第六章位移法和力矩分配法MicrosoftPowerPoint演示文稿

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二、排架结构
Δ1
B
q
EA=∞
Δ1
C
l
A
D
Δ1
B
C
FR1
q
EA=∞
基本系
A
D
B
Δ1
FSBA
FR1
FSCD
C Δ1
q
FR1=FSBA+FSCD=0
A
D
B
q
A ql2/8
B
C
MF
D
FR1F
FSBAF
q
FSABF ql2/8
C FSCDF
FR1F
FSDCF
FSBAF=-3ql/8
FSCDF=0
FR1F=FSBAF+FSCDF =FSBAF =－3ql/8
2F

Fa2 6EI
(3b 2a)
M2 Fa
F
MF
X1
B
X2 X1 =1
X2 =1
F
A
aC
b
B
l
F
A
C
X1
B
X2
Fab2 l2
M
Fa2b l2
解得：
X1

Fa2b l2
X2


Fa2 (l l3
2b)
作弯矩图和剪力图
Fb2 (l 2a)
l3
FS
Fa2 (l 2b) l3
2、单跨超静定梁在支座移动作用下的杆端内力
4i
1 =1
C
B
2i
3i
M1
3Fl/28 F
A
C
B
3Fl/56
M
11Fl/56
FR1
F
3Fl/16 FR1F =－3Fl/16
k11
4i
3i
k11 =7i φ1=3Fl2/112EI
A
9F/56
17F/28
B
C
FS 11F/28
M=M11+MF
30kN B
例2
24kN/m
4m A
FR1F 30kN B
1 2
1
2
三、线位法基本未知量的确定
位移法的基本未知量数目等于刚结点的角位 移和结点的独立线位移二者数目之和。 四、位移法的基本系
在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂； 在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。
得到位移法的基本结构。
基本结构在荷载、基本未知量和相应的约束力或约 束力矩作用的结构——位移法的基本系
, 2

2656 23i
按弯矩叠加公式 M M11 M 22 MF
画弯矩图
FR1F 30kN B
32
C FR2
F
q
MF
k11
1 1
A
D 4i
32
M=M11+M22+MF
3i
M1
60.52
B
2i C
48 M(kNm)
32
q
MF
A
32
C
EI=常数
D 4m
FR1
1
B
基本系 q
A
C Δ2 FR2
D
FR1F
C FR2F
B
32
FR1F
30 B 48
C FR2F
D
FR1F=32kNm
FR2F=－78kN
MBA=ql2/12=32kNm
FSBA=-ql/2=-48kN
k11
1 1
4i
3i
M1
2i
k11
k21
C
k11
a=b
-3Fl/16 0
11F/16 -5F/16
B －ql2/8 0
5ql/8 -3ql/8
14、
A 1
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B MAB
MBA FSAB
FSBA
i
-i
0
0
15、
a
A
F
b
EI
l
16、
q
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B MAB
MBA FSAB
FSBA
-Fa(l+b)/2l -Fa2/2l F
FS AB

FF SAB
q
A
EI
l
φA
A′
B
B′
FS BA

FF SBA
第2节 位移法的基本原理
力法：是以结构的多余约束力作为未知量，
按照位移条件将多余约束力求出，然后再根 据平衡条件求解其他的约束力、内力 以及求 位移等等。 力法是将超静定结构化为静定结构来计算的。 位移法：是以结构的某些位移作为未知量， 利用变形协调条件，通过对超静定梁系的计 算建立平衡条件，求出结点位移，再根据内 力与位移之间的关系，确定结构的内力。
第6章 位移法和*力矩 分配法
课件制作：黄孟生
第1节 等截面单跨超静定梁的杆端内力
单跨超静定梁受荷载作用以及杆端发生位移时的 杆端内力，可由力法求得。它们是位移法的基础.
符号规定：
MAB
A A FSAB
B
B MBA
FSBA Δ
杆端弯矩、杆端剪力、杆端转角及垂直于杆 轴线的杆端线位移，均以顺时针方向为正。
3i
B
4i
6i/l
D
k11=7i
C k21
k21=－3i/2
k12
6i/l
M2
6i/l
Δ2=1
k22
C
k12
6i/l
D
k12=－6i/l
k12
B 12i/l2
Δ2=1
C k22
3i/l2
k22=15i/16
解方程 得
7i1

