正余弦定理难点突破
三角形重难点突破
三角形重难点突破三角形是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
掌握好三角形的知识点，对于学生的数学学习和高考复习都至关重要。
然而，三角形的一些概念和定理常常让学生感到困惑。
本文将针对三角形学习中的重难点进行详细讲解，并给出突破这些难点的方法。
一、三角形的分类三角形是由三条边和三个角组成的。
根据边长和角度的特点，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角均为60度。
2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底边的两个底角相等。
3. 一般三角形：没有特殊边长或角度关系的三角形。
学生常常会混淆等边三角形和等腰三角形。
记住等边三角形的三个角都是60度，而等腰三角形只有两个底角相等，可以帮助学生准确区分它们。
二、勾股定理勾股定理是三角形中最重要的定理之一。
它描述了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用公式表示为：a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边。
重难点在于应用勾股定理解决实际问题。
在解题过程中，学生需要将问题转化为直角三角形，并正确应用勾股定理。
此外，学生还需要注意判断问题中是否存在直角，并确保使用正确的边长。
三、正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决一般三角形问题的重要工具。
它们可以通过边长和角度之间的关系来求解三角形的各个边长和角度。
1. 正弦定理：在任意三角形中，三边的长度和对应的角的正弦值之间存在着恒等关系。
正弦定理可以用公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c代表三角形的边长，A、B、C代表对应的角。
2. 余弦定理：在任意三角形中，两边的平方和减去它们的两倍乘以两边之间夹角的余弦值，等于第三边的平方。
余弦定理可以用公式表示为：c² = a² + b² - 2ab cosC掌握正弦定理和余弦定理的应用是解决一般三角形问题的关键。
难点突破02 解三角形必备的三个意识-重难点题型突破(全国通用)
（1）求角 ；
（2）角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
[解析] （1）由正弦定理及切化弦可得 ，又 , , ，整理得 ，又 ，则 .
（2）因为 ， ，所以 ，可得 ，又由余弦定理得 ，解得 或 （舍去），则 ，
可得 或 又 ，显然当 或 时， 的值相同，不妨设 ，则 .由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得 .
[解析] （1） ， ，即 .由正弦定理得 . ， .
， ，又 , ， .（2） 为 边的中点， ， , ， ， ,又 ， ，当且仅当 时取等号.由余弦定理得 ， ，即 .故 的最小值为 ，此时 .
3.(2022·江苏模拟)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
[解析] （1）由 ， ，得 ，由正弦定理得 ，即 .（2）由（1）可得 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ,所以 ，所以 的面积 .
2.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 为 边的中点，且 ，求 的最小值.
[解析] （1）选①，因为 ， 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ，解得 .选 ②，由 结合正弦定理可知， ，因为 ，所以 ,所以 ，所以有 .因为 ，所以 .
选③，因为 ，所以 ，所以有 .因为 ，所以 .（2）由题可得， ，所以 ，由基本不等式可知 ，解得 ，所以其面积 .当且仅当 时， 的面积取得最大值，最大值为 .
用正余弦定理巧解难题
用“正弦、余弦定理”巧解难题正弦、余弦定理是高中数学中一个非常重要的知识点，它沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边角互化，从而明确解题方向。
怎样才能做到灵活运用“正弦、余弦定理”解题呢？下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用例1 0,60,2,ABC A B C a b c A a ABC ∆∠==∆中、、的对边分别为、、，且求面积的最大值.分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解 02,60a A ==Q222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=由余弦定理得 （1）222b c bc +≥Q （2）由（1）、（2）知4bc ≤∴13sin 424ABC S bc A ∆==≤⨯= ∴ABC ∆例2 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，S 为ABC ∆的面积，且06012A b S ===，，则=++++CB A cb a sin sin sin ．解160,12,s i n 1832A b S b c A ====Q ∴6=c又2222cos a b c bc A =+-Q ∴36=a 根据正弦定理，得122336sin sin sin sin ===++++A a C B A c b a二、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）例3 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-． 证明：要证C B A c b a sin )sin(222-=-，由正弦定理，得只需证 ,s i n )s i n (s i n s i n s i n 222C B A CB A -=- 只需证),sin(sin sin sin 22B A CBA -=- 只需证 ,s i n s i n)s i n ()s i n (22B A B A B A -=-+ 而222222sin()sin()sin cos cos sin sin sin .A B A B A B A B A B +-=-=-成立222sin().sin a b A B c C--=所以三、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式例4 已知ABC ∆中，2:3:4sin :sin :sin =C B A ，求B cos 的值． 分析：由Cc B b A a sin sin sin ==得C B A c b a sin sin sin ：：：：=，再利用余弦定理很快解决问题．解 令角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，sin :sin :sin 4:3:2,A B C =Q根据正弦定理，得2:3:4::=c b a ．不妨令),0(,2,3,4>===t t c t b t a∴16111694162cos 2222222=-+=-+=t t t t ac b c a B四、应用正弦定理求角时应注意检验例5 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，,60,35,50===C c b 则B = ．解 ,b c <Q∴C B <又05,60,b c C ===Q∴由正弦定理，得==c C b B sin sin 213560sin 50= 即)150(3000舍去==B B例6 在ABC ∆中，已知,45,2,30===B b a ，求边c ． 解法一：sin sin a bA B=Q∴23sin sin ==b B a A 又,b a <Q ∴A B <∴0012060或=A ．当，时，07560==C A 22645sin 75sin 2sin sin 0+===BC b c 当，时，015120==C A 22645sin 15sin 2sin sin 00-===B C b c 解法二：2222cos ,b a c ac B =+-Q∴223cos ,c B =+-即0162=+-c c ，解得226±=c 说明：在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若有b a >，则有B A B A b a sin sin >⇔>⇔>．。
《余弦定理与正弦定理》突破提高
《余弦定理与正弦定理》突破提高突破1利用正弦定理判断解的情况或已知解的个数求边长的取值范围已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角,通常用正弦定理解这类问题,但可能会出现多解的情况.如已知两边,a b 及其中一边的对角A ,由sin sin a b A B =求角B 时,可能有一解、两解或无解的情况,如何判断解的情况呢?其判断方法有两种.方法一:如表,过点C 作AB 的垂线,根据边a 与AB 边上的高的大小关系来判断解的个数.a b 一解 方法二:由正弦定理sin sin a A B =得sin B a=,若sin 1B >,则无解;若sin 1B =,则一个解;若0sin 1B <<,则由三角形“大边对大角”来确定角B 的范围,从而判断解的情况.【例5】在ABC ∆中,已知内角,,A B C 所对的边分别为,,,11,12,60a b c b c B ===︒,判断ABC ∆解的情况并解三角形.(角度精确到1︒,边长精确到0.1.参考数据:sin 710.9455︒≈)解:方法一∵sin 1211,sin ,2c B b c B b c ABC =⨯==∴<<∴∆有两个解.由sin sin b c B C =,即1112sin 60sin C=︒,得sin 0.9448C ≈.∵0180,71C C ︒<<︒∴≈︒或109C ≈︒.当71C ≈︒时,sin 49,9.6sin c A A a C ⋅≈︒=≈;当109C ≈︒时,sin 11, 2.4sin c A A a C⋅≈︒=≈. 方法二:由正弦定理sin sin c b C B =,得12sin 2sin 0.944811c B C b ⋅===≈.∵,,60120c b C B C >∴>∴︒<<︒.由sin 0.9448C ≈,得71C ≈︒或109C ≈︒.当71C ≈︒时,sin 49,9.6sin c A A a C ⋅≈︒=≈;当109C ≈︒时,sin 11, 2.4sin c A A a C⋅≈︒=≈. ∴ABC ∆有两个解,71,49,9.6C A a ≈︒≈︒≈或109,11, 2.4C A a ≈︒≈︒≈.突破2判断三角形的形状判断三角形形状时,能化简的先化简,再从两个方向进行变形:一个方向是角,走三角变形之路,主要是应用正弦定理;二个方向是边,通常是正弦定理和余弦定理综合应用,同时注意应用三角形内角的关系,如(),222C A B A B C C A B πππ+++=⇒=-+=-等. 讨论三角形解的个数时应抓住两点:一是其正弦值与“1”的大小关系,从而决定正弦值对应的角是否存在;二是由此正弦值所确定的角(在0~180︒︒内)的个数,它们与已知角的和是否小于等于180︒.应用正弦定理将表达式转化为角的关系【例1】在ABC ∆中,若cos cos sin b C c B a C +=,则ABC ∆的形状是________. 分析:由正弦定理边角互化得sin cos sin cos sin sin B C C B A C +=,进而整理得sin C 的值,得到C 的大小,即可得答案.解析:因为cos cos sin b C c B a C +=,所以由正弦定理得sin cos sin cos sin sin B C C B A C +=,即sin()sin sin B C A C +=.由于在ABC ∆中,sin()sin B C A +=,所以sin sin sin A A C =.因为(0A ∈,)π,所以sin 0A ≠,所以sin 1C =.又因为(0,)C π∈,所以2C π=,即ABC ∆为直角三角形.答案:直角三角形应用余弦定理将表达式转化为边的关系【例2】在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,判断分别满足下列条件的三角形的形状.(1)260,B b ac =︒=. (2)cos cos a b B A=. 分析:(1)条件中的角为特殊角,应用余弦定理可发现三角形各边之间的关系.(2)根据余弦定理,将条件中的cos ,cos B A 用边表示出来,这样便可化角为边,求出三条边之间的关系式.解:(1)由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===,可得22a c ac ac +-=,∴2()0,a c a c -=∴=.由a c =及60B =︒可知ABC ∆为等边三角形.(2)由cos cos a b B A =及余弦定理,知22222222ac bc a b a c b b c a⋅=⋅+-+-, 化简得()()222220c a b a b c -+-=,即a b =或222a b c +=或0c =(舍去),因而ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.应用正弦定理将表达式表示为边的关系,再应用余弦定理,判断三角形的形状【例3】在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.直角三角形D.不能确定解析:设ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .由222sin sin sin A B C +<及正弦定理,得222a b c +<.由余弦定理,得222cos 02a b c C ab +-=<,所以C 为钝角,故ABC ∆一定是钝角三角形.