第六章 习题课——排列与组合的综合应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册课件
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品习题课件 第六章 习题课 排列与排列数6.2.4 组合数
对于B，先给每个班级分一个名额，再利用隔板法，剩下7个名额，中间共6个位置，
在中间插两个空，共 = （种），故正确；
对于C，共有 + + + = （种）方案，故错误;
对于D，若甲先拿，有3种取法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种取法，剩
余两人恰好分配剩余两张贺卡，则共有 × = （种）分配方法.故选.
法，剩余的3个人站到甲的右边，并按从高到低的顺序排列，有1种情况，故共有
× = （种）不同的排法.
5.计算：
97
2
（1）(C100
+ C100
) ÷ A3101 ；
解 原式=
2
(C100
3
+ C100
)
÷
A3101
=
3
C101
÷ A3101
=
A3101
A33
1
6
÷ A3101 = 1 ÷ A33 = ；
.试运用此方法，写出如下等式的结果：
C3
+ C32
⋅
3
C−1
+ C42
⋅
3
C−2
+⋅
2
+ C−2
⋅ C43
+
2
C−1
6
C
=______.
+3
[解析]从编号为1,2,3,⋯, + 个球中，取出6个球，记所选取的六个小球的编号分别
为 , ,⋯, ，且 < < ⋯ < ，
2 −1
3或9
9.设 ∈ ∗ ，则C2−1
−1 + A +1 的值为______.
( 人教A版)排列与组合(习题课)课件 (共22张PPT)
(2)五位数中含有数字 0. 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C35·C14种选法.5 分 第 2 步，排顺序又可分为两小类： ①末位排 0，有 A11·A44种排列方法；6 分 ②末位不排 0.这时末位数有 C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 A13种排 法，其余 3 个数字有 A33种排法． ∴N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33).8 分 ∴符合条件的偶数的个数为 N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560)解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以 n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (3)分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
探究三 排列组合的综合应用 [典例 3] 有 6 名男医生、4 名女医生，从中选 3 名男医生、2 名女医生到 5 个不同的 地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区 A，则共有多少种不同的分派方案？ [解析] 分两类： 第 1 类，甲被选中，共有 C25C24C14A44种分派方案； 第 2 类，甲不被选中，共有 C35C24A55种分派方案． 根据分类加法计数原理，共有 C25C24C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960 种分派方案.
2．有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种不 同的分法？ (1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本； (2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本． 解析：(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本，这件事分三步完成． 第一步：从 9 本不同的书中，任取 4 本分给甲，有 C49种方法； 第二步：从余下的 5 本书中，任取 3 本分给乙，有 C35种方法； 第三步：把剩下的 2 本书给丙，有 C22种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同的分法 C49C35C22＝1 260(种)，即甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本的分法共有 1 260 种．
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册课后习题 第6章 6.2 第2课时 排列的应用
第2课时排列的应用课后·训练提升基础巩固1.将3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则不同的分法种数是( )A.1 260B.120C.240D.720答案:D解析:相当于3个元素排10个位置,有A103=720种不同的分法.2.要从A,B,C,D,E这5个人中选出1名组长和1名副组长,但A不能当副组长,则不同的选法种数是( )A.20B.16C.10D.6答案:B解析:不考虑限制条件有A52种选法,若A当副组长,有A41种选法,故A不当副组长,有A52−A41=16种选法.3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加某诗词大会的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为( )A.6B.12C.24D.48答案:B解析:根据题意,要求小明的父母都与他相邻,即小明坐在父母中间,将三人看成一个整体,有2种排法,将这个整体与爷爷和奶奶全排列,有A33=6种排法,则有2×6=12种不同的排法,故选B.4.某电视台一节目收视率很高,现要连续插播4个广告,其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且2个商业广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )A.8种B.16种C.18种D.24种答案:A解析:分三步完成:第一步,排最后一个位置的商业广告,有A21种;第二步,在前两个位置选一个排另一个商业广告,有A21种;第三步,余下的两个位置排公益宣传广告,有A22种.根据分步乘法计数原理,不同的播放方式共有A21A21A22=8种,故选A.5.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{a n},则a72等于( )A.1 543B.2 543C.3 542D.4 532答案:C解析:分三类:第1类,首位是1的四位数有A43=24个;第2类,首位是2的四位数有A 43=24个; 第3类,首位是3的四位数有A 43=24个. 依据分类加法计数原理,首位小于4的所有四位数共有3×24=72个. 由此得a 72=3542.6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A.210个 B.300个 C.464个 D.600个答案:B解析:由于组成没有重复数字的六位数,个位数字小于十位数字的数与个位数字大于十位数字的数一样多,故有5A 552=300个.7.(多选题)A,B,C,D,E,F 六个人并排站在一起,则下列说法正确的有( )A.若A,B 两人相邻,则有120种不同的排法B.若A,B 不相邻,则共有480种不同的排法C.若A 在B 左边,则有360种不同的排法D.若A 不站在最左边,B 不站在最右边,则有504种不同的排法 答案:BCD解析:对于A,若A,B两人相邻,需要将A,B看成一个整体,与其他四人全排列,有A22A55=240种不同的排法,A错误;对于B,若A,B不相邻,先将其他4人排成一排,排好后,有5个空位,将A,B安排在空位中,有A44A52=480种不同的排法,B正确;对于C,不考虑限制条件,6人排成一排有A66=720种不同的排法,其中A在B左边和A在B右边的情况一样,则A在B左边的排法有1×720=360种,C正确;对于D,不考虑限制条件,6人排成一排有A66=720种2不同的排法,A站在最左边的排法有A55=120种,B站在最右边的排法有A55=120种,A站在最左边且B站在最右边的排法有A44=24种,则有720-120-120+24=504种不同的排法,D正确.故选BCD.8.5个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法有种.答案:72解析:由题意得甲、乙两人相邻共有A22A44种排法,则甲、乙两人之间至少有一人共有A55−A22A44=72种排法.9.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第1类:0在个位时有A53个;第2类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个有A41种,十位和百位从余下的数字中选,有A42种,于是有A41A42个;第3类:4在个位时,与第二类类似,也有A41A42个.根据分类加法计数原理,共有四位偶数A53+A41·A42+A41A42=156个. (2)五位数中是5的倍数的数可分为两类:个位数上的数字是0的五位数有A54个;个位数上的数字是5的五位数有A41A43个.故满足条件的五位数的个数共有A54+A41A43=216个.(3)比1325大的四位数可分为三类:第1类:形如2,3,4,5的数,共A41A53个;第2类:形如14,15,共A21A42个;第3类:形如134,135,共A21A31个.根据分类加法计数原理,无重复数字且比1325大的四位数共有A41A53+A21A42+A21A31=270个.能力提升1.某单位安排7名员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7名员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班,丙不在10月1日值班,丁不在10月7日值班,则不同的安排方案共有( )A.504种B.960种C.1 108种D.1 008种答案:D解析:由题意知,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有A22A66=1440种,其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有A22A55=240种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有A22A55=240种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有A22A44=48种.因此满足题意的方案共有1440-2×240+48=1008种.2.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,可以得到不同的三位数的个数为( )A.30B.48C.60D.96答案:B解析:“组成三位数”这件事,分两步完成:第一步,确定排在百位、十位、个位上的卡片,即为3个元素的一个全排列A33;第二步,分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以得到A33×2×2×2=48个不同的三位数.3.