2.3联结词的完备集
命题逻辑2
q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角 标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项 。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例 某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑 选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时 要满足以下条件： （１）若A去，则C同去。 （２）若B去，则C不能去。 （３）若C不去，则A或B可以去。 问应如何选派他们去？
解 设 p:派A去 q:派B去 r:派C去 由已知条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种： （a）C去，而A,B都不去。 （b）B去，而A,C都不去。 （c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练 求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)
第二章析取范式与合取范式
11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业 Ｐ38 5题（1 、3） 注意总结规律
数理逻辑2.3
2.3 联结词的完备集一. n 元真值函数的个数*n 个命题变项p 1, p 2, …, p n , 每个p i 可取p i 或┐p i 形式, 共有2n 个极小项(极大项), 在主析取范式中, 每个极小项可以存在或不存在, 共有n22种组合方式, 每一种组合方式代表一种不同的主析取范式, 故共有n22种不同的主析取范式(主合取范式也类似).定义2.5: 称F: {0, 1}n →{0, 1}为n 元真值函数.*F 的自变量为n 个命题变项, 定义域{0, 1}n ={(0,0,…,0), (0,0,…,1), …, (1,1,…,1)}. n 个命题变项共可构成n 22个不同的真值函数. 例如: 1元真值函数有122= 4个, 如下表, 2元真值函数共有222= 16个(见下表), 3元真值函数共有322= 256个. 表1: 1元真值函数 p )1(0F )1(1F )1(2F )1(3F0 0 0 1 11 0 1 0 1表2: 2元真值函数p q )2(0F )2(1F )2(2F )2(3F )2(4F )2(5F )2(6F )2(7F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1p q )2(8F )2(9F )2(10F )2(11F )2(12F )2(13F )2(14F )2(15F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1*每个真值函数与唯一的一个主析取范式等值.例如: ⇔)2(0F 0 (矛盾式), )2(1F ⇔ (p ∧q) ⇔ m 3)2(3F ⇔(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m 2∨m 3 ,)2(13F ⇔(┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q)⇔m 0∨m 1∨m 3*每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的主析取范式. 所以, 每一个真值函数对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的真值函数.定义2.6: 设S 是一个联结词的集合, 如果任何n (n ≥ 1)元真值函数都可以由仅含S 中的联结词构成的公式表示, 则称S 是联结词完备集.定理2.4: S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.证明: 因为任何n(n ≥ 1)元真值函数都与唯一的主析取范式等值, 而在主析取范式中, 仅含联结词┐,∧,∨, 所以S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.推论: 以下联结词集都是联结词完备集:(1) S1 = {┐,∧,∨,→}(2) S2 = {┐,∧,∨,→,↔}(3) S3 = {┐,∧}(4) S4 = {┐,∨}(5) S5 = {┐,→}证明: (1)和(2)是显然的.(3) 由于S = {┐,∧,∨}是联结词完备集, 因而只需证∨可用┐和∧表示. 事实上, p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q), 所以S3是联结词完备集.(4) 留作练习.(5) 已知S4 = {┐,∨}是联结词完备集, 只需证∨可用┐和→表示即可. 因为有p∨q⇔┐┐p∨q⇔┐p→q, 故S5 = {┐,→}是联结词完备集.*举例说明.*可以证明: 恒取0值的真值函数不能用仅含∧,∨,→,↔的公式表示, 因而{∧,∨,→,↔}不是联结词完备集, 进而它的任何子集都不是联结词完备集.*在计算机硬件设计中, 用与非门或用或非门设计逻辑线路. 这是两种新的联结词, 并且它们各自能构成联结词完备集.定义2.7: 设p,q是两个命题, 复合命题“p与q的否定式”称作p,q的与非式, 记作p↑q. 即p↑q⇔┐(p∧q). 符号↑称作与非联结词.复合命题“p或q的否定式”称作p,q的或非式, 记作p↓q . 即p↓q⇔┐(p∨q). 符号↓称作或非联结词.*p↑q为真当且仅当p与q不同时为真, p↓q为真当且仅当p 与q同时为真.定理2.5: {↑}, {↓}都是联结词完备集.证明: 已知{┐,∧,∨}为联结词完备集, 因而只需证明其中的每个联结词都可以由↑表示即可. 事实上┐p⇔┐(p∧p)⇔p↑pp∧q⇔┐┐(p∧q)⇔┐(p↑q)⇔(p↑q)↑(p↑q)p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q)⇔(┐p)↑(┐q)⇔(p↑p)↑(q↑q)从而{↑}是联结词完备集. 