高一预科班数学
预科高等数学习题参考答案（上学期）
第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有7)1(5750n n ，所以有07)1(51751n n，即01nnx x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有175n ，因而有17510n x n．进而存在1M ，对任意的自然数n 有，M x x nn1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0limnnx ．nn n x x nn1517510．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nx n 10，故0limn nx ．(2) 对任意的自然数n 有5)1(2520n n，所以有10n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}25,1max {0M n ，使得M n x n 5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项,5,0,3,0,154321x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0M ，存在}21,1max {0M k ，使得M k k k x k122)12(sin)12(0120，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．2 分析用“N ”语言证明数列极限A x nnlim的步骤如下：(1) 化简A x n(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0，要使)(n f ，(解不等式后知))(g n，于是取正整数)(g N；(3) 按定义作结论则当N n时，就有Ax n．故A x nnlim．证明 (1)nnn110144．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n时，就有nn 1014，故014limnn．(2)nnnn 1241231213．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn n 1231213，故231213limnn n ．(3)nnC CCCn nnnnnnnn 1919991)91(11011999.022109个．0，要使n1，只要1n，于是取正整数1N．则当N n 时，就有nn 11999.09个，故1999.09lim个n n．3证明222222656112136561121365611213limlimlim limlimlim limlimnnn n nnn n nnn n nnnnnnnn6130060013．4 证明当0q时，显然00limlimnnnq；当0q 时，显然nnq q0．0(10)，要使nq，由于10q ，因此只要qnlog ，于是取正整数qNlog．则当N n 时，就有nnqq0，故0limnnq．综上所述，当1q 时，0lim nnq ．5证明 (N定义证明)令01nnn h ，则有nnh n)1(，即nn n n nnnnh nh h n n nh h n122)1(1)1(，进而22)1(n h n n n ，即)1(12nn h n．0，要使121n h n nn，只要212n ，即1112n，于是取正整数112N ．则当N n 时，就有121n nn，故1limnnn．(夹逼定理证明) 由于nn nnn n n n nn nn n2211111111212个个，并且122limnn nn，因此1limnnn．5 证明由数列}{n x 有界知，0M，使得数列}{n x 的每一项都有M x n．又0limnny ，则有0，存在0N，当N n时，My y nn．进而当N n时，MMy x y x nn nn 0．因此0lim nnny x．1.2 函数的极限1证明0，0，当00x x时，c c ．因此c c x xlim．2证明)1sin (1sin 0sin x xx x xx ．0，要使x1，只要1x，于是取正数1M．则当M x时，就有xxx 10sin ，故0sin limx x x ．343434343433412313412313423limlimlim limlimlimlimlimxxx x xxxx x x xxx x xxxxx x xx0001000．4解3212223213212321limlim44x x x x x x xx xx34381242321223214242limlim44xx x x x x xx．5解ax ax a xax a x axax2cos 2sin2sin sin limlima a a x a x axaxcos cos 12cos22sinlim．另解axaa a x axa xaxaxsin ])sin[(sin sin limlima xaaa x aa x axsin sin )cos(cos )sin(limaaxa xaaxa x axsin 1)cos(cos )sin(limaa x a x a x aax a x axsin 2sin22sincos )sin(lima aa cos sin 01cos 1．6 因为0)1()(lim limxxxex f ，00)(lim limxxx f ，即0)()(limlimx f x f xx．因此函数)(x f 在0x点处极限存在，并且0)(lim0x f x．7111111113323323131limlimxxxxxxx x xx xx3211111133213321limlimxxxx x x xx xx ．8xx x xx xx xx)2sin()2sin()2sin()2sin(limlim2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2limlim00xx xxxx．92122322233221231212314232limlimlime eexxxx xx xx xxxxxx．另解221)42(421142114232limlimlimx x xxxxxxxx 221)42(42114211limxxx x221)42(42114211limlimxxxx x 21211e e10aba b ax xbxxbx xax axax ax 33113113114limlimlimabab ababax xe eax ax 333311131131lim．另解a baba bab ax abax xbxbxxbxxe e eaxax axax ax ax 344441141114114limlimlim．1.3 无穷小与无穷大1因为x，1sin x ，01limxx，即x时x sin 是有界变量，x1是无穷小量，因此01sin sin limlimxxxx xx．2 (利用无穷大的)(M E定义求解)0E ，要使E xx 523，只要)5(223xE xx ，即E x2，于是取}5,2max {E M ，当M x时，E xx 523．所以523xx 是x时的无穷大量，即523limxx x．另解(利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当x时，0523xx ，但是01515332limlimx xx xxx，进而根据无穷大与无穷小的关系有，3223515limlimxxxx xx．3 (利用无穷大的)(M E 定义求解)0E ，要使E xx x x21232，只要)3(121x E x x x ，即1E x，于是取}3,1max{EM，当M x 时，E xx232．所以232xx是x时的无穷大量，即232limx xx．4414144tan sin limlimlim220220xxxxxxx．52121cos 12202limlimx x xx xx．6设00，当0x x时，)(x g 有界，则存在00M，使得当0x x时，0)(M x g ．当0x x时，)(x f 是无穷大量，则0M，存在01，当10x x时，0)(M M x f ．取},m in{1，则当0x x 时，00)()()()(M M M x g x f x g x f ，因此)()(x g x f 是0x x 时的无穷大量．7x x y cos 在,不是有界变量，即x x y cos 在,是无界的．因为0M，存在1][Mx ，使得M M x x 1][cos 00．下面证明当x 时，x x y sin 不是无穷大量．1E ，对于0M ，存在10Mx ，使得M x 0，并且E x x 0sin 00．因此当x时，x x ysin 不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又)4(464464)(limlim44f x xx f xx，则)(x f 在4x 处右连续；)6(664664)(limlim66f xxx f xx，则)(x f 在6x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(内连续．又)1(11)(lim lim11f x f xx，则)(x f 在1x处右连续；1)(lim lim0xxx f )0(1f ，)0(1sin )(limlim 0f xx x f xx，即)0()()(limlim 0f x f x f xx，则)(x f 在0x 处连续；)1(81sin sin )(limlim11f xx x f xx，即)(x f 在1x 处不左连续，则)(x f 在1x处不连续；)2(14)83()(limlim 22f xx f xx，则)(x f 在2x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[．2 (1)函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(，进而函数的间断点只可能为2x 和7x．对于2x，72)7)(2()2)(2(1494)(limlimlimlim222222xx xxx x xxx x f xxxx54，因此2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于7x，)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277xxx x xxx x f xxx，因此2x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是Zk Zk k kk k )1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为k x 和)(2Z kkx ．对于0x，1tan )(limlim 0xx x f xx，因此0x是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(k Z k k x，xx x f kxkxtan )(limlim，因此当0k 时，kx是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k kx ，0tan )(limlim22xx x f kxkx，因此2kx 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0x和)(2Z k kx是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(，进而函数)(x f 的间断点只可能为0x和1x ．对于0x，111)(limlimx xxxe xf ，因此0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1x，011)(111limlim x xxxex f ，111)(111limlimxxxxe xf ，即函数)(x f 在1x处的左右极限存在，但不相等，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．21arctan)(limlim 0xx f xx，21arctan)(limlimxx f xx，即)(x f 在0x处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x 和1x．对于0x，0223)(limlimxx f xx，因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1x ，xx f xx223)(limlim11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(，进而)(x f 的间断点只可能为0x ．22cos 1cos 1)(2limlimlimxx x x x f xxx，22cos 1cos 1)(20limlimlimx xxxx f xxx，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(，进而)(x f 的间断点只可能为1x ．xx x f xx12)(lim lim 11，因此1x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1x 时，02limnnx，则有x x x x x f nn n2211)(lim ；当1x 时，nnx2lim，并且11122lim nn nxx ，则有x x xx x f nn n2211)(lim ；当1x 时，012nx，则有011)(22lim xxx x f nn n．因此111,,0,)(xx x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x，1)(limlim11x x f xx，1)()(lim lim11x x f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，1)()(limlim11x x f xx，1)(limlim11xx f xx，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1x时，函数)(x f 无定义；当1x 时，0limnn x，则有01)(lim nnnxxx f ；当1x 时，nnxlim，则有11)(lim nnnx xx f ；当1x 时，1nx ，则有211)(lim nnnxxx f ．因此111,0,21,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内连续．对于1x ，00)(lim lim11xxx f ，11)(lim lim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x，11)(limlim11xxx f ，00)(limlim11xxx f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3) 当10x 时，0limnnx，则有111)(lim nnxx f ；当1x 时，nnxlim，则有011)(lim nnxx f ；当1x时，1nx，则有2111)(lim nnxx f ．因此1011,1,21,0)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(内连续．对于0x ，)0(11)(limlimf x f xx，因此)(x f 在0x 处右连续．对于1x ，00)(lim lim11x xx f ，11)(lim lim11xx x f ，即)(x f 在1x 处的左右极限存在，但不相等，因此1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[，1x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0x 时，xnxnnnlim lim ,0，则有1)(limxxx x n nnn n x f ；当0x 时，0,lim lim xnxnnn，则有1)(limxxx x nnnn n x f ；当0x 时，1xn，则有0)(limxxx x nnnn n x f ．因此000,1,0,1)(xx x x f ．显然函数)(x f 在区间),0(),0,(内连续．对于0x ，11)(lim limxxx f ，1)1()(lim limxxx f ，即)(x f 在0x 处的左右极限存在，但不相等，因此0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(，0x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5)显然1x 时，函数)(x f 无定义．又xexnxn x f xxnnnxn1111111)(limlim，因此xe xf x1)(，并且定义域为),1()1,(．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(内连续．对于1x，xex f xxx1)(lim lim11，因此1x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(，1x函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点0x处连续，即)0()()(limlim 00f x f x f xx．又在0x 处，b f )0(，b b ax x f xx)()(limlim，1)(lim limxxxex f ，因此1b．由于2)1(f ，即2b a，因此1a ．综上当1,1ba 时，函数)(x f 在,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(内是初等函数，因此函数)(x f 在,连续，只需在分段点1x处连续，即)1()()(limlim11f x f x f xx，)1()()(limlim11f x f x f xx．在1x 处，1)1(f ，b a bx axx f xx)()(211limlim ，11)(limlim11xx f xx，因此1ba ．在1x处，1)1(f ，11)(limlim11xx f xx，b a bx axx f xx)()(211limlim，因此1b a ．于是有11b a b a ，解得1,0b a ．综上当1,0b a 时，函数)(x f 在,上连续．