检测技术-第二章 测试信号及其描述
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《测试技术》第二章知识点
第2章知识点“任何仪器、系统对不同频率的信号的放大倍数以及输出相对输入的时间延迟一般是不同的。
” （核心）1、描述系统动态特性的数学工具有：微分方程、传递函数、频响函数。
2、微分方程与传递函数的转换工具是拉斯变换。
3、串联、并联、反馈系统总的传递函数计算公式。
串联：)()()(21s H s H s H ⨯=并联：)()()(21s H s H s H +=反馈：)(1)()(s H s G s H '= 4、频响函数定义：传递函数中s 算子改为ωj 。
5、频率响应函数物理含义：系统输出与输入之间关系。
横坐标：输入信号频率；幅频纵坐标：)(ωA ，输出与输入幅值比，即放大倍数；相频纵坐标：输出与输入相位差，即时间滞后。
6、伯德图定义：横坐标：频率取对数，即ωlg ；幅频纵坐标：)(lg 20ωA ；在横坐标上方，表示信号被放大，放大倍数>1；在横坐标上，表示信号等幅输出，放大倍数=1；在横坐标下方，表示信号被衰减，放大倍数<1。
7、一阶系统标准形式：s τ+11，τ称时间常数，τ越小，系统动态特性越好。
输入信号频率τω1<时，系统放大倍数近似=1，相角滞后45度，相角滞后最多为90度。
8、二阶系统标准形式：2222nn n s s ωξωω++，ξ称阻尼系数，n ω称固有频率，n ω越大，系统动态特性越好。
ξ影响系统输出峰值大小。
输入信号频率n ωω<时，系统放大倍数近似=1，相角滞后90度，相角滞后最多为180度。
9、不失真测试条件：时域：)()(0t t Ax t y -=，表示信号被放大A 倍，滞后0t ；时域：ωωϕω0)()(t A -==常数；。
10、系统输出 )]()([)(1s X s G L t y -=。
传感器与测试技术第2章 信号及其描述
1
a0 T0
T0 2 x t dt
T0 2
an
2 T0
T0 2 x t
T0 2
cosn0tdt
周期
T0
信号的 角频率
正弦分量幅值
bn
2 T0
T0 2 x t
T0 2
sinn0tdt
0
2.2.2 周期信号的频域分析
傅里叶级数的三角函数展开式
x满t足狄 里a 赫0利 条件的周a期nc 信o 号s，n 可看0tbnsinn0t 作是由多个乃至n 无 1 穷多个不同频率的 简谐信号线性叠加而成
2．连续信号和离散信号
信号的幅值也可以分为连续和离散的两种，若信号的幅 值和独立变量均连续，称为模拟信号；若信号的幅值和独立 变量均离散，称为数字信号，计算机所使用的信号都是数字 信号。
综上，按照信号幅值与独立变量的连续性可分类如下所 示：
信号离 连散 续信 信号 号一 数 一 模般 字 般 拟离 信 连 信散 号 续 号信 (信 (信 信 号 号 号 号 ((独 的 独 的立 幅 立 幅变 值 变 值量 与 量 与离 独 连 独散 立 续 立)变 )变量 量均 均离 连散 续))
2.2.2 周期信号的频域分析
实例分析
双边幅频谱和相频谱分别为
cnnar2cA n tan-2nA0n1,3, 52,
实频谱和虚频谱分别为
2
n1,3,5,
n1,3,5,
R e cn 0
Im
cn
2A n
2.2.2 周期信号的频域分析
实例分析
周期方波的实、虚频谱和复频谱图
2.2.2 周期信号的频域分析
周期信号的强度描述常以峰值、峰-峰值、均 值、绝对均值、均方值和有效值来表示，它 确定测量系统的动态范围。 周期信号强度描述的几何含义如图2-7所示
测试技术(第二章 信号描述)
举例：
余弦、 正弦 信号 的频 谱
（三）周期信号的强度表示
1、峰值与峰-峰值
2、均值与绝对均值
3、有效值，即均方根值
4、平均功率
三、非周期信号的各离散频率不成整倍数关系。
通常所说的非周期信号指的是瞬态信号。
（一）傅立叶变换 非周期信号的傅立叶变换可以从周期信号的傅立叶级数分 析引申开来。 周期信号可认为是非周期信号的周期延拓；而非周期信号为周 lim xT (t ) x(t ) 期信号的周期 T ，则 T
n 1
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了 信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅 值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。
对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等 离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 （1）周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 （2）频谱分析的工程意义 （3）付氏分析的局限性
幅值
时域分析
频域分析
式中|X(f)|——信号在频率f处的幅值谱密度； ——信号在频率f处的相位。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示：
以f为横坐标，Re[X(f)]、Im[X(f)]为纵坐标画图，绘出的曲线 图称为实频、虚频密度谱图（实频图，虚频图）；
以f为横坐标，|X(f)|、 为纵坐标画图，绘出的曲线图称为 幅值、相位密度谱（幅频图，相频图）； 以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密 度谱。
思考：
（ 1） 求 sin 0t ， sin t sin 2t 的频谱特征
（2）例，求以下周期信号的频谱图（按约定形式展开）
x(t ) 10 5sin(2 10t ) 3cos(2 20t 4 / 3) 0.3cos(2 40t ) 0.1s in(2 50t / 4)
余弦、 正弦 信号 的频 谱
（三）周期信号的强度表示
1、峰值与峰-峰值
2、均值与绝对均值
3、有效值，即均方根值
4、平均功率
三、非周期信号的各离散频率不成整倍数关系。
