2.1抽象思想和符号化思想
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性质特征的抽象方法。 自然数概念的形成是一个典型的等置抽象过程。
孕育
形成 应用
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
无限抽象：“无限”概念是数学研究的一个重要
概念，称涉及无限概念的抽象为无限抽象。 两种不同的理解方式： 1.把“无限”看成是永远在延伸着的、处在构造中 的东西或变化过程，它是一个潜在的而不是实在的 东西，例如，不断向后延伸着的自然数列 l，2，3，…，n，…
对抽象思想的认识
又如：1，2，3等较小自然数概念是建立在对于 真实事物的直接抽象之上的，但是，那些较大的 自然数显然不是直接抽象的结果，而是建立在已 有数概念的抽象思维基础之上的，即人们要从较 小数概念中抽象出数概念的“序”的特性------一 个数字加1就可以得到下一个比它大1的数。
数学抽象的特征
2.模式化特征：通过数学抽象而成的抽象物，当不 考虑它与现实原型的联系时，它就获得了独立的存 在性，成为一种真实的“数学客体”，相对于原型 而言，它具有更为普遍的意义。
如由切线斜率模型抽象出的导数概念，它不仅适用于曲线在 其上一点处切线的研究，还适用于具有相同量性特征的一类
问题：运动的瞬时速度——路程关于时间的导数，电流强度
数学抽象的主要方法
性质抽象：就是考察被研究对象某一方面的性质
或属性，而抽取量性方面的性质或属性的抽象方
法。
性质抽象包括分离和概括两个步骤。
教学中的典型例子，正、反面例子，以及问题情
境的创设，都是为了帮助学生获得丰富的感性认
识，经比较、分析完成抽象概括，形成相应的数
学概念。
案例：角和直角的初步认识
一般
特例
数学抽象的主要方法
一般
特例 强抽象就是一个不断增加概念内涵而缩小其外延 的思维过程。
数学抽象的教学策略
情境
模型
应用
注重操作和直观； 要在适当的时机进行适度的数学抽象。
案例：长方体的认识
符号化思想
“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是 数学的方法。”---《数学课程标准（2011版）
自然科学研究的是客观存在的运动物质实体，没有对其质
的抽象，其研究对象，诸如碳、氢、氧、电子等还是客观 存在于现实中的。
数学抽象的特征
4.符号化特征：作为数学研究的对象的抽象的思想 材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述 的，而是被进一步符号化，尤其在现代数学中，每 抽象出一个重要概念，都要赋予符号表示。当符号 与一定的概念单值地对应时，思想的操作可以转换 为对符号的操作，从而出现了数学特有的分析问题 、研究问题的规则：内容的分析往往让位于形式的 变换，而形式的变换则完全由符号来完成。
各自独立 → 逐步规范、统一 → 国际化
符号意识的体现： 1.理解符号所表示的数、数量关系和变化规律 小学数学常用符号P17
符号化思想
2.能用符号表示数、数量关系和变化规律 3.知道使用符号可以进行运算和推理，是进行 数学思考的重要形式，得到的结论具有一般性
正方形周长=边长的4倍 C=4a
符号化思想的应用(P18表2-1）
个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个 点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
新科学的诞生
数学抽象的特征
1.理想化特征：数学抽象的过程往往包含了对于 现实客体或现象的必要简化、纯化和完善，它强 调和夸张了现实原型的某一些特征，同时，又完
全舍弃了它的另外一些特征，甚至虚构一些在与
问题相关的方面同现实客体相合，但又不具有现
角由两部分组成，一个顶点和两条边。
案例：角和直角的初步认识
数学抽象的主要方法
关系抽象 数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中 抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位
置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽
象方法。
长方形：对边平行且相等
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
等置抽象：按某种等价关系，抽取一类对象共同
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
两种不同的理解方式：
2.把无限对象视为可以自我完成的过程或无穷整体 ，即把无限的东西的整体本身作为一个个实在的对 象来考虑，看成是已经构造完成了的东西。 如把自然数全体理解为一个实在的无限集合 {1，2，3，…，n，…}，并用符号N 表示
数学抽象的主要方法（按思维形式分）
抽象思想与符号化思想
一、对抽象思想的认识 二、数学抽象的特征
三、数学抽象的主要方法
四、数学抽象的教学
五、符号化思想
六、符号化思想的应用
七、符号化思想的教学
对抽象思想的认识（数学文化P41）
抽象：在思考过程中，从具体的客观事物中抽 取其本质特征，而摒弃其非本质特征的思维活 动。
形象
文学抽象：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千 里目，更上一层楼。 数学抽象：就是指在数学研究中，通过对象的 现象，深入里层，抽取事物本质特征的一种认 识方法。
实客体的其他各种复杂性质的“理想对象”。
数学抽象的特征
