华师大版-数学-九年级上册-数学导学案23.1成比例线段
华师版九年级数学上册导学案(HS)23、1成比例线段
24.2 相似图形的性质第1课时 成比例线段学前温故如图，△ABC ≌△DEF ，则AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，即AB DE ＝AC DF ＝BC EF＝____.新课早知1．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如________(或________)，那么，这四条线段叫做成比例线段．2．下列各组线段成比例的是( )．A ．2 cm ,3 cm ,4 cm ,5 cmB ．1.5 cm ,2.5 cm ,4.5 cm ,6.5 cmC ．1 cm ,2.2 cm ,3.3 cm ,4.4 cmD ．1 cm ,2 cm ,2 cm ,4 cm3．(1)如果a b ＝c d，那么______． (2)如果a d ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么________．4．已知线段a ＝4，b ＝6，c ＝8，线段a 、b 、c 、d 成比例，则d 等于__________． 5．如果2∶3＝(5－x )∶x ，那么x ＝__________. 答案：学前温故1新课早知1.a b ＝c da ∶b ＝c ∶d 2．D3．(1)ad ＝bc (2)a b ＝c d4．12 5.31．成比例线段【例1】 判断下列各组线段是否成比例．(1)4 cm ,2 cm ,1 cm ,3 cm ；(2)1 cm ,2 cm ,20 mm ,4 cm.分析：利用成比例线段的定义解，但要注意将四条线段统一单位．解：(1)∵42≠13，∴这四条线段不成比例． (2)∵1 cm 2 cm ＝20 mm 4 cm，∴这四条线段成比例． 点拨：判断四条线段成比例，比较简捷的方法是把它们按大小顺序排好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，或者看最长和最短线段长度的乘积与中间两线段长度的乘积是否相等．2．比例的性质及应用【例2】 已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，且a ＋2b －3c ＝12，求：(1)a 、b 、c 的值；(2)3a －2b ＋c 的值．分析：根据比的意义，用设比值的方法求解．解：∵a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，∴a 4＝b 3＝c 2. 设a 4＝b 3＝c 2＝k (k ≠0)， 则a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，∴a ＋2b －3c ＝4k ＋6k －6k ＝4k ＝12.∴k ＝3.∴(1)a ＝12，b ＝9，c ＝6；(2)3a －2b ＋c ＝3×12－2×9＋6＝24.点拨：对于与比例有关的题目，除用比例的基本性质外，一般用设比值法，利用这种方法可解决有关比例的计算题．1．(2010福建德化中考)下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )．A ．1、2、3、4B ．1、2、2、4C ．3、5、9、13D ．1、2、2、32．下列说法中正确的有( )．①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比；③两条线段的比与所采用的长度单位无关；④两条线段的比有顺序，a b与b a不同，它们互为倒数． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若x y ＝34，则下列各式中不正确的是 ( )． A ．x ＋y y ＝74 B ．y y －x＝4 C ．x ＋2y x ＝113 D ．x －y y ＝14 4．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( )．A ．5－12 B ．3－52 C ．5＋12 D ．3＋525．已知一矩形的长a ＝1.4米，宽b ＝70厘米，那么a ∶b ＝__________.6．若x 3＝y 4＝z 5，求2x ＋y ＋3z 3x －2y －z的值．答案：1．B 2.D 3.D 4．A 设AC ＝x ，AB ＝t ，则BC ＝t －x ，由已知得AC 2＝AB·BC ，即x 2＝t (t －x )，∴x 2＋tx －t 2＝0.∴x ＝－t±5t 2(负值舍去)． ∴AC AB ＝x t ＝5－12. 5．2∶1 a ∶b ＝1.4(米)∶70(厘米)＝1.4∶0.7＝2∶1.6．解：设x 3＝y 4＝z 5＝k (k ≠0)， 则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k ， ∴2x ＋y ＋3z 3x －2y －z ＝6k ＋4k ＋15k 9k －8k －5k ＝25k －4k＝－254.。
华东师大版九年级上23.1成比例线段导学案(无答案)
课题：成比例线段（一）课型：主备人：【导学目标】1．理解线段的比的概念；（重点）2. 理解成比例线段的概念；（重、难点）3．能在比例式中指出比例的项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等。
【学习过程】一、自主学习1. 什么是两个数的比？2与－3的比；－4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？可写成什么形式？2 .比与比例有什么区别？3 .两个数又叫做两数的比，记作aa或，其中a叫比的，a叫比的。
二、合作探究1.分别以米、厘米、毫米作为长度单位，量一下几何教材的长与宽（令长为a，宽为a），再求出长与宽的比，你有什么发现？2.归纳：（l）两条线段的比就是它们的的比；（2）比与所选线段的无关，求比时两条线段的要一致；（3）两条的线段比的实质，即aa表示a是a的多少倍；（4）两条线段的比值总是3.在四条线段a、a、a、a中，如果其中两条线段a、a的比等于另外两条线段第1页/共5页a 、a 的比，即a a =a a （或a:a ＝a:a ），那么这四条线段叫做 。
