第四章 正弦交流电路090309

U LI(i ) CI jLI 2 2
• 或
1 I j U L
• 这就是电容元件伏安关系的向量形式，其向量图如4-15所 示。
4.4 RLC串联与并联电路
• 在直流电路中对任何线性无源二端网络来 说,可以用串、并联方法以及网络定理等来 求得其等效电阻。 • 同理，在正弦交流电路中，任何一个线性 无源二端网络都可以用一个复阻抗或复导 纳来表示，这将会给复杂正弦交流电路的 分析带来极大方便。
u(t)
T
正弦交流电压波形
4.1.2 正弦交流电的三要素
• 正弦交流电的特征：设一正弦电压数学表 达式为： u U m sin(t u )（4-1） • • u ：正弦交流电在某一瞬时的电压的量值， 称为瞬时值。 u，称为正弦交流电压的三要素。 • U m， ，
• 1. 最大值U m： • 最大值又称振幅、峰值或幅值。它是瞬时值中最大的 值。瞬时值是随时间而变的，而最大值却是与时间无 关的定值。只要已知正弦量的解析式．它的系数就是 最大值。 • 2. 角频率 ： • 角频率表示正弦量相位角的变化速度。 • 单位：弧度／秒(rad／s)。的速率也就越大。 • 角频率与频率及周期之间的关系为：
• 式（4-29）称为正弦交流电路的欧姆定律相量形 式。其中
• 复阻抗 Z是—个复数，可简称为阻抗，它的模为 端口电压与电流的有效值或幅值之比， • 幅角 z等于端口电压和电流之间的相位差，称 为阻抗角。即
U Z I z u i
• 同理，二端网络NO得复导纳（驱动点导纳）定义 为二端网络得端口电流相量与端口电压相量之比， 即
• ① 正弦量的三要素及有效值的概念。
• ② 正确理解并掌握正弦交流电的相量表示法。 • ③ 复阻抗和复导纳的概念。 • ④ 正弦交流电路中各种功率的概念和计算。 • ⑤ 对一般交流电问题及实验问题进行分析和计 算
难点:
• ①正弦量的三要素及有效值。
• ②相量图的画法。
• ③三种理想电路元件伏安关系的相量形式。
4.2正弦交流量的相量表示法
• 4.2.1 复数及其运算法则
• 1．复数的表示方法 • 复数是分析和计算正弦稳态电路的有利工具。利 用复数分析与计算正弦稳态电路的方法叫做相量 法，应用相量法可以大大简化正弦稳态电路的计 算。在介绍相量法之前，首先来复习复数的有关 知识。
• 复数可以用以下几种形式来表示：
可见正弦电流通过某一电阻时，在电阻两端会产生一个同 频率、同相位的正弦电压,将正弦量表示成向量形式可得:
RI U
• 4.3.2 纯电容电路 • 电容器:顾名思义是一种贮存电能的容器。任何两 块金属板之间夹着不导电的绝缘材料就构成一个 电容器。电容器是交流电路中三大基本元件之一， 在电路中起隔断直流(简称隔直)、沟通交流以及 移相等作用。因此常用来作滤波、选频、波形变 换等；在电力系统中，利用电容器改善功率因数 以节省电能。 • 把—个电容接在直流电路中，只有在接通关断电 源瞬间，电容处于充放电状态时，电路中才有电 流通过，而处于稳定状态时，电流为零。因此， 直流电路中的电容在稳态时使电路处于断开状态。 如果在电容两端加上交流电压，由于电压极性的 不断变化，电容将周期性地充电和放电，就使电 路中不断有电流通过。这也是电容通交流的原理。
i u