答案:C突破3正弦定理、余弦定理与其他知识的综合应用应用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题的关键在于充分应用正弦定理、余弦定理中的边角关系可以相互转化这一功能.常见的综合问题有:正弦定理和余弦定理与平面向量、三角函数、三角恒等变换的综合交汇问题.【例4】已知函数()f x =⋅a b ,其中(2cos ,2),(cos ,1),x x x x ==∈a b R .(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,()1,a b c f A a =-=,且向量(3=m ,sin )B 与(2,sin )C =n 共线,求边长b 和c 的值. 解:(1)由题意知2()2cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭.∵cos y x =在[2,2]()k k k πππ-∈Z 上单调递增, ∴令222()3k x k k ππππ-+∈Z ,得2()36k x k k ππππ--∈Z ,∴()f x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z . (2)()12cos 21,cos 2 1.33f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又70,2,333A A ππππ<<∴<+<72,.,332A A a πππ∴+=∴==222272cos ()3.4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-= 向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线,∴2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =.3, 1. 2b c ∴== 【本节与高考】正弦定理是高考的重点,若解答题的第一题没有考查,则选择题或填空题中定要考查题一难度为中低档.常考题型：(1)解三角形或求指定角的三角函数值；(2)判断三角形的形状；(3)求三角形的面积；(4)解三角形与其他知识相交汇,如平面向量、三角函数、三角恒等变换等.。
高中数学正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 结 束
利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决的两类问题
(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．
(2)已知三边，求三个内角．
[例 2] (1)在△ABC 中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角
为 120°，则这个三角形的最大边等于
[例 1] (1)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且 a>b，则 B＝
()
A.π6
B.π3
C.23π
D.56π
[解析] 利用正弦定理的变形，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C，代入 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b 中，得 2Rsin A·sin
cos B＝ a2＋c2－b2 ____2_a_c____；
＝csin B，asin C＝csin A；
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R
cos C＝ a2＋b2－c2
____2_a_b_____
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
正弦定理和余弦定理 结 束
考点贯通
＝ 23×13＋12×232＝
3＋2 6
2 .
由正弦定理sina A＝sinc C得
c＝sina
Asin
C＝
3× 3
3＋2 6
2＝1＋2
3
6 .
2
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标二) 利用正、余弦定理判断三角形的形状
突破1.1.2 余弦定理重难点突破(原卷版)
突破1.1.2 余弦定理重难点突破一、考纲要求1. 熟记并掌握余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；2. 能够利用余弦定理解三角形；3. 能利用正弦定理 余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题；4. 能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享【正弦定理】2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【余弦定理】①2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-②222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===③在三角形△ABC 中，若222c a b =+，则C 为直角；若222c a b >+，则C 为钝角；若222c a b <+，则C 为锐角。
【三角形常用结论 】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔> （2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角）()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan by a b x aϕϕ=+=+=其中三、题型分析(一) 利用余弦定理解三角形例1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =,2cos 3A =,则b=（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3例2.在ABC ∆中，已知222a b c bc =++，则A =（ ） A.3π B.6π C.23π D.3π或23π【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC 三个内角的对边,且,则三角形ABC 中为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【变式训练2】．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23AB AD AB BD ==，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）BCDA 3B 3C 6D 6(二) 利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积 最值问题例3.已知ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，已知222bc b c =-，若a =3cos 4A =，则ABC ∆的面积等于（ ）A.154B.4C.94D.2例4.在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，若()222tan a c b B +-=，则B 的值为（ ） A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π【变式训练1】．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 1:5:6A B C =，则ABC ∆是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【变式训练2】（2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【变式训练3】（2016年全国II ）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b = ．(三) 正余弦定理与三角变换的综合应用 例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）A ．B ．C ．D ．例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，点E 为边AC 上的中点，已知2a =，4b =，3c =，则cos C =__________；BE =__________．【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.（1）求角的大小； （2）若，求角的大小.【变式训练2】.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． (1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．四、迁移应用1.若ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且2223a c b ba =-+，则C ∠=（ ） A.3π B.23π C.4π D.54π 2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，5cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB A ．42 B ．30 C ．29 D ．254．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = A ．310 B ．10 C ．10- D ．310-5．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =A ．5B ．5C ．2D ．16．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 7.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a b c 、、，且2223a b c ab +-=，则C ∠=__________. 8．（2019·浙江高考模拟）在∆ABC 中，C ＝45°，AB ＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD ＝5，BD ＝3 ，则cos B ＝_____ ，AC ＝_____．9.在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．10．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,.a b c 已知(2)cos cos a c B b C -=． （1）求B Ð的大小；（2）若ABC △6a c +=，求ABC △的周长．。
专题4.6 正弦定理与余弦定理(重难点突破)(解析版)
专题4.6 正弦定理与余弦定理一、考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.二、经验分享考点一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解考点二 三角函数关系和射影定理 1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .三、题型分析重难点题型突破1 利用正弦余弦定理解三角形例1、(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75° D ．105°【答案】C【解析】在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3， 由正弦定理得sin B ＝AC sin C AB ＝2×323＝22. 因为AB >AC ，所以C >B ，所以B ∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，，所以B ＝45°，又C ＝60°，所以A ＝180°－B －C ＝180°－45°－60°＝75°.【变式训练1-1】、已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A ．2B ．1 C.3 D.2 【答案】D 【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，所以112＝b22，所以b ＝ 2. 例2、(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19 D.7【答案】B 【解析】如图所示在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝AD ＝3，AC ＝4，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋9－162×2×3＝－14，所以cos ∠DAB ＝－cos ∠ABC ＝14，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠DAB ＝32＋22－2×3×2×14＝10.所以BD ＝10.【变式训练2-1】、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【答案】C【解析】由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ，所以sin C ＝cos C ．