注意：概念的有序性线段的比有顺序性，a :b 和b :a 通常是不相等的。
比例线段也有顺序性，如a a ＝a a 叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。
第四比例项也有顺序性，如a a ＝a a 中，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。
4、指出比例式a a =a a （或a:a ＝a:a ）中的比例外项和比例内项： 。
5. 观察比例式a:a ＝a:a ，你发现 ，给a 起个贴切的名字 .【巩固练习】1. 选择题：（1）已知a ＝2am ，a ＝10mm 那么a a的值为（ ） a. 150 a.15 a.52 a.2（2）如果a ＝10am ，a ＝0.2m ，a ＝30mm ，a ＝6am ，那么下列比例式成立的是（ ）（3）已知线段a ＝32am ，a ＝8am ，那么a 和a 的比例中项是（ ）a.20 am a.18 am a.16 am a.14 am2．（1）已知a ＝4，a ＝9，则a 、a 的比例中项是（2）已知线段a ＝4am ，a ＝9am ，线段a 是a 、a 的比例中项，则线段a 的长为3. 延长线段aa 到点a ，使aa ＝aa ，求：（1）aa∶aa；(2) aa∶aa (3) aa∶aa4.指出下列比例式的比例外项和比例内项，并比较它们的积，用文字表述发现的规律。
新华师版初中数学九年级上册精品教案23.1.1 成比例线段
23.1 成比例线段1.成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm.（1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度；（2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得b a ＝cd ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD ＝m ：n ，或写成AB CD ＝mn 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.。
华师大版-数学-九年级上册-23.1.1 成比例线段 教案
23.1.1成比例线段教学目标：1.掌握成比例线段的概念及其性质；2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.教学重点：线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质；教学难点：探索比例的性质.教学过程：一．知识梳理1.两条线段的比：如果用量得两条线段A.b 的长度分别为m ，n ，则就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n =. 【答案】同一长度单位；m ∶n2. 对于四条线段A.B.C.d ，如果d c b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做，简称比例线段，也称这四条线段成比例．（注意，A.B.C.d 必须按顺序写出）.特别的，若c b b a =，则称b 为A.c 的.【答案】成比例线段；比例中项3.比例的基本性质：（1）如果d c b a =，那么．（2）如果ad ＝bc （A.B.C.d 都不等于0），那么．【答案】（1）ad=bc （2）d c b a = 二．典型例题例练1. 判断下列线段A.B.C.d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝4cm ，b ＝2cm ，c ＝1cm ，d ＝3cm ．（精讲点拨：方法1：统一单位后，从小到大排列，若第一与第二，第三与第四条线段数量的比相等，则这四条线段成比例.方法2：统一单位后，从小到大排列，若第一与第四、第二与第三条线段数量的积相等，则这四条线段成比例.）例练2. 已知23=b a ，那么b b a +、b a a -各等于多少？【答案】52、1 例练3. x:y:z=1:2:3，且2x+y-3z=-15，则x 的值为.【答案】3.例练4. 已知352=-bb a ，求b b a +的值. 【答案】103 三、课堂练习：1.下列各组中的四条线段成比例的是（）A. 4cm,2cm,1cm,3cmB. 1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cmC. 2.5cm,3.5cm,4.5cm,5.5cmD. 1cm,2cm,4cm,2mm2.已知118x y x+=，求x y . 3. 已知a:b:c=2:3:4,求b cb a -+2.【答案】1.D2.38.3. 43. 四、当堂巩固检测：1. 已知线段a=15cm,b=3mm,则a:b=;2. 下列四条线段成比例的是（）A. 1cm,2cm,4cm,6cmB. 3cm,4cm,7cm,8cmC. 2cm,4cm,8cm,16cmD. 1cm,3cm,5cm,7cm3. 已知x:y=2:3，则下列各式不成立的是（）A.35=+yyxB.31=-yxyC.312=yxD.4311=++yx【答案】1. 50：1;2. C3. D五、课后小结：。
华东师大版数学九年级上册导学案：23.1.1成比例线段
编号：12 课型：新授课 班级： 姓名：成比例线段学习目标：1、了解比例线段的概念。
2、了解a c a b a c a c b d c d b d b d+=⇒=⇒==+的推导过程。
3、能灵活运用换元法、乘法分配律及成比例线段的概念进行相关的线段比的变形。
4、进一步感受分类讨论思想。
学习重点：能灵活运用换元法、乘法分配律及成比例线段的概念进行相关的线段比的变形。
学习过程：一、回顾旧知填空（成比例线段交叉相乘）48( )( )( )( )510=⇒⨯=⨯ 24( )( )( )( )36=⇒⨯=⨯ ( )( )( )( )a c b d=⇒⨯=⨯（a 、b 、c 、d 不等于0） 二、课前预习1、线段21126AB A B BC B C ''''====，，，，则AB A B ='' ，BC B C ''= ，则AB A B ''与BC B C''的关系式为 。
