第四章 变形静力学基础

灰口铸铁的 显微组织
球墨铸铁的 显微组织
普通钢材的 显微组织
优质钢材的 显微组织
B
3) 小变形假设 D
相对于其原有尺寸而言，变形
C
后尺寸改变的影响可以忽略不计。
D'
在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大
的误差。
基于此，固体力学研究的最基本问题是：
均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。
研究主线
先以一个例子说明方法。
[例4.1] 长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为h的
拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板
与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。
解：设人重为W，板重不计。讨 论板与地面刚接触 的临界状态，板受力如图。
1) 力的平衡条件： 由平衡方程有：
Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0
出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。
FN=0
解得：板刚刚触地时，人所走过的距离为：
x
=
a2
2 hk (
- 1)
LW
--（a）
此时，二弹簧的变形为：
A
=
W 2k
(
x a
- 1)
B
=
W 2k
(
x a
+ 1)
将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。
--（b）
研究变形体力学问题的主线是：
力的平衡 (已熟悉)
处于平衡状态的物体，其任 一部分也必然处于平衡状态。
F1 Fy My Mx
F2 A C Fx
沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受
Fz Mz
到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何
运动(截面有三个反力、三个反力偶)。
内力分布在截面上。向截面形心简化，内力 一般可表示为六个，由平衡方程确定。
而车轴的外伸部分既受弯 又受剪——横力弯曲
工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形 形式的组合——组合变形。
烟囱
齿轮传动轴 厂房吊车立柱
(压缩+横力弯曲) (扭转+水平面内横 (压缩+纯弯曲) 力弯曲+竖直面内
横力弯曲)
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；即指构件 的抵抗破坏的能力 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；指构件的 抵抗变形的能力
前两章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有
变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。
不再接受刚体假设。
4.1 变形固体的力学分析方法
以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法,
包括下述三个方面的研究：
1) 力和平衡条件的研究。
2) 变形几何协调条件的研究。 3) 力与变形之关系的研究。
FN =
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律横:截面上各点处s 相等
时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力
FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴
力FN。
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后
F
l
F
解： FR
F
l
2l
l
1
F2 q
1
F 2
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
FR = F
FR = F FR = F
FR = F
1
F2
q
3
Fx
1
F2
3
FN1 = F
FN3 = F
F
Fq
F N2
F
x1
F F = Fx1 l
FN 2
F
x1
Fx = 0
FN2
+
2F
- FR
-
Fx1 l
=
0
FN2
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
50KN
10KN
⊕
20KN
⊕
5KN
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max = FN2 = 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
[例题4-4]：试作此杆的轴力图q 。= F
正应力和切应力的正负规定：
s (+) t (+)
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
【例题4-3】 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
A 600
斜截面上的总应力：
p
=
F A
=
F
A / cos
=
F cos
A
= s 0 cos
式中，s 0
=
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s = p cos = s 0 cos2
t
=
p
s in
=
s0
2
sin 2
=
dF dA
，其
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
总应力 p
法向分量 正应力s 切向分量 切应力t
某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度
某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
=
Fx1 l
-F
F q=F/l
F
l
2l
F l
F +
F
FN 图
F +
二 应力·拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
内力的平均集度即平均应力，
F pm = A
，其方向和大小一般
而言，随所取ΔA的大小而不同。
该截面上M点处分布内力的集度为
p
=
lim
A0
F A
变形静力学引言：
变形体静力学主要研究对象是杆件
横向尺寸远小于纵向尺寸的构件
轴线
横截面
Baidu Nhomakorabea
截面形心
杆件的几何特性
直杆 曲杆 主要几何因素：横截 面、轴线 等截面杆和变截面杆
杆件变形的基本形式
Ⅰ. 轴向拉伸或轴向压缩
Ⅱ. 剪切
Ⅲ. 扭转
Ⅳ. 弯曲
F1=F2时(从而亦有FA=FB) 车轴的AB部分不受剪切—— 纯弯曲。
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s = FN 。
A
300
F F
F
s = FN
50KN
A
[例4-5] 试求此正方
形砖柱由于荷载引起的横
截面上的最大工作应力。
已知F = 50 kN。
400
150KN 240 370
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
