中考数学题型专项训练：角度问题(含答案)

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中考数学：三角形四边形求角度专项复习题(含答案)

中考数学复习非圆几何求角度1、[基础题]（2015呼和浩特）如左以下图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70°B． 100°C． 110°D． 120°2、[基础题]（2015）如右上图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如下图放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．105°B． 110°C． 115°D．120°3、[基础题]（2015）如右图，在△A BC中，∠C=31°，∠A BC的平分线BD交A C于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．4、[综合Ⅰ]在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，求△ABC各角的度数.5、[综合Ⅰ]（2015）如左以下图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°6、[综合Ⅱ]（2015）如右上图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．7、[综合Ⅲ] 如左以下图，点O是△ABC一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于_______8、[基础题]（2015）右上图是由射线AB、BC、CD、DE、EA，组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．9、[综合Ⅱ]（2015）如左以下图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3+∠1－∠2=°10、[基础题]（2015）如右上图，□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42º，∠CBD=23º，则∠COD的度数是（）A．61º B．63º C．65º D．67º11、[综合Ⅱ]如右图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．12、[综合Ⅱ]（2010襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、[综合Ⅲ]如左以下图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD，若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数．14、[综合Ⅱ]（2015）如右上图，已知点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝______度．15、[综合Ⅱ]（2015黄冈）如左以下图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．16、[综合Ⅲ]（2015）如右上图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．17、[综合Ⅲ]（2014）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，且D 为BC 上一点，CD ＝AD ，AB ＝BD ，则∠B 的度数为（）A ．30°B ．36°C．40°D．45°18、[综合Ⅲ]（2015襄阳）在□ABCD 中，AD=BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD=20°，则∠A 的度数为．19、[提高题]如左以下图，等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 80°20、[提高题]（2015）如右上图，在△ABC 中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC＝度。

2023年九年级数学中考专题训练二次函数与角度问题含答案解析

中考专题训练——二次函数与角度问题1．已知二次函数232y ax bx =+-（0a ≠）的图象经过A （1，0）、B （−3，0）两点，顶点为点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)如二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点G ，抛物线上是否存在点Q ，使得∠QAB=∠ABG ，若存在求出Q 点坐标，若不存在请说明理由；(3)经过点B 并且与直线AC 平行的直线BD 与二次函数232y ax bx =+-图象的另一交点为D ，DE ∠AC ，垂足为E ，DF y 轴交直线AC 于点F ，点M 是线段BC 之间一动点，FN ∠FM 交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为△NFH 的外心，求点M 从点B 运动到点C 的过程中，P 点经过的路线长． 2．在平面直角坐标系中，抛物线l ：()2220y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON = (1)求m 的值；(2)设点G 是抛物线在第三象限内的动点，若GBC ACO ∠=∠，求点G 的坐标；(3)将抛物线222y x mx m =---向上平移3个单位，得到抛物线l '，设点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，射线PO 、QO 分别交直线=2y -于点P '、Q '，设P '、Q '的横坐标分别为P x '、Q x '，且4P Q x x ''⋅=，求证：直线PQ 经过定点．3．已知二次函数y ＝x 2十（k ﹣2）x ﹣2k ．(1)当此二次函数的图像与x 轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；(2)当k ＞0时，直线y ＝kx +2交抛物线于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 在线段AB 上，过点P 做PM 垂直x 轴于点M ，交抛物线于点N ． ∠求PN 的最大值（用含k 的代数式表示）；∠若抛物线与x 轴交于E ，F 两点，点E 在点F 的左侧．在直线y ＝kx +2上是否存在唯一一点Q ，使得∠EQO ＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；(3)在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '，将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线'l 与线段BM '交于点C ，设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ∠连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求DEEB的最大值； ∠过点D 作DF ∠AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的∠DCF ＝2∠BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为D ，且过C （－4，m ）． (1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点P 在该抛物线上（与点B ，C 不重合），设点P 的横坐标为t ．∠当点P 在直线BC 的下方运动时，求∠PBC 的面积的最大值， ∠连接BD ，当∠PCB ＝∠CBD 时，求点P 的坐标．7．如图所示，抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3，0)，与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D 是x 轴正半轴上一个动点，过点D 作直线l ∠x 轴，交直线BC 于点E ，交抛物线于点F ，连接AC 、FC ．∠若点F 在第一象限内，当∠BCF =∠BCA 时，求点F 的坐标； ∠若∠ACO +∠FCB =45°，则点F 的横坐标为______．8．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． ∠直线EF 的解析式是______；∠点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，连接AB ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 在直线AB 上方的抛物线上，过点P 作PE AD ∥交x 轴于点E ，交线段AB 于点G ，连接PD 交线段AB 于点Q ．(1)求抛物线的表达式；(2)当GQ AQ =时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值；(3)在（2）的条件下，线段BE 上有一点F ，直线AD 上有一点K ，连接KF 、GF ，当2FKD FGB ∠=∠，且8KF =时，直接写出．．．．点K 的纵坐标．．．． 10．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y =ax 2+2x −3与x 轴交于A 、B 两点，且B (1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图1，点P 是直线y =x 上在x 轴上方的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；(3)如图2，已知直线y =23x −49分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．∠抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ∠连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若()1,0A -且3OC OA =．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点(),P m n 是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，BAC ∠的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，11AE AF+为定值，请直接写出该定值． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1L ：2y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，且经过点(1,3)-，点C 是抛物线1L 的顶点，将抛物线1L 向右平移得到抛物线2L ，且点B 在抛物线2L 上．(1)求抛物线1L 的表达式；(2)在抛物线2L 上是否存在一点P ，使得90PAC ∠=︒，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标；(3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 16．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)，与x 轴交于点,(3,0)A B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求MEAE的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，已知点(0,1)Q ，是否存在点M ，使得1tan 2MBQ ∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，直线4y x =+恰好经过B 、C 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)点D 为第三象限抛物线上一点，连接BD ，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，若2OE BE =，求点D 的坐标；(3)设F 是抛物线上的一个动点，连结AC 、AF ，若2BAF ACB ∠=∠，求点F 的坐标．18．抛物线y 1=x 2+（3-m ）x +c 与直线l ：y 2=kx +b 分别交于点A （-2，0）和点B （m ，n ），当-2≤x ≤4时，y 1≤y 2．(1)求c 和n 的值（用含m 的式子表示）；(2)过点P （1，0）作x 轴的垂线，分别交抛物线和直线l 于M ，N 两点，则∠BMN 的面积是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；(3)直线x =m +1交抛物线于点C ，过点C 作x 轴的平行线交直线l 于点D ，交抛物线另一点于E ，连接BE ，求∠DBE 的度数．19．如图，抛物线2323y x x -=-+与x 轴交于点A 和点B ，直线:l y kx b =+与抛物线2323y x x -=-+交于点D和点12F n ⎛⎫⎪⎝⎭，，且与y 轴交与点()02E ，．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若P 为抛物线上一点，当POE OED =∠∠时，求点P 的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、B 两点，且与x 轴的负半轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一点，2ABD BAC ∠=∠，直接写出点D 的坐标．参考答案1．(1)21322y x x =+- (2)542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)1【分析】（1）将A （1，0）、B （-3，0）代入232y ax bx =+-，即可求解；（2）先求出BG 的解析式为13y x 22=--，然后再进行分类讨论，分别求得点Q 的坐标即可；（3）可知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，分别求出直线AC 及直线BD 的函数关系式，再分为当M 运动到C 点时及当点M 运动到B 点时两种情况进行讨论，求解即可．【解析】（1）∠二次函数232y ax bx =+-的图像经过A （1,0）、B （-3,0）， ∠30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠二次函数的解析式为213y x x 22=+-；（2）由题可知G 点坐标30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BG 的解析式为y px q =+，得： 30302k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∠BG 的解析式为13y x 22=--，∠AQ ∥BG ，直线AQ 的解析式11y x 22=-+，联立直线AQ 与二次函数解析式2112213x 22y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22452x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩此时Q 的坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∠直线11y x 22=-+与y 轴的交点为K 102⎛⎫⎪⎝⎭，，其关于x 轴的对称点为11K 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1AK 的解析式为：11y x 22=- 与二次函数解析式联立得 2112213x 22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时Q 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，综上,抛物线上存在点Q 使得∠QAB =∠BAG ，Q 点坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（3）如图，易知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，∠PD =PF =12NH ，所以点P 是线段DF 的垂直平分线上的动点， ∠直线AC 的解析式为y =x -1，BD ∥AC ， ∠直线BD 的解析式为y =x +3， ∠D （3,6），∠当M 运动到C 点时1H 与点E 重合，1FN AC ⊥，则1FN BD ⊥，又因为∠DEF =90°，DE =EF ， ∠四边形1DN FE 为正方形， ∠1P 是线段DF 的中点（3,4）；∠当点M 运动到B 点时，22FN FH ⊥，∠四边形DN 1FE 是正方形∠122190N FN BFC N N F BCF ∠=∠∠=∠=︒，，∠21N N F BCF ∽， ∠121CF BC N F N N =， ∠四边形DN 1FE 是正方形，∠11,4N （），∠2112BC CF N N N F ==，∠12N N =∠22,5N （），同理26,3H （），所以22N H 的中点2P （4，4），∠134P （，）， ∠121PP =【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点M 的运动情况确定P 点的轨迹是线段是解题的关键．2．(1)1m =(2)点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x =0处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由抛物线解析式求得A 、B 、C 坐标，可得∠OBC 、∠CHT 是等腰直角三角形，由BC 和tan tan GBC ACO ∠=∠可得TC ，进而可得T 点坐标，再由B 点坐标可得直线BC 解析式，然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答；（3）设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由原点可得直线PO 、QO 的解析式，再由y =-2可得点Q '、P '横坐标，由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立可得()220x m x n -+-=，利用根与系数的关系可得122x x m +=+，12x x n =-，代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--，于是直线PQ 为()21y m x =--经过定点2,1；(1)解：依题意得：()222y x m m m =----，∠抛物线的对称轴为直线x m =， ∠ON m m ==，在222y x mx m =---中，令0x =，则2y m =--，∠()0,2C m --， ∠22OC m m =--=+，∠3OC ON =，∠23m m +=，解得1m =；(2)解：如图，连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由（1）得1m =，∠抛物线的解析式为2=23y x x --，()0,3C -，3OC =，令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =，∠点A 在点B 的左侧，∠()1,0A -，()3,0B ，3OB =，在Rt AOC 中，1tan 3OA ACO OC ∠==， 3OB OC ==，则OBC △是等腰直角三角形，BC =∠OCB =45°，∠TCB =90°，则∠TCH =45°，∠CHT △是等腰直角三角形，∠GBC ACO ∠=∠，∠1tan tan 3GBC ACO ∠=∠=， ∠13CT BC =，1133CT BC ==⨯=∠sin451TH CH ==︒=，∠()1,2T --，由点()1,2T --与点()3,0B ，可求得1322TB y x =-，联立得2132223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，221274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∠点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)解：如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到抛物线l '：22y x x =-，∠点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，∠设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -分别可求得：()12OP y x x =-，()22OQ y x x =- ∠点P '、Q '在直线=2y -上，∠点12,22P x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭，22,22Q x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭， ∠4P Q x x ''⋅= ∠1222422x x --⋅=--，即()()12221x x --=，整理得()1212230x x x x -++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立得：22,y x x y mx n⎧=-⎨=+⎩，22x x mx n -=+，整理得()220x m x n -+-=，由根与系数的关系可得：122x x m +=+，12x x n =-，∠()1212230x x x x -++=，∠()2230n m --++=，∠21n m =--，∠直线PQ 的解析式为21y mx m =--，()21y m x =--，∠当2x =时，1y =-，∠直线PQ 经过定点2,1；【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；此题综合性较强，正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键． 3．(1)244y x x =-+(2)∠32k +，∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒【分析】（1）根据函数图像与x 轴只有一个交点，结合Δ0=求出k 值即可；（2）∠根据题意，求出()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，利用两点之间距离公式求出PQ ,得出11m ≤∠二次函数综合中的直角三角形分两种情况：当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时；当圆与直线相交且一个交点为A 时；分情况求解即可．(1)解：二次函数的图像与x 轴只有一个交点，∠22(2)8(2)0k k k ∆=-+=+=，解得2k =-，∠所求抛物线的解析式为244y x x =-+；(2)解：如图所示：∠∠点P 在线段AB 上，且直线AB 解析式为2y kx =+，∠设点M 的横坐标为m ，则()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，∠22(2)2PN mk m k m k ⎡⎤=+-+--⎣⎦2222m m k =-+++2(1)32m k =--++，把2y kx =+代入2(2)2y x k x k =+--得：2(2)22x k x k kx +--=+，∠222220,(1)2(1)x x k x k ---=-=+，∠0k >，∠2(1)0k +>，∠1x =∠x 的值可以取到1，即11m ≤≤∠m 的值可以取到1，∠当1m =时PN 的最大值为32k +；∠设直线2y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，则()22,0,0,2,,2G H OG OH k k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭．在Rt GOH 中，由勾股定理得：GH = 令2(2)20y x k x k =+--=，即()(2)0x k x +-=，解得：x k =-或2x =．∠(),0E k -，OE k =．（∠）当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时，如图∠所示：设直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切的切点为Q ，此时90,90GQM EQO ∠∠=︒=︒．设OE 中点为点M ，连接MQ ，如图∠所示，则,0.5MQ GH MQ ME OM k ⊥===．∠22k GM OG OM k =-=-， ∠,90∠=∠∠=∠=︒MGQ HGO MQG HOG ， ∠∽MOG HOG ， ∠=MQ GM OH GH ，即22222k k k -=， ∠2221618k k k +=-+ ∠2169k =，解得：43k =±， ∠0k >， ∠43k =．（∠）当圆与直线相交且一个交点为A 时，如图∠所示，设另一个交点为Q ，∠OE 是圆的直径，∠90EQO ∠=︒，此时可得：OG OE =， ∠2k k=，解得：k = ∠0k >，∠k =∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒．【点评】本题考查二次函数综合，涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键．4．(1)223y x x =-++ (2)21525()228S m =--+，最大值为258(3)45°【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出a 的值；（2）设M 的坐标为（m ，-m 2+2m +3），然后根据面积关系将∠ABM 的面积进行转化；（3）由（2）可知m =52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．（1）解：令x =0代入y =-3x +3，∠y =3，∠B （0，3），把B （0，3）代入223y ax ax a =--，∠3=-3a ，∠a =-1，∠二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）令y =0代入y =-x 2+2x +3，∠0=-x 2+2x +3，∠x =-1或3，∠抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，∠M 在抛物线上，且在第一象限内，∠0＜m ＜3，令y =0代入y =-3x +3，∠x =1，∠A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），S=S四边形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=1 2×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3=-12（m-52）2+258∠当m=52时，S取得最大值258．（3）由（2）可知：M′的坐标为（52，74）；过点M′作直线l1∠l′，过点B作BF∠l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∠∠BFM′=90°，∠点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∠点C在线段BM′上，∠F在优弧BM H'上，∠当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′∠l1，∠A（1，0），B（0，3），M′（52，74），∠由勾股定理可求得：AB M B M A''===过点M′作M′G∠AB于点G，设BG =x ，∠由勾股定理可得：M ′B 2-BG 2=M ′A 2-AG 2，∠2285125)1616x x -=-，∠,x =cos BG M BG M B ''∠==， ∠l 1∠l ′，∠∠BCA =90°，∠BAC =45°．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．5．(1)213222y x x =--+ (2)∠45；∠存在，D （-2，3）【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y =-12x 2+bx +c ，于是得到结论；（2）∠如图1，令y =0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ∠x 轴于M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；∠根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到P A =PC =PB =52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，解直角三角形即可得到结论．(1)解：对于函数：y =12x +2，令x =0，则y =2，令y =0，则x =-4，∠A （-4，0），C （0，2），∠抛物线y =-12x 2+bx +c 经过A ．C 两点， ∠1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩，∠b =-32，c =2， ∠y =-12x 2-32x +2； (2)解：∠如图，令y ＝0， ∠213x x 2022--+=， ∠14x =-，21x =，∠B （1，0），过D 作DM ∠x 轴交AC 于点M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，∠DM BN ∥，∠DME BNE ∽△△， ∠DE DM BE BN=，设()213,222D a a a --+， ∠1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∠B （1，0）， ∠51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∠()221214225552a a DE DM a BE BN --===-++， ∠-15<0， ∠当a ＝-2时，DE BE 的最大值是45； ∠∠A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∠AC =BC =AB ＝5，∠222AC BC AB +=，∠∠ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∠3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∠52PA PC PB ===， ∠∠CPO ＝2∠BAC ，∠()4tan tan 23CPO BAC ∠=∠=，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∠∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC +∠CDG ，∠∠CDG ＝∠BAC ， ∠1tan tan 2CDG BAC ∠=∠=，即12RC DR =，令213,222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∠DR ＝-a ，21322RC a a =--， ∠2131222a a a --=-，∠10a =（舍去），22a =-，∠2D x =-，3D y =．∠D （-2，3）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．6．(1)A （-5，0），B （-1，0）；C （-4，-3）；D （-3，-4） (2)∠278；∠（0，5）或（32-，74-）【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D 的坐标，令y =0，求出x 的值即可得到A 、B 的坐标，把x =-4代入抛物线解析式求出y 即可求出点C 的坐标；（2）∠先求出直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，则点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），254PF t t =---，再根据=PBC PFC PFB S S S +△△△23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进行求解即可；∠分如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，两种情况讨论求解即可．(1)解：∠抛物线解析式为()226534y x x x =++=+-，∠抛物线顶点D 的坐标为（-3，-4）；令y =0，则2650x x ++=，解得=1x -或5x =-，∠抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），∠点A 的坐标为（-5，0），点B 的坐标为（-1，0）；令4x =-，则()()246453y =-+⨯-+=-，∠点C 的坐标为（-4，-3）；(2)解：∠设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∠043k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，∠点P 的横坐标为t ，∠点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），∠2216554PF t t t t t =+---=---，∠=PBC PFC PFB S S S +△△△()()11=22P C B P PF x x PF x x ⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- ()23542t t =-++ 23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∠当52t =-时，∠PBC 的面积最大，最大为278；∠如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，∠∠PCB =∠CBD ，∠PC BD ∥，设直线BD 的解析式为11y k x b =+，∠1111034k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠1122k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BD 的解析式为22y x =+，∠可设直线PC 的解析式为22y x b =+，∠()2243b ⨯-+=-，∠25b =，∠直线PC 的解析式为25y x =+，联立22565y x y x x =+⎧⎨=++⎩得240x x +=，解得0x =或4x =-（舍去），∠5y =，∠点P 的坐标为（0，5）；如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，设BD 与PC 交于点M ，∠点C 坐标为（-4，-3），点B 坐标为（-1，0），点D 坐标为（-3，-4），∠()()22241318BC =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22231420BD =---+-=⎡⎤⎣⎦，()()22243342CD =---+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∠222BC CD BD +=，∠∠BCD =90°，∠∠BCM +∠DCM =90°，∠CBD +∠CDB =90°，∠∠CBD =∠PCB ，∠MC =MB ，∠MCD =∠MDC ，∠MC =MD ，∠MD =MB ，∠M 为BD 的中点，∠点M 的坐标为（-2，-2），设直线CP 的解析式为23y k x b =+，∠23234322k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩， ∠23121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∠直线CP 的解析式为112y x =-，联立211265y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩得2211120x x ++=，解得32x =-或4x =-（舍去）， ∠74y =-， ∠点P 的坐标为（32-，74-）；综上所述，当∠PCB ＝∠CBD 时，点P 的坐标为（0，5）或（32-，74-）；【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．(1)y =−x 2+2x +3(2)∠532,39⎛⎫⎪⎝⎭；∠73或5【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）∠作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y=13x+3，联立方程组，即可求解；∠分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．（1）解：∠B(3，0)在抛物线y=−x2+bx+3上，∠y=−32+3b+3，解得b=2，∠所求函数关系式为y=−x2+2x+3；（2）解：∠作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI∠x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，如图：令x=0，y=3；令y=0，−x2+2x+3=0，解得：x=3或x=-1，∠A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∠OB=OC，AB=4，∠△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，∠∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°，∠HI= AI=BI=12AB=2，∠H(1，2)，∠G(3，4)，设直线CG的解析式为：y=kx+3，把G(3，4)代入得：4=3k+3，解得：k=13，∠直线CF的解析式为：y=13x+3，∠223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩，解得：53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以F点的坐标为(53，329)；∠当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，∠点B（3，0），点C（0，3），∠OB=OC=3，∠∠CBO=∠BCO=45°，∠点A（-1，0），∠OA=1，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°，∠∠ACO=∠CNO，又∠∠COA=∠CON=90°，∠∠CAO∠∠NCO，∠CO NO AO CO=，∠313NO =，∠ON=9，∠点N（9，0），同理可得直线CF解析式为：y=-13x+3，∠-13x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=73，∠点F的横坐标为73；当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠OCM+∠FCE=45°，∠∠ACO=∠OCM，又∠OC=OC，∠AOC=∠COM，∠∠COM∠∠COA（ASA），∠OA=OM=1，∠点M（1，0），同理直线CF解析式为：y=-3x+3，∠-3x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=5，∠点F的横坐标为5，综上所述：点F的横坐标为5或73．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．(1)24y x=-+(2)232,39 P⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠y x =；∠4【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．证明DAB DEB ≌△△，求得点E 的坐标，进而求得直线DE 的解析式为11033y x =+，联立抛物线解析式即可求解；（3）∠根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为y x =；∠连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，当GM 最大时，∠GFE面积最大，设()2,4G m m -+，则(),N m m ，根据()12GFE E F S GN x x =⋅-△以及二次函数的性质求得当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据∠的方法求得H 的坐标，根据中点公式求得M 的坐标，根据勾股定理求得GH ，由2GH GM =即可求解．（1）∠2y ax c =+过()2,0A -，()1,3D -∠403a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解之得14a c =-⎧⎨=⎩∠抛物线解析式为24y x =-+（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．由24y x =-+，令0y =，得122,2x x =-=，则()2,0BD B D y x x =-，即DF BF =，∠45DBF ∠=︒，∠45DBE ∠=︒又∠DB DB =，BD 平分ADP ，∠DAB DEB ≌△△，∠BA BE =，()2,0B∠()2,4E设直线DE 的解析式为y kx b =+，324k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得13103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠直线DE 的解析式为11033y x =+ 联立2411033y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩解得213,3329x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩则232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∠直线EF 解析式为y x =．抛物线关于y 轴对称，所以旋转后图形关于x 轴对称， ∠对于抛物线上任意一点(),P a b 关于原点旋转90°后对应点为()1,P b a -在旋转后图形上，()1,P b a -关于x 轴对称的点()2,P b a 在旋转后图形上，∠(),P a b 与()2,P b a 关于y x =对称， ∠图形2关于y x =对称，∠直线EF 解析式为y x =故答案为：y x =∠GH如图，连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，∠当GM 最大时，∠GFE 面积最大，又∠()12GFE E F S GN x x =⋅-△ 设()2,4G m m -+，则(),N m m ∠22117424G N GN y y m m m ⎛⎫=-=-+-=-++ ⎪⎝⎭ ∠当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由∠可知115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y x =的对称点H 15142⎛⎫ ⎪⎝⎭，- ∴1313,88M ⎛⎫ ⎪⎝⎭8GM ∴=∠GH 的最大值为：2GH GM ==【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．9．(1)234y x x =-++(2)1m = (3)227或227【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式为1y x =+，然后证明∠PGQ ∠∠DAQ 得到PG =AD =4，再由点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），得到23414PG m m m =-++--=，由此求解即可；（3）如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，先证明∠HBF =∠HFB =45°，得到HB HF ==，再由（2）得1m =，求得BG =HG =，tan =2HF t FGH HG t=-∠；根据角平分线的定义和性质得到QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ，再由111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△，推出()428k t s k -=+，则tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠，可以推出()222282168t t t t k t t---+==，在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，得到()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，由此即可求出t 的值即可得到答案．(1) 解：∠抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，∠934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， ∠13a b =-⎧⎨=⎩， ∠抛物线解析式为234y x x =-++；(2)解：设直线AB 的解析式为1y kx b =+，∠11034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线AB 的解析式为1y x =+，∠PE AD ∥，∠∠PGQ =∠DAQ ，∠GPQ =∠ADQ ，又∠AQ =GQ ，∠∠PGQ ∠∠DAQ （AAS ），∠PG =AD =4，∠点P 的横坐标为m ，∠点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），∠23414PG m m m =-++--=，∠2210m m -+=，解得1m =；(3)解：如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，∠点B 的坐标为（-1，0），点A 的坐标为（3，4），∠BD =AD =4，∠∠ABD =45°，∠FH ∠AB ，∠∠HBF =∠HFB =45°， ∠HB HF ==，由（2）得1m =，∠点G 的坐标为（1，2），∠BE =GE =2，∠BG = ∠HG BG HB =-=， ∠tan =2HF t FGH HG t=-∠； ∠KQ 平分∠FKD ，QM ∠FK ，QD ∠DK ，∠FKD =2∠FGB ，∠QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ， ∠111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△， ∠()111428222k t s sk -=⨯+， ∠()428k t s k-=+， ∠tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠， ∠4282t t k t-=+-， ∠()222282168t t t t k t t---+==，在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，∠()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， ∠43222464288256641616464t t t t t t t -+-+-++=， ∠2344322161644642882566464t t t t t t t t -++-+-+=，∠432880240256640t t t t -+-+=，∠43210243280t t t t -+-+=，∠()()2221016143280t t t t t -++-+=，∠()()()()22827220t t t t t --+--=，∠()()32814420t t t t -+--=，∠()()()28122220t t t t t ⎡⎤-++--=⎣⎦，∠()()()()262220t t t t t --+--=⎡⎤⎣⎦，∠()()226220t t t -+-=， ∠点F 在BE 上，∠22BF t BE =≤=，∠1t ≤，∠2620t t -+=，解得3t =-3t =，∠()22262442168442t t t t t t k t t t -+-+-+-=====，∠2DK =，∠点K 的纵坐标为227或227．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．10．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC 的解析为3y x =--，根据AC 把△ABP 的面积分成1:2两部分，得到=12APQ ABQ S S △△：：，如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作DE ∠x 轴于E ，先求出23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点D 的纵坐标为224233m m +-，点D 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），然后求出点B 的坐标，从而求出∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，，证明∠BEQ ∠∠BDP ，得到224223313m m m ++=-，据此求解即可；（3）分两种情况当点N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，求出直线BC 的解析式为33y x =-，证明HN =HF ，四边形EOFH 是矩形，得到∠EHF =90°，OE =HF ，证明∠NEH ∠∠BFH 得到NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），则NE =BF =m -1，OE =3m -3ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，由222NH CH CN +=，得到()()222221941m m m m m +-++=-，由此求解即可；当点N 在x 轴下方时，利用等腰三角形的性质求解即可．（1）解：∠OA =OC =3，∠点A 的坐标为（-3，0），点C 的坐标为（0，-3）， ∠9303b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∠23b c =⎧⎨=-⎩， ∠抛物线解析式为223y x x =+-；（2）解：设直线AC 的解析式为1y kx b =+，∠11303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∠113k b =-⎧⎨=-⎩， ∠直线AC 的解析为3y x =--，∠AC 把∠ABP 的面积分成1:2两部分，∠=12APQ ABQ S S △△：：或=2APQ ABQ S S △△：：1（此种情况不符合题意，舍去），如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作QE ∠x 轴于E ，∠=32APB ABQ S S △△：：，∠132122AB PD AB EQ ⋅=⋅， ∠23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点Q 的纵坐标为224233m m +-， ∠点Q 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），令y =0，则2230x x +-=，解得1x =或3x =-，∠点B 的坐标为（1，0）， ∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，， ∠PD ∠x 轴，QE ∠x 轴，∠DP QE ∥，∠∠BEQ ∠∠BDP ， ∠23BE QE BD PD ==， ∠224223313m m m ++=-，解得2m =-或1m =-，∠点P 的坐标为（-2，-3）或（-1，-4）；（3）解：如图1所示，当N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，设直线BC 的解析式为12y k x b =+，∠12203k b b +=⎧⎨=-⎩， ∠1233k b =⎧⎨=-⎩， ∠直线BC 的解析式为33y x =-，∠∠BNO +∠BCO =45°，∠∠NBH =45°，∠∠HNB =45°=∠HBN ，∠HN =HF ，∠EH ∠OE ，FH ∠OF ，OE ∠OF ，∠四边形EOFH 是矩形，∠∠EHF =90°，OE =HF ，∠∠NHE +∠BHE =90°=∠BHF +∠BHE ，∠∠NHE =∠BHF ，又∠∠HEN =∠HFB =90°，∠∠NEH ∠∠BFH （AAS ），∠NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），∠NE =BF =m -1，OE =3m -3∠ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，∠点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，222NH CH CN +=，∠()()222221941m m m m m +-++=-，∠222222191681m m m m m m m +-+++=-+，∠2460m m -=，解得32m =或0m =（舍去）， ∠点N 的坐标为（0，2）；如图2所示，当点N 在x 轴下方的1N 点时，由等腰三角形的性质可知当1N B BN =（N 点为图1中的N ）时，1BN O BNO =∠∠，∠1OB NN ⊥，∠12ON ON ==，∠点1N 的坐标为（0，-2），综上所述，在y 轴上是否存在一点N （0，2）或（0，-2），使得45BCO BNO ∠+∠=︒．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)抛物线解析式为y =x 2+2x -3，A 点坐标为（-3，0）；(2)P 点坐标为（32，32）；(3)以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413．【分析】（1）把B 点坐标代入抛物线解析式可求得a 的值，可求得抛物线解析式，再令y =0，可解得相应方程的根，可求得A 点坐标；（2）当点P 在x 轴上方时，连接AP 交y 轴于点B ′，可证△OBP ∠∠OB ′P ，可求得B ′坐标，利用待定系数法可求得直线AP 的解析式，联立直线y =x ，可求得P 点坐标；（3）过Q 作QH ∠DE 于点H ，由直线CF 的解析式可求得点C 、F 的坐标，结合条件可求得tan∠QDH ，可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长，分DQ =DE 和DQ =QE 两种情况，分别用DQ 的长表示出∠QDE 的面积，再设出点Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得∠QDE 的面积的最大值．(1)解：把B （1，0）代入y =ax 2+2x -3，可得a +2-3=0，解得a =1，∠抛物线解析式为y =x 2+2x -3，令y =0，可得x 2+2x -3=0，解得x =1或x =-3，∠A 点坐标为（-3，0）；(2)解：若y =x 平分∠APB ，则∠APO =∠BPO ，如图1，若P 点在x 轴上方，P A 与y 轴交于点B ′，由于点P 在直线y =x 上，可知∠POB =∠POB ′=45°，在∠BPO 和∠B ′PO 中POB POB OP OP BPO B PO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'， ∠∠BPO ∠∠B ′PO （ASA ），∠BO =B ′O =1，设直线AP 解析式为y =kx +b ，把A 、B ′两点坐标代入可得301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠直线AP 解析式为y =13x +1，联立113y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠P 点坐标为（32，32）； (3)解：如图2，作QH ∠CF ，交CF 于点H ，设抛物线交y 轴于点M ．∠CF 为y =23x −49， ∠可求得C （23，0），F （0，-49）， ∠tan∠OFC =OC OF =32， ∠DQ ∠y 轴，∠∠QDH =∠MFD =∠OFC ，∠tan∠HDQ =32，不妨设DQ =t ，DH，HQ， ∠∠QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，∠若DQ =DE ，则S △DEQ =12DE •HQ =12×t2，。