自学教科书成比例线段的概念，并说一说AB A B ''与BC B C ''的关系。
2、判断下列线段a 、b 、c 、d 是否成比例线段(1)46510a b c d ====，，， (2)2a b c d ====，(3)0.6 4.812 1.5a b c d ====，，， (4)2a b c d ====，三、合作探究1、 若1、2、3、x 能组成比例式，则x 等于多少？2、 请举例说明a c ab b dcd =⇒=、a c a c b d b d+==+。
3、证明：如果a cb d=，那么a ca b c d=--。
如果a cb d=，那么a b c db d++=。
如果a cb d=，那么a c a cb d b d+==+。
4、已知253a bb-=，求a bb+的值。
四、达标检测1、下列四组线段中，不是成比例线段的是（）。
九年级数学上册23.1成比例线段如何判断四条线段成比例素材新版华东师大版20220909178
如何判断四条线段成比例我们知道，如果线段a 和b 的比等于线段a 和d 的比，那么，线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段．那么，该如何判断四条线段成比例呢？下面，就给大家简单说明一下．四条线段m 、n 、x 、y 不管各线段排在什么位置，只要满足它们构成的比例式，例如，m ∶n=x ∶y ，那么这四条线段叫做成比例线段．比例式还可以写成另外七种形式：m n =xy ；x m = y n ；n y =m x ；y x = n m ；xy = m n ；y n =x m ；m x =n y ，所以，四条线段只要写成这八个比例式之一，就可以判定它们成比例．由上面八个比例式都可以得到等积式my=nx ，所以四条线段若能写成像前面这样的等积式，也可以判定它们成比例． 另外，还要注意四条线段之间若写出了一个不成比例的关系，例如，n m ≠xy ，我们不能匆忙判定这四条线段不成比例．因为成比例的四条线段有八种排列顺序，而不成比例的排列顺序却有16种，要判定四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列好，分别计算前两线段和后两线段的比，若比值相等，就可以判定这四条线段成比例，否则就不成比例；或者分别计算第一、四和第二、三线段的积，等积，则这四条线段成比例，否则就不成比例．例如，线段a 、b 、c 、d 的长度分别为：（1）2cm ，121cm ，541cm ，7cm; (2) 5cm ，32cm ，23cm ，51cm 验证它们可以组成比例线段，并写出它们组成的一个比例．解：（1）先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： b=121cm ，a=2cm ，c=541cm ，d=7cm ，再求第一、二和第三、四两条线段的比： a b =2211=43；d c =7415=43， 所以，a b =d c ，b 、a 、c 、d 是成比例的线段，121∶2=541∶7是所组成的一个比例． （2）先先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： d=51cm ，d =32cm ，c=23cm ，a=5 cm ，再求第一、四和第二、三两条对线段的积： d ·a=51×5=1；b ·c=32×23=1所以，d ·a= b ·c ，可以写成：b d =ac ， 因此，d 、d 、c 、a 为成比例线段，51∶32=23∶5，四所组成的一个比例．。
九年级数学上册 23.1 成比例线段 1 成比例线段(1)导学案(无答案)(新版)华东师大版
成比例线段一、学习目标1.掌握成比例线段的概念及性质。
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。
二、学习重点线段的比与比例线段,以及比例线段的基本性质。
三、自主预习1．相似图形的定义：相似图形的必须完全相同，但是两个图形的、不一定相同。
2．成比例线段完成课本48页试一试：从而概括得出成比例线段的定义即a cb d=或a:b=c:d,那么这四条线段叫做 ,简称 ,此时也称这四条线段。
3．判断是否成比例线段阅读课本49页例1，注意解题格式仿例计算：已知四条线段a=2，b=3，c=6，d=10,判断它们是否成比例线段？四、合作探究1．探究比例的基本性质（1）如果a cb d=那么ad=bc （2）如果ad=bc(a.,b,c,d都不是0)那么a cb d=小组合作得出上述公式的推导过程。
2．探究书本59页例题2猜想由ad=bc(a.,b,c,d都不是0)得出a cb d=外，还能推出哪些比例式?五、巩固反馈1．完成书中课后练习题。
2．已知两条线段a=2m,b=80cm,则a:b=3.已知a=3cm,b=2cm,若b是a和c的比例中项，则b＝ (提示：如果a bb c=，则b是a和c的比例中项)4．下列说法正确的是( )(1)所有的圆都是形状相同的图形 (2)所有的正方形都是形状相同的图形(3)所有的等腰三角形都是形状相同的图形 (4)所有的矩形都是形状相同的图形A 1个B 2个C 3个D 4个5．下列说法正确的是( )A. 所有的平行四边形都是相似图形 B .所有的菱形都是相似图形C . 所由的等腰梯形都是相似图形D . 所有的全等三角形都是相似图形6.若:1:2,x y =则x y x y-+= 。
★【中考考点链接】1.已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使得CA=3AB,则线段CA 与线段CB 之比为（ ）A.3：4B.2：3C.3：5D.1:22. （泰安中考）若32xx y =+，则yx 的值为（） 1.?2A 2B.3 1C.3 2D.5 3.若2,3a bab b -==则（ ）1.?3A 2B.3 4C.35D.3。
华师大版数学九年级上册23.1《平行线分线段成比例》参考教案1
教案
米的细线分成两局部，使这两局部之比是2:3?