安排6名歌手演出的顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数是( )A.180B.240C.360D.480答案:D解析:先将6名歌手全排列有A 66种顺序,甲、乙、丙的顺序有A 33种,乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,丙乙甲,4种顺序,因此不同排法的种数共有4×A 66A 33=480种.4.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,则共有 种参赛方案. 答案:240解析:方法一:从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类: 第1类,甲不参赛,有A 54种参赛方案;第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种方法,再安排其他3棒,有A 53种方法,此时有2A 53种参赛方案.根据分类加法计数原理,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A 54+2A 53=240种.方法二:从位置(元素)的角度考虑,可分两步完成:第一步,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人,有A 52种方法;第二步,其余两棒从剩余4人中选,有A 42种方法.根据分步乘法计数原理,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A 52A 42=240种.方法三(排除法):不考虑甲的约束,6个人占4个位置,有A64种安排方法,剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A53种,因此甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A64-2A53=240种.5.6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法数为.答案:24解析:把3个空位看作一个元素,与3辆汽车共有4个元素全排列,故停放的方法有A44=4×3×2×1=24种.6.某学校为贯彻“科学防控”理念,实行“佩戴口罩,不邻而坐”制度(每两个同学不能相邻).若该学校的教室一排有10个座位,安排4名学生就座,则不同的安排方法共有种.答案:840解析:因为6个空位可产生7个空,则这4名学生可用插空法就座,因此共有A74=840种不同的安排方法.7.高一年级某班的语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天,每门课一节,上午四节,下午两节,数学课必须在上午,体育课必须在下午,数、理、化三门课中任意两门不相邻,但上午第四节和下午第一节不叫相邻,则不同的排法种数为多少?解:分两类:第1类,数学课在上午第一节或第四节共A21种排法,体育课在下午共A21种排法,理、化课安排在上午一节,下午一节有2A22种排法,其余两门在剩下的位置安排共A22种.根据分步乘法计数原理,共有A21×A21×2A22×A22=32种排法.第2类,数学课安排在上午第二节或第三节,共A21种排法,体育课安排在下午有A21种排法,理、化课安排在上午一节和下午一节,共A22种排法,其余两门在余下的位置安排共A22种排法.根据分步乘法计数原理,共有A21×A21×A22×A22=16种排法.综上,根据分类加法计数原理,排法种数为N=32+16=48.8.4个男同学,3个女同学站成一排.(1)男生甲必须排在正中间,有多少种不同的排法?(2)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?(3)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?(4)其中甲、乙两名同学之间必须有3人,有多少种不同的排法?解(1)男生甲位置确定,只要让其余6人全排列有A66=720种排法.(2)(捆绑法)先让3个女生“捆绑”成一个整体,内部排序有A33种,再把女生看成一个整体,与其余的男生排列有A55,共有A33A55=720种排法.(3)先把4个男生全排列有A44种排法,再把3个女生安排到4个男生排列形成的5个空里,有A44A53=1440种排法.(4)先把甲、乙排好顺序有A22种排序,再从余下的5人中选出3人排在甲乙中间,有A53种,最后把甲乙及中间的3人看成一个整体,和其余的2人看成3个整体进行排序,有A33种,因此共有A53A22A33=720种排法.。
6.2.3 组合的综合应用(习题课) 课件25张-人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册
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分组、分配问题 例 3 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ (1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本； (2)平均分成3份，每份2本； (3)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4)分给甲、乙、丙3人，一人4本，其余2人每人1本．
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关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取 出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类 法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重 不漏．
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关键能力 互动探究 课时规范训练
题型二 与几何有关的组合应用题
例 2 (链接教材P26习题T6)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A， B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少 个？
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关键能力 互动探究 课时规范训练
跟踪训练
1．某中学高一·5班现有10名学生代表，其中男生6名． (1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ (2)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，则有多少种 选法？ 解：(1)法一：(直接法)必须有女生可分两类：第 1 类，只有一名女生，共 有 C16C14＝24(种)； 第 2 类，有 2 名女生，共有 C24＝6(种)． 根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有 C16C14＋C24＝30(种)． 法二：(间接法)C210－C26＝45－15＝30(种)．
6.2排列与组合-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册同步讲义
6.2 排列与组合 一、排列1、排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有___排列_____的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 用符号表示为：A m n2、排列相同的条件两个排列相同，当且仅当两个排列的元素__完全相同______，且元素的___排列顺序_____也相同．3、排列数的公式：)())((121+---=m n n n n A m n ，其中*,N n m ∈且n m ≤4、把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，即：12321⨯⨯⨯⨯--= ))((n n n A n n也就是说，将n 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即!n A n n =。
规定：10=!5、排列数公式也可以写成：)!(!m n n A m n -=，其中*,N n m ∈且n m ≤ 二、组合1、组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的__所有组合______的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示为：m n C3、组合数公式：)!(!!!)())((m n m n m m n n n n A A C m m m n mn -=+---==121 ，其中*,N n m ∈且n m ≤ 规定：10=n C4、组合数的性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11-++=m nm n m n C C C题型一 排列概念例1 判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．知识梳理知识典例问题，否则就不是排列问题．【自主解答】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．【精彩点拨】 (1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．【自主解答】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个题型二 排列公式计算例 2 (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)证明：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n ＝n ！(n －m )！进行变形推导．【自主解答】 (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)∵A m n ＋1－A m n ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 巩固练习＝m ·n ！(n ＋1－m )！ ＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 给出下列四个关系式：①(1)!!1n n n +=+ ②11m m n n A nA --= ③!()!m n n A n m =- ④11(1)!()!m n n A m n ---=- 其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断.【详解】①因为()()()()(1)!1121,!1221n n n n n n n n +=+⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅⋅，故正确.②()111!!,()!