类似可证{↓}是联结词完备集.2.4 可满足性问题与消解法*命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一. 我们已知这个问题可以用真值表﹑主析取范式或主合取范式解决. 但这两个方法的计算量都很大. 本节介绍一个新的方法—消解法.由于任一公式都能化成等值的合取范式, 因而一般的命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题. *举例说明合取范式的可满足性问题.*合取范式中, 简单析取式中不同时出现某个命题变项和它的否定, 否则它为永真式, 可以把它从合取范式中消去. *称不含任何文字的简单析取式为空简单析取式, 记作λ. 规定空简单析取式是不可满足的.(因为对任何赋值, 空简单析取式中都没有文字为真). 因而, 含有空简单析取式的合取范式是不可满足的.设l 是一个文字, 记⎩⎨⎧⌝==⌝=p l p p l p l C若若,, 称作文字l 的补.下面用S 表示合取范式, 用C 表示简单析取式, 用l 表示文字. 设α是关于S 中命题变项的赋值, 用α(l),α(C)和 α(S)分别表示在α下l, C 和S 的值. 又设S 和S ’是两个合取范式, 用S ≈S ’表示S 是可满足的当且仅当S ’是可满足的. 定义2.8: 设C 1, C 2是两个简单析取式, C 1含文字l, C 2含文字l C , 从C 1中删去l, 从C 2中删去l C , 然后再将所得的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C 1, C 2的(以l 和l C 为消解文字的)消解式或消解结果, 记作Res(C 1, C 2). 即设C 1=C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , Res(C 1, C 2) = C 1’∨C 2’. 根据上述定义, 由C 1, C 2得到Res(C 1, C 2)的规则称作消解规则.*可以证明, 如果C 1, C 2可对多对(不同)文字消解, 其消解结果都是等值的. 例如: C 1 = ┐p ∨q ∨r, C 2 = p ∨┐r ∨┐s ∨t, 可消解为q ∨r ∨┐r ∨┐s ∨t (以p 和┐p 为消解文字), 或消解为┐p ∨q ∨p ∨┐s ∨t (以r 和┐r 为消解文字), 都是永真式.定理2.6: C 1∧C 2≈Res(C 1, C 2).证明: 记C = Res(C 1, C 2). 设消解文字为l, l C . 不妨设C 1 = C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , 于是C = C 1’∨C 2’.假设C 1∧C 2是可满足的, α是满足它的赋值, 不妨设α(l) = 1, 由于α满足C 2, C 2必含有文字l ’ ≠ l 且α(l ’) = 1. 而C 中含l ’, 故α满足C.反之, 假设C 是可满足的, α是满足它的赋值. C 必含有文字l ’使得α(l ’) =1. 不妨设C 1’含有文字l ’. 把α扩张到l(l C )上, 取赋值α’如下:⎪⎩⎪⎨⎧===其它若若),(,1,0)('p l p l p p C αα 则C 1含有l ’且α’(l ’) =α(l ’) = 1, α’满足C 1, 又C 2含有l C 且α’(l C ) = 1, α’满足C 2, 从而C 1∧C 2是可满足的. *注意: C 1∧C 2与Res(C 1, C 2)具有相同的可满足性, 但它们不一定等值.例如: p ∨q ∨r 和p ∨┐r 可消解为p ∨q. α= (0,1,1)满足p ∨q, 但不满足(p ∨q ∨r)∧(p ∨┐r). α’ = (0,1,0)满足后者的赋值.*给定一个合取范式S, 从S 的简单析取式开始, 重复使用消解规则可以得到一个简单析取式序列. 根据定理2.6, 如果S是可满足的, 得到的所有简单析取式都是可满足的. 如果最后得到空简单析取式λ, 则S 不是可满足的.定义2.9: 设S 是合取范式, C 1, C 2, …, C n 是一个简单析取式序列. 如果对每个i (1≤i ≤n ), C i 是S 中的一个简单析取式,或者C i 是它之前的某两个简单析取式C j , C k (1≤j<k<i)的消解结果, 则称此序列是由S 导出C n 的消解序列. 当C n = λ时, 称此序列是S 的一个否证.推论: 如果合式范式S 有否证, 则S 不是可满足的.引理2.7: 设S 含有简单析取式l, 从S 中删去所有包含l 的简单析取式,再从剩下的简单析取式中删去l C , 把这样得到的合取范式记作S ’, 则S ≈S ’.证明: 假设S 是可满足的, α是满足S 的赋值. 由于S 含有简单析取式l, 必有α(l) = 1, 从而α(l C ) = 0. 对S ’中的任一简单析取式C ’, S 中有一个简单析取式C 使得C = C ’或C = C ’∨l C . 因为α使C 为真, 且α(l C ) = 0, C ’必含有l ’使得α(l ’) = 1, 从而α满足C ’, 得证S ’是可满足的.反之, 假设S ’是可满足的, α’是满足S ’的赋值. 由于S ’不含l 和l C , 可把α’扩张到l 上, 得到对S 的命题变项的赋值:⎪⎩⎪⎨⎧===C l p l p S p p p 若若中出现在若,0,1'),(')(αα 于是, 对S 中的任意简单析取式C, 若C 含l, 则α满足C; 若C 不含l, 则S ’中有C ’使得C = C ’或C = C ’∨l C . 而α’满足C ’,α和α’在S’上相同, 故α满足C.得证S是可满足的.定理2.8(消解完全性): 如果合取范式S是不可满足的, 则S 有否证.证明: 设S中含有k个命题变项, 用数学归纳法证明.当k=1时, S中只有一个命题变项, 设为p. 由于S是不可满足的, S中必同时含有简单析取式p和┐p,从而S有否证. 假设当k<n (n≥2)时, 定理成立, 要证k = n时定理也成立. 任意取定S中的一个命题变项p, 令S1表示S中所有含p 的简单析取式,S2表示S中所有含┐p的简单析取式,S3表示S 中所有既不含p又不含┐p的简单析取式. S’是如下得到的合取范式: 先删除S中所有含p的简单析取式, 然后再从剩下的简单析取式中删去文字┐p. S’是两个子合取范式S2’和S3的合取, 其中S2’是删去S2的所有简单析取式中的┐p后得到的合取范式. 