2、三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果？我们将通过一些特殊的例子来研究： 如图：直线l 1//l 2//l 3,l 4、l 5被l 1、l 2 、l 3所截
猜测：假设
,32BC AB = 那么，？EF
DE
= 假设，43BC AB = 那么，？EF
DE = 你能否利用所学过的相关知识进展说明？
〔提示：设线段AB 的中点为P 1，线段BC 的三等分点为P 2、P 3.〕
教师提问，引导学生猜测，并在图上测量、计算、证明。
在本次活动中，教师应重点关注： 学生是否认真、仔细的测量和计算。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
怎样用文字把这一发现表述出来？ 平行线分线段成比例的根本领实：
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
解：∵l 1∥l 2∥l 3 ∴
EF
DE
BC AB = ∵AB=4,DE=3,EF=6 ∴
6
34=BC ∴BC ＝8
例2 如图，E 为□ ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE ，交AC 于点O,交AD 于点F ，求证：
BO
EO
FO BO =
例3 ：如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AE
A
B
C
D
E。
【新华东师大版】九年级数学上册：23.1.1《成比例线段》教案+导学案
23.1.1成比例线段教学目标 ：1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。
2.利用比例的性质，会求出未知线段的长。
教学重点：成比例线段的意义与比例的基本性质 教学难点：1.会判断四条线段是否成比例2.利用比例的性质，会求出未知线段的长 导学过程： 一、导入新课1．挂上两张大小不同的中国地图，问：这两个图形有什么联系? （它们都是平面图形，是相似形，它们的形状相同，大小不同。
）2．相似的图形有哪些共同点呢?为了探究这个问题，本节课先学习成比例的线段。
二、自学探究1．由下面的格点图可知，B A AB ''＝______，C B BC ''＝______，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_____________．A A'B'B概括结论：1.对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果 ，如 = ，（或 ）那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
【对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）．此时也称这四条线段成比例．】2．应用上面得出的结论判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．路标：阅读课本例1，总结判断四条线段是否成比例的解题步骤：【解：（1）∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段． （2）∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．】 注意：对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =． 以上的结论称为比例的基本性质． 三、试一试: 1.证明：（1）如果d c b a =，那么ddc b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-． 学生先独立思考，之后小组合作交流. 【证明（1）∵dcb a =， 在等式两边同加上1， ∴11+=+d cb a ， ∴d dc b b a +=+． （2）∵dc b a =， ∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ac －ad ＝ac －bc ， ∴a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-．】 2.谈出你的感悟与困惑. 四、比一比：1.判断下列线段是否成比例 （1）a=2，b=4，c=3，d=6 （2）a=0.8， b=3，c=1，d=2.42.线段a ＝15厘米，b ＝20厘米， c ＝75毫米，d ＝0.1米，求： a b 与bc ，这四条线段会成比例吗?3.如图AB ＝21，AD ＝15，CE ＝40，并且AD AB ＝AEAC ，求AC 的长。
九年级数学上册 23.1 成比例线段 1 成比例线段(2)导学案 华东师大版
成比例线段一、学习目标1.掌握比例线段的等比、合比性质以及黄金分割的定义。
2.会用等比、合比性质以及黄金分割的定义解决实际问题。
二、学习重点比例线段的基本性质及应用.三、自主预习1.线段成比例的基本性质是：2.阅读教材56页阅读材料得出：在线段AB 上，点P 把线段AB 分成两条线段 和 (AP>BP),如果 ，那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的 。
AP 与AB 的比叫做黄金比，其中AP PB AB AP=≈0.618。
3.合比性质:若,a c b d=则有 。
四、合作探究 1．合作完成下列比例的等比性质的推导过程。
若,a c e m b d f n===⋅⋅⋅⋅⋅⋅=且(0)b d f n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠， 则a c e m a c mb d f n b d n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2.已知实数a,b,c,满足b c c a a b k a b c +++===，判断函数3y kx =-的图像一定经过哪些象限？五、巩固反馈1.线段AB 的长度为10厘米，点C 是线段的黄金分割点，则AC 的长是 厘米。
2.美是一种感觉，当人的下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感，某女士身高165厘米，下半身长X 与身高L 的比值是0.60，为尽可能达到良好的效果，他应穿的高跟鞋高度是 。
3.已知0345x y z ==≠，求x y z x y z +--+的值。
4.已知578a b c ==，且3a-2b+c=3.则2a+4b-3c 的值。
5.已知a:b:c=2:3:5, 且a+b+c=5.m+n=2 求322a b cm n+-+的值。
秋华师大版数学九上23.1.1《成比例线段》word教案
图形的相似1．成比例线段（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。
也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。
在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活，用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。
难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
（二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
九年级数学上册 23.1 成比例线段教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数学教