3 )(x f 在1x 处连续，则)1()(lim1f x f x，即4313)(lim1xx b xb a x．由于0313lim1xx x，则有0)(lim1bxb ax，即02ba ，进而b a 2．从而313313)(limlim11xx b bx xxb x b a x x313313313)1(lim1x x x x x x x b x)1(2313)1(lim1x x x x b x b xxb x22313lim1．因此42b ，即2b，于是4a ．综上当2,4ba 时，)(x f 在1x处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f ，则0或a ．因此下面假设)0()(f a f ．令)()()(a x f x f x F ．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F ．由于)2()0(a f f ，所以有0)]0()()][()0([)()0(f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ，使得0)(F ，即)()(a f f ．综上存在一点],0[a ，使得)()(a f f ．2由于b x f a )(，则b b f a f a )(),(．令x x f x F )()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(aa f a F ，0)()(bb f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ，使得0)(F ，即)(f ．3令bx b xa ax B x f A x F ,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F )(，B b F )(．又0AB ，因此0)()(b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ，使得0)(F ，即0)(f ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321x x x a x x a x xa ．令))(())(())(()(213312321xxa xxa xxa x F ．显然)(x F 在],[],,[3221上连续，并且))(()(322111a F ，))(()(321222a F ，))(()(131333a F ．由于321，0,,321a a a ，所以0)(1F ，0)(2F ，0)(3F ．进而根据根的存在定理知，),(211，),(322，使得0)(1F ，0)(2F ，即),(211，),(322，使得0313212111a a a ，0323222121a a a ．5 (反证法)假设存在),(，使得0)(f ．若 (或)，则函数)(x f 在],[ (或],[)内连续，并且0)(f ，0)(f ，即0)()(f f ．因此存在),( (或),()，即),(，使得0)(f ．这与x和x是0)(x f 相邻的两个根相矛盾．故),(x都有0)(x f ．6若1)sin(b a，则显然方程b x a x sin 有一个根是b a x ．下面假设1)sin(b a ．令b x a xx f sin )(．显然)(x f 在],0[b a上连续，并且0)0(bf ，0)]sin(1[)sin()(b a a b b a a b a b a f (因为0,0b a)，进而0)()0(b a f f ．因此存在),0(b a，使得0)(f ，即b x a xsin 在区间),0(b a上至少有一个根．综上方程b x a x sin 至少有一正根，并且它不超过b a ．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m，)}(,),(),(m ax {21n x f x f x f M，则n x x x ,,,21中至少有一个i x 使得m x f i )(，至少有一个j x 使得M x f j )(，显然有M x f nx f x f mj nk k i )()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点介于i x 与j x 之间，使得nx f x f x f f n )()()()(21．综上存在],[b a ，使得nx f x f x f f n )()()()(21．习题 110，要使nn n n 11)1(1，只要1n，于是取正整数1N，当N n 时，1)1(1n nn ，因此1)1(1limnn n n．2由于当0x时，x ex~1，所以x ex3~13．进而331limlim30xx xexxx．3因为nnnn333213，则有nnnn33)321(31，并且nn33lim3，因此3)321(1limnnnn．4 令x t arcsin ，则t x sin ，并且00tx ．因此1sin arcsin limlimtt xx tx．53sin 2tan 2limxxxxxxxxx x xxsin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23limxxxx xxsin 2tan 2sin tan 3limxx xx x xsin 2tan 2)cos 1(tan 3limxxxxx xsin 2tan 22132limxxxsin 2tan 221lim 082241．6任取),(0b a x ，对0，存在0k ，当00x x时，kx xk x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x，即)(x f 在0x x处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当ax 0时,ka x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax，即)(x f 在a x 处右连续．当0bx 时，kb x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx，即)(x f 在b x处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a 使得0)(f ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,k Z k k k．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12kZ k k x ，0x和2x．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(k Z k k k ，)0,1(，)2,0(，),2(内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2x，4222limxx，则有42sin )(222lim limxx f xx不存在，但是在1到1之间来回振荡，因此2x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0x ，21sin42sin)(2limlimxx f xx，02cos)1()(limlimxx x x f xx，即左右极限存在但不相等, 因此0x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1x ,)1(2cos )1(2cos)1()(limlimlim111t t t xx x x f tx t xx2)1(22)1(2sin)1(limlimlimt tt t tt t ttt，因此1x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12kZ kkx，xx x x f k xk x2cos)1()(limlim1212，因此12k x )1,(k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(kZ kkk ，)0,1(，)2,0(，),2(内连续；0x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1x是第一类间断点中的可去间断点；2x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12kZ kkx是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ，)()(0limx F x F x x(a x 0时取右极限，b x 0时取左极限)．若)0(0)(0x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(x F ，进而)()()()(00lim limx F x F x F x F x xx x()()()()(00limlimx F x F x F x F x xx x)，注意a x 0时取右极限，b x 0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f 在],[b a 上连续，进而)()(x g x f 在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max {x g x f x g x f x g x f ，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n，其中q p,为非零整数，并且0p ．进而nx与方程0qp x同解．(存在性)令px x f )(．则)(x f 在),0[内连续，并且当x时，)(x f ．因此存在),0(a使得)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f ，根据介值定理知，存在),0(a ，使得)(f ，即是方程px的一个正根．(唯一性)假设21,是方程px的两个正根. 进而有pp 21，即))((12221221112121p p p p pp ，由于0,21，则01222122111p p p p ．因此21，即方程px只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数是无理数是有理数，，x x x D 01)(．显然狄利克雷函数在),(上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) AA x f x f Ax f )(')(')('00_0；(2) 2 函数在0x x处可导，则函数在0x x处必连续；(3) 0 4ln )(x f 是常值函数，因此0)('x f ；(4) 0 驻点：函数的导数值为0的点．2 (1)xx f x x f xx f x x f xx2)()2(2)()2(0000limlim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x．(2)xx f x x f xx f x x f xx)()()()(000000limlim)(')()(000limx f xx f x x f x．(3)hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h)()()()(212)()(00000000lim limhx f h x f hx f h x f h )()()()(2100000lim)(')()()()(2100000limlimx f hx f h x f hx f h x f hh．(4)000)()()()(limlimx x x f x f x xx f x f x xx x)(')()(000limx f x x x f x f x x．3 (1)22)12(]1)(2['limlimlimxx xx x xxy y xxx；(2)xx x xxxx x xy y xxx2sin2sin 2cos )cos('limlimlimx xx x xxsin 22sin2sin lim；(3)xx x x xx x xy y xx)()]()[('22limlim12)12()()12(limlim2x x x x x xx xx；(4)1)1()](1['limlimlimx x xx x x x y y xxx．4因为0)0(f ，01sin)(limlimxx x f xx，即)0()(limf x f x，因此)(x f 在0x 处连续．因为xxxx xf x f xxx1sin1sin)0()(limlimlim不存在，因此)(x f 在0x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos 'x y k，进而曲线x ysin 在点)0,0(处的切线方程是x y ，法线方程是x y．(2) 因为x y sin '，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin 'x y k，进而曲线x y cos 在点)1,0(处的切线方程是1y，法线方程是0x．(3) 因为xy 1'，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1x y k ，进而曲线x y ln 在点)0,1(处的切线方程是1x y，法线方程是1xy．6因为速度是t t tt S t V 22)'211()(')(2，加速度是)(')(t V t a 2)'22(t ，因此速度2)2(,6)2(a V ，即2t 秒时，运动物体的速度是s m/6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3xx y ．(2)'221'21211xx mxx my 32232121111xxxm mxxmxm．(3)xx y 55ln 5'4．(4)01111'22xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('x x x x x x xy ．(6)xxxx xxx x x xxxy 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222．(7)xxxxxxe e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('．(8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y x x x x x x x x xcos sin )12(cos sin 2sin 22．(9)x xx xy 22csc sec tan '．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y x x x x x x xx x xx x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin ．(11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xx xx x xxx x x x y ．(12)2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'xx x x x y xxx xxx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22．另解2sec21'2tan'cos 1sin '2x x xx y ．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'xxxx xxx x xx xx y ．(14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x xy 342ln 21)ln (211xxx xx x x xx．(15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y 22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x xxx x．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x xy ．(16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx xx xx x x ．2 (1) 2222222)'(1'xax x axay ．(2))53cos(3)'53()53cos('x x x y ．(3))1sin(2)1()1sin('222xx xxy ．(4)xx x xy ln 1)'(ln ln 1'．(5)xxe x ey 333)'3('．(6)222)'('2x x xex e y ．(7)22'24121212211'xx x x y ．(8)422212)'(11'xx x xy ．(9)222'21111111111'xxxxx y ．(10)222'211)1(21111111111'xx xx xx xx y ．(11)x e x e x e x e y xx xx 3sin 33cos 3cos 3cos '''．(12)'2'21sin1sin'xxxxy xxx xxxxx 1cos1sin21cos11sin 222．(13))'(arccos 1arccos 1'2'2x xxx y 11arccos 111arccos 12222xx x xxxxx ．(14)''11112111111111'xx xx xx xx x x y 1112112122xxxx ．另解11111121)1ln()1ln(21'2'xxxx x y ．(15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin2sin x x x y xxx xx xx2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ．(16)x xx x xx xy 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'．(18))'12(sin sin '21212'12122222x xeeeey x x x x x x x x。
全国高等学校民族预科教材 数学 第一章
于是我们猜想，是不是前n个奇数和 Sn 等于n的平方？即
Sn 1 3 5 (2n 1) n2 ?