通常所说的非周期信号指的是瞬态信号。
（一）傅立叶变换 非周期信号的傅立叶变换可以从周期信号的傅立叶级数分 析引申开来。 周期信号可认为是非周期信号的周期延拓；而非周期信号为周 lim xT (t ) x(t ) 期信号的周期 T ，则 T
n 1
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了 信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅 值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。
对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等 离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 （1）周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 （2）频谱分析的工程意义 （3）付氏分析的局限性
幅值
时域分析
频域分析
式中|X(f)|——信号在频率f处的幅值谱密度； ——信号在频率f处的相位。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示：
以f为横坐标，Re[X(f)]、Im[X(f)]为纵坐标画图，绘出的曲线 图称为实频、虚频密度谱图（实频图，虚频图）；
以f为横坐标，|X(f)|、 为纵坐标画图，绘出的曲线图称为 幅值、相位密度谱（幅频图，相频图）； 以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密 度谱。
思考：
（ 1） 求 sin 0t ， sin t sin 2t 的频谱特征
（2）例，求以下周期信号的频谱图（按约定形式展开）
x(t ) 10 5sin(2 10t ) 3cos(2 20t 4 / 3) 0.3cos(2 40t ) 0.1s in(2 50t / 4)
测试技术课件1信号及其描述
1.4.2 各态历经信号的统计特征
(1) 均值、均方值、均方根值和方差
均值（数学期望），常值（稳定）分量： 均方值，描述能量，平均功率： 均方根值，有效值：
方差，描述信号的动态分量，即偏离平均值的程度（波动程度）： 显然，总能量包括静态和动态分量： 标准差：
(2) 概率密度函数
周期方波的频谱
(4) 周期信号频谱的特点
周期信号的频谱是离散的； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上； 谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，可以忽略高次谐波分量。
1.3 瞬变信号 1.3.1 瞬变信号的频谱
周期信号可以写成
瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即
定义傅里叶变换
傅里叶逆变换则为
一般离散信号（自变量离散） 数字信号（幅值和自变量均离散）
信号幅值的连续和离散
信号自变量的连续和离散
1.1.3 信号的时域描述和频域描述
幅频谱图
相频谱图
时域描述 时域图 傅里叶级数，傅里叶变换 频域描述 频谱图
周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：
例 矩形窗函数的频谱
其中森克函数：sincx=sinx/x。 随着x的增加，森克函数以2为周期作衰减振荡；它是偶函数，并且在n(n=1, 2, …)处为0。
矩形窗函数及其频谱
瞬变信号频谱的特点： 瞬变信号的频谱是连续的，幅值随着频率的增加而衰减。
1.3.2 傅里叶变换的主要性质 (1) 奇偶虚实性
与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱
式中 幅值谱 相位谱
复指数函数形式的频谱为双边谱(-,+)，三角函数形式的频谱为单边谱(0,+)。 两种频谱的各谐波幅值之间,有 |cn|=An/2, c0=a0 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数，即：
(1) 均值、均方值、均方根值和方差
均值（数学期望），常值（稳定）分量： 均方值，描述能量，平均功率： 均方根值，有效值：
方差，描述信号的动态分量，即偏离平均值的程度（波动程度）： 显然，总能量包括静态和动态分量： 标准差：
(2) 概率密度函数
周期方波的频谱
(4) 周期信号频谱的特点
周期信号的频谱是离散的； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上； 谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，可以忽略高次谐波分量。
1.3 瞬变信号 1.3.1 瞬变信号的频谱
周期信号可以写成
瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即
定义傅里叶变换
傅里叶逆变换则为
一般离散信号（自变量离散） 数字信号（幅值和自变量均离散）
信号幅值的连续和离散
信号自变量的连续和离散
1.1.3 信号的时域描述和频域描述
幅频谱图
相频谱图
时域描述 时域图 傅里叶级数，傅里叶变换 频域描述 频谱图
周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：
例 矩形窗函数的频谱
其中森克函数：sincx=sinx/x。 随着x的增加，森克函数以2为周期作衰减振荡；它是偶函数，并且在n(n=1, 2, …)处为0。
矩形窗函数及其频谱
瞬变信号频谱的特点： 瞬变信号的频谱是连续的，幅值随着频率的增加而衰减。
1.3.2 傅里叶变换的主要性质 (1) 奇偶虚实性
与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱
式中 幅值谱 相位谱
