线性方程组AX=B的数值解法(j)PPT精选文档
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数值分析第三章 解线性方程组的直接方法 ppt课件
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m 1：学考j这上a虑n两|严x子a个格i列j |方等。 a程价为...kk 组。省中在时as间iki 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
a nk
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
A(2) b(2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a(1) ij
b(1) i
mi
a(1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a(k) kk
， 0计算因子
m ik a i(k k )/a k (k )k(i k 1 ,..n ) .,
且计算
a(k1) ij
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: m i1a i1/a 11(a 1 10 )
1
记 L1 =
m 21 ...
1
m n1
a1(1)1...a1(1n) b1(1)
A b ，则 L 1 [A (1 ) b (1 )]
(2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ...L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
bb12((12))
...
其中 Lk =
1
a(n) nn
bn(n)
1
m k 1,k ...
m n ,k
1
1
第二章 线性方程组的数值解法
第二章 线性方程组的数值解法在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组。
例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都导致求解线性方程组。
n 阶线性方程组的一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L K K K K L L 22112222212********* （1.1） 其矩阵形式为b Ax = （1.2） 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A M M L K K K K L L 2121212222111211),,2,1,(n j i a ij L =，),,2,1(n i b i L =均为实数，i b 不全为0，且A 为非奇异。
关于线性方程组的数值解法一般分为两类：1．直接法 就是不考虑计算机过程中的舍入误差时，经有限次的四则运算得到方程组准确解的方法。
而实际中由于计算机字长的限制，舍入误差的存在和影响，这种算法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的消去法及其某些变形。
这些方法主要用于求解低阶稠密系数矩阵方程组。
2．迭代法 从某个解的近似值出发，通过构造一个无穷序列，用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。
本章主要介绍迭代法与迭代法。
迭代法是解大型稀疏矩阵（矩阵阶数高而且零元素较多）的线性方程组的重要方法。
§1 高斯)(Gauss 消去法1.1 Gauss 消去法Gauss 消去法是将线性方程组化成等价的三角形方程组求解。
首先举例说明Gauss消去法的基本思想和过程。
线性方程组AXB的数值解法j课件
a a3 41 1
a32 a42
a33 a43
a a3 44 4
m m3 41 1
m32 m42
1 m43
00 10
0 0
u33 0
u u3 44 4
A非奇异蕴含着对所有的k有ukk≠0，k=1,2,3,4.
线性方程组AX=B的数值解法j
26
矩阵的LU分解
• 是否所有的非奇异矩阵A都能作LU分解呢？
则求解线性方程组Ax=b的问题可以分解成两个简 单的问题：
Ly=b Ux=y
易见：Ax=(LU)x=L(Ux)=Ly=b
线性方程组AX=B的数值解法j
8
3.3 上三角线性方程组（续2）
• 求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2 nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,.n 1 x n 1+ n . .1 ,.n x a nn .b .1 .
回代到第一个方程，得
x1
725 3
1
3x1 2x2 7
53x2
25 3
线性方程组AX=B的数值解法j
13
3.4 高斯消去法和选主元（续2）
• 考虑包含n个未知数的方程组
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
例3.17和3.18
偏序选主元策略 |akp|=max{|app|,|app+1|,…,|aN-1p|,|aNp|}
线性方程组的解法完整版PPT资料
问题: (1)如何构造迭代格式？
(2)迭代格式是否收敛？
(3)收敛速度如何？
(4)如何进行误差估计？
高斯塞德尔Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是通过对Jacobi迭代法稍加改 进得到的。 Jacobi迭代法的每一步迭代新值
x(k+1)=[x1(k+1),x2(k+1) , ···,xn(k+1)]T 都是用前一步的旧值
X(k+1)= BX(k) + f
(k1)
x 1/10 0 1/10x 8/10 特别当aii≠0时，将上面迭代2公式应用于方程组 甚至可以举出Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散的例子。 但是迭代法也存在着收敛性(和k收敛1)速度等方面的问题。
x 1/151/15 0 x 13/15 例 线性方程组 Ax = b, 分别3取系数矩阵为
DX(k+1)＝b-LX(k+1) - UX(k)
即
(D+L)X(k+1) ＝ -UX(k)+b
n
aij x j bi (i = 1,2,…,n)
j1
xi(k 1)a 1 ii[b iij 1 1aix j (jk 1)j n i 1 aix j (jk)]
(i = 1,2,···,n; k =0,1,2,···)
分量形式的高斯-塞德尔迭代公式。
用矩阵形式来表示高斯-塞德尔迭代公式
