利用导数的几何意义求切线方程教学提纲
人教版高中数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义-函数的切线方程》
2
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 1．平行于直线 2 x y 4 0 且与抛物线 y x 2 相切于 P( x0 , y0 ) 的切线方程是 .
解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y|x x0 2 x0 2 ．
∴ x0 1 ．
1) ． 0 由此得到切点 P(1， 故切线方程为 y 1 2( x 1) ， 即 2 x y 1
8
当x0 1时，k 3, 切线方程为y 8 3 x 2 y 3x 2 综上所述：切线方程为 y 12 x 16 或 y 3x 2
类型四：过曲线外一点，求切线方程
二、典例分析
1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程为 例 4．过点 (2， x
切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， 切线方程可设为 y k ( x 2) ① y0 f x0 ，② k f
3 2 消去 k , y0 可得：而 x0 8 x0 2 x0 2 x0 4
解：设切点 P x0 , y0 切线斜率为 k ,为则切线方程为 y 8 k x 2 , 3 切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， y0 x0
( x0 1)2 3 5
3 5 5
5
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 2．已知直线 y 2 x 1 与曲线 y x ax b 在 x 1 处相切，
3
则 b 的值为_________.
解析：将 x 1 代入 y 2 x 1 可得： y 3 ，又 f ' x 3x2 a ，
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案编写一份教案，教导导数求切线方程的方法。
教案：用导数求切线方程目标：学生将学会使用导数的概念和公式，以确定曲线上其中一点的切线方程。
先决知识：基本的导数概念和表达式，曲线上特定点的坐标。
教学资源：白板，标记笔或粉笔。
教学步骤：步骤1：引入课题（10分钟）-在黑板上绘制一个简单的曲线，并给出一个特定的点，如(1,2)。
-提问学生是否知道如何在指定点上画出切线。
-引出使用导数来确定切线的概念。
步骤2：回顾导数的定义和公式（15分钟）-回顾导数的定义：斜率的极限，即函数在其中一点的切线的斜率。
-强调导数是函数的斜率。
-回顾导数的公式，如常见函数的导数规则。
步骤3：确定曲线上特定点的斜率（20分钟）-提示学生使用导数来计算曲线上其中一点的斜率。
-给出一个实例，如y=x^2-3x，要求计算曲线在x=2处的斜率。
-引导学生求出函数的导函数，并将x=2代入导函数求得斜率。
-提示学生结果为4步骤4：用斜率和曲线上的点确定切线方程（20分钟）- 介绍切线方程 y = mx + b，其中 m 为斜率，b 为 y 轴截距。
-鼓励学生将切线方程符号化，即用y，x表示。
-引导学生使用已知的点和导数中求得的斜率，确定切线方程的值。
-给出一个示例，如通过前面的例子y=x^2-3x，在曲线上x=2处的点(2,2)。
-学生可以使用点斜式或y-y1=m(x-x1)的形式来确定切线方程。
-提示学生将斜率的值和点的坐标代入方程来求解y轴截距b。
-最后得到切线方程为y=4x-6-强调切线作为曲线上其中一点的局部近似。
步骤5：练习（20分钟）-提供几个练习题给学生，要求他们使用导数求出切线方程。
-鼓励学生注意斜率的正负和切线与曲线的位置关系，以及如何将所有计算步骤整合在一起。
-检查学生的答案，并提供任何额外的指导。
步骤6：总结（15分钟）-回顾课程的重点内容，强调使用导数来确定曲线上其中一点的切线方程。
-将这些概念和技巧与实际问题相关联，如物理和经济学中涉及曲线和切线的应用。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程一、教学目标：⑴知识与技能：理解导数的几何意义.能够应用导数公式及运算法那么进行求导运算.⑵过程与方法：掌握根本初等函数的导数公式及运算法那么求简单函数的导数.(3)情感态度与价值观：通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法.二、重点、难点重点：能用导数的几何意义求切线方程.难点：用导数求切线方程.三、学情分析学生在前面己学习导数的概念，能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。