()!m m n n n n n A nA n m n m --=-==--，故正确. ③!()!m n n A n m =-，正确. ④因为!()!m n n A n m =-，所以11(1)!()!m n n A n m ---=-，故不正确. 故选：C 题型三 组合例 3 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．巩固练习甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛（1）列出所有各场比赛的双方（2）列出所有冠、亚军的可能情况 解答 解：（1）甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，分别为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），（2）所有冠亚军的可能有12种，分别为（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲丁乙丙），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（乙丁甲丙），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（丙丁甲乙），（丁甲乙丙），（丁乙甲丙），（丁丙甲乙）题型四 组合公式计算例 4 (1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( ) A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1. 【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ， 故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D(2)由组合数定义知：所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.（多选）下列等式中，成立的有（ ）巩固练习 巩固练习A ．!!m n n A m =B ．11m m m n n nC C C -++=C ．m n m n nC C -=D ．11m m n n A nA --= 【答案】BCD【分析】根据排列数公式和组合数性质判断．【详解】!(1)(1)()!m n n A n n n m n m =--+=-，A 错； 根据组合数性质知,B C 正确；11!(1)!()![(1)(1)]!m m n n n n n A nA n m n m --⋅-===----，D 正确． 故选：BCD ．题型五 排列式应用例 5 5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．10种C ．15种D ．9种【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解.【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23232132112A A ⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960.【分析】巩固练习出不大于45312的数的个数，进而可到结果；（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为72，进而可得出结果； （3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果.【详解】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A =2开头的五位数有：4424A =3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=. 题型六 组合式应用例 6 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种.故答案为：45.从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.（用数字作答）【答案】1260【分析】根据分步计数原理计算可得答案.【详解】 第一步，决出三等奖，有4998761264321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种； 第二步，决出二等奖，有3510C =种； 第三步，决出一等奖，有221C =种，根据分步计数原理可得，共有1261011260⨯⨯=种.故答案为：1260 1、若3254n A C =，则n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.【详解】解：由3254n A C =得：()154342n n -⨯⨯=⨯，解得：6n =或5n =-（舍去）. 故选：B.2、下列等式不正确的是（ ）A ．111m m n n m C C n ++=+B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11m m n n A nA --=D ．1k k k n n nnC C kC +=+ 巩固练习 巩固提升【分析】根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．【详解】A ，根据组合数公式，11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C m n m n m n m n +++++==⨯=⨯-++-+，A 不正确； B ，()()()()()()()()()()1211121121121m m n n n n n n n m n n n n m n n n n A m A +++---+----+==----+，()()()2121111m n n n A n n n m --=---+故12111m m m n n n A A n A +-+--= B 正确；C ，()()()11121m m n n n n n n m nA A --=---+=故 C 正确；D ，()()()()()()()11111k k k k nn n n n k n k n n n k n n n k n k nC kC C C +-=-=---+=--+-=故 D 正确； 故选：A ．3、若22242n C A =，则!3!(4)!n n -的值为（ ） A ．60B ．70C ．120D ．140 【答案】D【分析】 先由22242n C A =可求出n ，再代入式子即可求出.【详解】 ()22212422n n n C A -=⨯=，解得7n =或6-（舍去）， !7!76543211403!(4)!3!3!321321n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴===-⨯⨯⨯⨯⨯. 故选：D.4、某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）A ．10B ．30C ．60D ．125【答案】C【分析】先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.【详解】根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，则有3560A =种选法；5、某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ）A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【答案】D【分析】先按“男1女2”或“男2女1”选出3名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法数.【详解】如果按“男1女2”选出3名同学，则方法数有1254C C 30=种，如果按“男2女1”选出3名同学，则方法数有215440C C =种，再将选出的3名同学安排到3个地方，则总的方法数有()333040420A +⨯=种. 故选：D6、三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种 【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种. 故选：D ．7、以长方体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【分析】 根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．【详解】因为平行六面体1111ABCD A BC D -的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.8、5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880.【分析】（1）捆绑法求解即可；（3）特殊位置法求解即可；（4）插空法求解即可.【详解】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =； （4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.9、现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）6种；（2）243种；（3）150种.【分析】（1）用挡板法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况， 即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C CA=种分组方法，则有101525+=种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A=种情况，则有256150⨯=种分法.10、现有编号为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球．（1）若将这些小球排成一排，且要求A，B，C三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且B，C，D各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求A，B，C，D四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）720；（2）216；（3）210；（4）1050.【分析】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；（2）先排好A，再就B，C，D中哪些在A的左侧，哪些在A的右侧分类讨论后可求不同的排法总数；（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，再排余下元素，从而可得不同的排法总数；（4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数.【详解】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，则不同的排法总数为3535720A A=种. （2）A在正中间，所以A的排法只有1种，因为B，C，D互不相邻，故B，C，D三个球不可能在同在A的左侧或右侧，若B，C，D有1个在A的左侧，2个在A的右侧，则不同的排法有22133233108C A C A=，同理可得若B，C，D有2个在A的左侧，2个在A的右侧，不同的排法有22133233108C A C A=，故所求的不同排法总数为1216216⨯=种.（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，且A，B，C，D四个球按从左到右排，共有排法47C种，再排余下元素，共有33A种，故不同排法总数为4373356210C A=⨯=种. （4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，若三个盒子所放的球数分别为1,3,3，则不同排法共有331126373222420C CC C AA⨯=，若三个盒子所放的球数分别为2,2,3，则不同排法共有223124273222630C CC C AA⨯=，故不同的排法总数为1050.。
