第二章 z变换-作业

(1) X (e j0 ) 解：
(2) X (e j )d
(3)
X (e j )
2
d
(2) X (e j )d X (e j )e j0d 2 x(0) 4
x(n) 2
1 -3
7
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 8
-1
DTFT
1
X
e j
x
n
1 2
X
e j
X (z)
4
(1 1 z 2 )(1 5 z 1 3 z 2 )
4
48
分析：
(1) 有限长序列的收敛域为 ：0 z , n1 n n2 特殊情况有 ：0 z , n1 0
0 z , n2 0 (2) 右边序列的收敛域为 ：Rx z , n n1
因果序列的收敛域为 ：Rx z , n n1 0 (3) 左边序列的收敛域为 ：0 z Rx , n n2
a2 )
a1
a2
z
a1
z
a2
a1
1 a2
1
1
a1z
1
1
1 a2
z
1
a1
1 a2
a1n zn
n0
a2n
z
n
n0
所以 h(n) 1 a1 a2
a1n a2n
u(n)
式中 a1 1.62
, a2 0.62
由于 H (z) 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
2
解:（3）
X (z)
( 1 )n u(n 1) zn
1
( 1)n zn
n 2
n 2
2n zn
n1
2z 1 2z
1
1 1
z 1
2
收敛域：2z 1 即：z 1 2
极点为：z 1 零点为：z 0 2
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 1 z2
e jnd
DTFTxn X e j xne jn
n
11．已知 x(n) 有傅里叶变换 X (e j )，用 X (e j ) 表示信号 x1(n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
DTFT x(n) X (e j )
DTFT x(1 n) e j X (e j ) DTFT x(1 n) e j X (e j )
2
当
n
0 时， 1
1 1
z 1
z n1
1 z
1 2
zn
2
在c内有
z
1 2
一个单极点, 则
x(n)
Re
s
z
zn
1 2
z
1 2
1 n , 2
n0
由于 x(n) 是因果序列 ， 故 n 0时，x(n) 0
所以
x(n)
1 n
u(n)
2
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
X (z) z a a 1 a2 z z(1 az) z 1 az
则 X (z) a (a 1) 1
a 1 1 z 1 a
所以
x(n)
(a)
(n)
(a
1)
1
n
u(n)
a a
1
(n)
(a
1
)
1
n
u(n
1)
a
a a
7. 求序列 eanu(n) 的频谱 X (e j ) 。
解：（2） X (z) ZT eanu(n)
n
m2k
由此可设 x(m) 1 1 (1)m x(m) 2
则：Y (z)
1 1 (1) m
m
x(m) z 2
m 2
1 2
m
x(m)z 2
m
1 2 m
x(m)
1
z2
m
1
X
1
(z 2
)
X
(z
1 2
)
2
DTFT[x1(n)] X (e j ) (e j e j ) 2X (e j ) cos
X (e j ) DTFT xn xne jn
n
X (e j ) DTFT x n x ne jn
n
x m e jm x m e jm X (e j )
m
m
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(c) 要使系统稳定，收敛区域应包括单位圆,因此选 H (z)的收敛区域为
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
z 1 2
(3) X (z) z a , 1 az
4
解：（3）(ii)留数定理法：
z 1 a
x(n) 1 X (z)z n1dz ，设 c 为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线。
2j c
a
当 n 0 时：X (z)zn1在 c内有 z 1 一个单极点 a
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0 (4) 双边序列的收敛域为 ：Rx z Rx
有三种收敛域 ：圆内、圆外、环状（ 0，z 要单独讨论 ）
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 1 z2
X (z)
4
(1 1 z 2 )(1 5 z 1 3 z 2 )
4
48
解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
(1 1 Z 1)(1 1 Z 1)
1 1 Z 1
X (Z)
2
2
(1 1 Z 2 )(1 1 Z 1)(1
3 Z 1)
(1
1
2 jZ 1)(1 1
jZ 1 )(1
3 Z 1 )
4
2
4
2
2
4
X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4， 所以 X(Z)的收敛域为 :
0.447 (1.62)n u(n 1) (0.62)n u(n)
从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。
17．设 x(n)是一离散时间信号，其z变换为X (z) ，利用X (z)求信号x3 (n) x(2n)
的z变换：
解：令m 2n则Y (z)
x(2n)zn
m
x(m)z 2
x(n)
Re s
X (z)zn1
z1 a
1 a
za z1
z
n1
(a
1
)
1
n
,
(n 0)
a a
a
z1
a
当 n 0 时：X (z)zn1 在c内有z 0, z 1 两个单极点 a
x(0)
Re s
X (z)zn1
z1 a
Re s
X (z)zn1
z0
a
1 a
a
1 a
当n 0时：由于x(n)是因果序列，
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(a) 对差分方程的两边作Z变换，得： Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列;
(2) | Z | < 1/2 , 为左边序列;
(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列.
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1
1 ea
z
1
1 X (e j ) X (z) |ze j 1 eae j
X (e j ) DTFT x n x n e jn eane jn
n
n0
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号x(n) 的傅里叶变换，
不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算：
a2 z a1 ，即 0.62 z 1.62
，则
H (z)
a1
1 a2
z
z a1
z
z a2
式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。
所以
H(z)
a1
1 a2
1
a1n z n
n
a2
n
z
n
n0
则有
h(n) 1 a2 a1
a1n u(n 1) a2n u(n)
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
（b）因为
z
Fra Baidu bibliotek1 z
z
H(z)
(z
a1 )(z
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1 az
a
解：（1） (iii)部分分式法：
1 1 z1 X (z) 2
1
z
1 1 z2 1 1 z1 z 1
4
2
2
因为 z 1 所以 2
x(n)
1
n
u(n)
2
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
所以
H(z)
Y (z) X (z)
1
z 1 z 1
z
2
z (z a1)(z a2 )
零点为z=0，z
极点为 z a1 0.5 1 5 1.62 z a2 0.5 1 5 0.62
因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
此时 x(n) 0。所以x(n) 1 (n) (a 1 ) 1 n u(n 1)
a
a a
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1 az
a
解：（3） (iii)部分分式法：
(a2 1)z a(z 1 )( z a)
z
a
收敛域： az 1,且 a 1 即：a z 1
z
a
极点为： z a, z 1 零点为： z 0, z a
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1) x(n) a n ( | a | 1)
(3)
x(n)
1
n
u(n
1)
1 az
a
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1 az
a
解：（1）(ii)留数定理法：
x(n) 1
2j
c
1
1 1
z 1
z n1dz
,设 c为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线： 2
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1) x(n) a n ( | a | 1)
(3)
x(n)
1
n
u(n
1)
2
解：(1) 由Z变换的定义可知：
1
X (z) a n zn an zn an zn an zn an zn
n
n
n0
n1
n0
az 1 az
1
1
a
1 a2 (1 az)(1 az1)