【人教版】2021年中考数学复习(全部)专题练习汇总
备战中考数学专题练习(2021人教版)三角形的中位线卷一(含解析)
备战中考数学专题练习（2021人教版）三角形的中位线卷一（含解析）一、单项选择题1.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延伸线交AB于点G，假定△CEF的面积为12cm2，那么S△DGF的值为〔〕A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm22.某地需求开拓一条隧道，隧道AB长度无法直接测量。
如下图，在空中上取一点C，使点C 均可直接抵达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，那么隧道AB的长度为〔〕A.3300mB.2200mC.1100mD.550m3.如图，DE是△ABC的中位线，假定BC的长为3cm，那么DE的长是〔〕A.2cmB.1.5cmC.1.2cmD.1cm4.如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，假定cm, cm，那么的长等于()A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm5.如图，在△ABC中，点D、E区分是边AB、AC的中点，DE=6cm，那么BC的长是〔〕A.3cmB.12cmC.18cmD.9cm6.如下图，A ，B两点区分位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B间的距离，但绳子不够长，一位同窗帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接抵达A ，B的点C ，找到AC ，BC的中点D ， E ，并且测出DE的长为10m，那么A ，B间的距离为〔〕A.15mB.25mC.30mD.20m7.如下图，四边形ABCD，R，P区分是DC，BC上的点，E，F区分是AP，RP的中点，当点P 在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么以下结论成立的是〔〕A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐增加C.线段EF的长不变D.线段EF 的长不能确定8.如图，长方形ABCD，R，P区分是DC，BC上的点，E，F区分是AP，RP的中点，当点P 在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么以下结论成立的是〔〕A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐增加C.线段EF的长不变D.线段EF的长先增大后变小二、填空题9.如图，在△ABC中，D、E区分是边AB、AC的中点，BC=8，那么DE=________．10.如图，现需测量池塘边上A、B两点间的距离，小强在池塘外选取一个点C，衔接AC与BC并找到它们中点E、F，测得EF长为45米，那么池塘的宽AB为________米．11.如图,在△ABC中,AB=8,点D,E区分是BC,CA的中点,衔接DE,那么DE=________.12.：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分△ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．假定EF=2，那么BD=________13.如图，CD是△ABC的中线，点E，F区分是AC、DC的中点，EF=2，那么BD=________14.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE△AD．假定BD=10，BO=8，那么AO的长为________15.在△ABC中，D、E区分为边AB、AC的中点，假定△ADE的周长为3cm，那么△ABC的周长为________cm．16.如图，A，B，C三点在△O上，且AB是△O的直径，半径OD△AC，垂足为F，假定△A=30°，OF=3，那么BC=________三、解答题17.如图，点O是△ABC内恣意一点，G、D、E区分为AC、OA、OB的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？假定可以，指出F点位置，并给予证明．18.如图，D、E区分是不等边三角形ABC〔即AB≠BC≠AC〕的边AB、AC的中点．O是△ABC 平面上的一动点，衔接OB、OC，G、F区分是OB、OC的中点，依次衔接点D、G、F、E．〔1〕如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；〔2〕假定衔接AO，且满足AO=BC，AO△BC．问此时四边形DGFE又是什么外形？并请说明理由．19.：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F区分是AB、CD的中点，EF区分交BD、AC于点G、H.求证：OG=OH.四、综合题20.在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的处置方法停止了仔细思索：课本研讨三角形中位线性质的方法：如图①，△ABC中，D，E区分是AB，AC两边中点．求证：DE△BC，DE=BC．证明：延伸DE至点F，使EF=DE，衔接FC．…那么△ADE△△CFE．△…请你应用小亮的发现处置以下效果：〔1〕如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你协助小亮写出辅佐线作法并完成论证进程：〔2〕处置效果：如图⑤，在△ABC中，△B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF△EG，区分交BC于点F，G，过点A作MN△BC，区分与FD，GE的延伸线交于点M，N，那么四边形MFGN周长的最小值是________．21.如图，△1+△2=180°，△3=△B．〔1〕试判别△AED与△ACB的大小关系，并说明你的理由．〔2〕假定D、E、F区分是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE=4〔平方单位〕，求S△ABC．22.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F区分是AD、BC的中点，G、H区分是对角线BD、AC的中点．〔1〕求证：四边形EGFH是菱形〔2〕假定AB=，那么当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图，取CG的中点H，衔接EH，△E是AC的中点，△EH是△ACG的中位线，△EH△AD，△△GDF=△HEF，△F是DE的中点，△DF=EF，在△DFG和△EFH中，△△DFG△△EFH〔ASA〕，△FG=FH，S△EFH=S△DGF，又△FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，△S△CEF=3S△EFH，△S△CEF=3S△DGF，△S△DGF=×12=4〔cm2〕．应选：A．【剖析】取CG的中点H，衔接EH，依据三角形的中位线定理可得EH△AD，再依据两直线平行，内错角相等可得△GDF=△HEF，然后应用〝角边角〞证明△DFG和△EFH全等，依据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再依据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．2.【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：△D,E区分是AC,BC的中点，△DE是△ABC的中位线，那么DE＝AB，那么AB=2DE=2200m，应选B。
2021年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：一次函数与几何变换1(附答案)
2021年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：一次函数与几何变换1（附答案）1．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移两个单位长度后．得到的直线的函数关系式为（）A．y＝﹣2x+5B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+72．如图，直线l：与y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75°后，所得直线的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x﹣C．y＝﹣x+D．y＝x+3．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（）A．y＝2x﹣10B．y＝﹣2x+14C．y＝2x+2D．y＝﹣x+54．将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣25．将直线y＝﹣2x+1向上平移2个单位长度，所得到的直线解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝﹣2x﹣1C．y＝2x+3D．y＝﹣2x+36．将直线y＝﹣2x+1向下平移2个单位，平移后的直线表达式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x﹣1D．y＝﹣2x+37．将直线y＝x平移，使得它经过点（﹣2，0），则平移后的直线为（）A．y＝x﹣2B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣2D．y＝x+28．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．6D．129．把直线y＝2x﹣1向下平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A．y＝2x﹣2B．y＝2x+1C．y＝2x D．y＝2x+210．将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3 11．将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣112．在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，得到的直线的函数表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣5C．y＝2x+1D．y＝2x﹣113．将直线y＝2x+1向上平移3个单位后得到的解析式为．14．如果将直线y＝3x平移，使其经过点（0，﹣1），那么平移后的直线表达式是．15．把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为．16．将直线y＝2x﹣5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为．17．把直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位，得到的直线解析式是．18．在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3x+3图象向右平移5个单位长度，则平移后的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积为．19．将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是．20．将直线y＝﹣2x+3向下平移5个单位，得到直线．21．将直线y＝2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为．22．在平面直角坐标系中，把直线y＝x沿y轴向上平移后得到直线AB，如果点P（m，n）是直线AB上的一点，且m﹣n+8＝0，那么直线AB的函数表达式为．23．在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别（2，4），（﹣3，1）．（1）在平面直角坐标系中，描出点A；（2）若函数y＝mx的图象经过点A，求m的值；（3）若一次函数y＝kx+b的图象由（2）中函数y＝mx的图象经过平移，且经过点B得到，求这个一次函数的表达式，并在直角坐标系中画出该函数对应的图象．24．已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝2时，y＝﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴交点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出y＞0时，x的取值范围．25．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：x…﹣10123456…y……（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有（填正确答案的序号）．①函数图象关于y轴对称；②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，求b的值．26．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A，B两点．（1）在图中画出该一次函数并求其表达式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图形，并直接写出新函数图象对应的表达式．27．有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是；（2）如表是x与y的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值为；（3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称．小明得出的结论中正确的是．（只填序号）28．已知正比例函数的图象经过点A（2，3）；（1）求出此正比例函数表达式；（2）该直线向上平移3个单位，写出平移后所得直线的表达式，并画出它的图象．29．一次函数y＝2x+a的图象与x轴交与点（2，0），（1）求出a的值；（2）将该一次函数的图象向上平移5个单位长度，求平移后的函数解析式．30．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．31．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x、y轴分别相交于点A、B，此直线向下平移后与y轴相交于点C、与x轴相交于点D，四边形ABCD的面积为18．（1）求直线CD的表达式；（2）如果点E在直线CD上，四边形ABED是等腰梯形，求点E的坐标．参考答案1．解：直线y＝﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝﹣2x+3+2＝﹣2x+5，故选：A．2．解：由直线l：可知，直线与x轴的夹角为60°，∴与y轴的夹角为30°，∴直线l绕点A顺时针旋转75°后的直线与y轴的夹角为45°，∴旋转后的直线的斜率为1，∵直线l：与y轴交于点A，∴A（0，）．∴旋转后的直线解析式为：y＝x+，故选：D．3．解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，∵直线AB恰好过点（6，2），∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，故选：A．4．解：根据题意，得直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．故选：A．5．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x+1上平移2个单位长度后所得直线的解析式为：y＝﹣2x+1+2，即y＝﹣2x+3故选：D．6．解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣2x+1﹣2＝﹣2x﹣1，即．所得直线的表达式是y＝﹣2x﹣1．故选：C．7．解：设平移后直线的解析式为y＝x+b．把（﹣2，0）代入直线解析式得0＝﹣2+b解得b＝2所以平移后直线的解析式为y＝x+2．故选：D．8．解：设平移的距离为k（k＞0），则将一次函数y＝3x向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k）＝3x+3k．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k，0）、（0，3k）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：•3k＝24，解得k＝4或﹣4（舍去）．故选：A．9．解：根据题意，把直线y＝2x﹣1向下平移1个单位后得到的直线解析式为：y＝2x﹣1﹣1，即y＝2x﹣2，故选：A．10．解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．11．解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y＝3x﹣1．故选：B．12．解：由题意得：平移后的解析式为：y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1．故选：D．13．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x+1上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1+3，即y＝2x+4，故答案为：y＝2x+4．14．解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，解得b＝﹣1．所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．15．解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．16．解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+3，即y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．17．解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x+5向下平移2个单位后所得直线的解析式为：y＝﹣2x+5﹣2，即y＝﹣2x+3．故答案为：y＝﹣2x+3．18．解：根据题意知，平移后直线方程为y＝3（x﹣5）+3＝3x﹣12．所以A（4，0），B（0，﹣12）．故OA＝4，OB＝12．所以S△AOB＝OA•OB＝＝24．故答案是：24．19．解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1；故答案为y＝2x﹣1．20．解：原直线的k＝﹣2，b＝3．向下平移5个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝﹣2，b＝3﹣5＝﹣2．∴新直线的解析式为y＝﹣2x﹣2．故答案为：y＝﹣2x﹣2．21．解：直线y＝2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为y＝2x+2．故答案为y＝2x+2．22．解：设直线AB的解析式为y＝x+b．将（m，n）代入y＝x+b，得m+b＝n，则m﹣n+8＝0，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝x+8．故答案为y＝x+8．23．解：（1）点A（2，4），如图所示：（2）∵函数y＝mx的图象经过点A，∴4＝2m，∴m＝2；（3）由（2）可得经过点A的函数为y＝2x，∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x经过平移，且经过点B，∴，解得，∴这个一次函数的表达式为y＝2x+7，依题意画出图象如图所示；24．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴﹣3＝2k﹣4，则，∴，（2）图象向上平移6个单位长度，∴，当y＝0时，x＝﹣4，∴平移后的图象与x轴交点的坐标为（﹣4，0），（3）y＞0时，x的取值范围为x＞﹣4．25．解：（1）补充表格：x…﹣10123456…y…﹣2﹣1012222…画出函数图象如图所示：（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．故答案为②③；（3）直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，根据图象直线y＝+b经过点（3，2），∴2＝+b，∴b＝．26．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，5），B（﹣1，﹣1）两点，∴，得，即该一次函数的表达式是y＝3x+2；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝3x+2的图象上，∴﹣a＝3（a﹣3）+2，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝3x+2向下平移3个单位后可得：y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，图象如图：27．解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，故答案为：x为任意实数；（2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1，故答案为1；（3）画出函数的图象如图：；（4）由函数图象可知，①函数有最小值为0，正确；②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确；③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；．故答案为：①②③．28．解：（1）设正比例函数的解析式为y＝kx，把A（2，3），代入得到k＝，∴正比例函数的解析式为y＝x．（2）将直线y＝x向上平移3个单位，得直线y＝x+3，如图；29．解：（1）∵一次函数y＝2x+a的图象与x轴交与点（2，0），∴4+a＝0，解得a＝﹣4；（2）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移5个单位长度，得到y＝2x﹣4+5，即y＝2x+1，故平移后的函数解析式为y＝2x+1．30．解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝3x+1；（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3如图，解得，∴两直线的交点为A（1，4），∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为B（0，3），∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：AB＝＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+＝0，解得a＝；②当第三点在直l上时，2×＝a﹣3，解得a＝7；③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）＝，解得a＝；∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a 的值为或7或．31．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点，∴，解得，即该一次函数的表达式是y＝2x﹣1；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝2x﹣1的图象上，∴﹣a＝2（a﹣3）﹣1，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝2x﹣1向下平移3个单位后可得：y＝2x﹣1﹣3＝2x﹣4，图象如图：32．解：（1）∵直线y＝﹣x+8与x、y轴分别相交于点A、B，∴A（6，0）B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∴S△AOB＝＝24，四边形ABCD的面积为18．∴S△COD＝24﹣18＝6，∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴＝（）2，即＝，∴OC＝4，∴C（0，4），∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4；（2）作DM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∵四边形ABED是等腰梯形，∴AD＝BE，∠DAB＝∠EBA，∵∠DMA＝∠ENB＝90°，∴△ADM≌△BEN（AAS），∴AM＝BN，∵直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，∴D（3，0），∴OD＝3，∴AD＝6﹣3＝3，∵∠AMD＝∠AOB，∠DAM＝∠BAO，∴△ADM∽△ABO，∴＝，即，∴AM＝，∴BN＝AM＝，∴MN＝10﹣2×＝，∴ED＝MN＝，∵OD＝3，OC＝4，∴CD＝＝5，∴CE＝DE﹣CD＝﹣5＝，作EH⊥x轴于H，则EH∥OC，∴，即＝，∴OH＝，∴E的横坐标为﹣，把x＝﹣代入直线CD：y＝﹣x+4得y＝，∴点E的坐标为（﹣，）．。