解:当x y时，原式为零 ，于是原式有因式 x y
同理知原式还有因式 y z, z x，而原式又是关于 x, y, z 的四次齐次式，故可设
x3( y z) y3(z x) z3(x y) k(x y)( y z)( z x)( x y z)
)
k2 2(k 1)
(k 1) 1 2(k 1)
于是当n=k+1时，原式也成立。 根据1)和2)可知，对大于等于2的任何自然数都成立。
例3 证明：对于任何的自然数n, n3 5n 是6的倍数。
证 1)当n=1时，n3 5n 13 51 6 是6的倍数，所以n=1时命 题正确。 2)假设当n=k时命题正确，即 k3 5k 是6的倍数，又当n=k+1 时有 (k 1)3 5(k 1) k3 3k2 3k 1 5k 5
Байду номын сангаас齐次对称式的一般形式为
a(x3 y3 z3 ) +b(x2 y y2 x x2 z z2 x y2z z2 y) +cxyz
故可设 x y z3 =a(x3 y3 z3) +
b(x2 y y2 x x2 z z2 x y2 z z2 y) +cxyz
于是 a 1,b 0, c 5.
例4表明，有时需要给定的数学式子表示成与它恒等 的另外一种形式，这种新形式中含有待定的系数， 然后根据恒等的性质，求出这些待定系数的值，称 这种方法为待定系数法，它是数学中常用的方法。
预科高等数学习题参考答案（上学期）
预科高等数学习题参考答案（上学期）第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<="">07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<="">1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>?ε，要使εn ，于是取正整数??≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<="" ，所以有10+<}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max {0??-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项Λ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max {0??+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>?ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)n n n 110144<=-．0>?ε，要使ε<="" p="">1>n ，于是取正整数≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→n n ．(2)n n n n 1241231213<+=-++．0>?ε，要使ε<="" p="">1>n ，于是取正整数≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim =++∞→n n n ．(3) n n C C C C nnn n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-Λ321Λ个．0>?ε，要使εn ，于是取正整数??≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09321Λ个，故1999.09lim =∞→321Λ个n n ． 3证明 222222656112136561121365611213lim lim lim lim limlim lim lim nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明当0=q 时，显然00lim lim ==∞→∞→n nn q；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>?ε(10<<ε)，要使ε<n< p="">q ，由于10<因此只要εqn log >，于是取正整数[]εq N log ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当10lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有n n h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1(Λ，进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-?ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数??+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→n n n ． (夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤=≤--48476Λ43421Λ个个，并且122lim =-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→n n n ． 5 证明由数列}{n x 有界知，0>?M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤．又0lim =∞→n n y ，则有0>?ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=?<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x ．0>?ε，要使εx ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 3 43434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim lim xx x x x xx x xx x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+-0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim 44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解 a x ax a x a x a x ax a x -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lim a a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =?=+?--=→．另解a x aa a x a x a x ax a x --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim lim a x aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim---+?--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim-?---?--=→a a x a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lima a a cos sin 01cos 1=??-?=．6 因为0)1()(lim lim 0=-=++→→xx x ex f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim 00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim 0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131limlim +++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x ()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim 00--+=--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=?=?=→→x xx x x x ．9 2122322233221231212314232lim lim lim -??∞→∞→∞→==?? +??? ??+=??? ??+??? ??+=??? ??++e e e x x x x x x x x x x xx xx ．另解221)42(421142114232lim lim lim -??-?+-∞→∞→∞→??? ?+-=??? ??+-=??? ??++x x xx x x x x x x221)42(42114211lim --+-∞→??+-+-=x x x x221)42(42114211lim lim -∞→- +-∞→??? ?+-+-=x x x x x21211--=?=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -?+∞→∞→∞→? ++=?++=??++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim =?=??? ??++???++=-+∞→．另解 a ba b a ba bax ab ax x bx bxx bxx e e e ax ax ax ax ax ax 344441*********lim lim lim ==??+??? ??+=??? ??+??? ??+=?++??∞→∞→∞→． 1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim =∞→x x ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim =?=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>?E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max {E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ．另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim =+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim lim x x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>?E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1max{+=E M ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232 lim x x x ．</n<>。
高一数学预科班前言
高一数学预科班前言摘要：1.高一数学预科班的重要性2.预科班的内容概述3.为何选择参加预科班4.如何更好地应对高中数学学习5.结语正文：尊敬的读者，您好！欢迎您来到高一数学预科班的前言部分。
在这里，我们将简要介绍高一数学预科班的重要性、内容概述以及为何选择参加预科班。
我们希望这些信息能帮助您更好地应对高中数学学习，为未来的学业打下坚实基础。
一、高一数学预科班的重要性作为高中阶段的起始年级，高一数学对于学生来说具有举足轻重的地位。
一方面，数学是其他学科的基础，尤其是物理、化学、生物等理工科专业；另一方面，数学成绩在高考中占据较大比重，直接影响学生的综合素质评价。
因此，提前预习高一数学课程，打牢基础，对于提高学生整体学业水平具有重要意义。
二、预科班内容概述高一数学预科班将带领同学们提前熟悉新学期的课程内容，主要包括以下几个方面：1.初高中数学知识的衔接：回顾初中数学基础知识，为高中数学学习做好铺垫。
2.高中数学基本概念和方法的介绍：使同学们对高中数学有一个整体的认识。
3.高中数学重点难点的讲解：帮助同学们提前掌握关键知识点，减轻学习压力。
4.高中数学题型和解题技巧的训练：提高同学们的解题能力和应试水平。
三、为何选择参加预科班1.提高学习效率：预科班可以帮助同学们提前了解新学期课程，让正式上课时能更快地进入学习状态，提高课堂吸收率。
2.巩固基础知识：预科班对初中数学知识进行回顾，有助于同学们查漏补缺，为高中学习打下坚实基础。
3.增强自信心：通过预科班的学习，同学们可以提前了解高中数学的难度和特点，从而做好心理准备，增强学习信心。
4.培养良好的学习习惯：预科班课程安排紧凑，有助于同学们养成良好的学习习惯，为高中阶段的学习奠定基础。
四、如何更好地应对高中数学学习1.调整心态：正视高中数学的难度，保持积极的学习态度。
2.培养数学思维：多做练习，善于思考，培养解题思路。
3.制定学习计划：合理安排学习时间，确保学习效果。
新高一预科第8讲___映射与函数的概念
第8讲 映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1.映射引入：复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点p 和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对（,x y ）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”.点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（3）设f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，且f ：a →b ，则b 叫做a 的象；a 叫做b 的原象. 2.函数（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．点拨：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f (x )表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ． ③函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. （3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 求平方B A例3.画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素）已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．例4．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B A 求正弦 B点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． 例5.已知函数f(x)=3+x +21+x （1）求函数的定义域； （2）求f （－3），f(32)的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f(a －1)的值.例6.设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.解：由题意知，另一边长为2280x-，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S=8022xx -⋅=（40－x ）x （0＜x ＜40） 点拨：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例7.下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y=(x )2; （2）y=(33x );（3）y=2x; （4）y=xx 2例8．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．点拨：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例9．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．点拨：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．四【过关精练】一、选择题1.已知集合{1,2,3,}M m =，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个3.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516B ．2716- C ．89 D ．184.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)5．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ）A ．－2B ．±21C ．±1D ．26．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) 7．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x二、填空题8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(2)0()(2x x c bx x x f 且)0()4(f f =-，2)2(-=-f 则方程f(x)=x 解的个数为9.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是10.已知函数()()()x g x f x +=ϕ,其中()f x 是x 的正比例函数,()g x 是x 的反比例函数，且,1631=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ()81=ϕ,则()=x ϕ .三、解答题11.（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求(1)f x +的定义域；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，求函数()f x 的定义域.12.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈. （1）若函数()f x 的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数()f x 的值均为非负值，求函数()23f a a a =-+的值域.。
高一数学预科必上知识点
高一数学预科必上知识点一、函数与方程数学中的函数和方程是高一预科数学学习的重点之一。
函数是一种数学工具，用来描述两个变量之间的关系。
通常我们用字母表示函数，比如y = f(x)。
方程则是一个由等号连接的两个表达式，其中至少包含一个未知数。
