广东省普通高中学业水平考试数学试题
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(B)(3)
一、单选题二、多选题1. 在展开式中，下列说法错误的是（ ）A．常数项为B ．第5项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为12. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．4. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．5. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．6.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）A．B．C．D．7. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )A．B．C．D．9. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M =“该家庭中有男孩、又有女孩”，N =“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()A ．若该家庭中有两个小孩，则M 与N 互斥B ．若该家庭中有两个小孩，则M 与N 不相互独立C ．若该家庭中有三个小孩，则M 与N 不互斥D ．若该家庭中有三个小孩，则M 与N 相互独立10. 已知函数，则（ ）A ．当时，恒成立B．当时，是的极值点C ．若有两个不同的零点，则的取值范围是D ．当时，只有一个零点2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B）(3)2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B）(3)三、填空题四、解答题11.已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（ ）A ．存在平面，使得且B ．存在平面，使得且C ．存在平面，使得D ．存在平面，使得12. 已知某厂生产一种产品的质量指标值X 服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（ ）参考数据：，，，，.A ．1586件B ．1588件C ．156件D ．158件13. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则______.14.在数列中，，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．15. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________.16.为数列的前项和，已知.（1）设，证明：，并求；（2）证明：.17. 已知等差数列和正项等比数列，，既是与的等差中项，又是其等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）证明：.18.已知函数，其中，设为的极小值点，为的极值点，，并且．将点依次记为A ，B ，C ，D ．(1)求的值；(2)若四边形为梯形且面积为1，求a ，d 的值．19.在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，是的中位线，为线段的中点.（1）证明：.（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.20. 如图，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD.，点F在棱PA上.(1)求证：；(2)若BF与平面PCE所成角的正弦值为，求AF的长.21. 医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一．关老师随机调查了高三（满19岁）100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表．未达到平均身高达到平均身高女1045男1530(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关？(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为，求的分布列与数学期望．附：，．0.150.100.050.0250.010.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828。
2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）A ．4B．C ．8D．2. 设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）A ．27B ．24C ．32D ．284. 已知全集，集合，（ ）A．B．C．D．5.已知数列满足，则“数列是等差数列”的充要条件可以是（ ）A．B．C．D．6. 设是定义在上的函数，为其导函数，已知，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）A．B．C ．2D．8. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为，那么称这个函数为“函数”，下列四个命题：①函数是“函数”；②函数是“函数”；③函数是"m 函数"，且“函数，且”；④函数是“函数，且”.其中正确的命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（）A．B．C．D．2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题10.已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（ ）A．圆的方程为B ．四边形面积的最大值为C ．弦的长度的取值范围为D ．直线恒过定点11. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）A．B．C．D．12.已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（ ）A．B．C．D．13. 已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．14. 已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为__________．15. 已知集合，，则=___________.16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l 与椭圆交于A ，B两点，与椭圆交于C ，D 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若存在斜率不为0的直线l ，使得，求t 的取值范围．17.在菱形中，，，将沿对角线翻折至的位置，使得.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.18.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.如图，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的右顶点，点，点，在椭圆上，．(1)求直线的方程；(2)求直线被过，，三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以，为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.21. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．。
广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题(一)
一、单选题二、多选题1. 数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数的前项和为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．2. 在数列中，设，，设，则数列的前2020项的和为（ ）A ．2016B ．4020C ．2020D ．40403.已知奇函数，则的值为（ ）A．B．C．D．4. 设，，，则（ ）A．B．C．D．5.已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）A．B．C．D．6. 已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为A ．或B ．或C ．9或D ．8或7.已知直线的倾斜角为，则A．B．C．D．8. 已知纯虚数满足，则（ ）A．B．C．D．9. 已知数列满足，，，则下列有关叙述正确的是（ ）A．，数列为递减数列B ．，数列为递增数列C ．，数列一定不为常数数列D ．且，当时，10.已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）A．B．二面角的大小为C ．点到平面距离的取值范围是D ．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为11.已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则（ ）广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）三、填空题四、解答题A．B ．平面C ．与的夹角的余弦值是D ．四棱锥的体积是12. 下列说法正确的是（ ）A ．