2021年人教版中考数学一轮复习：有理数的混合运算 专项练习题(含答案)
2021年人教版中考数学一轮复习：有理数的混合运算专项练习题1．定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c 不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为（）A．4159B．6419C．5179D．61742．下列四个算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正确的算式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝9，那么a+b+c+d的值为（）A．0B．9C．8048D．80764．下列运算错误的是（）A．﹣3﹣（﹣3+）＝﹣3+3﹣B．5×[（﹣7）+（﹣）]＝5×（﹣7）+5×（﹣）C．[×（﹣）]×（﹣4）＝（﹣）×[×（﹣4）]D．﹣7÷2×（﹣）＝﹣7÷[2×（﹣）]5．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（）A．152B．19C．62D．316．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第449次“F运算”的结果是（）A．98B．88C．78D．687．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则若n＝898，则第898次“F运算”的结果是（）A．488B．1C．4D．88．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则|m|﹣c×d+的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣3D．或9．已知“!”是一种运算符号，并且1!＝1，2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，…，则＝．10．按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为．11．按如图所示程序计算，若开始输入的x值为6，我们第一次发现得到的结果为3，第二次得到的结果为10，第三次得到的结果为5，…请你探索第2020次得到的结果为．12．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为﹣4，则输出的值为．13．定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7，那么（1）若（﹣2）☆b＝﹣16，那么b＝；（2）若a☆b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+by+5﹣2a＝0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为．14．在如图所示的运算流程中，若输入的数x＝﹣4，则输出的数y。
2021年春人教版河北省数学中考《实数的运算及大小比较》专题复习(Word版附答案)
实数的运算及大小比较一、中考题回顾1．(2016·河北中考)点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b .对于以下结论：甲：b －a <0; 乙：a ＋b >0；丙：|a |<|b |; 丁：b a >0.其中正确的是( )A ．甲乙B ．丙丁C ．甲丙D ．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p ，q ，我们用符号最小{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如最小{1，2}＝1.因此，最小{－2 ，－3 }＝ ；若最小{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ ．3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是( )A ．(－3)2B ．－3÷2C ．0×(－2 017)D ．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝( )A ．±1B ．－2C ．－1D ．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝( )A ．5B ．1C ．－1D ．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )A ．4＋4－4 ＝6B ．4＋40＋40＝6C ．4＋34＋4 ＝6D ．4－1÷4 ＋4＝67．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是( )A ．9 ＝±3B ．3－8 ＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝128．(2016·河北中考)8的立方根为 ．9．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1 2 6 9”中的每个 内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×6 9＝－6，请推算 内的符号；(3)在“1 2 6－9”的 内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．10．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．11．(2017·河北中考)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p.(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p 又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p.12．(河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：(1)999×(－15)；(2)999×11845 ＋999×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15 －999×1835 .二、考点解析实数的运算【例1】(1)4的平方根是 ； (2)3－27 的绝对值是 ；(3)|－9|的平方根是 ．【例2】(2020·石家庄市模拟)计算： 181＋3－27 ＋（－2）2 ＋(－1)2 020. 1．(2020·衡阳中考)下列各式中正确的是( )A ．－|－2|＝2B ．4 ＝±2C ．39 ＝3D ．30＝12．(2020·邢台市模拟)若4是数a 的平方根．则a ＝ .3．(2020·河北中考样题)若正数m 的平方根为x ＋1和x －3，则m ＝ ．4．计算：|2 －1|＋2sin 45°－8 ＋tan 260°.实数的大小比较【例3】(2020·遵化市模拟)下列实数中最大的是()A．32B．|－5|C．15D．π5．(2020·石家庄市模拟)在－3，－1，1，3四个数中，比2大的数是() A．－3 B．－1C．1 D．3,6．(2020·邢台市一模)若a表示正整数，且15.1＜a＜332，则a的值是()A．3 B．4 C．15 D．167．(2020·枣庄中考)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是()A．|a|＜1 B．ab＞0C．a＋b＞0 D．1－a＞1与数轴有关的运算【例4】(2020·唐山市一模)如图，数轴上A，B，C，D，E五个点表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且a＋e＝0，则下列说法：①点C表示的数是0；②b＋d＝0；③e＝－2；④a＋b＋c＋d＋e＝0.正确的有()A．都正确B．只有①③正确C．只有①②③正确D．只有③不正确8．(2020·邯郸丛台区一模)如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a＋3|＋(c－5)2＝0.(1)a ＝________，b ＝________，c ＝________；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，则点B 与数________表示的点重合；(3)点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t s 过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，则AB ＝________，BC ＝________；(用含t 的代数式表示)(4)请问：3BC －AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．实数的运算及大小比较一、中考题回顾1．(2016·河北中考)点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b .对于以下结论：甲：b －a <0; 乙：a ＋b >0；丙：|a |<|b |; 丁：b a >0.其中正确的是(C )A ．甲乙B ．丙丁C ．甲丙D ．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p，q，我们用符号最小{p，q}表示p，q两数中较小的数，如最小{1，2}＝1.因此，最小{－2，－3}＝－3；若最小{(x－1)2，x2}＝1，则x＝－1或2．3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D)A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C ．4＋34＋4 ＝6D ．4－1÷4 ＋4＝67．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是(D )A ．9 ＝±3B ．3－8 ＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝128．(2016·河北中考)8的立方根为2．9．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1 2 6 9”中的每个 内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×6 9＝－6，请推算 内的符号；(3)在“1 2 6－9”的 内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴3 9＝－6. ∴ 内的符号是“－”；(3)－20.10．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x.解得x＝－5；应用与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15；发现4k－1.11．(2017·河北中考)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p.(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p 又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p.解：(1)若以B为原点，则点A，C分别对应－2，1，∴p＝－2＋0＋1＝－1；若以C为原点，则点A，B分别对应－3，－1，∴p＝－3－1＋0＝－4；(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则点A，B，C分别对应－31，－29，－28，∴p ＝－31－29－28＝－88.12．(河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：(1)999×(－15)；(2)999×11845 ＋999×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15 －999×1835 . 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15)＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11845＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.二、考点解析实数的运算【例1】(1)4的平方根是±2；(2)3－27 的绝对值是3；(3)|－9|的平方根是±3．【例2】(2020·石家庄市模拟)计算：181＋3－27＋（－2）2＋(－1)2 020.1．(2020·衡阳中考)下列各式中正确的是(D) A．－|－2|＝2 B．4＝±2C．39＝3 D．30＝12．(2020·邢台市模拟)若4是数a的平方根．则a＝16. 3．(2020·河北中考样题)若正数m的平方根为x＋1和x－3，则m＝4．4．计算：|2－1|＋2sin 45°－8＋tan260°.解：原式＝2－1＋2×22－22＋(3)2＝2－1＋2－22＋3＝2.实数的大小比较【例3】(2020·遵化市模拟)下列实数中最大的是(B)A．32B．|－5|C．15D．π5．(2020·石家庄市模拟)在－3，－1，1，3四个数中，比2大的数是(D) A．－3 B．－1C．1 D．3,6．(2020·邢台市一模)若a表示正整数，且15.1＜a＜332，则a的值是(B)A．3 B．4 C．15 D．167．(2020·枣庄中考)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是(D)A．|a|＜1 B．ab＞0C．a＋b＞0 D．1－a＞1与数轴有关的运算【例4】(2020·唐山市一模)如图，数轴上A，B，C，D，E五个点表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且a＋e＝0，则下列说法：①点C表示的数是0；②b＋d＝0；③e＝－2；④a＋b＋c＋d＋e＝0.正确的有(D)A．都正确B．只有①③正确C．只有①②③正确D．只有③不正确8．(2020·邯郸丛台区一模)如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a＋3|＋(c－5)2＝0.(1)a＝________，b＝________，c＝________；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数________表示的点重合；(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t s 过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝________，BC＝________；(用含t的代数式表示)(4)请问：3BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解：(1)－3；－1；5；(2)3；[a＋c－b＝－3＋5－(－1)＝3.](3)3t＋2；t＋6；[t s过后，点A表示的数为－t－3，点B表示的数为2t－1，点C表示的数为3t＋5，∴AB＝(2t－1)－(－t－3)＝3t＋2，BC＝(3t＋5)－(2t－1)＝t＋6.](4)不变．∵AB＝3t＋2，BC＝t＋6，∴3BC－AB＝3(t＋6)－(3t＋2)＝3t＋18－3t－2＝16.∴3BC－AB的值为定值16.。
2021年中考数学总复习：专题24 矩形
2021年中考数学总复习：专题24 矩形问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）【例题1】（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x【对点练习】（2019•贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【例题2】（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为．【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为．【例题3】（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．【对点练习】（2019•湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O 的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．一、选择题1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13.（2019•广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10 D．84．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．5.（2019湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题6．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）．，⑤√3．①√2，②1，③√2−1，④√327．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．8．（2020•黔东南州）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC =√2，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝ ．9.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．10.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一动点，且S △PAB ＝12S △PCD ，则PC ＋PD 的最小值是________．11.（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 为斜边BC 上的一个动点，过D 分别作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 .12.（2019•湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于DA B PB D M NCA点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．14．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．15.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是_______．三、解答题16．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．17．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．18．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．19．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
2021年中考数学总复习 直线形综合 类比探究型专题训练(不用相似)(含答案与解析)
类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ，∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQcos ∠DEP ＝2√33， ∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ．∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°，∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA ＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP ＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE⊥CG，理由如下：延长线段AE、GC交于点H，∵AD∥BC，∴∠CEH＝∠DAE，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ； （2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64， ∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°，∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°，∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ，∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）； 若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ，∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ， ∵∠ABC ＝90°，∴BH ⊥HE ，BH ＝12ME ＝HE ；（2）结论仍然成立．BH ⊥HE ，BH ＝HE ．理由如下：延长EH 交BA 的延长线于点M ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ABE ＝∠BEF ＝90°，AB ＝BC ，AB ∥CD ∥EF ，CE ＝FE ，∴∠HAM ＝∠HFE ，∴△AHM ≌△FHE （ASA ），∴HM ＝HE ，AM ＝EF ＝CE ，∴BM ＝BE ，∵∠ABE ＝90°， ∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝EH ；（3）延长EH 到M ，使得MH ＝EH ，连接AH 、BH ，如图3所示：同（2）得：△AMH ≌△FEH （SAS ），∴AM ＝FE ＝CE ，∠MAH ＝∠EFH ， ∴AM ∥BF ，∴∠BAM +∠ABE ＝180°，∴∠BAM +∠CBE ＝90°，∵∠BCE +∠CBE ＝90°∴∠BAM ＝∠BCE ，∴△ABM ≌△CBE （SAS ），∴BM ＝BE ，∠ABM ＝∠CBE ，∴∠MBE ＝∠ABC ＝90°，∵MH ＝EH ，∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝MH ＝EH ，在Rt △CBE 中，BE ＝√CB 2−CE 2＝12，∵BH ＝EH ，BH ⊥EH ，∴BH ＝√22BE ＝6√2．12．解：（1）GF ＝GC ．理由如下：如图1，连接GE ， ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴∠EFG ＝90°，∴Rt △GFE ≌Rt △GCE （HL ），∴GF ＝GC ； （2）设GC ＝x ，则AG ＝4+x ，DG ＝4﹣x ， 在Rt △ADG 中，62+（4﹣x ）2＝（4+x ）2， 解得x ＝94．∴GC ＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠B ＝∠AFE ，∴EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵矩形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ， ∵∠ECD ＝180°﹣∠D ，∠EFG ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠B ＝180°﹣∠D ，∴∠ECD ＝∠EFG ，∴∠GFC ＝∠GFE ﹣∠EFC ＝∠ECG ﹣∠ECF ＝∠GCF ，∴∠GFC ＝∠GCF ，∴FG ＝CG ；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE ＝CE ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ，∴BD ∥CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DF ＝BC ，DF ∥BC ， （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，即∠ABE +∠CBE ＝90° ∵△BEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝2BE ＝2BH ，∠BEH ＝∠BHE ＝45°， ∠EBH ＝90°，即∠CBH +∠CBE ＝90° ∴∠ABE ＝∠CBH ， ∴△ABE ≌△CBH （SAS ）， ∴AE ＝CH ，∠AEB ＝∠CHB ，∴∠CHE ＝∠CHB ﹣∠BHE ＝∠CHB ﹣45°＝∠AEB ﹣45°， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴EF ＝HC ，∠FEH ＝360°﹣∠AEF ﹣∠AEB ﹣∠BEH ＝225°﹣∠AEB ， ∴∠CHE +∠FEH ＝∠AEB ﹣45°+225°﹣∠AEB ＝180°， ∴EF ∥HC 且 EF ＝HC ， ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴CF ＝EH ＝√2BE ；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。