根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。
四、教学过程：【知识回忆】1.导数的概念函数y=∕(χ)在X=Xo处的导数是_一.2.导数的几何意义函数y=∕Cv)在点Λ0处的导数的几何意义就是曲线,，=/(外在点(勺"(%))处的切线的斜率，即A=.3 .根本初等函数的导数公式：1）假设/（X ）=C∙（C 为常数），那么r （6=；2）假设/（X ）=K,那么 【新课引入】1 .用导数求切线方程的四种常见的类型及解法: 类型一：切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数广⑶，并代入点斜式方程即可.例1曲线y=d-3∕+ι在点（1,一1）处的切线方程为（）A.y=-3x -4B.y=-3x +2C.y=-4x ÷3D.y=4x -5 类型二：斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=Y 的切线方程是（ ）A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+l=0D.2x-y-l=0类型三：过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.例3求过点（2,0）且与曲线y=,相切的直线方程.X∕,ω=；3)假设f(x)=sinx,那么∕,(x)=5)假设f(x)=a x ,那么∕,(x)=；7)假设/U)=log ：,那么∕,(x)=； 4.导数的运算法那么1)[/(x)+g(x)],三 -------------------------- 4)假设f(x)=cosX,那么∕,(x)= 6)假设/(x)=e",那么∕,(x)= 8)假设/(x)=InX ,那么∕,(x)= 2)[f(x)∙g(x)T= --------------------------------- 4)MX)]'=------------------类型四：过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.例4求过曲线y=Y一2］上的点(1,一1)的切线方程.【课堂练习】1.曲线F(X)=；d在点(1.g)处的切线方程为.2.函数/*)=lnx-αr的图像在％=1处的切线与直线2x+y—1=0平行，那么实数。
高中数学教案导数的应用于曲线切线
高中数学教案导数的应用于曲线切线高中数学教案：导数的应用于曲线切线一、简介在高中数学中，导数的应用是一个重要的章节。
导数可以用来描述函数在某一点上的变化率，也可以应用于曲线的切线问题。
本教案旨在通过教学活动和案例分析，使学生能够掌握导数在曲线切线中的应用方法。
二、教学目标1.了解导数的概念和基本性质；2.掌握使用导数求曲线切线的方法；3.能够应用导数求解相关的问题；4.培养学生的分析和解决问题的能力。
三、教学内容1. 导数的概念和性质1.1 导数的定义导数可简单理解为函数的变化率，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
1.2 导数的计算方法通过极限的方法求取导数，可以使用几何方法、函数公式法、导数的四则运算法等。
1.3 导数的基本性质导数具有线性性、乘积法则、复合函数法则等性质，这些性质对于求解曲线切线问题非常重要。
2. 曲线切线的求解方法2.1 切线的定义和性质切线是曲线在某一点上与曲线相切的直线。
2.2 使用导数求解曲线切线通过导数的方法，可以求解曲线上某一点的切线斜率，从而得到切线方程。
2.3 实际问题的曲线切线应用运用导数求解实际问题，如运动问题、增长问题等，获得曲线切线的应用案例。
四、教学方法1. 探究式学习法引导学生通过实际问题和示例进行探索，发现导数和曲线切线之间的关系，并自主归纳总结。
2. 案例分析法通过真实且有趣的案例分析，培养学生应用导数解决实际问题和求解曲线切线的能力。
3. 讨论与合作学习法利用小组合作学习的方式，让学生通过讨论和交流分享各自的思路和答案，提高问题解决的效率。
五、教学步骤1. 导数的概念和性质1.1 导入引导：通过真实场景或问题引导学生思考导数的概念和意义。
1.2 导数定义的讲解：教师通过简单明了的语言解释导数的定义，引导学生理解导数的含义。
1.3 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，结合图形和实例进行演示和讲解。
1.4 导数的基本性质：通过一些简单的例子，向学生介绍导数的基本性质，并引导学生进行推理和归纳。