设随机变量X 等可能取，…，n，如果，则B ．设随机变量X 服从二项分布，则C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则D ．已知随机变量X 服从正态分布且，则13.已知等差数列的公差为，集合，若，则________．14. =______________．（化简到用tan 表示）15.已知点在幂函数的图象上，则的表达式是__．16. 某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得分，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.17. 已知函数，，.（1）讨论的单调性；（2）设函数，当时，求在区间上的最小值.18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且点（n ，S n ）在函数y ＝2x +1﹣2的图象上．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足：b 1＝0，b n +1+b n ＝a n ，求数列{b n }的前n 项和公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的n ∈N *不等式b n ＜λb n +1恒成立，求实数λ的取值范围．19.已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意 成等比数列．(1)求数列的通项公式：(2)记．证明：对任意，都有．20. 直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针能转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为.（1）若的横坐标为，求：（2）求的取值范围.21. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.。
广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题(一)
一、单选题二、多选题1. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为A．B．C．D．3. 的展开式中，的系数（ ）A．B ．5C ．35D ．504.已知函数．则关于说法错误的是( )A ．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为B ．的图象与的图象关于y 轴对称C ．的单调递减区间为D ．在上有3个零点，则实数a的取值范围是5. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）A．B．C．D ．36. 已知，，，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．7. 已知分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．8. 已知平面向量，且，则（ ）A ．2B ．-2C．D．9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B ．若，且 的最小值为，则ω=2C ．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]D ．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）三、填空题四、解答题10. 已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ）A ．焦距B ．离心率C ．顶点坐标D ．渐近线方程11.已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C．函数的单调递增区间为D．若方程有三个不同的解，则或12.已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ）A．B．C．D．13.记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C 的离心率为__________.15.数列的前项和为，且，，则___________.16.已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面积．18. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得分，抽取3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82819. 已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．20. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值.21. 在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）已知直线：，与曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点.当四边形的面积最小时，求直线的方程.。
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题
一、单选题1.已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是A．函数的最小正周期为2B ．函数的值域为C．函数的图象关于对称D．函数的图象向左平移个单位后得到的图象2. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是､､､､､､､､､､…，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列的第项是B ．此数列的第项是C．此数列偶数项的通项公式为D ．此数列的前项和为3. 已知圆柱的高为1，它的外接球的直径为2，则该圆柱的表面积（ ）A．B．C．D．4. 已知首项为，公差为的等差数列的前n 项和为，若存在，使得：，，则下列说法不正确的是（ ）A．B．C．D．5. 已知双曲线与双曲线，若以四个顶点为顶点的四边形的面积为，以四个焦点为顶点的四边形的面积为，则取到最大值时，双曲线的一条渐近线方程为（ ）A．B．C．D．6. 设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜07. 已知全集，集合，集合，则阴影部分表示的集合为A．B．C．D．8.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题二、多选题三、填空题四、解答题其中所有真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④9. 已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（ ）A．B ．为纯虚数C．D．10.已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（ ）A．B．函数的图象关于对称C ．可以等于5D ．的最小值为211. 设a ，b ，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（）A．与 共面；B．三棱锥 的体积跟的取值无关；C ．当时， ；D ．当时，过，， 三点的平面截正方体所得截面的周长为．13. 甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你不是第一名.”对乙说：“你和甲都不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列有________种不同情况；14.已知随机变量的分布列为1若成等差数列，且，则b 的值是___________，的值是________.15. 某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．16. 已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数的最小值．17. 如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．18. 已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.(1)若为定值，求的值，并说明理由；(2)若，求面积的取值范围.19. 已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点，过作直线的垂线，垂足为为轴上点.且四边形为平行四边形.直线与抛物线的另一个交点分别为(1)求抛物线的方程;(2)求三角形面积的最小值.20. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．21.已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值．(1)设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若，求直线l的方程．。
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(B)(3)
一、单选题二、多选题1. 已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是A ．若，，且，则B．若，，且，则C ．若，，且，则D ．若，，且，则2. 一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下：分组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数5182032169则这组样本数据的中位数所在的区间为（ ）A ．[50，60）B ．[60，70）C ．[70，80）D ．[80，90）3. 已知双曲线的左焦点为F ，左顶点为A，直线交双曲线于P ､Q 两点(P 在第一象限)，直线与线段交于点B ，若，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.已知向量，，若，则x ＝（ ）A．B ．1C．D ．－15. 如图，阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．6.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．7. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）A．B．C．D．8. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）A．B．C．D．9. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，，为内部（含边界）的动点，则（ ）A．∥平面B．球的表面积为C．的最小值为2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B）(3)2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B）(3)三、填空题四、解答题D．若与平面所成角的正弦值为，则点轨迹长度为10. 已知函数的部分图象如图所示，且，若为奇函数，则可能取值为（）A．B．C．D．11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，下列命题正确的有（ ）A．B．当点为线段的中点时，直线的斜率为C ．若，则D．12.平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（ ）A．B ．锐角三角形C ．的面积为D ．的外接圆半径大于213.已知数列的前n项和为，，且，若，则______．14.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，顶点S ，A ，B ，C ，D 在球O 的球面上，则球O 的表面积为________________.15. 已知数列，中各项均为正数，且是公为2的等差数列，若点均在双曲线上，则的取值范围是___________.16. 已知函数.（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）当时，函数在上单调递减，试求的取值范围；（3）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值．17. 在①a ＝2，②a ＝b ＝2，③b ＝c ＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC 的面积的值（或最大值）．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：，且______，求△ABC 的面积的值（或最大值）．18.数列的前项和为，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.（3）若，，求不超过的最大的整数值．19. 设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，的最大值为，求的取值范围．20. 已知,当时，.（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；（2）若函数只有一个零点，求实数a的值.21.请在①，②，③这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.问题：在中，，，分别是角，，的对边，且，___________，___________，计算的面积.。
广东省高中数学学业水平考试试卷含答案(共3套)
2021年广东省普通高中学业水平考试数学测试卷(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-1,0,2}D.{0,1}2.点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为()A.-12B.-3C.3D.124.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②;③>2;④a2<b2中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=()A.-B.-C.D.6.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=lo x7.不等式组表示的平面区域是()8.一个容量为20的样本数据,组(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]距频234542数则样本在(10,50]上的频率为()A.B.C.D.9.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=()A.B.-C.cos 50°D.10.函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是()A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.D.11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为()A. B.C. D.12.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是()A.y=sin xB.y=sinC.y=sinD.y=sin13.已知l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α14.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)15.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λ+μ=()A.2B.-2C.3D.-3二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=a x-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.17.等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=.18.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取名学生.19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则∠A的度数为.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BG;(2)若AB=BC,AC=AA1,求证:AC1⊥A1B.22.已知函数f(x)=1+-xα(α∈R),且f(3)=-.(1)求α的值;(2)求函数f(x)的零点;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并给予证明.答案：1.A【解析】因为集合M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N={-1,0,1,2}.2.C【解析】∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,直线l的倾斜角为60°.3.A【解析】因为a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,所以a·b=0,即4×6+2y=0,解得y=-12.故选A.4.C【解析】对于①,根据不等式的性质,可知若a<b<0,则|a|>|b|,故正确;对于②,若a<b<0,两边同除以ab,则,即,故正确;对于③,若a<b<0,则>0,>0,根据基本不等式即可得到>2,故正确;对于④,若a<b<0,则a2>b2,故不正确.故选C.5.B【解析】∵α是第二象限角,sin α=,∴cos α=-=-.故选B.6.A【解析】∵y=x-1是奇函数,y=lo x不具有奇偶性,故排除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C.故选A.7.B【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满足x-3y+6≥0;(0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满足x-y+2<0.故选B.8.D【解析】根据题意,样本在(10,50]上的频数为2+3+4+5=14,所求的频率为P=.故选D.9.D【解析】cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°=cos(40°-10°)=.10.A【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.11.C【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇数的有6种,故P=.12.C【解析】将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin,再将所得的图象向左平移个单位,得函数y=sin,即y=sin.故选C.13.C【解析】可采用排除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A 错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,但m,n不一定相交,故不能推出l⊥α,所以D错误.