2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)
二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2y －12 －5 0 3 4 3利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是 ．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①② B．③④ C．②③ D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是()A．①③ B．② C．②④ D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2 2 ＋b24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 . ∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式 例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25 x2＋25 x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：a>0，a<0，a>0，a<0，(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①② B．③④ C．②③ D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a ＋c＝－a＋c＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③ B．② C．②④ D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92 ；(2)图中阴影部分的面积为272 ． 二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．解：(1)将点(1，k＋6)代入y＝mx2＋2mx＋k，解得m＝2；(2)当m＝2时，y＝mx2＋2mx＋k＝2x2＋4x＋k.令y＝0，即2x2＋4x＋k＝0.由题意，得Δ＝b2－4ac＝16－8k≥0.解得k≤2.又k为正整数，且k＝1时，方程没有整数解，故舍去．∴k＝2；(3)在m＝2，k＝2时，y＝2x2＋4x＋2，向下平移8个单位，平移后M的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
2021年河北省中考复习数学《相似三角形》专题复习(人教版)(Word版附答案)
节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是 个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。
2021年九年级中考数学复习 专题汇编：与圆有关的位置关系(含答案)
2021中考数学专题汇编：与圆有关的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°5. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤298. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A. 12B.22C.32D.339. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm10. (2019•仙桃)如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD∥OC，直线⊥；CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是O的切线；②CO DB⋅=⋅．其中正确结论的个数有③EDA EBD△∽△；④ED BC BO BEA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.12. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．13. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A 外．14. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE 是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．18. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题） 19. 2018·邵阳 如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线．20. 2019·天津如图，已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C为⊙O 上一点．(1)如图①，求∠ACB 的大小；(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D.若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．21. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).22. 2018·北京 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d (M ，N )．已知点A (－2，6)，B (－2，－2)，C (6，－2)． (1)求d (点O ，△ABC )；(2)记函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象为图形G .若d (G ，△ABC )＝1，直接写出k 的取值范围；(3)⊙T 的圆心为T (t ，0)，半径为1.若d (⊙T ，△ABC )＝1，直接写出t 的取值范围．2021中考数学 专题汇编：与圆有关的位置关系-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】A[解析]连接DO ，∵AD ∥OC ，∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC ，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°2＝65°.解图5. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA ＝12＋22＝ 5.因为OE ＝2＜OA ，所以点E 在⊙O 内； OF ＝2＜OA ，所以点F 在⊙O 内； OG ＝1＜OA ，所以点G 在⊙O 内； OH ＝22＋22＝2 2＞OA ， 所以点H 在⊙O 外． 故选A.6. 【答案】C [解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】B[解析] 如图，∵AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ，∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．8. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.9. 【答案】B [解析] 如图，连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于点F . ∵△ABC 为等边三角形，边长为4 cm ， ∴△ABC 的高为2 3 cm ，∴OC ＝ 3 cm. 又∵⊙O 与BC 相切于点C ，∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.在Rt △OFC 中，可得FC＝32 cm ， ∴CE ＝2FC ＝3 cm.10. 【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒， ∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确， ∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒， ∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△，∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】1613. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO ＝DO.设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO＝22＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙A外．14. 【答案】BD＝CD或AB＝AC(答案不唯一)[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．15. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.17. 【答案】0<DO<33或2 33<DO<3[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.18. 【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：连接OC.∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．20. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB ＝12∠AOB ＝50°.(2)如图②，连接CE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE ＝90°.∵∠ACB ＝50°，∴∠BCE ＝90°－50°＝40°，∴∠BAE ＝∠BCE ＝40°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝70°，∴∠EAC ＝∠ADB －∠ACB ＝20°.21. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.22. 【答案】解：(1)如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，∴d (点O ，△ABC )＝2.(2)如图，函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段． 当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(1，－1)时，k ＝－1，此时d (G ，△ABC )＝1；当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k ＝1，此时d (G ，△ABC )＝1.∴－1≤k≤1.又∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如图，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4.②当⊙T在△ABC的内部时，当点T与原点重合时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T3M＝2.∵AB＝BC＝8，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D＝2 2，∴t＝4－2 2.故此时0≤t≤4－2 2.③当⊙T在△ABC的右侧时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T4N＝2.∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D＝2 2，∴t＝4＋2 2.综上，t＝－4或0≤t≤4－2 2或t＝4＋2 2.。
2021年人教版数学中考第一轮专题练习 线段中点的模型应用
线段中点的模型应用类型1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形) 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，延长BF 交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.类型2 已知等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长．类型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，分别交AC，BD于点N，M，试判断△OMN的形状．类型4 已知直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边的中线) 已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，求证：AB＝2DM.1．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．2．(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可求出中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；图①图②图③(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C 为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点E是BA延长线上的一点，点F是AC上的一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF.(1)若∠ABC＝50°，求∠AEF的度数；(2)求证：AD∥EG.4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，求证：∠BME＝∠CNE.5．【感知】如图①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 分别作AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN ，易证：MN ＝12(AB ＋BC ＋AC)(不需要证明)；【探究】如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的两个内角的平分线，且AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN.试猜想MN 与边AB ，AC 和BC 之间的数量关系，并证明你的结论；【应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，射线BE平分∠ABC，AM⊥BE于点M，连接MD，延长BC至点F，若∠DCF＝∠ACD＝75°，AB＝2，直接写出MD的长度．图①图②图③6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.(1)求证：CG＝EG；(2)已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．7．如图①，已知在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE；(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)当∠A变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，请说明理由．图①图②参考答案【例1】证明：如图，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDF 和△CDG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠BDF＝∠CDG DF ＝DG ，， ∴△BDF≌△CDG(SAS)， ∴BF＝CG ，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF ，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG， ∴AC＝CG ，∴BF＝AC. 【例2】解：如图，连接AM.∵AB＝AC ，点M 为BC 的中点， ∴AM⊥BC，BM ＝CM ＝3，∴根据勾股定理，得AM ＝AB 2－BM 2＝52－32＝4. ∵S △AMC ＝12MN·AC＝12AM·MC，∴MN＝AM·CM AC ＝4×35＝125.【例3】解：△OMN 是等腰三角形，理由如下： 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，∵E 是AB 的中点，H 是BC 的中点，∴EH 平行且等于12AC.同理可证FH 平行且等于12BD.∵AC＝BD ，∴HE＝HF ，∴∠HEF＝∠HFE.又∵EH∥AC，FH∥BD，∴∠HEF＝∠ONM，∠OMN＝∠HFE， ∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴△OMN 是等腰三角形．【例4】证明：如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M，N 分别为BC ，AC 的中点， ∴MN 为△ABC 的中位线， ∴MN＝12AB ，MN∥AB，∴∠B＝∠NMC. ∵∠B＝2∠C， ∴∠NMC＝2∠C.又∵∠NMC 为△DMN 的外角， ∴∠NMC＝∠MDN＋∠MND＝2∠C. ∵DN 为Rt△ADC 斜边上的中线， ∴DN＝NC ＝AN ＝12AC ，∴∠MDN＝∠C，∴∠MND＝∠C＝∠MDN， ∴DM＝MN ＝12AB ，∴AB＝2DM. 1.解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ， 在△ABD 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，∠ADB＝∠EDC BD ＝CD ，， ∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE ＝5，AD ＝DE ＝6，∴AE＝12. 在△AEC 中，∵AC＝13，AE ＝12，CE ＝5， ∴AC 2＝AE 2＋CE 2， ∴∠E＝90°，∴由勾股定理，得CD ＝DE 2＋CE 2＝62＋52＝61， ∴BC＝2CD ＝261， ∴BC 的长是261.2．(1)解：将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，∴AD＝DE ，BE ＝AC ＝5.∵在△ABE 中，AB －BE<AE<AB ＋BE ，即3<AE<13， ∴3＜2AD ＜13，∴1.5<AD<6.5.(2)证明：如图①，延长FD 至点N ，使DN ＝DF ，连接BN ，EN ，在△CDF 和△BDN 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧FD ＝ND ，∠CDF＝∠BDN CD ＝BD ，， ∴△CDF≌△BDN(SAS)，∴BN＝FC. ∵DF＝DN ，DE⊥DF，∴EF＝EN.在△EBN 中，∵BE＋BN>EN ，∴BE＋CF>EF.(3)BE ＋DF ＝EF ，理由如下：如图②，延长AB 至点H ，使BH ＝DF ，连接CH.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠HBC＋∠ABC＝180°， ∴∠HBC＝∠D. 在△CBH 和△CDF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BH ，∠D＝∠CBH CD ＝CB ，， ∴△CBH≌△CDF(SAS)，∴CH＝CF ，∠HCB＝∠FCD.又∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE＋∠FCD＝50°， ∴∠ECH＝∠BCE＋∠HCB＝50°＝∠ECF. 在△HCE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CH ，∠ECF＝∠ECH CE ＝CE ，，∴△HCE≌△FCE(SAS)，∴EH＝EF ，即BE ＋BH ＝EF ，∴BE＋DF ＝EF.3．(1)解：∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－50°－50°＝80°.又∵点D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×80°＝40°. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD＝40°.(2)证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG.4．证明：如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE ，HF ，∵E，F ，H 分别是BC ，AD ，BD 的中点，∴FH∥AB 且FH ＝12AB ，EH∥CD 且EH ＝12CD ， ∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF.又∵AB＝CD ，∴FH＝EH ，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.5．解：【感知】如图①中，设AM 的延长线交CB 的延长线于点J ，AN 的延长线交BC 的延长线于点K.∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMJ＝90°.又∵∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠J，∴BA＝BJ.同理可证CA ＝CK ，又∵BD⊥AJ，CE⊥AK，∴AM＝MJ ，AN ＝NK ，∴MN＝12JK ＝12(JB ＋BC ＋CK)＝12(AB ＋BC ＋AC)． 【探究】结论：MN ＝12(AB ＋AC －BC)．证明如下：如图②中，延长AM 交BC 于点F ，延长AN 交BC 于点G. ∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMF＝90°.又∵∠ABM＝∠FBM，∴∠BAM＝∠BFM，∴BA＝BF.同理可证CA ＝CG ，又∵AM⊥BD，AN⊥CE，∴AM＝MF ，AN ＝NG ，∴MN＝12FG ＝12(BF ＋CG －BC)＝12(AB ＋AC －BC)． 【应用】DM 的长度为1＋ 3.提示：如图③中，延长AM 交BC 于点J ，延长AD 交BC 的延长线于点K ，由题意得∠ACB＝180°－∠ACD－∠DCF＝30°.又∵∠ABC＝90°，AB ＝2，∴AC＝2AB ＝4，BC ＝3AB ＝2 3.∵AM⊥BE，∴∠AMB＝∠JMB＝90°.又∵BE 平分∠ABJ，∴∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠BJM，∴AB＝BJ.同理可证AC ＝KC ，又AM⊥BE，CD⊥AK，∴AM＝JM ，AD ＝KD ，∴DM＝12JK ＝12(CK ＋BC －BJ)＝12(AC ＋BC －AB)＝12×(4＋23－2)＝1＋ 3. 6．(1)证明：如图，连接DE.∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ADB 中，∵点E 是AB 的中点，∴DE＝12AB ＝AE.∵CD＝AE ，∴DE＝DC.又∵DG⊥CE，∴CG＝EG.(2)解：如图，过点E 作EF⊥BC 于点F.∵BC＝13，CD ＝5，∴BD＝BC －CD ＝13－5＝8.∵DE＝BE ，EF⊥BC，∴DF＝BF ＝4， ∴EF＝DE 2－DF 2＝52－42＝3，∴S △EDC ＝12CD·EF＝12×5×3＝7.5. 7．(1)证明：如图①，连接DM ，ME.∵在△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴CD⊥AB，BE⊥AC.图①又∵M 是BC 的中点，∴DM＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM＝ME.又∵N 为DE 的中点，∴MN⊥DE.(2)解：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠BMD＋∠CME＝(180°－∠ABC－∠BDM)＋(180°－∠ACB－∠CEM)＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，∴∠DME＝180°－2∠A.(3)解：结论(1)成立，结论(2)不成立，理由如下：如图②，结论(1)的证法同(1)，结论(2)不成立．理由如下：图②在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠CMD＝∠ABC＋∠BDM＝2∠ABC，∠BME＝∠ACB＋∠CEM＝2∠ACB，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC，∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.。
人教版2021中考数学总复习 专题8 计算题(3)——解方程(组)和不等式(组)
3. 解方程组： x－y=3， 3x－y=1.