2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题(二次函数综合)【含答案】

2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）一、解答题1．如图，直线y ＝x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过B 、C ，且与x 轴另一交点为49A ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在抛物线上，连接EC ，当∠ECB +∠ACO ＝45°时，求点E 的横坐标；(3)点M 从点A 出发，沿线段AB 由A 向B 运动，同时点N 从点C 出发沿线段CA 由C 向A 运动，M ，N 的运动速度都是每秒1个单位长度，当N 点到达A 点时，M ，N 同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D ，使M ，N 运动过程中的某些时刻t ，以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．2．已知抛物线y=ax ²+bx +c 经过点A （-6，0）、B （2，0）和C （0，3），点D 是该抛物线在第四象限上的一个点，连接 AD 、AC 、CD ，CD 交x 轴于E ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S △DAE =S △ACD 时，求点 D 的坐标；14（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得△PAD 中的一个角等于2∠BAD ?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为，求∠CAF -∠CAD 的度数．123y x =--(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ⊥y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．4．已知顶点为A (2，一1)的抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于C 、D 两点，点C 坐标(1，O )；(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB 、BD 、DA ，求cos ∠ABD 的大小；(3)点P 在x 轴正半轴上位于点D 的右侧，如果∠APB =45°，求点P 的坐标．5．如图1，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C()2102y x bx c c =++<作轴，与抛物线交于另一点D ，直线与相交于点M ．CD x ∥BC AD(1)已知点C 的坐标是，点B 的坐标是，求此抛物线的解析式；()04-，()40，(2)若，求证：；112b c =+AD BC ⊥(3)如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线上一点，是否存在这样的点P ，使得是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足BC PGQ △，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．GQP OCA ∠=∠6．抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴相交于点C ，点D 为223y ax ax a =--抛物线的顶点，点O 为坐标原点．(1)若是直角三角形，求抛物线的函数表达式；ABC (2)王亮同学经过探究认为：“若，则”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明：a<02∠=∠DCB ABC 若是错误的，说明理由；(3)若第一象限的点E 在抛物线上，四边形面积的最大值为，求a 的值．ABEC 2547．如图，抛物线经过，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．22y ax ax c =++(1,0)B (0,3)C(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，点E 在抛物线上，连接并延长交x 轴于点F ，连接，若是以为底的等腰三角形，求DE BD BDF BD 点E 坐标．(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M ，使，若存在，求出M 点的坐标；若不存AC BC ACM BCO ∠=∠在，请说明理由．8．抛物线的顶点坐标为，与x 轴交于点两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动2y ax bx c =++(1,4),(3,0)A B 点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求的最大值及此时点M 的坐标；MEAE (3)如图2，已知点，是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理(0,1)Q 1tan 2MBQ ∠=由．9．如图，一次函数y ＝x﹣2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 的坐标为（﹣1，0），二次函数12y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A ，B ，D 三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点G （1，m ）在抛物线上，作射线AG ，点H 为线段AB 上一点，过点H 作HE ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥AG 于点F ，过点H 作HM ∥y 轴交AG 于点P ，交抛物线于点M ，当HE•HF 的值最大时，求HM 的长；（3）在（2）的条件下，连接BM ，若点N 为抛物线上一点，且满足∠BMN ＝∠BAO ，求点N 的坐标．10．已知二次函数．()20y ax bx c a =++>（1）若，，求方程的根的判别式的值；12a =2b c ==-20ax bx c ++=（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点、，且，与y 轴的负半轴交于点C ，()1,0A x ()2,0B x 120x x <<点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足，．ACO ABD ∠=∠1b c x a -+=①求证：；AOC DOB ≅ ②连接BC ，过点D 作于点E ，点在y 轴的负半轴上，连接AF ，且，DE BC ⊥()120,F x x -ACO CAF CBD ∠=∠+∠求的值．1cx 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x 轴交于点A ，B 两点，点A 坐标为，243y ax x c =-+()3,0点B 坐标为，与y 轴交于点C ．()1,0-(1)求抛物线的函数解析式；(2)若将直线绕点A 顺时针旋转，交抛物线于一点P ，交y 轴于点D ，使，求直线函数解析AC BAP BAC ∠=∠AP 式；(3)在（2）条件下若将线段平移（点A ，C 的对应点M ，N ），若点M 落在抛物线上且点N 落在直线上，求AC AP 点M 的坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交212y x bx c =-++x (2,0)A -B A B y 于点．(0,3)C （1）求抛物线的表达式；的坐标，并直接写出此时直线的表达式．D DC （3）在（2）的条件下，点为轴右侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，E y E DC P ECP DAB ∠=∠请直接写出点的坐标．E 13．已知函数y ＝（n 为常数）．22()1()222x nx n x n n n x x x n ⎧-++≥⎪⎨++<⎪⎩(1)当n ＝5时，①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值．②求此函数的最大值．(2)当n ＜0时，作直线x ＝n 与x 轴交于点P ，与该函数图象交于点Q ，若∠POQ ＝45°，求n 的值．23(3)若此函数图象上有3个点到直线y ＝2n 的距离等于2，求n 的取值范围．14．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于点A 和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD 的面积为4时，①求点D 的坐标；②联结OD ，点M 是抛物线上的点，且∠MDO ＝∠BOD ，求点M 的坐标；（2）直线BD 、AD 分别与y 轴交于点E 、F ，那么OE +OF 的值是否变化，请说明理由．15．如图，已知，抛物线经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线(2,0),(3,0)A B -24y ax bx =++上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作，垂足PM x ⊥PN BC ⊥为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得？若存在，请直接写出m 的值；若290BCO PCN ∠+∠=︒不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于和，与y 轴交于点C ，连接22y ax bx =++(4,0)A -(1,0)B ．,AC BC(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点M 为直线上方的抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交于点N ，过点M 作x 轴的AC AC 平行线，交直线于点Q ，求周长的最大值；AC MNQ △(3)点P 为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P 的坐标．45ACP BAC ∠=︒-∠17．抛物线经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．23y ax bx a =+-（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;(m,-m-1)（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使，若存在，请求出P 点的坐标；PCB CBD ∠=∠若不存在，请说明理由.参考答案：1．(1)y ＝x 2﹣x ﹣34913(2)或1543916(3)存在，t ＝或或754415845222．（1）；（2）；（3）P 点坐标为综上所述：2134y x x =--+(21)D -+-1P，、、、(617-）2P (-5.00.，175)()3 3.47, 3.48P -4(220P -)5P ，．(14.22,33.30)--6(9.74,30.47)P -3．(1)抛物线的解析式为y =-x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +612(2)45°(3)点P 的坐标为（，3）或（，3），QR 的最短长度为4．（1）y =x 2﹣4x +3；（23）P （3+，0）5．(1)2142y x x =--(2)11(3)t =t =6．(1)2=y x (2)王亮的说法正确(3)23a =-7．(1)抛物线的解析式为：，223y x x =--+(1,4)D -(2)720(,39E -(3)存在，或()4,5M --57(,)24M -8．(1)；223y x x =-++(2)；；916315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在；或（0，3）829,749⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．（1）y ＝x 2﹣x﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣，)12325317910．（1）（2）①1；②=2=8∆1c x 11．(1)224233y x x =--(2)223y x =-+(3)或或()3,8-104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）；（2）D (2，2)，；（3点E 的坐标为(1，3)或211322y x x =-++132y x =-+(，)113179-13．(1)①b =；②此函数的最大值为；92458(2)n 的值是-或-；15232(3)或423n -<<-463n <<-6n =+14．（1）①；②；（2）不变化，值为8)2D ()2M 15．(1)222433y x x =-++(2)，当时，有最大值22655PN m m =-+32m =910答案第3页，共3页(3)存在，74m =16．(1)213222y x x =--+(2)6+(3)或()5,3--2375,749⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）答案第4页，共1页。