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.例3．(2020·泸州模拟)在△ABC 中，角B 为3π4，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A ＝( )A.255B.55 C.23 D.53【答案】A【解析】设BC 边上的高为h ，则BC ＝2h ，AB ＝2h ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2h 2＋4h 2－2·2h ·2h ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22-＝10h 2，故AC ＝10h .所以cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝(2h )2＋(10h )2－(2h )22·2h ·10h＝255.【变式训练3-1】、在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．【答案】（1）c ＝5，b ＝7.（2）437.【解析】(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎪⎭⎫⎝⎛21-. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎪⎭⎫⎝⎛21-， 解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12，得sin B ＝32.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，B 是钝角，所以C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.重难点题型突破2 利用正、余弦定理边角互化例4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A. ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．【变式训练4-1】、(2020·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为cb <cos A ，所以c <b cos A ，由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )．所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．【变式训练4-2】、(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c＝6.故选A. 【变式训练4-3】、(2020·黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求角A ；(2)若a ＝13，AB →·AC →＝6，求△ABC 的周长． 【答案】（1）A ＝π3（2）7＋13【解析】(1)因为2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ， 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 所以2sin A cos A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以2cos A ＝1，即cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·12.得(b ＋c )2－3bc ＝13，由AB →·AC →＝6，得bc cos A ＝6，所以bc ＝12.所以(b ＋c )2－36＝13，得b ＋c ＝7，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 重难点题型突破3 与三角形面积有关的问题例5、(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________． 【答案】63【解析】法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cosπ3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【变式训练5-1】、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________． 【答案】3＋1【解析】∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得c ＝b sin C sin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝7π12，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24.则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【变式训练5-2】、(2020·江西省九江市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，且△ABC 的面积为3，则a 的值为________．【答案】2 3【解析】△ABC 中，由cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，得1－sin 2A －(1－sin 2B )＋sin 2C ＝sin 2B ＋sin 2C－sin 2A ＝sin B sin C ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴bc sin B sin C ＝a 2sin 2A ，即bc 14＝a 2sin 2π3，化简得a 2＝3bc .又△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A＝3，∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝2 3.【变式训练5-3】、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【答案】（1）c ＝4；（2） 3【解析】(1)由已知条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos2π3，即c 2＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3， 所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.四、迁移应用1．（河北省枣强中学2018-2019学年期末）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ）A ．5BC ．4D ．3【答案】D【解析】由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得3a =，故选D 。
正弦定理和余弦定理重难点分析
《正弦定理和余弦定理》复习课教学重难点分析一、学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
二、教学分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时。
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
三、教学目标分析作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
1. 知识目标（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
2. 能力目标培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
3. 情感目标通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
四、教学重难点分析近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考察正弦定理和余弦定理，其中考察的侧重点还在于三角转换：教学重点：正、余弦定理的对于解三角形的合理选择；让学生进一步体会如何选择定理进行边角互化；教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质（三角形的内角和定理、面积公式）的综合运用，尤其是根据条件判断三角形形状，以及与向量、不等式等其他知识的综合应用。
五、教学策略通过知识的梳理、简单题的练习，引导学生对所学知识有一个复习回顾；通过典型例题的分析、讲解、归纳、整理，让学生的阶梯思路更为清晰，知识的运用能力得到提高；通过变式训练，学生对本节知识得到进一步的巩固和掌握，学生在老师的指导下，综合运用已学知识来熟练解决具体问题。
第1讲 正弦定理和余弦定理
第四章 解三角形第1讲 正弦定理和余弦定理★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos2A B +=sin 2C面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 2222-+★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。
正弦定理重难点突破
学习重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向学习难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具
体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角
接近的特殊角的三角函数值进行比较。
通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运
用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题
技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力。
专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；（2）当时，求∠A 的大小．【解答】解：（1）由，，∴a ＝2b •sin C ，∵C ＝60°且b ＝1，∴a ；（2）当时，，∵b2+c2﹣2bc•cos A，∴，即，∴，得sin（A）＝1．∵A∈（0，π），∴A∈（），则A，得A．【再练一题】在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以．思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，因为sin B≠0，所以，即．因为0＜A＜π，所以．……………………………………（2）因为a＝2，所以，所以，因为，所以当且仅当时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为．………………【再练一题】如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD＝2，CD＝4，△ABC为正三角形，则△BCD面积的最大值为．【解答】解：设∠ADC ＝α，∠ACD ＝β，由余弦定理得：AC 2＝42+22﹣2×4×2cos α＝20﹣16cos α，∴cos β，又由正弦定理可得，则sin β，∴S △BCD BC •CD •sin （β）＝2BC （sin βcos β）＝2BC •（••）＝4sin （α）+4，故△BCD 面积的最大值为4+4，故答案为：4+4思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a ．b ．c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c ＜b cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵c ＜b cos A ，∴利用正弦定理化简得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．【再练一题】在△ABC中，若22，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：∵22，∴c2﹣a2＝bc cos A，∴c2﹣a2＝bc•，化简可得：c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选：B．命题点2求解几何计算问题【典型例题】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2，B＝60°，△ABC的面积为，则a+c＝（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：△ABC中，b＝2，B＝60°，所以△ABC的面积为S ac sin B ac•，解得ac＝4；又b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣12，所以（a+c）2＝16，解得a+c＝4．故选：A．【再练一题】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，∠BAC＝90°，．（1）设∠DAC＝30°，求角B的大小；（2）设BD＝2DC＝2x，且，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵AC DC，∴sin∠ADC sin∠DAC．