23．1 成比例线段23．成比例线段【知识与技能】1．掌握比例线段的概念及其性质．2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题．【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．【教学重点】线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质．【教学难点】用引入比值k的方法，探索比例的性质．一、创设情境，导入新知1．如何确定四个数成比例？数的比例式有什么基本性质？2．下面格点中的两个矩形相似吗？二、合作探究，理解新知探究一：成比例线段1．做一做(1)①在上面的格点图中，如果设水平(或竖直)的相邻两格点间的距离为1，那么AB＝________，BC＝________，A′B′＝________，B′C′＝________；②计算ABA′B′＝________，BCB′C′＝________；③显然AB、BC、A′B′、B′C′不相等，那么它们之间有什么关系呢？学生通过交流，得出结论：AB A ′B ′＝BCB ′C ′. (2)思考：换成其他线段如AD 、CD 、A ′D ′、C ′D ′是否也有类似的结论？若有，是什么？AD A ′D ′＝CDC ′D ′. 2．结论线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB 、CD 的长度，它们的长度比就是这两条线段的比．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另两条线段的比，如a b ＝c d(或a ∶b ＝c ∶d )，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此外也称这四条线段成比例．3．议一议(1)在上面的格点图中，如果把格点去掉，通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？ (2)如果在测量时，AB 的长度单位采用厘米而A ′B ′的长度单位采用分米，那么它们的比有没有变化？(3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 4．知识运用例1：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： (1)a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；(2)a ＝2，b ＝5，c ＝215，d ＝5 3. 分析：利用成比例线段的定义求．解：(1)∵a b ＝46＝23，c d ＝510＝12，∴a b ≠c d.∴线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段． (2)∵a b＝25＝2 55，c d ＝2155 3＝2 55， ∴a b ＝cd.∴线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． 例2：根据图示求线段的比：AC CD 、AC CB 、CDDB，并指出图中成比例的线段．解：由图可知：AC ＝1 cm ，CD ＝2 cm ，DB ＝4 cm ，CB ＝CD ＋DB ＝6 cm ，故AC CD ＝12，AC CB ＝16，CD DB ＝24＝12. 则有AC CD ＝CD DB.所以AC 、CD 、CD 、DB 是成比例线段．探究二：比例的性质1．在数的比例式中，若四个数a 、b 、c 、d 满足a b ＝c d，那么我们就说这四个数成比例，并且知道若a b ＝c d ，则有ad ＝bc ；若ad ＝bc ，则a b ＝c d.那么若线段成比例，是否也有上述结论？通过学生类比、讨论得出比例的基本性质．2．比例的基本性质如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .如果ad ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝c d. 3．议一议(1)你会证明这两个命题吗？(引导学生从正反两个方面去证明) (2)由ad ＝bc ，除了得到a b ＝c d外，你还能得到哪些比例式？ 4．知识运用例3：证明(1)如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋dd； (2)如果a b ＝cd(a ≠b )，那么a a －b ＝cc －d.证明：(1)∵a b ＝c d，在等式的两边同时加上1， ∴a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋dd. (2)∵a b ＝c d，∴ad ＝bc .在等式的两边同时加上ac ，∴ad ＋ac ＝bc ＋ac .∴ac －ad ＝ac －bc ，a (c －d )＝c (a －b )， ∵a ≠b ，由a b ＝c d得c ≠d ， ∴a －b ≠0，且c －d ≠0. 两边同时除以(a －b )(c －d )，∴aa －b ＝cc －d.练习：已知a b ＝23，求a ＋b b 、aa －b的值．引导学生练习，总结解题方法，最后教师归纳用设k 值的方法解与比例有关的题目．三、尝试练习，掌握新知1．若x 是3和12的比例中项，则3、x 、8的第四比例项为__±16__． 2．已知：3a ＝4b ，则a ＋b b ＝__73__． 3．若a b ＝c d ＝e f ＝34(b ＋2d －3f ≠0)，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f 的值．(答案：34)4．若b ＋c a ＝c ＋a b ＝a ＋bc＝k (a ＋b ＋c ≠0)，试求k 的值．(答案：2)5．如图，已知AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 的周长为36 cm ，求△ADE 的周长．(答案：24cm)6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知 本节课你有什么收获和困惑？ 1．内容总结(1)成比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，就称这四条线段是成比例线段．(2)比例的基本性质：如果a b ＝c d，那么ad ＝bc .如果ad ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝c d.2．方法归纳(1)在解决比例的有关问题中，用设k 值的方法；(2)判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，相等则成比例，否则不成比例．3．注意的问题(1)在求两条线段的比时，单位必须统一；(2)线段a 、b 、c 、d 成比例，其表示方法是有顺序的，即a b ＝c d. 五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第55页习题23.1的第1～6题． 23．1.2 平行线分线段成比例【知识与技能】在理解的基础上掌握三角形一边平行线的性质、平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理，并会灵活应用．会做已知线段成已知比和把线段进行等分的作图题．【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美．【教学重点】理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题．【教学难点】平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形．一、创设情境，导入新知[温故而知新]问题：一组等距离的平行线截直线a 上所得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段有什么关系呢？(请同学们观看课件中的验证过程)[学生活动]学生观察、分析、思考、探究并与同学进行交流． [教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流． [小结]教师引导学生总结出如下结论：一组等距离的平行线在直线a 上所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等．[教师点拨]这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线截得的线段相等的情况，那么如果截得的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理．【教学说明】通过对平行线等分线段定理的复习，为新课中引导学生归纳出平行线分线段成比例定理做铺垫．二、合作探究，理解新知[师生合作探究]师：同学们，请翻开数学作业本，我们可以发现每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，下面请同学先在作业本上任意画出一条直线m ，如图所示：师：从图形上我们可以看出直线m 与相邻的三条平行线相交于A 、B 、C 三点，由平行线等分线段定理可知AB ＝BC .如果再任意画一条直线n 与这一组平行线相交，那么同样可知DE ＝EF .由此我们可得AB BC ＝DEEF.[思维提升]如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的三条平行线，任意画两条直线m 、n 与它们相交，如图，当m 、n 这两条直线平行时，观察并思考这时所得的AD 、DB 、FE 、EC 这四条线段的长度有什么关系？如果m 、n 这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？[学生活动]学生自主探究并与同学进行交流．[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．