初中角度经典练习题(含详细答案)

初中角度经典练习题(含详细答案) ================================问题1：--------若一个角的度数是100°，则它是什么类型的角？答案1：--------这是一个锐角，因为它的角度小于90°。

问题2：--------已知角A的补角是120°，求角A的度数。

答案2：--------角A的度数为60°，因为补角的度数与原角的度数相加等于180°。

问题3：--------两个角互为余角，其中一个角的补角是30°，求这两个角的度数分别是多少？答案3：--------一个角的度数是60°，另一个角的度数是120°，因为余角的度数相加等于90°。

问题4：--------如果一根直线将一个角分成两个互补角，其中一个角度是40°，求另一个角的度数。

答案4：--------另一个角的度数是50°，因为两个互补角的度数相加等于90°。

问题5：--------如果两个角互为补角，其中一个角度是60°，求另一个角的度数。

答案5：--------另一个角的度数是30°，因为两个补角的度数相加等于90°。

问题6：--------如果两个角互为补角，其中一个角的度数是75°，求另一个角的度数。

答案6：--------另一个角的度数是15°，因为两个补角的度数相加等于90°。

二次函数中的角度问题(4大题型)专练(学生版)-2024年中考数学压轴题专项训练

二次函数中的角度问题(4大题型)专练通用的解题思路：1、角的数量关系处理的一般方法如下：(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； (2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； (3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．2.特殊角问题处理的一般方法如下： (1)运用三角函数值；(2)遇45°构造等腰直角三角形； (3)遇30°，60°构造等边三角形； (4)遇90°构造直角三角形．题型一：角相等问题对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

1(2024·山西太原·三模)综合与探究如图1，经过原点O 的抛物线y =-2x 2+8x 与x 轴的另一个交点为A ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知点B 的横坐标为1，点M 为抛物线上一动点．(1)求出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．(2)如图2，若点M 是直线l 上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l 于点C ，设点M 的横坐标为m ，求MC OC的最大值．(3)如图3，连接OB ，抛物线上是否存在一点M ，使得∠MOA =∠BAO ，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出A、B、D三点坐标．(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；(3)如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；3(23-24九年级下·湖南永州·开学考试)综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB=∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·上海嘉定·二模)在平面直角坐标系xOy(如图)中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(-2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；(3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC=∠BAC，请求出点D的坐标．5(2023·海南·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)．直线y=x+1与抛物线交于A，D两点．点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形PCAD的面积；(3)抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAD？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点M、N是对称轴上的两个动点，且MN=1，点M在点N的上方，求四边形ACMN的周长的最小值．6(2024·上海静安·二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A(0,3)和点B(3,0)，横坐标为4的点C在此抛物线上．(1)求该抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC=45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ=∠BAC，并求点P的坐标．7(2024·广西·一模)如图，已知抛物线y =-13x 2+bx +c 交x 轴于A -3,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP ，BP ，若S △BOP =2S △AOC ，求点P 的坐标；(3)若∠PBA =∠ACO ，直接写出点P 的坐标．8(2024·山东济南·一模)如图，二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0). 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC 、BD ．(1)若m =1,，求B 点和C 点坐标；(2)若∠ACO =∠CBD ,求m 的值；(3)若在第一象限内二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0)的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP =75°.请结合函数的图象，直接写出m 的范围．9(2024·广东·一模)综合应用．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y =-23x 2+43x +2的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使∠PCB =∠ABC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．10(2024·江苏宿迁·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知A-1,0，B3,0．，C0,3(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上任意一点，若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标．题型二：二倍角关系问题对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。

2023学年人教中考数学重难点题型分类专题06 几何图形初步—角度问题压轴题真题

专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。

1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°．故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ， ∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=，；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°； ②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°，∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°；综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°；（2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°， ∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时， 5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。

中考数学专题练习常用角的单位及换算(含解析)

2019中考数学专题练习-常用角的单位及换算（含解析）一、单选题1.把10.26°用度分秒表示为（）A.10°15′36"B.10°20′6"C.10°14′6"D.10°26".2.下列关系式正确的是（）A.35.5°=35°5′B.35.5°=35°50′C.35.5°＜35°5′D.35.5°＞35°5′3.将21.54°用度、分、秒表示为（）A.21°54′B.21°50′24″C.21°32′40″D.21°32′2 4″4.下面等式成立的是（）A.83.5°=83°50′B.37°12′36″=37.48°C.24°24′24″=24.44°D.41.25°=41°15′5.0．25°等于（）分．A.60B.15C.90D.3606.下列计算错误的是（）A.0.25°=900″B.1.5°=90′C.1000″=（）°D.125.45°=1254.5′7.∠1=45゜24′，∠2=45.3゜，∠3=45゜18′，则（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.以上都不对8.已知∠1=37°36′，∠2=37.36°，则∠1与∠2的大小关系为（）A.∠1＜∠2B.∠1=∠2C.∠1＞∠2D.无法比较9.下列计算错误的是（）A.0.25°=900″B.1.5°=90′C.1000″=（）°D.125.45°=1254.5′10.已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列结论正确的是（）A.∠1=∠3B.∠1=∠2C.∠2=∠3D.∠1=∠2=∠311.已知：∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°，下列结论正确的是（）A.∠A=∠BB.∠B=∠CC.∠A=∠CD.三个角互不相等12.下列算式正确的是（）∠33.33°=33°3′3″∠33.33°=33°19′48″∠50°40′33″=50.43°∠50°40′33″=50.675°A.∠和∠B.∠和∠C.∠和∠D.∠和∠二、填空题13.34．37°＝34°________′________″．14.0.5°=________′=________″；1800″=________°=________′．15.计算：180°﹣20°40′=________．16.8.31°=________°________′________″．17.计算，________18.计算：33.21°=________°________′________″．19.角度换算：26°48′=________°．三、计算题20.计算：（1）46゜39′+57゜41；（2）90゜﹣77゜29′32″；（3）31゜17′×5；（4）176゜52′÷3（精确到分）21.计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；（3）33°15′16″×5；（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．22.计算：（1）13°29’+78°37‘ （2）62°5’-21°39‘ (3)22°16′×5（4）42°15′÷5四、解答题23.把65°28′45″化成度．24.3.5°与3°5′的区别是什么？25.计算：（1）22°18′×5；（2）90°﹣57°23′27″．五、综合题26.计算：（1）40°26′+30°30′30″÷6；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．27.综合题。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(角度问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）1．如图，抛物线2y ax2x c=++（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当:COD COBS S＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣32），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC∠的度数；(2)若ACO CBD∠=∠，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围． 3．如图1，直线y ＝2x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线232y ax x c =++与x 轴的另一交点为B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是抛物线在第一象限内的一点，连接OD ，将线段OD 绕O 逆时针旋转90°得到线段OM ，过点M 作MN ∠x 轴交直线AC 于点N ．求线段MN 的最大值及此时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点E 是点A 关于y 轴的对称点，连接DE ，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得∠PED ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标； (3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211322y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为线段AB 上一点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)过点D 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，与直线BC 相交于点F ，求出点E 到直线BC 距离d 的最大值；(3)连接CD ，作点B 关于CD 的对称点B '，连接AB '，B D '．在点D 的运动过程中，ADB ∠'能否等于45°？若能，请直接写出此时点B '的坐标，若不存在请说明理由．6．如图1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A (﹣2，0)，B (4，0)，抛物线的顶点为C ，作射线AC ，BC ．动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AC 做匀速运动，动点Q 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC 运动．(1)填空：b ＝_____，c ＝_____，C 的坐标为_____．(2)点P ，Q 运动过程中，∠CPQ 可能为等腰三角形吗？说明理由．(3)如图2，连接PO ，QO ，当∠POQ ＝30°时，直接写出t 的值．7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点，1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标； (3)当点P 是抛物线上第一象限上的点，1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______． 8．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求抛物线24y ax bx =+-的表达式； (2)如图2，点E （x ，0）是线段OB 上的点，过点E 作与x 轴垂直的直线与直线BC 交于点F ，与抛物线交于点G ．∠线段FG 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ∠连接CG ，当∠DCG =∠ACO 时，求点G 的坐标；(3)若点P 是直线BC 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，点M 在线段BC 上，当以C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．9．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠ACP=∠ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D 为线段BC 上一点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，连结BE ．当∠DBE =90°时，求BEC S ∆．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)找出图中与∠DAB 相等的一个角，并证明；(3)若点P 是第二象限内抛物线上的一点，当点P 到直线AC 的距离最大时，求点P 的坐标．11．如图所示：二次函数26y ax bx =+-的图象与x 轴交于()2,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求二次函数表达式及直线BC 的函数表达式；(2)如图1，若点M 为抛物线上线段BC 右侧的一动点，连接CM ，BM ．求四边形ACMB 面积最大时点M 的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACO BCP ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于B ，C 两点（C 在B的左侧），与y 轴交于点A ，已知()0,4A -，2OA OB =．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q 是线段AC 下方抛物线上一点，过点Q 作QD 垂直AC 交AC 于点D ，求DQ 的最大值及此时点Q 的坐标；(3)点E 是线段AB 上一点，且14AOE AOC S S =△△；将抛物线212y x bx c =++沿射线AB 的方向平移，当抛物线恰好经过点E 时，停止运动，已知点M 是平移后抛物线对称轴上的动点，N 是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．14．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标：(3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．16．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“足距”，记作AB ．根据该约定，完成下列各题：（1）若点1(,6)A x ，2(,4)B x -．当点A 、B 在函数2y x =的图象上时，AB =______；当点A ，B 在函数24y x=-的图像上时，AB =______；（2）若反比例函数()11k y k x -=≠的图象上有两点()1,A x k ，()22,B x k k -，当AB k =时，求正整数k 的值．（3）在（2）条件下抛物线223y kx x =+-与x 轴交于1A ，1B 两点，与y 轴交于点C ．如图，点D 是该抛物线的顶点，点(,)P m n 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接1A D 、1A C 、1A P ，当1112PA B CA D ∠=∠时，求m 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象与x 轴交于O 、A 两点，其顶点B 的坐标为（2，﹣6）．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，点C 是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO 、CO ，当∠OBC 是以BC 为腰的等腰三角形时，求点C 的坐标；（3）如图2，P 是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP ，与对称轴交于点M ，点Q 在OP 上，满足OQ PQ ＝21，设点P 的横坐标为n ； ∠请用含n 的代数式表示点Q 的坐标（，）；∠连接BQ ，OB ，当∠OBQ 的面积为15时，求点P 的坐标；∠当∠POA ＝2∠OBM 时，直接写出点P 的横坐标．18．如图1，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，抛物线212y x bx c =-++经过点A 、B ，在线段OA 上有一动点(),0D m ，点D 不与O 、A 重合，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点C 是DE 的中点时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'D A 、'D B ，直接写出''12D A D B +的最小值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<3．(1)213222y x x =-++ (2)最大值为3；()2,3D(3)存在，11P ⎛ ⎝⎭，()20,2P4．(1)213 2.22y x x (2)79,28D 或121,.28(3)点D 的横坐标为2或2911．5．(1)A （-2，0），B （3，0），C （0，3）；(2)点E 到直线BC 的距离d ；(3)在点D 的运动过程中，∠ADB '能等于45°，此时点B ′的坐标为（0，-或（-，3）．6．；(1， (2)不可能，理由见解析(3)t 的值为：17．(1)2=23y x x --(2)点P 的坐标为()9,0(3)点P 的坐标为()4,58．(1)2142y x x =-- (2)∠当2x =时，FG 有最大值，FG 的最大值=2；∠G （3，－52）或（1，－4.5）． (3)2或49．(1)2=+43y x x --(2)存在点P ，使得∠ACP=∠ABC ，点P 的坐标为7524,⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3△BEC S =10．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB ，证明见解析(3)点P 坐标为（32-，154）11．(1)26y x x =--，26y x =-(2)点M 的坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，（2，-4）或（8，50）12．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ∠BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．13．(1)2142y x x =+-(2)DQ ()2,4Q -(3)N 点坐标为(2,或(2,-或()2,0-或52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析14．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q15．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或2y x =+或2y x =+． 16．（1）5；10；（2）1；（3）74m =17．（1）a ＝32，b ＝﹣6；（2）点C 的坐标为（2，6--2，6-+2，83-）；（3）∠23n ，n 2﹣4n ；∠P （5，152）；∠点P 的横坐标为92．18．（1）2142y x x =-++；（2）2；（3。

最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)含答案

2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中：探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由；探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ．（1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________；（2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____；（2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由．（2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为，其中m 的取值范围是．（直接写出结论，不必证明）探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。

2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)附答案

2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）附答案1．在正方形ABCD 中，AB =4，O 为对角线AC 、BD 的交点．（1）如图1，延长OC ，使CE=OC ，作正方形OEFG ，使点G 落在OD 的延长线上，连接DE 、AG ．求证：DE=AG ；（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α°（0<α<180），得到正方形OE F G '''，连接AE E G '''、．①当α=30时，求点A 到E G ''的距离；①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为，并写出此时的旋转角α= ．2．已知在矩形ABCD 中，①ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将①DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ．①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；①猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）①中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．3．在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A （a ，0）、B （0，b ）两点，且a ＋2b ﹣5）2＝0（1）求A 、B 两点坐标；（2）如图1，把线段BA 绕B 点顺时针旋转，点A 的对应点为C 点，使BC ①y 轴，E 为线段AC 上一点，EN ①AB 于N ，EM ①BC 于M ，求EM ＋EN 的值．（3）如图2，点D 为y 轴上点B 上方一点，DE ①AD 交直线CB 于点E ，①DEC 的平分线EF 与①DAO 的邻补角的平分线AF 交点F ，请问：D 点在运动的过程中①AFE 的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由．4．（1）发现：如图1，点B 是线段AD 上的一点，分别以AB BD ，为边向外作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，CD ，相交于点O .①线段AE 与CD 的数量关系为：___________；AOC ∠的度数为__________.②CBD ∆可看作ABE ∆经过怎样的变换得到的？____________________________. （2）应用：如图2，若点A B D ，，不在一条直线上，（1）的结论①还成立吗？请说明理由；（3）拓展：在四边形ABCD 中，=AB AC ，=90BAC ∠︒，=45ADC ∠︒，若8AD ＝，6CD ＝，请直接写出B ，D 两点之间的距离.5．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出①APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将①BPC绕点B逆时针旋转90°，得到①BP′A，连接PP′，求出①APB的度数；思路二：将①APB绕点B顺时针旋转90°，得到①CP′B，连接PP′，求出①APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC11①APB的度数．6．在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，①BAD＝60°，①ABC＝①ADC ＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，①EAF＝30°，连接EF．（1）如图2，将①ABE绕点A逆时针旋转60°后得到①A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出①E′AF＝度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．（二）拓展延伸：如图4，在等边①ABC中，E、F是边BC上的两点，①EAF＝30°，BE ＝1，将①ABE绕点A逆时针旋转60°得到①A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM①BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．7．已知①AOB，将①AOB绕O点旋转到①COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若①AOB=90°（如图1），小亮发现①BAC=①BDC，请你证明这个结论；（2）若①AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若①AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；8．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图①，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图①，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．9．把一副三角板如图(1)放置，其中①ACB=①DEC=90°，①A=45°，①D=30°，斜边AB=12cm，DC=14cm，把三角板DCE绕点C逆时针旋转15°得到①（如图2）．这时AB与相交于点O，与相交于点F．（1）填空：①= °；（2）请求出①的内切圆半径；（3）把①绕着点C 逆时针再旋转度（）得①，若①为等腰三角形，求的度数（精确到0.1°）．10．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，且DE BF =，求证：EG AG =；（2）如图2，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，延长EF 交AB 的延长线于点G ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE ⊥，垂足为点Q ，交AF 于点N ，连结DN ，求证：45NDC ∠=︒．11．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到P BA '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB △绕点B 顺时针旋转90︒，得到P CB '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P 是等边三角形ABC 内一点，若150APB ∠=︒，则线段PA ，PB ，PC 满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．12．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________．（4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．13．如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，直线MN 经过C 点垂直于AB ，垂足为D ．（1）求证：ADC BDC ∽△△；（2）若直线MN 从图1的位置绕M 点逆时针旋转，如图2，设旋转的角度为()0180αα<<，作AP MN ⊥，垂足为P ，BQ MN ⊥，垂足为Q ．①当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为平行四边形；①当α的度数为______时，点A ，P ，B ，Q 构成的四边形为矩形．14．已知①ABC 和①ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，①DAE ＝①BAC ．【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图①，将图①中①ADE 的绕点A 旋转，当点D 在①ABC 外部，点E 在①ABC 内部时，求证：DB ＝EC ．【深入研究】（3）如图①，①ABC 和①ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则①CDB 的度数为；线段CE ，BD 之间的数量关系为．（4）如图①，①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①BAC ＝①DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为①ADE 中DE 边上的高，则①CDB 的度数为；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为．15．把两个等腰直角①ABC 和①ADE 按如图1所示的位置摆放，将①ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（①）当DE ①AC 时，旋转角α＝度，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是；（①）当点D 在线段BE 上时，求①BEC 的度数；（①）当旋转角α＝时，①ABD 的面积最大．16．如图①，在ABC 中，①ACB ＝90°，①ABC ＝30°，AC ＝1，D 为ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．(1)求证：BDA ①BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图①，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断①MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．17．已知ABC 是等腰三角形，AB AC ＝，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到''A BC ，(1)感知：如图①，当'BC 落在AB 边上时，'A AB ∠与'C CB ∠之间的数量关系是 _____（不需要证明）；(2)探究：如图①，当'BC 不落在AB 边上时，'A ∠AB 与'C CB ∠是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图①，若90BAC ∠=︒，'AA 、'CC 交于点E ，则'A EC ∠=_____度．18．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DF AE的值_______； (2)将①EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，①EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．19．(1)观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，①ABC ＝①EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是_____，位置关系是_____(2)探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图①位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图①的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图①，在Rt△ABC和Rt△BDE中，①ABC＝①EBD＝90°，BC＝2AB＝8，BD＝2BE＝4，连接AE，点F是AE的中点，连结CD、BF，将△BDE绕点B在平面内自由旋转，请直接写出BF的取值范围，20．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图①位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置①CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图①位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图①位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．参考答案：1．（2）①点A 到E G ''的距离为3①在旋转过程中，直接写出AE G ∆''面积的最小值为1682-α=135°．2．（1）①DG +DF 2；（2）不成立，数量关系式应为：DG -DF 2，3．（1）A （﹣3，0）、B （0，4）；（2）4；（3）不变，45° 4．（1）①AE CD =，60︒；（2）依然成立，（3）416．（一）（1）30，BE ＋DF ＝EF ；（2）BE ﹣DF ＝EF ；3 8．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ；（4）点H 不在此抛物线上．9．（1）120°；（2）2；（3）37.7°、50.6°10．（1）见解析；（2）结论依然成立11．（1）135,APB 证明见解析；（2）222PC PA PB =+， 12．（1）BD EC =，BD EC ⊥；（2）成立，（3）90︒；（4）90︒或270︒13．（2）①30°或90°；①90°．14．（1）=；（3）60︒，DB CE =；（4）90︒，2AM BD CD += 15．（①）45；垂直；平行；（①）90BEC ∠=︒；（①）90︒或270︒16． ①MPN 的值为定值，30°．17．(1)相等；(2)相等；(3)135︒．18．2(2)2DF =，(3)α的值为30°或150°，19．(1) CD =2BF BF ①CD(2)CD =2BF ， BF ①CD 成立，(3)13BF ≤≤20．(1)16°(2)DL ＝EN +GM ，。