令S”是如下得到的子句集: 先删除S中所有含┐p的简单析取式,然后再从剩下的简单析取式中删去文字p. S”也是两个子合取范式S1’和S3的合取, 其中S1’是删去S1的所有简单析取式中的p后得到的合取范式. 由引理2.7,S∧p≈S’, S∧┐p≈S”. 由于S是不可满足的, S∧p和S∧┐p 都是不可满足的, 故S’和S”也是不可满足的. 而S’和S”中命题变项的个数都小于n, 根据归纳假设, 存在从S’和S”导出λ的消解序列C1, C2, …, C i,和D1, D2, …, D j , 其中C i = D j = λ. 如果C t(1≤t≤i)是仅由S3中简单析取式消解得到的,则称C t 是与S 2’无关的; 否则称C t 是与S 2’有关的. 可类似地定义D t (1≤t ≤j )是与S 1’无关的和是与S 1’有关的. 分两种情况讨论如下:(1) C i 是与S 2’无关的, 或者D j 是与S 1’无关的, 此时可由S 3中的简单析取式消解得到λ, 这个消解序列也是S 的一个否证.(2) C i 是与S 2’有关的且D j 是与S 1’有关的, 对每个1≤t ≤i , 令 ⎩⎨⎧⌝∨=无关与若有关与若'22',',S C C S C p C C t t t tt 对每一个1≤t ≤j, 令⎩⎨⎧∨=无关与若有关与若'1'1',,S D D S D p D D t tt t t 不难看出C 1’, C 2’, …, C i ’和D 1’, D 2’, …, D j ’都是S 的消解序列, 分别得到C i ’ = ┐p 和D j ’ = p, 而Res(C i ’, D j ’) = λ. 因此, C 1’, C 2’, …, C i ’, D 1’, D 2’, …, D j ’,λ是S 的一个否证. k=n 时定理成立得证.推论: 合取范式S 是不可满足的当且仅当它有否证. 消解算法:输入: 合式公式A输出: 当A 是可满足时, 回答“yes ”; 否则回答“no ”.1. 求A 的合取范式S2. 令S 0和S 2为不含任何元素的集合, S 1为S 的所有简单析取式组成的集合3. 对S0中的每个简单析取式C1与S1中的每一个简单析取式C2:4. 如果C1, C2可以消解, 则5. 计算C = Res(C1, C2);6. 如果C = λ, 则7. 输出“no”, 计算结束.8. 如果S0和S1都不包含C, 则9. 把C加入S2;10. 对S1中的每一对子句C1, C211. 如果C1,C2可以消解, 则12.计算C = Res(C1, C2)13. 如果C = λ, 则14. 输出“no”, 计算结束.15. 如果S0与S1都不包含C, 则16. 把C加入S217. 如果S2中没有任何元素, 则18. 输出“yes”, 计算结束.19. 否则,把S1加入S0, 令S1等于S2, 清空S2, 返回步骤3. 例2.13: 用消解法判断下述公式是否可满足:(1) (┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)(2) p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)解: (1) 这已经是合取范式, S=(┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)第一次循环, S0 =φ,S1 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S2 =φ┐p∨q, p∨q 消解得到q┐p∨q, ┐q 消解得到┐pp∨q, ┐q 消解得到pS2 = {p,┐p, q}第二次循环, S0 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S1={p,┐p, q}, S2=φ┐p∨q, p 消解得到qp∨q, ┐p 消解得到q┐q, q 消解得到λ输出“no”, 计算结束.(2) S= p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)第一次循环, S0 =φ,S1={ p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r}, S2=φ.p∨q, p∨┐q 消解得到pp∨┐q, q∨┐r消解得到p∨┐rp∨┐q, q∨r 消解得到p∨rq∨┐r, q∨r 消解得到qS2= { p∨r, p∨┐r, q}第二次循环, S0 = { p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r},S1 = { p∨r, p∨┐r, q}, S2 =φp∨┐q, q 消解得到pq∨┐r, p∨r 消解得到p∨qq∨r, p∨┐r 消解得到p∨qp∨r, p∨┐r 消解得到pS2 = φ,输出“yes”, 计算结束.作业:1.用主析取范式判断下列公式是否等值:(p→q)→r与q→(p→r)2.用主合取范式判断下列公式是否等值:p→(q→r)与┐(p∧q)∨r3. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∧}中联结词的公式:(1) (p→(q∧r))∨p(2) p∨┐q∨┐r4. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∨}中联结词的公式: (p→(q∧┐p))∧q∧r5. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,→}中联结词的公式: (p∧q)∨r6. 用消解法判断下述公式是否可满足的(1) p∧(┐p∨┐q)∧q(2) (p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)。
联接词完备集合
联接词完备集
n元真值函数： 联接词完备集：设S是一个联接词集合，如果任何n元真值 函数都可以由仅含S中联接词构成的公式表示。 例1.证明 ,, , , , 都是联接词完备集合
与非联结词：设 p，q为两个命题，复合命题 “ p与q “的否定式 称作p, q的与非式，记作 p q.
真值表： 或非联结词：设 p，q为两个命题，复合命题 “ p或q “的否定式 称作p, q的与非式，记作 p q.
真值表：
为联接词完备集合。q ) r ) p, 并且仅用 表示。
NNG_教师教案离散数学_48课时_黄海华
（第三讲） 2.3、联结词 的完备性
2.4、可满足 性问题与消解 法
1. 真值函数 2. 联结词完备集
1. 消解法
南宁学院教师教案
二级学院（部门）：高博软件学院 专业：13计算机科学与技术 课 程：离散数学 主讲教师：付林林
课题 章节 第三章 命题逻
授课班级
14计 算机 科学 与技 术 （互 联网 会计 审计
划分
第七节、偏序关系
习题课
重 点、 难点 及突 破措 施
重点、难点： 1、二元关系的运算 2、关系的闭包 3、等价关系与划分 4、偏序关系
课堂作业：无
教学场所 及教具
教学方法
普通教室 （√）多媒 体（） 实验室 （） 音 像（） 图 片（） 实 物（） 模 型（） 其 他：
讲授（√） 讨论（） 实践（） 案例（） 演示（） 主题活动 （） 其他：
1. 命题真值与赋值 命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题，复合命题
2. 命题与真值的符号化 用p,q,r等表示命题，成为命题的符号化
3. 基本复合命题 否定式 合取式 析取式 蕴涵式
4. 复合命题 基本复合命题以及多次使用常用联结词
1.2、命题公 式及其赋值
1. 命题常项与命题变项 命题常项，命题变项
反、对称、反对称、传递性给出证明。 6、熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及
等价关系与划分的对应性质。 7、熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图等概念。
内容提要及教学过程
学时分配
第一节、有序对与笛 1
卡儿积
1
第二节、二元关系 1
第三节、关系的运算 第四节、关系的性质
1 1
第五节、关系的闭包
第六节、等价关系与
2.3-联结词的完备集
13
例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同时 按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下 时，锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电 路图。 解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的状 态，“1”表示打开，“0”表示未打开。 则G（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
7
推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词 完备集，并且是最小联结词完备集。 因为p∨q ┐（┐p∧┐q） p∧q ┐（┐p∨┐q） p∨q ┐p → q p∧q ┐（p → ┐q）
{, }是联结词完备集，并且是最小联 推论： 结词完备集。
c
定理：{}、{}是联结词完备集，并且是最小 联结词完备集。
8
10
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻辑联结 电路，使得分别装在楼 梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出控制电 路的逻辑表达式并设计电路图。 解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表示 开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照明 状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 S（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）s1s2 电路图如下：
6
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该集 合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。 如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就 称为最小完备集。
定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。 推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,}， {┐,∧,∨,→,,}，{┐,∧,∨,→,,,} 等都是联结词完备集。
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散数学(高教)概念整理
数理逻辑命题逻辑命题p,q,r,s……非真即假的陈述句命题的真值0 1命题的陈述句所表达的判断结果原子命题（简单命题）不能被分解成更简单的命题简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题命题的符号化p:4是素数用小写英文字母（如p:4是素数）表示命题。
用小写英文字母（如p:4是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。
联结词否定连接词￢否p为真当且仅当p为假合取联结词∧p合取q为真当且仅当p，q同时为真（复合命题“p并且q”称为p与q的合取式）析取联结词∨p析取q为假当且仅当p，q同时为假（复合命题“p或q”称为p与q的析取式）蕴含连接词→p蕴含q为假当且仅当p为真，q为假。
（复合命题“如果p,则q”（因为p所以q，除非q 才p）称为p与q的蕴含式，p是蕴含式的前件，q是蕴含式的后件）q是p的必要条件。