50KN
s1
B
FN3 M3 FQ3
D
FBx
y
FCD
y
Fy
F
1 My
C
Fx
z
A
x
Fz
Maz
BMxxb
最一般情况： 截面内力有六个分量。
基本 变形
轴向拉压
扭转
弯曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
4.4 杆的轴向拉伸和压缩
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前， 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
例[4.2] 求图中1、2、3截面内力。
FAy
a
解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2
a A FAx 2
3
D
C
a
1F
由铰链C：FAC= 2F2； FCD=-F
2）求各截面内力：
若外力在同一平面内，截面内力只
C
有三个分量，即:
轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FQ 作用于截面切向。
弯矩 M 使物体发生弯曲。
M C FQ FN
若外力在轴线上,内力只有轴力。
内力的符号规定
FN
取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：
内力 右截面正向 左截面正向 FN FQ M
微段变形（正）
弹簧A、B的变形为
A=hA-h 及 B=h-hB
(受拉伸长) --(4) (受压缩短) --(5)
3) 力与变形间的物理关系： 对于弹簧，力与变形间的关系为：
FA=kA
--(6)
及 FB=kB
--(7)
综合考虑平衡条件、 变形几何关系、物理关系 后，得到七个方程，可求
hA A
x
hB aa
FA
BW FB
Fy=0 MA(F)=0
hA A
x
hB aa
FA
BW FB
FN=0
变形的几何协调 (几何分析)
hB/hA=(L-a)/(L+a) A=hA-h; B=h-hB
力与变形之关系 (物理关系)
FA=kA ; FB=kB
研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。
4.2 基本假设
固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。 为研究方便，采用下述假设：
=
FN1 A1
=
- 50103 N (0.24m) (0.24 m)
= -0.87106 Pa = -0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
s2
=
FN 2 A2
=
- 150103 N
0.37 m 0.37 m
= -1.1106 Pa = -1.1MPa (压应力)
150KN
s2 s1
1) 均匀连续性假设
物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是均匀、连 续的，且任何部分都具有相同的性质。
变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何 协调（相容）条件。可取任一部分研究。
2) 各向同性假设
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。
稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失 效，指构件的保持平衡的能力
强度问题
垮塌后的彩虹桥 强 度 问 题
高刚度的桥面结构
刚 度 问 题
稳 定 问 题
强 稳刚 度 定度
问 题
第四章 变形体静力学基础
4.1 变形固体的力学分析方法 4.2 基本假设 4.3 内力、截面法 4.4、杆的轴向拉伸和压缩 4.5 一点的应力和应变 4.6 变形体静力学分析
B
C
300
500
DE 400
20KN
等直杆的受力示意图
解：
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN
FR
A
1 FN1
1
为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
FR
F1 2 FN2
A
B2
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN2=50 kN(拉力)
3 F3
FN3
F4
3D
E
FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
画轴力图
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模 型。
随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。 如在 后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或
裂隙等不连续介质的问题等等。
4.3 内力、截面法
1.内力: 物体内部某一部分与
相邻部分间的相互作用力。
F1 F2 A
C BM F3
必须截开物体，内力才能显示。
受拉伸
顺时针错动
向上凹
2. 截面法
用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截 面上内力的方法。
截面法求解内力的步骤为：
求约 束反 力
截取 研究 对象
受力图， 内力按正 向假设。
列平 衡方 程
求解内力， 负号表示与 假设反向
无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内 力。因为，二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适 当的符号规定可保证其一致性。
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
斜截面上的内力： F = F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。
A
WB
L
aa L
hA A
x
hB
FA
BW FB
FN=0
二个平衡方程，三个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变 形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。
2) 变形几何协调条件：
刚性板保持为直板， 二弹簧变形后应满足的 几何条件是：
hA A
x
hB aa
FA
BW FB
FN=0
hB/hA=(L-a)/(L+a) (x>0) --(3)
截面1：FN1=FCD=-F
FN1
FBx B
FAC
FCD C F
FCD
截面2：FN2=FACcos45=F； FQ2=FACsin45=F M2=FACcos45•x=F•x
a
a
A 3
D
a
2
C
1F
FAC
x
M2 FQF2N2
截面3：FN3=0；FQ3=-FBx-FCD=F/2； M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2
的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。
2. 平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍 为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截