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(角度问题)(附答案)

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题）1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、．(1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？(3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）．2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ．(1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，AB ＝12，CD ＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内部作等边△PCD ，连接AP ，BP ．若△P AD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中线”长及四边形ABCD 的边AD 长．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值____ ___； (2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =；(2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．7．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝度，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数；（Ⅲ）当旋转角α＝时，△ABD 的面积最大．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是（a 为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．10．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠==，点D 为AB 边上的一点，将BCD △绕点C 逆时针旋转90得到ACE △，易得BCD ACE ≌，连接BE ．(1)求BCE ACD ∠∠+的度数．(2)当5,BC BD ==BE CE 、的长．(3)如图2，在(2)的条件下，取AD 中点F ，连接CF 交BE 于H ，试探究线段BE CF 、的数量关系和位置关系，并说明理由．12．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_____ __．13．如图1，ABC 中，90,30,ACB B AD ∠=︒∠=︒是角平分线，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，45,CEF CF CD ∠=︒<、将CEF △绕点C 按逆时针方向旋转，使得EF 所在直线交线段AD 于点M ，交线段AB 于点N ．(1)当旋转75°时，如图2，直线EF 与AD 的位置关系是____ __，ANM ∠=__ ____°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE 旋转多少度时，AMN 中有两个角相等．14．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：2OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，=45ABC ∠︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A ＝1，PB PC ＝2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得AP C '△，连接PP '．利用这种变换可以求∠BPC 的度数，请写出推理过程；（2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB ＝90°，P A ＝2，PB PC ＝1．求∠APC 的度数．16．ABC 为等边三角形，AB ＝8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．(1)如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，BE ，直接写出NG 与BE 的数量关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30120α︒<<︒时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；(3)连接BN，在AEF△绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．18．如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．参考答案：1．(1)135︒(2)135︒(3)45︒，45︒，45︒2．(1)30°(3)135°，315°3．(1)40，BE ＝AD(2)①存在，②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大4．(1)①3；②3.5(2)AD ＝12BC ，(3)339=AD5．2(2)2DF AE =，(3)α的值为30°或150°，6．(2)23；(3)307．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒8．（2）15°；（3）存在，23,03M ⎫⎪⎭或()423,0- 9．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ；（4）点H 不在此抛物线上．10．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，11．(1)180BCE ACD ∠+∠=︒(2)BE =CE =(3)2BE CF =；BE CF ⊥，12．(2)①PB =；②413．(1)垂直，60(2)当CE 旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN 中有两个角相等14．(3)75︒15．（2）90°16．(1)2BE NG =(2)∠DNM 的大小是定值，为120°(3)17．(1)②18．(3)∠MPN 的值为定值，30°．。

2023年九年级中考数学专题训练——二次函数与角度问题(附答案)