新教材高中数学第6章组合数第1课时组合与组合数公式学生用书新人教A版选择性必修第三册(含答案)
新教材高中数学学生用书新人教A版选择性必修第三册：第1课时组合与组合数公式学习任务1．理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(数学抽象) 2．掌握组合数公式，并会应用公式求值．(数学运算)高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？知识点2 组合数及组合数公式1．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．2．组合数公式乘积式：C n m＝_________＝_________________．阶乘式：C n m＝_____________．规定：C n0＝________．2．“组合”与“组合数”是同一概念吗？它们有什么区别？1．(多选)下列选项是组合问题的是( )A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D．4本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法2．(1)C62＝________；(2)A42－C32＝________．3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________．类型1 组合的概念【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？[尝试解答]判断一个问题是不是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．[跟进训练]1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)2023年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？类型2 列举具体问题的组合【例2】(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？[尝试解答]写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]2．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．类型3 利用组合数公式化简、求值与证明利用组合数公式化简、求值【例3】计算：(1)C73＋C74；(2)C105C100－C1010；(3)已知1C5n −1C6n＝710C7n，求C8n．[尝试解答]利用组合数公式证明【例4】求证：C n m＝nn−m C n−1 m．[尝试解答](1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C n m中的n为正整数，m为自然数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．[跟进训练]3．计算：C103·A33－C107．m−1．4．求证：mC n m＝nC n−1类型4 简单的组合问题【例5】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[尝试解答]解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟进训练]5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方法做这件事情？1．以下四个选项，属于组合问题的是( )A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2．计算：C42＋C43＝( )A．8 B．10 C．12 D．163．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A．A103种B．C103种C．C103A103种D．30种4．若A2n4＝120C n2，则n＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课学习的公式吗？2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？3．写组合时可采取什么方法？把相同物品分给不同对象的分法种数把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难．注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，前述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的．容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个．这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法．因为总共有8＋3＝11个位置，而且我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的排列方法种数为C113＝11×10×9＝165．3×2×1也就是说，我们有165种不同的分法．有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165．类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)，也就是方程x1＋x2＋…＋x r＝n的非负整数解(x1，x2，…，x r)的个数，请自己尝试一下吧！6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式[必备知识·情境导学探新知]知识点1 一组思考1 提示：(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．知识点2 1．所有不同组合 C n m2．A n m A m m n(n−1)(n−2)…(n−m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，并且m ≤n ) 1 思考2 提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一组对象；组合数是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．课前自主体验1．BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．]2．(1)15 (2)9 [(1)C 62＝6×52＝15． (2)A 42－C 32＝4×3－3×22×1＝12－3＝9．]3．ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd [可按a →b →c →d 顺序写出，即所以所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ．][关键能力·合作探究释疑难]例1 解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．跟进训练1．解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．例2解：如图所示，以A 为端点，到其余四点的线段有4条：AB ，AC ，AD ，AE ．A 不是端点，以B 为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC ，BD ，BE ； A ，B 都不是端点，C 为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD ，CE ；A ，B ，C 都不是端点，剩下两点D ，E 为端点的线段只有1条：DE ．共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段．跟进训练2．解：可按AB →AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即所以所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ．例3 解：(1)C 73＋C 74＝7×6×53×2×1＋7×6×5×44×3×2×1＝35＋35＝70． (2)C 105C 100－C 1010＝10×9×8×7×65×4×3×2×1×1－1＝252－1＝251． (3)由1C 5n －1C 6n ＝710C 7n ，得n ！(5−n)！5！－n ！(6−n)！6！＝7×n ！(7−n)！10×7！， ∴1－6−n 6＝(6−n)(7−n)60， 即n 2－23n ＋42＝0，解得n ＝2或n ＝21，又0≤n ≤5，∴n ＝2，∴C 8n ＝C 82＝28．例4 证明：因为右边＝n n−m C n−1m ＝n n−m ·(n−1)！m ！(n−1−m)！＝n ！m ！(n−m)！＝C n m ＝左边，所以原等式成立．跟进训练3．解：C 103·A 33－C 107＝10×9×83×2×1×3×2×1－10×9×8×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1＝10×9×8－10×9×83×2×1＝720－120＝600．4．证明：因为m C n m ＝m ·n ！m ！(n−m)！＝n(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n ·(n−1)！(m−1)！(n−m)！＝n C n−1m−1，所以原等式成立．例5 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C 102＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 62种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 42种方法．