机械优化设计试题及答案(山大)

− 4 − 4 = − 2 x0 − 2
II ∇f ( x0 ) II = (
∂f 2 ∂f 2 ) +( ) = (−4) 2 + (−2) 2 = 2 5 ∂x1 ∂x2
2 5 1 5
− 4 − ∇f ( x0 ) − 2 P= = = ∇f ( x0 ) 2 5 −
T
优解相同。图 4-1b 表示出最优点 x * 为新目标函数等值线族的中心。
图 4-1 a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线
，
其
逆
矩
阵
为
1 2 32 ∇ 2 f ( X 0 ) ∇f ( X 0 ) 因此可得： X 1 = X0 − = − 2 0
−1
0 64 0 = 1 100 0 50
T
f ( X 1 ) = 5 ，从而经过一次迭代即求得极小点 X ∗ = [ 0 0] ， f ( X ∗ ) = 5 20 4.下表是用黄金分割法求目标函数 f (α ) 的极小值的计算过程，请完成 = α+
α
下表。
迭代序号
a 0.2
α1
α2
b 1
y1
比较
y2
0 1
迭代序号
a 0.2
α1
α2
0.6944
b 1
y1 40.0626
比较
y2
0
〉 29.4962
0.5056 1 0.5056 0.6944 0.8111 1 29.4962 〉 25.4690
5、 求二元函数f(x 1 ,x 2 )=x 1 2+x 2 2-4x 1 -2x 2 +5 在x 0 =[0
计算题
X ) 8 x12 + 5 x2 2 的最优解，设 X ( 0) = [10 10] 。 1．试用牛顿法求 f ( =
T
初始点为 X ( 0) = [10 10] ，则初始点处的函数值和梯度分别为
T
f ( X 0 ) = 1700 16 x + 4 x2 200 ，沿梯度方向进行一维搜索，有 ∇f ( = X0) 1 = 4 x1 + 10 x2 140
2 − 2 − 2 4
说明x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵 G(x2)=
是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即
4 x* = x 2 = 2
而函来自百度文库极小值为 f ( x ) = −8 。
*
7、求约束优化问题 Minf(x)=(x 1 -2)2+(x 2 -1)2 s.t. h(x)=x 1 +2x 2 -2=0 的最优解？ 解： 该问题的约束最优解为 x * = [1.6
′(α 0 ) = 0 其中的 α 0 为最佳步长，可通过f（x1）= min ϕ1 (α ), ϕ1
α
求得 x1 =
α0 =
1 4
则
1 4 1 + 4α 0 2 + α 0 1 − 2 = 1 − 2α = 1 0 2
10 200 10 − 200α 0 X 1 = X 0 − α 0 ∇f ( X 0 ) = − α 0 = 10 140 10 − 140α 0
α 0 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
f X 1 = min f X 0 − α∇f X 0 = min ϕ (α )
0
T
则
2 x1 −2 x2 − 4 − 4 = 4 x2 − 2 x1 x 0 2
4 − 2
取 沿d0方向进行一维搜索，得
d0=-g 0 =
x1=x0+ α 0 d0= + α 0
1 1
4 1 + 4α 0 = − 2 1 − 2α 0
0]T处函数变化率最大的方向和数值？
解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值 是梯度的模II ∇f ( x0 ) II 。求f(x 1 ,x 2 )在 x0 点处的梯度方向和数值，计算如下：
∂f ∂x 2 x ∇f ( x0 ) = 1 = 1 ∂f 2 x2 x0 ∂x2
为建立第二个共轭方向d 1 ，需计算 x1 点处的梯度及系数 β 0 值，得 g 1 = ∇ f（x1）=
2 x1 −2 x2 − 4 − 1 = 4 x2 − 2 x1 x1 − 2
g1 g0
2 2
β0 =
从而求得第二个共轭方向
=
5 1 = 20 4
d 1 =-g 1 + β 0 d0= + 再沿d 1 进行一维搜索，得
第一次迭代： 插入点 α1 = 0.6944 ，
α 2 = 0.5056 + 0.618(1 − 0.5056) = 0.8111
= f (α1 ) 29.4962, = f (α 2 ) 25.4690 ， 相应插入点的函数值
