面积之和，等于与原线段为边 构成的正方形的面积；
• (b+c)2=(b+c)b+(b+c)c
A E D
正方形ABCD面积为ABFE 与EFCD两个长方形面积之和
B
F
C
Hanjing shanxi jincheng
命题2.3
• 如果一条线段被任意切分为二，以该线段为边的 正方形面积等于两条小线段上的正方形面积之和 再加上以两条小线段所构成的矩形面积的两倍；
• (a+b)2=a2+b2+2ab
A I F E D G
正方形ABCD面积等于正方形 IBHE面积加正方形FEGD面积再加 长方形AIEF与EHCG面积
Hanjing shanxi jincheng
矩形AEHB面积加正 形FIJG面积等于正方形 CIKB面积
Hanjing shanxi jincheng
命题2.7
• 一条线段被任意的一点切分，以这条线段为边的 正方形的面积和其中一条小线段的正方形的面积 之和，等于以总线和分线为边的矩形的面积的两 倍与余下的小线段上的正方形的面积之和；
• c2+b2= 2cb+(c-b)2
• 4ab+(a-b)2=(a+b)2
几何原本与中国数学教育PPT参考课件
评价
从辛亥革命到中华人民共和国成立，是中国现代数学教育的奠 基时期，不少老一辈数学家如姜立夫、熊庆来、陈建功等克服重重 困难，艰苦创业，培养了一批数学人才；数量虽然不多，但对于使 现代数学在中国土壤上生根，作出了宝贵贡献
近代初等数学教育
近现代的初等数学教育，可以说是在晚清(1903)颁布癸卯学制,废除科举,兴 办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、 几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913)公布壬子癸丑学制，中学由五年改 为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制，将 小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年,高小二年,初高中皆三年。初 中数学讲授算术、代数、平面几何，高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代 数、平面解析几何（高中曾分文理两科，部分理科加授立体解析几何和微积分初 步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行 了改革，学制大都改为小学六年,初高中各三年,初中逐步取消算术课。50年代高 中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及概率论和电子计 算机的初步知识。
2021/3/10
授课：XXX
4
中国的数学教育是开放的归纳体系——缺乏系统的逻辑体 系和符号体系。
《九章算术》以归纳为主的叙述方式，与古希腊数学代表著作欧几 里得的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显不同。以后的中国 古代数学著作，大都采用这种以归纳为主的叙述方式。这也是中国古 代数学的一大特色，并反映出古代中国人的思维方式。正如吴文俊先 生指出的：“《九章算术》和《几何原本》东西辉映，是现代数学思 想的两大源泉（吴文俊.《九章算术注释》序，载：白尚恕著.九章算 术注释[M],北京：科学出版社，1988年：第1页）。吴先生在几何定理 的机器证明领域所取得的成就，正是以《九章算术》为代表的中国传 统数学特色在现代条件下的发扬光大。 值得一提的是，值得提出的， 中国古代也强调逻辑。但是，这里的“逻辑”与古希腊以“三段论” 为代表的演绎逻辑有所不同，而是一种自然的逻辑，其体系并不是相 对完整的。总之，中国传统数学最本质的方法是归纳，认识过程是由 特殊到一般，在数学教育的方法上强调启发式，强调对一些典型问题 反复思考，举一反三，从中体会一般法则。中国传统数学的特点和数 学教育的目的，决定了数学教育的内容是为传授应用技能而设计的， 在思202想1/3/和10 方法上采取了注重应用授、课以：X问XX 题为中心、以算法为基础、主5 要依靠归纳思建立数学模型、强调基本法则及其推广的一整套模式。
2. 欧几里得几何原本的定义、公理和共设
第一节几何原本中关于定义、公理和共设几何原本的定义1. 点是没有部分的2.线只有长度而没有宽度3.一线的两端是点4.直线是它上面的点一样地平放着的线5.面只有长度和宽度6.面的边缘是线7.平面是它上面的线一样地平放着的面8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11. 大于直角的角叫钝角。
12. 小于直角的角叫锐角13. 边界是物体的边缘14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
（暂无注释，可能是接着17的）19.直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。
20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.21.此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.五条公理1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。
几何原本》第一卷《几何基础》
《几何原本》第一卷《》23条定义1、点是没有部分的2、线只有长度而没有宽度3、一线的两端是点4、直线是它上面的点一样地平放着的线5、面只有长度和宽度6、面的边缘是线7、平面是它上面的线一样地平放着的面8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11、大于直角的角叫钝角。
12、小于直角的角叫锐角13、边界是物体的边缘14、图形是一个边界或者几个边界所围成的15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
（暂无注释，可能是接着17的）19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。
20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.五条1、等于同量的量彼此相等；2、等量加等量，其和相等；3、等量减等量，其差相等；4、彼此能重合的物体是全等的；5、整体大于部分。
五条公设1、过两点能作且只能作一；2、(有限直线)可以无限地延长；3、以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4、凡是直角都相等；5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
几何原本的几何五大公设课件
斯維卡特(Schweikart, 1780~1859) 的宣言
• 他說：『應該承認有兩種幾何，一種是 歐氏幾何，另一種是建立在三角形內角 之和小於180o假設下的幾何。』
• 第二種幾何可稱為“星際幾何”
• 平行公設與歐氏其他公設無關
創立非歐幾何的英雄
• 德國的數學王子高斯(Gauss, 1777~1855) • 匈牙利的鮑耶(J. Bolyai, 1802~1860)
• 三角形的內角和小於兩直角
黎曼的貢獻
• 黎曼在1854年的論文《論幾何學的基本假設》， 提出了另類的非歐幾何學，稱為「黎曼幾何」 (即「橢圓幾何」)