故选C.14.B【解析】函数f(x)=log2x+x-2的图象在(0,+∞)上连续不断,f(1)=0+1-2<0,f(2)=1+2-2>0,故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.15.A【解析】设小正方形边长为1.以A为原点,AD所在直线为x轴,与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系,那么=(1,0),=(1,2),=(2,-2),那么解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A.16.(1,2)【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2.∴函数y=a x-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2).17.14【解析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,所以a1=2,d=1,所以a1a6=2×7=14.18.40【解析】抽样比为1∶10,而C学院的学生有1 200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名.19.90°【解析】根据正弦定理,可得sin B cos C+sin C cos B=sin2A⇔sin(B+C)=sin 2A,而sin(B+C)=sin A,所以sin A=sin 2A,所以sin A=1,所以∠A=90°.20.【解】f(x)=·(sin x,cos 2x)=cos x sin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T==π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-.由正弦函数的性质知,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-,因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.21.证明:(1)如图,连接AB1,交A1B于点O,连接OG.在△B1AC中,∵G,O分别为AC,AB1的中点, ∴OG∥B1C.又∵OG⊂平面A1BG,B1C⊄平面A1BG,∴B1C∥平面A1BG.(2)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,BG⊂平面ABC,∴AA1⊥BG.∵G为棱AC的中点,AB=BC,∴BG⊥AC.∵AA1∩AC=A,∴BG⊥平面ACC1A1,∴BG⊥AC1.设AC=2,则AG=1,AA1=.在Rt△ACC1和Rt△A1AG中,tan∠AC1C=tan∠A1GA=,∴∠AC1C=∠A1GA.又∠AC1C+∠C1AC=90°,∴∠A1GA+∠C1AC=90°,∴A1G⊥AC1.∵BG∩A1G=G,∴AC1⊥平面A1BG.∵A1B⊂平面A1BG,∴AC1⊥A1B.22.【解】(1)由f(3)=-,得1+-3α=-,解得α=1.(2)由(1),得f(x)=1+-x.令f(x)=0,即1+-x=0,也就是=0,解得x=.经检验,x=是1+-x=0的根,所以函数f(x)的零点为.(3)函数f(x)=1+-x在(-∞,0)上是减函数.证明如下:设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==(x2-x1).因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)=1+-x在(-∞,0)上是减函数.2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1}C.MD.N2.对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是()A.lg y-lg x=lgB.lg (x+y)=lg x+lg yC.lg x3=3lg xD.lg x=3.已知函数f(x)=,设f(0)=a,则f(a)=()A.-2B.-1C.D.04.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则()A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)5.圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=6.已知向量a=(1,1),b=(0,2),则下列结论正确的是()A.a∥bB.(2a-b)⊥bC.|a|=|b|D.a·b=37.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是()A.6和9B.9和6C.7和8D.8和78.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为()A.1B.2C.4D.89.若实数x,y满足则z=x-2y的最小值为()A.0B.-1C.-D.-210.如图,O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则下列等式正确的是()A. B.C. D.11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,c=,则C=()A. B. C. D.12.函数f(x)=4sin x cos x,则f(x)的最大值和最小正周期分别为()A.2和πB.4和πC.2和2πD.4和2π13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是()A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH14.设函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(x)为奇函数,若x1<0,x2>0,则下列结论不正确的是()A.f(0)=0B.f(x1)>0C.f≤f(2)D.f≤f(2)15.已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2,则a1+a2+…+a n=()A.4B.4C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为。
广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题(一)
一、单选题1. 已知，当时，向量与的夹角为（ ）A．B．C．D．2. 如图，辽宁省某示范性高中校园文化之一“惜时”的顶部是“日晷”．日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．若晷面与赤道所在的平面平行，且该示范性高中的位置约为东经121°北纬38.5°，则晷针与地面所成的角约为（ ）（把地球看成一个球，球心记为O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成线面角的度数，地球上一点A 的经度是指过A 点的经线所在的半平面与本初子午线所在的半平面所成二面角的度数，过点A 且与OA垂直的平面看成地面）A．B．C．D．3.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为，容积为（厚度忽略不计），则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．4. 如图，､分别是双曲线：的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于点､，若为以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4B．C．D．5. 已知，，设，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 在△中,“”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7. 在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有（ ）广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）二、多选题①a 的值为0.300②不及格的考生数为500③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）④考生竞赛成绩的中位数约为75分A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 设是虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．1C ．2D．9. 若是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是A．若B．若C．若的所成角相等，则D ．若上有两个点到α的距离相等，则10. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）A．B．C．D．11. 在平行六面体中，已知，，则（）A ．直线与所成的角为B ．线段的长度为C ．直线与所成的角为D ．直线与平面所成角的正弦值为12. 如图，正方体的棱长为，点为的中点，下列说法正确的是 （）A．B．平面C．点到平面的距离为三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题D．与平面所成角的正弦值为13.已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）．A．B．C．D．14. 下列函数中最小值为4的是（ ）A．B．C．D．15.已知圆与圆交于A ，B 两点，若直线AB 的倾斜角为，则___________．