x(k)=[x1(k),x2(k) , ···,xn(k)]T 的全部分量计算出来的。那么在计算第i个分量 xi(k+1) 时，已经计算出 x1(k+1),x2(k+1) , ···,xi-1(k+1) (i-1) 个分量，这些分量新值没用在计算xi(k+1) 上。将这
(2)迭代格式是否收敛？
(3)收敛速度如何？
(4)如何进行误差估计？
高斯塞德尔Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是通过对Jacobi迭代法稍加改 进得到的。 Jacobi迭代法的每一步迭代新值
x(k+1)=[x1(k+1),x2(k+1) , ···,xn(k+1)]T 都是用前一步的旧值
X(k+1)= BX(k) + f
(k1)
x 1/10 0 1/10x 8/10 特别当aii≠0时，将上面迭代2公式应用于方程组 甚至可以举出Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散的例子。 但是迭代法也存在着收敛性(和k收敛1)速度等方面的问题。
x 1/151/15 0 x 13/15 例 线性方程组 Ax = b, 分别3取系数矩阵为
DX(k+1)＝b-LX(k+1) - UX(k)
即
(D+L)X(k+1) ＝ -UX(k)+b
n
aij x j bi (i = 1,2,…,n)
j1
xi(k 1)a 1 ii[b iij 1 1aix j (jk 1)j n i 1 aix j (jk)]
(i = 1,2,···,n; k =0,1,2,···)
分量形式的高斯-塞德尔迭代公式。
用矩阵形式来表示高斯-塞德尔迭代公式
x(k)=[x1(k),x2(k) , ···,xn(k)]T 的全部分量计算出来的。那么在计算第i个分量 xi(k+1) 时，已经计算出 x1(k+1),x2(k+1) , ···,xi-1(k+1) (i-1) 个分量，这些分量新值没用在计算xi(k+1) 上。将这
数值分析解线性方程组的直接方法 PPT
a1(11) D1 ak(kk) Dk / Dk1, k 2,3,, n.
(2、12)
§5、2、2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G、E、 */:
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
A的谱半径为 ( A) 7.
5、1、4 特别矩阵 A (aij ) Rnn. (1)对角矩阵 如果当i j时，aij 0. (2)三对角矩阵 如果当| i j | 1时，aij 0. (3)上三角矩阵 如果当i j时，aij 0. (4)上海森伯格阵 如果当i j 1时，aij 0. (5)对称矩阵 如果AT A. (6)埃尔米特矩阵 设ＡＣnn ,如果AH A( AH AT ) (7)对称正定矩阵 如果（a）AT A，（b）对任意非零向量 x Rn , ( Ax, x) xT Ax 0. (8)正交矩阵 如果Ａ－１＝ＡＴ
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
的直截了当解法。方程组(5、1)的矩阵形式为
其中
a11
A
a 21 2
... ... ... ...
Ax=b
a1n a2n ... a nn
x1
,
x
x2 ...
x n
b1
(3) 相似矩阵 B=S-1AS有相同的特征多项式、
1 2 2
例1 求 A 2 2 4 的特征值及谱半径、
2 4 2
解: A的特征方程为
1 2 2
det(I A) 2 2 4
2
4 2
3 32 24 28 ( 2)2 ( 7) 0,
故A的特征值为 1 2 2, 3 7
第五章 线性方程组的解法PPT课件
第五章 线性方 程组的解法
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件
个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0
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xn
b n...
a
... nn
利用3.3节的回代法求解上述上三角方程组
25.05.2020
19
3.4 高斯消去法和选主元（续7）
消去过程
2x1 x2 4x3 16 3x1 2x2 x3 10 x1 3x2 3x3 16
2x1 x2 4x3 16
1 2
x2
5x3 -14
x1 3x2 3x3 16
17
3.4 高斯消去法和选主元（续5）
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2nxn b2 a3 2x2 a3 3x3 a3nxn b3
an 2x2 an3x3 an nxn bn
a
' j
2
/
a
' 2
2
25.05.2020
in1,..2.,1
25.05.2020
11
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 Ux b， 其中
u11 U
u12 u 22
u1n u2n
unn
25.05.2020
12
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解
2 x1 x2 4 x3 16
1 2
x2
5 x3 -14
5 2
x2
x3
8
25.05.2020
2x1 x2 4x3 16 x2 10x3 -28 26x3 78
20
3.4 高斯消去法和选主元（续8）
回代过程
x3
78 26
3
x2 -28 10 x3 -28 10 3
2
x1
16
线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程 组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特 征向量的数值方法。
25.05.2020
2
线性方程组求解问题
考虑线性方程组 Ax = b 其中A是一个(n ×n)的非奇异矩阵, x是要求解
的n维未知向量, b是n维常向量
a11 a12 a1nx1 b1
o作r 如下行变换之后方程组的解向量 x 不变
对调方程组的两行 用非零常数乘以方程组的某一行 将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行上
通过对增广矩阵[A|B]进行如上的行变换求解
25.05.2020
15
3.4 高斯消去法和选主元（续3）
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3
23
3.4 高斯消去法和选主元（续11）
病态问题：矩阵A中元素的微小变化引起解 的很大变化
1 0.48
0.299xx121.347
x1
x
2
1 1
1 0.49
0.299xx121.347
x1
x
2
3
0
cond(A)=207.012
25.05.2020
24
图形解释