等价联结词↔p等价q当且仅当，同时为真或假。
（复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式）真值表命题公式及其赋值命题常项原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定命题变项真值可以变化的陈述句合式公式（命题公式）A，B……命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式赋值（解释）给公式A中的每个命题变项各指定一个真值。
这组值使A为1，则称为成真赋值。
含n个命题变项的公式有2的n次方个不同赋值。
含n个命题变项的公式有2的2的n次方个不同真值表情况。
重言式（永真式）命题公式A在各种赋值下取值均为真矛盾式（永假式）命题公式A在各种赋值下取值均为假可满足式命题公式A至少存在一个成真赋值哑元对公式A和B进行比较讨论，可知A和B共含有n个命题变项，其中A不含有的命题变项称为A的哑元，其取值不影响A的值命题逻辑等值演算等值式⇔如果命题A和B有相同的真值表，则有命题A↔B为重言式，这种情况下称A与B是等值的，记作A⇔B（重要）等值式模式常用的16条命题间的等值模式，书p18析取范式与合取范式文字命题变项及其否定的统称简单析取式，简单合取式由有限个文字构成的析取式，合取式析取范式，合取范式由有限个简单合取式的析取构成的命题公式，称为析取范式。
交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算
9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如：证明下列推理。 前提： P(QR)，S∨P, Q 结论： S R 证明：(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例：判断下面推理是否正确
（1）若天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3：主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中，如果北京队第三，那么如果上海队第 二，则天津队第四；沈阳队不是第一或北京队第三，上海队第 二。从而知：如果沈阳队第一，那么天津队第四。 解：设 (1) P (Q R) 前提 P：北京队第三 Q：上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R：天津队第四 (3) Q 前提 S：沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提：
P(QR)，S∨P, Q 结论： S R
若干命题联结词集合的完备性和不完备性证明
因为当其 中的命 题 变 元 取 值为 真 时 ， 由联 结 词 “ ， ＾” “ ” “ ” Ｖ” “ ，一 和 一 的特 征 可知 ， 命 题 形 式 无 该
这 也 即 是 说 ， 联 结 词 “ ” “ 和 “ 构 成 的 集 合 由 ～ ， ＾” Ｖ”
｛ ， ＾｝ ～ Ｖ， 是一 个联 结词 的 完备集 。而 既然对 于任 意命 题 形 式 和 毋，ｄＶ甥） 辑 等 值 于 （ ～ ） （ 逻 （ ＾
基始 步 骤 ： 一１ 。既 然 真值 表 有 四行 ， 以 ， 所 为 （ 一ｑ 。 （ —ｑ 的真 值 显然 是两 真两假 。 户 ） ｐ ）
取 ） ‘ ”蕴 涵 ） ‘ ” 等值 ） ， 有 些 联 结 词 的 ， （ 和 （ 中 也 集合 并 不是 完 备 的 ， ｛ ， ） ｛ 如 ～ 一 ， Ｖ， ） ｛ ， ） ＾ ，一 一 等 。下 面 ， 们就 来 讨 论 若 干 联 结词 集 合 的 完 备 性 我 和不 完备 性证 明 。
第２ 卷 第１ ２ 期
２１ ０ ０年 ３月
武 汉 工 程 职 业技 术学 院 学 报
Ｊ ｕｒ ｌ ｏ ｎａ ｏｆＷ ｕ ａｎ Ｅ ｉ ｅ ｉ ｇ Ｉ ｓ ｉｕｔ ｈ ｎｇ ｎｅ ｒ ｎ ｎ ｔｔ ｅ
ＶＯ Ｎ Ｏ ｌ ｌ ２２
Ｍ ａｃ ｒ ｈ ２０】 ０
若 干 命 题 联 结 词 集 合 的完 备性 和 不 完 备 性 证 明
我 们 首 先 来 证 明联 结 词 集合 ｛ ＾， ， ） Ｖ， 一 一 不
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ０ ２ １—１２ 作者简介 ： 宋 伟 （ ９ ３ ） 男 ， 师 ． － ｉ：ｏ ｎ ｗｅ＠ １ ６ ｃ ｒ １７ ～ ， 讲 Ｅ ｍａ ｓ ｏ ｇ ｉ ２ ． ｏ ｌ ｎ
2-1 命题逻辑的等值和推理演算
用等值演算法判断下列公式的类型
(2) ((P∧Q)∨(P∧¬ ∧R) ∧¬Q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解: ((P∧Q)∨(P∧¬ ∧R) ∧ ∨ ∧¬Q))∧ ∧¬ = (P∧(Q∨¬ ∧R ∨¬Q))∧ 分配律） ∧ ∨¬ （分配律） = P∧T∧R ∧ ∧ （排中律） 排中律） = P∧R 同一律） ∧ （同一律）
等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 等值关系的性质：自反、对称、 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
三个重要的等值式
P →Q = ¬P ∨ Q P ↔ Q = (P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q )
P↔Q = (P→Q)∧(Q→P) ↔ → ∧ →
等值演算举例1
A,B代表任意 代表任意 的命题公式
T→A = A， T ↔ A = A， → ， ， A∨¬ = T， A∧¬ = F， ∨¬A ∧¬A ∨¬ ， ∧¬ ，
等值公式
2. 常用等值公式