如，在几何学中，为了便于探讨现实事物的形状 、大小和空间关系，就把形态各异的物体抽象成 几种空间几何图形：把针尖、笔头等物体抽象为 “没有大小的点”，以此强调它所占的空间位置 很小；把一根竿、一根绳等长度比其他维度更明 显的物体抽象为“没有宽度的线”，而把一张纸 、一块板等长和宽都比其厚度大得多的物体抽象 为“没有厚度的面”，等等。
问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座
都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题
照样子画一张地图，亲自尝试尝试。
哥尼斯堡七桥问题
想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因
为各种可能的线路有 P =5040种。要想一一试过，
7 7
真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答便众
符号化思想的应用
3.列方程解应用题的思想 主要体现在如下几个方面： （1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等 地参与运算； （2）代数翻译。把题中自然语言表述的已知条件，
译成用符号化语言表述的方程。
（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则
运算，进而达到求解的目的。
符号化思想的教学
1.要使学生理解数学符号的含义和实质 数学概念本身是抽象的，而数学符号又常常 是概念的代表，因此，要搞清楚每个数学符号的 含义与实质。 2.教育学生规范化书写数学符号 （1）数学符号书写的位置必须准确无误
如，60°π
符号化思想的教学
（4）指导数学符号书写的“笔顺”，使学生能流
畅、正确地写好符号。
3.在概念、公式、法则、性质等的教学中，解决问题中培养符号意识
例：有10个同学站成5列，每列学生有4人，这些学
生应该如何站？ 直觉→有相交点 抽象成五条线段和10个点（符号化）
数学抽象的主要方法
概念的内涵：概念的含义。表示概念所反映的事物 的特有属性。
概念的外延：概念所适用的范围。
具体内容参见《小学数学课程与教学》P101
数学抽象的主要方法
弱抽象和强抽象
2.所谓强抽象，也可以叫做“强化结构式抽象”， 即通过在原型中引入新的特征来强化原来结构的抽 象，从而获得新的概念或理论。在这里，抽象出的 结构就是原结构的一个特例。 原结构 抽象后结构
1.变元的思想 例如，在□中填入适当的数 6-□＞4 8+□＜11 8＜14-□ 8＜14-□ 12＞7+□ 10+□＜13
“□”换成“x”，那么，上述的算式是不等式 ，变元x有确定的取值范围。符号“□”在这里 只起着“位置占有者”的作用。
符号化思想的应用
2.用字母表示数的思想 如，加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用 S=πr2表示等 目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达 到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范 围内肯定数学规律的正确性。
对抽象思想的认识
例（哥尼斯堡七桥问题） 现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史 名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首 府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的 哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有
离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之
一，德国的希尔伯特也出生于此地。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的
弱抽象和强抽象
1.所谓弱抽象，也可以叫做“扩张式抽象”，即从 原型中选取某一侧面特征加以抽象，从而形成比原 型更为普遍和更为一般化的概念或理论，获得比原 结构更广阔的结构，使原结构成为被抽象后结构的 特例。 原结构 抽象后结构
特例
一般
数学抽象的主要方法
特例
一般 弱抽象就是一个不断减少概念内涵而使其外延不断 扩大的思维过程。
——电量关于时间的导数等问题的研究，从而成为了一种模 式。
数学抽象的特征
3.形式化特征：对客观事物或现象的数学抽象就是 在数量上和空间上将其形式与内容分离，舍弃内 容，保留形式，整个数学是一个纯形式化的思想 体系。
如“函数”，客观世界中本没有函数，它只是人们从现实 世界数量相依关系中抽象出来的思想材料。与此相对照，
比如，4.7写成4· 7
符号化思想的教学
（2）遵守符号书写的规定或习惯。 例如，圆的周长和圆的面积一般是写为： C=2πr，S=πr2 而不可以写成：r=2πa，θ=πr2 遵守数学符号书写的大小的习惯，不要把常用的数学 符号写得过大或过小，或与一般写法不同。 （3）一个表达式中的数学符号体系要统一。
每多一个相交点→减少一名同学
符号化思想的教学
5.在高年级及六年级下的复习中，加强符号化思 想的教学（案例阅读课本P21）
说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条 件的解答的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是 存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所 未及的领域，是很常见的事！
欧拉(Euler） 1707---1783 瑞士数学家
问题的抽象------数学化