16. 已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为___________．17. 已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围________.18. 已知抛物线过点，则________；若点，在上，为的焦点，且，，成等比数列，则________.19. 设函数，则________，若，则实数a 的最大值为_______．20. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.21. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．22. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.七、解答题八、解答题（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.23. 如图，在直角梯形中，，，，，现将平面图形沿折成一个直二面角，得到四棱锥，E ，F 分别为侧棱、的中点．（1）如图，在箭头右侧画出四棱锥的直观图（不要求精确图形）；（2）证明：平面平面；（3）若是平面的一个法向量，求与平面所成锐二面角的余弦值．24. 已知A 、B分别为椭圆的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于A 、B的点．(1)若，求椭圆Γ的标准方程；(2)设直线l ：y ＝2与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R，求证：的值仅与a 有关；(3)如图，在四边形MADB 中，MA ⊥AD ，MB ⊥BD ，若四边形MADB 面积S 的最大值为求a 的值．25. 2023年10月期间，某黄梅戏剧院共开播了5场精彩演出，观看人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：场次第1场第2场第3场第4场第5场场次编号12345观看人数/万人0.70.811.21.3(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；(2)若该剧院分A ，B ，C 三个等次的票价，某机构随机调查了该剧院200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该剧院的观众是否购买等票与性别有关．购买等票购买非等票总计男性观众50女性观众60九、解答题总计100200参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．，其中．0.1000.0500.0102.7063.841 6.63526. 已知函数，为函数的导数，证明：（Ⅰ）在区间上存在唯一极大值点；（Ⅱ）在区间上有唯一零点.。
广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题(一)(1)
一、单选题二、多选题1. 如图，在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的外接球体积为（）A．B．C．D．2.如图，菱形纸片中，，O为菱形的中心，将纸片沿对角线折起，使得二面角为，分别为的中点，则折纸后（）A．B．C．D ．03. 已知为等差数列的前n项和，，则（ ）A ．60B ．120C ．180D ．2404.设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5.若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ）A．B．C．D．6.已知函数满足，若，则（ ）A．B．C．D．7. 曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 若复数满足,其中是虚数单位,则的值是（ ）A．B．C．D．9. 下列说法正确的是（ ）A ．数据7，5，3，10，2，6，8，9的中位数为7B．已知 ，，若，则， 相互独立C．已知一组数据，， ，……，的方差为3，则， ，……，的方差为3D ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）(1)广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）(1)三、填空题四、解答题10. 已知函数，，则（ ）A．当没有零点时，实数的取值范围为B．当恰有1个零点时，实数的取值范围为C ．当恰有2个零点时，实数的取值范围为D ．当恰有3个零点时，实数的取值范围为11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ）A ．无解B ．的解为C．的最小值为2D．的最大值为212.在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数的取值范围是或B ．若数列为等差数列，则数列的前7项和为C．若数列为等比数列且，则D．若数列为等比数列且，则的最小值为413. 已知函数，若，则实数的值为___________.14. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为____________．15. 已知数列和数列，，.设，则数列的前项和_________.16.已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.17. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行次科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为，若第次执行科考任务能成功返航，则执行第次科考任务且能成功返航的概率也为，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为万元的科考数据，且“”的概率为0.8，“”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为万元.(1)若，，求的分布列；(2)求（用和表示）.18. 已知椭圆的离心率为，F是其右焦点，直线与椭圆交于A ，B 两点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．19.设函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，，都有成立，试求的取值范围.20. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计该校男生身高的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.21. 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．。
2024年广东高三学业水平数学试卷
高三学业水平数学试卷一、单选题1.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（） A ．2(1)f x x = B ．()21f x x =+ C ．()2f x x = D ．()2x f x -= 3．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =126.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.307.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ）A.{} 2345，，，B.{}234，，C.{}345，，D.{}34，8．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．tan 3π=（ ）A ．B ．C ．1D 11.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.12二、填空题12.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ）。
2025年广东省普通高中第一次学业水平合格性考试数学模拟试卷(三)(含解析)
试卷类型A2025 第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (三)本试卷共4页，22 小题，满分150分. 考试用时90分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题 (本大题共12小题，每小题6分，满分72分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1. 集合M={2,4,6,8, 10}, N={x|-1<x<6}, 则M∩N=( ).A. {2,4}B. {2,4, 6}C. {2, 4, 6, 8}D. {2,4,6, 8, 10}2. 已知命题p: ∀x>0,x²-x≤0,则￢ p为( ).A.∃x≤0,x²―x>0B.∃x>0,x²―x>0C.∀x>0,x²―x>0D.∀x≤0,x²―x>03. 函数f(x)=log3(x―1)的定义域为( ).x―2A. (1, 2)B. (1, 2) ∪ (2, +∞)C. [1, 2)D. [1, 2) ∪ (2, +∞)2025 第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (三) 第1页(共4页)4. 已知函数f (x) 是定义域为R 的奇函数, 当x≥0时, f (x )=―x ²―x ―1,则f(-1)=( ).A. - 1B. - 3C.1D.35. 已知向量 a =(2,1),b =(m ,―1), 且 a (a ―b ), 则实数m 的值为( ).A.1B. - 1C.2D. - 26. 