高一数学预科中需要学习的函数与方程的知识点包括但不限于以下几个方面：1.函数的定义与性质：包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2.函数的图像：通过函数的图像可以更直观地理解函数的性质。
3.一次函数和二次函数：一次函数是一种最简单的函数，可以用 y = kx + b 表示；二次函数则是一种常见的函数类型，可以用 y = ax^2 + bx + c 表示。
4.指数函数和对数函数：指数函数是以常数 e 为底数的函数，可以用 y = a^x 表示；对数函数则是指数函数的反函数。
5.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、数列与数列的极限数列是一系列按照一定规律排列的数，数列中的每一个数叫做该数列的项。
高一数学预科中需要学习的数列与数列的极限的知识点包括但不限于以下几个方面：1.数列的性质：包括等差数列、等比数列等的定义与性质。
2.数列的通项公式：可以通过数列的通项公式来计算数列中任意一项的值。
3.数列的极限：当数列的项数逐渐趋向于无穷大时，数列可能会逐渐趋于某一个值，这个值叫做数列的极限。
三、几何的初步认识几何是一个研究图形、形状、大小等概念的数学分支，也是高一数学预科的重要内容。
几何的基本概念和初步认识包括但不限于以下几个方面：1.点、线、面：几何学中最基本的概念。
2.几何图形的性质：几何图形有不同的性质，比如圆的半径、面积，三角形的角度、边长等。
3.立体图形的认识：包括正方体、长方体、球体等。
四、数学证明高一数学预科中除了基础的知识点之外，还需要学习数学证明的方法与技巧。
数学证明是数学研究中的重要环节，可以培养学生的逻辑思维和分析思考能力。
数学证明的主要内容包括但不限于以下几个方面：1.直接证明法：通过直接推导和推理，证明所要的结论。
预科班高一数学课件：1.1.1《集合的含义与表示》(新人教A版必修1)
列举法表示集合：如果一个集合是有限集，元素又不
太多，常常把集合的所有元素一一列举出来，写在花括号 内表示这个集合。 注意 (1)元素个数多且有限又有规律时，可以列举部分，中间用 省略号表示，例如“从1到1000的所有自然数”可以表示为 {1,2,3…,1000} (2)元素个数无限但有规律时，也可以类似用省略号列举， 例如“自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…,n…}”
B.2
C.3
D.4
【解析】 ∵π是实数，是无理数， ∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数； |－4|是正整数，∴③④错误. 【答案】 B 集合的表示
知识探究（四） 思考：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？
自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数 集等一些常用数集，分别用下列符号表示：
如果令a2=1，0或a 解方程求a
检验得x值
根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能 的值，再根据集合中元素的特性对集合中的元素进行检验，特别是
互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意
分类讨论思想的运用.
即时练习
1.若集合M中含有三个元素-2, 3 x 2∈M，求x的值
X=-3或x=2
2
3x 4
， x
2
x4
，且
2.设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A， 且3a∈A，求a的值
a=1
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}. 若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.
【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集， 所以a是偶数，b是奇数从而a＋b是奇数. 【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z). ∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z). ∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又∵k1＋k2∈Z，
预科班讲义【数学】讲师版
（3）3__ __{x|x=n2 +1,n N*}；
5 ______{x|x=n2 +1,n N*}
（4）(-1,1) __ __{y|y=x2}；
（-1,1）__ __{（x，y）|y=x2}
【答案】① ∈ ② ③ ∈ ④_ ∈
课程简介
第一节
第二节
第三节
第四节
初
升
第五节
高
第六节
第七节
第八节
第九节
第十节
集合的含义 集合的表示 集合间的关系 交集与并集 补集及综合应用 函数的定义 常见函数的定义域 抽象函数求定义域 求简单函数的解析式 求复杂函数的解析式
课程名称
知识体系
题型体系
集合的定义，元素与 集合
知识 1：集合的定义
题型 1.集合元素的特性 题型 2.元素与集合的关系 题型 3.集合与集合间的关系
（5） 2 的近似值的全体
【答案】：(3)、（4）
例 4. 下列各对象不能构成集合的是
（）
A 某校大于 50 岁的教师
B 某校 30 岁的教师
C 某校的年轻教师 【答案】：C
D 某校的女教师
例 5. 已知集合 S 中的元素是 a,b,c,其中 a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 （ ）
例 5.设集合 A 1, 2,3, 4 ，则集合 A 的所有非空子集的元素和的和等于
.
【答案】：80
|题型体系|——题型三元素性质的应用| 例 1. a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0， b ，b}，则 b-a=
a
【答案】：2
高一预科班 数学文化与数学知识 比赛试卷 试题
江苏省泰州市民兴实验中学高一预科班“数学文化与数学知识”比赛试卷（试卷总分：100分，考试时间：45分钟）一．选择题（每题5分，共8题，每题只有一个正确答案）1．被后人称为“业余数学之王”的是……………………………………………………(B)A. 欧拉B.费马C.高斯D.2．集合中的等式：)()()(BCACBACUUU⋃=⋂，)()()(BCACBACUUU⋂=⋃是由哪位数学家提出的………………………………………………………………………（D）A．牛顿 B. 罗素 C.笛卡儿 D.迪·摩根3．下列《必修1》中的几个数学史知识不正确的是…………………………………（B）A．《集合论》的创始人是德国数学家康托尔，他还提出了两个集合“等势”的概念；B．对数是由英格兰数学家纳皮尔发明的，目的是为了简化天文学问题的球面三角计算；C．恩格斯在《自然辨证法》，把笛卡尔的坐标系，纳皮尔的对数，牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明；D．以数学和谐性探索宇宙，且在天文学方面提出“公转时间的平方与平均距离的立方成正比”理论的是德国天文家，物理学家，数学家开普勒。
4．在西方文献中被称为“卡瓦列利原理”，且对微积分的建立有着重要影响，并且运用这一原理成功地解决了球的体积的推算的一个中国古代原理是………………………（ B）A．勾股定理 B．祖暅原理 C．割圆术 D．毕氏定理5.数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
下面哪个著作叙述了勾股定理和求勾股数的方法……………………………………………………………………（ B ）A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《杨辉算法》 D．《几何原本》6．三角函数中有许多符号，其中sin，cos，tan，cot，sec，csc是最重要的符号，但是在这些符号使用以前，人们都是用文字来进行叙述的，这样使用起来非常麻烦。
预科期末考试数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. √-9C. πD. √22. 已知 a > 0，且 a + 1/a = 3，则 a 的值为（）A. 2B. 1C. 3D. 43. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^44. 在直角坐标系中，点 P(2, -3) 关于 x 轴的对称点坐标是（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)5. 若 sin A = 1/2，且 A 在第二象限，则 cos A 的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 a = -3，b = 2，则 |a - b| 的值为 _______。
7. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B 的度数为_______。
8. 已知sin α = 3/5，且α 在第二象限，则cos α 的值为 _______。
9. 二项式 (x - 2)^4 展开后，x^2 的系数为 _______。
10. 下列函数中，定义域为实数集 R 的是 _______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （解答题）已知函数 f(x) = 2x - 3，求函数 f(x) 的反函数，并写出其定义域和值域。
12. （解答题）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S5 = 20，S10 = 50，求该数列的首项 a1 和公差 d。
13. （解答题）在平面直角坐标系中，点 A(1, 2)，点 B(-3, 4)。
求直线 AB 的方程，并求直线 AB 与 x 轴的交点坐标。
四、证明题（20分）14. （证明题）已知 a、b、c 是等差数列中的三个连续项，且 a + b + c = 0，证明：a^2 + b^2 + c^2 = 3bc。
高一数学预科班前言
高一数学预科班前言【实用版】目录1.介绍高一数学预科班的背景和目的2.阐述课程内容和教学方法3.说明课程的适合对象和预期收获4.介绍课程的授课教师及其资质5.总结并鼓励学生报名参加正文尊敬的学生及家长，您好！在这里，我们向您隆重推荐高一数学预科班。
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在此，我们诚挚地邀请各位新高一的同学报名参加高一数学预科班，让我们一起探索数学的奥秘，为新学期的数学学习做好充分的准备！祝愿大家学业进步！。
高一集合数学试题
高一预科班阶段测试数学试题(满分150 时间120分钟)一、选择（12*5）1．集合{x ∈N *|x <5}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )A ．{x |－3<x <11，x ∈Q}B ．{x |－3<x <11}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N}D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z}3．下列各个集合是有限集的是( )A ．{小于10 000的自然数}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{小于10 000的整数}D ．{x |x ＜1}4．下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ②3∉Q ③0∈N * ④|－4|∉N *A ．1B ．2C ．3D ．45．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，集合M ＝{}1，4，N ＝{}1，3，5，则N ∩()∁U M ＝( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}6．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( )A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,2,8}7．设集合M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ∩N ＝MC ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )9．下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．正确的是()A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)C．只有(2) D．以上语句都不对10．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}11．函数f(x)＝2x－x2的最大值是( )A．－1 B．0C．1 D．212．设方程x2－px－q＝0的解集为A，方程x2＋qx－p＝0的解集为B，若A∩B＝{1}，则p＋q＝()A．2 B．0 C．1 D．－1二.判断题（5*5）（1）空集没有子集。
翔龙教育2012年_高一暑期预科班数学测试题(赵先举整理)
翔龙教育2012年暑期高一预科班数学测试卷一. 选择题1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，若A B ⊆，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．2-D ．3-2.已知集合{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(20221且，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） .A ]0,4[- .B ]1,4[-- .C ]0,1[- .D]1,314[--3.函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B = -（ ） A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4.()[]()()1.1121y f x f x =--若函数的定义域为，，那么的定义域是[].0,1A [].3,1B - [].1,1C - [].1,0D -5.下列各对函数中，相同的是（ ）A 、2)(x x f =，x x g =)( B 、2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=C 、2()x f x x =，()g x x =D 、μμμ-+=11)(f ，ννν-+=11)(g6.设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2,5A a =-，{}4,2=A C U ，则a 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.已知集合{}2,4,7A ⊆,且A 中的至多有一个偶数,则这样的集合A 共有 （ ）A.3个B.4个C.5个D.6个8.如果奇函数()f x 在区间[)3,7上是增函数，且最小值为5，则()f x 在区间(]7,3--上是（ ）（A ）增函数且最小值为5； （B ）增函数且最大值为5-； （C ）减函数且最小值为5； （D ）减函数且最大值为5-。
9.已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则U C ( M N )= （ ）A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2.4.8}D ．{1，3，5，6，7}10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，0,)21(0,)(21x x x x f x则=-)]4([f fA ．4-B ．4C ．41- D ． 41二. 填空题11.如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记x CD 2=，梯形面积为S ．则S 关于x 的函数解析式及定义域为 ．12.已知函数)(x f 的定义域为+R ,且)()()(y f x f y x f +=对一切正实数y x ,都成立，若4)4(=f ，则=)2(f13.已知集合{1,2,3,4}U =，{1,2,3}A =,{2,3,4}B =，则()U C A B = ▲ ．14.函数1()ln12x f x x+=-的定义域为 ．15.已知集合{}{}{}3,,1,2,2,1,2U x x x Z A B =<∈==-- ，则()U A C B =三. 解答题16.已知全集U R =，集合}032|{2≤-+=ax x x A ，}21|{≤≤-=x x B . （Ⅰ）当1=a 时，求()U A C B ； （Ⅱ）设满足A B B = 的实数a 的取值集合为C ，试确定集合C 与B 的关系.17.设集合1{24}32x A x-=≤≤，{}012322<--+-=m m mx x x B . （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数； （2）若B A ⊇，求实数m 的取值范围.18.（1）解不等式224122xx +-≤（2）计算2221log log 12log 4212+-19.设函数2()21f x x mx=-+，求函数()[0,4]f x在的最小值。
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【例2】因式分解：
(1) 3a3b 81b4
(2) a7 ab6
解 : (1) 3a3b 81b4 3b(a3 27b3 ) 3b(a 3b)(a2 3ab 9b2 ).
(2) a7 ab6 a(a6 b6 ) a(a3 b3 )(a3 b3 ) a(a b)(a2 ab b2 )(a b)(a2 ab b2 ) a(a b)(a b)(a2 ab b2 )(a2 ab b2 ).
【例7】因式分解：(1)x2 xy 6 yபைடு நூலகம் (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12
解 : (1)x2 xy 6 y2 x2 yx 62 ( x 3 y)( x 2 y). (2)( x2 x)2 8( x2 x) 12 ( x2 x 6)( x2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).
【例5】因式分解：2ax 10ay 5by bx
解 : 2x2 4xy 2 y2 8z2 2( x2 2xy y2 4z2 ) 2[( x y)2 (2z)2 ] 2( x y 2z)( x y 2z).
2020年3月29日星期日
三、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
【例8】因式分解：(1)12x2 5x 2
解 : (1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1).