复指数函数形式的频谱为双边谱(-,+)，三角函数形式的频谱为单边谱(0,+)。 两种频谱的各谐波幅值之间,有 |cn|=An/2, c0=a0 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数，即：
第2章_测试信号的描述chjd
测试技术
第2章 信号及其描述方法
第2章 信号及其描述
第一节
第二节 第三节 第四节
信号的分类及其描述方法
周期信号的频域描述 非周期信号的频域描述 随机信号的描述
贵州大学机械工程学院
陈家兑
测试技术
第2章 信号及其描述方法
第一节
信号的分类及其描述方法
信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有 用的信息，它是人们认识客观事物的内在规律、研究 事物之间相互关系、预测未来发展的依据。为了深入 了解信号的物理性质，对信号进行分类是非常必要的。 一、信号的分类
n n0
虚频图 双边相频图
C n n 0
贵州大学机械工程学院
周期信号的傅里叶复指数展开的频谱都是“双边谱”。
陈家兑
测试技术
第2章 信号及其描述方法
傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系
an CnR 2
Cn C
2 nR
bn CnI 2
C
2
nI
1 2 1 2 a n b n An 2 2
第2章 信号及其描述方法
确定性信号：能明确地用数学关系式描述其随时 间变化关系的信号称为确定性信号。 谐波信号：单一频率的正弦或余弦信号称为谐波 信号。
例如 单自由度无阻尼质 量-弹簧振动系统的位移 信号x(t)可表示为
k x(t ) X 0 sin( t 0 ) m
贵州大学机械工程学院
陈家兑
两信号的频率比为无 理数，即两频率没有 公约数，则叠加后信 号无公共周期。
贵州大学机械工程学院
陈家兑
测试技术
第2章 信号及其描述方法
二、信号的描述方法 时域描述：以时间为独立坐标变量，描述的是信 号幅值随时间变化的规律；
第2章 信号及其描述方法
第2章 信号及其描述
第一节
第二节 第三节 第四节
信号的分类及其描述方法
周期信号的频域描述 非周期信号的频域描述 随机信号的描述
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陈家兑
测试技术
第2章 信号及其描述方法
第一节
信号的分类及其描述方法
信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有 用的信息，它是人们认识客观事物的内在规律、研究 事物之间相互关系、预测未来发展的依据。为了深入 了解信号的物理性质，对信号进行分类是非常必要的。 一、信号的分类
n n0
虚频图 双边相频图
C n n 0
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周期信号的傅里叶复指数展开的频谱都是“双边谱”。
陈家兑
测试技术
第2章 信号及其描述方法
傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系
an CnR 2
Cn C
2 nR
bn CnI 2
C
2
nI
1 2 1 2 a n b n An 2 2
第2章 信号及其描述方法
确定性信号：能明确地用数学关系式描述其随时 间变化关系的信号称为确定性信号。 谐波信号：单一频率的正弦或余弦信号称为谐波 信号。
例如 单自由度无阻尼质 量-弹簧振动系统的位移 信号x(t)可表示为
k x(t ) X 0 sin( t 0 ) m
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两信号的频率比为无 理数，即两频率没有 公约数，则叠加后信 号无公共周期。
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测试技术
第2章 信号及其描述方法
二、信号的描述方法 时域描述：以时间为独立坐标变量，描述的是信 号幅值随时间变化的规律；
测试技术基础课件：测试信号的描述与分析
测试信号的描述与分析
际上，周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别，当周期信 号的周期T无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)，即
(2－5)
测试信号的描述与分析
图 2-8 瞬态信号波形
测试信号的描述与分析
3)确定性信号的时间特性 x(t)表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量， 信号的特性首先表现为它的时间特性。时间特性主要指以下 几点：①信号随时间变化快慢；②幅度变化的特性；③同一 形状的波形重复出现的周期长短；④信号波形本身变化的速 率(如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降沿陡直的 程度)。 以时间函数描述信号的图形称为时域图，在时域上分析 信号称为时域分析。
测试信号的描述与分析
1.能量信号 在所分析的区间(-∞，∞)，能量为有限值的信号称为能 量信号，满足如下条件:
(2－7)
对于电信号，通常是电压或电流，电压在已知区间(t1， t2)内消耗在电阻上的能量，其值为
(2－8)
对于电流，能量值为
(2－9)
测试信号的描述与分析
分。讨论消耗在电阻上的能量往往是很方便的，因为当 R=1Ω时，上述两式具有相同形式，采用这种规定时，就称 方程
测试信号的描述与分析
如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况： (1)信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能 量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号，如非周 期的单脉冲信号就是常见的能量信号。 (2)信号平均功率为大于零的有限值而信号总能量为无 穷大，称为功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率 信号，如周期信号就是常见的功率信号。