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B，∴∠ADC，∴∠C＝π，∴∠B；（2）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC x，∴sin B，cos B，AB x．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即：（2）2＝6x2+4x2﹣2x×2x2x2，得：x＝2．故DC＝2．思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．基础知识训练1．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ） A ．4 BCD【答案】B 【解析】 如图所示：平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4， 则：在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：22249161cos 22234AB BC AC ABC AB BC +−+−∠===−⋅⋅⋅，故：1cos cos 4DAB ABC ∠=−∠=， 则：2222?•DAB BD AD AB AD AB cos ∠=+−， 解得：． 故选：B ．2．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x xD．【答案】C由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+−⋅⋅ 234150AC AC ⇒−−=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】D 【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=−，)cos A C B b A +==−，sin cos B b A =−，sin sin cos A B B A =−， ∵sin 0B >，cos A A =−，即：tan 3A =−， ∵(0,)A π∈， ∴56A π=. 故选：D ．4．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，满足22()6,3c a b C π=−+=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．2D ．32【答案】B，∴22226c a ab b =−++，又，由余弦定理可得： 222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−∴ 222226a ab b a b ab −++=+−，解得：6ab =，由三角形面积公式可得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案选B 。
高三同学看过来，弄清这些正余弦定理疑难点，便可打好大题第一战
高三同学看过来，弄清这些正余弦定理疑难点，便可打好大题第一战各位同学，上一期叶老师讲解了三角恒等变换的有关知识点《高三同学要注意，背诵三角恒等公式还不够，承上启下作用要突出》大家有空可以再回顾一下，加深印象。
今天叶老师将按照考纲顺序，继续为大家讲解正余弦定理的有关知识，希望对大家能够有所帮助。
作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。
曾供职合作于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着深入认知与理解。
拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。
正余弦定理导读本讲是高考必考的点，说陌生它也不陌生，因为它与前面大家所学的三角函数三角恒等变化联系得非常紧密，从这两年全国卷中，可以发现正余弦定理一般在大题的第一题以及选择题前八题中出现，属于较为基础的内容，因此我希望大家在复习正余弦定理的时候能够结合前面的三角函数与三角恒等变化一起复习，这样效率更高。
另外叶老师今天将把这章节的内容分为：“知识点回顾”以及“常见考法所对应的疑难点”这两个方面进行讲解。
一、正余弦定理知识点回顾我们一起先来回顾一下与正余弦定理有关的知识点：1.正弦定理及其变形结论正弦定理PS:在等号左右两边都有边有角的情况下，可以利用正弦定理实现“边化角”或者“角化边”的化简，从而更好地解题。
2.余弦定理及变形结论余弦定理PS:余弦定理最大的功能是“知边求角”大家可以好好利用下。
3.三角形面积公式面积公式PS:第二种求面积的方法最为常用，我们常常将此公式与余弦定理配合进行解题。
二、正余弦定理常见的考法类型及其所对应的疑难点正余弦定理作为高考必考的内容，自然有很多考法以及疑难点，下面叶老师就来为大家具体盘点一下正余弦定理常见的考法类型及其所对应的疑难点：1.利用正余弦定理解三角形以叶老师的经验来看，对于这个考点学生所表现出来的问题主要有两个：①弄不清何时“边化角”何时“角化边”。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
中职教育数学《正弦定理与余弦定理》重难点解析
1.3正弦定理与余弦定理
重点难点分析：
本节课的重点是正弦定理与余弦定理及其应用，教学难点是已知两边和其中一边的对角解斜三角形．正弦定理本身可以由初中所学习的三角形面积公式推导而来，与余弦定理的结合使用，题型变得更加丰富多彩，再加上它在三角形中可以和诱导公式联合使用，它在物理学等其他学科和生产、生活的各个领域都有比较广泛的应用．
突破难点的方法： 由于特殊情况下直角三角形中很容易引导学生推导出正弦定理sin sin sin a b c A B C ==；并且用三角形的面积公式也可以进一步证明这个公式在一般的三角形中也成立．因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法．而类比的学习方法本身就是一种很重要的数学思想方法，一举两得．
对于正弦定理和余弦定理的应用，首先让学生学会分析问题，即根据已知条件画出相应图形，明确已知条件和未知条件，从而进行选择正弦定理还是余弦定理．其中已知两边和其中一边的对角解斜三角形的题型对于学生来讲是个难点，有时是两解、有时是一个解．教师找出一个典型题目，比如1sin 2
A =，30A =︒或150︒．此时就要进行验算以决定是一解还是两解．正弦定理与余弦定理的灵活运用数形结合是比较重要的方法，做过相应的题目之后让学生进行总结，从而提高学生的综合运用能力．。
第1讲 正余弦定理难点突破
当前形势正余弦定理在近五年北京卷（理）中考查5～13分高考要求内容要求层次具体要求A B C正弦定理、余弦定理√能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．解三角形√通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第15题⑵6分第10题5分第9题5分第11题5分第15题13分知识切片新课标剖析满分晋级第1讲正余弦定理难点突破三角函数9级三角函数综合三角函数10级正余弦定理难点突破三角函数8级三角恒等变换公式综合应用<教师备案>本板块主要都是一星和二星的题．因为在寒假预习的时候，我们已经讲了一讲“正弦定理和余弦定理”，只不过当时讲的比较简单，就是直接运用公式，例题都是一星和二星的．而在本讲会对知识进行加深，例题都在二星、三星和四星之间，老师在讲正余弦定理时，可能需要照顾班里学生的情况，也需要一些简单的题，所以老师在讲概念的时候，也可以让学生做做本板块的题．1、2是正弦定理的题；3、4是余弦定理的题；5、6是正余弦定理的综合运用．１．在ABC △中，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =_______． 【解析】２．在ABC △中，60A =︒，a =b =B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对 【解析】 C３．在ABC △中，若8360b c A ===︒，，，则a =＿＿＿． 【解析】 7．４．在ABC △中，已知222a c b -+，则C =（ ）A ．60︒B ．45︒C ．120︒D ．30︒ 【解析】 B ．５．在ABC △中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C =，则C =＿＿＿．寒假知识回顾【解析】 2π3．６．在ABC △中，如果sin A C ，30B =︒，那么角A 等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 【解析】 D<教师备案>本讲的正余弦定理是同步课程，在预习时我们已经讲了正余弦定理，只不过当时只是讲公式的运用，而本讲会在这个基础上进行加深．在做正余弦定理的时候我们会发现，有一种做题思想会一直运用，就是边角互化，本讲不会把边角互化这个做题思想单独列出来，老师可以在讲题的时候给学生进行讲解．所以本讲会从头到尾都贯穿边角互化的做题思想．考点1：正弦定理在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示． 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C===． ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；② sin 2a A R = ，sin 2b B R = ，sin 2cC R= ；③ ::sin :sin :sin a b c A B C =．④ 面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这知识点睛1.1正余弦定理【例1】⑴在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A ．30︒或60︒ B ．45︒或60︒ C ．120︒或60︒ D ．30︒或150︒⑵在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若301A b a ∠=︒==，，则C ∠ 等于 ．⑶ABC △中，AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ） A B C D 【解析】⑴ D ⑵ 105︒或15︒⑶ D【例2】 ⑴（2012天津理6）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知85b c =， =2C B ，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425⑵（2013年新课标II ）ABC △内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+ 则B =________．⑶若ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则ABBC的取值范围是（ ）A ．()12，B ．()2+∞，C ．()3+∞，D ．[)3+∞， 【解析】 ⑴ A⑵ π4⑶ B考点2：余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，知识点睛经典精讲即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 变形式为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．<教师备案>相对于正弦定理，因为余弦函数在()0π，上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）． 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明．【例3】 ⑴ 在ABC △中，角A ，B ，C所对的边分别为a =4b =，3c =，则边AC 上的高为______．⑵（2012北京理11）在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = ． ⑶在ABC △中，三个角A B C ，，的对边边长分别为346a b c ===，，， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．⑷（2012湖北理11）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =______________．⑸（2010北京卷7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰 长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（ ）． A ．2sin 2cos 2αα-+ B．sin 3αα+C．3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+ 【解析】 ⑴⑵ 4⑶ 612⑷2π3⑸ A1.2解三角形题型归纳经典精讲考点3： 判断三角形形状1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① πA B C ++=．② ()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-．③ sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=． ④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>． <教师备案>除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础．2．