2
• 可见电感元件通过正弦电流时，在元件两端会产生 一个同频率的正弦电压，其幅值为，相位超前电流。 • 由式（4-24）可得
U 1 1 XC I C 2 F
• XC称为电容的电抗，简称容抗。带有阻碍 电流通过的性质。在电容一定的条件下， 容抗与频率成反比，频率愈低，它的容抗 愈大。由于直流电流的频率可看成，所以 XC趋于无穷大，流过电流为零。这就是电 容能够隔断直流的原因。 • 电容元件的电压和电流的关系也可以表示 成相量形式。
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第4章：正弦交流电路
机械工业出版社
第4 章
正弦交流电路
• • • • • •
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
正弦交流电及其三要素 正弦量的向量表示 理想电路元件的正弦交流电路 RLC串联与并联电路 正弦交流电路的功率及功率因数 正弦交流电路的谐振
重点:
图4-5 复平面上的点
• （2）三角形式 • 由图4-6可得出复数的三角形式
A A (cos j sin )
| A | a b
2 2
b arctan a
• (3) 指数形式 • 根据欧拉公式
e
j
cos j sin
• 将上式代入三角形式，可得出复数的另一种表示 形式，即指数形式：
2 2f T
• 3. 初相位： u
• 式中的( t u )代表正弦量随时间t变化的角度,称 为正弦量的相位角，简称相位。 • 当＝0时，正弦量的相位角，称为正弦量的初相位， 简称初相。 • 初相位范围为（- ，+ ）。 • 对于一个正弦量来说，知道它的幅度值(最大值)、 角频率(频率)和初相位以后，就可以用数学表达 式或波形图来确定或描述它的全貌。
R
IR

4.1.3 相位差
• 在正弦交流电路分析中，经常 要比较两个同频率正弦量的相 位，设有任意两个相同频率的 正弦电流，其表达式为：
i1 I m1 (sint i1 )
i1
i2
i 2 I m2 (sint i 2 )
图4-3同频率两个正弦量
• 相位差为：
(t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2
• 4.3.1 纯电阻电路 • 1. 电压和电流的关系 • 纯电阻电路如图4-11所示。线性电阻元件的端电 压与电流服从欧姆定律，伏安关系为
u(t ) Ri(t )
• 假设 i(t ) 2I sin(t i ) 则有
u(t ) R 2I sin(t i ) 2U sin(t i )
• （1）直角坐标形式：A=a+jb
为复数的实部，为复数的虚部。
在复平面上，复数和平面上的点一一对应，如图4-5所示。 复数在复平面上还可以用向量表示，如图4-6所示。向量 的长度r称为复数A的模，用|A|表示。向量与实轴的夹角， 称为复数的辐角，用Φ表示。 j a i j r
b
i 图4-6 复平面上的向量
• 4.4.1 复阻抗与复导纳
• 二端网络No是由线性无源二端元件任意连接而成 的，假设端口电压、电流分别为：
u U cos(t u )
i I co s ( t
i
)
• 二端网络No的复阻抗(驱动点阻抗)定义为二端网 络的端口电压相量与端口电流相量之比．即 .
Z
U I
.
由电容所构成的基本电路如图4-13，电容元件的伏安关系 为:
•
设
u 2U cos(t 代入上式可得： u)
i (t ) 2CU sin(t u ) 2CU cos(t u 2 I cos(t i )

2
)
• 其中
I CU
I LU(i ) CU jLU 2 2
• 或
1 U j I L
• 这就是电容元件伏安关系的向量形式，其 向量图如4-14所示。
• 4.3.3 纯电感电路 • 由电感元件构成的电路如图4-15所示：
• XL称为电感的电抗，简称感抗。带有阻碍电流通过的性质。 在电感一定的条件下，感抗与频率成正比，频率愈低，它 0 的容抗愈小。由于直流电流的频率可看成 f ，所以 XL 趋于零。相当于短路。 • 电感元件的电压和电流的关系表示成相量形式：
A1 A2 A1 ( A2 )
(2)复数的乘、除运算 • 若复数进行乘、除运算时，则采用极坐标形式， 模相乘（除），幅角相加（减）。
4.2.2 正弦量的相量表示法
• 在以后交流电路中，通常都是在同一频率的电源 作用下，如果给定了电源的频率，那么电路中各 处的电压和电流的频率都与电源频率相同，即各 正弦量都是同频率。正因为如此．只需要画出最 大值和初相位就能够反映一个正弦量，如果向量 的幅角等于正弦量的初相位，向量的幅值等于正 弦量的最大值。这个正弦量就用向量完全表示出 或 I 表示。如 来，这样的向量称为幅值向量，用U m m 果向量幅值等于正弦量的有效值，则这样的向量 U 称为有效值向量，表示为 或 I • 如图4-8所示。
•
也可以用相量图分析，在复平面内做出 I 1 I 和 I 2,利用平行四边形法则可以做出相量 ， 如图4-10。只是用做图的方法没有用相量 代数法求得的结果精确而已。
4.3 理想电路元件的正弦交流电路
• 在直流电路中，基本的无源元件是电阻， 而在正弦交流电路中，基本的无源元件除 电阻外，还有电感及电容。关于这3种基本 元件的伏安关系已经很熟悉，本节将介绍 这些基本元件伏安关系的向量形式。即这3 种元件两端电压电流与电流相量的关系。
Y I