(2)5x2 6xy 8 y2
3 2
41
(2)5x2 6xy 8 y2 ( x 2 y)(5x 4 y).
1 2
5 4
2020年3月29日星期日
三、十字相乘法
【例9】因式分解：
2020年3月29日星期日
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
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1．1 集合的含义及其表示1．下列说法正确的是( )A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D ．数1,0,5，12，32，64， 14组成的集合有7个元素 2．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．下列四个关系中，正确的是( )A ．a ∈{a ，b }B ．{a }∈{a ，b }C ．a ∉{a }D ．a ∉{a ，b }4．集合M ＝{(x ，y )|xy <0，x ∈R ，y ∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集5．若A ＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A 中元素的个数是( ) 集 合A．1个B．2个C．3个D．4个6．集合M中的元素都是正整数，且若a∈M，则6－a∈M，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个7．下列集合中为空集的是()A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{x∈R|x2＋x＋1＝0} D．{0}8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4∈A，则a＝()A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或29．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈P B．a＋b∈QC．a＋b∈M D．a＋b不属于P、Q、M中任意一个10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．11．若a＝n2＋1，n∈N，A＝{x|x＝k2－4k＋5，k∈N}，则a与A 的关系是________．12．集合A＝{x|x∈R且|x－2|≤5}中最小整数为_______．13．一个集合M中元素m满足m∈N＋，且8－m∈N＋，则集合M 的元素个数最多为________．14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}；③M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{a |a ＝x 2－1，x ∈R}； ④M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}．15．已知集合A ＝{x |x ∈R|(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a 的值．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2014＋b 2013的值．17．设正整数的集合A 满足：“若x ∈A ，则10－x ∈A ”．(1)试写出只有一个元素的集合A ；(2)试写出只有两个元素的集合A ；(3)这样的集合A 至多有多少个元素？18．若数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M (a ≠0，a ≠±1)，则集合M 中至少有几个元素？1.2子集、全集、补集1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U3．已知集合U＝R，集合M＝{x |x2－4≤0}，则∁U M＝()A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A ⊆B，则实数a、b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥35．下列命题正确的序号为________．①空集无子集；②任何一个集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④∁U(∁U A)＝A.6．若全集U＝{x∈R|x2≤4}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}，则∁U A＝________.7．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．8．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若A中元素至少有一个，则a的取值范围是________．9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－111．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}．若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.12．已知：A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．13．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若BA ，则a 的值为________．14．含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}．求a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012的值．15．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪ x ＝n 2－13， n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z ，试探求集合M 、N 、P 之间的关系．16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数M 的取值范围．17．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，求a的值．18．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．1．3交集、并集1．若集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{1,2,4}则A∪B＝()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B为()A ．{x ＝1，或y ＝2}B ．{1,2}C ．{(1,2)}D ．(1,2)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R 且x ＋y ＝1，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}7．已知方程x 2－px ＋15＝0与x 2－5x ＋q ＝0的解分别为M 和S ，且M ∩S ＝{3}，则p q ＝________.8．已知全集S ＝R ，A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤5}，则(∁S A )∩B ＝________.9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R}，B ＝{x |1<x <5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．10．设集合A ＝{0,1,2,3,4,5,7}，B ＝{1,3,6,8,9}，C ＝{3,7,8}，那么集合(A ∩B )∪C 是________．11．满足条件{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是______个．12．集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅13．若A 、B 、C 为三个集合，且有A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A ．A ⊆CB ．C ⊆AC ．A ≠CD ．A ＝∅14．设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则∁U A ∪∁U B＝________15．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．16．已知集合A＝{x||x＋2|<3，x∈R}，集合B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，x∈R}，且A∩B＝(－1，n)，求m和n的值．17．设集合P＝{1,2,3,4}，求同时满足下列三个条件的集合A：(1)A⊆P；(2)若x∈A，则2x∉A；(3)若x∈∁P A，则2x∉∁P A.18．设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．(1)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．2．1.1 函数的概念、定义域、值域和图象1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )2．下列四组中，f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1(x >0)，1(x <0)D ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3函数概念与基本初等函数Ⅰ4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ]5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (2)＋f (－2)的值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．26．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．7．函数f (x )＝11－2x的定义域是________ 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________. 9．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．10．对于每一个实数x ，设f (x )是y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，则f (x )的最大值是________．11．方程x 2－|x |＋a －1＝0有四个相异实根，求实数a 的取值范围．12．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x13．已知f (x )的定义域为(－3,0)，则函数f (2x －1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H 是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H 与下降时间t (分钟)的函数关系用图象表示只可能是( )15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______. 16．已知函数f (3x ＋2)的定义域是(－2,1)，则函数f (x 2)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23的定义域为________17．已知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0，函数f (x )的定义域是(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )＋f (x )的定义域．18．已知m ，n ∈N *，且f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，f (1)＝2.求f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)的值．2．1.2 函数的表示方法1．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．304．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝⊕(⊗)2x x 22的解析式为( ) A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f [f (n ＋5)]，n <10(n ∈N *)，则f (5)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________.9．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0,2)，B (1.0)，C (3,2)三点，求f (x )的解析式．12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是( )14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧Cx，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75.16C ．60,25D ．60,1615．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为f (x )]的x 值是________16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x的取值范围为________．17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：(1)P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)2.1.3函数的简单性质1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是() A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数2．函数y ＝1x ＋2的大致图象只能是( )3．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数4．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34≤f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝f (a 2－a ＋1) D ．以上关系均不确定6．函数①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |在(－∞，0)上为增函数的有______(填序号)．7．已知f (x )是奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x (1－x )，则x <0时，f (x )＝________.8．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.9．已知函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．10．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0的奇偶性．能力提升11．定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a－x＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( ) A ．2 B.174 C.154 D ．a 212．设f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋||g (x )是偶函数B ．f (x )－||g (x )是奇函数 C.||f (x )＋g (x )是偶函数 D.||f (x )－g (x )是奇函数13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且知其定义域为[a －1,2a ]，则( )A ．a ＝3，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝13，b ＝014．如果奇函数f (x )在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f (x )在[－7，－3]上是( )A ．增函数，最小值为－5B ．增函数，最大值为－5C ．减函数，最小值为－5D ．减函数，最大值为－5 15．函数y ＝－x 2＋|x |的单调减区间为________．16．给定四个函数：①y ＝x 3＋3x ；②y ＝1x (x ＞0)；③y ＝x 3＋1；④y ＝x 2＋1x .其中是奇函数的有________(填序号)．17．定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，求证：f (x )为奇函数．18．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．2.2 指数函数 2．2.1 分数指数幂基础巩固1．下列各式中，对x ∈R ，n ∈N *恒成立的是( ) A.nx n＝x B.n|x |n ＝xC ．(nx )n＝x D.2nx 2n ＝|x |2．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b <c <a C ．b >c >a D ．a <b <c 3．式子3＋5＋3－5的化简结果为 4.614－3338＋40.0625－(3＋π)0的值是( )A ．0 B.12 C ．1 D.325．已知x 2＋x －2＝22且x >1，则x 2－x －2的值为( ) A ．2或－2 B ．－2 C ．2 D. 6 6．计算：2＋25－52＋15－1＝________.7．若4a 2－4a ＋1＝31－2a3，则a 的取值范围是________．8.5＋26＋5－26＝________.9．化简：（12x －14x ＋1）（x 12＋14x ＋1）（x －12x ＋1）＝________.10.