测试信号的描述与分析
1)周期信号
周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，满足
条件为
检测技术-第二章 测试信号及其描述
2-2 周期信号与离散频谱
周期信号及离散频谱
在有限区间上，一个周期信号x(t)当满
足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数 形式。傅里叶级数可用两种形式表达 : 1、傅立叶级数三角级数展开
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1
其中：T－周期信号的周期，0－角频率，0＝ 2 1 T2 a0 T x(t )dt .......称为信号的直流分量 T 2 2 T2 an T x(t ) cos n0tdt T 2 2 T2 bn x (t ) sin n0tdt T T 2
单自由度振动系统
•功率信号：若信号满足
1 T2 2 0 lim T x(t ) dt T T 2
即信号的平均功率为有限值时，则称这类信号为 有限平均功率信号，简称功率信号。 例如周期信号和随机信号，因其能量是无限的， 故研究其平均功率更合适。例如正余弦信号。
三、连续时间信号和离散时间信号
（3）准周期信号由多个周期信号叠加而成，而这 些周期信号的周期间不具有公倍数，因此其合成信 号不具有一个共同的周期。
x(t ) sin 0t sin 20t
非确定性信号即随机信号，不能用数学关系式描述，也不 能预测其瞬时值，它描述了一种随机过程。
平稳随机信号： •非平稳随机信号：不具 信号的统计特征是时不变的。 有上述特点的随机信号。
周期信号的强度描述
周期信号的强度可以用峰值、绝对均值、有效值 和平均功率来描述。 1)峰值 x ，在一个周期内可能出现的最大瞬时 p 值。
周期函数的频谱特点：
(1)周期函数的频谱是离散的；－－离散性 (2)周期信号的谱线仅出现在基波频率整数倍上； －－谐波性 (3)各条谱线的高度表示对应谐波的幅值大小，且 谐波幅值的趋势是随着频率的升高而逐渐降低。 －－收敛性
第二章 测试信号分
平稳
各态历经
非各态历经
1.确定性信号 可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。 周期信号——每间隔一定的时间重复出现的信号。
X(t)=x(t+nT)
式中 T——周期，T=2π/ω0 n=0, ±1，±2，… ω0 ——基频 非周期信号往往具有瞬变性。
准周期信号是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的 频率之间不满足公倍关系。 准周期信号：由多个周期信号合同，但没最小公倍数
E[(x x ) ]
2 x 2
2 y E[( y y )2 ]
根据许瓦兹不等式
E[(x x )( y y )] E[(x x ) ]( y y ) ]
2 2 2
|ρxy|≤1。当ρxy=±1时，说明两个随机变量x、y理想的线性相
关；当ρxy=0时，说明两个随机变量之间完全无关。
瞬态信号 ：持续时间有限的信号
2. 非确定性信号
非确定性信号也称为随机信号，它不能用确定的数学关系
描述，也无法预知未来时刻的值。
根据时间信号的连续性可分为： 连续信号 信号
离散信号
二 信号的描述 时域描述——以时间t为独立变量来描述信号的幅值的变化 频域描述——描述信号中各频率成分的幅值、相位与频率
C0 lim
T
1 T
T
0
x(t)dt
均方值：
x
2 av
lim
T
1 T 2 0 x (t)dt T
均方根：
x rms
2 x
lim
T
1 T 2 0 x (t)dt T
T
方差：
lim
T
1 T
测试信号及其描述1
Tx P[ x x(t ) x x] 1 p( x) lim lim [ lim ] x 0 x 0 x x T T
2.3 信号的幅值域分析
中国矿业大学机电学院
2、概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值x的概率， 其定义为：
F ( x)
F ( x) p( )d
x x
1
A
1
arcsin
A
x A
1
(arcsin
A x
2
2
d
) A 2
2.3 信号的幅值域分析
中国矿业大学机电学院
x xp( x)dx
1 2 2 dx A x 2 2 A A x
注意：信号的功率和能量，未必有真实物理功率和能量的量纲
2.1 信号的分类与描述
中国矿业大学机电学院
3 连续时间信号与离散时间信号
a) 连续时间信号:在所有时间点上有定义
幅值连续
幅值不连续
b)离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
2.1 信号的分类与描述
中国矿业大学机电学院
4 时限与频限信号
a) 时域有限信号：在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零。 否则为时域无限 信号
中国矿业大学机电学院
例：已知正弦信号 x A sin(0t ) ，试求概率密度函数p( x) ， 2 2 概率分布函数 F ( x) ，均值 x ，均方值 x ，方差 x 。
解：
研究一个周期（ T 2 0 ）内的情况，可有
t 1 1 2dt p( x) lim [ lim ] x 0 x T T dx T
2.3 信号的幅值域分析
中国矿业大学机电学院
2、概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值x的概率， 其定义为：
F ( x)
F ( x) p( )d
x x
1
A
1
arcsin
A
x A
1
(arcsin
A x
2
2
d
) A 2
2.3 信号的幅值域分析
中国矿业大学机电学院
x xp( x)dx
1 2 2 dx A x 2 2 A A x
注意：信号的功率和能量，未必有真实物理功率和能量的量纲
2.1 信号的分类与描述