Байду номын сангаас
U
I I (i u ) y U U
• 复导纳也是一个复数，它得模为端口电流、电压 的有效值或幅值之比，幅角为电流相量与电压相 量得相位差，称为导纳角
I Y U y i u
• 根据定义，对于单一元件R或C或L来说，其复阻抗分别 U 为： R:Z R
•
旋转矢量法是用一个在直角坐标中绕原点作逆 时针方向旋转的相量，来表示正弦交流电的方法, 运用旋转矢量法可以比较简单地进行正弦交流电 路的计算。若图4-8中向量以角速度绕原点逆时针 旋转，则经过时间t后，它与X轴的夹角为 , t Y轴的投影为： 该向量在 ，恰为正弦量 I m sin(t ) 的表达式。所以利用旋转矢量可以完整地表示一 个正弦量。 • 由于正弦量与表示它的相量之间的对应关系比较 简单和直观，因此，可以直接把正弦量的相量形 式写出来；反之，也可以直接写出相量所表示的 正弦量的瞬时值表达式；
• ④复阻抗和复导纳。
4.1 正弦交流电及其三要素
• 4.1.1 正弦交流电压和电流
• 一、 直流电的波形
• 在直流电路中，各部分的电压和电流都是恒定的、非时变 的；既它们的大小和方向不随时间变化，所以直流电的波 形为一条直线，如图：
u(t)
图4-1 直流电的波形
• 二、正弦交流电
• 正弦交流电压或电流：是指电压或电流按正弦规律变 化，即电压或电流的每个值在通过相同的时间后重复 出现，该时间即为周期T，而且在每一个周期内，电 压或电流的值按正弦规率变化，其瞬时值有正有负， 且在一个周期内平均值为零。 • 当波形变化经过横坐标轴时，在这一瞬间电路中没有 电流通过，但电压的变化率不为零。
A Ae
• 极坐标形式 ：
j
A | A |
2、复数运算
• （1）复数的和、差运算 • 若复数进行加（减）运算，则采用直角坐标的形 式， • 实部加（减）实部，虚部加（减）虚部
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
• 若将上述复数相加的运算画到复平面上，则为图 4-6所示，复数求和也可用向量的平行四边形法 则来进行。同理两个复数的差也可用平行四边形 法则来运算，这里要做以下处理
• 从相位差来看，两个同频率的正弦量存在 以下关系:
• •
• •
若φ＞0，称电流超前一个角度。 若φ＝0，即两个同频率正弦量的相位差为零， 称和同相位，简称同相。 若φ＝π，则称和反相位，简称反相 若φ＝π／2，则称和相位正交，即为最大值时， 为零；反之亦然。
4.1.4 正弦交流电的有效值
• 电路的主要功能之一是进行能量转换。交 流电量的最大值以及瞬时值均不能准确地 反映其效果。有效值的概念，可以说明交 流量的实际效果和作用。 • 有效值是从电流的热效应角度来定义的： 在一个周期内，假若通过电阻的电流分别 为一个直流电流和一个交流电流，如果产 生的热量相等，则这个直流电就为这个交 流电流的有效值。