3i 2
2

32

0
3i 2
1

15i 16
2

78

0
1

464 23i
B
CD
E
F
G
B、C 两个刚结点
E
F
C 、D部分去掉 B处 两个刚结点
二、线位移
线位移基本未知量——结点的独立线位移
不考虑轴向变形的前提下，把所有的刚结点和 固定端分别改为铰结点和固定铰支座，使刚架 变成一铰结体系。再分析几何组成，凡是可动 的结点，用增加附加链杆方法，使铰结体系成 为几何不变体系为止。
3、建立位移法典型方程； 利用刚结点的力矩平衡条件和结构中某部分的投影平衡 条件求出刚结点处的约束力偶和约束力FRiF,kij；
4、解方程求解各基本未知量； 5、求各杆的杆端内力作内力图
6、校核。
例1
F
A
B
C
EI
EI
l
l/2 l/2
FR1 F
A
1
C
B
基本系
FR13FFl/16F
A
C
B
MF
A
k11
位移法：是以结构的结点位移为未知量，利用变形协调条件， 通过对单跨超静定梁系的计算，建立平衡条件，求 出结点位移，进而计算结构内力。
超静定结构——单跨超静定梁系——位移法基本思路
一、刚架结构
FC
B
1
1
EI=常量
l
不计杆长变化，结点B只有 转角位移而无线位移；
BA,BC杆B端角位移均为 1。
A l/2 l/2
4i
M1
k11=7i
1
FR1F k11
3Fl2 112EI
FC
B EI=常量
A
l/2 l/2
3Fl 28
11Fl 56
M
3Fl 56
FR1F B
FC
k11 1 1
3Fl
4i
16
3i
l
MF
M1
A
2i
1=3Fl2/112EI
M M11 MF
17F 28
11F 28
9F FS
6i
AB l

M
F BA
φA
FS AB


6i l

A

6i l
B
12i
l2
AB

FF SAB
A′
FS BA


6i l

A

6i l
B
12i l2
AB

FF SBA
B
B′ φB ΔAB
B"
2、A端固定B端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：
M AB
3iA
3i
AB l
单跨超静定梁的内力可由力法求出，它是位移法计算的基础
1、单跨超静定梁的固端弯矩和剪力
F
A
C
a
b
F
BA
C
l
1
11 X1 12 X 2 1F 0 21 X1 22 X 2 2F 0
M1 l
11

l EI
22

l3 3EI
12

Biblioteka Baidu
l2 2EI
1F

Fa2 2EI
基本结构 基本结构
基本结构 基本结构
四、典型方程
F
FR1
φ1
FR2
φ2
k111 k122 k133 FR1F 0 k211 k222 k233 FR2F 0
k311 k322 k333 FR3F 0
FR3Δ3 基本系
k11z1 k12 z2 .......k1n zn FR1F 0 k21z1 k22 z2 ......k2n zn FR2F 0
若有m个独立的结点线位移未知量，则需考虑 某些横梁（也包括某些立柱）部分的平衡，建 立m个投影平衡方程；
求出结点位移后，便可以确定结构的内力。
第3节位移法基本未知量、基本系和典型方程
基本未知量：结点的独立角位移和线位移。
一、角位移 角位移基本未知量——刚结点的转角 其数目等于刚结点的总数
A
B
C
D
A
FR11=k11Δ1=6iΔ1/l2
B
C
MF
A
D
ql2/8
FR1F= －3ql/8
FR1=FR11+FR1F=0
Δ1=－FR1F/k11=ql2/16i=ql2/16EI
M
A 5ql2/16
D 3ql2/16
M=M1Δ1+MF
可见：位移法是以结构的结点位移（转角和线位移） 作为基本未知量求解。
若有n个刚结点，则有n个转角未知量，以相应 的刚结点建立n个力矩平衡方程；
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
kn1z1 k2 z2 .......knn zn FRnF 0
五、位移法的计算步骤和计算举例
一、计算步骤：
1、确定位移基本未知量,建立基本系； 在角位移未知量的结点处加上阻止转动的附加刚臂；
在线位移未知量的结点处加上阻止线位移的附加链杆。 2、分别求出基本系在荷载、单位转角和单位线位移作用 下的杆端弯矩和杆端剪力的表达式；
A
A
EI
l
A
BA
X1
B
X2
4
EI l

