计算机视觉中的多视图几何第一章)

变换的层次
1.一般线性群：nXn可逆实矩阵的群称为（实的）一 般线性群或GL(n)； 2.射影线性群：当把相差非零纯量因子的矩阵都视为 等同时，得到射影线性群，记为PL(n)；在平面射影 变换时，n=3；PL(3)的重要子群包括仿射群和欧氏 群； 3.仿射群：由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成 的子群； 4.欧氏群：欧氏群是仿射群的子群，其左上角的2X2 矩阵是正交的。当左上角的2X2矩阵的行列式为1时 称为定向欧氏群；
对于下面的相似和仿射变换同样如此。
相似变换
相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。当欧氏变
换（即没有反射）与均匀缩放复合时，相似变换的矩阵表示
为：
x' s cos
y
'
s
sin
1 0
s sin s cos
0
tx x
t
y
y
1 1
x'
sR 0
t 1 x
不变量：夹角，平行线，两长度的比率，面积的比率 度量结构：确定到只差一个相似变换的结构。
点与直线
1.点x在直线l上的充要条件是xTl=0；
2.两直线l和l’的交点是点x=lXl’；
3.过两点x和x’的直线是l=xXx’；
4.理想点：(x1,x2,0)T 无穷远线l=(0,0,1)T
5.IP2中的一个点对应IR3中的一条过原点的直 线,IP2中的直线对应IR3中的过原点的平面； IP2中的两点确定一直线对应IR3中的两过原点 的直线确定一个平面，IP2中的两直线交于一 点对应IR3中的两过原点的平面交于一条直线。
x32 x41) x22 x41)
共点线
共点线是直线上共线点的对偶。任何四条共 点线都有一个确定的交比。
从图像恢复仿射和度量性质
无穷远线：(0,0,1)T 在射影变换H下，无穷远直线l为不动直线的充要条 件是H是仿射变换。（在仿射变换下，l不是点点不 动的） 如果无穷远直线的像是l=(l1,l2,l3)T，假定l3不为0，那 么把l映射回无穷远处的一个合适的射影变换是
虚圆点及其对偶
在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点。他们
是虚圆点。I=(1,i,0)T,J=(1,-i,0)T 在射影变换H下，虚圆点为不动点的充要条件是H是 相似变换。
1 0 0
H
HA
0
1
0
l1 l2 l3
仿射矫正
消影线l的确定： 1. 由平行线的影像的交点来计算。 2.给定一条直线上已知长度比的两个线段，该直线 上的无穷远点便可以确定(利用交比）。 1）a，b，c坐标分别是0，a，a+b。 2）a’，b’，c’坐标分别是0，a’，a’+b’。 3）计算1D射影变换H2X2 4）在变换H2X2下无穷远的像可以求出。 3.消影点可以用几何作图的方法得到。
射影变换
射影映射是IP2到它自身的一种满足下列条件的可逆 映射h：三点x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3)
也共线。 映射h：IP2→IP2是射影映射的充要条件是：存在一 个3X3非奇异矩阵H，使得IP2的任何一个用矢量x表 示的点都满足h(x)=Hx。 点：x’=Hx；H为3X3非奇异矩阵 直线：l’=H-Tl； 二次曲线：C’=H-TCH-1； 对偶二次曲线：C*’=HC*HT；
sR t / v K 0 I 0 sRK tV T / v t
H
HS H AHP
0
1
0
1
V
T
v
VT
v
A t
H V T
v
A sRK tV T / v det K 1且是
上三角矩阵 这里用到矩阵的QR分解：非奇异矩阵A可以分解为 一个正交矩阵Q与一个非奇异上三角矩阵R相乘。 不变量的数目：与函数无关的不变量数等于或大于 配置的自由度数减去变换的自由度数。
仿射变换
仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的
复合。
x' y'
a11 a21
a12 a22
tx x
t
y
y
1 0 0 1 1
x'
A 0
t 1
x
平面仿射变换有六自由度。A是非奇异矩阵。
A可以看作是旋转和非均匀缩放的复合。
A R( )R()DR()
A=UDVT=(UVT)(VDVT) R( )R()DR() 不变量：平行线，平行线段长度比，面积比（任何形
状的面积都被缩放了detA倍，即detD倍）。
射影变换
x'
A
vT
t v
x
并不是总能通过对矩阵缩放而取v为1，因为v可能是
零。
不变量：四共线点的交比。
A
vT
t v
x1 x2 0
v1
A x1
x1
x2
v2 x2
理想点被映射到有限点，平行线不再平行
射影变换分解
射影变换的分解：
1D射影几何
x’=H2X2x 3个自由度，由3组对应点来确定。
交比：
Cross(x1, x2, x3, x4 )
x1x2 x1x3
x3 x4 x2 x4
xi x j
det
xi1 xi 2
x j1
x
j
2
Cross( x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 )
( x11 源自文库22 ( x11 x32
x12 x21)(x31x42 x12 x31)(x21x42
等距变换
x' cos
y
'
sin
1 0
sin cos
0
tx x
ty
y
1 1
x'
R 0
t 1
x
当 =1时，该变换是保向的且是欧氏变换（欧氏变换是等距
变换的一种，只有平移和旋转），当 =-1时，该变换是逆向
的（包含了反射）。
不变量：长度，角度，面积
群和定向：如果左上角的2X2矩阵的行列式为1，它是保向 的。保向的等距变换形成一个群，但逆向的不是。这种区别
6.对偶原理：互换原定理中点和线的作用。
二次曲线
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
齐次化得：
ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0 xTCx=0
a b/2 d /2
C
b d
/ /
2 2
c e/2
e
/ f
2
5点定义一条二次曲线
对偶二次曲线
过（非退化：矩阵C是可逆矩阵）二次曲线C上点x 的切线l由l=Cx确定； 因为xTCx=0；l=Cx；所以(C-1l)TC(C-1l)=lTC-1l=0； 退化二次曲线：C=lmT+mlT 由l和m两线组成,矩阵C 是秩为2的对称矩阵，它的零矢量为x=lXm,它是l和 m的交点; 退化的线二次曲线包含两个点（秩2），或一个重点 （秩1）。