[小结]教师引导学生探究并归纳出如下结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．用几何语言表示为：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC＝DEEF.[教师点拨]点拨一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？点拨二：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？[小结]教师引导学生归纳出如下结论：三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．用几何语言表示为：∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC.∵DE∥BC，∴DADB＝EAEC.[教师点拨]这两幅图可以简称为“A”型和“X”型．例题讲解例1：如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝6，求BC的长．分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题． 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF(平行线分线段成比例)． ∵AB ＝4，DE ＝3，EF ＝6， ∴4BC ＝36. ∴BC ＝8.例2：如图，E 为▱ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE ，交AC 于点O ，交AD 于点F . 求证：BO FO ＝EO BO.分析：由于比例式BO FO ＝EOBO中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出BO FO 和EO BO的值．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC . ∵AB ∥CD ，∴CO AO ＝EOBO .∵AD ∥BC ，∴BO FO ＝COAO.∴BO FO ＝EO BO.三、尝试练习，掌握新知 1．教材第55页练习． 2．如图，DE ∥AF ∥BC ，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快， 找得多．第2题图第3题图3．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝m n ，求证：DE DF ＝mm ＋n.4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知1．本节课主要学习了平行于三角形一边的平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及平行线等分线段定理，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行于三角形一边的平行线的性质来解决的．2．使用平行线分线段成比例定理，一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则会产生错误．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第55页习题23.1的第7题．。
华东师大版数学九年级上册 23.1.2平行线分线段成比例 导学案设计
23.1.2平行线分线段成比例导学案一、教材52页做一做选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交。
如果m、n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系；如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量，看看它们是否存在类似的关系？我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：，你能得出什么结论？。
二、教材52页思考如图，当图中的点A与点F重合时，就形成一个三角形的特殊情形，此时，AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？。
三、教材53页思考思考，如图，当直线m，n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？推论：。
三、教材53页例题例3、已知，l1//l2//l3,AB=4,DE=3,EF=6.求BC的长.例4、如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE,交AC于点O，交AD于点F。
求证：1、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）A.32B.23C.6D.612、如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ：DF=5：8，AC=24．（1）求AB 的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF 的长．【方法宝典】利用定理及推论解答即可.1、如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若AD=2BD ，则BFCF 的值为（ ）A.21B.31C.41D.322、如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AFAD 相等的是（ ）A.EF AB B ．EF CD C ．EO BO D ．BEBC 3、如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：EF=3：5，AC=24，则BC= .4、如图所示，D ，E 是△ABC 的边AB ，AC 上的两点，AE ：AC =2：3，且AD =10，AB =15，DE =8，求BC 的长．。
华东师大版九年级数学上册 第23章 23.1 成比例线段 精品导学案
华东师大版九年级数学上册 第23章 23.1 成比例线段 精品导学案1.成比例线段【学习目标】1. 掌握成比例线段的概念及其性质；2. 会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。
【重难点预测】重点：线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质；难点：探索比例的性质。
【课内探究案】一．知识梳理1.两条线段的比： 如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n=。
2. 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做 ，简称比例线段，也称这四条线段成比例．（注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出）。
特别的，若c b b a =，则称b 为a 、c 的比例中项。
3.比例的基本性质：（1）如果dc b a =，那么 ． （2）如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 ． 更比定理：如果d c b a =（a 、c 都不等于0），那么○1 ，○2 ，○3 。
一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm.（1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度；（2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得b a ＝cd ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线 段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD ＝m ：n ，或写成AB CD ＝m n 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段教学反思：从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.。
23.1 2.平行线分线段成比例+课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
1.基本事实:平行线分线段成比例
成比例
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段____________.