⎝⎛⎭⎪⎪⎫36a 94·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63a 94的结果是________． 11．用分数指数幂表示4a 3a a ＝________.12．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________.13．（132-ab-34）·（－a 12b －13）6÷（－3a 23b-14）＝________.14．计算： 33y x ·3x 2y (x >0)．能力提升 15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.16．化简：a 3b 23ab 2a 14b 1243b a(a ，b >0)的结果是________．17．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则4x 2－4x ＋1＋2x 2－4x ＋4＝________. 18．已知a ＝-11n n220132013 (n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n 的值．19．已知a 2x ＝2＋1，求a 3x＋a－3x a x ＋a－x 的值．20．设x ＝3a ＋a 2＋b 3＋3a －a 2＋b 3，求x 3＋3bx －2a 的值．21．化简：-2-222--33-+y x yx －-2-222--33--y x yx .22．化简：2133+1-+a 1a a＋1311++a a－13--13a 1aa.2.2.2 指数函数及其应用基础巩固1．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0，a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)－xD ．y ＝(a －2)a x2．函数f (x )＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)3．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移一个单位长度所得图象与y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x －1D ．e －x ＋14．已知a >b ，且ab ≠0，下列五个不等式：(1)a 2>b 2，(2)2a>2b，(3)1a<1b ，(4) 13a >13b，(5) ⎛⎫ ⎪⎝⎭a 23 <⎛⎫⎪⎝⎭b23中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．若f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 满足( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．1<a < 2 D ．1<|a |< 26．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．7．已知⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围________．8．不等式2x －12x ＋1>35的解集是________．9．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________.10．求函数f (x )＝14⎛⎫⎪⎝⎭x－12⎛⎫ ⎪⎝⎭x＋1，x ∈[－3,2]的值域．11．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8试比较a 、b 、c 的大小．能力提升12．函数y ＝a x －1a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )13.函数f (x )＝a x ＋b 的图象如右图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <014．若函数f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)＜f (3)＜g (0)B ．g (0)＜f (3)＜f (2)C ．f (2)＜g (0)＜f (3)D ．g (0)＜f (2)＜f (3)15．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在(1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.17．若函数f (x )＝的定义域为R ，则a 的取值范围是________．18．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)2．3.1 对 数基础巩固1．(2013·浙江卷)已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．43．)1log )(3－22)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－44．设log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5为( )A ．p 2＋q 2B.15(3p ＋2q )C.3pq 1＋3pqD ．pq5．若y ＝log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则y ＝( )A ．1＋log 25B ．1＋log 52C ．1－log 25D ．1－log 526．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N ＋，则下列各式中恒成立的有________个．①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n ③log a x ＝－log a 1x ④log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y7．已知0<a <1,0<b <1，如果2-b l og (x )a，则x 的取值范围是________．8．x ＝log 23,4y＝83，则x ＋2y 的值为________．9．若f (x )＝12x-a，且f (lg a )＝10，求a 的值．能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．1011．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则2⎛⎫ ⎪⎝⎭a l gb ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．212．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，则( )A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b 13．若2m＝3n＝36，则1m ＋1n ＝________.14．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．15．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________. 16．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64.17．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求原方程的根．18．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求2．3.2 对数函数及其应用基础巩固1．函数f(x)＝11－x＋lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a<c<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c4．函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)的反函数是()A．y＝e x＋1－1(x>0) B．y＝e x－1＋1(x>0)C．y＝e x＋1－1(x∈R) D．y＝e x－1＋1(x∈R)5．若log a3>log b3>0，则()A．0<a<b<1 B．a>b>1 C．0<b<a<1 D．b>a>16．(2013·上海卷)函数y＝log2(x＋2)的定义域是________．7．若函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．8．f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于________．9．f(x)＝12log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．10．已知函数f(x)＝log22x－3log2x＋5，x∈[2,8]，求f(x)的最大值、最小值及相应的x值．能力提升11．若函数y＝log a|x－2|(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为()A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减12．若f(x)＝lg x，则y＝|f(x－1)|的图象是()13．设a>1，m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，p＝log a2a，则m、n、p的大小关系为()A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n14．函数y＝1log0.3(5x－4)的定义域为________．15．已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝2x ，则 f (12log 23)＝________.16．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a ，x <1，log a x ，x ≥1在R 上为增函数，则a 的取值范围为________．17．设f (x )＝|lg x |，若0<a <b <c ，f (a )>f (c )>f (b )，求证：ac <1.18．已知常数a (a >0且a ≠1)，变量x ，y 之间有关系：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若y 有最小值8，求a 的值．2.4 幂 函 数我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝x，y＝x2，y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否为同一类型，性质是否有区别？”基础巩固1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝12- x2．右图所示的是函数y ＝m nx (m ，n ∈N *且m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数且m n <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m ，n 是偶数，且mn >1 3．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象应是( )4．下列函数中与y＝13x定义域相同的函数是()A．y＝1x2＋x B．y＝ln xx C．y＝x ex D．y＝2xx5．下图中的曲线C1与C2分别是函数y＝x p和y＝x q在第一象限内的图象，则一定有()A．q<p<0 B．p<q<0C．q>p>0 D．p>q>06．下列四类函数中，具有性质“对任意x>0，y>0都有f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．二次函数7．T1＝2312⎛⎫⎪⎝⎭，T2＝2325⎛⎫⎪⎝⎭，T3＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，则下列关系式中正确的是()A．T1<T2<T3B．T3<T1<T2 C．T2<T3<T1D．T2<T1<T38．幂函数y＝12x的反函数为________．9．命题：①函数y ＝x 3的图象关于原点成中心对称；②函数y ＝x 4的图象关于y 轴成轴对称；③函数y ＝1x (x ≠0)的图象关于直线y ＝x成轴对称，其中正确命题的个数是__________．10．四个数2，3，32，33从小到大依次排列为____________． 能力提升 11．已知幂函数f (x )＝22m ＋m －x(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则函数g (x )＝2x ＋1f (x )的最小值是________．12．已知幂函数y ＝(m 2－m －1)232m －m －x，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．13．已知f (x )＝1x ＋ax 3＋bx 5＋1，且f (2014)＝m ，则f (－2014)＝________.14．已知0<a <b <1，则a a ，a b ，b a ，b b 中最大者是________，最小者是________15．函数y ＝12121+x2-x的值域为________．16．讨论函数f (x )＝23x的定义域、值域、单调性，奇偶性、最值，并画出大致图象．17．已知点(3，3)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，18在幂函数y ＝g (x )的图象上，试解下列不等式．(1)f (x )>g (x )； (2)f (x )<g (x )．18．已知函数f (x )＝x n －x －nx n ＋x －n (x ∈R ＋)，n 为非零有理数，判断f (x )在(0，＋∞)上的增减性，并说明理由．。
高一数学预科班讲义
高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1.集合的表示方法：① ② ③ 2．关于集合的元素的特征：（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合R {}数数轴上所有点所对应的=R5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。
6. 有限集合、无限集合、空集的定义 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 练习：下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、填空：或用符号∉∈（1） -3 N ； （2）3.14 Q ； （3）31Q ； （4）0 Φ ； （5； （6）21-R ； （7）1 N +； （8）π R 。
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1．1集合的含义及其表示1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64，14组成的集合有7个元素2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个3．下列四个关系中，正确的是()A．a∈{a，b} B．{a}∈{a，b}C．a∉{a} D．a∉{a，b}4．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是()集合A．1个B．2个C．3个D．4个6．集合M中的元素都是正整数，且若a∈M，则6－a∈M，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个7．下列集合中为空集的是()A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{x∈R|x2＋x＋1＝0} D．{0}8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4∈A，则a＝()A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或29．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈P B．a＋b∈QC．a＋b∈M D．a＋b不属于P、Q、M中任意一个10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．11．若a＝n2＋1，n∈N，A＝{x|x＝k2－4k＋5，k∈N}，则a与A 的关系是________．12．集合A ＝{x |x ∈R 且|x －2|≤5}中最小整数为_______．13．一个集合M 中元素m 满足m ∈N ＋，且8－m ∈N ＋，则集合M 的元素个数最多为________．14．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是________(填序号)． ①M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}； ②M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}；③M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{a |a ＝x 2－1，x ∈R}； ④M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}．15．已知集合A ＝{x |x ∈R|(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a 的值．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2014＋b 2013的值．17．设正整数的集合A 满足：“若x ∈A ，则10－x ∈A ”． (1)试写出只有一个元素的集合A ； (2)试写出只有两个元素的集合A ； (3)这样的集合A 至多有多少个元素？18．若数集M满足条件：若a∈M，则1＋a1－a∈M(a≠0，a≠±1)，则集合M中至少有几个元素？1.2子集、全集、补集1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U3．已知集合U＝R，集合M＝{x |x2－4≤0}，则∁U M＝()A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A⊆B，则实数a、b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥35．下列命题正确的序号为________．