中国矿业大学机电学院
3 连续时间信号与离散时间信号
a) 连续时间信号:在所有时间点上有定义
幅值连续
幅值不连续
b)离散时间信号:在若干时间点上有定义
采样信号
2.1 信号的分类与描述
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4 时限与频限信号
a) 时域有限信号：在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零。 否则为时域无限 信号
中国矿业大学机电学院
例：已知正弦信号 x A sin(0t ) ，试求概率密度函数p( x) ， 2 2 概率分布函数 F ( x) ，均值 x ，均方值 x ，方差 x 。
解：
研究一个周期（ T 2 0 ）内的情况，可有
t 1 1 2dt p( x) lim [ lim ] x 0 x T T dx T
测试信号及其描述
– 若信号在区间（－∞，＋ ∞）的能量是无限的
x2 (t)dt
– 但它在有限区间（t1,t2)的平均功率有限，即
1 t2 x2 (t)dt
t1 t 2 t1
亦即信号具有有限的（非零）平均功率，则称信号 为功率有限信号，简称功率信号。
二、信号的时域描述和频域描述
时域描述：以时间为独立变量；反映信号的幅值随时 间变化的关系；
– 自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ； – 自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信
号。
• 离散信号：
– 信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，则称 该信号为被采样信号。
– 信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信号 ；
3、能量信号和功率信号
• 能量信号：
– 例如：
X(t)
R
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式
在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足狄里赫利条件 时可展开成傅里叶级数：
x( t ) a0 ( an cos n0t bn sin n0t ) n1
(1-7)
式中，
a0
1 T0
T0
2 T0
x( t
)dt
2
an
2 T0
T0 / T0
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。
• 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0)
式中，T0——周期。
• 非周期信号：
– 定义：不具有周期重复性的确定性信号。 – 非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周 期信号两类。
– 准周期信号：由多个具有不成比例周期的正 弦波之和形成，或者称组成信号的正（余） 弦信号的频率比不是有理数 。
x2 (t)dt
– 但它在有限区间（t1,t2)的平均功率有限，即
1 t2 x2 (t)dt
t1 t 2 t1
亦即信号具有有限的（非零）平均功率，则称信号 为功率有限信号，简称功率信号。
二、信号的时域描述和频域描述
时域描述：以时间为独立变量；反映信号的幅值随时 间变化的关系；
– 自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ； – 自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信
号。
• 离散信号：
– 信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，则称 该信号为被采样信号。
– 信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信号 ；
3、能量信号和功率信号
• 能量信号：
– 例如：
X(t)
R
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式
在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足狄里赫利条件 时可展开成傅里叶级数：
x( t ) a0 ( an cos n0t bn sin n0t ) n1
(1-7)
式中，
a0
1 T0
T0
2 T0
x( t
)dt
2
an
2 T0
T0 / T0
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。
• 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0)
式中，T0——周期。
• 非周期信号：
– 定义：不具有周期重复性的确定性信号。 – 非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周 期信号两类。
– 准周期信号：由多个具有不成比例周期的正 弦波之和形成，或者称组成信号的正（余） 弦信号的频率比不是有理数 。
清华大学测试与检测技术基础_王伯雄_第2章测试信号分析与处理
对于不同的被测参量，测试系统的构成及作用原 理可以不同；根据测试任务的复杂程度，一个测试 系统也可以有简单和复杂之分；根据不同的作用原 理，测试系统可以是机械的、电的、液压的等等。 在对待属性各异的各类测试系统中，常常略去系 统具体的物理上的含义，而将其抽象为一个理想化 的模型，目的是为了得到一类系统共性的规律。将 系统中变化着的各种物理量，如力、位移、加速度、 电压、电流、光强等称为信号。 因此，信号与系统是紧密相关的。信号按一定的 规律作用于系统，而系统在输入信号的作用下，对 它进行“加工”，并将该“加工”后的信号进行输 出。通常将输入信号称为系统的激励，而将输出信 号称为系统的响应。
周期信号的频谱是离散的!