2023中考专题训练——二次函数与角度问题1．如图1，直线y x =--24与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ,二次函数23y ax x c =++的图像经过点A ，交x 轴于C 、D 两点，且抛物线的对称轴为直线32x =-，点E 是抛物线的顶点．(1)a =，c =，顶点E 坐标是；(2)过点C 作直线CK ∥AB 交y 轴于点K ，点P 是直线CK 上一动点，点Q 是第三象限抛物线上一动点，求四边形APBQ 面积的最大值与此时点Q 的坐标；(3)如图2，在（2）的结论下，对称轴与x 轴交于点6，直线EQ 交x 轴于点E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得45MFQ CAO ∠+∠=︒，求点M 的坐标．2．如图，直线y=﹣x+3交y 轴于点A ，交x 轴与点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ，点P 为抛物线上直线AB 上方部分上的一点，且点P 的横坐标为t ，过P 作PE ∥x 轴交直线AB 于，作PH ⊥x 轴于H ，PH 交直线AB 于点F ．（1）求抛物线解析式；（2）若PE 的长为m ，求m 关于t 的函数关系式；试卷第2页，共9页（3）是否存在这样的t 值，使得∠FOH ﹣∠BEH=45°？若存在，求出t 值，并求tan ∠BEH 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x 2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3． (1)求点M 、A 、B 坐标；(2)连结AB 、AM 、BM ，求∠ABM 的正切值；(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．4．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．5．已知：在直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线()212y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C ．(1)若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD AB ⊥，求CDAD比值； (3)在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得DCP CAD ∠=∠，求点P 的坐标．6．如图，已知抛物线的顶点M （0，4），与x 轴交于A （－2，0）、B 两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C （0，2），P 为抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q （P 在Q 上方），再过点P 作PR ∥x 轴交直线BC 于点R ，若△PQR 的面积为2，求P 点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D ，使∠MAD ＝45°，若存在，求出D 点坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，圆心M （3，0），半径为5的⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线的解析式．试卷第4页，共9页（2）求圆M 上一动点P 到该抛物线的顶点Q 的距离的最小值？并求出此时P 点的坐标．（3）若OC 的中点为F ，请问抛物线上是否存在一点G ，使得∠FBG ＝45°，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于A （2，0），B （4，0），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H 为射线DA 与y 轴的交点，N 为射线AB 上一点，设N 点的横坐标为t ，△DHN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N 与B 重合，G 为线段DH 上一点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于F ，连接AF ，若∠AGN ＝∠F AG ，求GF 的长．9．在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）已知E 是x 轴上的点，F 是抛物线上的动点，当B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E 的坐标．10．已知抛物线的解析式y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣1，0）抛物线与y 轴正半轴交于点C ，△ABC 面积为6．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）P 为第一象限抛物线上一动点，过P 作PG ⊥AC ，垂足为点G ，设点P 的横坐标为t ，线段PG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，过点B 作CP 的平行线交y 轴上一点F ，连接AF ，在BF 的延长线上取点E ，连接PE ，若PE ＝AF ，∠AFE+∠BEP ＝180°，求点P 的坐标．11．如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.12．如图，已知二次函数239344y x x =-++的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C . (1)求线段BC 的长；(2)当0≤y ≤3时，请直接写出x 的范围；试卷第6页，共9页(3)点P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP ，当∠BCP ＝90o 时，求点P 的坐标.13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2，－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN=6．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ，y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣5（a≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP=∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C （0，8），点D 是抛物线上的动点，直线AD 与y 轴交于点K ．（1）填空：c=；（2）若点D 的横坐标为2，连接OD 、CD 、AC ，以AC 为直径作⊙M ，试判断点D 与⊙M的位置关系，并说明理由．（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线245y mx mx m=+-（m＜0）与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线3y x=相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线3y x=上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线3y=上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．17．如图，抛物线经过A（2,0-），B（1,02-），C（0,2）三点．试卷第8页，共9页（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标；（3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H 满足90AMH ︒∠=若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线=2y -的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．19．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A ，B 两点，OA ＝1，与y 轴交于点C ，连接AC ，tan ∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求点A ，C 的坐标；(2)若点P 在抛物线上，且满足∠P AB ＝2∠ACO ，求直线P A 与y 轴交点的坐标；(3)点Q 在抛物线上，且在x 轴下方，直线AQ ，BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．求证：DM +DN 为定值，并求出这个定值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，点D 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD ，交BC 于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，点P 为抛物线上一动点，是否存在点P ，使得2∠PCB ＝∠OCB ，若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)1，-4，3,252⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)494，521,24Q ⎛⎫--⎪⎝⎭； (3)325,216⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,252⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）先由直线y =-2x +4求出点A 的坐标，再由点A 在抛物线上和抛物线的对称轴为直线32x =，即可求解；（2）根据直线y =-2x +4求出点B 的坐标，根据（1）中求得的抛物线的解析式求出点C 的坐标，△ABO 的面积等于△ABC 的面积且为定值，设点Q 的横坐标为x ，过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，用含x 的代数表示△ABO 的面积，再根据二次函数的性质求出当△ABO 的面积最大时的x 值，进而求出四边形APBQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标；（3）通过计算，得出GE =GF ，可得∠GFQ =45°．当点M 在直线EF 下方，则只要作出∠GFM =∠CAO ，则∠MFQ =∠CAO ．可通过求EQ 的解析式的方法求得点F 的坐标，再求MG 的长，从而得到点M 的坐标；当点M 在直线EF 的上方，作点M 关于直线EF 的对称点J ，求直线J 的解析式，再求出另一点M 的坐标．（1）解：∵直线y =-2x +4与y 轴交于点A ， ∴A （0，4），∵抛物线经过点A 且对称轴为直线32x =， ∴c =4，3322a -=， ∴a =-1，∴二次函数的解析式为234y x x =-++；（2）如图，作QH ⊥AB 于点H ，QN ∥y 轴交直线AB 于点N ，设点Q （x ，-x 2+3x +4），则F （x ，-2x +4），当y =0时， -x 2+3x +4=0，解得，x 1=-1，x 2=4，∴C （-1，0），D （4，0），由-2x +4=0，得x =2，∴B （2，0）， ∴222425AB +∵∠EFQ =∠OAB ， ∴525HQ OB QN AB =， ∴225553424)5)HQ x x x x x ==-+++-=-+， ∵CE ∥AB ， ∴13462ABP ABC S S ∆∆==⨯⨯=， ∴ABO ABP APBO S S S ∆∆=+四边形215255)62x x =⨯-++ 256x x =-++2549()24x =-+， ∴当52x =时，四边形APBQ 面积的最大，最大值为494，此时521(,)24Q ；（3）解：存在，理由如下： ∵2232534()24y x x x =-++=-+， ∴点32524E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴254GE =，设直线EF 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点521(,)24Q ，32524E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：3252452124k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1314k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为314y x =-+，当y =0时，314x =， ∴点31(,0)4F ， ∴31325424GF GE =-==， ∴△EGF 是等腰直角三角形，若点M 在直线EF 的下方，当14MG CO FG AO ==时，则∠GFM =∠CAO ， ∴∠MFQ +∠CAO =45°，∴此时125254416MG =⨯=， ∴点325(,)216M ；若点M 在直线EF 的上方，作点M 关于直线EF 的对称点J ，连接EJ ，则△MEJ 是等腰直角三角形，∵EJ ∥x 轴，25257541616EJ EM ==-=， ∴点9925(,)164J ，设直线FJ 的解析式为()0y mx n m =+≠，把点9925(,)164J ，31(,0)4F 代入得：99251643104m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：431m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线FJ 的解析式为431y x =-+，当32x =时，3431252y =-⨯+=，此时3(,25)2M ，综上所述，点M 的坐标为325(,)216或3(,25)2．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法以及转化等．2．（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）m 与t 的关系式为m=﹣t 2+3t ；（3）存在满足条件的t 的值，t 的值为1，tan ∠BEH 的值为．【解析】试题分析：（1）由直线AB 的解析式可求得A 、B 两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b 、c ，可求得抛物线解析式；（2）由P 点坐标表示出E 点的纵坐标，代入直线AB 解析式，可求得E 点横坐标，则可用t 表示出PE 的长，可得到m 关于t 的函数关系式；（3）过E 作EG ⊥x 轴于点G ，则可用t 表示出GH 和EG ，由三角形外角的性质和已知条件可证得∠EHG=∠FOH ，可证明△FOH ∽△EHG ，根据相似三角形的性质可求得t 的值，则可求得tan ∠EHG ，结合∠BEH=∠FOH ﹣45°，则可求得tan ∠BEH 的值．解：（1）在直线y=﹣x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3，∴A （0，3），B （3，0），∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点，∴把A 、B 两点的坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵P 点在抛物线上，∴P 点坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），∵PE ∥x 轴，∴E 点纵坐标为﹣t 2+2t+3，∵E 点在直线AB 上，∴把E点纵坐标代入直线AB解析式可得﹣t2+2t+3=﹣x+3，解得x=t2﹣2t，∴E点横坐标为t2﹣2t，∴PE=m=t﹣（t2﹣2t）=﹣t2+3t，∴m与t的关系式为m=﹣t2+3t；（3）如图，过E作EG⊥x轴于点G，∵OA=OB=3，∴∠EBO=45°，∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°，∵∠FOH﹣∠BEH=45°，∴∠FOH=∠BEH+45°，∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°，∴△FOH∽△EGH，∴=，∵OH=t，F在直线AB上，∴FH=﹣t+3，由（2）可知EG=﹣t2+2t+3，GH=m=﹣t2+3t，∴=，解得t=1，∴OH=1，FH=2，∴tan∠FOH==2，∵∠FOH﹣∠BEH=45°，∴∠BEH=∠FOH﹣45°，∴tan∠BEH=tan（∠FOH﹣45°）===，综上可知存在满足条件的t的值，t的值为1，tan∠BEH的值为．考点：二次函数综合题．3．见解析【解析】试题分析：（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出AMAB的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=AMAB即可解决问题．（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．试题解析：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）2-3，∴顶点M（1，-3），令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，∴点A（0，-2），x=3时，y=（3-1）2-3=4-3=1，∴点B（3，1），（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB=EA=3，∴∠EAB=∠EBA=45°，同理可求∠FAM=∠FMA=45°，∴△ABE∽△AMF，∴AM AF1 AB AE3==，又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，∴tan∠ABM=AM1 AB3=，（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，∴设点P（x，x2-2x-2），①点P在x轴的上方时，22213x xx--=，整理得，3x2-7x-6=0，解得x1=-23（舍去），x2=3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，2(22)13x xx---=，整理得，3x2-5x-6=0，解得x1597-，x2597+597+y=x2-2x-2=597+∴点P ，，综上所述，点P 的坐标为（3，1．考点：二次函数综合题．4．(1)抛物线的解析式为：2=23y x x --；(2)不存在这样的点P ，理由见解析；(3)M 点坐标是(45)，或315()24-，．【分析】（1）根据点A 的坐标为(10)A -，，3OC OA =可得出C 点坐标，再把A 、C 两点的坐标代入抛物线22(0)y ax ax c a =-+>求出a ，c 的值即可；（2）过点P 作PM y ∥轴分别交线段BC 于点N ，利用待定系数法求出直线BC 的解析式，故可得出23(23)PN x x x =----，，再由243PBC ABC S S ==△△，解一元二次方程即可得出结论；（3）分当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，两种情况讨论，当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，过A 作AK AC ⊥交CM 于点K ，作KH x ⊥轴于点H ，证明(AAS)OAC HKA ≌△△，可得(21)K ，，用待定系数法求出直线CM 的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M 的坐标；当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，同样的方法可求解．【解析】（1）解：∵3OC OA =，(10)A -，， ∴(03)C -，．把点A ，C 的坐标代入22y ax ax c =-+，得203a a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：2=23y x x --；（2）解：不存在这样的点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二；理由：如图，过点P 作PN y ∥轴分别交线段BC 于点N ．∵抛物线的解析式为2=23y x x --，令0y =，则2230x x --＝，解得1213x x =-=，，∴(30)B ，， ∴4AB =， ∴14362ABC S =⨯⨯=△， 1322PBC B S PN x PN =⨯=△，由题意得243PBC ABC S S ==△△， ∴342PN =，即83PN =， ∵(30)B ，，(03)C -，，设直线BC 的解析式为3(0)y kx k =-≠，∴033k =-，解得1k =，故直线BC 的解析式为：3y x =-．设2(23)P x x x --，，(3)N x x -，，则23(23)PN x x x =----， ∴283(23)3x x x ----=，整理得23980x x -+=，∵224(9)4388196150b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<，∴方程无实数根，∴不存在这样的点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二；（3）解：当直线AC 绕着点C 顺时针旋转45︒时，如图，过A 作AK AC ⊥交CM 于点K ，作KH x ⊥轴于点H ，∵45ACM ∠=︒，∴AC AK =，∵90AOC KHA ∠=∠=︒，90ACO OAC KAH ∠=-∠=∠︒，∴(AAS)OAC HKA ≌△△，∴3AH CO ==，1KH OA ==，∴(21)K ，，同理求得直线CM 的解析式为23y x =-，联立22323y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得0x =（舍去），或4x =，∴(45)M ，．当直线AC 绕着点C 逆时针旋转45︒时，如图，过A 作AD AC ⊥交CM 于点D ，作DE x ⊥轴于点E ，同理可证得(AAS)OAC EDA ≌△△，得到(41)D --，，同理求得直线CM 的解析式为132y x =--，联立223132y x x y x ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得0x =（舍去），或32x =， ∴315()24M -，．综上，M 点坐标是(45)，或315()24-，．【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．5．(1)21(2)12y x =+-； (2)23CD AD =； (3)P (25)-，．【分析】（1）利用直线1y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求得点A 、B 坐标，顶点D 在直线AB 上，由抛物线顶点式得出21()12y x m m =-++，进一步代入B 点求得答案即可；（2）由题意表示出点D 和点C 坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质求得答案即可；（3）由（2）的图形延长AC 交对称轴于点F ，求得直线AC 的解析式，进一步证得ADF CDP ∆∆∽，利用相似的性质求得DP ，进一步确定点P 的坐标即可．【解析】（1）解：∵直线1y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点A (10)-，，点B (01)，， ∵顶点D 在直线AB 上， ∴21()12y x m m =-++， ∵点C （非顶点）与点B 重合，把点B (01)，代入得 21112m m =++，解得：2m =-或0m =（不合题意舍去），∴21(2)12y x =+-；（2）解：如图，由题意可知：点21(1)(01)2D m m C m m +++，，，， ∵在Rt ΔABO 中，1AO BO CD AB ==⊥，，∴CDB ∆为等腰直角三角形，作DH BC ⊥，则12DH BC =， ∴211(11)22m m m =++-，解得2m =，∴(05)(23)C D CD AD =，，，， ∴23CD AD =；（3）解：延长AC 交对称轴于点F ，设直线AC 的解析式为：5y kx =+，把A (10)-，代入得05k =-+， ∴5k =∴直线AC 的解析式为：55y x =+，则F (215)，， ∵135DCP CAD ADF CDP ∠=∠∠=∠=︒，，∴ADF CDP ∆∆∽，∴AD DF CD DP =321222DP=，解得8DP =，又∵点(23)D ，， ∴P (25)-，．【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题． 6．(1)24y x =-+；(2)P （1，3）；(3)存在，D 点坐标为（53，119）．【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A 的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由顶点M （0，4），A （−2，0）可得B （2，0），则OC ＝OB ，可得∠OCB ＝∠OBC ＝45°，根据平行线的性质得∠PQR ＝∠PRQ ＝45°，则PQ ＝PR ，根据△PQR 的面积为2可得PQ ＝2，求出直线BC 的解析式为y ＝−x ＋2，设P （m ，24m -+），则Q （m ，−m ＋2），PQ＝()2422m m -+--+=，解方程求出m 的值即可；（3）过点M 作MN ⊥AD 于N ，过点N 分别作NE ⊥y 轴于E ，NF ⊥x 轴于F ，证明△MNE ≌△ANF（AAS ），可得NE ＝NF ，设N （n ，−n ＋2），则n ＝−n ＋2，求出n ＝1，可得N （1，1），求出直线AN 的解析式为y ＝1233x +，联立24y x =-+即可求解．（1）解：∵抛物线的顶点M （0，4），∴设抛物线的解析式为：24y ax =+，∵抛物线与x 轴交于A （−2，0），∴4a ＋4＝0，解得a ＝−1，∴抛物线的解析式为：24y x =-+；（2）解：∵顶点M （0，4），A （−2，0），∴B （2，0），∵点C （0，2），∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝45°，∵PQ ∥y 轴，PR ∥x 轴，∴∠PRQ ＝∠OBC ＝45°，∠PQR ＝∠OCB ＝45°，∴∠PRQ ＝∠PQR ＝45°，∴PQ ＝PR ，∵△PQR 的面积为2， ∴12PR ·PQ ＝122PQ ＝2，∴PQ ＝2，∵C （0，2），∴设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋2，代入B （2，0）得：0＝2k ＋2，解得：k ＝－1，∴直线BC 的解析式为y ＝−x ＋2，设P （m ，24m -+），则Q （m ，−m ＋2），∴PQ ＝()2422m m -+--+=，解得：m ＝1或0（舍去），∴P （1，3）；（3）解：存在；过点M 作MN ⊥AD 于N ，过点N 分别作NE ⊥y 轴于E ，NF ⊥x 轴于F ，∴NE ⊥NF ，∠MEN ＝∠AFN ＝90°，∴∠MNE ＝∠ANF ，∵∠MAD ＝45°，MN ⊥AD ，∴MN ＝AN ，∴△MNE ≌△ANF （AAS ），∴ME ＝AF ，NE ＝NF ，设N （n ，n ），则ME ＝4－n ，AF ＝n ＋2，∴4－n ＝n ＋2，解得：n ＝1，∴N （1，1），∵A （−2，0），设直线AN 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴120k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AN 的解析式为y ＝1233x +，联立212334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：20x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或53119x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴D 点坐标为（53，119）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．（1）213442y x x =--；（2）当(3,5)P -时，PQ 的值取最小为54；（3）存在，22186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1450,39G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）求出A 、B 、C 三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式，将A 、B 、C 三点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，根据点的坐标与圆心连线交圆于P 即可得出结果；（3）分两种情况讨论，先求出540:33HB l y x =-，1324:55H B l y x =-+，再分别和抛物线213442y x x =--联立组成方程组，解方程组即可．【解析】解：（1）连接MC ，∵⊙M 的圆心M （3，0），半径为5，∴OA =AM -OM =5-3=2，OB =BM +OM ==5+3=8，∴A （-2，0）、B （8，0），在Rt △OCM 中，∴OC=，C （0，-4），∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c （a ≠0），∴44206480c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩， ∴14324a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴所求抛物线的关系式为：213442y x x =--．（2）连结MQ 交⊙M 于P ，则PQ 最短， ∵22131254(3)4244y x x x =--=--， ∴抛物线的顶点253,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵圆心M （3，0），∴M 、P 、Q 在平行于y 轴的直线上，而⊙M 的半径为5，∴当(3,5)P -时，PQ 的值取最小， ∴min 54PQ =．（3）∵C （0，-4），OC 的中点为F ，∴(0,2)F -，分两种情况，BG 在BF 下方时，连结FB ，过点F 作FH ⊥BF 交直线BG 于H ，过H 作HE ⊥y 轴于E ，45FBG ∠=︒，∴∠FHB =180°-∠BFH -∠FBH =180°-90°-45°，∴∠FHB =∠FBH =45°，∠HFB =90°，Rt BFH ∴△为等腰直角三角形，∴FH =FB ，∵∠OFB +∠OBF =∠OFB +∠EFH =90º，∴∠OBF =∠EFH ，在△OFB 和△EHF 中，OBF EFH FOB HEF FB HF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OFB ≌△EHF （AAS ），∴OF =EH =2，OB =EF =8，∴OE =OF +EF =2+8=10，∵点H 在第四象限，∴点H （2，-10），设HB 的解析式为:HB l y kx b =+，把(2,10)H -，B （8，0）、代入y kx b =+，10208k b k b -=+⎧⎨=+⎩，解得53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴540:33HB l y x =-，点G 是直线540:33HB l y x =-与抛物线的交点， 25403313442y x y x x ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得：2119280463x x -+=，解方程得：143x ∴=或8（舍），则11450,39G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， BG 在FB 上方时，连结FB ，过点F 作FH 1⊥BF 交直线BG 于H 1，过H 1作H 1E 1⊥y 轴于E 1，∴145FBH ∠=︒，∴∠FH 1B =180°-∠BFH 1-∠FBH 1=180°-90°-45°=45°，∴∠FH 1B =∠FBH 1=45°，∠H 1FB =90°，1Rt BFH ∴△为等腰直角三角形，∴FH 1=FB ，∵∠OFB +∠OBF =∠OFB +∠E 1FH 1=90º，∴∠OBF =∠E 1FH 1，在△OFB 和△E 1H 1F 中，11111OBF E FH FOB H E F FB H F ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OFB ≌△E 1H 1F （AAS ），∴OF =E 1H 1=2，OB =E 1F =8，∴OE 1=E 1F -OF + =8-2=6，点H 1在第二象限，∴点H 1（-2，6），设H 1B 解析式为111:H B l y k x b =+代入点坐标得11118026k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1135245k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴则1324:55H B l y x =-+，点G 是1324:55H B l y x =-+与抛物线的交点，23245513442y x y x x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩，先去y 得25181760x x --=，解得225x ∴=-或8（舍），则222186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述：22186,525G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1450,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式及圆的性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法及其用辅助线准确画出图形是解题的关键．8．（1）268y x x =-+-；（2）()3322S t t =-≥；（3）2 【分析】（1）把于A （2，0），B （4，0）代入抛物线解析式求解即可；（2）先求出D 点的坐标，然后求出直线AD 的解析式得到H 的坐标，再根据DHN AHN DAN S S S S ==+△△△求解即可；（3）延长FG 与x 轴交于M ，先证明△MAF ≌△MGB ，得到FM =BM ，设M （m ，0），则F（m ，268m m -+-），则4BM m =-，()226868MF m m m m =--+-=-+，则2684m m m -+=-，由此求解即可．【解析】y kx c =+【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．（1）213222y x x =-++；（2）（2,3）；（3）()3,2或2⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）首先由直线表达式122y x =-+求出点A ，点B 的坐标，然后代入抛物线表达式212y x bx c =-++列出二元一次方程组求解即可．（2）如图，过点B 做x 轴的平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F ，证明∠DEB =∠BAC ，设D 点的坐标为（x , 213222x x -++），利用等角的正切值相等建立方程即可得到答案；（3）分BC 是平行四边形的边和对角线时两种情况讨论，分别画出相应的图形，表示出点B ，C ，E ，F 的坐标，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【解析】解：（1）在122y x =-+中，令y =0，得x =4，令x =0，得y =2，∴A （4,0），B （0,2），把A （4,0），B （0,2）代入212y x bx c =-++，得2116402c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴ 抛物线得表达式为213222y x x =-++．（2）如图，过点B 做x 轴的平行线交抛物线与点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F ，∵BE //x 轴，∴BAC ABE ∠=∠，∵2ABD BAC ∠=∠，∴2ABD ABE ∠=∠，即2DBE ABE ABE ∠+∠=∠，∴DBE ABE ∠=∠，∴DBE BAC ∠=∠，设D 点的坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则BF =x ，DF =21322D B y y x x -=-+，∵tan ,tan ,DF BO DBF BAC BF AO ∠=∠= ∴DF BO BF AO=，即2132224x x x -+=，解得：120,2,x x ==经检验：10x =不合题意，舍去， ∴22,x =当x =2时，2132322x x -++=， ∴点D 的坐标为（2,3）．（3）令y =0，得2132022x x -++=，解得：121,4,x x =-=∴C （-1，0），A （4，0），设F 点坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m ．当BC 是平行四边形的边时，如图所示，当F 点在线段AB 上方抛物线上时，∵BCEF 是平行四边形，∴//CE BF ，所以点F 的纵坐标等于点B 的纵坐标， ∴2132222m m -++=，解得：10m =（舍去），23m =．∴F 点坐标为()3,2．当点F 在A 点下方抛物线上时，BF 与CE 交于点H ，如图所示，∵四边形BCFE 是平行四边形，所以点H 是BF 的中点， ∴2B F H x x x +=， ∴20F y +=， ∴2F y =-．即2132222m m -++=-，解得：12341341m m +=－（舍去）， ∴F 点的坐标为3412⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-2．当BC 是对角线时，由题意可得，以B ，C ，E ，F 为顶点围不成平行四边形．综上所述，点F 的坐标为()3,2或3412⎫+-⎪⎪⎝⎭．【点评】此题考查了抛物线综合题型，待定系数法求表达式，平行四边形存在性问题等内容，找到线段和点的坐标的关系并列出方程是解题的关键． 10．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）2232d =，0＜t ＜3；（3）P (796,525) 【分析】（1）根据条件易求出A ，B 两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）作PD ⊥x 轴交AC 于点E ，如图3，易知∠A ＝45°，然后利用三角形的内角和可得：∠P ＝∠A ，则2PG =，再利用待定系数法求出直线AC 的解析式，而点P 的横坐标已知，则可用含t 的代数式表示出PE ，问题即得解决；（3）如图4，过点P 作PN ⊥BE 交BE 于点N ，过点C 作CH ⊥BE 于点H ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，设BE 与AC 交于点M ，根据AAS 可证明△PEN ≌△AFG ，可得PN ＝AG ，然后再根据AAS 证明△CHM ≌△AGM ，可得CM ＝AM ，于是由中点坐标公式可求得点M 的坐标，再根据待定系数法可求得直线BM 的解析式，进而求出直线CP 的解析式，然后解由直线CP 和抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P 的坐标．【解析】解：（1）当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），∴OC ＝3， ∵B （﹣1，0），∴OB ＝1，∴1362ABC S AB ∆=⨯⨯=，解得：AB ＝4，∴OA ＝AB ﹣OB ＝3，∴A （3，0），将A ，B 的坐标代入抛物线的解析式y ＝ax 2+bx +3，得：933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得；12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）作PD ⊥x 轴交AC 于点E ，如图3， ∵OA ＝OC =3，∴∠A ＝45°，∵∠PEG ＝∠AED ，∠PGE ＝∠EDA ＝90°，∴∠P ＝∠A ＝45°，∴cos PG P PE ∠==，∴PG =，设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b ，把A （3，0），C （0，3）两点代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 为y ＝﹣x +3，设P （t ，﹣t 2+2t +3），∵PD ⊥x 轴，∴E （t ，﹣t +3），∴PE ＝﹣t 2+2t +3+t ﹣3＝﹣t 2+3t ，∴2d PG ==， ∵P 为第一象限抛物线上一动点，∴0＜t ＜3；∴222d =-+，0＜t ＜3；（3）如图4，过点P 作PN ⊥BE 交BE 于点N ，过点C 作CH ⊥BE 于点H ，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，设BE 与AC 交于点M ，∵∠BEP +∠PEN ＝180°，∠AFE +∠BEP ＝180°，∴∠PEN ＝∠AFG ， ∵∠PNE ＝∠AGF ＝90°，PE ＝AF ， ∴△PEN ≌△AFG （AAS ），∴PN ＝AG ，∵CP ∥BE ，∴四边形CPNH 是矩形，∴PN ＝CH ＝AG ， ∵∠CMH ＝∠AMG ，∠CHM ＝∠AGM ，∴△CHM ≌△AGM （AAS ），∴CM ＝AM ，∴M （32，32），则可得过点B （－1，0）和点M （32，32）两点的直线解析式为：y =3355x +，∵CP ∥BM ，∴直线CP 的解析式为y =335x +，解方程组：233523y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得：1103x y =⎧⎨=⎩，22759625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P （796,525）．【点评】本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数的解析式、锐角三角函数、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质以及两个函数的交点等知识，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握函数的基本知识和全等三角形的判定与性质是求解的关键． 11．（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可；（3）作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB, 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标. 【解析】（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得253050a +-= 1a =-.∴265y x x =-+-；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则∵()5,0B ∴OB=5， ∵Q 在BC 上，∴Q 的坐标为（x ，x-5），∴PQ=2(65)(5)x x x -+---=25x x -+， ∴12PBC S PQ OB ∆=⋅ =21(5)52x x -+⨯ =252522x x -+ ∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258S =， ∴点P 坐标为515,24⎛⎫⎪⎝⎭.（3）如图1，作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB,∵∠CAN=∠NAM 1, ∴AN=CN,∵265y x x =-+-=-(x-1)(x-5),∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5），设N 的坐标为（a,a-5），则∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+， ∴a=136, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918，AC 2=26，∴22169113182636AN AC =⨯=， ∵∠NAM 1=∠ACB ，∠N M 1A=∠C M 1A ， ∴∆ NAM 1∽∆ A C M 1, ∴11AM AN AC CM =, ∴21211336AM CM =, 设M 1的坐标为（b,b-5），则∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b -+-=+-+, ∴b 1=7823，b 2=6(不合题意，舍去)， ∴M 1的坐标为7837(,)2323-，如图2，作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,易知∆ADB 是等腰直角三角形，可得点D 的坐标是（3，-2）， ∴M 2 横坐标= 7860232323⨯-=， M 2 纵坐标= 37552(2)()2323⨯---=-， ∴M 2 的坐标是6055(,)2323-，综上所述，点M 的坐标是7837(,)2323-或6055(,)2323-. 【点评】本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 12．（1）5 ；（2）10x -≤≤，34x ≤≤；（3）点P 坐标为(119，12527). 【分析】（1）分别求出点B 和点C 的坐标，再运用勾股定理即可求出BC 的长；（2）求出y=0和y=3时相应的x 的值，结合函数的图象即可得到答案；（3）过点P 作PD ⊥y 轴，设点P 坐标为(x , 239344x x -++)，则点D 坐标为(0, 239344x x -++)，表示出PD ，CD ，证明△PDC ∽△COB ，得出CD PDOB OC =，列方程求解即可.【解析】(1)当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0,3)， ∴OC ＝3当y ＝0时2393044x x -++=，解得x 1＝－1，x 2＝4∴A (－1,0)，B (4,0)， ∴OA ＝1，OB ＝4在Rt △BOC 中，BC 5；(2) 当y ＝0时2393044x x -++=，解得x 1＝－1，x 2＝4当y ＝3时2393344x x -++=，解得x 1＝0，x 2＝4∴当0≤y ≤3时，10x -≤≤，34x ≤≤ (3)过点P 作PD ⊥y 轴设点P 坐标为(x , 239344x x -++)，则点D 坐标为(0, 239344x x -++)∴PD ＝x ，CD ＝239344x x -++－3＝23944x x -+∵∠BCP ＝90°，∴∠PCD ＋∠BCO ＝90°， ∵∠PCD ＋∠CPD ＝90°， ∴∠BCO ＝∠CPD ∵∠PDC ＝∠BOC ＝90°， ∴△PDC ∽△COB∴CD PDOB OC =，∴2394443x x x -+=，∴x ＝119或x ＝0(舍去) 当x ＝119时，y ＝12527∴点P 坐标为(119，12527). 【点评】本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及到二次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．13．（1）223y x x =--+；（2）当DMN ∆为直角三角形时，点P 的坐标为(1,0)或(3,)12-；（3）存在点Q ，使QMN CNM ∠=∠，点Q 的坐标为(2,3)-或(6,)45-．【分析】（1）根据MN 平行x 轴，6MN =，点N 坐标为(2,5)-，可得出点M 的坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）设抛物线的对称轴=1x -交MN 于点G ，此时抛物线的对称轴是MN 的中垂线，根据DMN ∆为直角三角形，可得出1D 及2D 的坐标，分别求出1MD 及2MD 的函数解析式，结合抛物线可得出点P 的坐标；（3）分两种情况进行讨论，①点Q 在MN 上方，②点Q 在MN 下方，然后根据两角相等，利用三角函数建立方程，解出x 的值后检验即可得出答案．【解析】解：（1）由题意得，MN 平行x 轴，6MN =，点N 坐标为(2,5)-，故可得点M 坐标为(4,5)--，23y ax bx =++过点()4,5M --、5(2,)N -，∴可得423516435a b a b ++=-⎧⎨-+=-⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，故此抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）设抛物线的对称轴=1x -交MN 于点G ，若DMN ∆为直角三角形，则12132GD GD MN ===，可得11(2),D --，21(8),D --，从而可求得直线1MD 解析式为；1y x =-，直线2MD 解析式为：9y x =--，将2(,23)P x x x --+分别代入直线1MD ，2MD 的解析式，得2231x x x --+=-①，2239x x x --+=--②、解①得11x =，24x =-（舍)，即1(1,0)P ；解②得33x =，44x =-（舍)，即2(3,12)P -；故当DMN ∆为直角三角形时，点P 的坐标为(1,0)或(3,)12-．（3）设存在点23),2(Q x x x --+，使得QMN CNM ∠=∠， ①若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH MN ⊥，交MN 于点H ，则2235QH x x =--++，(4)MH x =+、故tan 4QHCNM MH=∠=，即22354(4)x x x --++=+、解得12x =-，24x =-（舍)，故可得点1(2,3)Q -； ②若点Q 在MN 下方，同理可得2(6,45)Q -．综上可得存在点Q ，使QMN CNM ∠=∠，点Q 的坐标为(2,3)-或(6,)45-．14．(1)y=13x 2+23x ﹣5；(2)E 点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P ，其横坐标为94或154．【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；（3）在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA ∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．【解析】（1）把A 、B 两点坐标代入解析式可得255509350a b a b --=⎧⎨+-=⎩，，解得1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴抛物线解析式为y=13x 2+23x ﹣5；（2）在y=13x 2+23x ﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C （0，﹣5），∵S △ABE =S △ABC ，且E 点在x 轴下方， ∴E 点纵坐标和C 点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得13x 2+23x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E 点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P 点，其坐标为（m ，13m 2+23m ﹣5），如图，连接AP 、CE 、AE ，过E 作ED ⊥AC 于点D ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