根据分类加法计数原理，共有C 62＋C 42＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 62种，从4名女教师中选2名的选法有C 42种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 62×C 42＝15×6＝90(种)．跟进训练5．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1711＝12376．(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1711种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练做这件事情的方法种数为C 1711×C 111＝136136．[学习效果·课堂评估夯基础]1．C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．B [C 42＋C 43＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 103．]4．3 [由A 2n 4＝120C n 2， 得2n (2n －1)(2n －2)(2n －3)＝120×n(n−1)2， 即n 2－2n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝3，因为n ≥2，所以n ＝3．]课堂小结1．提示：①C n m ＝A n m A m m ＝n ！m ！(n−m)！(n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C n 0＝1．③C n m ＝C n n−m ；④C n m ＋C n m−1＝C n ＋1m ． 2．提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．3．提示：可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。
高中数学第六章计数原理排列数课后习题新人教A版选择性必修第三册
6.2 排列与组合6.2.1 排列 6.2.2 排列数A级必备知识基础练1.(多选题)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有()A.加法B.减法C.乘法D.除法2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()A.24种B.36种C.48种D.60种2−A n2=10,则n的值为()3.已知A n+1A.4B.5C.6D.74.7个人排成一队参观某项目,其中A,B,C三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,则不同的列队方式的种数为()A.120B.240C.420D.8405.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法种.2-n<7的解集为.6.不等式A n-17.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?B级关键能力提升练8.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有()A.24种B.36种C.48种D.72种9.(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是()A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种10.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个D.24个11.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为.12.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.C级学科素养创新练13.从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的一元二次方程有多少个?6.2.1 排列 6.2.2 排列数1.BD 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题,故选BD .2.A 第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有A 22种不同的摆放方法;第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本排列,有A 22A 33种不同的摆放方法. 根据分步乘法计数原理,共有A 22A 33A 22=24(种)不同的摆放方法,故选A. 3.B 由A n+12−A n 2=10,得(n+1)n-n (n-1)=10,解得n=5.4.D 根据题意,先将7人排成一列,有A 77种排法,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,即A ,B ,C 三人顺序一定,则不同的列队方式有A 77A 33=840种.5.14 (方法一)若第一节排数学,共有A 33=6(种)排法;若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.(方法二)4节课全部可能的排法有A 44=24(种),其中体育排第一节的有A 33=6(种),数学排最后一节的有A 33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有A 22=2(种),故符合要求的排法有A 44-2×A 33+A 22=14(种).6.{3,4} 由A n -12-n<7, 得(n-1)(n-2)-n<7,整理,得n 2-4n-5<0,解得-1<n<5. 又n-1≥2且n ∈N *,即n ≥3且n ∈N *, 所以n=3或n=4.7.解(1)先排正、副班长,有A 32种方案,再安排其余职务有A 55种方案,由分步乘法计数原理,知共有A 32×A 55=720(种)不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有A 77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A 42A 55种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A 77−A 42A 55=3600(种).8.B 若第一棒选A ,则有A 42种选派方法;若第一棒选B ,则有2A 42种选派方法.由分类加法计数原理知,共有A 42+2A 42=3A 42=36(种)选派方法.9.ACD 甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有A 44=24(种),故A 正确;最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A 31A 33+A 44=42(种),故B 不正确; 甲、乙不相邻的排法种数为A 33A 42=72(种),故C 正确;甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A 55A 33=20(种),故D 正确.故选ACD.10.C 由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数共有2A 44=48(个),大于50000的偶数共有2A 33=12(个),所以小于50000的偶数共有48-12=36(个).11.24 先排好5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有A 43=24(种)坐法.12.解(1)先排唱歌节目有A 22种排法,再排其他节目有A 66种排法,所以共有A 22×A 66=1440(种)排法.(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有A 66种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A 72种插入方法,所以共有A 66×A 72=30240(种)排法.(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有A 44种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A 53种插入方法,最后将2个唱歌节目进行排列,有A 22种排法,故所求排法共有A 44×A 53×A 22=2880(种)排法.13.解先考虑组成一元二次方程的问题:首先确定a ,只能从1,3,5,7中选一个,有A 41种,然后从余下的4个数中任选两个作b ,c ,有A 42种, 所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程A 41×A 42=48(个).方程要有实根,必须满足Δ=b 2-4ac ≥0. 分类讨论如下:当c=0时,a ,b 可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有A 42个.当c ≠0时,分析根的判别式知,b 只能取5,7.当b 取5时,a ,c 只能取1,3这两个数,有A 22种;当b 取7时,a ,c 可取1,3或1,5这两组数,有2A 22种,此时共有(A 22+2A 22)个.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有A42+A22+2A22=18(个).。
组合的综合应用 高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
练习
方法技巧：
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将有放有小球的盒子紧挨成一行放置，便可看作排成一行的小球的
空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应
着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问
题.
−1
(2)将个相同的元素分给个不同的对象( ≥ )，有−1
现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(3)
第一类：女队长当选，有12
(种)；
第二类：女队长不当选，有41 ∙ 73 + 42 ∙ 72 + 43 ∙ 71 + 44 (种).
4
故共有12
+ 41 ∙ 73 + 42 ∙ 72 + 43 ∙ 71 + 44 = 790(种).
练习
例3.从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的各部分，若
要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
解：第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将这件事情分成3步来完成.
第一步涂①④，从5种颜色中任选一种，有51 种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有41 种涂法；
第三步涂③，分别有31 种涂法.
3
4
故有共有21 ∙ 11
+ 22 ∙ 11
= 825(种).