A
M
2EI l
A
6EI l

A
FS
X1

2EI l
A,
X2


6EI l2
A
11X1 12 X 2 1C 0
21X1 22 X 2 2C 0
11

l EI
22

l3 3EI
12

l2 2EI
1C A

M
F AB
A
MBA 0
q
B
EI l
FS AB


3i l

A

3i l2
AB

FF SAB
FS BA


3i l

A

3i l2
AB

FF SBA
φA A′
B′ ΔAB
B"
3、A端固定B端滑移支座的等截面梁，其杆端弯矩和剪力：
M AB

i A

M
F AB
MBA

i A

M
F BA
12i/l2 12i/l2
3、 a F b
A
EI
l
q
4、
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
-Fab2/l2
Fa2b/l2
Fb2(1+2a/l)/l 3 -Fa2(1+2b/l)/l3
a=b
-Fl/8 Fl/8
F/2 -F/2
B －ql2/12 ql2/12 ql/2 -ql/2
2C lA
A
6EI l2
AB
12EI l3
AB
EI
l
M FS
B
A
AB
X11
B
X22 AB
6EI l 2 AB
11X1 2 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
11

l EI
22

l3 3EI
12

l2 2EI
1C 0
B
1
B
F
1
1
1
A
——变形协调条件
C
两者受力和变形完全相同；
不同的是：上图转角是由荷载 引起的，而下图的转角和力都 是外来因素作用在梁上。
FC
B
EI=常量
l＝
1
F
BB
1
1
C
1
A
l/2 l/2
A
FR1
FC
B
——附加刚臂
1
=
基本系
A
FR1 B
MBC
MBA
平衡条件： FR1 M BA M BC 0
2C AB
X1

6EI l2
AB ,
X2

12EI l3
AB
表6－1给出了等截面单跨超静定梁在支座移动和 各种荷载作用下杆端弯矩和杆端剪力
式中 i EI l
1、A = 1
A
EI
B
l
杆端弯矩
MAB
MBA
4i
2i
杆端剪力
FSAB
FSBA
-6i/l -6i/l
2、
A
EI
l
B Δ=1 －6i /l -6i/l
FR1 B
FC
1
FR1F B
A
FC
FR11 C
B
1
A
A
FR1=FR11+FR1F=0
FR1F
FC
B
3Fl
16
A
FR1F
FC
B
3Fl
16
MF
A
FR1F B
3Fl/16
FR1F=－3Fl/16
FR11
B
1
k11
C
1 1
4i
3i
A
2i
FR1 k111 FR1F 0
k11
B
3i
B M1
Δ1 =1
C
k11
FSBAΔ
q
3i/l A
3i/l D
FSBAΔ=3i/l2
FSABΔ 3i/l
FSCDΔ=3i/l2
Δ1 =1
k11
FSCDΔ
FSDCΔ 3i/l
k11=FSBAΔ+FSCDΔ=6i/l2
B
q
l
C
EA=∞
Δ1 =1
B
C
k11
M1
A B
q
D
3i/l A
3i/l D
C
FR1F
0
a=0
-Fl/2
-Fl/2 F
0
B
-ql2/3
-ql2/6 ql
0
三、等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁受到荷载以及支座转动和支座移动共同作用 时——叠加原理。
1、两端固定等截面梁AB，其杆端弯矩和剪力：q
M AB

4iA
2iB
6i
AB l

M
F AB
A
EI
l
MBA

2iA
4iB
位移法是将超静定结构化为超静定梁系来计 算的。
位移法的提出
F
图示结构是6次超静定结构，但只有一个结点位移（受弯 杆件忽略其轴向变形） 力法——6个未知量。
位移法——用结点位移作为未知量，只有一个未知量。
解法 基本未知量
基本系
力法 多余约束力 位移法 结点位移
变超静定结构为静定结构 变超静定结构为单跨梁（杆件）
7、A 1
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
3i
0
-3i/l
-3i/l
8、
A
EI
l
B
Δ=1 －3i /l
0
3i/l2
3i/l2
9、 a F b
A
EI
l
q
10、
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B
MAB
MBA
FSAB
FSBA
-Fb(l2-b2) /2l2
0 Fb (3l2b2)/2l 3 -Fa2(2l+b)/2l3