A→B = ¬A∨B （由联结词的真值表得） → ∨ A→(B→C) = (A∧B) →C → → A↔B = (A∧B)∧(¬A∧¬B) （由联结词的真值表得） ↔ ∧ A↔B = (A∨¬B)∧(¬A∨B) ↔ ¬ ∧¬ A↔B = (A→B)∧(B→A) (由联结词的定义得) ↔ → ∧ → A→(B→C) = B→(A→C) （前提条件可交换次序） → → → → (A→C)∧(B→C) = (A∨B) →C → ∧ → ∨
可见，能用等值演算证明公式的类型， 可见，能用等值演算证明公式的类型，此例说明它为重言式
用等值演算法判断下列公式的类型
(1) Q∧¬ →Q) ∧¬(P→ ∧¬ ∧¬(P→ 解 Q∧¬ →Q) ∧¬ = Q∧¬ ¬P∨Q) （蕴涵等值式） ∧¬(¬ ∨ 蕴涵等值式） ∧¬ = Q∧(P∧¬ ∧¬Q) 德摩根律） ∧ ∧¬ （德摩根律） = P∧(Q∧¬ ∧¬Q) 交换律，结合律） ∧ ∧¬ （交换律，结合律） = P∧F 矛盾律） ∧ （矛盾律） =F 零律） （零律） 矛盾式. 由最后一步可知，该式为矛盾式 由最后一步可知，该式为矛盾式
《离散数学》教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号：课程中文名称：离散数学课程英文名称：Discrete mathematics课程类型：考查课课程性质：专业技术基础课总学时： 54学时理论授课学时： 46学时实验（实践）学时：8学时学分：3分适用对象：信息管理与信息系统、信息工程本科先修课程：高等数学线性代数一、编写说明（一）制定大纲的依据依据我系信息管理与信息系统、信息工程专业学科体系和特色化人才培养目标的要求，制定编写了该教学大纲，在内容上突出了《离散数学》课程的基本理论、基本知识和基本技能，反映现代科学技术的发展趋势，体现了我系的特色化人才培养模式。
（二）课程简介离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括: 数理逻辑中命题演算、谓词演算等形式逻辑的推理规律；集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系,无限集的特性；抽象代数的基本理论和应用,格与布尔代数图论学科的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、最小路径算法、中国邮路问题、树及平面图的基本理论；通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，该课程主要适用于自动控制、电子工程、管理科学等有关专业，是计算机专业的必修课。
（三）课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
离散数学 等值式 范式 消解算法
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值:
(1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
20
极小项与极大项
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式） 中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1in），称这 样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
几点说明： n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p q r
1 1 1 m7
极大项
公式
成假赋值 名称
pqr
0 0 0 M0
p q r 0 0 1 M1
p q r 0 1 0 M2
p q r 0 1 1 M3
p q r 1 0 0 M4
p q r 1 0 1 M5
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极 大项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列
26
实例
离散数学要点
1.1 命题1-1-1 命题命题是一个能表达判断并具有确定真值的陈述句。
1-1-2 真值作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。
真值只有真和假两种，通常记为T和F。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
1-1-3 命题变项用命题标识符（大写字母）来表示任意命题时，该命题标识符称为命题变项。
1-1-4 简单命题无法继续分解的简单陈述句称为简单命题或原子命题。
(不包含任何与、或、非一类联结词的命题)1-1-5 复合命题由一个或几个简单命题通过联结词复合所构成的新的命题，称为复合命题，也称分子命题。
1.2 命题联结词及真值表1-2-1 命题联结词命题联结词可将命题联结起来构成复杂的命题，是由已有命题定义新命题的基本方法。
命题联结词又可分为一元命题联结词、二元命题联结词和多元命题联结词。
常用的命题联结词包括否定词、合取词、析取词、蕴涵词和双条件词。
其它联结词还包括异或（不可兼或）、与非和或非等。
1-2-2 否定词否定词是一元命题联结词。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作P，读作非P。
若P为T，P为T；若P为F，P为T。
1-2-3 合取词合取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的合取构成一个新的命题，记作P∧Q。
读作P、Q的合取（或读作P与Q，P且Q）。
当且仅当P、Q 同时为T时，P∧Q为T。
否则，P∧Q的真值为F。
1-2-4 析取词析取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的析取构成一个新的命题，记作P∨Q。