5
5
[法二]采用排除法，有13
− 11
= 825(种).
(2)至多有两名女生含有3种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，
故共有52 ∙ 83 + 51 ∙ 84 + 85 = 966(种).
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品习题课件 第六章 培优练——排列与组合的综合应用
D.6名同学甲、乙、丙在一起存在两种情况，
当甲、乙、丙3人一组，分成三组有 ⋅ 种分法，
当甲、乙、丙3人和另外一人一组，分成三组有 种分法，
再参加不同的活动则有 ⋅ + = （种）分组方法.故选.
13.某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个
= （种）.
故所有分组方法共有 + = （种）.
再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有 = （种）.
14.“双十一”活动期间,某商场计划将5张广告宣传页粘贴在商场的3个不同的入口,其中
有2张是电器广告的宣传页,要求这2张电器广告的宣传页必须粘贴在不同入口,且每个
2
⋅ A22 + C43 C11 A22 ) = 70（种）.
7.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件
的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生;
解 先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,有(C53 C32 + C54 C31 )种情况,选出的5人进行
一个名额的方法数为( D )
A.30
B.21
C.10
D.15
[解析]用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有 = （种）
分配方法.
9.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工
地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的是
D.6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
[解析]A.甲、乙不相邻，先排剩下4人，有 种方法，产生5个空，甲、乙插空有
第六章计数原理 排列综合拔高练--高中数学选择性必修三同步训练(人教A版2019)
6.2 综合拔高练五年高考练考点排列、组合及其应用1.(2020新高考Ⅰ,3,5分,)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种2.(2019课标全国Ⅰ,6,5分,)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11163.(2017课标全国Ⅱ,6,5分,)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种4.(2020课标全国Ⅱ理,14,5分,)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.5.(2018课标全国Ⅰ,15,5分,)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)6.(2018浙江,16,4分,)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)7.(2017天津,14,5分,)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)三年模拟练应用实践1.(2020山东济宁一中高三第一次综合测试,)某中学高二学生会体育部共有5人,现需从体育部派遣4人分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作,每个人只能担任其中的一项工作,其中体育部的张三不能担任裁判工作,则共有多少种派遣方法( )A.120B.96C.48D.602.(2020山东省实验中学高三上期末,)若用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数,则这样的六位数共有多少个( )A.120B.132C.144D.1563.(2020河南顶级名校高二下期末联考,)已知a 1,a2,a3∈{2,4,6},记N(a1,a2,a3)为a1,a2,a3中不同数字的个数,如:N(2,2,2)=1,N(2,4,2)=2,N(2,4,6)=3,则所有的(a1,a2,a3)的排列所得的N(a1,a2,a3)的平均值为( )A.199B.3 C.299D.44.(2020河南郑州高三第一次质量检测,)第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行,某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式共有多少种( )A.60B.90C.120D.1505.(2020辽宁沈阳辽南协作校高二下期中联考,)已知函数f(x)=x3-2x的零点构成集合P,若x i∈P(i=1,2,3,4)(x1,x2,x3,x4可以相等),则满足条件“x12+x22+x32+x42≤4”的数组(x1,x2,x3,x4)的个数为( )A.33B.29C.27D.216.(多选)(2020全国百所名校高考冲刺卷,)直线x=m,y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块,现有5种颜色给这若干块涂色,且任意两块不同色,则可能的涂色种数有( )A.20B.60C.120D.2407.(2020北京第八中学高三上月考,)记a,b,c,d,e,f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列,则(a+b)(c+d)(e+f)为偶数的排列的个数为.8.(2020天津新华中学高三模拟,)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有种.9.(2020山东菏泽高二下线上月考,)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一区域中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择,则有种栽种方案.答案全解全析 6.2综合拔高练 五年高考练1.C 第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C 61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C 52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C 33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.2.A 重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=64种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 63×C 33=20种.故所求概率P=2064=516,故选A.3.D 第一步:将4项工作分成3组,共有C 42=6种分法;第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有A 33种分配方法,故共有6A 33=36种安排方式,故选D. 4.答案 36解析 因为每个小区至少安排1名同学,所以4名同学的分组方案只能为1,1,2,所以不同的安排方法共有C 41C 31C 22A 22·A 33=36种.5.答案 16解析 解法一:根据题意,没有女生入选有C 43=4种选法,从6名学生中任意选3人有C 63=20种选法,故至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.解法二:恰有1位女生入选,有C 21C 42=12种选法,恰有2位女生入选,有C 22C 41=4种选法,所以至少有1位女生入选的选法有12+4=16种. 6.答案 1 260解析 分类讨论:第一类,不含0的,按照分步乘法计数原理得,可以组成C 52C 32A 44=10×3×24=720个没有重复数字的四位数;第二类,包含0的,按照分步乘法计数原理得,可以组成C 52C 31A 31A 33=10×3×3×6=540个没有重复数字的四位数,所以一共可以组成720+540=1 260个没有重复数字的四位数. 7.答案 1 080解析 只有一个数字是偶数的四位数有C 41C 53A 44=960个;没有偶数的四位数有A 54=120个.故这样的四位数一共有960+120=1 080个.三年模拟练1.B 由题意可知,当张三不在派遣的4人中时,有A 44=24种派遣方法; 当张三在派遣的4人中时,有3A 43=72种派遣方法. 则共有24+72=96种派遣方法.故选B.2.B 先排0,2,4,再让1,3,5插入排0,2,4后形成的四个空中,总的排法有A 33×A 43=144种,其中先排0,2,4时,若0在排头,将1,3,5插在后三个空的排法有A 22×A 33=12种,由于0在首位不能构成六位数,故总的六位数的个数为144-12=132.3.A 由题意可知,(a 1,a 2,a 3)所有的排列数为33=27,当N(a 1,a 2,a 3)=1时,有3种情形,即(2,2,2),(4,4,4),(6,6,6);当N(a 1,a 2,a 3)=2时,有C 32×C 21×C 31=18种;当N(a 1,a 2,a 3)=3时,有A 33=6种,那么所有27个(a 1,a 2,a 3)的排列所得的N(a 1,a 2,a 3)的平均值为1×3+2×18+3×627=199.