• 在黎曼幾何的體系中，有以下特徵： (a) 直線不是無限而是有限且封閉的 (b) 不存在平行線 (c) 三角形內角和大於兩直角
黎曼(Riemann, 1826~1866)
• 以後陸續用俄文、法文、德文發表自 己的工作。直到去世後，高斯對他的 學說予以肯定， 他的思想才被普遍接 受
• 他在無窮級數論、積分學和概率論等 方面，也有出色的工作
• 著有《幾何學基礎》(1829)及《平行線 理論的幾何研究》(1840)
羅氏幾何的兩大特徵
• 通過直線AB以外的一點P，有不只一 條直線與 AB 平行
•當0時，L()並不趨向一個固定值，而是隨著 的減少而增長，這意味著海岸線的長度是不能精 確測量出來的！
科赫曲線(Koch Curve)
•科赫曲線是瑞典數學家科赫(Helge von Koch)於1904年提出的。
•按照Mandelbrot的說法，科赫曲線是 海岸線粗略但極好的模型
怎樣構造科赫曲線呢？
• 幾何基礎、解析幾何、非歐幾何、射影幾何、畫 法幾何
• 微分幾何(包括：張量分析、微分流形、黎曼流 形、大範圍微分幾何、複流形)
欧几里德和《几何原本》-PPT精品文档
《几何原本》的千年丰碑
《几何原本》的结构优美，是用公理法建立数学演 绎体系的最早典范。这个美妙的平面几何体系，被 一些大科学家赞美为“雄伟的建筑”、“壮丽的结 构”与“巍峨的阶梯”。英国著名的哲学家、数学 家罗素曾经回忆到他11岁时开始学习欧几里德几何 时的感受，觉得这是他一生中的一件大事，就像初 恋一样使他痴迷，想不出世界上还有什么东西这样 让他感到趣味盎然。捷克数学家波尔察诺讲述过自 己的一段往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑 身颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中拿起欧几里 德的《几何原本》，平生第1次阅读了第5卷中的比 例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，病痛竟然 神奇般的痊愈了。此后，只要是他的朋友觉得身体 不舒服时，他就建议朋友去服《几何原本》这副 “灵丹妙药”。
徐光启要求全部译完《几何原本》，但利 玛窦却认为应当适可而止。由于利玛窦的 坚持，《几何原本》的后7卷的翻译推迟了 200多年，才由清代数学家李善兰和英国人 伟烈亚力合作完成。
思考题：
1、《几何原本》的主要成就有那些？它的 演绎逻辑系统、公理化思想对后世数学 的发展起到了怎样的作用？请你结合本 讲的学习谈谈体会。
从《几何原本》问世后的2000多年 里，它引导一代又一代青年人跨入 数学殿堂，哥白尼、伽利略、牛顿、 爱因斯坦，这些大名鼎鼎的大科学 家，都曾得到这部书的许多教益， 他们惊叹里面论证的精彩、逻辑之 严密，对人类科学文化的发展，尤 其是西方数学的发展，是一盏永不 熄灭的明灯。
人教版数学七年级下册-几何原本
《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。
《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。
（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。
它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。
）这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。
全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。
比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。
都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。
它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。
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《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽 之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精 神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑 的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达 二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译 和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有 一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任 何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与 《几何原本》相比。
它的影响之深远．使得“欧几里得” 与“几何学”几乎成了同义语。它 集中体现了希腊数学所奠定的数学 思想、数学精神，是人类文化遗产 中的一块瑰宝。
我国数学家知多少？
刘徽 李冶 祖暅 华罗庚
贾宪 朱世杰 杨辉 陈景润
秦九韶 祖冲之 赵爽
刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个 非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的
秦九韶
秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。他 与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。1247年 写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，
81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍 总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高
次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数 学史上占有突出的地位。
徐光启(1562-1633)，字子 光，号元扈，谥文定，上 海徐家汇(今属上海市)人， 他是明末著名的科学家， 第一个把欧洲先进的科学 知识，特别是天文学知识 介绍到中国，可谓我国近 代科学的先驱者。
徐光启在数学、天文、 历法、军事、测量、农业 和水利等方面都有重要贡 献。
欧几里得 (活动于约前300-), 古希腊 数学家。以其所著的《几何原本》 (简称《原本》）闻名于世。
赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程 (其中 a>0,A>0)的求根公式 在《日高图注》中利用几何图形面 积关系，给出了"重差术"的证明。（汉代天文学家测量太 阳高、远的方法称为重差术）。
华罗庚