与三角形形状相关的几个结论① 在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形；② 在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △为等边三角形； ③ 在ABC △中，若222sin sin sin A B C +=，则ABC △为直角三角形； ④ 在ABC △中，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC △为直角三角形；⑤ 在ABC △中，若()sin cos cos sin sin A B C B C +=+，则ABC △为直角三角形． 【教师备案】这些结论在B 版教材必修5中都出现了，也不需要强记． ①②③④利用正弦定理易证．④可以和学生介绍一下：在ABC △中，有cos cos c a B b A =+成立． ⑤的证明略有难度．思路有两种．方法一：由三角恒等变换进行变形．注意到()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，以及()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，可将题中的等式进行化简． ()sin cos cos sin sin A B C B C+=+()sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B A C B A B B A B A B+=++=++ sin cos sin cos sin A C B A B =+()sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin A C A C A B A C A C A B=++=++cos sin cos sin 0A C A B +=，所以()cos sin sin 0A B C +=，从而推出cos 0A =，π2A =．方法二：由正余弦定理将边化为角． ∵()sin cos cos sin sin A B C B C +=+ ∴22222222a c b a b c a b cac ab ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭ ∴22222222a c b a b c b cc b +-+-+=+∴()()()2222222b a c b c a b c bc b c +-++-=+∴2232232222a b bc b a c b c c b c bc +-++-=+ ∴3322220b c a b a c b c bc +--++= ∴()()2220b c b c a ++-=∵0b c +>∴222b c a +=知识点睛故ABC △为直角三角形．<教师备案>求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的⑴⑵⑶；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的⑷．【铺垫】⑴ 在ABC △中，2cos a b C =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形⑵ 在ABC △中，22tan tan a B b A =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【解析】 ⑴ A⑵ D【例4】判断满足下列条件的三角形的形状⑴ sin 2cos sin C A B =⋅；⑵ cos cos a bA B c++=； ⑶sin b a C =，cos c a B =； ⑷coscoscos222a b c A B C ==；【解析】 ⑴ ABC △为等腰三角形．⑵ ABC △为直角三角形． ⑶ ABC △为等腰直角三角形． ⑷ ABC △为等边三角形．【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边”算还是用“角”算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有．如果用“边”算的话，一般来说是三个未知量，也就是a b c ，，三个，我们一般需要对其进行因式分解之类的化简．如果用“角”算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比较常见的就是()sin sin C A B =+．考点4：解平面几何<教师备案>用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时经典精讲候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度．这部分不是高考的重点，不用深究．【铺垫】（2010年陕西17）如图，已知45B ∠=︒，10AD =，6CD =，14AC =，则AB = ． 【解析】【例5】 ⑴如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，22BC CD ==，求AC ．⑵已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =，6BC =，4CD DA ==，求四边形ABCD 的面积．DCBA【解析】 ⑴AC =．⑵ 16sin120S =⨯︒=考点5：解三角形应用题【例6】（2010陕西卷理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与点B 相距海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？【解析】救援船到达D 点需要1小时．经典精讲经典精讲D C B A【备选】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． ⑴ 求索道AB 的长；⑵ 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ABC【解析】 ⑴ 索道AB 的长为1040m ．⑵ 当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． ⑶ 乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位：m/min ）范围内．考点6： 正余弦定理的综合运用角的互相转化．1.3正余弦定理综合运用知识点睛【铺垫】（2010浙江卷理18）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知1cos24C =-．⑴ 求sin C 的值；⑵ 当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．【解析】 ⑴sin C⑵4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或 4.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩【例7】 ⑴（2010江苏卷）在锐角三角形ABC 中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=_______． ⑵（2013北京理）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． ① 求cos A 的值； ② 求c 的值．【解析】 ⑴ 4⑵①cos A ． ② 5c =．【拓展】在ABC △中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，a =tantan 422A B C++=， 2sin cos sin B C A =，求A B ，及b c ，． 【解析】π6B C ==，2π3A =， 2b c ==．经典精讲11第1讲·尖子班·教师版1．已知ABC △的三边长为a b c ，，，内切圆和外接圆的半径分别是r 和R ， 求证：2abcRr a b c =++．【解析】 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，sin sin sin 222a b cA B C R R R ===，， ∵11sin 222ABC c S ab C ab R ==⋅△，又∵()12ABC S a b c r =++△，∴()42a b c rabc R ++=，即2abc Rr a b c =++．2．对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存在，这样的直线有几条？证明你的结论． 【解析】 存在，有3条如图，设ABC △的边长为1，则3ABC C =△，ABC S =△，假设一条直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边AB AC ，相交于两点M N ，，设AM x AN y ==，，则1232xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴有3条线满足题意，且分别是每条边的中线．【演练1】（2010西城一模13）在ABC △中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C =____， sinB =_____．【解析】 150︒【演练2】已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量)1m =-u r，()cos sin n A A =r ，．若m n ⊥u r r ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【解析】 π6【演练3】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若)cos cos c A a C -=，则cos A =______．实战演练y x NMCBA12第1讲·尖子班·教师版【解析】【演练4】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC △的面积，满足)222S a b c =+-． ⑴ 求角C 的大小；⑵ 求sin sin A B +的最大值．【解析】 ⑴所以π3C =． ⑵sin sin A B +【演练5】（2010石景山一模理15）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，c =3cos 4C =． ⑴ 求()sin A B +的值； ⑵ 求sin A 的值；⑶ 求CB CA ⋅uu r uu r的值．【解析】 ⑴()sin A B +=⑵sin A =． ⑶32CB CA ⋅=uu r uu r ．（2010年全国高中数学联合竞赛湖北省高二年级预赛）在ABC △中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若2BC =，1CK =，BK =，则ABC △的面积为__________． 【解析】法一：如图，在BCK △中，由余弦定理可得：大千世界αβαKAB C2221cosα+-==22212cosβ+-==222121cos2128C+-⎝⎭==⨯⨯∴sinα=，sinβ=sin C=，则sin2sin cosABCαα∠=sin sin(π)sin()sin cos cos sinAαββαβαβα=+-=-=-=在ABC△中，由正弦定理可得：sin sinBC ACA ABC=∠，即52AC==，所以15222ABCS=⨯⨯=△．法二：由角平分线定理可知：BC BACK AK=，即221BAAK==，设AK x=，则2AB x=，在ABK△中，由余弦定理可得222(2)cosx xα+-==在CBK△中，由余弦定理可得2221cosα+-===，解得32x=或1x=，检验1x=不满足题意，舍去．所以52AC AK CK=+=，3232AB=⨯=，在ABC△中，设151532224p⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭为半周长，则由海伦—秦九韶公式可得：ABCS==△．13第1讲·尖子班·教师版。
高一数学《正余弦定理难点突破》