故选A.4.D 根据题意,分两步进行分析: 第一步,将5项工作分成3组, 若分成1、1、3的三组,则有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法, 若分成1、2、2的三组,则有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法,则将5项工作分成3组,有10+15=25种分组方法;第二步,将分好的三组全排列,对应3名志愿者,有A 33=6种情况, 则由分步乘法计数原理可知,共有25×6=150种不同的安排方式. 故选D.5.A 根据题意,令f(x)=x 3-2x=0,解得x=±√2或x=0,即函数f(x)的零点为0,√2,-√2,即P={0,√2,-√2},若x i ∈P(i=1,2,3,4),且满足条件“x 12+x 22+x 32+x 42≤4”,则x 1,x 2,x 3,x 4的取法中最多有两个取到±√2.当x 1,x 2,x 3,x 4都取0时,有1种情况;当x 1,x 2,x 3,x 4中仅有一个取到√2或-√2时(其余取0),有C 41C 21=8种情况; 当x 1,x 2,x 3,x 4中有两个同时取到√-√(其余取0),有C 42C 21=12种情况;当x 1,x 2,x 3,x 4中有两个分别取√2、-√2时(其余取0),有A 42=12种情况. 故满足条件的数组共有1+8+12+12=33个.6.ABC 由题意联立{y =x ,x 2+y 2=4,可得{x =√2,y =√2或{x =-√2,y =-√2,即直线y=x 与圆x 2+y 2=4的交点坐标为(√2,√2),(-√2,-√2),如图所示.当m≤-2或m≥2时,圆面x 2+y 2≤4被分成2块,此时不同的涂色方法有A 52=20种. 当-2<m≤-√√时,圆面x 2+y 2≤4被分成3块,此时不同的涂色方法有A 53=60种.当-√2<m<√2时,圆面x 2+y 2≤4被分成4块,此时不同的涂色方法有A 54=120种. 故可能的涂色种数有20,60,120.故选ABC.7.答案432解析因为a,b,c,d,e,f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列,所以共有A66=720个排列,若(a+b)(c+d)(e+f)为奇数,则(a+b)、(c+d)、(e+f)全部为奇数,有6×3×4×2×2×1=288个,故(a+b)(c+d)(e+f)为偶数的排列共有720-288=432个.故答案为432.8.答案474解析从9节课中任意安排3节有A93=504种排法,其中前5节课连排3节共有3A33=18种排法,后4节课连排3节共有2A33=12种排法,则老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474种.9.答案66解析根据题意,分3种情况讨论:①当A、C、E种同一种植物,此时共有3×2×2×2=24种栽种方案;②当A、C、E种两种植物,此时共有C32×A32×2×1×1=36种栽种方案;③当A、C、E种三种植物,此时共有A33×1×1×1=6种栽种方案.则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案.故答案为66.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 培优课——排列与组合的综合应用
(2)由(1)可知,共有C52×AC3222×C11
+
C53×C21× A22
C11=25
种分组方法.
因为甲不能被保送到A大学,所以有同学甲的那组只有B大学和C大学两个
选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有
25×4=100种.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有( B )
A.24种
B.36种
C.48种
D.52种
解析 根据题意,分 2 步进行: 第 1 步,小明必须选报“数学文化”课程,则小明的选法有C41=4 种; 第 2 步,小明和小华两人所选的课程至多有一门相同,有C21 × C31 + C32=9 种选 法.
解析 可分三步:第 1 步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这 4 个热点中选出 3 个,有C43种不同的选法;第 2 步,在调查时,“住房”安排的顺序有A13种可能情况; 第 3 步,其余 3 个热点调查的顺序有A33种排法.根据分步乘法计数原理可得, 不同调查顺序的种数为C43 × A13 × A33=72.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部 派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列 结论正确的是( C ) A.A33 B.C31 × C21 × C11 × C31 C.C31 × C42 × A22 D.C43 × A33
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2020-2021学年高中数学人教A版必修第三册课后习题：第六章习题课——排列与组合的综合应用
第六章计数原理习题课——排列与组合的综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.C 30+C 41+C 52+C 63+…+C 2017的值为( ) A.C 213B.C 203C.C 204D.C 21430+C 41+C 52+C 63+…+C 2017=C 40+C 41+C 52+C 63+…+C 2017=C 51+C 52+C 63+…+C 2017=C 62+C 63+…+C 2017=C 2016+C 2017=C 2117=C 214.2.(2020天津一中高二期末)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.12种B.18种C.36种D.54种,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置,其他节目任意排列.由分步乘法计数原理可知,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有C 31A 33=18(种).故选B.3.(2020辽宁庄河高中高二月考)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去1个社区,要求每个社区至少有1名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有 ( )A.360种B.300种C.150种D.125种名学生分成3组,每组至少1人,有3,1,1和2,2,1两种情况.①3,1,1:分组共有C 53C 21A 22=10(种)分法,再分配到3个社区,共有10A 33=60(种)不同的安排方式; ②2,2,1:分组共有C 52C 32A 22=15(种)分法,再分配到3个社区,共有15A 33=90(种)不同的安排方式.综上所述,共有60+90=150(种)不同的安排方式.故选C.4.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( ) A.152B.126C.90D.54.有1人从事司机工作,不同的安排方案有C 31C 42A 33(或C 31C 31C 42A 22)=108(种); 有2人从事司机工作,不同的安排方案有C 32·A 33=18(种).所以不同安排方案的种数是108+18=126.5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有种不同的选修方案.:第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有C31·C63种选法;第2类,从6门中选4门有C64种选法.故共有C31·C63+C64=75(种)不同的选修方案.6.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地游客来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串3颗(如图).规定:每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该游客将这两串臭豆腐吃完,有种不同的吃法.6口,选3口给第一串的3颗臭豆腐,顺序不变,剩下的3口给第二串,顺序不变,因此不同吃法共有C63C33=20(种).7.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为.4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C43=4(种)情况,再对应到4个人,有A44=24(种)情况,则共有4×24=96(种)不同的分法.8.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种?(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种?从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C201C152=2100(种)不同的取法.所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.