对点小练
1.如图,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E,B,D,F,下列结论不正确的是( B )
A. =
C. =
B. =
【举一反三】
(2024·青岛期末)如图,△ABC中,DE∥BC,AD∶BD=1∶3,则OE∶OB=( B )
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶5
D.1∶6
【技法点拨】
平行于三角形一边的直线截三角形的两种基本图形
1.“A”字型
DE∥BC⇒ =
2.“X”字型
DE∥BC⇒ =
重点典例研析
【重点1】平行线分线段成比例定理(几何直观、推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P53例3拓展)如图,已知直线l1,l2,l3分别且l1∥l2∥l3.
(1)如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长;
(2)如果DE∶EF=2∶3,AC=25,求AB的长.
2.平行线分线段成比例
课时学习目标
1.掌握基本事实:两条直线被一组平行线
所截,所得的对应线段成比例
素养目标达成
几何直观、推理能力、运算能力
2.掌握平行于三角形一边的直线截其他两
边(或两边的延长线),所得的对应线段成比 几何直观、推理能力、运算能力
例
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
【自主解答】(1)∵l1∥l2∥l3,∴ = ,
23.1 成比例线段 华东师大版数学九年级上册教案
23.1 成比例线段1.成比例线段※教学目标※【知识与技能】理解并掌握线段的比，成比例线段等基本概念，掌握比例的基本性质.【过程与方法】1.经历比例性质的推导过程，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质.2.能运用比例的性质进行简单的变形；会判断已知线段是否成比例.【情感态度】通过问题的解决进一步激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质.【教学重点】线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质.【教学难点】能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质.※教学过程※一、情境导入观察下列两张照片，你有什么发现？请与同学交流.【点拨】像这种形状相同，大小不一定相同的图形叫相似形.【小结】相似形的定义：具有相同形状的图形叫相似形.为了研究相似图形，先研究与其密切相关的成比例线段.二、探索新知1.线段的比如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算:(1)概念：一般地，若线段a、b的长度分别是m、n（单位相同），那么就说这两条线段的比是a:b=m:n,或写成,和数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项.（2）几点注意：①两条线段的比是一个无单位的数；②线段的比值是一个正数；③两条线段的长度单位不同时，求两条线段的比时必须要先统一长度单位；④只要两条线段的长度单位一样，两条线段的比与所采用的单位无关.2.成比例线段及有关概念由计算结果可知：对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.特别地，如果作为比例内项的是两条相同的线段，即,那么线段b叫做线段a和线段c的比例中项.【例1】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a=4,b=8,c=5,d=10;（2）分析：判断线段a、b、c、d是否是成比例线段，关键是看线段a、b、c、d中两两的比是否相等.需要特别注意的是不一定按顺序计算解：（1）∴线段a、b、c、d是成比例线段.（2）∴这四条线段是成比例线段.3.比例的性质（1）比例的基本性质：如果,那么ad=bc;如果ad=bc,那么(2)比例的合分比性质：如果【例2】已知：,求证：证明：（1）等式两边同加上1，得(2)等式两边同乘-1，得等式两边同加上1，得(3)比例的等比性质：如果那么证明如下：三、巩固练习1.已知线段a、b、c满足关系式,且b=4,那么ac= .2.判断下列线段a、b、c、d是否成比例线段：(1)a=2cm,b=4cm,c=3m,d=6m;(2)a=0.8,b=3,c=0.64,d=2.4.答案：1.16 2.（1）a、b、c、d是成比例线段（2）a、b、c、d是成比例线段四、应用拓展【例3】若,试确定下列各式的值：分析：由于式子当中出现了分子与分母的和差形式，故可尝试利用比例的合分比性质来解决问题.解：【例4】若,求k的值.分析：由于本题涉及了一组等比，故可尝试利用比例的等比性质来解题.解：当a+b+c=0时，a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,易得k=-1.当a+b+c≠0时，五、归纳小结1.求线段的比时，必须先统一长度单位.2.由ad=bc得到的比例式并不唯一，可以是等.3.利用比例的性质解题时，注意分母不能为零.※课后作业※课本第51页练习第3、4题习题23.1第4、5、6题.2.平行线分线段成比例※教学目标※【知识与技能】在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理.【过程与方法】经历平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究过程，能探究并归纳出平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理.能运用平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理解决有关问题.【情感态度】通过定理的学习进一步掌握认识事物的一般规律是从特殊到一般，并进一步学会用类比的数学思想方法来研究问题和解决问题.【教学重点】理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题.【教学难点】平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形.※教学过程※一、复习引入翻开作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的.在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条线段相等，即AB=BC.同理可得DE=EF.由此我们可以得到二、探索新知如果选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.测量并计算：（1）m与n平行时，四条线段AD、DB、FE、EC的长度有什么关系；（2）m与n不平行时，四条线段AD、DB、FE、CE的长度有什么关系.1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）.用几何语言表示为：∵AD∥BE∥CF,∴2.三角形一边的平行线的性质定理：探索一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？探索二：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.用几何语言表示为：∵DE∥BC,∴∵DE∥BC,∴【说明】这两幅图可以简称为“A”型和“X”型.【例1】如图，,AB=4,DE=3,EF=6.求BC的长.分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题.解：∵,∴(平行线分线段成比例).∵AB=4,DE=3,EF=6,∴.∴BC=8.【例2】如图，E为ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD 于点F.求证：分析：由于比例式中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出的值.证明：∵AF∥BC，∴（平行线分线段成比例）.∵AB∥CE,∴(平行线分线段成比例).∴.三、巩固练习1.如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.（1）已知AB=BC=4，DE=5，求EF的长；（2）已知AB=5，BC=6，DE=7，求EF的长.第1题图第2题图2.如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB=4，BC=3，DF=9.求EF的长.答案：1.（1）EF=5 （2）EF= 2.EF=四、应用拓展1.教材第53页“做一做”.2.已知：如图，,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.答案：2.DE=4.5，EF=7.5.五、归纳小结平行线分线段成比例定理的运用，关键是注意对应，另外，在应用此定理证明时，可能要借用中间比或是结合比例的性质进行综合应用.※课后作业※教材第55页习题23.1的第7题.。
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成比例线段
学前温故
如图，△ABC ≌△DEF ，则AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，即AB DE ＝AC DF ＝BC EF
＝____.