2024年初中数学《角度计算的经典模型》及答案解析

角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，若∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，求∠BEC的度数．【题型02：A字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图(2)，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．(3)如图(3)，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是．9.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()A.240°B.280°C.360°D.540°10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．25.如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC =140°，∠BGC =100°，则∠A =()A.80°B.75°C.60°D.45°26.如图，在△ABC 中，已知∠A =70°，∠ABC 、∠ACB 的平分线OB 、OC 相交于点O ，则∠BOC 的度数为．27.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．(1)若∠ABC+∠ACB=130°，求∠BPC的度数．(2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A？【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．32.如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得A2；⋯；∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020，得∠A2020，则∠A2020=．33.【初步认识】(1)如图1，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，若∠A=80°，则∠M=°．【变式探究】(2)已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图2，∠ADC=110°，∠BCD=120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠F=°．【继续探索】(3)已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，求∠F与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，且两平分线所在的直线交于点F，那么∠F与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．【答案】110°【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．先根据三角形的内角和定理得到∠ACB 的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD 的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =80°，∠B =60°，∴∠ACB =180°-∠CAB =∠B =180°-80°-60°=40°，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ECD =12∠ACD =12×40°=20°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，∴∠AEC =∠ADC +∠ECD =90°+20°=110°．3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 边上一点，BE 与AD 交于点F ，若∠ABC =45°，∠BAC =75°，∠BFD =60°，求∠BEC 的度数．【答案】90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠C ，然后求出∠DBF ，进而得出答案．【详解】∵∠ABC =45°,∠BAC =75°，∴∠C =180°-45°-75°=60°．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°．∵∠BFD =60°，∴∠DBF =90°-60°=30°，∴∠BEC =180°-∠EBC -∠C =180°-60°-30°=90°．【题型02：A 字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=270°．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=220°．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠A=70°，∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠BDE=120°．故选：A．6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．【答案】(1)见解析(2)∠G=50°【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠DEF+∠ADG=180°,由∠CAD+∠DEF=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠BAC=∠ADE=50°，然后利用三角形的外角求出∠BDG,解答即可．【详解】(1)证明：∵AD∥EF，∴∠DEF+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠DEF=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥DE；(2)解：∵AC是∠BAD的平分线，且AC∥DE，∴∠BAC=∠CAD，∠CAD=∠ADE，∴∠BAC=∠ADE，∵∠ACD=∠ADE+45°，∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠BAD的平分线，∠BAD=50°，∴∠CAD=∠ADE=12∴∠G=∠BAD-∠ADE=100°-50°=50°．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【答案】(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】(1)解：由折叠性质可知：∠CDC =2∠CDE，∠CEC =2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2∠CDE+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)解：连接DG，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C -∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图(2)，AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°．求∠P 的度数．(3)如图(3)，直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠P AD +∠PCB =∠P AB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD ,求得∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°，∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°，∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解．【详解】解：(1)如图.∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)如图.∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =1236°+16° =26°(3)如图.∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠P AB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴∠P +∠P AD -∠BAD -∠B =∠PCD -∠BCD∴∠P -∠P AB -∠B =∠PCB ,∴∠P -∠B =∠P AB +∠PCB∴180°-2∠P -∠B +∠D =∠B ，即∠P =90°+12∠B +∠D ．(4)连接PB ，PD∵直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，∵∠APB +∠PBA +∠P AB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°∴∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCB +∠P AB +∠PCD +∠P AD =720°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCE +∠P AB +∠PCD +∠P AF =720°∵∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC =360°，∴∠APC =180°-12∠ABC +∠ADC 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9.如图，∠1=60°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A +∠E ，∠2=∠F +∠D ，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析；(2)115°．【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：(1)AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；(2)平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外角求解即可．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【答案】(1)见解析(2)95°【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．【详解】(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠OFE=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图(1)，∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C，∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①如图(2)，∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)，∵∠A=40°，∠DBE=130°，∴∠ADE+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A=90°，∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC>∠DEC，而∠DEC>∠A，所以∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B，所以∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°，∵∠ABD=∠A+∠C，∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D=30°，∠C=20°，又∵∠DEC=∠B+∠D，∴∠C+∠DEC=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】(1)③，理由详见解答过程．(2)∠1+∠2=2∠DAE．【解答】解：(1)由题意得：∠DAE=∠DA′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠DAE．故答案为：③．(2)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图2，2∠A=∠2-∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n °；(3)∠BGO -∠ACF =50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据(2)的结论解答．【详解】解：(1)∵∠MON =60°，∴∠BAO +∠ABO =120°，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA +∠CAB =12(∠ABO +∠BAO )=60°，∴∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON =n °，∴∠BAO +∠ABO =180°-n °，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由(2)得：∠ACG=90°-12×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．25.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.26.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，则∠BOC的度数为．【答案】125°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-70°=110°，∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO ,CO 相交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =12×110°=55°，在△BOC 中,∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-55°=125°，故答案为:125°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.27.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．(1)若∠ABC +∠ACB =130°，求∠BPC 的度数．(2)当∠A 为多少度时，∠BPC =3∠A ？【答案】(1)115°；(2)∠A =36°【分析】(1)根据角平分线的定义，求得∠PBC ，∠PCB ，再根据三角形内角和定理即可求得∠BPC ；(2)根据(1)的方法求得∠BPC ，再结合条件∠BPC =3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】(1)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB =130°，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-65°=115°，(2)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠PBC+∠PCB=90°-12∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A∵∠BPC=3∠A∴3∠A=90°+12∠A，∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°-12∠A(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】(1)在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可【详解】(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+12∠A=90°-12∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB) =90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，∴∠OBC +∠OCB =12(∠A +∠ACB +∠ABC +∠A )，∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°+12∠A ，在△OBC 中，∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-(90°+12∠A )=90°-12∠A ，∵∠A =40°，∴∠BOC =90°-12×40°=90°-20°=70°．【题型08：内外角平分线模型】内外角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACE 的角平分线【结论】∠P =12∠A 【典例8】(1)如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求证：∠P =90°+12∠A ；(2)如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明过程见解答；(2)∠P =12∠A ．【解答】(1)证明：∵A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∵BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PCB =12∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P =180°-(∠PCB +∠PBC )=180°-12(∠ACB +∠ABC )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ；(2)猜想：∠P=12∠A证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴∠P=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12∠ACD-∠ABC=12∠1，即∠1=2∠2，故①正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠1=90°+12∠1，故④错误；∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE =12∠ACB +∠ACD =12×180°=90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC =∠OCE +∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．32.如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．33.【初步认识】(1)如图1，BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，若∠A =80°，则∠M =°．【变式探究】(2)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图2，∠ADC =110°，∠BCD =120°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠F =°．【继续探索】(3)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，且α+β>180°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，求∠F 与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，且两平分线所在的直线交于点F ，那么∠F 与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)【答案】(1)40；(2)25；(3)∠F =12α+12β-90°，理由见解析；(4)∠F =90°-12α-12β【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：(1)利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M =12∠A ，即可求解；(2)延长AD 、BC 相交于G ，先求出∠G 的度数，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解；(3)类似(2)探究即可；(4)延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，先求出∠G =180°-α-β，再判断AF 平分∠NAG ，FB 平分∠ABG ，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解．【详解】解：∵BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，∴∠MBC =12∠ABC ，∠MCD =12∠ACD ，∵∠A =∠ACD -∠ABC ，∠M =∠MCD -∠MBD ，∴∠M =12∠ACD -12∠ABC =12∠A ，∵∠A =80°，∴∠M =40°，故答案为：40；(2)延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =110°，∠BCD =120°，∴∠GDC =70°，∠GCD =60°，∴∠G =50°，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =25°，故答案为：25；(3)∠F =12α+12β-90°理由：延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，。

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：角度的存在性问题的处理思路是什么？1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为( )A. B.（3，9）C.或（-3，9）D.（3，9）或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y 轴交于点C．D为抛物线上的一点，且，连接BD，点P为抛物线上一点．若∠DBP=45°，则点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型3.如图，已知二次函数的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，6）三点，直线与y轴交于点D，点P为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型4.已知二次函数的图象经过两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.或C. D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为( )A.或B.或C. D.答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：结合第1题考虑不变特征是什么？问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？。

中考数学复习角度大小计算(含答案)

角度大小计算一、中考母题（共1题；共2分）1.（2017•广东）已知∠A=70°，则∠A的补角为（）A. 110°B. 70°C. 30°D. 20°二、单选题（共19题；共38分）2.已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为（）A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°3.（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）A. 20°B. 30°C. 70°D. 110°4.（2016•盐城）如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于（）A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°5.（2015•黔东南州）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4=（）A. 70°B. 80°C. 110°D. 100°6.（2017•长沙）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°7.（2013•河池）如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=70°，则∠2的大小是（）A. 20°B. 50°C. 70°D. 110°8.（2017•贵阳）如图，a∥b，∠1=70°，则∠2等于（）A. 20°B. 35°C. 70°D. 110°9.（2015•聊城）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A. 58°B. 70°C. 110°D. 116°10.（2016•孝感）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，则∠2等于（）A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°11.（2015•资阳）如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°12.如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，C分别在直线a，b上，∠ACB=90°，∠BAC=20°，则∠1+∠2的值为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°13.如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=70°，则∠3=（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°14.（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°15.（2017•乐山）含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（）A. 70°B. 60°C. 40°D. 30°16.（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A. 110°B. 80°C. 70°D. 60°17.（2015•河南）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）A. 55°B. 60°C. 70°D. 75°18.（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A. 110°B. 80°C. 70°D. 60°19.（2017•葫芦岛）如图，点A,B,C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°20.（2016•无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（）A. 70°B. 35°C. 20°D. 40°三、填空题（共1题；共1分）21.（2013•温州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=________度．答案解析部分一、中考母题1.【答案】A【解析】【解答】解：∵∠A=70°，∴∠A的补角为110°，故选A【分析】由∠A的度数求出其补角即可．二、单选题2.【答案】C【解析】【分析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，先由∠A与∠B互补，可得∠A+∠B=180°，从而可以求得结果。

中考数学总复习《角度问题(二次函数综合)》专项检测卷(带答案)