把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D四个点，七
座桥表示成7条连接这4个点的线，欧拉注意到，每
孕育
形成 应用
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
无限抽象：“无限”概念是数学研究的一个重要
概念，称涉及无限概念的抽象为无限抽象。 两种不同的理解方式： 1.把“无限”看成是永远在延伸着的、处在构造中 的东西或变化过程，它是一个潜在的而不是实在的 东西，例如，不断向后延伸着的自然数列 l，2，3，…，n，…
对抽象思想的认识
又如：1，2，3等较小自然数概念是建立在对于 真实事物的直接抽象之上的，但是，那些较大的 自然数显然不是直接抽象的结果，而是建立在已 有数概念的抽象思维基础之上的，即人们要从较 小数概念中抽象出数概念的“序”的特性------一 个数字加1就可以得到下一个比它大1的数。
数学抽象的特征
2.模式化特征：通过数学抽象而成的抽象物，当不 考虑它与现实原型的联系时，它就获得了独立的存 在性，成为一种真实的“数学客体”，相对于原型 而言，它具有更为普遍的意义。
如由切线斜率模型抽象出的导数概念，它不仅适用于曲线在 其上一点处切线的研究，还适用于具有相同量性特征的一类
问题：运动的瞬时速度——路程关于时间的导数，电流强度
数学抽象的主要方法
性质抽象：就是考察被研究对象某一方面的性质
或属性，而抽取量性方面的性质或属性的抽象方
法。
性质抽象包括分离和概括两个步骤。
教学中的典型例子，正、反面例子，以及问题情
境的创设，都是为了帮助学生获得丰富的感性认
识，经比较、分析完成抽象概括，形成相应的数
学概念。
案例：角和直角的初步认识
一般
特例
数学抽象的主要方法
一般
特例 强抽象就是一个不断增加概念内涵而缩小其外延 的思维过程。
数学抽象的教学策略
情境
模型
应用
注重操作和直观； 要在适当的时机进行适度的数学抽象。
案例：长方体的认识
符号化思想
“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是 数学的方法。”---《数学课程标准（2011版）
自然科学研究的是客观存在的运动物质实体，没有对其质
的抽象，其研究对象，诸如碳、氢、氧、电子等还是客观 存在于现实中的。
数学抽象的特征
4.符号化特征：作为数学研究的对象的抽象的思想 材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述 的，而是被进一步符号化，尤其在现代数学中，每 抽象出一个重要概念，都要赋予符号表示。当符号 与一定的概念单值地对应时，思想的操作可以转换 为对符号的操作，从而出现了数学特有的分析问题 、研究问题的规则：内容的分析往往让位于形式的 变换，而形式的变换则完全由符号来完成。
各自独立 → 逐步规范、统一 → 国际化
符号意识的体现： 1.理解符号所表示的数、数量关系和变化规律 小学数学常用符号P17
符号化思想
2.能用符号表示数、数量关系和变化规律 3.知道使用符号可以进行运算和推理，是进行 数学思考的重要形式，得到的结论具有一般性
正方形周长=边长的4倍 C=4a
符号化思想的应用(P18表2-1）
个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个 点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
新科学的诞生
数学抽象的特征
1.理想化特征：数学抽象的过程往往包含了对于 现实客体或现象的必要简化、纯化和完善，它强 调和夸张了现实原型的某一些特征，同时，又完
全舍弃了它的另外一些特征，甚至虚构一些在与
问题相关的方面同现实客体相合，但又不具有现
角由两部分组成，一个顶点和两条边。
案例：角和直角的初步认识
数学抽象的主要方法
关系抽象 数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中 抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位
置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽
象方法。
长方形：对边平行且相等
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
等置抽象：按某种等价关系，抽取一类对象共同
数学抽象的主要方法（按对象的内容分）
两种不同的理解方式：
2.把无限对象视为可以自我完成的过程或无穷整体 ，即把无限的东西的整体本身作为一个个实在的对 象来考虑，看成是已经构造完成了的东西。 如把自然数全体理解为一个实在的无限集合 {1，2，3，…，n，…}，并用符号N 表示
数学抽象的主要方法（按思维形式分）
抽象思想与符号化思想
一、对抽象思想的认识 二、数学抽象的特征
三、数学抽象的主要方法
四、数学抽象的教学
五、符号化思想
六、符号化思想的应用
七、符号化思想的教学
对抽象思想的认识（数学文化P41）
抽象：在思考过程中，从具体的客观事物中抽 取其本质特征，而摒弃其非本质特征的思维活 动。
形象
文学抽象：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千 里目，更上一层楼。 数学抽象：就是指在数学研究中，通过对象的 现象，深入里层，抽取事物本质特征的一种认 识方法。
实客体的其他各种复杂性质的“理想对象”。
数学抽象的特征
如，在几何学中，为了便于探讨现实事物的形状 、大小和空间关系，就把形态各异的物体抽象成 几种空间几何图形：把针尖、笔头等物体抽象为 “没有大小的点”，以此强调它所占的空间位置 很小；把一根竿、一根绳等长度比其他维度更明 显的物体抽象为“没有宽度的线”，而把一张纸 、一块板等长和宽都比其厚度大得多的物体抽象 为“没有厚度的面”，等等。