新课早知
1．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如________(或________)，那么，这四条线段叫做成比例线段．
2．下列各组线段成比例的是( )．
A ．2 cm ,3 cm ,4 cm ,5 cm
B ．1.5 cm ,2.5 cm ,4.5 cm ,6.5 cm
C ．1 cm ,2.2 cm ,3.3 cm ,4.4 cm
D ．1 cm ,2 cm ,2 cm ,4 cm
3．(1)如果a b ＝c d
，那么______． (2)如果a d ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么________．
4．已知线段a ＝4，b ＝6，c ＝8，线段a 、b 、c 、d 成比例，则d 等于__________．
5．如果2∶3＝(5－x )∶x ，那么x ＝__________.
答案：学前温故
1
新课早知
1.a b ＝c d
a ∶
b ＝
c ∶
d 2．D
3．(1)ad ＝bc (2)a b ＝c d
4．12 5.3
1．成比例线段
【例1】 判断下列各组线段是否成比例．
(1)4 cm ,2 cm ,1 cm ,3 cm ；
(2)1 cm ,2 cm ,20 mm ,4 cm.
分析：利用成比例线段的定义解，但要注意将四条线段统一单位．
解：(1)∵42≠13
，∴这四条线段不成比例． (2)∵1 cm 2 cm ＝20 mm 4 cm
，∴这四条线段成比例． 点拨：判断四条线段成比例，比较简捷的方法是把它们按大小顺序排好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，或者看最长和最短线段长度的乘积与中间两线段长度的乘积是否相等．
2．比例的性质及应用
【例2】 已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，且a ＋2b －3c ＝12，求：
(1)a 、b 、c 的值；
(2)3a －2b ＋c 的值．
分析：根据比的意义，用设比值的方法求解．
解：∵a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，∴a 4＝b 3＝c 2
. 设a 4＝b 3＝c 2
＝k (k ≠0)， 则a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，
∴a ＋2b －3c ＝4k ＋6k －6k ＝4k ＝12.∴k ＝3.
∴(1)a ＝12，b ＝9，c ＝6；
(2)3a －2b ＋c ＝3×12－2×9＋6＝24.
点拨：对于与比例有关的题目，除用比例的基本性质外，一般用设比值法，利用这种方法可解决有关比例的计算题．
1．(2010福建德化中考)下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )．
A ．1、2、3、4
B ．1、2、2、4
C ．3、5、9、13
D ．1、2、2、3
2．下列说法中正确的有( )．
①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度比是“同一
单位下”的长度比；③两条线段的比与所采用的长度单位无关；④两条线段的比有顺序，a b
与b a
不同，它们互为倒数． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．若x y ＝34
，则下列各式中不正确的是 ( )． A ．x ＋y y ＝74 B ．y y －x
＝4 C ．x ＋2y x ＝113 D ．x －y y ＝14 4．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( )．
A ．
5－12 B ．3－52 C ．5＋12 D ．3＋52
5．已知一矩形的长a ＝1.4米，宽b ＝70厘米，那么a ∶b ＝__________.
6．若x 3＝y 4＝z 5，求2x ＋y ＋3z 3x －2y －z
的值．
答案：1．B 2.D 3.D 4．A 设AC ＝x ，AB ＝t ，
则BC ＝t －x ，
由已知得AC 2＝AB·BC ，
即x 2＝t (t －x )，
∴x 2＋tx －t 2＝0.
∴x ＝－t±5t 2
(负值舍去)． ∴AC AB ＝x t ＝5－12
. 5．2∶1 a ∶b ＝1.4(米)∶70(厘米)＝1.4∶0.7＝2∶1.
6．解：设x 3＝y 4＝z 5
＝k (k ≠0)， 则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k ，
∴2x ＋y ＋3z 3x －2y －z ＝6k ＋4k ＋15k 9k －8k －5k ＝25k －4k
＝－254.。