中考数学总复习《角度问题（二次函数综合）》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)请直接写出A 、B 、D 三点坐标．(2)如图1，点M 是第四象限内抛物线上的一点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点N ，求线段MN 长度的最大值；(3)如图2，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；2．如图1，抛物线()21y x c =--+与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），且3OB =．在x 轴上有一动点()(),003E m m <<，过点E 作直线l x ⊥轴，交抛物线于点M ．(1)求点A 的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，连接AM ，若60MAB ∠=︒，求此时点E 的坐标；(3)如图3，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接OM ，记AEM △的面积为1,S MON △的面积为2S ，若12S S ，求此时点E 的坐标．3．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴相交于点()4,0A ，与y 轴相交于点()0,2B ．(1)求抛物线的表达式．(2)D 为线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交抛物线于点F ，若DE DF =，求点D 的坐标．(3)P 是第四象限内抛物线上一点，已知PBA BAO ∠=∠，则点P 的坐标为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当ACP △的面积与ABC 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使得ACP ABC BAC ∠=∠-∠，若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数4y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点二次函数212y x bx c =++的图象经过点A 、C 与x 轴另一交点为B 其对称轴交x 轴于D ．(1)求二次函数的表达式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点N 使得45ANB ∠=︒．若存在求出N 点坐标若不存在请说明理由．6．如图1 线212y x bx c =-++的图象经过点C 交x 轴于点()1,0A -、()4,0B （A 点在B 点左侧）顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2 P 在直线BC 上方的抛物线上过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q 过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F 过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E 求矩形PQEF 的周长最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M 使45BMC ∠=︒？若存在请直接写出点M 的纵坐标；若不存在请说明理由．7．如图二次函数的图象经过点()10A -，()30B ， ()03C -，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B C 两点之间求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠= 求点M 的坐标．8．已知抛物线23y ax bx =++经过点1,0A 和点()3,0B - 与y 轴交于点C 点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为___________ 抛物线的顶点坐标为___________．(2)如图1 是否存在点P 使四边形BOCP 的面积为9？若存在请求出点Р的坐标；若不存在请说明理由．(3)如图2 连接OP 交BC 于点D 当:1:2CPDBPDSS=时请直接写出点D 的坐标；(4)如图3 点E 的坐标为()0,1- 点C 为x 轴负半轴上的一点 15OGE ∠=︒ 连接PE 若2PEG OGE ∠=∠ 请求出点Р的坐标．9．如图所示在平面直角坐标系中抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(3,6)C 并与y 轴交于点(0,3)B 点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①所示 P 是抛物线上的一个动点且位于第一象限连接,BP AP 求ABP 的面积的最大值；(3)如图①所示在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=︒交抛物线于点D 求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q 使60CQD ∠=︒？若存在求点Q 的坐标；若不存在请说明理由．10．如图抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和点()9,0B 与y 轴交于点C 连接,AC BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)将①AOC 以每秒一个单位的速度沿x 轴向右平移平移的时间为t 秒平移后的111A O C △与ABC 重叠部分的面积为S ．当1A 与B 重合时停止平移求S 与t 的函数关系式； (3)点M 在抛物线上当2MAB ACO ∠=∠时请直接写出点M 的横坐标．11．如图在二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数且0m >）的图像与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C 顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E 与x 轴交于点F ．连接AC BD ．(1)求A B C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）并求OBC ∠的度数； (2)若ACO CBD ∠=∠ 求m 的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数且0m >）的图像上始终存在一点P 使得75ACP ∠=︒ 请结合函数的图像直接写出m 的取值范围．12．如图所示抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3 0) 与x 轴交于另一点A 与y 轴交于点C ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图设点D 是x 轴正半轴上一个动点过点D 作直线l ①x 轴交直线BC 于点E 交抛物线于点F 连接AC 、FC ．①若点F 在第一象限内当①BCF =①BCA 时求点F 的坐标； ①若①ACO +①FCB =45° 则点F 的横坐标为______．13．如图已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于C 点直线BD 交抛物线于点D 并且()2,3D 1tan 2DBA ∠=．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)若抛物线上存在一个点P 使得PDB ABD ∠=∠ 请求出P 点的坐标．(3)已知点M 的坐标()2,0- 过点M 作直线平行于y 轴在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心 OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在求出圆心Q 的坐标若不存在请说明理由．14．如图1 抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1 0）、B （3 0）．(1)求抛物线的函数表达式：(2)设抛物线的顶点为D 与y 轴相交与点C 连接AC 、CD 、BC 、BD 请你判断①ACO 与①DBC 的数量关系并说明理由；(3)如图2 连接AD 与BC 相交于点E 点G 是抛物线上一动点在对称轴上是否存在点F 使得①EFG =90° 且tan ①FEG =12如果存在请求出点F 的坐标；如果不存在请说明理由． 15．如图1 直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6 0）和点B 与y 轴交于点C 且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D F 为抛物线在第四象限的一点直线AF 解析式为123y x =-- 求①CAF -①CAD 的度数．(3)如图2 若点P 是抛物线上的一个动点作PQ ①y 轴垂足为点Q 直线PQ 交直线AC 于E 再过点E 作x 轴的垂线垂足为R 线段QR 最短时点P 的坐标及QR 的最短长度．参考答案：1．1）解：①抛物线2=23y x x --与x 轴交于点A 和点B 与y 轴交于点C 当0y =时得2230x x --= 解得：=1x -或3x = 当0x =时得=3y -①()1,0A - ()3,0B ()0,3C - ①抛物线2=23y x x --的顶点为D ①2124,2141D ---⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭即()1,4D -①点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()3,0 点D 的坐标为()1,4-；（2）设ME x ⊥轴于点E 设()2,23M m m m --设直线BC 的解析式为BC BC y k x b =+ 过点()3,0B ()0,3C -①303BC BC BCk b b +=⎧⎨=-⎩ 解得：13BC BC k b =⎧⎨=-⎩ ①直线BC 的解析式为3y x =-①过点M 作x 轴的垂线交直线BC 于点N ①(),3N m m -①()()22239323324MN m m m m m m ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭①10-< ①当32m =时线段MN 的长度取得最大值此时最大值为94；（3）设直线BD 的解析式为BD BD y k x b =+ 过点()3,0B ()1,4D -①304BD BD BD BD k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得：26BD BDk b =⎧⎨=-⎩ ①直线BD 的解析式为26y x =- ①如图①PCB CBD ∠=∠ ①PC BD ∥设直线PC 的解析式为2PC y x b =+ 过点()0,3C - ①3PC b =-①直线PC 的解析式为23y x =-联立22323y x y x x =-⎧⎨=--⎩解得：03x y =⎧⎨=-⎩或45x y ⎧⎨⎩==此时点P 的坐标为()4,5；①如图设CP 交BD 于点G 作射线OG 交BC 于点F ①PCB CBD ∠=∠ ①GC GB = ①()3,0B ()0,3C - ①3OC OB == ①OG 垂直平分BC ①点F 是BC 的中点①点F 的坐标是3003,22+-⎛⎫⎪⎝⎭ 即33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设直线OG 的解析式为OG y k x = 过点33,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭①3322OG k =- ①1OG k =-①直线OG 的解析式为y x =-①直线OG ：y x =-与直线BD ：26y x =-交于点G联立26y xy x =-⎧⎨=-⎩解得：22x y =⎧⎨=-⎩ ①()2,2G -设直线CG 的解析式为CG CG y k x b =+ 过点()0,3C - ()2,2G - ①322CG CG CGb k b =-⎧⎨+=-⎩ ①解得：123CG CG k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线CG 的解析式为132y x =- 联立213223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩ 解得：03x y =⎧⎨=-⎩或5274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩此时点P 的坐标为57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述点P 的坐标为()4,5或57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．（1）解：①3OB =①()30B ，把()30B ，代入()21y x c =--+中得：()2310c --+= ①4c =①抛物线解析式为()221423y x x x =--+=-++①抛物线对称轴为直线1x =①()10A -，；（2）解：由题意得点M 坐标为()2,23m m m -++①223ME m m =-++()1,0A -①1AE m =+60MAB ∠=︒①tan ME MAE AE==∠①ME = )2123m m m +=-++1m ∴=-（舍去）或3=m ()3E ∴；（3）解：由题意得点M 坐标为()2,23m m m -++ 设直线BM 的表达式为y sx t =+则22303m m sm t s t ⎧-++=+⎨=+⎩解得133s m t m =--⎧⎨=+⎩ ①直线BM 的表达式为()133y m x m =--++ 当0x =时 33y m =+ ①点N 坐标为()0,33m +①33,1ON m AE m =+=+()()211112322M S AE y m m m =⋅=+-++ ()()()22111133123222M S ON x m m S m m m =⋅=⨯+⨯==+-++ ()()()231123m m m m m ∴+=+-++①10m +=或2323m m m =-++解得1m =-（舍去）或m =（负值舍去）E ⎫∴⎪⎪⎝⎭．3．（1）将()4,0A ()0,2B 代入214y x bx c =-++ 得4402b c c -++=⎧⎨=⎩解得122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ①抛物线的表达式为211242y x x =-++．（2）设直线AB 的表达式为y mx n =+ 将点()4,0A ()0,2B 代入得402m n n +=⎧⎨=⎩解得122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ①直线AB 的表达式为122y x =-+． ①点D 在线段AB 上①设1,22D a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①点F 的坐标为211,242a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭点E 的坐标为(),0a ． ①DE DF = ①211112222422a a a a ⎛⎫-+=-++--+ ⎪⎝⎭整理得2680a a -+=解得12a = 24a =（舍）当2a =时 11222122a -+=-⨯+= ①点D 的坐标为()2,1．（3）设PB 交x 轴于点Q①PBA BAO ∠=∠①AQ BQ =．设AQ BQ t == 则4=-OQ t在Rt BOQ △中 222BO QO BQ +=①()22224t t +-= 解得52t = ①342OQ t =-=①3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设直线PB 的表达式为11y m x n =+ 将点()0,2B 3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得1112302n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得11432m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩①直线PB 的表达式为423y x =-+．令211422423x x x -++=-+ 解得10x =（舍） 2223x =将223x =代入423y x =-+中 422702339y =-⨯+=-①2270,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 4．（1）解：当0x =时 10222y =⨯-=- 故(0,2)C - 当0y =时 1202x -= 4x = 故(4,0)A 将(4,0)A (0,2)C -代入解析式得2144022b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩ 解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ①213222y x x =--；（2）解：①点P 在AC 下方时如图所示连接OP 设213(,2)22P m m m --①APC OPC OAP AOC S S S S =+-21113124(2)4222222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯ 24m m =-+ 当2132022x x --= 解得：11x =- 24x = 故(1,0)B -①(0,2)C - (4,0)A①4(1)5AB =--= 222425AC += 22215BC +=①222BC AC AB +=①90ACB ∠=︒ ①125552ABC S =⨯= ①ACP △的面积与ABC 的面积相等①245m m -+= 即2450m m -+=①2(4)41540=--⨯⨯=-< 无解①当点P 在AC 上方时如图所示连接OP 设213(,2)22P m m m --①APC AOC AOP PBC S S S S =+-211131424(2)222222m m m =⨯⨯+⨯⨯---⨯⨯24m m =-①ACP △的面积与ABC 的面积相等①245m m -=①11m =-（与B 重合舍去） 25m =当25m =时 213552322⨯-⨯-=①(5,3)P ；（3）解：①()4,0A -,(1,0)B - ()0,2C -①5,OA BC AC ===①222AB BC AC =+①ABC 是直角三角形 ①1tan tan 2OAC OCB ∠=∠=如图所示作AB 的垂直平分线交AC 于一点F 连接BF则FB FA =①FBA FAB ∠=∠①=CBF CBA FBA CBA CAB ∠=∠-∠∠-∠①ACP ABC BAC ∠=∠-∠①ACP CBF ∠=∠设4BC k = 则8AC k =①BF FA =在Rt BCF 中 222BC CF BF +=即()()22248k k BF BF +-=解得：5BF k = 则3CF k = ①3tan 4CBF ∠=①3tan 4ACP ∠= 如图所示过点A 作AG CB ∥ 过点C 作CG BF ⊥交AG 于点G则ACG BFC CBF BFC ∠+∠=∠+∠即ACG CBF ACP ∠=∠=∠ 即点P 在直线CG 上①,BC AC GA BC ⊥∥①=90GAC ∠︒在Rt GCA 中 3tan 4AG GCA AC ∠== ①33542AG AC ==过点G 作GH x ⊥轴则HGA OAC ∠=∠ ①2GH HA= ①32HA =,3GH =①5,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CG 的解析式为y mx n =+ 即5322m n n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ ①22m n =⎧⎨=-⎩ 即22y x =- 联立22213222y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得：10x =（舍去） 27x = 同理可得11,32G ⎛⎫'- ⎪⎝⎭设直线CG '的解析式为2y kx =- 则11232k -=- 解得：211k =-①2211y x =-- 联立2221113222y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：10x =（舍去） 22911x =综上点P 的横坐标为2911或7． 5．（1）解：在4y x =--中令0x =得4y =- 令0y =得4x =- ()4,0A ∴- ()0,4C -把()4,0A - ()0,4C -代入y =122x bx c ++得：8404b c c -+=⎧⎨=-⎩解得14b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数的表达式为2142y x x =+-；（2）在抛物线的对称轴上存在一点N 使得45ANB ∠=︒ 理由如下：当N 在x 轴上方时设抛物线对称轴交AB 于D 在抛物线对称轴上取点K 使DK AD = 以K 为圆心 AK 的长为半径作K 交抛物线对称轴于N 如图：由2142y x x =+-得抛物线对称轴为直线1x =- 在2142y x x =+-中令0y =得21402x x +-= 解得2x =或4x =-()4,0A ∴- ()2,0B()246AB ∴=--=AD BD ∴==123AB = ()1,0D -DK AD =3DK BD AD ∴===ADK ∴、BDK 是等腰直角三角形 ()1,3K -45DAK DBK ∴∠=︒=∠90AKB ∴∠=︒ N 在K 上ANB ∴∠=1245AKB ∠=︒ 即此时N 是满足题意的点()1,3K - ()4,0A -AK ∴==NK = 33DN DK NK ∴=+=+(1,33N ∴-+)当N 在x 轴下方时如图：由对称性可知3DK AD BD K N AK ''''=====，∴N ' (1,33---)综上所述 N 的坐标为(1,33-+)或(1,33---)．6．（1）解：由题意把()1,0A -、()4,0B 代入212y x bx c =-++中得：102840b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩ 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即所求解析式为213222y x x =-++；（2）解：在213222y x x =-++中令0x = 得2y = 即(0,2)C 设直线BC 的解析式为y kx n =+把B 、C 的坐标分别代入得：402k n n +=⎧⎨=⎩ 解得：122k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即直线BC 的解析式为122y x =-+；设点P 的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭m m m 则点Q 的坐标为1,22⎛⎫-+⎪⎝⎭m m2213112222222PQ m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭PF m = ∴矩形的周长22212()226(3)92PQ PF m m m m m m ⎛⎫=+=-++=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当3m =时矩形的周长有最大值9；（3）解：存在由于抛物线213222y x x =-++的对称轴为直线32x = 且点M 在抛物线的对称轴上故设点3,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭①当点M 在BC 上方时如图把线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到CN 连接BN过点N 作y 轴的垂线于点P 则90BCN ∠=︒ BC CN =90PCN BCO ∴∠+∠=︒90PCN CNP ∠+∠=︒BCO CNP ∴∠=∠BCO CNP ∴≌PN OC ∴= CP OB =由C 、B 的坐标知：2OC = 4OB =2PN ∴= 4CP =6OP OC CP ∴=+=∴点N 的坐标为(2,6)设BN 的中点为O '的坐标则O '的坐标为(3,3)以O '为圆心 BN 长为直径作圆圆与抛物线的对称轴交于点M 连接O M 'BC CN = BC CN ⊥45BNC ∴∠=︒45BMC BNC ∴∠=∠=︒即点M 满足题意；BC CN =BN ∴12O M BN '== 即210O M '= 2233(3)102t ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭解得：3t = 3t =（舍去）即3t =+ ①当点M 在BC 下方时如图把线段CB 绕点B 逆时针旋转90︒得到CQ 连接CQ 以CQ 为直径作圆与对称轴的交点即为满足条件的点M设CQ 的中点为O '' 连接O M '' 与前面计算类似可得：(2,4)Q - (1,1)O ''- CQ =则O M ''=2231(1)102t ⎛⎫∴-++= ⎪⎝⎭解得：1t =- 1t =-+即1t =-；综上点M 的纵坐标为31- 7．（1）解：①二次函数的图象经过点()10A -， ()30B ，设抛物线的交点式为：()()13y a x x =+-将()03C -，代入得33a -=- ①1a =①该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；（2）解：①如图1 过M 作MN y ∥轴交直线DE 于N 交x 轴于H当0y =时 220x -= 解得：1x =①1OD = 则11112222MDE MNE MND S S S MN OH MN DH MN OD MN =-=⋅-⋅=⋅=△△△ 设点()223M m m m --，则()22N m m -， ①()()()2211541203222MDE S m m m m ∆=-++=--+≤≤ 当2m =时 DME 的面积的最大值为52； ①当点M 在第四象限时延长ME 交x 轴于点F 如图2①180FDE EDB ∠+∠=︒ 180FED MED ∠+∠=︒ 又①MED EDB ∠∠=①FDE FED ∠=∠①FE FD =设点F ()0x ，则22224FE FO OE x =+=+ ()221FD x =- ①()2241x x +=- 解得 1.5x =- 即()1.50F -，设直线EF 的解析式为：y kx b =+ 把()1.50F -，()02E -，代入得： 1.502k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩①直线EF 的解析式为：423y x =-- 则242233x x x --=--解得：x =①点M 在第四象限所以x =①点M ⎝⎭；当点M 在第三象限时如图3①MED EDB ∠∠=①ME x ∥轴设()2M a -，将()2M a -，代入二次函数解析式中得2223a a -=--1a =①M 在第三象限①1a =1①点()122M -，综上所述点M 的坐标为11041022++⎝⎭或()122-，． 8．（1）解：设函数的表达式为：2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+- 即：33a -=解得：1a =-．故抛物线的表达式为：223y x x =--+．顶点坐标为(1,4)-；故答案是：223y x x =--+；(1,4)-；（2）不存在理由：如答图1 连接BC 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H由题意得：()()3003B C -，，， ∴直线BC 的表达式为：3y x设点2(,23)P x x x --+ 点(,3)H x x + 则()211332333922OB BPC C BOCP S S S x x x +=⨯⨯+⨯--+-⨯==-四边形整理得：2330x x ++=解得：30∆=-< 故方程无解则不存在满足条件的点P ；（3）①:1:2CPD BPD SS = 2222332233BD BC ∴==+过D 作DM AB ⊥于MOB OC =45CBO ∴∠=︒①2DM BM ==①1OM =∴点(1,2)D -；（4）如答图2 设直线PE 交x 轴于点H15OGE ∠=︒ 230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∴∠=︒1OH OE ∴==则直线HE 的表达式为：=1y x --联立方程2231y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩得解得：x =（舍去正值）故点P ． 9．（1）抛物线顶点坐标为(3,6)C①可设抛物线解析式为2(3)6y a x =-+将(0,3)B 代入可得13a =-①21233y x x =-++；（2）连接PO由题意 3,3BO AO == 设21(,23)3P n n n -++ ①ABP BOP AOP ABO S S S S =+-32BPOS n = 219322APO S n n =-++ 92ABO S = ①22191981()22228ABP BOP AOP ABO S S S S n n n =+-=-+=--+ ①当92n =时 ABP S △的最大值为818；（3）存在设D 点的坐标为21(,23)3t t t -++ 过D 作对称轴的垂线垂足为G则22113,6(23)2333DG t CG t t t t =-=--++=-+ ①30ACD ∠=︒①2DG DC =在Rt CGD △中 CG =213)233t t t -=-+①3t =+3t =（舍）①(33)D +-①3,AG GD ==连接AD 在Rt ADG 中①6AD =①6,120AD AC CAD ︒==∠=①在以A 为圆心 AC 为半径的圆与y 轴的交点为Q 点此时 1602CQD CAD ∠=∠=︒ 设(0,),Q m AQ 为圆A 的半径22229AQ OA QO m =+=+①22AQ AC =①2936m +=①m =m =-综上所述：Q 点坐标为(0,33)或(0,33)-． 10．（1）解①把点()1,0A -和点()9,0B 代入得：3081930a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得：1383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①抛物线解析式为218333y x x =--；（2）解：当0x =时 =3y -①点()0,3C -①3OC =①点()1,0A - 点()9,0B①1,9OA OB == ①221310AC =+=①131tan ,tan 393OAOC ACO CBO OC OB ∠==∠===10310sin OA OC ACO ACO AC AC ∠==∠==①∠=∠ACO CBO①ACO CAO CBO CAO ∠+∠=∠+∠①90ACB ∠=︒ 即：AC BC ⊥①平移①11AC BC ⊥ 1111111,3,10O A OA OC OC C A CA ======1C ACO ∠=∠ ①当09t <≤时重叠部分为四边形11DEO A①1OO t =①19O B t =- ①()111tan 93O E O B OBC t =∠=- ①()1111113933C E O C O E t t =-=--=①111sin 3DE C E C t =⋅∠==111cos 3C D CE C t =⋅∠==①1111211131322602A C O DC E S S S t =-=⨯⨯-=-+；当910t <≤时重叠部分为1BA D①1AA t =①1110A B AB AA t =-=-①)11sin 10A D A B CBO t =⋅∠=-)1cos 10BD A B CBO t =⋅∠=-①))()211131010102220S A D DB t t t =⋅=--=-综上所述 S 与t 的函数关系式为()()()22130960231091020t t S t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ ；（3）如图：取AB 的中点T 连接CT 过点A 作AM CT ∥ 交抛物线与点M 则：()4,0T由（2）知：90ACB ∠=︒ ∠=∠ACO ABC ① 12CT AB BT == ①TCB ABC ∠=∠①22ATC ABC ACO ∠=∠=∠①AM CT ∥①2MAB ATC ACO ∠=∠=∠设直线CT 的解析式为3y kx =- 把()4,0T 代入得：34k =①334y x =- ①AM CT ∥①设直线AM 的解析式为：34y x b =+ 将()1,0A - 代入得：34b = ①3344y x =+ 联立2334418333y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 解得：10x y =-⎧⎨=⎩或45414716x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点M 的横坐标为454；由对称性可知：当点M 在x 轴下方时直线AM 为：3344y x =-- 同法可得：M 的横坐标为274．综上：M 的横坐标为274或454． 11．（1）当0y =时 22210x mx m -+++=．解方程得11x =- 221x m =+．①点A 在点B 的左侧且0m >①()1,0A - ()21,0B m +．当0x =时 21=+y m ．①()0,21C m +．①21OB OC m ==+．①90BOC ∠=︒①45OBC ∠=︒．（2）方法一：如图1 连接AE ．①()()2222211y x mx m x m m =-+++=--++①()()2,1D m m + (),0F m ．①()21DF m =+ OF m = 1BF m =+．①点A 点B 关于对称轴对称①AE BE =．①45EAB OCB ∠=∠=︒．①90CEA ∠=︒．①ACO CBD ∠=∠ OCB OBC ∠=∠①ACO OCB CBD OBC ∠+∠=∠+∠即ACE DBF ∠=∠．①EF OC ∥ ①1tan AE BE BF m ACE CE CE OF m+∠====． ①()2111m m m m ++=+． ①0m >①解方程得1m =．方法二：如图2 过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ．由方法一得()21DF m =+ 1BF EF m ==+．①2DE m m =+．①45DEH BEF ∠=∠=︒ ①)222DH EH DE m m ===+ )221BE BF m =+． ①)22322BH BE HE m m =+=++． ①ACO CBD ∠=∠ 90AOC BHD ∠=∠=︒①AOC DHB ∽△△． ①OA DH OC BH=． ①)()2221221232m m m m m ++++ 即1212m m m =++． ①0m >①解方程得1m=．（3）0m << 设PC 与x 轴交于点Q当P 在第四象限时点Q 总在点B 的左侧此时CQA CBA ∠>∠ 即45CQA ∠>︒．①75ACQ ∠=︒①60CAO ∠<︒．tan CAO ∴∠<21OC m =+①21m +<解得m <又0m >①0m <<12．1）解：①B(3 0)在抛物线y=−x2+bx+3上①y=−32+3b+3解得b=2①所求函数关系式为y=−x2+2x+3；（2）解：①作点A关于直线BC的对称点G AG交BC于点H过点H作HI①x轴于点I连接CG交抛物线于点F此时①BCF=①BCA如图：令x=0 y=3；令y=0 −x2+2x+3=0解得：x=3或x=-1①A(-1 0) B(3 0) C(0 3)①OB=OC AB=4①△OCB是等腰直角三角形则①OCB=①OBC=45°①①HAB=①OBC=①AHI=①BHI=45°①HI= AI=BI=12AB=2①H(1 2)①G(3 4)设直线CG的解析式为：y=kx+3把G(3 4)代入得：4=3k+3解得：k=1 3①直线CF的解析式为：y=13x+3①223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩解得：53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以F点的坐标为(53329)；①当点F在x轴上方时如图延长CF交x轴于N①点B（3 0）点C（0 3）①OB=OC=3①①CBO=①BCO=45°①点A（-1 0）①OA=1 ①①FCE+①ACO=45° ①CBO=①FCE+①CNO=45°①①ACO=①CNO又①①COA=①CON=90°①①CAO①①NCO①CO NO AO CO=①313NO =①ON=9①点N（9 0）同理可得直线CF解析式为：y=-13x+3①-13x+3=-x2+2x+3①x1=0（舍去）x2=7 3①点F的横坐标为73；当点F在x轴下方时如图设CF与x轴交于点M①①FCE+①ACO=45° ①OCM+①FCE=45°①①ACO=①OCM又①OC=OC①AOC=①COM①①COM①①COA（ASA）①OA=OM=1①点M（1 0）同理直线CF解析式为：y=-3x+3①-3x+3=-x2+2x+3①x1=0（舍去）x2=5①点F的横坐标为5综上所述：点F的横坐标为5或73．13．1）解：如图所示过点D作DH x⊥轴于点H()2,3D则3DH=2OH=．1tan2DHDBABH∠==6BH∴=4OB BH OH∴=-=(4,0)B∴-．点(4,0)B-、(2,3)D在抛物线22(0)y ax bx a=+-≠上∴164204223a ba b--=⎧⎨+-=⎩解得1232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：213222y x x=+-．（2）如图①作//PD AB 则PDB ABD ∠=∠()2,3D 由2133222x x =+-解得122,5x x ==-()5,3P ∴-①当P 在BD 下方时设PD 交x 轴于点G 过点G 作GK BD ⊥ ()()4,0,2,3B D - ()2224335BD ∴=++PDB ABD ∠=∠BK KD ∴=351tan tan 2KGDBA KBG BK ∠=∠==∴GK 35在Rt BGK 中 BG =22GK BK +=154()4,0B -1,04G ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设直线1P D 的解析式为y mx n =+ 将点()2,3D 1,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得1423m n m n ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线1P D 的解析式为4133y x =+ 联立二次函数解析式与直线解析式得2413313222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 解得2112723,3259x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩ 72539P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，综上所述点P 的坐标为()5,3P -或72539⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（3）解：假设存在这样的Q ．如图所示设直线2x =-与直线AC 交于点F ．设直线AC 的解析式为y kx b =+ 将(1,0)A 、(0,2)C -代入得： 02k b b +=⎧⎨=-⎩解得：2k = 2b =-∴直线AC 解析式为：22y x =-令2x =- 得y =-6(2,6)F ∴-- 6GF =．()2,0M - MF x ⊥轴在Rt AMF △中由勾股定理得：AF === 设(2,)Q n - 则在Rt OMQ △中由勾股定理得：OQ 设Q 与直线AC 相切于点E则QE OQ = 在Rt AMF △与Rt QEF △中90AMF QEF ∠=∠=︒ AFG QFE ∠=∠①~Rt AMF Rt QEF ∴AF AM QF QE= 2354n + 化简得：2340n n --= 解得4n =或1n =-．∴存在一个以Q 点为圆心 OQ 为半径且与直线AC 相切的圆点Q 的坐标为(2,4)-或(2,1)--．14．（1）解：将点A 1,0B 3,0代入2y x bx c =-++得：10930b c b c解得：23b c所以抛物线解析式为223y x x =-++；（2）223y x x =-++()214x =--+∴D ()1,4令0x = 则3y =∴C ()0,3∴1,3AO CO == ∴1tan 3ACO ∠=()()()1,0,3,0,1,4A B D -BC CD BD ===222BD BC CD ∴=+BCD ∴△是直角三角形90BCD ∴∠=︒1tan 3CDDBC BC ∴∠===ACO DBC ∴∠=∠；（3）存在点F 使得90EFG ∠=︒且1tan 2FEG ∠= 理由如下： ()222314y x x x =-++=--+抛物线的对称轴为直线1x =设直线的解析式为y kx b =+ 得303k b b +==⎧⎨⎩解得：13k b =-⎧⎨=⎩设直线AD 的解析式为11y k x b =+可得 111104k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得：1122k b =⎧⎨=⎩22y x ∴=+联立方程组223y x y x =+⎧⎨=-+⎩解得：1383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 18,33E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭设F ()1,t如图1 当G 点在对称轴的右侧 F 点在E 点下方时过点F 作MN ①y 轴过E 点作EM ①x 轴交MN 于点M 过点G 作GN ①MN 交于N 点 90EFG ∠=︒9090EFM FEM EFM GFN ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，FEM GFN ∴∠=∠EFMFGN ∴ EF EM MF FG GN FN∴== 1tan 2FEG ∠= 12FG EF ∴= 11,22FN EM GN MF ∴== 812,1333FM t MF =-=-= 411,323FN t GN ∴=-= 711,323G t t ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2171712333232t t t ⎛⎫⎛⎫∴+=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123t ∴=（舍去） 223t =- 21,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；如图2 当G 点对称轴的左侧 F 点在E 点下方时过E 点作EK 垂直对称轴交于点K过点F 作FH ①y 轴过点G 作GH ①HF 交于H 90EFG ∠=︒90HFG HFE ∴∠+∠=︒90HFE EFK ∠+∠=︒HFG EFK ∴∠=∠HGF KEF ∴GFGHHFEF KF FK ∴==1tan 2FEG ∠=12GFEF ∴=1122HG EK HF KF ∴==， 8121333KF t EK --＝，＝＝411323HF t HG ∴-＝，＝111233G t t ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭， 2111112332323t t t ⎛⎫⎛⎫∴-=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：14623t =或24623t =（舍去） ∴F 4621,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；如图3 当F 点在E 点上方时此时G 点在对称轴的右侧过点F 作PQ x ∥轴过点E 作EP ①PQ 交于点P 过点G 作GQ ①PQ 交于点Q 90EFG ∠=︒90PFE QFG ∴∠+∠=︒90PFE PEF ∠+∠=︒QFG PEF ∴∠=∠PEF QFG ∴EF PF PE FG QG FQ∴== 1tan 2FEG ∠= 12FG EF ∴＝ 22PF QG PE FQ ∴==， 2833PF PE t ==-，114323QG FQ t ∴==-，111233G t t ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，2111112332323t t t ⎛⎫⎛⎫∴-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+解得：1t =2t =843t <<F ⎛∴ ⎝⎭综上可得：点的坐标为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或21,3⎛ ⎝⎭或21,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．15．（1）解： ①抛物线的对称轴为直线42ax a =-=-2 点A 和点B 关于对称轴对称点A （-60）①B （2 0）①OB =2①OC =3OB =6①C （0 6）将B 、C 两点坐标代入抛物线解析式得：4806a a c c ++=⎧⎨=⎩解得a =-12 c =6故抛物线的解析式为：y =-12x ²-2x +6设直线BC 的解析式为y =kx +m将A 、C 两点坐标代入得：606k m m -+=⎧⎨=⎩解得：k =1 c =6故直线BC 的解析式为y =x +6 ；（2）解：①y=-12x²-2x+6=-12(x+2)²+8①顶点D(-2 8)过D作DM①y轴于M连接CD设直线AF交y轴于点N则M（0 8）①C（0 6）①DM=CM=2①①MCD=45° CD2又点A（-6 0）①OA=OC=6①①OCA=45°①①ACD=90° AC=2Rt①ACD中221 tan362CDCADAC∠==①直线AF：123y x=--与y轴交点N（0 -2）①ON=2①1 tan3ONBAFOA∠==①①CAD=①BAF故①CAF-①CAD=①CAF-①BAF=①OAC=45°；（3）解：如图连接OE①PQ ①y 轴， ER ①x 轴①①OQE =①ERO =①QOR =90° ①四边形OQER 为矩形 ①对角线QR =OE①当OE ①AC 时，QR =OE 最短 ①OA =OC =6，①AOC 为等腰直角三角形 ①E 为线段AC 的中点①QR =OE =12AC ①点A （-6，0）①E （-3，3）①PQ ①y 轴①P 点纵坐标为3将y =3代入抛物线的解析式，得：-12x ²-2x +6=3，解得2x =-±①点P 的坐标为（-，3）或（-2，3）， QR 的最短长度为。