由于 f (α1 ) > f (α 2 ) ，故消去所以消去区间 [ a, α1 ] ，得到新的搜索区间 则形成新的搜索区间 [α 1 , b] = [a, b] = [0.6944,1]。 至此完成第一次迭代， [α1 , b] ， 继续重复迭代过程，最终可得到极小点。
∂2 f ∂2 f ∂x 2 ∂x1∂x2 1 2 0 32 0 ∇= f (X ) = ∂2 f ∂ 2 f 0 50 2 ∂x2 ∂x2 ∂x1
1 0 −1 32 ∇ 2 f ( X 0 ) = 1 0 50
可以用解析法求 min φ ( x, µ 2 ) ，即令 ∇φ = 0 ，得到方程组
∂φ = 2( x1 − 2) + 0.8 = 0 ∂x1 ∂φ = 2( x2 − 1) + 1.6 = 0 ∂x2
解此方程组，求得的无约束最优解为： x * = [1.6
0.2] , φ ( x* , µ 2 ) = 0.8 其结果和原约束最
α α
( )
= min 8 × (10 − 200α 0 ) + 4 × (10 − 200α 0 ) × (10 − 140α 0 ) + 5 × (10 − 140α 0 )
2
{
α
[
( )]
2
}
= = 0， ϕ ′ (α 1060000α 0 − 59600 0)
从而算出一维搜索最佳步长 = α0
1 1 4 2 = 3 2 4 − 2 2
2 2 2 + 2α1 3 + α1 2 2
x2=x1+ α1 d 1 = 1 + α1 3 = 1
2 2
′ (α1 ) = 0 其中的 α1 为最佳步长，通过f（x2）= min ϕ 2 (α ), ϕ 2
求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数 f (α ) = α+
20
α
的极小点和极小值，设搜索区间
[ a, b] = [0.2,1] （迭代一次即可）
解：显然此时，搜索区间 [ a, b ] = [ 0.2,1] ，首先插入两点 α1和α 2 ，由式
α1 = b − λ (b − a ) = 1 − 0.618 (1 − 0.2 ) = 0.5056 α 2 = a + λ (b − a) = 0.2 + 0.618 × (1 − 0.2 ) = 0.6944
在 x1 − x2 平面上画出函数等值线和 x0 （0,0）点处的梯度方向 P，如图 2-1 所示。从图中可 以看出，在 x0 点函数变化率最大的方向 P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方 向。
6、 用共轭梯度法求二次函数f(x 1 ,x 2 )=x 1 2+2x 2 2-4x 1 -2 x 1 x 2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x0 = [1 1] g 0 = ∇f ( x ) =
α
求得
α1 =1
2
则
x=
2 2 2 + 2α1 4 1 + α1 3 = 1 3 = + α1 2 2 2 2 2
计算 x2点处的梯度 g 2 = ∇ f（x2）=
2 x1 −2 x2 − 4 0 = =0 4 x2 − 2 x1 x 2 0
0.2] , f ( x* ) = 0.8 。
T
由图 4-1a 可知，约束最优点 x * 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用间接解法求解时，可取 µ 2 =0.8，转换后的新目标函数为
φ ( x, µ 2 ) = ( x1 − 2) 2 + ( x2 − 1) 2 + 0.8( x1 + 2 x2 − 2)
2 X ) 16 x12 + 25 x2 +5 的极小点，设 X ( 0) = [ 2 2] 。 3．用牛顿法求目标函数 f (=
T
解：由 X ( 0)
∂f ∂x 32 x 64 T 1 = 1 = = [ 2 2] ，则 ∇f ( X 0 ) = ∂ f 50 x2 100 ∂x 2
59600 = 0.0562264 1060000
10 − 200α 0 −1.2452830 X 1 = = 则第一次迭代设计点位置和函数值 10 − 140α 0 2.1283019
f ( X 1 ) = 24.4528302 ，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可
计算相应插入点的函数值 f (α 1 ) = 40.0626, f (α 2 ) = 29.4962 。
因为 f (α1 ) > f (α 2 ) 。所以消去区间 [ a, α1 ] ，得到新的搜索区间 [α1 , b ] ， 即 [α= 1 , b]
a, b ] [ 0.5056,1] 。 [=