例1 求图2.11所示的周期方 波信号x（t）的傅里叶级数。 解： 信号x（t）在它的一个周期中 的表达式为：
1, x (t ) 1, T t 0 2 T 0t 2
根据式（2.13）和（2.14）有： 2 T /2 an x ( t ) cos n 0 tdt 0 T / 2 T
第二章 测试信号分析与处理
Signal analysis and processing in measurement
测试信号分析与处理
2.1 信号与测试系统分析 2.2 信号描述 2.3 数字信号处理
本章学习重点
1.了解信号与测试系统分析的意义 2.确定性信号时、频域描述的方法：
–周期信号的频域表达及离散谱； –非周期信号的频域表达及连续谱； –傅立叶变换的主要性质及应用； –典型信号的傅立叶变换及应用。
–例如：质量——弹簧系统在受到一个激励后的
运动状况，可以通过系统质量块的位移——时 间关系来描述。反映质量块位移的时间变化过 程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比 的信息。
汽车测试技术-2-信号描述及分析
• • • •
2)互相关函数的应用 （1）相关测速 （2）相关分析在故障诊断中的应用 （3）传递通道的相关测定
35
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
36
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
37
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
• 1.5 信号的频谱分析 • 信号的时域描述只能反映信号幅值随时间变 化的特征，而频域的描述则能反映信号的频 率结构和各频率成分的幅值大小。相关分析 为从时域在噪声背景下提取有用信息提供了 手段，功率谱密度函数则从频域角度为研究 平稳随机过程提供重要方法。 • 1.5.1 自功率谱密度函数 • 1)定义及其物理意义
t2 1 2 x (t )dt t 1 t2 t1
（1.3）
则称为功率信号，如各种周期信号、阶跃信号等。
5
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
•1.1.2 信号的时域和频域描述
• 时域描述是指描述信号的坐标图中横坐标 为时间t，频域描述时的横坐标则为频率f 或圆频率 。
6
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
1.1 信号分类及其描述 1.1.1 信号的分类 1）确定性信号和非确定性信号
2
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
• （1）确定性信号。
• （2）非确定性信号，又称为随机信号，是 无法用明确的数学关系式表达的信号。如加 工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等。 这类信号需要采用数理统计理论来描述
3
傅里叶级数的复指数函数形式
12
车辆工程专业本科课程——汽车测试技术
1.2.2 非周期信号的频谱
• 从信号合成的角度看，频率之比为有理数的多个谐波分量， 其叠加后由于有公共周期，所以为周期信号。当信号中各 个频率比不是有理数时，则信号叠加后为准周期信号。图 1．7（a）为矩形脉冲信号，1．7（b）为指数衰减信号， 1．7（c）为衰减振荡，1．7（d）为单一脉冲信号。
机械工程测试技术基础知识点
机械工程测试技术基础知识点第一章绪论1. 测试技术是测量和试验技术的统称。
2. 工程测量可分为静态测量和动态测量。
3. 测量过程的四要素分别是被测对象、计量单位、测量方法和测量误差。
4. 基准是用来保存、复现计量单位的计量器具5. 基准通常分为国家基准、副基准和工作基准三种等级。
6. 测量方法包括直接测量、间接测量、组合测量。
7. 测量结果与被测量真值之差称为测量误差。
8. 误差的分类:系统误差、随机误差、粗大误差。
第二章信号及其描述1. 由多个乃至无穷多个不同频率的简单周期信号叠加而成，叠加后存在公共周期的信号称为一般周期信号。
2. 周期信号的频谱是离散的，而非周期信号的频谱是连续的。
1．信号的时域描述，以时间为独立变量。
4．两个信号在时域中的卷积对应于频域中这两个信号的傅里叶变换的乘积。
5信息传输的载体是信号。
6一个信息，有多个与其对应的信号；一个信号，包含许多信息。