x－y=3，① 解：
3x－y=1.② ②-①，得2x=-2.
解得x=-1， 把x=-1代入①，得-1-y=3. 解得y=-4.
x=－1, ∴原方程组的解为 y=－4.
4.
解方程组：
3x+5y=50, 2x+3y=31.
解： 3x+5y=50,① 2x+3y=31.②
专题训练
专题8 计算题（3）——解方程（组）和不等式（组）
1. 解方程：x-2（x-4）=3（1-x）.
解：去括号,得x-2x+8=3-3x. 移项、合并同类项，得2x=-5. 系数化为1，得x=
2. 解方程：
解：去分母，得4-3x+1=6+2x. 移项、合并同类项得，-5x=1. 系数化为1，得x=
3x－4>2(x－ 12. 解不等式组
3), 3x－4>2(x－3),①≥x, 解：
≥x.②
解不等式①，得x＞-2．
并写出它的所有非负整数解．
解不等式②，得x≤2． ∴原不等式组的解集为-2＜x≤2． ∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
谢谢
7. 解不等式3（x+2）+1＜13，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去括号，得3x+6+1＜13. 移项、合并同类项，得3x<6. 系数化为1，得x<2. 这个不等式的解集在数轴上表示如答图ZT8-1.
8. 解不等式x-3＜ +1,并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得2x-6＜x-5+2. 移项、合并同类项，得x<3. 这个不等式的解集在数轴上表示如答图ZT8-2.
2021年中考数学考点复习专题-【一元二次方程】专项提升训练
2021中考数学复习专题【一元二次方程】专项提升训练一．选择题1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4、5、81B．4、﹣5、81C．4、﹣5、﹣81D．﹣4、﹣5、﹣812．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A．6人B．7人C．8人D．9人3．关于x的方程3x2﹣2mx＝15，有一个根为3，则m的值等于（）A．2B．﹣C．﹣2D．4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣925．对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根6．一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣且k≠0B．k≥﹣1C．k≤﹣1且k≠0D．k≥﹣1或k≠07．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，则另一根和k的值分别为（）A．x＝﹣3，k＝﹣3B．x＝3，k＝﹣3C．x＝3，k＝3D．x＝﹣3，k＝38．已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．B．4C．D．9．已知关于x的方程x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，则k的值为（）A．3B．6C．﹣6D．±610．如果x＝4是关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的一个根，则另一个根是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝1D．与p有关，不能确定二．填空题11．方程（2x﹣3）x＝3（2x﹣3）的根是．12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是．13．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1，x2满足，则m＝．15．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为．三．解答题16．按照要求解方程（1）x2+2x﹣2＝0（公式法）；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0（因式分解法）．17．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围：（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．18．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留2米宽的小门EF（不用篱笆），设AD长为x米，AB长为y米．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．19．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？20．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝﹣2．”（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝5x+81，整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．故选：C．2．解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝42，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．故选：B．3．解：∵关于x的方程3x2﹣2mx＝15的一个根是3，∴3×32﹣6m＝15，解得m＝2．故选：A．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．6．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝4+8k≥0，k≠0，解得：k≥﹣且k≠0，故选：A．7．解：当x＝1时，1+k﹣1﹣3＝0，解得：k＝3，则x2+2x﹣3＝0，设方程x2+2x﹣3＝0的解为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣2，∵x1＝1，∴x2＝﹣3．∴另一根和k的值分别为x＝﹣3，k＝3．故选：D．8．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤，∴m+n的最大值为，9．解：∵（x﹣m）2＝0，∴x2﹣2mx+m2＝0，∵x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，∴m2＝9，则m＝±3，∴k＝2m＝±6，故选：D．10．解：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，x2﹣5x+6﹣p2＝0，设方程的另一个解为x＝t，根据题意得4+t＝5，解得t＝1，∴另一个根是x＝1．故选：C．二．填空题11．解：移项得，（2x﹣3）x﹣3（2x﹣3）＝0，分解因式得：（2x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝，x2＝3．故答案为：x1＝，x2＝3．12．解：设该店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．故答案是：20%．13．解：∵y2﹣y﹣＝0，∴y2﹣y+＝1，∴（y﹣）2＝1，故答案为（y﹣）2＝1．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），∵x12+x22＝14，∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∴p＝﹣3，q＝8，则p+q＝﹣3+8＝5，故答案为：5．三．解答题16．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝＝﹣1，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1＝，x2＝8．17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，∴k的取值范围为k≤8；（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣2，∴＝x1x2﹣2，∴＝k+1﹣2，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，∴k1＝11，k2＝﹣11，∵k≤8，∴k＝﹣11．18．解：（1）∵AD＝BC＝x米，AB+AD+BC＝34+2＝36（米），∴AB＝（36﹣2x）米．∵，∴9≤x≤17．（2）依题意，得：x（36﹣2x）＝160，整理，得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．19．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2＝256，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低y元，则每天可售出（200+45y）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣y）（200+45y）＝2125，整理，得：9y2﹣50y+25＝0，解得：y1＝5，y2＝．∵要尽量减少库存，∴y＝5．答：售价应降低5元．20．解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：∵x2+2x﹣8＝0，∴x2+2x＝8，∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，则x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x1＝2，x2＝﹣4；（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，∴x2+2nx＝8n2，∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，∴（x+n）2＝9n2，∴x+n＝±3n，∴x1＝2n x2＝﹣4n．。
人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《中考数学与图形折叠问题突破与提升策略》专练
人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《中考数学与图形折叠问题突破与提升策略》专练一．选择题.1. 如图，在四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD ∠=∠=︒，3AB =，BC =，把Rt ABC ∆沿着AC 翻折得到Rt AEC ∆，若tan AED ∠=，则线段DE 的长度为（ ）D. 52. 如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）C. D. 3. 如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A'、D 点的对称点为D'，若∠FPG ＝90°，S △A ′EP ＝8，S △D ′PH ＝2，则矩形ABCD 的长为（ ）A ．6+10B ．6+5C ．3+10D ．3+54. 如图，将矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的A '处．若24DBC ∠=︒，则A EB '∠等于( )A ．66︒B ．60︒C ．57︒D ．48︒5. 如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，点E 在边BC 上，将ABE ∆沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若EAC ECA ∠=∠，则AC 的长是( )A ．．4 C ．5 D ．66.如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上 的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）A ．12B ．920C ．25D ．137.如图,在已知的△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以B,C 为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN 交AB 于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB 的度数为 ( )A.90°B.95°C.100°D.105°8. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后 再次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若 直线BA '交直线CD 于点O ，5BC =，1EN =，则OD 的长为( )AB C D 9. 如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ＝2cm ，底边BC ＝6cm ， ∠B ＝45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF ＝30°，则AF 的长 为（ ）A ．lcmB ．√63cmC ．（2√3−3）cmD ．（2−√3）cm二．填空题.10. 如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F.若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为 .11. 矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为 厘米.12. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再 一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，已知BC ＝2，则线段EG的长度为 ．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线 BD 的距离为 ．14. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接AB '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13 ．15. 如图,点P 是∠AOB 外一点,点M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于OB 的对称点R 落在线段MN 的延长线上.若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,则线段QR 的长为 .16.如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是 ．17. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是________．18. 如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿DE 折叠，点C 恰 好落在对角线BD 上的点F 处，若AB ＝3，则BF 的长为________．三．解答题.19. 在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE ∆∆（2）若4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．17. 在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．18. 综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC 边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．。