①空集无子集；②任何一个集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④∁U(∁U A)＝A.6．若全集U＝{x∈R|x2≤4}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}，则∁U A＝________.7．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．8．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若A中元素至少有一个，则a的取值范围是________．9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－111．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}．若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.12．已知：A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________，集合A*B 的所有子集的个数为________．13．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则a 的值为________．14．含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}．求a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012的值．15．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z ，试探求集合M 、N 、P 之间的关系．16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数M 的取值范围．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．18．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．1．3交集、并集1．若集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{1,2,4}则A∪B＝()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B为()A．{x＝1，或y＝2} B．{1,2}C．{(1,2)} D．(1,2)5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R 且x＋y＝1，则A∩B的元素个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B 为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}7．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则pq＝________.8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(∁S A)∩B ＝________.9．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．10．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，那么集合(A∩B)∪C是________．11．满足条件{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________个．12．集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B为()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅13．若A、B、C为三个集合，且有A∪B＝B∩C，则一定有() A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅14．设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则∁U A∪∁U B＝________15．(2013·上海卷)设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．16．已知集合A＝{x||x＋2|<3，x∈R}，集合B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，x∈R}，且A∩B＝(－1，n)，求m和n的值．17．设集合P＝{1,2,3,4}，求同时满足下列三个条件的集合A：(1)A⊆P；(2)若x∈A，则2x∉A；(3)若x∈∁P A，则2x∉∁P A.18．设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．(1)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．2．1.1函数的概念、定义域、值域和图象1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是()2．下列四组中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A．f(x)＝4x4，g(x)＝(4x)4B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x>0)，1(x<0)D．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－23．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x>0，x＋1，x≤0，且f(a)＋f(1)＝0，则a＝() A．－3 B．－1C．1 D．3函数概念与基本初等函数Ⅰ4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ]5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (2)＋f (－2)的值为( )A ．6B ．5C ．4D ．26．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．7．函数f (x )＝11－2x 的定义域是________8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.9．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．10．对于每一个实数x ，设f (x )是y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，则f (x )的最大值是________．11．方程x 2－|x |＋a －1＝0有四个相异实根，求实数a 的取值范围．12．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x13．(2013·全国卷)已知f (x )的定义域为(－3,0)，则函数f (2x －1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H 是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H 与下降时间t (分钟)的函数关系用图象表示只可能是( )15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______.16．已知函数f (3x ＋2)的定义域是(－2,1)，则函数f (x 2)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23的定义域为________17．已知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0，函数f (x )的定义域是(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )＋f (x )的定义域．18．已知m ，n ∈N *，且f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，f (1)＝2.求f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)的值．2．1.2 函数的表示方法1．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．304．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝⊕(⊗)2x x 22的解析式为( ) A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f [f (n ＋5)]，n <10(n ∈N *)，则f (5)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________.9．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0,2)，B (1.0)，C (3,2)三点，求f (x )的解析式．12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋51013．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是( )14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧Cx，x<A，CA，x≥A，A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是()A．75,25 B．75.16C．60,25 D．60,1615．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________，满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 值是________16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x的取值范围为________．17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：(1)P 与时间t 的函数关系式；(2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)2.1.3 函数的简单性质1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是() A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数2．函数y＝1x＋2的大致图象只能是()3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则() A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数4．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34≤f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫－34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝f (a 2－a ＋1) D ．以上关系均不确定6．函数①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |在(－∞，0)上为增函数的有______(填序号)．7．已知f (x )是奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x (1－x )，则x <0时，f (x )＝________.8．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.9．已知函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．10．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0的奇偶性．能力提升11．定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a－x＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( ) A ．2 B.174 C.154D ．a 212．设f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋||g (x )是偶函数B ．f (x )－||g (x )是奇函数 C.||f (x )＋g (x )是偶函数 D.||f (x )－g (x )是奇函数13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且知其定义域为[a －1,2a ]，则( )A ．a ＝3，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝13，b ＝014．如果奇函数f (x )在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f (x )在[－7，－3]上是( )A ．增函数，最小值为－5B ．增函数，最大值为－5C ．减函数，最小值为－5D ．减函数，最大值为－515．函数y ＝－x 2＋|x |的单调减区间为________．16．给定四个函数：①y ＝x 3＋3x ；②y ＝1x (x ＞0)；③y ＝x 3＋1；④y ＝x 2＋1x .其中是奇函数的有________(填序号)．17．定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，求证：f (x )为奇函数．18．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．2.2 指数函数 2．2.1 分数指数幂基础巩固1．下列各式中，对x ∈R ，n ∈N *恒成立的是( ) A.nx n＝x B.n|x |n ＝x C ．(nx )n ＝x D.2n x 2n ＝|x |1D2．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b <c <a C ．b >c >a D ．a <b <c2D 3．式子3＋5＋3－5的化简结果为( )3D 4.614－3338＋40.0625－(3＋π)0的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.324B5．已知x 2＋x －2＝22且x >1，则x 2－x －2的值为( ) A ．2或－2 B ．－2 C ．2 D. 6 5C6．计算：＋25－r(2＋1r(5)－1)＝________.6：－10 7．若4a 2－4a ＋1＝31－2a3，则a 的取值范围是________．7：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 8.5＋26＋5－26＝________.8：239．化简：（12x －14x ＋1）（x 12＋14x ＋1）（x －12x ＋1）＝________. 9：x 2＋x ＋110.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫36a 94·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63a 94的结果是________． 10：a 411．用分数指数幂表示4a 3a a ＝________.11：a 3812．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________.12：2313．（132-ab-34）·（－a 12b －13）6÷（－3a 23b-14）＝________.13：853223-a b14．计算： 33y x ·3x 2y (x >0)．14：原式＝1-133()yx 12123)-(x y＝511+26323-⨯x1132-y＝152663.3-yx能力提升 15.82＋122＋4＋8＋＋1＝________.15：416．化简：a 3b 23ab 2a 14b 1243b a(a ，b >0)的结果是________．16：a b17．x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12，2，则4x 2－4x ＋1＋2x 2－4x ＋4＝________.17：318．已知a ＝-11nn220132013(n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n 的值．18：∵a ＝220132013--11nn，∴a 2＋1＝2420132013-+-22nn＋1＝2211n n 2420132013-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2420132013-⎛⎫ ⎪⎝⎭+11n n＝2220132013-⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭11nn. ∴a 2＋1＋a ＝220132013-+11n n＋220132013--11nn.∴(a 2＋1＋a )n ＝2013.19．已知a 2x ＝2＋1，求a 3x ＋a－3x a x ＋a－x 的值． 19：原式＝()()21x-x x -2x x-xa+a a -+a +aa＝a 2x ＋a －2x －1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1.20．设x ＝3a ＋a 2＋b 3＋3a －a 2＋b 3，求x 3＋3bx －2a 的值． 20：设u ＝3a ＋a 2＋b 3，v ＝3a －a 2＋b 3，则x ＝u ＋v ，u 3＋v 3＝2a ，uv ＝3a 2－a 2＋b 3＝－b .x 3＝(u ＋v )3＝u 3＋u 3＋3uv (u ＋v )＝2a －3bx ， ∴x 3＋3bx －2a ＝0.21．化简：-2-222--33-+y x yx －-2-222--33--y x yx .21：原式＝3322332233-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- - -+y x +yx －3322332233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- - ----y x yx＝223⎛⎫ ⎪⎝⎭-x －2233--y x ＋223-⎛⎫ ⎪⎝⎭y －2222223333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦- - - -++y y x x ＝43- x－23- (xy)＋43- y－43- x－2- 3(xy)－43- y＝－223-(xy)＝－23xyxy .22．