考点1：正弦定理在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示． 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C===． ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；② sin 2a A R = ，sin 2b B R = ，sin 2cC R= ；③ ::sin :sin :sin a b c A B C =．④ 面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这里也可以再介绍一下．例1主要是三角形的多解问题，例2是利用正弦定理进行化简． A 为锐角 A 为钝角 关系式sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b > a b ≤ 图形 ab AAbaaaAbAbaAbaAba解的个数无解一解两解一解 一解无解【例1】 ⑴在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A ．30︒或60︒B ．45︒或60︒C ．120︒或60︒D ．30︒或150︒⑵在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若3021A b a ∠=︒==，，，则C ∠ 经典精讲知识点睛1.1正余弦定理第1讲 正余弦定理难点突破等于 ．⑶ABC △中，3AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ）A ．32B ．34C ．32或3D ．32或34【解析】 ⑴D⑵ 105︒或15︒ ⑶D【例2】 ⑴（2012天津理6）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知85b c =， =2C B ，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425⑵（2013年新课标II ）ABC △内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+则B =________．⑶若ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则ABBC的取值范围是（ ）A ．()12，B ．()2+∞，C ．()3+∞，D ．[)3+∞， 【解析】 ⑴ A⑵ π4⑶ B考点2：余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 变形式为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．<教师备案>相对于正弦定理，因为余弦函数在()0π，上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明．【例3】 ⑴ 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为13a =，4b =，3c =，则边AC 上的高为______．⑵（2012北京理11）在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = ．知识点睛经典精讲⑶在ABC △中，三个角A B C ，，的对边边长分别为346a b c ===，，， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．⑷（2012湖北理11）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =______________．⑸（2010北京卷7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰 长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（ ）．A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3cos 3αα-+C ．3sin 3cos 1αα-+D ．2sin cos 1αα-+ 【解析】 ⑴ 332⑵ 4⑶ 612⑷2π3⑸ A考点3： 判断三角形形状1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① πA B C ++=．② ()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-．③ sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=． ④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>．<教师备案>除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础．2．与三角形形状相关的几个结论① 在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形；② 在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △为等边三角形； ③ 在ABC △中，若222sin sin sin A B C +=，则ABC △为直角三角形； ④ 在ABC △中，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC △为直角三角形；⑤ 在ABC △中，若()sin cos cos sin sin A B C B C +=+，则ABC △为直角三角形． 【教师备案】这些结论在B 版教材必修5中都出现了，也不需要强记． ①②③④利用正弦定理易证．知识点睛1.2解三角形题型归纳④可以和学生介绍一下：在ABC △中，有cos cos c a B b A =+成立． ⑤的证明略有难度．思路有两种．方法一：由三角恒等变换进行变形．注意到()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，以及()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，可将题中的等式进行化简．()sin cos cos sin sin A B C B C+=+()sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B A C B A B B A B A B+=++=++ sin cos sin cos sin A C B A B =+()sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin A C A C A B A C A C A B=++=++cos sin cos sin 0A C A B +=，所以()cos sin sin 0A B C +=，从而推出cos 0A =，π2A =．方法二：由正余弦定理将边化为角． ∵()sin cos cos sin sin A B C B C +=+ ∴22222222a c b a b c a b cac ab ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭ ∴22222222a c b a b c b cc b +-+-+=+ ∴()()()2222222b a c b c a b c bc b c +-++-=+∴2232232222a b bc b a c b c c b c bc +-++-=+ ∴3322220b c a b a c b c bc +--++= ∴()()2220b c b c a ++-=∵0b c +> ∴222b c a += 故ABC △为直角三角形．<教师备案>求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的⑴⑵⑶；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的⑷．【铺垫】⑴ 在ABC △中，2cos a b C =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形⑵ 在ABC △中，22tan tan a B b A =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解析】 ⑴ A⑵ D【例4】 判断满足下列条件的三角形的形状⑴ sin 2cos sin C A B =⋅；⑵ cos cos a bA B c++=； ⑶sin b a C =，cos c a B =；经典精讲⑷cos cos cos222a b cA B C ==；【解析】 ⑴ABC △为等腰三角形． ⑵ ABC △为直角三角形． ⑶ ABC △为等腰直角三角形． ⑷ ABC △为等边三角形．【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边”算还是用“角”算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有．如果用“边”算的话，一般来说是三个未知量，也就是a b c ，，三个，我们一般需要对其进行因式分解之类的化简．如果用“角”算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比较常见的就是()sin sin C A B =+．考点4：解平面几何<教师备案>用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度．这部分不是高考的重点，不用深究．【铺垫】（2010年陕西17）如图，已知45B ∠=︒，10AD =，6CD =，14AC =，则AB = ． 【解析】56【例5】 ⑴如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，22BC CD ==，求AC ．⑵已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =，6BC =，4CD DA ==，求四边形ABCD的面积．DCBA第⑴题【解析】 ⑴ 2213AC =．⑵ 16sin12083S =⨯︒=．经典精讲D C B A考点5：解三角形应用题【例6】（2010陕西卷理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与点B 相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？【解析】救援船到达D 点需要1小时．【备选】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． ⑴ 求索道AB 的长；⑵ 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ABC【解析】 ⑴ 索道AB 的长为1040m ．⑵ 当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． ⑶ 乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位：m/min ）范围内．1.3正余弦定理综合运用经典精讲北60︒60︒45︒D A考点6： 正余弦定理的综合运用正余弦定理的综合运用已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 （如a ，B ，C ） 正弦定理 由πA B C ++=，求角A ；由正弦定理求出b 与c ． 两边和夹角 （如a ，b ，C ） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角（此角一定是锐角）；再用πA B C ++=． 三边（a ，b ，c ） 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；由πA B C ++=，求出角C ． 两边与其中一边的对角（如a ，b ，A ） 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B ；由πA B C ++=，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ．【教师备案】根据已知条件，运用正余弦定理及三角形六个元素之间的关系，灵活实现三角形的边与角的互相转化．【铺垫】（2010浙江卷理18）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知1cos24C =-．⑴ 求sin C 的值；⑵ 当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．【解析】 ⑴ 10sin 4C =．⑵ 64b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或264.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，【例7】 ⑴（2010江苏卷）在锐角三角形ABC 中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=_______． ⑵（2013北京理）在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠． ① 求cos A 的值； ② 求c 的值．【解析】 ⑴ 4⑵ ①6cos 3A =．② 5c =．【拓展】在ABC △中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，23a =，tan tan 422A B C++=， 经典精讲知识点睛2sin cos sin B C A =，求A B ，及b c ，． 【解析】π6B C ==，2π3A =， 2b c ==．1．已知ABC △的三边长为a b c ，，，内切圆和外接圆的半径分别是r 和R ， 求证：2abcRr a b c =++．【解析】 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，sin sin sin 222a b cA B C R R R ===，， ∵11sin 222ABC c S ab C ab R ==⋅△，又∵()12ABC S a b c r =++△，∴()42a b c rabc R ++=，即2abc Rr a b c =++．2．对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存在，这样的直线有几条？证明你的结论．【解析】 存在，有3条如图，设ABC △的边长为1，则3ABC C =△，34ABC S =△，假设一条直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边AB AC ，相交于两点M N ，，设AM x AN y ==，， 则1232xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴有3条线满足题意，且分别是每条边的中线．【演练1】（2010西城一模13）在ABC △中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C =____， sinB =_____．