2021-2022学年人教版九年级数学中考专题复习之轴对称确定最短路径专题训练(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学中考专题复习之轴对称确定最短路径专题训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．32．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．83．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B ＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（）A．124°B．68°C．60°D．56°4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝9，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为9，则∠AOB＝°．5．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF ＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为．6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y 轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．7．如图，在正方形ABCD中，点M，N在CB，CD上运动，且∠MAN＝45°，在MN上截取一点G，满足BM＝GM，连接AG，取AM，AN的中点F，E，连接GF，GE，令AM，AN交BD于H，I两点，若AB＝4，当GF+GE的取值最小时，则HI的长度为．8．如图，在正方形ABCD中，E，F为AD和BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则图中线段的长等于AP+EP最小值的是．9．如图，已知AB＝8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在AB同侧作正方形APDC、PBFE，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值为．10．如图，正方形ABOD的边长为4，OB在x轴上，OD在y轴上，点A在第二象限内，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F，过点C作CE⊥DF 于点C，交x轴于点E，则点E坐标为，点P是直线CE上的一个动点，当点P的坐标为时，PB+PF有最小值．11．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则（DM+DN）2的最小值为．13．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．14．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）四边形BCC1B1的面积为．15．尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点A，点B和直线l．（1）在直线l上求作一点P，使P A+PB最短；（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明P A+PB ＜QA+QB．16．如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形P ABQ的周长最小．17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．18．在一平直的河岸l同侧有A、B两村．A村位于河流l正南4km，B村位于A村东8km 南7km处．现要在河岸边建一水厂C为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道长度．19．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．（1）求BC的长；（2）在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，直接写出PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．20．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．21．如图，在Rt△AOC中，∠A＝30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC为一边作等腰直角△ACP，使得点P在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P的坐标；（2）在△AOC内部存在一点Q，使得AQ、OQ、CQ之和最小，请求出这个和的最小值．22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．23．如图．（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；（3）在y轴上确定一点P，使P A+PB最短．（只需作图保留作图痕迹）24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD 平分∠BAC．（1）求∠B的度数；（2）求证：CD＝BC；（3）若AC＝2，点P是直线AD上的动点，求|PB﹣PC|的最大值．参考答案1．解：作点A关于BD的对称点M，∵BD平分∠ABC，∴M落在BC上．∴BM＝BA＝4，过M作MF⊥AB于F，交BD于E，则AE+EF的最小值是MF的长．∵∠MFB＝∠CAB＝90°，∴MF∥CA，∴MF＝2.4，∴AE+EF＝MF＝2.4．故选：B．2．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∵AB＝3，AC＝4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．故选：C．3．解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC 于M，此时，△DMN的周长最小，∵AB⊥AD，BC⊥DC，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝56°，∴∠ADC＝124°，设∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），∴α+2（124°﹣α）＝180°，解得：α＝68°，故选：B．4．解：作P点关于OB的对称点P'，连接OP'，作点P关于OA的对称点P''，连接OP''，连接P'P''与OB交于N，与OA交于M，∵PN＝P'N，P''M＝PM，∴PN+PM+MN＝P'P''，此时△PMN周长的最小，∵△PMN周长的最小值为9，∴P'P''＝9，∵OP'＝OP，∠P'ON＝∠PON，ON＝ON，∴△OP'N≌△OPN（SAS），∴PO＝OP'，同理可证，△OP''M≌△OPM（SAS），∴PO＝OP''，∴OP'＝OP''，∴△OP'P''是等边三角形，∴∠P'OP''＝60°，∴∠MON＝30°，故答案为30．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC+∠FCD＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B 的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交半圆O于F，则线段B'F的长即为BE+EF的长度最小值，OF＝3，∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴OC'＝9，∴B'O＝＝＝3，∴B'F＝3﹣3，∴EB+FE的长度最小值为3﹣3，故答案为：3﹣3．6．解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．7．解：如图1中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ，则AN＝AJ，∠DAN＝∠BAJ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAB+∠BAJ＝∠MAB+∠DAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAN，∵AM＝AM，AJ＝AN，∴△AMJ≌△AMN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，∵MA＝MA，MB＝MG，∴△MAB≌△MAG（SAS），∴AB＝AG＝4，∠ABM＝∠AGM＝90°，∵AF＝FM，AE＝EN，∴FG＝AM，EG＝AN，∴GF+GE＝（AM+AN），下面证明当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图2中，过点A在直线l∥MN，作点N 关于直线l的对称点N′，连接AN′，MN′．∵N，N′关于直线对称，∴AN＝AN′，∴AM+AN＝AN′+AM，∴当A，M，N′共线时，AM+AN的值最小，此时∵AN＝AN′，∴∠ANN′＝∠AN′N，∵MN∥直线l，NN′⊥直线l，∴NN′⊥MN，∴∠MNN′＝90°，∴∠AMN+∠AN′N＝90°，∠ANM+∠ANN′＝90°，∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM，∴当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图1中，当AM＝AN时，可知BH＝DI，过点H作HP⊥AB于P，在AP上截取一点K，使得AK＝KH，连接KH，设PH＝PB＝x，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，KA＝KH，∴∠KAH＝∠KHA＝22.5°，∴∠PKH＝∠KAH+∠KHA＝45°，∴PK＝PB＝PH＝x．AK＝KH＝x，∵AB＝4，∴2x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BH＝DI＝PB＝4﹣4，∵BD＝4，∴HI＝4﹣2（4﹣4）＝8﹣4，故答案为8﹣4．8．解：连接CE，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于对角线BD对称，∴AP＝PC，∴AP+EP＝PC+EP≥EC，∴当AP+EP＝EC时，AP+EP的值最小，∵E，F为AD和BC的中点，∴ED＝BF，在Rt△CDE和Rt△ABF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），∴CE＝AF，故答案为AF．9．解：如图1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH 为梯形．∵点O为中点，∴OS＝（GR+HT）＝（AP+PB）＝4，即OS为定值，∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．如图2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．由轴对称性质可知，此时OM+OB＝BM′最小．在Rt△BMM′中，MM′＝2×4＝8，BM＝7，由勾股定理得：BM′＝＝．∴OM+OB的最小值为．故答案为：．10．解：∵C是AB的中点，∴AC＝BC，∵四边形ABOD是正方形，∴∠A＝∠CBF＝90°，在△ACD和△BCF中，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴CF＝CD，BF＝AD＝4∵CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴D、F关于直线CE对称，∵∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90°，∴∠CFB+∠FCB＝∠FCB+∠ECB＝90°，∴∠CFB＝∠BCE，∴BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝4﹣1＝3，∴E点坐标为（﹣3，0）；如图，连接BD交直线CE于点P，∵点D与点F关于直线CE对称，∴PD＝PF，∴PB+PF＝PB+PD≥BD，此时PF+PE的值最小，∵直线CE的解析式为y＝﹣2x﹣6，直线BD的解析式为y＝x+4，由，解得，∴P（﹣，）．故答案为（﹣3，0），（﹣，）．11．解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵AM＝MD．AE＝EB，∴AM＝AE，∵AF＝AN，∴FM＝NE，∵∠A＝∠GFE＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，∴∠GFM＝∠FEN，∵FG＝FE，∴△FGM≌△EFN（SAS），∴∠GMF＝∠ENF，∵∠ANF＝∠AFN＝45°，∴∠GMF＝∠FNE＝135°，∴∠DMG＝45°，设MJ交CD于R，∵∠D＝∠JCR＝90°，∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，∵C，K关于MJ对称，∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，∴∠KJB＝90°，∴BK＝＝＝3，∵GC+GB＝GK+GB≥BK，∴GC+GB≥3，∴GC+GB的最小值为3．故答案为3．12．解：如图，在AB的下方作∠BAR＝45°，且AR＝CD＝2，连接MR，DR，过点R作RT⊥DA交DA的延长线于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝2，∠DCN＝45°，∠DAB＝∠BAT＝90°，∴∠DCN＝∠RAM＝45°，在△DCN和△RAM中，，∴△DCN≌△RAM（SAS），∴DN＝RM，∵∠BAR＝∠RAT＝45°，AR＝2，∠T＝90°，∴AT＝RT＝，∴DR＝＝＝，∵DM+DN＝DM+MR≥DR，∴DM+DN的最小值为，∴（DM+DN）2的最小值为8+4．故答案为：8+4．13．解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△P AB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠OP A＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．14．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）∵每小格均为边长是1的正方形，∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，∴四边形BCC1B1的面积为×（8+4）×2＝12，故答案为：12．15．解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求；（2）在直线l上任取另一点Q，连接P A、QA、QB．∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上∴P A＝P A′，QA＝QA′．∵QA′+QB＞A′B，∴QA+QB＞A′B即QA+QB＞A′P+BP，∴QA+QB＞AP+BP．∴P A+PB最小．16．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，则此时四边形P ABQ的周长最小．17．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（﹣1，1）、B1的坐标为（﹣4，2）、C1的坐标为（﹣3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则P A+PB的最小值＝A′B，∵A′B＝＝3，∴P A+PB的最小值为3；（3）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝，故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4），3．18．解：方案一：如图1，连接AB，过A作AC1⊥l于C1则C1即为水厂地址，过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D，则AD＝7km，BD＝8km，AC1＝4km，∴AB＝＝km，∴所需管道长度＝AC1+AB＝（4+）km；方案二：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于C2，则C2即为水厂地址，如图2，过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D，则A′D＝15km，BD＝8km，∴所需管道长度＝A′B＝＝17km，综上所述：所需最短管道长度＝（4+）km．19．解：如图：（1）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（2）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．20．解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD ＝PC+PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，∵CD＝2AD，∴DD′＝CD，∴∠DCD′＝∠DD′C，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABED′是矩形，∴DD′∥EC，D′E＝AB＝4，∴∠D′CE＝∠DD′C，∴∠D′CE＝∠DCD′，∵∠DCB＝60°，∴∠D′CE＝30°，∴D′C＝2D′E＝2AB＝2×4＝8；∴PC+PD的最小值为8．21．解：（1）∵C（1，0），∴OC＝1，∵在Rt△AOC中，∠A＝30°，∴AC＝2，OA＝，如图1，①当AC＝AP，∠CAP＝90°，过P1作P1B⊥y轴于B，则△ABP1≌△COA，∴AB＝OC＝1，BP1＝AO＝，∴OB＝1+，∴P1（，1+）；②当AC＝CP，∠ACP＝90°，过P2作P2D⊥x轴于D，同理可得：CD＝OA＝，P2D＝1，∴P2（1+，1）；③当CP＝AP，∠APC＝90°，过P3作P3E⊥x轴于E，则P3是AP2的中点，∴OE＝OD＝，P3E＝（OA+P2D）＝，∴P3（，）；综上所述，P（，1+），（1+，1），（，）；（2）如图2，任取△AOC内一点Q，连接AQ、OQ、CQ，将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ’，∴A′C＝AC＝2，CQ＝CQ′，AQ＝A′Q′，∠ACA′＝∠QCQ′＝60°，∴△QCQ′是等边三角形，∴CQ＝QQ′，∴AQ+OQ+CQ＝A′Q′+OQ+QQ’，∴当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值＝OA′，∵∠ACO＝∠ACA′＝60°，∴∠A′CB＝60°，过A′作A′B⊥x轴于B，∴BC＝A’C＝1，A′B＝，∴OB＝2，∴A′O＝＝，∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是．22．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．23．解：（1）如图所示：（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）；（3）连接AB1或BA1交y轴于点P，则点P即为所求．24．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°．（2）∵∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝2CD，∵AD＝BD，∴BD＝2CD，∴BC＝BD+CD＝3CD，∴CD＝BC；（3）作C点关于直线AD的对称点C′，∵AD平分∠BAC．∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，∴P点就是A点，此时|PB﹣PC|的最大值为BC′，∵AC＝AC′＝BC′，∴|PB﹣PC|的最大值＝2．。
2021年人教版数学中考总复习课件－专题28求几何图形面积及面积法解题的问题
强化训练
一、选择题
1．（2020•株洲）如图所示，点 A、B、C 对应的 刻度分别为 0、2、4、将线段 CA 绕点 C 按顺时针 方向旋转，当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上 时，记为点 A1，则此时线段 CA 扫过的图形的面
积为（ D ）
A．4π
B．6
C．4
D． π
18
2．（2020•攀枝花）如图，直径 AB＝6 的半圆， 绕 B 点顺时针旋转 30°，此时点 A 到了点 A'，
则这个扇形的弧长为
cm（结果保留π）．
19．（2020•凉山州）如图，点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是 π， 则半圆的半径 OA 的长为 3 ．
33
20．（2020•泰安）如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径， 点 A，D 在半圆上，且 AD∥BO，∠ABO＝60°， AB＝8，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，则阴影部分
12