读作P、Q的析取（也读作P或Q）。
当且仅当P、Q同时为F 时，P∨Q的真值为F。
否则，P∨Q的真值为T。
1-2-5 蕴涵词蕴涵词是二元命题联结词。
两个命题P和Q用蕴涵词“→”联结起来，构成一个新的命题，记作P→Q。
读作如果P则Q，或读作P蕴涵Q。
当且仅当P 的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
离散数学知识点整理（一）
离散数学知识点整理（⼀）离散数学数学语⾔与证明⽅法集合幂集运算交集并集相对补集绝对补集对称差集运算律交换律结合律分配律德摩根律恒等式证明⽅法直接证明归谬法分情况证明构造性证明数学归纳法命题逻辑命题简单命题p,q,r复合命题基本复合命题五种复杂复合命题真值真命题假命题命题符号化联结词否定联结词¬否定式合取联结词∧合取式析取联结词∨析取式相容或p∨q排斥或(¬p∧q)∨(p∧¬q)蕴含联结词蕴含式p->q真值p真q假，p->q为真其他全为真前件p后件q等价联结词等价式p<->q真值p,q真值相同，p<->q为真不同为假‘当且仅当’公式命题常项p,q,r为定值变项p,q,r为变量合式公式/命题公式A，B，C，D永真式重⾔式永假式⽭盾式可满⾜式赋值/解释成真赋值成假赋值等值演算A<->B，则A<=>B等价式为重⾔式常⽤等值公式蕴含等值式A→B⇔¬A∨B德摩根律 ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B联结词集优先顺序扩展与⾮联结词p↑q⇔¬(p∧q)或⾮联结词p↓q⇔¬(p∨q)联结词完备集(1)S={¬,∧,∨}(2)S={↑}(3)S={↓}范式分类析取范式主析取范式极⼤项合取范式主合取范式极⼩项计算推理概念蕴含式为重⾔式⇒形式结构(A1∧A2∧...∧A k)⇒B前提结论证明推理规则前提引⼊结论引⼊置换规则等值置换A⇔B:A⇒B;B⇒A推理定律特殊证明⽅法附加前提证明法(A1∧A2∧...∧A k)⇒A→B(A1∧A2∧...∧A k∧A)⇒B归结证明法归结规则(L∨C1)∧(¬L∨C2)⇒C1∨C2基本思想归谬法证明步骤结论的否定引⼊前提把所有前提化成合取范式，并将简单析取式作为单个前提归结规则进⾏推理推出0则推理正确⼀阶逻辑表达个体与总体之间的内在联系与数量关系概念个体词个体常项a,b,c....个体变项个体域x,y,z....谓词谓词常项表⽰具体性质或关系⼦主题 2谓词变项表⽰抽象性质或关系F，G....0元谓词不带个体变项的谓词当谓词为谓词常项时为命题量词全称量词存在量词符号化不同个体域形式可能不同引⼊特性谓词公式分类原⼦公式合式公式/谓词公式闭式A中不含⾃由出现的个体变项概念x:指导变元A:辖域x在A中约束出现A中出现的除x所有其他个体变项都为⾃由出现解释/赋值定义封闭的公式在任何解释下都变成命题分类永真式/逻辑有效式A在任何解释和任何赋值下均为真永假式/⽭盾式A在任何解释和任何赋值下均为假可满⾜式⾄少存在⼀个解释和⼀个赋值使A为真代换实例重⾔式的代换实例都是重⾔式⽭盾式的代换实例都是⽭盾式等值演算命题逻辑的代换实例等值式消去量词等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式规则置换规则换名规则前束范式存在但不唯⼀利⽤等值演算求前束范式Processing math: 100%。
离散数学 第2章 命题逻辑等值演算
A00
A0A. A1A
ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
等价否定等值式
注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础
以上 16 组等值式包含了 24 个重要等值式。 由于 A,B,C 可以 代表任意的命题公式，因而以上各等值式都是用元语言符号 书写的，称这样的等值式为等值式模式，每个等值式模式都 给出了无穷多个同类型的具体的等值式。 例如，在蕴涵等值式（2.12）中， 取 A=p，B=q 时，得等值式: p→q ┐p∨q 当取 A=p∨q∨r，B=p∧q 时，得等值式: (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式 模式的代入实例。
mi 与 Mi 的关系由书上定理 2.4 给出，即 mi Mi, Mi mi
2. 主析取范式与主合取范式 定义 2.5 （1）主析取范式——由极小项构成的析取范式 （2） 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (p q r) (p q r) m1m3 ——主析取范式 (p q r) (p q r) M7M1——主合取范式 3. 命题公式 A 的主析取范式与主合取范式 （1） 与 A 等值的主析取范式称为 A 的主析取范式；与 A 等值的主合 取范式称为 A 的主合取范式. （2） 主析取范式的存在惟一定理 定理 2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取 范式,并且是惟一的
由最后一步可知， （1）为矛盾式.
（2）(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(pq) 1 由最后一步可知， （2）为重言式. 问：最后一步为什么等值于 1？ 说明： （2）的演算步骤可长可短，以上演算最省. （蕴涵等值式） （交换律）
联结词完备集PPT精品文档
SAT问题是NP完备问题
.
34
合取范式的可满足问题
不含任何文字的简单析取式为空简单析 取式，记作。
空简单析取式是不可满足的 p, 若l=p
设l是一个文字，lc= 称为文字l的补。 p, 若l= p
.
35
消解规则
定义：设C1 , C2是两个简单析取式，C1含 文字l, C2含文字lc, 从C1中删除文字l,从C2 中删除文字lc后将得到的两个结果析取成 一个简单析取式，称为C1 和C2的消解式 或消解结果,记为Res(C1 , C2).
p ∧
?
p
?
q
p p ? p ¬q ¬p ?