【解析】150︒，2236-实战演练y xN MCB A【演练2】已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量()31m =-，，()cos sin n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【解析】 π6【演练3】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos cos b c A a C -=，则cos A =______．【解析】33【演练4】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC △的面积，满足()22234S a b c =+-． ⑴ 求角C 的大小；⑵ 求sin sin A B +的最大值．【解析】 ⑴所以π3C =．⑵sin sin A B +的最大值是3．【演练5】（2010石景山一模理15）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2c =，3cos 4C =． ⑴ 求()sin A B +的值； ⑵ 求sin A 的值；⑶ 求CB CA ⋅的值． 【解析】 ⑴()7sin 4A B +=．⑵ 14sin 8A =．⑶32CB CA ⋅=．（2010年全国高中数学联合竞赛湖北省高二年级预赛）大千世界在ABC △中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若2BC =，1CK =，BK =，则ABC △的面积为__________． 【解析】法一：如图，在BCK △中，由余弦定理可得：2221cos α+-==，22212cos β+-==，222121cos 212C +-⎝⎭==⨯⨯∴sin α=sin β=sin C ==则sin2sin cos ABC αα∠==sin sin(π)sin()sin cos cos sin A αββαβαβα=+-=-=-==在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin BC ACA ABC =∠，即52AC ==， 所以15222ABC S =⨯⨯=△．法二：由角平分线定理可知：BC BA CK AK =，即221BA AK ==，设AK x =，则2AB x =，在ABK △中，由余弦定理可得222(2)cos x xα+-=在CBK △中，由余弦定理可得2221cosα+-===，解得32x =或1x =，检验1x =不满足题意，舍去．所以52AC AK CK =+=，3232AB =⨯=，在ABC △中，设151532224p ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭为半周长，则由海伦—秦九韶公式可得：ABC S =△．αβαKAB C。
突破1.2 正弦定理与余弦定理应用重难点突破(原卷版)
突破1.2 正弦定理与余弦定理应用重难点突破一、考情分析该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.二、经验分享1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔o A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.4.面积公式：222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2==========++=a b cS ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c（其中r 为三角形内切圆半径,2a b cp ++=）. 5.射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题25利用正(余)弦定理破解解三角形问题(new)
专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求：1。
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2。
会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 21=。
基础知识回顾:1。
错误!＝错误!＝错误!＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；（2) a ＝2Rsin A ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC 。
2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ,b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ． 变形：cos A ＝错误!,cos B ＝错误!，cos C ＝错误!。
3。
在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时,解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜bsinA a ＝bsinAbsinA ＜a＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解一解 一解 无解4。
三角形常用的面积公式(1)S ＝错误!a ·h a （h a 表示a 边上的高)．（2)S ＝错误!absinC ＝错误!acsinB ＝错误!bcsinA ＝错误!。
(3)S ＝错误!r (a ＋b ＋c ）（r 为内切圆半径）． 应用举例：类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知ABC ∆中, 3B π=，2a =(Ⅰ）若b 求A;（Ⅱ)若ABC ∆的面积为332,求b 的值。
【答案】(Ⅰ)4A π=;（Ⅱ） 14b =.【例2】【2017江苏泰兴中学高三月考】在△ABC 中，∠A ＝错误!，AB ＝6，AC ＝3错误!,点D 在BC 边上,AD ＝BD ，求AD 的长．【答案】错误!。
点评:正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的;已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．类型二、利用正(余）弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，满足3tan bcA =。
余弦定理重难点
余弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，教学的重点是余弦定理的证明过程和定理的简单应用，难点是利用向量的数量积证余弦定理的思路。
为了在教学中体现重难点，我采取逐步深入的方法，设计了四个环节：
在第一环节中,我提出问题:正弦定理及正弦定理解决的解三角形问题。
并引导学生思考正弦定理没有解决的解三角形问题。
在第二个环节中：通过铁路规划的实际问题，建立数学模型.通过学生的自主学习,合作交流,得出余弦定理公式,归纳总结定理特点,树立知三求一的思想.
在第三个环节中,首先带领学生解决之前的实际问题,树立学生信心,使学生有一种跃跃欲试的感觉.
然后设置了三道例题:
例1:已知两边及夹角,巩固新知
例2:已知三边求最大角;由学生思考得出余弦定理推论,带动学生思考,观察推论,再次明确知三求一的思想;
例3:已知两边及一边对角;引导学生发出此类问题可以通过正,余弦定理两种方法求解.
这样设计由浅入深,层次分明,符合学生的认识规律,最后加以总结. 接下来通过一道口答题,使学生回忆起勾股定理可以解直角三角形,引发学生思考勾股定理与余弦定理的关系.
本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能.。
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<教师备案>本板块主要都是一星和二星的题．因为在寒假预习的时候，我们已经讲了一讲“正弦定理和余弦定理”，只不过当时讲的比较简单，就是直接运用公式，例题都是一星和二星的．而在本讲会对知识进行加深，例题都在二星、三星和四星之间，老师在讲正余弦定理时，可能需要照顾班里学生的情况，也需要一些简单的题，所以老师在讲概念的时候，也可以让学生做做本板块的题．1、2是正弦定理的题；3、4是余弦定理的题；5、6是正余弦定理的综合运用．１．在ABC △中，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =_______． 【解析】46．２．在ABC △中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对 【解析】 C３．在ABC △中，若8360b c A ===︒，，，则a =＿＿＿．知识切片寒假知识回顾第1讲 正余弦定理难点突破【解析】 7．４．在ABC △中，已知2222a c b ab -+=，则C =（ ）A ．60︒B ．45︒C ．120︒D ．30︒ 【解析】 B ．５．在ABC △中，若sin :sin :sin 7:8:13A B C =，则C =＿＿＿．【解析】 2π3．６．在ABC △中，如果sin 3sin A C =，30B =︒，那么角A 等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 【解析】 D<教师备案>本讲的正余弦定理是同步课程，在预习时我们已经讲了正余弦定理，只不过当时只是讲公式的运用，而本讲会在这个基础上进行加深．在做正余弦定理的时候我们会发现，有一种做题思想会一直运用，就是边角互化，本讲不会把边角互化这个做题思想单独列出来，老师可以在讲题的时候给学生进行讲解．所以本讲会从头到尾都贯穿边角互化的做题思想．考点1：正弦定理在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示． 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C===． ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；② sin 2a A R = ，sin 2b B R = ，sin 2cC R= ；③ ::sin :sin :sin a b c A B C =．④ 面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．知识点睛1.1正余弦定理【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这里也可以再介绍一下．例1主要是三角形的多解问题，例2是利用正弦定理进行化简． A 为锐角A 为钝角 关系式 sin a b A <sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤图形 abAAbaaaAbAbaAbaAba解的个数无解一解两解一解一解无解【例1】 ⑴在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A ．30︒或60︒B ．45︒或60︒C ．120︒或60︒D ．30︒或150︒⑵在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若3021A b a ∠=︒==，，，则C ∠ 等于 ．⑶ABC △中，3AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ） A ．32 B ．34 C ．32或3 D ．32或34【解析】⑴ D ⑵ 105︒或15︒⑶ D【例2】 ⑴（2012天津理6）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知85b c =， =2C B ，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425⑵（2013年新课标II ）ABC △内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+ 则B =________．⑶若ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则ABBC的取值范围是（ ）A ．()12，B ．()2+∞，C ．()3+∞，D ．[)3+∞， 【解析】 ⑴ A⑵ π4⑶ B经典精讲考点2：余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 变形式为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．<教师备案>相对于正弦定理，因为余弦函数在()0π，上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）． 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明．【例3】 ⑴ 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为13a =，4b =，3c =，则边AC 上的高为______．⑵（2012北京理11）在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = ． ⑶在ABC △中，三个角A B C ，，的对边边长分别为346a b c ===，，， 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．⑷（2012湖北理11）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =______________．⑸（2010北京卷7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰 长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（ ）． A ．2sin 2cos 2αα-+ B ．