化简：2133+1-+a 1a a＋1311++a a－13--13a 1aa.22：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b ＝13a，式子就变得简单些了．令b ＝13a，即a ＝b 3，原式＝b 3－1b 2＋b ＋1＋b 3＋1b ＋1－b 3－b b －1＝()()211+12b-b +b+b b+＋()()1112b+b -b+b-－()()111b b+b-b-＝b －1＋b 2－b ＋1－b 2－b ＝－b ＝－13a .2.2.2 指数函数及其应用基础巩固1．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0，a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)－xD ．y ＝(a －2)a x 1C2．函数f (x )＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2) 2C3．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移一个单位长度所得图象与y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x －1D ．e －x ＋1 3C4．已知a >b ，且ab ≠0，下列五个不等式：(1)a 2>b 2，(2)2a >2b ，(3)1a <1b ，(4) 13a >13b，(5) ⎛⎫ ⎪⎝⎭a 23 <⎛⎫⎪⎝⎭b23中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4C5．若f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 满足( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2C ．1<a < 2D ．1<|a |< 2 5D6．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．6：[－1,1]7．已知⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围________．7：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．不等式2x －12x ＋1>35的解集是________．8：(2，＋∞) 89．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________.9：－1210．求函数f (x )＝14⎛⎫⎪⎝⎭x－12⎛⎫ ⎪⎝⎭x＋1，x ∈[－3,2]的值域．10：令t ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x则14≤t ≤8，原函数化为g (t )＝t 2－t ＋1＝212⎛⎫- ⎪⎝⎭t＋34，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8. ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g (t )≤g (8)，即34≤g (t )≤57.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.11．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8试比较a 、b 、c 的大小．11：∵0＜0.8＜1,1.2＞1，∴0＜0.80.7＜1,0＜0.80.9＜1,1.20.8＞1. 又∵y ＝0.8x 在R 上为减函数， ∴0.80.7＞0.80.9.∴1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b .能力提升12．函数y ＝a x －1a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )12D13.函数f (x )＝a x ＋b 的图象如右图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <013D14．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x，则有()A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)14D15．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．15：(－∞，1]16．若函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.16：1 417．若函数f(x)＝R，则a的取值范围是________．17：[－1,0]18．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)18：从1964年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100(1＋a%)x，将x＝40，y＝500代入得，500＝100(1＋a%)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x ，到2010年，x ＝46，代入上式得，y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．故2010年该物品的价格是635元．2．3.1 对 数 基础巩固1．(2013·浙江卷)已知x 、y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y1D2．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 2D3．)1l og )(3－22)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－43C4．设log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5为( ) A ．p 2＋q 2B.15(3p ＋2q )C.3pq 1＋3pqD ．pq 4C5．若y ＝log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则y ＝( )A ．1＋log 25B ．1＋log 52C ．1－log 25D ．1－log 525B6．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N ＋，则下列各式中恒成立的有________个．①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y6：27．已知0<a <1,0<b <1，如果2 b l og (x )a ，则x 的取值范围是________． 7：(2,3)8．x ＝log 23,4y ＝83，则x ＋2y 的值为________． 8：39．若f (x )＝12x-a ，且f (lg a )＝10，求a 的值．9：由f (lg a )＝10得12l g a -a －12＝10，两边取常用对数得(lg a )2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a )2－lg a －1＝0.∴lg a ＝1或lg a ＝－12，故a ＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝( )A ．1B ．2C ．5D ．1010A11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则2⎛⎫ ⎪⎝⎭a l g b ＝() A.14 B.12 C ．1 D ．211D12．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，则( )A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b 12B13．若2m ＝3n ＝36，则1m ＋1n ＝________.13：1214．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________． 14：log 3415．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________.15：8116．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64. 16 1.17．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求原方程的根． 17：原方程可变形为log 22x ＋b log 2x ＋c ＝0.由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18， ∴c ＝log 214·log 218＝6. 由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，∴b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故原方程为log 22x －5log 2x ＋6＝0.因式分解得(log 2x －2)(log 2x －3)＝0.∴log 2x ＝2或log 2x ＝3，即x ＝4或x ＝8.点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .已知二次项系数为1方程的根为x 1、x 2时，方程可写成(x －x 1)(x －x 2)＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.18．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求18：由lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为2⎛⎫ ⎪⎝⎭x y －5·x y ＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1，又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2，故x y ＝4，∴l x＝l＝l (2)4＝4.2．3.2 对数函数及其应用 基础巩固1．函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：⎩⎨⎧ x ＋1>0，1－x ≠0⇒x >－1且x ≠1.答案：C2．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1，故log 2(3x ＋1)>0. 答案：A3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c解析：∵0<log53<1，∴(log53)2<log53<log54<1，而log45>1.答案：D4．函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)的反函数是()A．y＝e x＋1－1(x>0) B．y＝e x－1＋1(x>0)C．y＝e x＋1－1(x∈R) D．y＝e x－1＋1(x∈R)解析：y＝1＋ln(x－1)⇒ln(x－1)＝y－1⇒x－1＝e y－1，将x，y互换得y＝e x－1＋1(x∈R)．答案：D5．若log a3>log b3>0，则()A．0<a<b<1 B．a>b>1C．0<b<a<1 D．b>a>1答案：D6．(2013·上海卷)函数y＝log2(x＋2)的定义域是________．解析：x＋2>0⇒x>－2.答案：(－2，＋∞)7．若函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．解析：∵x∈[－1,1]，∴12≤2x≤2.即f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由12≤log2x≤2可得：2≤x≤4.答案：[2，4]8．f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于________．解析：当a >1时，log a (1＋1)＝1，a ＝2；当0<a <1时，log a (1＋1)＝0，显然不存在．答案：29．f (x )＝12log (x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．解析：令z (x )＝x 2－ax ＋3a ，则函数z (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增．故a2≤2，即a ≤4. 又z (2)＝22－2a ＋3a >0， ∴a >－4.故a 的取值范围是(－4,4]．10．已知函数f (x )＝log 22x －3log 2x ＋5，x ∈[2,8]，求f (x )的最大值、最小值及相应的x 值．解析：设t ＝log 2x ，x ∈[2,8]，则t ∈[1,3]．所以f (t )＝t 2－3t ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋114，当t ＝32即log 2x ＝32，x ＝22时，f (x )有最小值114.当t ＝3即x ＝8时，f (x )有最大值是5.能力提升11．若函数y ＝log a |x －2|(a >0且a ≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f (x )在区间(2，＋∞)上的单调性为( )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减解析：本题考查复合函数的单调性．因为函数f(x)＝log a|x－2|(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，所以f(x)＝log a(2－x)(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，故0<a<1；函数f(x)＝log a|x－2|(a>0且a≠1)在区间(2，＋∞)上的解析式为f(x)＝log a(x－2)(a>0且a≠1)，故在区间(2，＋∞)上是一个单调递减函数．答案：D12．若f(x)＝lg x，则y＝|f(x－1)|的图象是()答案：A13．设a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a 2a ，则m 、n 、p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：a 2＋1>2a,2a －(a －1)＝a ＋1>0，即a 2＋1>2a >a －1. 答案：B14．函数y ＝1log 0.3(5x －4)的定义域为________．解析：由log 0.3(5x －4)>0且5x －4>0⇒0<5x －4<1，x ＞45⇒45<x <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫45，115．已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝2x ，则 f (12log 23)＝________.答案：－231616．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a ，x <1，log a x ，x ≥1在R 上为增函数，则a 的取值范围为________．解析：设y 1＝(3－a )x －4a ， y 2＝log a x ，则由题意知： ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×1－4a ≤0⇒1<a <3.答案：(1,3)17．设f(x)＝|lg x|，若0<a<b<c，f(a)>f(c)>f(b)，求证：ac<1.证明：如图为f(x)的图象，若a≥1，则y＝f(x)在[1，＋∞)是增函数，由1≤a<b<c⇒f(a)<f(b)<f(c)，与题设矛盾，∴0<a<1.若c≤1，则y＝f(x)在(0,1)是减函数，由a<b<c≤1⇒f(a)>f(b)>f(c)，亦与题设矛盾，∴c>1，由f(a)>f(c)即|lg a|>|lg c|⇒－lg a>lg c⇒lg a＋lg c<0⇒ac<1.18．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：log a x＋3log x a －log x y＝3，若y有最小值8，求a的值．解析：log a x ＋3log x a －log x y ＝3， ∴log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3， log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3， ∴y ＝2233324-3=+a a a (x)x+(x-)l og l og l og aa当log a x ＝32时，232⎛⎫⎪⎝⎭a x-l og ＋34有最小值34，无最大值． ∴y 有最小值时，需a >1， 从而34a是y 的最小值，∴34a＝8，∴a ＝348＝16.2.4 幂 函 数我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x －1等)“底数为自变量，指数为常数”是否为同一类型，性质是否有区别？”基础巩固1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝12- x答案：A 2．右图所示的是函数y＝mnx(m，n∈N*且m，n互质)的图象，则()A．m，n是奇数且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且m n>1C．m是偶数，n是奇数，且mn<1D．m，n是偶数，且m n>1解析：由图象知y＝mnx为偶函数，且m、n互质，∴m是偶数，n是奇数，又由y＝mnx与y＝x图象的位置知mn<1.答案：C3．在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1a的图象应是()答案：B4．下列函数中与y ＝13x定义域相同的函数是( )A ．y ＝1x 2＋xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝2x x答案：D5．下图中的曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x p 和y ＝x q 在第一象限内的图象，则一定有()A ．q <p <0B ．p <q <0。