利用导数研究切线问题说课稿
利用导数研究切线问题现场展示讲稿各位专家，各位老师：大家好！我叫李蔓莉，来自重庆市巴蜀中学高三年级。
感谢《中学数学教学参考》给我机会，让我带来一堂高三“微专题”复习课：《利用导数研究切线问题》。
新课程标准指出：教师的“教”应立足于学生的“学”。
众所周之，高三数学复习时间紧，如何提高学生的课堂兴趣和效率，提高学生的参与度和应用能力，一直是老师们思考和研究的问题。
结合高中数学的学科特点，专题复习法，即“微专题”应运而生。
以下，我将从五个方面来阐述我对本节课的理解与设计。
一：教学内容分析在高考中，函数的切线一直都是一个重点与热点。
这节课，就是建立在已经复习了导数的定义和导数的几何意义的背景下，继续利用导数研究切线问题的一个微专题。
这节课与后面复习的利用导数研究函数的单调性、极值与最值，共同为研究函数的图像奠定基础，用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
二．教学目标设置这节课我设置了如下四个教学目标：1.学生能运用导数正确书写曲线在一点处的切线方程。
2.学生能解决过某点作曲线的切线方程的问题，并能解释两种情况的联系与区别。
3.学生能研究两个函数公切线的问题。
4.通过不同形式的自主学习、体验数学的发现和创造的历程，提高分析与解决问题的能力。
5.提高学生抽象概括、推理论证、数据处理的基本能力。
三．教学问题诊断在教学过程中预计学生有如下问题：问题1：如何用导数书写曲线在一点处的切线；问题2：曲线在一点处的切线与过一点做曲线的切线有何联系与区别；问题3: 已知过一点可以作曲线的多条切线（知道切线条数），如何求解参数的范围问题；问题4：公切线的处理方法。
四：教学重点与难点基于上述分析，本节课教学重点定为掌握书写切线的方法，关键是明确切点；教学难点定为两个函数公切线的处理方法、逆向思维求参数范围问题。
五：教学策略为达成教学目标，我采取如下教学策略：伟大的教育家叶圣陶先生说过“教师之谓教，不在全盘授予，而在相机诱导”。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数表示曲线在某一点的切线斜率的方法。
2. 学会利用导数求出曲线在某一点的切线方程。
3. 能够运用切线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法。
2. 教学难点：（1）导数表示曲线在某一点的切线斜率；（2）求解切线方程过程中的计算问题。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用讲练结合的方法，让学生在实践中掌握导数与切线方程的关系；（2）通过例题分析，引导学生运用切线方程解决实际问题。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示曲线的图形，增强学生直观感受；（2）借助数学软件，进行实时演示，提高教学效果。
四、教学内容与课时安排1. 教学内容：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法；（3）运用切线方程解决实际问题。
2. 课时安排：（1）第一课时：导数的几何意义，切线斜率的求法；（2）第二课时：利用导数求切线方程的方法；（3）第三课时：运用切线方程解决实际问题。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习导数的定义，引导学生回忆导数的意义；（2）提问：曲线在某一点的切线斜率如何表示？2. 知识讲解：（1）讲解导数的几何意义，引导学生理解导数与切线斜率的关系；（2）介绍利用导数求切线方程的方法。
3. 例题讲解：（1）展示例题，引导学生分析问题，明确解题思路；（2）讲解解题过程，强调关键步骤；（3）总结解题方法，提醒注意事项。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结切线方程的求法；（2）强调导数在实际问题中的应用价值。
6. 课后作业：（1）巩固所学知识，提高解题能力；（2）培养学生的实际应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生对导数几何意义和切线方程求法的理解程度，以及他们在例题讲解和课堂练习中的表现。
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程切线是曲线上的一条直线，与曲线相切于其中一点，并且在该点处与曲线有相同的斜率。
利用导数的几何意义来求切线方程是一种常用的方法。
为了更好地理解这个过程，我将按照以下步骤进行解释。
