带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题
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高考调研 ·高三总复习 ·物理
全国名校高中物理优质学案、专题汇编（附详解）
9 ．3
带电粒子在磁场中运动的临 界值与多解专题
第 1页
高考调研 ·高三总复习 ·物理
专 题 综 述
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高考调研 ·高三总复习 ·物理
一、带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题 单面边界磁场中的临界值． 平行边界磁场中的临界值． 直角边界磁场中的临界值． 三角形边界磁场中的临界值． 矩形边界磁场中的临界值． 圆形边界磁场中的临界值．
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界相切，如图乙所示，因 R＝ 2a，此时圆心角 αm 为 120°，即最 2π R 4 π a T 长运动时间为 ，而 T＝ ＝ ，所以粒子在磁场中运动的 3 v v 4π a 最长时间为 ， C 项正确． 3v
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方法提炼 平行边界磁场中常见临界值类型分析： 如图所示，一束带正电的粒子流，从 P 点朝不同方向射入匀 强磁场，所有粒子速度大小相同，磁场左右边界的间距为 d、带 电粒子轨迹圆的半径为 r，用“旋转圆法”分析下面三种情况：
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(一)单面边界磁场 例1 (2015· 四川 )(多选 )如图所示， S 处
有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子， 平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝ 9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝ 4.55 cm， MN 与 SO 直线的夹角为 θ， 板所在平面有电 子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度 B＝ 2.0× 10－4 T， 电子质量 m＝ 9.1× 10－ 31 kg， 电量 e＝－ 1.6× 10
带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题 当大量带电粒子通过磁场区域时，由于边界的约束而产生 “恰好 ”“最大”“至少”“不相撞”等临界值问题， 解决此类 问题的关键是画出“临界轨迹” ．
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1．探究 “临界轨迹”的方法 (1)“放缩圆法” ：如图，一束带电粒 子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同， 大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在 垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半 径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可 以找出与右边界相切的 “临界轨迹”．
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情况一：d>2r，如图，所有带电粒子均从左边界射出，垂直 于左边界射入磁场的粒子，从 B 点射出，从左边界射出粒子的范 围是从 P 到 B. 情况二：2r>d>r，图中有三条重要轨 迹： ①粒子的轨迹与右边界相切于 C 点， 从 E 点射出， 该粒子在磁场中运动的时间 最长．
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二、带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子的电性不确定形成多解． 磁场的方向不确定形成多解． 带电粒子的速度不确定形成多解． 临界状态不唯一形成多解． 带电粒子的周期性运动形成多解 .
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题 型 透 析
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【答案】
AD
【解析】 电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力： mv2 mv L －2 evB＝ ，R＝ ＝4.55× 10 m＝ 4.55 cm＝ ，利用“旋 R Be 2 转圆法 ”：θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l＝2R＝ 9.1 cm， A 项正确； θ＝ 60°时， 击中板的范围如图乙所示， l＜ 2R＝ 9.1 cm， B 项错误；θ＝30°时，如图丙所示 l＝R＝ 4.55 cm，C 项错误．θ ＝ 45°时，击中板的范围如图丁所示，l＞ R(R＝4.55 cm)， D 项 正确．
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【答案】 【解析】
C 利用“旋转圆法”：
当 θ＝ 60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则 a＝ Rsin30 °，即 R＝ 2a.设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α， α 则其在磁场中运行的时间为 t＝ T，即 α 越大，粒子在磁场中 2π 运行的时间越长，α最大时粒子的运动轨迹恰好与磁场的右边
－19
C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝ 1.6× 106 m/s 的一个 )
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电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则 (
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A．θ ＝ 90°时， l＝9.1 cm B． θ ＝ 60°时， l＝ 9.1 cm C．θ ＝ 45°时， l＝4.55 cm D．θ ＝ 30°时， l＝4.55 cm
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(2)“旋转圆法”： 如图， 一束带电的粒子垂直射入匀强磁场， 初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运 动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆， 通过旋转圆确定 粒子“ 临界轨迹” ．
百度文库
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2．判断临界值的常用结论 (1)粒子刚好穿出磁场的条件： 在磁场中运动的轨迹与边界相 切． (2)根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速 度越大． (3)根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越 大，时间越长． (4)根据弧长 (或弦长 )判断时间的极值：当速率一定时，粒子 运动弧长(或弦长)越长，时间越长．