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角度问题1.已知以AC 为直径的⊙O 与BC 相切于点C ,连接AB 交⊙O 于点D ,过点D 作⊙O 的切线,交BC 于点E.(Ⅰ)如图①,若∠ACD =20°,求∠DEC 的大小;(Ⅱ)如图②,连接OD ,若四边形OCED 是正方形,求 ∠ABC 的大小.第1题图解:(Ⅰ)连接OD ,如解图,∵AC 是⊙O 的直径,DE ,BC 是⊙O 的切线,∴∠EDO =∠ACE =90°,∵OD =OC ,∴∠ODC=∠OCD=20°,∴∠DOC=140°,∴∠DEC=40°;第1题解图(Ⅱ)如图②,∵四边形ODEC是正方形,∴DE=CE,∠DEC=90°,∴∠DCE=45°,∵AC是⊙O的直径,∴∠BDC=∠ADC=90°,∴∠ABC=45°.2.已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C、P在AB的两侧,AC =12AB ,连接CP ,BP . (Ⅰ)如图①,若CP 经过圆心,求∠P 的大小;(Ⅱ)如图②,点D 是PB 上一点,CD ⊥PB ,若CP ⊥AB ,求∠BCD 的大小.第2题图解:(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =12AB , ∴∠ABC =30°,∴∠A =90°－∠ABC =60°,∴∠P=∠A=60°;(Ⅱ) ∵AB是⊙O的直径,AC=12 AB,∴∠A=60°,∴∠BPC=∠A=60°,∵CD⊥PB,∴∠PCD=90°－∠BPC=30°,∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,∴BC BP,∴BC=BP,∴∠P=∠BCP=60°,∴∠BCD=∠BCP－∠PCD=60°－30°=30°.3.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:∠ACB: ∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圆.(Ⅰ)求证:AC是⊙O的切线;(Ⅱ)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.第3题图(Ⅰ)证明:如解图,连接OA、OD,设∠ABD=x,∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴∠ADB=3x,∠ACB=2x,∴∠DAC=∠ADB－∠ACB=x,∠AOD=2∠ABC=2x,18022x=90°∴∠OAC=90°－x＋x=90°, ∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线;(Ⅱ)解:∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD =90°,∴∠ABC ＋∠ADB =90°,∵∠ABC :∠ACB :∠ADB =1:2:3,∴4∠ABC =90°,∴∠ABC =22.5°,∴∠ADB =67.5°, ∠ACB =45°,∴∠CAD =∠ADB －∠ACB =22.5°.第3题解图上,以O 为圆心OA 为半径的⊙O 交AB 于点E .(Ⅰ)⊙O 过点E 的切线与BC 交于点F ,当0＜OA ＜6时,求∠BFE 的度数;(Ⅱ)设⊙O 与AB 的延长线交于点M ,⊙O 过点M 的切线交BC 的延长线于点N ,当6＜OA ＜12时,利用备用图作出图形,求∠BNM 的度数.解:(Ⅰ)连接OE ,如解图①,∵四边形ABCD 为正方形,∴∠2=45°,∵OE =OA ,∴∠1=∠2=45°,∵EF 为⊙O 的切线,∴OE⊥EF,∴∠OEF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠B=90°,∴∠BFE=45°;(Ⅱ)连接OM,如解图②,∵OM=OA,∴∠OMA=∠OAM=45°,∵MN为⊙O的切线,∴OM⊥MN, ∴∠OMN=90°,∴∠BMN=45°,∵∠MBN=90°,∴∠BNM=45°.图① 图②第4题解图 5.四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 为其中一条对角线. (Ⅰ)如图①,若∠BAD =70°,BC =CD ,求∠BAC 的大小;(Ⅱ)如图②,若AD 经过圆心O ,连接OC ,AB =BC ,OC ∥AB ,求∠OCD 的大小.第5题图解:(Ⅰ)∵四边形ABCD 内接于⊙O ,BC =CD ,∴∠BAC=∠CAD,∵∠BAD=70°,∴∠BAC=∠CAD=35°;(Ⅱ) 连接BD,如解图,∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵OC∥AB,∴∠BAC=∠OCA,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠ADB=∠ACB,∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO, ∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,∴∠ADB ＋∠BAD =90°,即3∠ACO =90°,∴∠ACO =30°,∴∠OCD =∠ACD －∠ACO =90°－30°=60°.第5题解图6.在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,交AC 于点E .(Ⅰ)如图①,过点D 作DF ⊥AC ,垂足为F ,求证:直线DF 与⊙O 相切;(Ⅱ)如图②,过点B 作⊙O 的切线,与AC 的延长线交于点G ,若∠BAC =35°,求∠CBG 的大小.第6题图解:(Ⅰ)如解图①,连接OD,∵AB=AC, ∴∠B=∠C,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC.∴∠CFD=∠FDO,∵∠CFD=90°,∴∠FDO=90°,∴DF⊥OD,∵OD为⊙O的半径,∴直线DF与⊙O相切;(Ⅱ)如解图②,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴AD平分∠CAB,∵∠BAC=35°,∴∠DAB=17.5°,∴∠CBA=90°－∠DAB=90°－17.5°=72.5°, ∵BG与⊙O相切,∴∠ABG=90°,∴∠CBG=90°－∠CBA=90°－72.5°=17.5°.图①图②第6题解图7.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,DF为⊙O的切线,(Ⅰ)如图①,求∠DFC的度数;(Ⅱ)如图②,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC为等边三角形时,求∠AGC的度数.第7题图解:(Ⅰ)连接AD,OD,如解图,∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=DC,又∵AO=BO,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线,∴DF⊥OD,∴DF⊥AC,∴∠DFC=90°;(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,∴BG⊥AC.∵△ABC 是等边三角形,∴BG 是AC 的垂直平分线,∴GA =GC .又∵AG ∥BC ,∠ACB =60°,∴∠CAG =∠ACB =60°.∴△ACG 是等边三角形.∴∠AGC =60°.第7题解图8.已知AB 是半圆O 的直径,点C 是半圆O 上的动点,点D 是线段AB 延长线上的动点,在运动过程中,保持CD =OA .(Ⅰ)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;(Ⅱ)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC,求∠ODC的度数.第8题图解:(Ⅰ)如解图①,连接OC, ∵OC=OA,CD=OA,∴OC=CD,∴∠ODC=∠COD,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°;(Ⅱ)如解图②,连接OE.∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∵AE∥OC,∴∠2=∠3.设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.又∵∠6是△COD的外角,∴∠5=∠6=∠1＋∠2=2x.∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.∵AE∥OC,∴∠4＋∠5＋∠6=180°,即:x＋2x＋2x=180°, ∴x=36°.∴∠ODC=36°.第8题解图9.如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.(Ⅰ)求证:∠DAC=∠BAC;(Ⅱ)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数.第9题图(Ⅰ)证明:如解图,连接OC, 则OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵EF切⊙O于点C,∴OC⊥EF,∵AD⊥EF,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∴∠DAC=∠BAC;(Ⅱ)解:如解图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,AD⊥EF, ∴∠ACB=∠ADC=90°,由(Ⅰ)知∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,∴AC2=AD•AB=3×4=12,∴∠BAC =30° .第9题解图10.已知⊙O 是△ABC 的外接圆,过点A 作⊙O 的切线,与CO 的延长线交于点P ,CP 与⊙O 交于点D .(Ⅰ)如图①,若∠P =38°,求∠B的大小;(Ⅱ)如图②,若AP ∥BC ,∠B =72°,求∠BAC 的大小.第10题图解:(Ⅰ)如解图①,连接OA,∵PA与⊙O与相切,∴∠PAO=90°,∴∠POA=90°－∠P=90°－38°=52°,∴∠AOC=180°－∠POA=180°－52°=128°,(Ⅱ)如解图②,连接BD.∵DC为⊙O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠ABD=90°－∠ABC=90°－72°=18°,∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=18°,∴∠AOD=2∠ACD=36°,又∵∠PAO =90°,∴∠P =54°,∵AP ∥BC ,∴∠PCB =∠P =54°,∴∠CDB =90°－54°=36°,∴∠BAC =∠BDC =36°.图① 图②第10题解图 11.已知⊙O 中,A C 为直径,D A 、D B 分别切⊙O 于点A 、B . (Ⅰ)如图①,若∠D =50°,求∠C 的大小;(Ⅱ)如图②,过点B 作B E ⊥A C 于点F ,交⊙O 于点E ,若B D =B E ,求∠C 的大小.第11题解图解:(Ⅰ)如解图①,连接A B ,∵A D ,B D 为⊙O 的切线,∴A D =B D ,∴∠D A B =∠D B A ,∵∠D =50°,∴∠B A D =65°,∵A D 与⊙O 相切,∴A D ⊥A C ,∴∠D A C 为直角,∴∠C A B=25°,∵A C为直径,∴∠A B C=90°,∴∠C=90°－25°=65°; (Ⅱ)如解图②,连接A B、A E,∵直径A C垂直于弦B E,∴A为优弧BAE的中点,∴A B=A E,∵A D为圆O的切线,∴A D⊥A C,又∵B E⊥A C,∴A D∥B E,∵B D=A D,B D=B E,∴B E=A D,∴四边形A D B E 为平行四边形, 又∵B D =B E ,∴四边形A D B E 为菱形,∴B E =A E ,∴A B =A E =B E ,即△A B E 为等边三角形, ∴∠E =60°,∴∠C =∠E =60°.图① 图② 第11题解图。