已知角α∈(0, π), 且 cos2α=14,则 sin α的值为( ).A .64 B .22 C .―64 D .―227. 有4张卡片(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为( ).A. 12B. 35C. 13D. 568. 复数(1+i) (2-i)=( ).A.1-iB.2-iC.3+iD.3-i9. 要得到 f (x )=cos (2x ―π2)的图象, 需将f (x)=cos2x 的图象( ). A. 向左平行移动π/2个单位长度 B. 向右平行移动π/2个单位长度C. 向左平行移动π/4个单位长度D. 向右平行移动π/4个单位长度10. 已知函数 f (x )={x ,x ≤01x ,x >0,若 f (x₀)=2, 则x ₀=( ).A. 12 B .―12 C.2 D. - 211. 惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15 16、17、17、17, 记这组数据的平均数为a, 中位数为b, 众数为c, 则( ).A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a2025 第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (三) 第2页 (共4页)12. 下面有四个说法：①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；②如果平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β，那么a∥α；③垂直同一平面的两个平面互相平行；④垂直同一平面的两个平面互相垂直.其中正确的说法个数是( ).A.1B.2C.3D.4二、填空题 (本大题共6小题，每小题6分，共36分)13. 不等式| 3-2x| <1 的解集是 .14. 已知角a的终边经过点 P (3, - 4), 则sina+cosa的值为 .15. 已知幂函数f(x)=x a的图象过点 P (3, 9), 则a= .= .16. 计算:log28+log212)的最小正周期是2π,则ω= .17. 函数f(x)=―3sin(ωx+π318. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200，350，450 件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为n的样本，已知从乙产品中抽取了7件, 则n= .三、解答题 (本大题共4小题, 第19, 20, 21小题各10分, 第22小题12分, 共42分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).19. 已知△ABC的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 满足a=23,A=π3(1) 求△ABC外接圆的面积;(2) 若b=2, 求△ABC的面积.2025 第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (三) 第3页 (共4页)20. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t) 表示学生注意力随时间t (分钟) 的变化规律，f(t) 越大，表明学生注意力越集中) 经过实验分析得知：(1) 讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中?(2) 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中? 能持续多少分钟?(3) 一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?21. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.(1) 求a 的值;(2) 求所有受灾居民的经济损失的平均值；(3) 现按照分层抽样的方法从经济损失在 [4000, 8000) 的居民中随机抽取8人, 则在 [4000, 6000)的居民有多少人.22. 如图所示, 已知AA₁⊥平面ABC, BB₁∥AA₁, AB=AC,点E 和F 分别为BC 和A1C的中点.(1) 证明: EF∥平面A₁B₁BA ;(2) 证明: AE⊥平面BCB₁.2025第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷 (三) 第4页 (共4页)2025 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(三)答案一、选择题1. 【答案】A.【解析】 因为 M = {2, 4, 6, 8, 10}, N ={x|-1<x<6}, 所以 M∩N= {2, 4}, 故选 A.2. 【答案】B.【解析】全称命题的否定原则为，全称量词变为特称量词，然后否定结论，所以命题p 的否定为：∃x 故选 B.3. 【答案】B.【解析】由得 {x ―1>0x ―2≠0,解得x>1且x≠2,∴ 函数 f(x)=log 3(x ―1)x ―2的定 义 域 为(1, 2)∪(2, +∞), 故选 B.4. 【答案】D.【解析】∵f(x) 是定义在R 上的奇函数，∴f(-x)= - f(x),当x≥0时, f (x )=―x ²―x ―1,∴f (―1)= ―f (1)=―(―1²―1―1)=3,故选 D.5. 【答案】D.【解析】∵a-b=(2, 1) - (m, - 1)=(2-m,2),∴由 a (a ―b )可得2×2-1×(2-m)=0,解得m=-2, 故选 D.6. 【答案】A.【解析】· ∵cos2α=1―2sin 2α=14,∴sin α=±64,∵α∈(0,π), ∴sin α=64, 故选 A.7. 【答案】A.【解析】从4张卡片中任取2张不同颜色的卡片的可能性有：红黄，红蓝，红绿，黄蓝，黄绿，蓝绿6种，其中含有红色卡片的有红黄，红蓝，红绿3种，∴取出的2 张卡片中含有红色卡片的概率为 36=12,故选A.8. 【答案】C.【解析】 (1+i )(2―i )=2―i +2i ―i ²=3+i ,故选 C.9. 【答案】D.【解析】 ∵f (x )=cos (2x ―π2)=cos [2(x ―π4)],∴根据“左加右减”可知，将f (x)=cos2x 图象向右平移π/4个单位长度,故选 D.10. 【答案】A.【解析】当.x ₀≤0时， f (x₀)=x₀=2>0,不符合题意，当x ₀>0时, f (x 0)=1x 0=2,解得 x 0=12>0。
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(B) (2)
一、单选题1. 点与圆上的动点之间的最近距离为（ ）.A．B ．2C．D．2.已知函数，若，且，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B．C ．ln2D ．e3. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于､两点(点在第二象限)，则（ ）A．B．C．D．4. 设数列满足且是前项和，且，则（ ）A ．2024B ．2023C ．1012D ．10115.已知复数，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 在三棱锥中，平面，且为等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（ ）A．B．C．D．9.已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．100910. 数列为等差数列，为其前项和，，则=（ ）A ．40B ．42C ．43D ．4511. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则从这800名学生中随机抽取一人，周平均阅读时间在内的频率为（）A ．0.20B ．0.10C ．0.15D ．0.302024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B）二、多选题三、填空题12.函数的定义域为（ ）A．B．C．D．13. 对于函数，如果存在实数，使得，那么称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.下列命题中的真命题有（ ）A ．有1个不动点B ．有2个不动点C ．有3个不动点D ．没有不动点14.函数(，，是常数，，)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．B．在区间上单调递增C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数D．15. 如图，在正方体中，棱长为4，分别为的中点，分别为上的一点，且满足，，设正方体的体积为，几何体的体积为，则下列结论正确的是（）A．B ．点到平面的距离为定值C ．当时，D ．当时，16. 下列四个等式正确的是（ ）A．B．C．D．17.已知数列满足，则______.18. 设椭圆的左顶点为上顶点为且椭圆的离心率为则过椭圆的右焦点且与直线平行的直线的方程为______________.19. 已知，则______．四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题八、解答题20. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为___________；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，是抛物线上一点，的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则___________.21.