∨ ↔q →p →
永 真
q
qp
q
000000000011111111
010000111100001111
100011001100110011
110101010101010101
.
否定c ,与非,或非
p
q
永 假
p ∧
→cp
{∧}，{∨}，{¬}，{→}，{↔}都不是完备集
思考：{┐，},{┐，→c }是否是完备集 ？
.
32
联结词完备集举例续3
{}是否是完备集 ？
p∧q┐(p↑q) ┐pp↑p
同理： {}也是完备集
p∨q┐(p↓q) ┐pp↓p
.
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可满足性问题
命题公式的可满足性问题 (简称SAT问题) 是指布尔表达式的可满足性问题。它是 理论计算机科学中的一个核心问题。在 数理逻辑、人工智能、约束满足问题、
A→B¬A∨B A↔B( A→B) ∧ (B → A)
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S(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r) (q∧r)∨(p∧r)∨(p∧q) 电路图如下：
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例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同 时按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下时， 锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图。
第二章 命题逻辑等值演算 2.3 联结词的完备集
1
五个基本的联结词：┐、∧、∨、→、。 在实际应用中（如数字逻辑电路），可由五 个基本的联结词{┐，∧，∨，→，}产生更多 的联结词： （1）异或 （2）条件否定 （3）与非 （4）或非
2
定义 异或联结词
设p，q为二命题，复合命题“p，q之中恰有一个 成立”称为p与q的异或式或排斥或式，记作pq，称 作异或联结词。
4
定义 蕴涵否定联结词
设p，q为二命题，复合命题“pq的否定”称为
命
c
c
p q
题p和q的蕴涵（条件）否定式，记作
， 称为
蕴涵（条件）否定联结c词。
由定义知：1、pq(pq)
c
2、p q 为真当且仅当p为真q为假
5
定义 与非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p与q的否定”称为p 与q的与非式，记作pq，称作与非联结词。
解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的 状态，“1”表示打开，“0”表示未打开。
则G（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C）
（A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
10
命题逻辑的应用
——数字逻辑电路
11
门电路
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻 辑联结词相对应的门电路汇总于下图：
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例1 设计一个控制楼梯照明的电路，使得分别 装在楼梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出 控制电路的逻辑表达式并设计电路图。
解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表 示开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照 明状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。
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G （A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C） 电子锁控制电路图如下：
16
课后练习
有一会议室，四周都有出入口，门旁装有开关。 为了控制全室的照明，要求设计一个线路，使得改 变任一只开关的状态，就能改变会议室的明暗。假 设，室中无人时灯全灭，有人时等亮。写出控制电 路的逻辑表达式并设计电路图。
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易见：1、pq (p∧┐q)∨(┐p∧q) ┐(pq) 2、pq为真当且仅当p，q中恰有一个为真
异或联结词的性质： （1）pqqp （2）(pq)rp(qr) （3）p∧(qr)(p∧q)(p∧r) （4）pp0 （5）p0p （6）p1┐p
3
思考题
设p、q、r为三命题，若pqr，则prq， qrp且pqr0。
如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备 这种特性，就称为最小完备集。
定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。 推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,}，
{┐,∧,∨,→,,}，{┐,∧,∨,→,,,} 等都是联结词完备集。
8
推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词 完备集，并且是最小联结词完备集。
易见：1、 pq ┐（p∨q） 2、 pq为真当且仅当p与q同时为假。
或非联结词的性质： （1）pp ┐(p∨p) ┐p （2）(pq)(pq) ┐(pq) p∨q （3）(pp)(qq) ┐p┐q
┐(┐p∨┐q) p∧q
7
联结词完备集
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式 均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就 称为联结词完备集。
S（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）s1s2 电路图如下：
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例2 一家航空公司为了保障安全，用计算机复核飞行计划。 每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答。由于计算机也 可能发生故障，因此采用了三台计算机同时复核，再根据“少 数服从多数”的原则作出判断。假设三台计算机中同时有一台 以上的计算机出现故障的概率为0，试将判断结果用命题公式 表示，并设计一个尽可能简单的电路图。
因为p∨q ┐（┐p∧┐q） p∧q ┐（┐p∨┐q） p∨q ┐p → q p∧q ┐（p → ┐q）
c
推论：{ , } 是联结词完备集，Байду номын сангаас且是最小联 结词完备集。
定理：{}、{}是联结词完备集，并且是最小 联结词完备集。（P39）
9
思考题
定义如表所示的二元逻辑联结词“ ·”， （1）证明{·}是联结词完备集。 （2）请利用该联结词·表示下述公式：（pq）∧r
易见：1、 pq ┐（p∧q） 2、 pq为真当且仅当p与q不同时为真。
与非联结词的性质： （1）pp ┐(p∧p) ┐p （2）(pq)(pq) ┐(pq) p∧q （3）(pp)(qq) ┐p┐q
┐(┐p∧┐q) p∨q
6
定义 或非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p或q的否定”称为p 与q的或非式，记作pq，称作或非联结词。