华罗庚，中国现代数学家。191来自年11月12日生于江苏省金坛县。 华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一 年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表 了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大 学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会 研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回 国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联普林斯顿高等研 究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年始，他为
地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是
我国最宝贵的数学遗产．
贾宪
贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾 撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）他的
主要贡献是创造了"贾宪三角"和增乘开方法，
增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学 数学中的混合除法，其原理和程序均与此相 仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又 更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它 的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家 霍纳的结论早七百多年。
意大利传教士利玛窦和徐光启翻译的《几 何原本》是第一个内容较多且正式的中文译 本，其简练、准确、图文并茂。梁启超曾评 价它为：“字字精金美玉，是千古不朽的著 作。”在这里他们创造了许多数学概念，如 点、线、面、平面、曲线、曲面、直角、钝 角、锐角、垂线、平行线、对角线、三角形、 四边形、多边形、圆、圆心、平边三角形 （等边三角形）、斜方形（菱形）、相似、 外切、几何等等。这些概念一直使用到今天。
祖暅
祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一 起圆满解决了球面积的计算问题，得 到正确的体积公式。现行教材中著名
的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓
祖暅对世界杰出的贡献。
杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13 世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》 十 二 卷 （ 1261 年 ） 、 《 日 用 算 法 》 二 卷 （ 1262 年 ） ， 《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算 法 》 二 卷 （ 1275 年 ） 、 《 续 古 摘 奇 算 法 》 二 卷 （ 1275 年）。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵 横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈 括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在 “纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅 入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰
分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。著名的杨辉三 角就是根据他命名的。
赵爽
赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他 所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五 百余字，并附有云幅插图，这篇注文简练地总结了东汉时
期勾股算术的重要成果，用出入相补原理证明了有关勾股
弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是 依据几何图形面积的换算关系。
朱世杰
朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山 （今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余 年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元 玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》 （1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》 是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、 日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学 高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四 元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积 术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内 插法）．
祖冲之
祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源 县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是 一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音 乐等领域，并且是一位天文学家。
祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，
他算出的圆周率3.1415926<π<3.1415927，这一结果
的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰 出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约 355/173(≈3.1415926 ） 密 率 22/7(≈3.14) ， 这 两 个数都是π的渐近分数。
李冶
李冶(1192----1279)，原名李治，号敬 斋，金代真定栾城人，1248年撰成《测
圆海镜》，其主要目的是说明用天元术 列方程的方法。“天元术”与现代代数
中的列方程法相类似，“立天元一为某 某”，相当于“设x为某某“，可以说 是符号代数的尝试。李冶还有另一步数 学著作《益古演段》（1259）也是讲解 天元术的。