7从信号描述上：确定性信号与非确定性信号。
8从信号幅值和能量：能量信号与功率信号。
9从分析域：时域信号与频域信号。
10从连续性：连续时间信号与离散时间信号。
11从可实现性：物理可实现信号与物理不可实现信号。
12可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。
13不能用数学关系式描述的信号称为随机信号。
14周期信号。
按一定时间间隔周而复始出现的信号15一般周期信号:由多个乃至无穷多个不同频率的简单周期信号叠加而成，叠加后存在公共周期的信号。
16准周期信号:由多个简单周期信号合成，但其组成分量间无法找到公共周期。
或多个周期信号中至少有一对频率比不是有理数。
17瞬态信号（瞬变非周期信号）:在一定时间区间内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。
18非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
19一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
20一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号（可以理解成能量衰减的过程）。
机电工程测试与信号分析 第二章 信号及其描述
量；绝对均值是信号经过全波整流后的均
值。
x
1 T
T
x(t)dt
0
x
1 T
T 0
x(t) dt
A
0
t
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直 流分量。
三、周期信号的强度描述（2）
3、有效值和平均功率：有效值是信号的均 方根值，它反映信号的功率大小。有效值的 平方就是信号的平均功率，即信号的均方值 E[x2(t)]，表达了信号的强度。
2 从信号的幅值和能量上 --能量信号与功率信号；
能量信号：能量有限，功率为零
功率信号：能量无限，功率有限
P
1
t2
x2 (t)dt
t2 t1 t1
例
x1(t) e2 t
E lim T (e2 t )2 dt 0 e4tdt e4tdt 1
T T
0
2
p0
所以，x1(t)为能量信号
信号频域分析是采用傅立叶级数或傅立叶变换将时域信 号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来 了解信号的特征。
傅里叶级 数或傅立
叶变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
频域分析的概念
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
电子琴
频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
2 T 2
x(t
)
sin
n0tdt
0
n 1,2,3,4,67, ,8,9,11,
例a、求图中周期性三角波信号的 x(t
)
A
2A T0
t
,
t
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单自由度振动系统
•功率信号：若信号满足
0 lim 1
T 2
x(t) 2 dt
T T
T 2
即信号的平均功率为有限值时，则称这类信号为 有限平均功率信号，简称功率信号。
例如周期信号和随机信号，因其能量是无限的， 故研究其平均功率更合适。例如正余弦信号。
三、连续时间信号和离散时间信号
• 按信号的幅值及其自变量分类的。 • 若信号的自变量是连续的，则称为连续信号； • 信号的自变量是离散的，称为离散信号。
(a)抽样性质：f (t) (t) f (0) (t)
或f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0)
(b)积分特性： f (t) (t)dt f (0) -
或
－
f
(t) (t
t0 )dt
f
(t0 )
2、sinc(t)函数
sin c(t)函数在不同场合又可称 为抽样函数、滤波函数或内插 函数。其定义如下：
T 2
an
2 T
T
2 T 2
x(t)
cos
n0tdt
0
bn
2 T
T2
T 2 x(t) sin n0tdt
2 T
1 [
n0
cos n0t
0 T
2
1
n0
( cos n0t)
T 2] 0
2 [1 cos n ] n
因此,
4
n
,
n 1,3,5,...