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-2
-1
0
1
2
3
4
25.05.2020
25
3.4 高斯消去法和选主元（续12）
一个线性方程组称 为是病态的，如果 其系数矩阵接近奇 异且它的行列式接 近0
矩阵条件数 cond(A)=||A||||A-1||
25.05.2020
26
3.5 三角分解法
A=LU:下三角矩阵L的主对角线为1，上三角矩阵 U的对角线元素非零
一解
矩阵A是非奇异的（即A-1存在） 方程组AX=0有唯一解X=0 det(A) ≠0
25.05.2020
4
线性方程组的解
最常见的求线性方程组Ax=b的解的方法是在方 程组两侧同乘以矩阵A的逆
Ax = b
A 1A xA 1b xA1b
Gram法则：
xi
Di D
i 1,2,...,n，其中
Ddet(A)0，Di det(Ai)，Ai是A的第 i列用b代替所得。
an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
a31/a11 an1/a11
25.05.2020
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2nxn b2 a3 2x2 a3 3x3 a3nxn b3 an 2x2 an3x3 an nxn bn
m m3 41 1
m32 m42
1 m43
00 10
0 0
u33 0
u u3 44 4
A非奇异蕴含着对所有的k有ukk≠0，k=1,2,3,4.
25.05.2020
27
矩阵的LU分解
是否所有的非奇异矩阵A都能作LU分解呢？
一个例子：
A
0
1
1 0
1 a
0 b 1 0
d
c
N阶方阵A有唯一LU分解的充要条件是A的各阶 顺序主子式均不为零
如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价
对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
25.05.2020
13
3.4 高斯消去法和选主元（续1）
考虑一个简单的例子：
3x1 2x2 7 4x1 x2 1
求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
偏序选主元策略 |akp|=max{|app|,|app+1|,…,|aN-1p|,|aNp|}
按比例偏序选主元（平衡）策略
sr=max{|arp|,|arp+1|,…,|arN|} 其中r=p,p+1,…,N
|akp|m ax{|app|,|ap1p|,L,|aNp|}
sk
sp sp1
sN
25.05.2020
关于线性方程组的数值解法一般有两类
直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经 过有限步算术运算，可求得方程组的精确解 的方法
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但 存在收敛性及收敛速度等问题
25.05.2020
选主元以避免
a
( p
p p
)
0
，如果此主元非零，则不
换行；如果此主元为零，则寻找第p行下满足
a
( k
p p
)
0
的第1行，将此行与第p行互换，使新主元非零。
平凡选主元策略
25.05.2020
22
3.4 高斯消去法和选主元（续10）
选主元以减少误差：把元素中的最大绝对值移到 主对角线上
例3.17和3.18
定义3.4 如果非奇异矩阵A可表示为下三角矩阵L和上 三角矩阵U的乘积：A=LU，则A存在一个三角分解
a11 a12 a13 a14 1 0 0 0u11 u12 u13 u14
a21 a22 a23 a24m21 1 0 00 u22 u23 u24
a a3 41 1
a32 a42
a33 a43
a a3 44 4
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3.3 上三角线性方程组（续2）
求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
a
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,.n 1 x n 1+ n . .1 ,.n x a nn .b .1 .
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3.3 上三角线性方程组（续1）
条件akk≠0很重要，因为回代算法中包含对akk的除 法。如果条件不满足，则可能无解或有无穷解
定理3.6 如果N×N矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下 三角矩阵，则
N
det(A)a11a22LaNN aii i1
联系定理3.4，可知要条件akk≠0成立才能保证方 程组存在唯一解
第3章 线性方程组 AX=B的数值解法
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引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归 结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小 二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方 程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程， 偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程 组。
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3.5 三角分解法（续1）
利用前代/回代算法求解形如Lx=b或Ux=b的线性 方程组是容易的
如果对一个给定的矩阵A，能够找到一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U，使A=LU
则求解线性方程组Ax=b的问题可以分解成两个简 单的问题：
Ly=b Ux=y
易见：Ax=(LU)x=L(Ux)=Ly=b
an...nxn bn...
xn1
bn...1 - an...1,nxn an..1.,n1
最后
n
x 1b 1(a 1x21 a a 1 x3 11 a nxn)b 1(k a 1 2 a 1 k 1 xk)
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上三角线性方程组的求解
基本算法：
xxni b(nbi/unjnni1uijxj )/iui
an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn