曲面方程及其方程
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各种曲面的方程
各种曲面的方程
1. 球面方程
球面是一种非常常见的曲面，它的方程为：
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
其中，a、b、c分别为球心的坐标，r为球的半径。
这个方程描述了一个以(a,b,c)为球心，半径为r的球面。
球面在几何学中有着广泛的应用，比如在计算机图形学中，球面可以用来表示三维空间中的物体表面，比如球体、球形天体等等。
2. 椭球面方程
椭球面是一种比球面更加复杂的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的椭球面。
椭球面在几何学中也有着广泛的应用，比如在地球科学中，椭球面可以用来表示地球的形状，以及计算地球的重力场等等。
3. 双曲面方程
双曲面是一种非常特殊的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² - (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的双曲面。
双曲面在几何学中也有着广泛的应用，比如在物理学中，双曲面可以用来表示电磁场中的等势面，以及计算电场、磁场等等。
曲面方程是几何学中非常重要的一部分，它们可以用来描述各种不同形状的曲面，以及在各种不同领域中的应用。
曲面及其方程(精)
如 x 2 + y 2 = R 2 在空间中的图形是一个母线平行于 z 轴 的圆柱面. 该圆柱面与 xOy 面的交线 C 为
x2 y 2 R2 , z 0.
同理, 在空间中方程 F ( x , z ) = 0 及 F ( y , z ) = 0
分别表示母线平行于 y 轴及母线平行于 x 轴的柱面.
如 z = x 2 表示一个母线平行于 y 轴的抛物柱面, 见
图.
三、旋转曲面
设有一条平面曲线 C 绕着同一平面内的一条定直 线 L 旋转一周, 由其旋转所形成的曲面称为旋转曲面, 称曲线 C 为旋转曲面的母线, 定直线 L 称为旋转曲面 的轴.
设在 yOz 面上有一条已 知直线 C , 它的方程是 F
两边平方后, 得
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
(2)
显然, 球面上的点的坐标都满足该方程, 不在球面上
的点的坐标都不满足该方程, 所以, 式 (2) 就是球心
在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 半径为 R 的球面方程. 当球心在原点时, 球面方程为 x2 + y2 + z2 = R2 , 其图形见图.
解 绕 z 轴旋转时, 由式 (3) 得旋转曲面的方程为
( x 2 y 2 )2 z 2 2 1, 2 b c
x2 y 2 z 2 即 2 1. 2 b c 绕 y 轴旋转时, 由式 (4) 得旋转曲面的方程为 y 2 x2 z 2 1. 2 2 b c 上面的两个曲面, 均称为旋转椭球面.
F ( y, x 2 z 2 ) 0.
(4)
类似可以得到 xOy 面上的曲线绕 x , y 轴旋转, zOx 面上的曲线绕 z , x 轴旋转的旋转曲面方程.
x2 y 2 R2 , z 0.
同理, 在空间中方程 F ( x , z ) = 0 及 F ( y , z ) = 0
分别表示母线平行于 y 轴及母线平行于 x 轴的柱面.
如 z = x 2 表示一个母线平行于 y 轴的抛物柱面, 见
图.
三、旋转曲面
设有一条平面曲线 C 绕着同一平面内的一条定直 线 L 旋转一周, 由其旋转所形成的曲面称为旋转曲面, 称曲线 C 为旋转曲面的母线, 定直线 L 称为旋转曲面 的轴.
设在 yOz 面上有一条已 知直线 C , 它的方程是 F
两边平方后, 得
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
(2)
显然, 球面上的点的坐标都满足该方程, 不在球面上
的点的坐标都不满足该方程, 所以, 式 (2) 就是球心
在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 半径为 R 的球面方程. 当球心在原点时, 球面方程为 x2 + y2 + z2 = R2 , 其图形见图.
解 绕 z 轴旋转时, 由式 (3) 得旋转曲面的方程为
( x 2 y 2 )2 z 2 2 1, 2 b c
x2 y 2 z 2 即 2 1. 2 b c 绕 y 轴旋转时, 由式 (4) 得旋转曲面的方程为 y 2 x2 z 2 1. 2 2 b c 上面的两个曲面, 均称为旋转椭球面.
F ( y, x 2 z 2 ) 0.
(4)
类似可以得到 xOy 面上的曲线绕 x , y 轴旋转, zOx 面上的曲线绕 z , x 轴旋转的旋转曲面方程.
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
曲面及其方程
解 设M(x,y,z)是曲面上任一点，根据题意有
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
，即
一、曲面方程的概念
整理得 这就是所求曲面上的点的坐标满足的方程，而不在该
曲面上的点的坐标不满足此方程，所以它就是所求曲面的 方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐 标间的方程来表示.反之，变量x,y和z间的方程通常表示一 个曲面.下面将以旋转曲面为例讨论问题：已知一曲面作为 点的几何轨迹时，如何建立该曲面的方程？以柱面和二次 曲面为例讨论问题：已知坐标x,y,z间的一个方程时，研究 这方程所表示的曲面的形状.
由于旋转轴为z轴，将方程(7-11)中的y改成 到圆锥面的方程
整理得 z2=a2(x2+y2),
其中a=cot α.
,便得
二、旋转曲面
事实上，以前学习过的椭圆、抛物线及双曲 线都是由圆锥面得来的.用一个平面截圆锥面，当截 面与其所有母线都相交，截线为椭圆；当截面与任 一条母线平行，截线为抛物线；当截面与轴线平行， 截线为双曲线的一支.
图 7-30
三、柱面
【例5】
试讨论方程
表示什么样的曲面？
解 方程
在平面解析几何中表示xOy
面上以原点O为中心的椭圆曲线.但在空间直角坐标系中,此
方程表示的应为一个曲面.
三、柱面
事实上，由于此方程不含竖坐标z,则对动点M(x,y,z)，无 论z取何值,只要其横坐标x和纵坐标y满足比方程,那么这些点 就在这曲面上.从而可知，过xOy面上的椭圆
求此曲线C绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面（见图7-27转曲面
设M10,y1,z1为曲线C上的任一点，于是M1的坐标必满
足f(y1,z1)=0.当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点
M（x,y,z），此时，点M与z轴的距离等于点M1到z轴的距
8.5 曲面及其方程
1 1 0
椭圆柱面
双曲柱面 抛物柱面
x 2 2 py 0
F( x 2 y 2 , z ) 0
或者
F ( x 2 y 2 , z ) 0
同理 绕 y 轴旋转所成曲面方程为
F( y, x 2 z 2 ) 0
或者
F ( y, x 2 z 2 ) 0
例 把双曲线
y2 b
2
z2 c
2
1 分别绕 z 轴 , y 轴旋转 ,
求所得旋转面的方程 解 绕 z 轴 , S1:
x2 y2 b
2
z2 c
2
1
S1 称为旋转单叶双曲面 绕 y 轴 , S2 :
y b
2 2
x z
2
2
c
2
1
S2 称为旋转双叶双曲面
3º 柱面
柱面 一直线沿着给定的曲线 C 平行移动形成
的曲面称为柱面 , 移动的直线称为此柱面的母线 , z 曲线 C 称为此柱面的准线 若 S 的母线平行于 z 轴 , 则对于柱面上的点 P(x , y , z) 若将 P = (x , y , z) 平行于 z 轴上下
2º 旋转曲面 旋转曲面: 由一条平面曲线绕着一平面上的
一条定直线旋转而产生的曲面称为旋转面 , 定直
线称为此曲面的轴 , 曲线称为此曲面的母线 z 设在 yz 平面上给定一条曲线 S F ( y, z ) 0 : x0 o 绕 z 轴旋转所成曲面 S
y
x
任取 P(x , y , z) S
§8.5 曲面及其方程
1º 曲面方程的概念
曲面是具有某种几何特征的空间点的轨迹 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) 0 具有以下关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) 0 （2）不在曲面 S 上任一点的坐标都不满足方程
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
曲面方程及其方程
② 圆锥面
直线 L 绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面
的顶点, 两直线的夹角
(0 < <
)
2
叫圆锥面的半顶角.
试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
x
特殊柱面： 平面
y
y x
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
2. 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
3. 旋转曲面 (旋转曲面的概念及求法).
4.
如,
曲线
f (y, z) x0
0
柱面 (母线、准线).
绕 z 轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
当平面z c上下移动时，得 c
到一系列圆.
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
d M1(0, y1, z) M
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
• oMo
母线 L
y
x
•
曲面
M1 准线C
高等数学 第三节 曲面及其方程
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c ) ，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
31
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
结束
44
四、 二次曲面
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转生成旋 转椭球面： a c 2 2 2 x y z 2 1 2 a c 2
2 2 2 2
z c c2 2 2 x y a2
z c 2 x y2 2 c2 2 a b
圆
椭圆锥面 方程 :
z2 x2 a
2
y2 b2
椭圆
10
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 2 a c
x2
2
2
2
x y z 2 1 2 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c ) ，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
31
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
结束
44
四、 二次曲面
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转生成旋 转椭球面： a c 2 2 2 x y z 2 1 2 a c 2
2 2 2 2
z c c2 2 2 x y a2
z c 2 x y2 2 c2 2 a b
圆
椭圆锥面 方程 :
z2 x2 a
2
y2 b2
椭圆
10
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴； a c
y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 2 a c
x2
2
2
2
x y z 2 1 2 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2
旋 转 双 曲 面
11
y2 z2 2 2 1 （2）椭圆 a 绕 y 轴和 z 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
曲面及其方程
1( x − 1) + 2( y − 1) + 3( z − 1) π ∴ cos = 6 1 + 4 + 9 ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2
化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.
2 2 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？
解
根据题意有 z ≥ −1
用平面 z = c 去截图形得圆：
z
( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 1 + c (c ≥ −1)
当平面 z = c 上下移动时， 得到一系列圆
F( x, y, z) = a1x + a2 y + a3z + a4 xy+ a5 yz + a6zx + a7 x + a8 y + a9z + a10
2 2 2
以下给出几例常用的曲面.
例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为R 的球面方程 .
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
注意
方程
x=2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在( 0,0)，
x2 + y2 = 4
y = x+1
半径为 2 的圆
斜率为1的直线
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
练习 1、 解
x −1 y z 直线 L : = = 绕 z 轴旋转一周, 0 1 1 求旋转曲面的方程.
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
曲面及其方程
z
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合. x
o
y
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
（三元一次方程表示的是平面）
研究二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法考察各类二次曲面的形状．
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与三个
坐标面的交线：
x2 a2
y2 b2
(1)曲 面S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足方 程 ； (2) 坐标满足方程的点都在曲面S上；
那 么 ， 方 程F ( x, y, z) 0 就 叫 做曲 面S的 方 程， 而 曲 面S就 叫 做方 程 的 图 形.
F(x, y, z) 0
z S
oy x
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面的几何特征，求曲面的方程． （2）已知曲面的方程，研究曲面的形状．
x
即 z2 cot 2 ( x2 y2 ).
例5
将xOz
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1分 别 绕x轴
和z轴 旋 转 一 周 ， 求 所 生 成的 旋 转 曲 面 的 方 程.
绕 x轴旋转：x2
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合. x
o
y
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
（三元一次方程表示的是平面）
研究二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法考察各类二次曲面的形状．
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与三个
坐标面的交线：
x2 a2
y2 b2
(1)曲 面S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足方 程 ； (2) 坐标满足方程的点都在曲面S上；
那 么 ， 方 程F ( x, y, z) 0 就 叫 做曲 面S的 方 程， 而 曲 面S就 叫 做方 程 的 图 形.
F(x, y, z) 0
z S
oy x
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面的几何特征，求曲面的方程． （2）已知曲面的方程，研究曲面的形状．
x
即 z2 cot 2 ( x2 y2 ).
例5
将xOz
面
上
的
双
曲
线x 2 a2
z2 c2
1分 别 绕x轴
和z轴 旋 转 一 周 ， 求 所 生 成的 旋 转 曲 面 的 方 程.
绕 x轴旋转：x2
第四节 曲面及其方程
2
z1 )
2
y
b 2 (c 2 c2
2
z12 )
1
x
a
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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3 抛物面
x2 y2 2 2z (1) 椭圆抛物面 2 p q
z
标准方程
截痕:
用z = a截曲面 椭圆
用y = b截曲面
抛物线 用x = c截曲面
1
双叶双曲面
x2 y2 2 2 a b
1
• 柱面:
x2 y2 2 1 2 a b
返回
结束
3. 两条相交直线
z2 y2 2 2 = 0 b a x = 0
z
绕 z 轴旋转一周. 得 圆锥面
z x y 0 2 2 a b
2 2 2
o
y
当a = b = 1时,
x
圆锥面为
z x2 y2 .
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y 2 az 绕 z 轴旋转一周, 得 4. 抛物线 x0 z 旋转抛物面 x 2 y 2 az
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例9 指出下列方程的图形: 方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
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返回
结束
四、二次曲面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕: 用z = a截曲面
曲面及其方程
z
l o o x M(x, y, 0) y
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动 直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.
例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱 面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 x−y = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上 的直线x−y = 0, 所以它是过z轴的平面.
z
o x
y x−y = 0
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1° 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2° 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3° 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
二、几种常见曲面的方程. 几种常见曲面的方程.
M
1. 球面 考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 对于球面上任 一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 =43; y 2 )
l o o x M(x, y, 0) y
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动 直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.
例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱 面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 x−y = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上 的直线x−y = 0, 所以它是过z轴的平面.
z
o x
y x−y = 0
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1° 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2° 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3° 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
二、几种常见曲面的方程. 几种常见曲面的方程.
M
1. 球面 考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 对于球面上任 一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 =43; y 2 )
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d M1(0, y1, z) M
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
z x2 y2 cot
o y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶双曲面
绕z轴旋转而成的曲面：
x
2
a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
x2 a2
y2 c2
z
母线 L
oo
x
准线C'
y
准线C
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征
方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量)
如：F ( x, y) 0
z
表示母线 // z 轴的柱面. 事实上， M( x, y, z) 过点M 作垂直于 xoy 面 的垂线，则此垂线与 C 的交点M1(x, y, 0)的坐标 必满足 ：F ( x, y) 0.
F(x, y, z) 0
z
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
S
曲面的实例：
oy
水桶的表面、台灯的罩子面等． x
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
例1 求动点到定点 M0( x0, y0, z0 ) 距离为 R 的轨迹 方程.
解 设轨迹上动点为 M ( x, y, z) 依题意
因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.
④ 旋转椭球面
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
z 0
绕 y 轴旋转而成的曲面：
x2 z2 a2
y2 b2
1
y2
椭圆
a
2
z2 c2
1
绕 y轴和 z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转 绕z 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
球
x2 a2
y2
z2 c2
1
面
⑤ 旋转抛物面
y2 2 pz 抛物线
x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
x2 y2 2 pz
—— 旋转抛物面
z
p0
x
o
y
4. 柱面 (1) 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的
直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱 面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
注 柱面的准线不惟一.
一、曲面方程的概念
引例 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解 设轨迹上的动点为 M ( x, y, z), 则 AM BM ,
即 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0.
(
x,
y,
P z)
O
d
M
(1,
y1
,
z)
y
x
即 x2 y2 0 1 y12 0
旋转单 叶双曲
故所求旋转曲面方程为: x2 y2 1 z2 1. 面
4
注 一般地，旋转单叶双曲面
z
x2 a2
y2
z2 c2
1
还可成是由直线
xa y z
O
y
0 ac
或 xa y z
x
0 ac
绕z轴旋转而成.