解：（1）利用等腰三角形的性质得到 AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出 BD＝6 ，然后利用扇形的面积 公式，利用由弧 EF 及线段 FC.CB.BE 围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S 扇形 EAF 进行计算； ∵在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝ AD＝6 ，∴BC＝2BD＝12 ， ∴由弧 EF 及线段 FC.CB.BE 围成图形（图中阴影部分）的面积
A．
B．π
C． 2 D．π﹣2
8
对点练习
1.如图，在▱ ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径 为 3，则图中阴影部分的面积是（ C ）
_2021年人教版九年级中考数学复习《分式与分式方程》冲刺与提升专题练习
人教版2021年中考数学复习《分式与分式方程》冲刺与提升专题练习 一、选择题（每题3分，共30分）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 1. 代数式,x,,中,分式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 下列变形不正确的是( ) A.= B.= C.= D.=- 3. 若式子有意义，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a ≥-1 B.a ≠2 C.a ≥-1且a ≠2 D.a>2 4.计算+的结果是( ) A. B. C.1 D.x+1 5.解分式方程=-2时,去分母变形正确的是() A.-1+x=-1-2(x-2) B.1-x=1-2(x-2) C.-1+x=1+2(2-x) D.1-x=-1-2(x-2) 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为 ( ) A. B.- C. D.- 7. 下列运算结果为x-1的是 ( )学校：_____________________班级：_______________________姓名：_______________________考号：______________________A.1-B.·C.÷D.8. 已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为( )A.3B.4C.5D.69. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是( )A.-=40B.-=40C.-=40D.-=4010. 定义运算“※”:a※b=若5※x=2,则x的值为 ( )A. B.或10 C.10 D.或二、填空题（每题4分，共40分）.11. 若分式的值为0,则x的值是 .12. 计算-的结果是.13. 已知-=3,则代数式的值是 __.14. 已知m+n=-3,则÷-2n的值是.15. 方程=的解是.16.化简：-=__ __.17.已知x=-1,y=+1,那么代数式的值是.18. 若关于x的分式方程=+1有增根,则m=.19.杭州到北京的铁路长1 487 km，动车的原平均速度为x km/h，提速后平均速度增加了70 km/h，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 h，则可列方程为___ ____.20. 在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=+，那么方程x※(x+1)=0的解为 .三.解答题（50分）.21.解方程:(1)=1-; (2)+=2.22.计算：÷.23. 设A=÷.(1)化简A.(2)当a=3时,记此时A的值为f(3);当a=4时,记此时A的值为f(4);…解关于x的不等式:-≤f(3)+f(4)+…+f(11),并将解集在数轴上表示出来.24. 先化简,再求值:÷,然后从-1,0,1中选择适当的数代入求值.25. 今年疫情防控期间,某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒液,花1 600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价.26. 用换元法解分式方程:-=2.解:设=m,则原方程可化为m-=2;去分母整理得:m2-2m-3=0,解得:m1=-1,m2=3,即:=-1或=3;解得:x=或x=-,经检验:x=或 x=-是原方程的解.故原方程的解为:x1=,x2=-.请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法,先解下列方程,然后再化简求值: 已知a是方程--2=0的根,求代数式÷的值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（人教版）中考数学复习（全部）专题练习汇总第1讲: 实数概念与运算一、夯实基础1、绝对值是6的数是________2、|21|的倒数是________________. 3、2的平方根是_________.4、下列四个实数中, 比－1小的数是（ ） A ．－2B.0C ．1D ．25、在下列实数中,无理数是( ) 5 D.13二、能力提升6、小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃, 调高4℃后的温度为（ ） A ．4℃ B ．9℃ C ．－1℃ D ．－9℃7、定义一种运算☆, 其规则为a ☆b =1a ＋1b, 根据这个规则、计算2☆3的值是（ ） A ．65 B ． 15C ．5D ．6 8、下列计算不正确的是（ ）（A ）31222-+=- （B ）21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （C ）33-= （D ）1223=三、课外拓展9、实数a 、b 在数轴上位置如图所示, 则|a|、|b|的大小关系是________.四、中考链接10、数轴上的点A 到原点的距离是6, 则点A 表示的数为（ ）A. 6或6-B. 6C. 6-D. 3或3- 11、如果a 与1互为相反数, 则a 等于（ ）．A ．2B ．2-C ．1D ．1- 12、下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间? （ ） A 、 4.84 B 、0.484 C 、0.0484 D 、0.0048413、― 2×63＝14、在﹣2, 2, 2这三个实数中, 最小的是15、写出一个大于3且小于4的无理数 .参考答案一、夯实基础 1、6和-6 2、2 3、2± 4、A 5、C 二、能力提升 6、C 7、A 8、A三、课外拓展 9、a b > 四、中考链接 10、A 11、C 12、C 13、-2 14、﹣215、解: ∵π≈3.14…, ∴3＜π＜4, 故答案为: π（答案不唯一）．第2讲: 整式与因式分解一、夯实基础1．计算（直接写出结果） ①a ·a 3= ③(b 3)4= ④(2ab )3=⑤3x 2y ·)223y x -（= 2．计算: 2332)()(a a -+-＝ ．3．计算: )(3)2(43222y x y x xy -⋅⋅-＝ ． 4．1821684=⋅⋅n n n , 求n ＝ ． 5．若._____34,992213=-=⋅⋅++-m m y x y x yx n n m m 则二、能力提升6．若)5)((-+x k x 的积中不含有x 的一次项, 则k 的值是（） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．－5或57．若))(3(152n x x mx x ++=-+, 则m 的值为（） A ．－5 B ．5 C ．－2 D ．2 8．若142-=y x, 1327+=x y , 则y x -等于（）A ．－5B ．－3C ．－1D ．1 9．如果552=a , 443=b , 334=c , 那么（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 三、课外拓展 10．①已知,2,21==mn a 求n m a a )(2⋅的值. ②若的求n n nx x x 22232)(4)3(,2---=值11．若0352=-+y x , 求yx324⋅的值．四、中考链接12．（龙口）先化简, 再求值: （每小题5分, 共10分） （1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5）, 其中x =2． （2）342)()(m m m -⋅-⋅-, 其中m =2-13、（延庆）已知, 求下列各式的值:（1）; （2）．14、（鞍山）已知: ,.求: （1）; （2）.15、计算: ;参考答案一、夯实基础1．a 4, b 4, 8a 3b 3, -6x 5y 3; 2．0; 3．-12x 7y 9; 4．2; 5．4二、能力提升 6．B; 7．C; 8．B; 9．B; 三、课外拓展 10．①161; ②56; 11．8; 四、中考链接12．(1)-3x 2+18x-5, 19; (2)m 9, -512; 13.（1）45; （2）57 14.（1）9; （2）1 15.第3讲: 分式检测一、夯实基础1．下列式子是分式的是( )A ．x 2B ．x x ＋1C ．x 2＋yD ．x3 2．如果把分式2xyx ＋y中的x 和y 都扩大3倍, 那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．扩大9倍 D ．不变3．当分式x －1x ＋2的值为0时, x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－24．化简: (1)x 2－9x －3＝__________.(2)aa －1＋11－a＝__________. 二、能力提升 5．若分式2a ＋1有意义, 则a 的取值范围是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ≠－1 D ．a ≠0 6．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( ) A ．.2x －1 B ．2x 3－1 C ．2x ＋1D ．2(x ＋1) 7．化简m 2－163m －12得__________; 当m ＝－1时, 原式的值为__________．三、课外拓展8．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －2＋42－m ÷(m ＋2)的结果是( )A ．0B ．1C ．－1D ．(m ＋2)29．下列等式中, 不成立的是( )A ．x 2－y 2x －y ＝x －yB ．x 2－2xy ＋y 2x －y ＝x －yC ．xy x 2－xy ＝y x －yD ．y x －x y ＝y 2－x 2xy10．已知1a －1b ＝12, 则ab a －b 的值是( )A ．12B ．－12 C ．2 D ．－2 11．当x ＝__________时, 分式x －2x ＋2的值为零． 12．计算（2-a a —2+a a）·a a 24-的结果是（ ）A ． 4B ． －4C ．2aD ．－2a 13．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ）A ．x=－2B ．x=2C ． x=±2 D．无解 14．把分式(0)xyx y x y+≠+中的x ,y 都扩大3倍, 那么分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变 四、中考链接15．(临沂)先化简, 再求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a , 其中a ＝－1. (2)3－x 2x －4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2, 其中x ＝3－3.参考答案一、夯实基础1．B B 项分母中含有字母．2．A 因为x 和y 都扩大3倍, 则2xy 扩大9倍, x ＋y 扩大3倍, 所以2xyx ＋y扩大3倍． 3．B 由题意得x －1＝0且x ＋2≠0, 解得x ＝1.4．(1)x ＋3 (2)1 (1)原式＝(x ＋3)(x －3)x －3＝x ＋3; (2)原式＝a a －1－1a －1＝a －1a －1＝1.二、能力提升5．C 因为分式有意义, 则a ＋1≠0, 所以a ≠－1. 6．C 原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1.7．m ＋43 1 原式＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43.当m ＝－1时, 原式＝－1＋43＝1. 三、课外拓展8．B 原式＝m 2－4m －2·1m ＋2＝(m ＋2)(m －2)m －2·1m ＋2＝1.9．A x 2－y 2x －y ＝(x ＋y )(x －y )x －y＝x ＋y .10．D 因为1a －1b ＝12, 所以b －a ab ＝12, 所以ab ＝－2(a －b ), 所以ab a －b ＝－2(a －b )a －b ＝－2.11．2 由题意得x －2＝0且x ＋2≠0, 解得x ＝2. 12. B 13. B 14. A 四、中考链接15．解: (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ＝a －2a －1·a (a －1)(a －2)2＝a a －2.当a ＝－1时, 原式＝a a －2＝－1－1－2＝13. (2)3－x 2x －4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2＝3－x 2(x －2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x 2－4x －2 ＝3－x 2(x －2)÷9－x 2x －2＝3－x 2(x －2)·x －2(3－x )(3＋x ) ＝12x ＋6.∵x ＝3－3, ∴原式＝12x ＋6＝36.第4讲: 二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3, 则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中, 与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5 B．43－27＝1 C ．18÷2＝9 D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x , y 为实数, 且满足|x －3|＋y ＋3＝0, 则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________． 7．有下列计算: ①(m 2)3＝m 6, ②4a 2－4a ＋1＝2a －1, ③m 6÷m 2＝m 3, ④27×50÷6＝15, ⑤212－23＋348＝143, 其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0, 则x y＝__________. 9．当－1＜x ＜3时, 化简: x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义, 则x 的取值范围是________． 11、比较大小: ⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －13 12、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式, 则m= . 13、若 5 的整数部分是a, 小数部分是b, 则a －1b = .四、中考链接14．（乳山）计算: (3＋2)(3－2)－|1－2|.15．（福州）计算: (－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案一、夯实基础1．C 由题意得3x －1≥0, 所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0, 解得x ＝52, 此时y ＝－3, 所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32, 27＝33,23＝63, 32＝62. 4．D25＝5,43－27＝43－33＝3, 18÷2＝9＝3, 24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9, 4＝16, 9＜11＜16, 所以11在3到4之间． 二、能力提升6．1 由题意得x －3＝0, y ＋3＝0, 则x ＝3, y ＝－3, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1.7．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|, ③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4, 这两个运算是错误的．三、课外拓展8．1 因为由题意得x ＋1＝0, y －2 012＝0, 所以x ＝－1, y ＝2 012, 所以x y ＝(－1)2012＝1.9．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 10．x ＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接14．解: 原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 15．解: 原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.第5讲: 一元一次方程及其应用一、夯实基础1.已知4x2n-5+5=0是关于x 的一元一次方程, 则n=_______.2.若x=-1是方程2x-3a=7的解, 则a=_______.3.当x=______时, 代数式 x-1和 的值互为相反数.4.已知x 的 与x 的3倍的和比x 的2倍少6, 列出方程为________.5.在方程4x+3y=1中, 用x 的代数式表示y, 则y=________.6.某商品的进价为300元, 按标价的六折销售时, 利润率为5%, 则商品的标价为____元.7.已知三个连续的偶数的和为60, 则这三个数是________. 二、能力提升8.方程2m+x=1和3x -1=2x+1有相同的解, 则m 的值为( ). A.0 B.1 C.-2 D. 12-9.方程│3x│=18的解的情况是( ).A.有一个解是6B.有两个解, 是±6 C .无解 D.有无数个解10.某商场在统计今年第一季度的销售额时发现, 二月份比一月份增加了10%, 三月份比二月份减少了10%, 则三月份的销售额比一月份的销售额( ).A.增加10%B.减少10%C.不增也不减D.减少1% 11．当x= 时, 代数式354-x 的值是1-． 12．已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程, 则m=____________． 13．当x= 时, 代数式2+x 与代数式28x-的值相等． 三、课外拓展14.解方程: (x-1)- (3x+2)= - (x-1). 四、中考链接15.