学年高中数学 推理与证明 类比推理学案含解析北师大版选修

类比推理

1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点)

2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)

[基础·初探]教材整理1 类比推理

阅读教材P

5“类比推理”至P

6

前16行，完成下列问题.

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.

类比推理是两类事物特征之间的推理.

类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.

【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.

【答案】①②③

教材整理2 合情推理

的最后4个自然段，完成下列问题.

阅读教材P

6

合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.

合情推理的结果不一定正确.

下列说法正确的是( )

A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论

C.合情推理不能猜想

D.合情推理得出的结论不能判断正误

【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

类比推理在数列中的应用

在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和.

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

(2)写出一个更为一般的结论(不必证明).

【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.

【自主解答】(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的.

证明如下：

∵等差数列{a n}的公差d＝3，

∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)

＝＝100d＝300，

同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，

所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.

(2)对于任意k∈N＋，都有数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.

1.本题是等比数列与等差数列之间的类比推理，在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.

2.类比推理的思维过程

观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.

即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.

[再练一题]

1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，________，________，成等比数列.

【解析】等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列.

【答案】

如图1-1-10所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论＋＋＝1.

图1-1-10

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.

【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.

【自主解答】＝＝，

同理，＝，＝.

∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，

∴＋＋＝＝1.

类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，h c，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论＋＋＋＝1.

证明如下：＝＝，

同理，＝，＝，＝.

∵V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABC＝V A-BCD，

∴＋＋＋

＝＝1.

1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：

2.类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.

[再练一题]

2.在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？

【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，