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
1. 定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 3. 旋转曲面
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
2. 两个基本问题 (1) 已知一曲 x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
z
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
3. 旋转曲面
(1) 定义 一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
(2) 转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：
如图， M( x, y, z) , 1 过点M作垂直于z 轴的平面
2 点M 到z 轴的距离
d x2 y2 y1
x
z
z2
1
双叶双曲面
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
例3 求直线 x 1 y z 绕 z轴旋转而成的 0 12
旋转曲面方程.
解 M( x, y, z) , 过点 M 作垂直于z 轴
的平面，它与所给直线 L的交点为
L
M1(1, y1, z), 则
y1
1 2
z.
MP d M1P
z
M
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0.
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点： 出现某两变量的平方和.
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
② 圆锥面
直线 L 绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面
的顶点, 两直线的夹角
(0 < <
)
2
叫圆锥面的半顶角.
试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面 的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
z x2 y2 cot
o y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶双曲面
绕z轴旋转而成的曲面：
x
2
a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
x2 a2
y2 c2
z
母线 L
oo
x
准线C'
y
准线C
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征
方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量)
如：F ( x, y) 0
z
表示母线 // z 轴的柱面. 事实上， M( x, y, z) 过点M 作垂直于 xoy 面 的垂线，则此垂线与 C 的交点M1(x, y, 0)的坐标 必满足 ：F ( x, y) 0.
F(x, y, z) 0
z
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
S
曲面的实例：
oy
水桶的表面、台灯的罩子面等． x
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
例1 求动点到定点 M0( x0, y0, z0 ) 距离为 R 的轨迹 方程.
解 设轨迹上动点为 M ( x, y, z) 依题意
因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.
④ 旋转椭球面
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
z 0
绕 y 轴旋转而成的曲面：
x2 z2 a2
y2 b2
1
y2
椭圆
a
2
z2 c2
1
绕 y轴和 z
轴；
x 0
绕 y 轴旋转 绕z 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
球
x2 a2
y2
z2 c2
1
面
⑤ 旋转抛物面
y2 2 pz 抛物线
x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
x2 y2 2 pz
—— 旋转抛物面
z
p0
x
o
y
4. 柱面 (1) 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的
直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫柱 面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
注 柱面的准线不惟一.
一、曲面方程的概念
引例 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解 设轨迹上的动点为 M ( x, y, z), 则 AM BM ,
即 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0.
(
x,
y,
P z)
O
d
M
(1,
y1
,
z)
y
x
即 x2 y2 0 1 y12 0
旋转单 叶双曲
故所求旋转曲面方程为: x2 y2 1 z2 1. 面
4
注 一般地，旋转单叶双曲面
z
x2 a2
y2
z2 c2
1
还可成是由直线
xa y z
O
y
0 ac
或 xa y z
x
0 ac
绕z轴旋转而成.
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
1. 定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 3. 旋转曲面
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
2. 两个基本问题 (1) 已知一曲 x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
z
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
3. 旋转曲面
(1) 定义 一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋 转一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
(2) 转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：
如图， M( x, y, z) , 1 过点M作垂直于z 轴的平面
2 点M 到z 轴的距离
d x2 y2 y1
x
z
z2
1
双叶双曲面
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶双曲面
例3 求直线 x 1 y z 绕 z轴旋转而成的 0 12
旋转曲面方程.
解 M( x, y, z) , 过点 M 作垂直于z 轴
的平面，它与所给直线 L的交点为
L
M1(1, y1, z), 则
y1
1 2
z.
MP d M1P
z
M
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0.
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点： 出现某两变量的平方和.
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
② 圆锥面
直线 L 绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面
的顶点, 两直线的夹角
(0 < <
)
2
叫圆锥面的半顶角.
试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：