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(二)平行边界磁场 例 2 如图所示，竖直线 MN∥PQ，MN 与 PQ 间距离为 a，其间存在垂直纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为 B， O 是 MN 上一点， O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为 v(方 向均垂直磁场方向 )、比荷一定的带负电粒子(粒 子重力及粒子间的相互作用力不计 )，已知沿图 中与 MN 成 θ＝ 60°角射出的粒子恰好垂直 PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为 ( ) πa A. 3v 3π a B. 3v 4π a C. 3v 2π a D. v
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题 单面边界磁场中的临界值． 平行边界磁场中的临界值． 直角边界磁场中的临界值． 三角形边界磁场中的临界值． 矩形边界磁场中的临界值． 圆形边界磁场中的临界值．
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界相切，如图乙所示，因 R＝ 2a，此时圆心角 αm 为 120°，即最 2π R 4 π a T 长运动时间为 ，而 T＝ ＝ ，所以粒子在磁场中运动的 3 v v 4π a 最长时间为 ， C 项正确． 3v
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方法提炼 平行边界磁场中常见临界值类型分析： 如图所示，一束带正电的粒子流，从 P 点朝不同方向射入匀 强磁场，所有粒子速度大小相同，磁场左右边界的间距为 d、带 电粒子轨迹圆的半径为 r，用“旋转圆法”分析下面三种情况：
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(一)单面边界磁场 例1 (2015· 四川 )(多选 )如图所示， S 处
有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子， 平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝ 9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝ 4.55 cm， MN 与 SO 直线的夹角为 θ， 板所在平面有电 子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度 B＝ 2.0× 10－4 T， 电子质量 m＝ 9.1× 10－ 31 kg， 电量 e＝－ 1.6× 10
带电粒子在有界磁场中运动的临界值问题 当大量带电粒子通过磁场区域时，由于边界的约束而产生 “恰好 ”“最大”“至少”“不相撞”等临界值问题， 解决此类 问题的关键是画出“临界轨迹” ．
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1．探究 “临界轨迹”的方法 (1)“放缩圆法” ：如图，一束带电粒 子垂直射入匀强磁场，初速度方向相同， 大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在 垂直于初速度方向的直线上，其轨迹为半 径放大的动态圆，利用放缩的动态圆，可 以找出与右边界相切的 “临界轨迹”．
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情况一：d>2r，如图，所有带电粒子均从左边界射出，垂直 于左边界射入磁场的粒子，从 B 点射出，从左边界射出粒子的范 围是从 P 到 B. 情况二：2r>d>r，图中有三条重要轨 迹： ①粒子的轨迹与右边界相切于 C 点， 从 E 点射出， 该粒子在磁场中运动的时间 最长．
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二、带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子的电性不确定形成多解． 磁场的方向不确定形成多解． 带电粒子的速度不确定形成多解． 临界状态不唯一形成多解． 带电粒子的周期性运动形成多解 .
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【答案】
AD
【解析】 电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力： mv2 mv L －2 evB＝ ，R＝ ＝4.55× 10 m＝ 4.55 cm＝ ，利用“旋 R Be 2 转圆法 ”：θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l＝2R＝ 9.1 cm， A 项正确； θ＝ 60°时， 击中板的范围如图乙所示， l＜ 2R＝ 9.1 cm， B 项错误；θ＝30°时，如图丙所示 l＝R＝ 4.55 cm，C 项错误．θ ＝ 45°时，击中板的范围如图丁所示，l＞ R(R＝4.55 cm)， D 项 正确．
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【答案】 【解析】
C 利用“旋转圆法”：
当 θ＝ 60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则 a＝ Rsin30 °，即 R＝ 2a.设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α， α 则其在磁场中运行的时间为 t＝ T，即 α 越大，粒子在磁场中 2π 运行的时间越长，α最大时粒子的运动轨迹恰好与磁场的右边
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C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝ 1.6× 106 m/s 的一个 )
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电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则 (
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A．θ ＝ 90°时， l＝9.1 cm B． θ ＝ 60°时， l＝ 9.1 cm C．θ ＝ 45°时， l＝4.55 cm D．θ ＝ 30°时， l＝4.55 cm
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(2)“旋转圆法”： 如图， 一束带电的粒子垂直射入匀强磁场， 初速度大小相同，方向不同，所有粒子运动的轨道半径相同，运 动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆， 通过旋转圆确定 粒子“ 临界轨迹” ．
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2．判断临界值的常用结论 (1)粒子刚好穿出磁场的条件： 在磁场中运动的轨迹与边界相 切． (2)根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速 度越大． (3)根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越 大，时间越长． (4)根据弧长 (或弦长 )判断时间的极值：当速率一定时，粒子 运动弧长(或弦长)越长，时间越长．
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(二)平行边界磁场 例 2 如图所示，竖直线 MN∥PQ，MN 与 PQ 间距离为 a，其间存在垂直纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为 B， O 是 MN 上一点， O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为 v(方 向均垂直磁场方向 )、比荷一定的带负电粒子(粒 子重力及粒子间的相互作用力不计 )，已知沿图 中与 MN 成 θ＝ 60°角射出的粒子恰好垂直 PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为 ( ) πa A. 3v 3π a B. 3v 4π a C. 3v 2π a D. v
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