已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式_________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a 的值为_________.22.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．23.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.24. 已知方程，其中为实数．对于不同范围的值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图．25. 如图，在多面体ABCDEFG 中，侧面ABGF 是矩形，侧面BCDG 与底面EFGD 是直角梯形，．(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若，二面角的正切值为，求多面体ABCDEFG 的体积．26. 在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列的前n 项和为，且______，(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列满足，求证：．27. 魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA 世界魔方芜湖公九、解答题开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？28. 为了增强中学生的体质、丰富中学生的课余生活，某中学开设了篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动社团，要求每位学生每周必须选择参加两种运动社团．若该学期共有20周，现对甲、乙两名同学每周选择参加的运动社团组合情况及周数进行统计，结果如下表：学生周数12周6周2周甲篮球、足球排球、足球羽毛球、排球乙排球、足球篮球、羽毛球篮球、足球以样本的频率作为总体的概率，甲、乙选择运动社团时互相独立，则(1)在甲选择排球运动社团的前提下，求甲、乙选择相同运动社团组合的概率；(2)记甲、乙两名同学在该学期第一周合计选择的运动社团的种数为，求的分布列和数学期望．。
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(B) (2)
一、单选题二、多选题1. 在△ABC 中，，b = 2，其面积为，则等于（ ）A．B．C．D．2. 已知方程有两个不同的解，则（ ）A．B．C．D．3. 已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）A．B．C．D．4. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5.已知集合，，则（ ）.A．B．C．D．6.已知向量，若，则（ ）A ．1B．C．D ．27. 给出下列命题①若直线与平面内的一条直线平行，则∥；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 已知定点，动点在圆O ：上，的垂直平分线交直线OQ于点，若动点的轨迹是椭圆，则m 的值可以是（ ）A．B．C．D．9. 拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一个点反射，沿直线射出，经过点，则（ ）A．B．C ．延长交直线于点，则，，三点共线D ．若平分，则10. 已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（ ）A ．当平面时，B．当时，的最小值为2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B） (2)2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B） (2)三、填空题四、解答题C ．若，则的轨迹长度为D ．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为11. 在中，三边长分别为a ，b ，c ，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A．样本的众数为B．样本的中位数为C ．样本的平均值为66D ．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人13. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．14.已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________15. 二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.16.如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.17. 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.18. 已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.19. 在下面①和②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答. 已知数列满足，.______. （注：如果求解了①和②两个问题，则按照①问题解答给分）①若.设，求证：数列是等比数列，若数列的前项和满足，求实数的最小值；②若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式. 若数列的前项和，求.20. 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86a若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明）21. 个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税我国在年月日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自年至年的个人所得税收入统计如下：年份时间代号个税收入（千亿元）并制作了时间代号与个人所得税收入的如如图所示的散点图：根据散点图判断，可用①与②作为年个人所得税收入关于时间代号的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据：表中，，，，参考数据：，.以下计算过程中四舍五入保留两位小数.（1）根据所给数据，分别求出①、②中关于的回归方程；（2）已知年个人所得税收入为千亿元，用年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为关于时间代号的回归方程？（3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜？（只需叙述，不必计算）附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.。
广东省高中学业水平合格性考试数学试卷含答案(共3套)
广东省高中学业水平合格性考试数学试卷含答案(共3套)第一套试卷选择题1. 以下哪个是二次函数的图像？答案：B2. 若数列 {a} 的通项公式为 $$a_n = 2n$$，则该数列的前五项分别为？- A) 0, 1, 2, 3, 4- B) 1, 2, 3, 4, 5- C) 2, 4, 6, 8, 10- D) 3, 6, 9, 12, 15答案：C解答题3. 求方程 $$2x^2 + 4x + 2 = 0$$ 的解。
解答：首先，将方程化为标准形式 $$ax^2 + bx + c = 0$$，得到$$2x^2 + 4x + 2 = 0$$。
接着，可以使用求根公式 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$ 来求解方程。
将参数代入公式，得到：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$$简化计算，得到：$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4}$$最终，方程的解为：$$x = -1$$4. 计算 $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 5x + 1}{3x^2 - 2}$$。
解答：根据极限的定义，当 $$x$$ 趋近于无穷大时，我们可以通过观察函数的最高次项来求解极限。
在这个问题中，最高次项是 $$2x^3$$ 和 $$3x^2$$。
通过比较最高次项的系数，我们得知最高次项的系数相等。
因此，$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 5x + 1}{3x^2 - 2}$$ 的极限为无穷大。
第二套试卷选择题1. 下列哪个函数是奇函数？- A) $$y = x^2$$- B) $$y = x^3$$- C) $$y = \sin(x)$$- D) $$y = \cos(x)$$答案：B2. 设函数 $$y = f(x)$$ 在区间 $$[a, b]$$ 上连续，并且在该区间上存在唯一的最大值和最小值。
广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题(一)(3)