0, n 2, 4, 6,...
x(t
)
当s=j时，e jt , 称为复频率函数，且 e jt cost j sin （t 称为欧拉公式）
2-2 周期信号与离散频谱
周期信号及离散频谱
在有限区间上，一个周期信号x(t)当满 足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数 形式。傅里叶级数可用两种形式表达 :
1、傅立叶级数三角级数展开
x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n1
（3）准周期信号由多个周期信号叠加而成，而这 些周期信号的周期间不具有公倍数，因此其合成信 号不具有一个共同的周期。
x(t) sin0t sin 20t
非确定性信号即随机信号，不能用数学关系式描述，也不 能预测其瞬时值，它描述了一种随机过程。
平稳随机信号：
•非平稳随机信号：不具
信号的统计特征是时不变的。 有上述特点的随机信号。
sin c(t) sin t ,( t ) t
或
sin c(t) sint ,( t ) t
1
0 2
t
3、复指数函数
复指数函数est ( t )在信号分析中有特殊地位,
因为s j,是一个复数,当s取不同值, est可以表示
实际中遇到的很多种信号,例如:
(1)=0,s为实数,如果 0,est表示升、降指数函数， ＝0则表示直流信号； (2)＝0， 0，s为虚数，e jt cost j sin t,
其中：T－周期信号的周期，0－角频率，0＝2 T
1
a0 T
T
2 x(t)dt
T 2
.......称为信号的直流分量
an
2 T
T
2 T 2
x(t
)
cos
n0tdt
bn
2 T
T
2 T
2
x(t
)
sin
n0tdt
x(t) a0 An sin(n0t n ) n1
An an2 bn2 ,称为第n次谐波的幅值
第二章 信号分析基础
目录 2-1 信号的分类 2-2 周期信号及离散频谱 2-3 非周期信号及连续频谱，傅立叶变换
的性质。 2-4 数字信号处理
本章重点
了解信号与测试系统分析的作用与意义。 掌握确定性信号时域、频域描述的方法：
周期信号的频域表达及离散谱； 非周期信号的频域表达及连续谱； 傅立叶变换的主要性质及应用； 典型信号的傅立叶变换及应用。
4
(sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
...)
4A
s
in
0t
4A
1 3
s
in(30t
)
4A
1 5
s
in(50t
)
其中, A 1,T 2,0 2 T
4A
1 7
s
in(70t
)
周期方波的傅立叶级数展开式的复原图(n=40)
Matlab.m
T=2; omega0 = 2*pi/T; t=-pi:0.001:pi; xt1=(4/pi)*sin(omega0*t); xt2=(4/pi)*(1/3)*sin(3*omega0*t); xt3=(4/pi)*(1/5)*sin(5*omega0*t); xt4=(4/pi)*(1/7)*sin(7*omega0*t); subplot(2,2,1); plot(t,xt1); subplot(2,2,2); plot(t,xt2); subplot(2,2,3); plot(t,xt3); subplot(2,2,4); plot(t,xt4);
平稳随机信号 x(t)－宽带信号（白噪声） y(t)－经低通滤波后的信号
非平稳随机信号
二、能量信号和功率信号－按信号的能量划分
• 能量信号：若信号 （x t)满足关系式
x2 (t)dt
则称（x t)是能量有限信号，简称 能量信号。 能量信号的特点是仅在有限时间 段内有值，并且幅值随时间变化 而衰减。
实部表示余弦，虚部表示正弦；
(3) 0， 0，s为复数，est et cost jet sin t,
实部表示余弦指数函数，虚部表示正弦指数函数；
et
e1 j2t
et
e 2 t
s平面上，虚轴( j)代表est的振荡频率，而 实轴( )则代表est的振幅变化。
复指数函数具有一个重要性质：实际中遇到 的任何时间函数总可以表示成为复指数函数 的离散和与连续和。
信号分析中的常用函数
1、脉冲函数－ 函数
设在理想条件下，在时间内，激发出一个
方波s (t),且设方波面积为1，则有
s
(t
)
1,0t
0,t 0和t
当变小时，s (t)高度变大，当 0，方波
的极限就称为单位脉冲函数。
Байду номын сангаас
(t
)
, t
0,
t
0 0
(t)dt 1
(t)函数的性质：
n
arctan
an bn
, 第n次谐波的初相位
注意：偶函数的傅立叶级数只包含余弦项及 直流分量；
奇函数傅立叶级数只有正弦项，且无直流分 量；
例2.1 求方波信号x(t)的傅里叶级数。
x(t )
1,
1,
-T t0 2 0<t< T 2
x(t) 1
T
0
T
2
2
-1
解：
1
a0 T
T
2 x(t) 0
2-1 信号的分类
一、按信号随时间变化规律分为： 确定性信号和非确定信号 确定性信号：可以用明确的数学关系式描述的信号 称为确定性信号，它可进一步分为周期信号，非周 期信号和准周期信号。 （1）周期信号是按照一定的时间间隔重复出现的
信号，即 x(t) x(t nT )
（2）非周期信号往往是一些瞬变信号，如锤子敲 击力的变化，钢丝绳拉断时应力的变化等。