一个三位数, 百位上的数字比十位上的数大1, 个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后, 所得的三位数与原三位数的和是1171, 求这个三位数.参考答案一、夯实基础1.32.-3 (点拨: 将x=-1代入方程2x-3a=7, 得-2-3a=7, 得a=-3)3. (点拨: 解方程 x-1=- , 得x= )4. x+3x=2x-65.y= - x6.525 (点拨: 设标价为x元, 则 =5%, 解得x=525元)7.18, 20, 22二、能力提升8.D9.B (点拨: 用分类讨论法: 当x≥0时, 3x=18, ∴x=6; 当x<0时, -3=18, ∴x=-6故本题应选B)10.D11．2 、12．1-13．4 3三、课外拓展14.解: 去分母, 得15(x-1)-8(3x+2)=2-30(x-1)∴21x=63∴x=3四、中考链接15.解: 设十位上的数字为x, 则个位上的数字为3x-2, 百位上的数字为x+1, 故100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171解得x=3答: 原三位数是437.第6讲: 一次方程组及其应用单元检测一、夯实基础1．已知x, y的值: ①2,2;xy=⎧⎨=⎩②3,2;xy=⎧⎨=⎩③3;2;xy=-⎧⎨=-⎩④6,6.xy=⎧⎨=⎩其中是二元一次方程2x－y＝4的解的是( )．A．①B．②C．③D．④2．与方程组230,20x yx y+-=⎧⎨+=⎩有相同解的方程是( )．A ．x ＋y ＝3B ．2x ＋3y ＋4＝0C ．3x ＋2y＝－2D ．x －y ＝13．用加减法解方程组235,327,x y x y -=⎧⎨-=⎩①②下列解法不正确的是( )．A ．①×3－②×2, 消去xB ．①×2－②×3, 消去yC ．①×(－3)＋②×2, 消去xD ．①×2－②×(－3), 消去y4．与方程3x ＋4y ＝16联立组成方程组的解是4,1x y =⎧⎨=⎩的方程是( )．A ．12x ＋3y ＝7 B ．3x －5y ＝7C ．14x －7y ＝8 D ．2(x －y)＝3y5．给方程247136x x ---=-去分母, 得( )． A ．1－2(2x －4)＝－(x －7) B ．6－2(2x －4)＝－x －7 C ．6－2(2x －4)＝－(x －7) D ．以上答案均不对 二、能力提升6．一元一次方程3x －6＝0的解是__________． 7．如果2x n －2－ym －2n ＋3＝3是关于x, y 的二元一次方程, 那么m ＝__________, n ＝__________.8．已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m, 则m 的值是__________． 9．代数式2a －10与3a 互为相反数, 则a ＝__________. 三、课外拓展10．已知方程组4,6ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35,471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同, 求a, b 的值．11．甲种电影票每张20元, 乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张, 恰好用去700元, 则甲种电影票买了_______张．12．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +﹥1, 则k 的取值范围是 .13.已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2, 则a 的值为 ( )14.关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩, 则m n -的值是 ( )A ．5B ．3C ．2D ．1四、中考链接15．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话:李老师: “平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用, 60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳: “我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观, 一天的租金共计5 000元．”小明: “我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话, 解答下列问题:(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元? (2)按小明提出的租车方案, 九年级师生到该公司租车一天, 共需租金多少元?参考答案一、夯实基础1、B2、C 点拨: 方程组的解为1,2,xy=-⎧⎨=⎩然后代入后面的二元一次方程逐一验证即可．3、D 点拨: 可采用代入法解方程组, 也可将选项代入尝试．4、B 点拨: 根据方程组解的定义, 是方程组的解必是方程的解, 所以把4,1xy=⎧⎨=⎩代入选项中的方程．5、C二、能力提升6、x＝27、4 3 点拨: 由题意得21,231,nm n-=⎧⎨-+=⎩解得4,3.mn=⎧⎨=⎩8、2 点拨: 互为相反数的和是0, 即2a－10＋3a＝0, 解得a＝2.9、2三、课外拓展10、解: 解方程组35,471x yx y-=⎧⎨-=⎩得2,1.xy=⎧⎨=⎩把2,1xy=⎧⎨=⎩代入方程组4,6ax byax by-=⎧⎨+=⎩得24,26,a ba b-=⎧⎨+=⎩解这个方程组得5,21.ab⎧=⎪⎨⎪=⎩11.2012.k＞213.D14.D四、中考链接15、解: (1)设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元, y元．由题意, 列方程组200,425000.x yx y-=⎧⎨+=⎩解得900,700.xy=⎧⎨=⎩答: 平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元、700元．(2)九年级师生共需租金: 5×900＋1×700＝5 200(元)．答: 按小明提出的租车方案, 九年级师生到该公司租车一天, 共需租金5 200元．第7讲: 一元二次方程及其应用单元检测一、夯实基础1、某药品经过两次降价, 每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x, 那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B． 100（1﹣x）2=81C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=812．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根, 则a的值为（）A．1或4 B﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣43.若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根, 则α2+β2（）A.-8B.32C.16D.404. 已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根, 则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3二、能力提升5.方程x2﹣2x=0的解为x1= , x2= ．6.某小区2015年屋顶绿化面积为2000平方米, 计划2017年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同, 那么这个增长率是．x x的两个实数根, 则22_______.7.若,是方程22308.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解, 则m的值为．三、课外拓展9.若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数, 则k= ．10.如图, 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道, 使其中两条与AB平行, 另一条与AD平行, 其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2, 那么通道的宽应设计成多少m? 设通道的宽为xm, 由题意列得方程．11.某商品连续两次降价10%后价格为a元, 则该商品原价为__________．12.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形, 则两条直角边分别是__________, __________．13.某种产品预计两年内成本将下降36%, 则平均每年降低__________．14.一个两位数, 数字之和是9, 如将个位数字, 十位数字对调, 与原数相乘的结果是1458, 设十位数字为x, 则列方程为__________．四、中考链接15.在“文化宜昌•全民阅读”活动中, 某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位: 本）进行了调查, 2012年全校有1000名学生, 2013年全校学生人数比2012年增加10%, 2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数;（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本, 阅读总量比2012年增加1700本（注: 阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量;②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍, 如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a, 2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a, 那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%, 求a的值．参考答案一、夯实基础 1、B 2、B 3、C 4、C二、能力提升 5、0 2 6、20% 7、x ＞128、1三、课外拓展 9、-110、（30﹣2x ）（20﹣x ）=6×78 11.10081a12.6cm,8cm 13.20%14. [][]10(9)10(9)1458x x x x +--+= 四、中考链接15、解答: 解: （1）由题意, 得2013年全校学生人数为: 1000×（1+10%）=1100人, ∴2014年全校学生人数为: 1100+100=1200人;（2）①设2012人均阅读量为x 本, 则2013年的人均阅读量为（x+1）本, 由题意, 得 1100（x+1）=1000x+1700, 解得: x=6． ②由题意, 得2012年读书社的人均读书量为: 2.5×6=15本, 2014年读书社人均读书量为15（1+a ）2本, 2014年全校学生的读书量为6（1+a ）本,80×15（1+a ）2=1200×6（1+a ）×25% 2（1+a ）2=3（1+a ）, ∴a1=﹣1（舍去）, a2=0.5． 答: a 的值为0.5．第8讲: 分式方程及其应用单元检测一、夯实基础 1．如果分式2313x x -+与的值相等, 则x 的值是（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 2．若关于x 的方程111m xx x ----=0有增根, 则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．有两块面积相同的小麦试验田, 分别收获小麦9000kg•和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg, •若设第一块试验田每公顷的产量为xkg, 根据题意, 可得方程（ ）900015000900015000..30003000900015000900015000..30003000A B x x x x C D x x x x==+-==+-4．已知方程3233x x x=---有增根, 则这个增根一定是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．方程21111x x =--的解是（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D．06．张老师和李老师同时从学校出发, 步行15千米去县城购买书籍, 张老师比李老师每小时多走1千米, 结果比李老师早到半小时, 两位老师每小时各走多少千米? 设李老师每小时走x 千米, 依题, 得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=--二、能力提升7．方程11222x x x +=--的解是_______． 8．若关于x 的方程11ax x +--1=0无实根, 则a 的值为_______．9．若x+1x =2, 则x+21x=_______．三、课外拓展 10．解方程: 2133x x x-+--=1;11.解方程: 252112x x x+--=3.12. 解方程: 1111210(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x +++=+++++++…13. 解方程: 242401111x x x xx x x x+++=-+++四、中考链接14．在社会主义新农村建设中, 某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成; 如果由乙工程队先单独做10天, •那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数; （2）求两队合做完成这项工程所需的天数．15．怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召, 在本乡建起了农民文化活动室, 现要将其装修．若甲、•乙两个装修公司合做需8天完成, 需工钱8000元; 若甲公司单独做6天后, 剩下的由乙公司来做, 还需12天完成, 共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑, 该乡是选甲公司还是选乙公司? 请你说明理由．参考答案一、夯实基础 1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 二、能力提升 7．x=0 8．a=1 9．x 2+21x=2 三、课外拓展 10．x=2 11.x=-1212.分析: 方程左边很特殊, 从第二项起各分式的分母为两因式之积, 两因式的值都相差1, 且相邻两项的分母中都有相同的因式. 因此, 可利用11111n n n n ()+=-+裂项,即用“互为相反数的和为0”将原方程化简解: 原方程可变为11011121213191102x x x x x x x +++-+++-+++-+=… ∴+=+==-=-1122211212x x x x 即经检验：原方程的根是13.分析: 用因式分解（提公因式法）简化解法 解: x x x x x()11112141024-++++++=因为其中的1111214124-++++++x x x x =++--++++=-++++=-++=-≠∴=111214121214141418100224224448x x x x x x x x x x x x经检验: x =0是原方程的根. 四、中考链接14．（1）解: 设乙工程队单独完成这项工程需要x 天, • 根据题意得: •1011()40x x ++×20=1, 解之得: x=60, 经检验: x=60是原方程的解． 答: 乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天． （2）解: 设两队合做完成这项工程需的天数为y 天, 根据题意得: （114060+）y=1, 解得: y=24． 答: 两队合做完成这项工程所需的天数为24天15．解: 设甲独做x 天完成, •乙独做y 天完成111128612241x x y y x y⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得, 设甲每天工资a 元, 乙每天工资b 元．8()80007506127500250a b a a b b +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得• ∴甲独做12 ×750=9000, 乙独做24×250=6000, ∴节约开支应选乙公司．第9讲: 一元一次不等式（组）及其应用单元检测一、夯实基础1．已知0<b<a, 那么下列不等式组中无解的是（） A ．x ax b>⎧⎨<⎩B ．x a x b >-⎧⎨<-⎩C ．x a x b >⎧⎨<-⎩D ．x a x b >-⎧⎨<⎩2．不等式组312,840xx->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（）A B C D3.不等式组10,2xx->⎧⎨<⎩的解集是( )A．x＞1B．x＜2C．1＜x＜2D．0＜x＜24.不等式组3030xx的解集是（）.A.3x B.3x C.33x D.33x5.不等式组⎩⎨⎧>≤-62,31xx的解集为（）A．x＞3 B．x≤4 C．3＜x＜4 D．3＜x≤46．已知24221x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩, 且-1<x-y<0, 则k的取值范围是（）A．-1<k<-12B．0<k<12C．0<k<1 D．12<k<1二、能力提升7．如果不等式组320xx m-≥⎧⎨≥⎩有解, 则m的取值范围是（）A．m<32B．m≤32C．m>32D．m≥328．若15233mm+>⎧<⎪⎨-⎪⎩, 化简│m+2│-│1-m│+│m│得（）A．m-3 B．m+3 C．3m+1 D．m+18.函数134y xx=--中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x＝4C．x＜3且x≠4D．x≤3且x≠49.若点A（m－3, 1－3m）在第三象限, 则m的取值范围是( ).A．31>m B．3<m C．3>m D．331<<m三、课外拓展 10.解不等式组⎩⎨⎧+>-≥+xx x 21236)5(211．不等式组31011x x -+≥⎧⎨+>-⎩的解集是_______．12．不等式组52(1)1233x x x >-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的整数解的和是______． 13．不等式1≤3x -7<5的整数解是______．14．长度分别为3cm, •7cm, •xcm•的三根木棒围成一个三角形, •则x•的取值范围是_______．四、中考链接15.