一、单选题二、多选题1. 化简（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，下列说法错误的是（ ）A ．是偶函数B ．是周期为π的函数C ．在区间上单调递减D．的最大值为3. 设复数，则的虚部是（ ）A ．B．C．D．4. 已知矩形ABCD ，AB =1，AD =2，点E 为BC 边的中点将△ABE 沿AE 翻折，得到四棱锥B -AECD ，且平面BAE ⊥平面AECD ，则四面体B -ECD 的外接球的表面积为（ ）A．B ．4πC．D ．5π5. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．﹣46. 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（ ）A．B．C．D．8. 若，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M ，N ，O 为坐标原点．直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点（不同于右顶点），且与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则（ ）A ．为定值B．C ．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为D ．存在直线使10. 正三棱柱的各条棱的长度均相等，为的中点，，分别是线段和线段上的动点含端点，且满足，当，运动时，下列结论正确的是（ ）广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）(3)广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题（一）(3)三、填空题四、解答题A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C ．三棱锥的体积为定值D ．可能为直角三角形11.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ）A ．函数是奇函数B ．函数的图象关于直线对称C ．函数的最小正周期为D ．函数在上的单调递减区间是12. 已知，，则下列关系中正确的是（ ）A．B．C ．若，则的最小值为D ．若，则13.设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，若，，则椭圆的离心率是_________.14.已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．15.已知函数满足，当时，，当函数在上的零点个数最多时，a 的取值范围为______．16.已知等差数列的公差为，且，，成等比数列.（1）设数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.已知数列满足，．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的前n项和．18.在中，已知角，，所对的边分别是，，，，，.（1）求角的值；（2）求的面积.19. 在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinA+sinC=psinB （p ∈R ）．且ac=b 2．（1）当p=，b=1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．20. 在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在处每投中一球得分，在处每投中一球得分，如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.某同学在处投中的概率为，在处投中的概率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投.用表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望.21. 每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了名学生的数据，统计如下表：每周阅读时间频率（1）根据频率分布表，估计这名学生每周阅读时间的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，用（1）中的平均值近似代替，且，若某学生周阅读时间不低于小时，该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠次随机购书卡，其他同学可以获赠次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：购书卡的金额（单位：元）概率记（单位：元）为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求的分布列与数学期望.。
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机密★启用前 试卷类型：A
2017年1月广东省普通高中学业水平考试
数学试卷
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}4,2,0{=M ，}3,2,1{=N ，}3,0{=P ，则=P N M )(
A ．}4,3,2,1,0{
B ．}3,0{
C ．}4,0{
D ．}0{
2．函数)1lg(+=x y 的定义域是
A ．},{+∞-∞
B ．),0(+∞
C ．),1(+∞-
D ．),1[+∞- 3．设i 为虚数单位，则复数
=-i i 1 A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --1
4．命题甲：球体的半径是1cm ，命题乙：球体的体积是π3
4cm 2，则甲是乙的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知直线l 过点A(1，2)，且与直线y ＝
21x ＋1垂直，则直线l 的方程是(??)? A ．y ＝2x ?? B ．y ＝－2x ＋4??C ．y ＝2321+x ??D ．y ＝2
521+x ? 6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是(??)?
A ．y 2＝8x ??
B ．y 2＝－8x ??
C ．x 2＝8y ??
D ．x 2＝－8y
7．已知三点A(－3，3),?B(0,?1)，C(1，0)，则|BC AB +|等于(??)?
A ．5??
B ．4?? C.213+?? D.213-
8．已知角?的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P )2,5(-，则下列等式不正确的是
A ．32sin -=α
B ．32)sin(=+πα
C ．35cos =α
D ．2
3tan -=α 9．下列等式恒成立的是
A ．32
31
-=X X
B ．23)3(2X X =
C ．)3(log 2log )1(log 23323+=++x x
D ．x x -=31log 2 10．已知数列}{n a 满足11=a ，且21=-+n n a a ，则的前n 项和n S =
A ．12+n
B ．2n
C ．12-n
D ．12-n
11．已知实数z y x ,,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤≤23y x x y x ，则y x z +=2的最大值为
A ．3
B ．5
C ．9
D ．10
12．已知点A (-1,8)和B 点（5,2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是
A ．23)5()2(22=+++y x
B ．18)5()2(22=+++y x
C ．23)5()2(22=-+-y x
D ．18)5()2(22=-+-y x 13．下列不等式一定成立的是
A ．)0(21≠≥+x x x
B ．)(11122R x x x ∈≥++
C ．)(212R x x x ∈≤+
D ．)(0652R x x x ∈≥++
14．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当]0,(-∞∈x 时，x x x f sin )(2-=，则当),0[+∞∈x 时，)(x f =
A ．x x sin 2+
B ．x x sin 2--
C ．x x sin 2-
D ．x x sin 2+-
15．已知样本54321,,,,x x x x x 的平均数为4，方差为3，则6,6,6,6,654321+++++x x x x x 的平均数和方差分别为
A ．4和3
B ．4和9
C ．10和3
D ．10和9
二．填空题(本大题共4小题，每小题 4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
16．已知0>x ，且15,,3
5x 成等比数列，则x =________ 17．函数x x x x x f cos )1sin()1cos(sin )(+++=的最小正周期是_______
18．从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是_______
19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为21，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若4||||11=+PF PF ，则此椭圆的标准方程是_______
三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
20．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，已知
B b A a cos cos = （1）证明：△AB
C 为等腰三角形；
（2）若2=a ，3=c ，求sin C 的值.
21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC =2，E 为PC 的中点.
（1）证明：AP ⊥CD ；
（2）求三棱锥P -ABC 的体积；
（3）证明：AE ⊥平面PCD .。