sin 3cos 3αα-+C ．3sin 3cos 1αα-+D ．2sin cos 1αα-+ 【解析】 ⑴ 332⑵ 4⑶ 612⑷2π3⑸ A知识点睛经典精讲考点3： 判断三角形形状1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① πA B C ++=．② ()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-．③ sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=． ④ sin sin a b A B A B >⇔>⇔>． <教师备案>除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础．2．与三角形形状相关的几个结论① 在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形或直角三角形；② 在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △为等边三角形； ③ 在ABC △中，若222sin sin sin A B C +=，则ABC △为直角三角形； ④ 在ABC △中，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC △为直角三角形；⑤ 在ABC △中，若()sin cos cos sin sin A B C B C +=+，则ABC △为直角三角形． 【教师备案】这些结论在B 版教材必修5中都出现了，也不需要强记． ①②③④利用正弦定理易证．④可以和学生介绍一下：在ABC △中，有cos cos c a B b A =+成立． ⑤的证明略有难度．思路有两种．方法一：由三角恒等变换进行变形．注意到()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，以及()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，可将题中的等式进行化简． ()sin cos cos sin sin A B C B C+=+()sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B A C B A B B A B A B+=++=++ sin cos sin cos sin A C B A B =+()sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin A C A C A B A C A C A B=++=++cos sin cos sin 0A C A B +=，所以()cos sin sin 0A B C +=，从而推出cos 0A =，π2A =．方法二：由正余弦定理将边化为角． ∵()sin cos cos sin sin A B C B C +=+ ∴22222222a c b a b c a b cac ab ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭ ∴22222222a c b a b c b cc b +-+-+=+∴()()()2222222b a c b c a b c bc b c +-++-=+∴2232232222a b bc b a c b c c b c bc +-++-=+知识点睛1.2解三角形题型归纳∴3322220b c a b a c b c bc +--++=∴()()2220b c b c a ++-=∵0b c +> ∴222b c a += 故ABC △为直角三角形．<教师备案>求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的⑴⑵⑶；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的⑷．【铺垫】⑴ 在ABC △中，2cos a b C =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形⑵ 在ABC △中，22tan tan a B b A =，则这三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【解析】 ⑴ A⑵ D【例4】判断满足下列条件的三角形的形状⑴ sin 2cos sin C A B =⋅；⑵ cos cos a bA B c++=； ⑶sin b a C =，cos c a B =； ⑷coscoscos222a b c A B C ==；【解析】 ⑴ ABC △为等腰三角形．⑵ ABC △为直角三角形． ⑶ ABC △为等腰直角三角形． ⑷ ABC △为等边三角形．【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边”算还是用“角”算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有．如果用“边”算的话，一般来说是三个未知量，也就是a b c ，，三个，我们一般需要对其进行因式分解之类的化简．如果用“角”算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比较常见的就是()sin sin C A B =+．经典精讲考点4：解平面几何<教师备案>用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度．这部分不是高考的重点，不用深究．【铺垫】（2010年陕西17）如图，已知45B ∠=︒，10AD =，6CD =，14AC =，则AB = ． 【解析】 56【例5】 ⑴如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，22BC CD ==，求AC ．⑵已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =，6BC =，4CD DA ==，求四边形ABCD 的面积．DCBA第⑴题【解析】 ⑴ 2213AC =．⑵ 16sin12083S =⨯︒=．考点5：解三角形应用题【例6】（2010陕西卷理17）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与点B 相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？【解析】救援船到达D 点需要1小时．经典精讲经典精讲北60︒60︒45︒D AD C B A【备选】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =． ⑴ 求索道AB 的长；⑵ 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ABC【解析】 ⑴ 索道AB 的长为1040m ．⑵ 当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． ⑶ 乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位：m/min ）范围内．考点6： 正余弦定理的综合运用正余弦定理的综合运用已知条件 应用定理 一般解法一边和两角（如a ，B ，C ） 正弦定理 由πA B C ++=，求角A ；由正弦定理求出b 与c ． 两边和夹角（如a ，b ，C ） 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角（此角一定是锐角）；再用πA B C ++=．三边（a ，b ，c ） 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；由πA B C ++=，求出角C ． 两边与其中一边的对角（如a ，b ，A ）正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角B ；由πA B C ++=，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ．【教师备案】根据已知条件，运用正余弦定理及三角形六个元素之间的关系，灵活实现三角形的边与1.3正余弦定理综合运用知识点睛角的互相转化．【铺垫】（2010浙江卷理18）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知1cos24C =-．⑴ 求sin C 的值；⑵ 当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．【解析】 ⑴ 10sin 4C =．⑵ 64b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或264.b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，【例7】 ⑴（2010江苏卷）在锐角三角形ABC 中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=_______． ⑵（2013北京理）在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠． ① 求cos A 的值； ② 求c 的值．【解析】 ⑴ 4⑵ ①6cos 3A =． ② 5c =．【拓展】在ABC △中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，23a =，tantan 422A B C++=， 2sin cos sin B C A =，求A B ，及b c ，． 【解析】π6B C ==，2π3A =， 2b c ==．经典精讲1．已知ABC △的三边长为a b c ，，，内切圆和外接圆的半径分别是r 和R ， 求证：2abcRr a b c =++．【解析】 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，sin sin sin 222a b cA B C R R R ===，， ∵11sin 222ABC c S ab C ab R ==⋅△，又∵()12ABC S a b c r =++△，∴()42a b c rabc R ++=，即2abc Rr a b c =++．2．对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存在，这样的直线有几条？证明你的结论．【解析】 存在，有3条如图，设ABC △的边长为1，则3ABC C =△，34ABCS =△，假设一条 直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边AB AC ，相交于两点M N ，，设AM x AN y ==，，则1232xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴有3条线满足题意，且分别是每条边的中线．【演练1】（2010西城一模13）在ABC △中，C 为钝角，32AB BC =，1sin 3A =，则角C =____， sinB =_____．【解析】 150︒，2236-【演练2】已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量()31m =-，，()cos sin n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【解析】 π6【演练3】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos cos b c A a C -=，实战演练y x NM CBA则cos A =______． 【解析】 33【演练4】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC △的面积，满足()22234S a b c =+-． ⑴ 求角C 的大小；⑵ 求sin sin A B +的最大值．【解析】 ⑴所以π3C =． ⑵ sin sin A B +的最大值是3．【演练5】（2010石景山一模理15）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2c =，3cos 4C =． ⑴ 求()sin A B +的值；⑵ 求sin A 的值；⑶ 求CB CA ⋅的值．【解析】 ⑴()7sin 4A B +=． ⑵ 14sin 8A =． ⑶ 32CB CA ⋅=．（2010年全国高中数学联合竞赛湖北省高二年级预赛）在ABC △中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若2BC =，1CK =，322BK =，则ABC △的面积为__________．【解析】 15716法一：如图，在BCK △中，由余弦定理可得： 大千世界αβαK A BC2221cosα+-==22212cosβ+-==222121cos2128C+-⎝⎭==⨯⨯∴sinα=，sinβ=sin C=，则sin2sin cosABCαα∠=sin sin(π)sin()sin cos cos sinAαββαβαβα=+-=-=-=在ABC△中，由正弦定理可得：sin sinBC ACA ABC=∠，即52AC==，所以15222ABCS=⨯⨯=△．法二：由角平分线定理可知：BC BACK AK=，即221BAAK==，设AK x=，则2AB x=，在ABK△中，由余弦定理可得222(2)cosx xα+-==在CBK△中，由余弦定理可得2221cosα+-===，解得32x=或1x=，检验1x=不满足题意，舍去．所以52AC AK CK=+=，3232AB=⨯=，在ABC△中，设151532224p⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭为半周长，则由海伦—秦九韶公式可得：ABCS==△．。