浙江省2017年高中(高一)“希望杯”二试数学试题+Word版含答案

2017年高中“希望杯”浙江省二试试题
高 一
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.
1.已知锐角α终边上一点的坐标为(2sin 3,2cos3)-，则α=（ ） A ．3π- B ．3 C ．32
π-
D ．
32
π-
2.若定义在R 上的函数(1)y f x =-是奇函数，则()f x 的图象一定过点（ ） A ．（0，0） B ．（1，0） C ．（-1，0） D ．（1，-1）
3.在集合(0,1)
(1,)+∞上定义运算“★”
：{|l o g ,,}a
x A A x b a b B =∈∈★B=，则集合
11
{,}2{2,4}4
★的真子集的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．15 4.Two sets expressed as
A=2
{(,)|sin 1.2sin 1,}x y y x x x R =-+∈,B=sin {(,)|2,}x
x y y x R -=∈then the number of
element for A
B is ( )
A ．0
B ．1 C.2 D ．infinite
5.设32
()366f x x x x =-+-，且()1,()5f a f b ==-，则a b += （ ） A ．-2 B ．0 C.1 D ．2
6.若0a ≠，则等比数列333
248log 5,log 5,log 5a a a a a a ++++++的公比是（ ）
A ．
12 B ．2 C.1
3
D ．3 7.`2
()(1)()(0)31
x F x f x x =-≠+是偶函数，且()f x 不恒等于0，则()f x （ ）
A ．是奇函数
B ．是偶函数 C.可能是奇函数，也可能是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数
8.对于方程||0x x px q ++=进行讨论，下面有四个结论：
①至多有三个实根.
②至少有一个实根.
③仅当2
40p q -≥时才有实根.
④当0p <和0q >时，有三个实根.
A ．1个
B ．2个 C.3个 D ．4个
9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,10,6AB AA AD ===，点E 在1DD 上，点F 在AD 上，点G 在AB 上，且1:1:2,:2:3,:3:4DF FA D E ED BG GA ===，则EFG ∆（图中阴影部分）在平面11BCC B 上正投影的面积是（ ）
A ．8
B ．10 C.12 D ．15
10.设定义在R 上的函数()f x 满足3
()()2
f x f x =-+，又知(0)2,(1)2,(2)3f f f =-==，则(1)(2)(3)(2009)f f f f +++
+的值等于（ ）
A ．2009
B ．2010 C.2011 D ．2012
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分40分）
11.已知函数222,0,()2,0.
x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩若2
(3)(2)f a f a ->，则实数a 取值范围
是 ．
12.设4
3
2
()f x x ax bx cx d =++++，其中,,,a b c d 是常数，如果
(1)10,(2)20,(3)30f f f ===，则(10)(6)f f +-= ．
13.用[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若0
[sin(10)1k ⨯=-，则最小正整数k 为 ．
14.若13(2)2()3(0)f x f x x x
+=≠，则()f x = ．
15.若(1sin )(1sin )y a x a x =++--，当1sin 0x +=时，y 取得最小值；当sin 0a x +=时，y 取得最大值，则a 的取值范围是 ．
16.已知数列{}n a 满足*
11210()n n n a a a n N ++++=∈11
0,n n a b a c
==
+，若{}n b 是等差数
列，且其前n 项和为n S ，则2013S = ．
17.不等式组4
2
4222log (824)33sin cos 2y y x x x y ππ
-+⎧-+≤⎪
⎨≥⎪⎩
的解集是 ．
18.If a sequence {}n a is definde as 1125,21n n a a a n +=-=-,then the minimum value of
n
a n
is ． 19.已知函数()(*),f n k n N k =∈是0.9196461178┅ 的小数点后的第n 个数字，则
5(((5)))8(((8)))f f f f f f += ．
20.设:p 函数()log(101)x
f x ax =+-是偶函数，:q 函数42()2x x
a
g x -=
是奇函数，则p 是q 的 条件（填必要不充分，或充分不必要，或充要，或既不充分也不必要）
． 三、解答题 每题都要写出推算过程.
21. 已知数列}{n a ，其中.2,32
11n n n a a a a +==+ （1）求}{n a 的通项公式；
（2）求满足20121>n a 的n 的最小值.
22.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，已知5,8==c b ，且
)sin sin )(sin (C B A c b a -+++ .
sin )32(B a +=
（1）求角C 的大小； （2）求.ABC S ∆
23.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧<-≥+=.0),1(log ,
0),1(log )(2
1
2x x x x x f
（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）对任意两个实数21,x x ，求证：当021>+x x 时，0)()(21>+x f x f ； （3）对任何实数0)23()(,2≥-+-x x
e f a e
f x 恒成立，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: CCCDD 6-10:CABCD
二、填空题
11. 31<<-a 12.8104 13. 19 14.
x
x 56109-
15.[－1，0]
16. 2027091 17.)}1,2)(1,2(|),{(---y x 18.
5
41
19.86
20.充要
三、解答题
21.（1）由n n n a a a 22
1+=+，得2
1)1(1+=++n n a a
由题设，易知 0>n a
于是2
212)1(log )1(log +=++n n a a
即)1(log 2)1(log 212+=++n n a a
所以)}1({log 12++n a 是以2)13(log 2=+为首项，2为公比的等比数列
故n
n n a 222)1(log 12=⋅=+-
则n
n a 221=+ 因此122-=n
n a (2)由20121>n a ，即2012112
2>-n
，得2012222>n
因为15
14
221638420122163842=⨯<<=， 所以*,22142N n n
∈> 即152,22152≥≥n n
故4≥n . 因此，所示n 的最小值是
22.解：由)sin sin )(sin (C B A c b a -+++.sin )32(B a +=及正弦定理，可得
()()(2a b c a b c ab +++-=
即2222(2a ab b c ab ++-=+
222c a b =+
由余弦定理，可得6
C π
=或
56
π， 因为b c >，所以 于是，当56
C π
=时，B 也是钝角，不满足三角形内角和定理， 故 6
C π
=
.
(2)图中,ABC ∆可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形.
从A 作AD BC ⊥于D ，则在Rt ADC ∆中，14,22
AD AC DC AC =
===
又3BD =，
所以3BC =+或3BC =-+
故1
62
ABC S BC AD ∆=
⋅=±+ 23.（1）因为2(0)log (10)0f =+=
当0x <时，0x ->，所以12
()log (1)f x x =-
2log (1)x =--
()f x =-
即()()f x f x -=-
当0x >时，0x -<，所以12
()log [1()]f x x =--
2log (1)x =-+
()f x =-
即()()f x f x -=-
综上知，()y f x =是奇函数.
(2)因为2log y x =是单调递增函数，1u x =+也是单调递增函数，由复合函数的单调性知 当0x ≥时，2log (1)y x =+是单调递增函数 由（1）知
由奇函数的单调性，知0x <时，()f x 是单调递增函数 从而()y f x =是定义在R 单调递增上的奇函数， 由021>+x x ，得，12x x >- 所以122()()()f x f x f x >-=- 即0)()(21>+x f x f (3)因为2()(32)0x
x f e a f e -+-≥
所以2()(32)(23)x
x x f e a f e f e -≥--=-
于是223x
x e
a e -≥-
即2223(1)2x
x x a e
e e ≥-+=-+
当0x =时，2
(1)2x
e -+有最小值2, 所以只需2a ≤，就有2()(32)0x
x f e
a f e -+-≥恒成立，
故a 的取值范围是(,2]-∞.。