问题：能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座
都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题
照样子画一张地图，亲自尝试尝试。
哥尼斯堡七桥问题
想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因
为各种可能的线路有 P =5040种。要想一一试过，
7 7
真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答便众
符号化思想的应用
3.列方程解应用题的思想 主要体现在如下几个方面： （1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等 地参与运算； （2）代数翻译。把题中自然语言表述的已知条件，
译成用符号化语言表述的方程。
（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则
运算，进而达到求解的目的。
符号化思想的教学
1.要使学生理解数学符号的含义和实质 数学概念本身是抽象的，而数学符号又常常 是概念的代表，因此，要搞清楚每个数学符号的 含义与实质。 2.教育学生规范化书写数学符号 （1）数学符号书写的位置必须准确无误
如，60°π
符号化思想的教学
（4）指导数学符号书写的“笔顺”，使学生能流
畅、正确地写好符号。
3.在概念、公式、法则、性质等的教学中，解决问题中培养符号意识
例：有10个同学站成5列，每列学生有4人，这些学
生应该如何站？ 直觉→有相交点 抽象成五条线段和10个点（符号化）
数学抽象的主要方法
概念的内涵：概念的含义。表示概念所反映的事物 的特有属性。
概念的外延：概念所适用的范围。
具体内容参见《小学数学课程与教学》P101
数学抽象的主要方法
弱抽象和强抽象
2.所谓强抽象，也可以叫做“强化结构式抽象”， 即通过在原型中引入新的特征来强化原来结构的抽 象，从而获得新的概念或理论。在这里，抽象出的 结构就是原结构的一个特例。 原结构 抽象后结构
1.变元的思想 例如，在□中填入适当的数 6-□＞4 8+□＜11 8＜14-□ 8＜14-□ 12＞7+□ 10+□＜13
“□”换成“x”，那么，上述的算式是不等式 ，变元x有确定的取值范围。符号“□”在这里 只起着“位置占有者”的作用。
符号化思想的应用
2.用字母表示数的思想 如，加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用 S=πr2表示等 目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达 到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范 围内肯定数学规律的正确性。
对抽象思想的认识
例（哥尼斯堡七桥问题） 现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史 名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首 府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的 哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有
离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家之
一，德国的希尔伯特也出生于此地。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的
弱抽象和强抽象
1.所谓弱抽象，也可以叫做“扩张式抽象”，即从 原型中选取某一侧面特征加以抽象，从而形成比原 型更为普遍和更为一般化的概念或理论，获得比原 结构更广阔的结构，使原结构成为被抽象后结构的 特例。 原结构 抽象后结构
特例
一般
数学抽象的主要方法
特例
一般 弱抽象就是一个不断减少概念内涵而使其外延不断 扩大的思维过程。
——电量关于时间的导数等问题的研究，从而成为了一种模 式。
数学抽象的特征
3.形式化特征：对客观事物或现象的数学抽象就是 在数量上和空间上将其形式与内容分离，舍弃内 容，保留形式，整个数学是一个纯形式化的思想 体系。
如“函数”，客观世界中本没有函数，它只是人们从现实 世界数量相依关系中抽象出来的思想材料。与此相对照，
比如，4.7写成4· 7
符号化思想的教学
（2）遵守符号书写的规定或习惯。 例如，圆的周长和圆的面积一般是写为： C=2πr，S=πr2 而不可以写成：r=2πa，θ=πr2 遵守数学符号书写的大小的习惯，不要把常用的数学 符号写得过大或过小，或与一般写法不同。 （3）一个表达式中的数学符号体系要统一。
每多一个相交点→减少一名同学
符号化思想的教学
5.在高年级及六年级下的复习中，加强符号化思 想的教学（案例阅读课本P21）
说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条 件的解答的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是 存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所 未及的领域，是很常见的事！
欧拉(Euler） 1707---1783 瑞士数学家
问题的抽象------数学化
把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D四个点，七
座桥表示成7条连接这4个点的线，欧拉注意到，每