(2)选取2件假货有C201C152种,选取3件假货有C153种,共有C201C152+C153=2555(种)不同的取法.(3)任意选取3件的种数为C353,因此符合题意的选取方式有C353−C153=6090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.9.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文科代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表;(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有(C53C32+C54C31)种情况,后排有A55种情况,则符合条件的选法数为(C53C32+C54C31)·A55=5400.(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为C74·A44=840.(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为C74·C41·A44=3360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况,再安排该男生有C31种情况,选出的3人全排有A33种情况,则符合条件的选法数为C63·C31·A33=360.能力提升练1.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种1,2捆绑后放入信封中,有C31种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有C42C22种方法,所以共有C31C42C22=18(种)方法.2.如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有()A.9个B.3个C.12个D.6个1时,有C31·C31个“好数”;当重复数字不是1时,有C31个“好数”.由分类加法计数原理,得“好数”有C31·C31+C31=12(个).3.(多选)(2020江苏扬州中学高二月考)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式?下列结论正确的有()A.18B.C31C21C11C31C.C31C42A22D.C42A33C42·A33=36(种)方式.先选择一个工地派两辆工程车,再将剩余的两辆车派给两个工地,共有C31C42A22=36(种)方式.C31C21C11C31=18≠36.故选CD.4.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的不同调查顺序的种数为()A.13B.24C.18D.72:第1步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有C43种不同的选法;第2步,在调查时,“住房”安排的顺序有A31种可能情况;第3步,其余3个热点调查的顺序有A33种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为C43A31A33=72.5.已知C n4,C n5,C n6(n>7)成等差数列,则C n12=.2C n5=C n4+C n6,∴2×n!(n-5)!×5!=n!(n-4)!×4!+n!(n-6)!×6!,∴25(n-5)=1(n-4)(n-5)+16×5,得n2-21n+98=0,解得n=14或n=7(舍去),∴C n12=C1412=C142=14×132=7×13=91.6.(2020山东济南高三模拟)CES是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有1人负责接待工作,则不同的安排方案共有种.,分两类,一类是没安排甲、乙,有C53种,一类是甲、乙安排1人,有C21C52种;再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能,共A42种.故不同的安排方案共有(C21C52+C53)·A42=360(种).7.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种不同的参赛方法?:第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44=24(种);第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有C21C43(A44−A33)=144(种);第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A44-2A33+A22)=84(种).由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252(种).8.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数, 即C102=45(种).即共有45种不同的选法.(2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师,有C62种方法;第2类,选出的2名是女教师,有C42种方法.根据分类加法计数原理,共有C62+C42=15+6=21(种)不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种,根据分步乘法计数原理,共有选法C62×C42=90(种).素养培优练1.(2020广东高二月考)我省某校要进行一次月考,一般考生必须考5门学科,其中语文、数学、英语、综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间,决定每天上午考两门,下午考一门,三天半考完.(1)若语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场考试,则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法?(2)若各科考试顺序不受限制,求数学、化学在同一天考的概率是多少?语文、数学、英语、综合四门学科安排在上午第一场,共有A 44=24(种)不同的安排方法,其余7门学科共有A 77=5040(种)不同的安排方法,故“考试日程安排表”共有5040×24=120960(种)不同的安排方法.(2)各科考试顺序不受限制时,共有A 1111种不同的安排方法;数学和化学在同一天考共有(A 22A 99+C 31A 32A 99)种不同的安排方法.故数学、化学在同一天考的概率 P=A 22A 99+C 31A 32A 99A 1111=2+3×611×10=211.2.(2020江苏高二期中)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,求在下列情况下各有多少种不同的报名方法.(1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.每人都可以从这四个项目中选报一项,各有4种不同的选法,由分步乘法计数原理知,共有46=4096(种)不同的报名方法. (2)每项限报一人,且每人至多报一项,因此可由项目选人.第一个项目有6种不同的选法,第二个项目有5种不同的选法,第三个项目有4种不同的选法,第四个项目有3种不同的选法.由分步乘法计数原理得,共有A 64=6×5×4×3=360(种)不同的报名方法.(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加,因此需将6人分成4组,有C 63+C 62C 42A 22=20+15×62=65(种)情况. 每组参加一个项目,由分步乘法计数原理得共有C 63+C 62C 42A 22A 44=65×24=1560(种)不同的报名方法.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
6.2.2 排列数-新教材2019-2020学年高二数学人教A选择性必修第三册第6章同步教学课件
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
间接法 正难则反，等价转化的方法
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解析答案
角度3 元素的“在”与“不在”问题 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列， 求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？
解析答案
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上，有 A26种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，有 A26·A35＝1 800(种)方法.
解析答案
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解 用间接法. 总的可能情况是 A57种，减去甲在首位的 A46种，再减去乙在末位的 A46种. 注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次， 所以还需补回一次 A35种，所以共有 A57－2A46＋A35＝1 860(种)排法.
反思与感悟 解析答案
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6.2.2 排 列 数
学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际 问题.