某校组织学生到外地进行综合实践活动, 共有680名学生参加, 并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解, 甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李, 乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走? 有哪几种方案? ⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元, 请你选择最省钱的一种租车方案参考答案一、夯实基础 1、A 2、A 3、C 4、B 5、D 6、D二、能力提升 6．B 7．B 8．A 9. D三、课外拓展10.解: 由①得: 2ⅹ+10≥6, 2ⅹ≥-4, ⅹ≥-2,由②得: -4ⅹ＞-2, ⅹ＜21,由①、②得这个不等式组的解集为: -2≤ⅹ＜21.11．-2x<x≤1312．0 13．3 14. 4<x<10 四、中考链接15．解: （1）设安排x 辆甲型汽车, 安排（20-x ）辆乙型汽车.由题意得: ⎩⎨⎧≥-+≥-+300)20(2010680)20(3040x x x x 解得108≤≤x∴整数x 可取8、9、10 ∴共有三种方案:①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆; ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆; ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆（2）设租车总费用为w 元, 则)20(18002000x x w -+=36000200+=xw 随x 的增大而增大∴当8=x 时, 37600360008200=+⨯=最小w∴最省钱的租车方案是: 租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆.第10讲: 平面直角坐标系与函数单元检测一、夯实基础1．在平面直角坐标系中, 点(1,2)位于第______象限．2．已知点P(3,2), 则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是________, 点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是________．3．在平面直角坐标系中, 将点P(－2,1)向右平移3个单位长度, 再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是( )A ．(2,4)B ．(1,5)C ．(1, －3)D ．(－5,5)4．在平面直角坐标系中, 线段OP 的两个端点坐标分别是O(0,0), P(4,3), 将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°到OP′位置, 则点P′的坐标为( )A ．(3,4)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(4, －3) 5．函数y ＝1x ＋1中, 自变量x 的取值范围是( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x≠－1D ．x≠0 二、能力提升6．已知点P(3, －1)关于y 轴的对称点Q 的坐标是(a ＋b,1－b), 则a b的值为____________．7．在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A(2,3), 在坐标轴上找一点P, 使得△AOP 是等腰三角形, 则这样的点P 共有____________个．8．如图3114, 在△ABO 中, AB ⊥OB, OB ＝3, AB ＝1, 把△ABO 绕点O 旋转150°后得到△A 1B 1O, 则点A 1的坐标为( )A ．(－1, －3)B ．(－1, －3)或(－2,0)C ．(－3, －1)或(0, －2)D ．(－3, －1) 三、课外拓展9．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼, 某天他慢步行走到离家较远的公园, 打了一会儿太极拳, 然后沿原路跑步到家里, 下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(单位: 米)与时间x(单位: 分钟)之间的关系的大致图象是( )10．如图3112, 动点P从(0,3)出发, 沿所示方向运动, 每当碰到矩形的边时反弹, 反弹时反射角等于入射角, 当点P第2013次碰到矩形的边时, 点P的坐标为( ) A．(1,4) B．(5,0) C．(6,4) D．(8,3)11．坐标平面上有一点A （a , b ）, 若ab =0, 则点A 的位置是（ ） A ．原点 B ．x 轴上 C ．y 轴上D ．坐标轴上12．点P （x , y ）在第四象限, ｜x ｜=3, ｜y ｜=2, 则点P 坐标为（ ） A ．（3, 2）B ．（－3, －2）C ．（－3, 2）D ．（ 3, －2）13．过点（－3, 2）且平行于y 轴的直线上的点（ ） A ．横坐标都是－3 B ．纵坐标都是2 C ．横坐标都是2 D ．纵坐标都是－3 14．点A （－3, 2）关于y 轴的对称点的坐标是（ ） A ．（－3, －2） B ．（3, 2） C ．（3, －2）D ．（2, －3）四、中考链接15．如图3115, 已知A, B 是反比例函数y ＝kx (k>0, x>0)上的两点, BC ∥x 轴, 交y轴于C, 动点P 从坐标原点O 出发, 沿O→A→B→C 匀速运动, 终点为C, 过运动路线上任意一点P 作PM ⊥x 轴于M, PN ⊥y 轴于N, 设四边形OMPN 的面积为S, P 点运动的时间为t , 则S 关于t 的函数图象大致是( )16．在平面直角坐标系中, 一动点从原点O出发, 按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动, 每移动一个单位, 得到点A1(0,1), A2(1,1), A3(1,0), A4(2,0)....那么点A4n＋1(n为自然数)的坐标为______________(用n表示)．参考答案一、夯实基础1．一2.(－3,2) (－3, －2)3.B4.C5．C二、能力提升6.257．8 解析: 如图使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．8．B三、课外拓展9.C10.D11．D12．D13．A14．B四、中考链接15.A16．(2n,1)解析: 由图可知, 当n ＝0时, 4×0＋1＝1, 点A 1(0,1); 当n ＝1时, 4×1＋1＝5, 点A 5(2,1); 当n ＝2时, 4×2＋1＝9, 点A 9(4,1);当n ＝3时, 4×3＋1＝13, 点A 13(6,1), 所以点A 4n ＋1(2n,1)．第11讲: 一次函数的图象与性质单元检测一、夯实基础1.一次函数3y x -=-, 如果0y <, 则x 的取值范围是（ ） A ．2x <B ．3x <C ．6x >-D ．6x <-2.已知直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴, 下列结论: ①k>0, b>0; ②k>0, b<0; ③k<0, b>0; ④k<0, b<0．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 如图所示, 函数y=mx +m 的图像中可能是（ ）4.当自变量x 增大时, 下列函数值反而减小的是（ ）A ． y=3xB ．y=2xC ．y=3x- D ．y=-2+5x5.正比例函数的图像如图, 则这个函数的解析式为( )A ．y=xB ．y=-2xC ．y=-xD ．12y =-6.一次函数3y x -=-, 如果0y <, 则x 的取值范围是（ ） A ．2x <B ．3x <C ．6x >-D ．6x <-7.已知直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴, 下列结论: ①k>0, b>0; ②k>0, b<0; ③k<0, b>0; ④k<0, b<0．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、能力提升8.直线y=(2-5k )x +3k -2不过第一象限, 则k 需满足 , 写出一个满足上述条件的一个函数的解析式 ．9.直线y=4x -2与x 轴的交点是 , 与y 轴的交点是 ．10.直线y=(2-5k)x+3k-2若经过原点, 则k= ; 若直线与x 轴交于点（-1, 0）, 则k= ,11.一次函数24y x =-+的图像经过的象限是____, 它与x 轴的交点坐标是____, 与y 轴的交点坐标是____, y 随x 的增大而____．三、课外拓展12.（1）已知关于x 的一次函数y=(2k -3)x+k -1的图像与y 轴交点在x 轴的上方, 且y 随x 的增大而减小, 求k 的取值范围;（2）已知函数y =(4m -3)x 是正比例函数, 且y 随x 的增大而增大, 求m 的取值范围． 四、中考链接13. 已知一次函数3y x =-+, 当0≤x ≤3时, 函数y 的最大值是( )． A ．0 B ．3 C ．-3 D ．无法确定14. 下列图像中, 不可能是关于x 的一次函数y =mx-(m -3)的图像的是（ ）参考答案一、夯实基础 1．B 2.B 3.D 4.C 5．C 6.B 7.B二、能力提升 8.2253k <<, 1122y x =--9．1(,0),(0,2)2- 10．21,3211. 一、二、四象限, （2, 0）, （0, 4）, 减小 三、课外拓展 12.（1）依题意, 有10230k k ->⎧⎨-<⎩, 解得312k <<;（2）依题意, 得430m ->, 即34m >时, y 随x 的增大而增大四、中考链接 13.B 14．C第12讲: 一次函数的应用一、夯实基础1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x -1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x 中, 是一次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2、下面哪个点不在函数32+-=x y 的图像上（ ） （A ）（-5, 13） （B ）（0.5, 2） （C ）（3, 0） （D ）（1, 1）3、直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图, 则( )（A ）1,12k b =-=- （B ）1,12k b =-= （C ）1,12k b ==- （D ）1,12k b ==4、下列一次函数中, 随着增大而减小而的是 （ ）（A ）x y 3= （B ）23-=x y （C ）x y 23+= （D ）23--=x y 5、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示, 则k, b 的符号是( )(A) k>0, b>0 (B) k>0, b <0 (C) k<0, b>0 (D) k<0, b<0 二、能力提升6、函数y=(m+1) x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限, 那么m 的取值范围是( )（A ）34m <（B ）314m -<< （C ）1m <- （D ）1m >- 7、一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度h (厘米)与燃烧时间t (时)的函数关系的图象是( )8、下图中表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y ＝m nx(m , n 是常数, 且m n<0)图像的是( )．三、课外拓展9．已知2x-y=0, 且x-5>y, 则x 的取值范围是________． 10．关于x 的方程3x+3a=2的解是正数, 则a________． 11.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x 轴上一点,那么a:b 等于A.21B.21-C.23D.以上答案都不对12.某公司市场营业员销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示.由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是A.310B.300C.290D.280四、中考链接13、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1, -5), 且与正比例函数y= 12 x 的图象相交于点(2, a), 求(1)a 的值 (2)k, b 的值(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形的面积.14、某市自来水公司为限制单位用水, 每月只给某单位计划内用水3000吨, 计划内用水每吨收费1.8元, 超计划部分每吨按2.0元收费.（1）写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式①当用水量小于等于3000吨函数关系式为: ; ②当用水量大于3000吨函数关系式为: .（2）某月该单位用水3200吨, 水费是元; 若用水2800吨, 水费元.（3）若某月该单位缴纳水费9400元, 则该单位用水多少吨?15、如图是某市出租车单程收费y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系图象, 根据图象回答下列问题:(1)当行使路程为8千米时, 收费应为元;(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)①②(3)求出收费y (元)与行使路程x (千米) (x≥3)之间的函数关系式.参考答案一、夯实基础1、B2、C3、B4、D5、D二、能力提升6、C7、D8、C三、课外拓展9、x<-510、23 a11、A12、B四、中考链接13、(1)a=1 (2)k=2,b=-3 (3)3/414、(1)①y=1.8x ②y=2x-600(2)5800,5040(3) 500015、(1) 11(2) ①出租车的起步价是5元②出租车起步价的路程范围是3公里之内（包括3公里）（3）y=1.2x+1.4(x≥3)第13讲: 反比例函数一、夯实基础1.当x>0时, 函数y=－5x的图象在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限2.设点A （x 1,y 1）和B （x 2,y 2）是反比例函数y =（k ≠0）图象上的两个点, 当x 1＜x 2＜0时, y 1＜y 2, 则一次函数y =-2x +k 的图象不经过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在同一直角坐标系中, 函数xky =和3+=kx y （k ≠0）的图象大致是（ ）4.如图所示, 矩形ABCD 中, 3,4AB BC ==, 动点P 从A 点出发, 按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动.记PA x =, 点D 到直线PA 的距离为y , 则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A BC D 5.反比例函数y =12kx的图象经过点（-2, 3）, 则k 的值为（ ） A.6 B.-6C.D.－6.若反比例函数y =1k x-的图象位于第二、四象限, 则k 的取值可能是( )A.0B.2C.3D.4 7.已知点、、都在反比例函数4y x=的图象上, 则的大小关系是（ ）A.B.C.D.二、能力提升 8.已知反比例函数ky x=的图象经过点A （–2, 3）, 则当3x =-时, y =_____. 9．如图所示, 已知一次函数y =kx －4的图象与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点, 与反比例函数y =8x在第一象限内的图象交于点C , 且A 为BC 的中点, 则k = .10．已知反比例函数x m y 33-=, 当______m 时, 其图象的两个分支在第一、三象限内; 当______m 时, 其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大.11.已知),(111y x P , ),(222y x P 是同一个反比例函数图象上的两点.若212+=x x ,且211112+=y y , 则这个反比例函数的表达式为 . 三、课外拓展 12.若一次函数的图象与反比例函数x1的图象没有公共点, 则实数k 的取值范围是 .13.若M （2, 2）和N （b , -1-n 2）是反比例函数y =xk图象上的两点, 则一次函数y =kx +b 的图象经过第 象限.四、中考链接14.（广州中考）已知一次函数6y kx =-的图象与反比例函数2ky x=-的图象交于A , B 两点, 点A 的横坐标为2.（1）求k 的值和点A 的坐标; （2）判断点B 所在象限, 并说明理由.15. 如图所示, 直线y =mx 与双曲线k y x=相交于A , B 两点, A 点的坐标为（1, 2）（1）求反比例函数的表达式;（2）根据图象直接写出当mx ＞k x 时, x 的取值范围;（3）计算线段AB 的长.参考答案一、夯实基础1. A 解析: 因为函数y =－中k =-5＜0,所以其图象位于第二、四象限, 当x ＞0时, 其图象位于第四象限.2. A 解析: 对于反比例函数, ∵ x 1＜x 2＜0时, y 1＜y 2, 说明在同一个象限内, y 随x 的增大而增大, ∴ k ＜0, ∴ 一次函数y =-2x +k 的图象与y 轴交于负半轴, 其图象经过第二、三、四象限, 不经过第一象限.3.A 解析: 由于不知道k 的符号, 此题可以分类讨论, 当时, 反比例函数xky =的图象在第一、三象限, 一次函数3+=kx y 的图象经过第一、二、三象限, 可知A 项符合;同理可讨论当时的情况.4.B 解析: 当点P 在AB 上移动时, 点D 到直线PA 的距离为DA 的长度, 且保持不变, 其图像为经过点(0, 4)且与x 轴平行的一条线段, 当点P 在BC 上移动时, △ PA D 的面积为6S =, 不会发生变化, 又因为162S xy ==, 所以12xy =, 所以12y x =, 所以其图像为双曲线的一支, 故选B.5. C 解析: 把点（-2, 3）代入反比例函数y =12k x 中, 得3=122k , 解得k =72. 6.A7.D 解析: 因为反比例函数4y x=的图象在第一、三象限, 且在每个象限内y 随x 的增大而减小, 所以.又因为当时,, 当时,, 所以,, 故选D.二、能力提升8.2 解析: 把点A (–2, 3)代入k y x=中, 得k = – 6,即6y x =-.把x = – 3代入6y x=-中, 得y =2. 9.4 解析: 因为一次函数=－4y kx 的图象与y 轴交于点B , 所以B 点坐标为（0, -4）.,84=2,4=2=4==过点作轴于点，因为为的中点，可得△≌△所以.设点坐标为（，4），代入可得点坐标为（）.把，代入－4可得 4.C CD x D A BC OAB DAC CD OB C x y C xx y y kx k ⊥==。