首先，让我们从一元函数的导数开始，然后再扩展到二元函数的情况。
对于一元函数f(x)，假设我们有一个点P(x,f(x))。
我们希望找到曲线f(x)与点P处的切线方程。
步骤1：计算导数首先，我们需要计算函数f(x)的导数。
函数的导数描述了函数在其中一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线的斜率。
因此，导数f'(x)可以告诉我们曲线在点P处的斜率。
步骤2：确定切线的斜率由于切线与曲线在点P处有相同的斜率，我们可以使用f(x)的导数f'(x)来找到切线的斜率。
步骤3：利用点斜式写出切线方程我们已经得到了切线的斜率，接下来我们需要确定切线通过点P(x,f(x))。
我们可以使用点斜式，也就是y-y1=m(x-x1)，其中m是切线的斜率，(x1,y1)是切线通过的点。
将点P代入点斜式方程，我们可以得到切线方程的一般形式。
步骤4：化简切线方程最后，我们需要对切线方程进行化简，以得到更简洁的形式。
根据具体的函数形式和需求，我们可以将切线方程进行进一步的简化。
以上是一元函数的情况，下面我们将拓展到二元函数的情况。
对于二元函数z=f(x,y)，我们希望找到曲面与其中一点P(x,y,f(x,y))处的切平面方程。
步骤1：计算偏导数首先，我们需要计算函数f(x,y)在其中一点P的偏导数。
偏导数告诉我们函数值变化的快慢和方向。
在其中一点P处，偏导数可以提供切平面的法向量方向。
步骤2：确定切平面的法向量由于切平面的法向量与曲面在点P处的法向量相同，我们可以使用偏导数来确定切平面的法向量。
步骤3：利用点法式写出切平面方程我们已经得到了切平面的法向量，接下来我们需要确定切平面通过点P(x,y,f(x,y))。
人教版高中数学《导数几何意义求切线》说课稿
导数应用——求切线问题今天我说的是一节习题课，课的内容是《利用导数的几何意义求切线》，下面我谈一谈对这节课的理解与设计，敬请各位专家批评指导。
这是我的说课过程导读……一、教材分析随着新课标实施深入，导数的应用日益成为高考命题的重点。
而《利用导数的几何意义求切线》与《利用导数求单调性》、《利用导数求极值、最值》并列为导数的三大应用，同时三者之间也存在着层层递进，环环相扣的逻辑关系。
从知识体系来看，它是导数几何意义的升华，它更是导数几何意义的直接体现。
对本章的其他内容起到了承上启下的作用。
二、学情分析利用导数几何意义求解切线方程,这部分内容虽然比较浅显,但知识点繁多，包括导数几何意义，直线求法，方程思想等，由于学生认知能力的局限性,知识结构难免会出现盲点,故而在解题时容易走入误区,产生"会而不对、对而不全"的现象,形成错解、漏解.本节课结合教学实践,剖析学生解题过程中的常见错误,以进一步总结与规范切线的求法。
三、教学目标分析1．知识与技能：深刻理解导数的几何意义；能灵活运用导数的几何意义求曲线的切线及相关问题。
2．过程与方法：通过启发式教学，对问题进行了层层递进的剖析，使学生掌握解决该类问题的关键。
3．情感、态度与价值观：使学生成为探究本课的主人，激发学生学习数学的兴趣，增强学生自主学习的动力。
四、教学重点和难点分析重点：利用导数几何意义求切线难点：学生求解切线关键点的灵活把握。
五、教学方法设计：根据学生的学习心理和认知结构的特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中以计算机多媒体来辅助教学，采用启发式和探究式相结合的教学模式展开教学。
并本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台。
六、教学过程设计设计如下：复习——导入——变式拓展——讨论探究——总结升华——课后巩固与提高。
提问学生：阐述导数的几何意义？（随B 点向A 点靠近，即△×→0，定义域AB 的斜率趋近于A 点的切线的斜率），老师加以补充:A 点处的导数值等于A 点的切线斜率，简记AD k x f =')(0. 老师强调：导数的几何意义①导数就是斜率②点在直线上也在曲线上 这是求解直线斜率的新途径，那么它在解题中有何应用呢？让学生带着这个问题，引入例一：（读题）给学生设计两个问题：（1）结合本题，求解切线还需要哪些条件呢？（2）又从哪里突破呢？（“K 和一点”→一点已知→K=？）学生由复习推得K=?再利用点斜式求出直线方程。
通过导数求切线方程(优课)教案
利用导数求切线方程
(一)教学目标
1.理解导函数的几何意义；
2.掌握“切点已知”类型题目的求切线问题；
3.掌握“切点未知”类型题目的求切线问题。
(二)教学重点、难点
重点：理解导函数的几何意义。
难点：当切点未知时学会求切线方程。
(三)教学过程框图
(四)教学活动过程和情境设计
教学反思：
导数在高中数学教学中十分重要，通过导数，学生更加深入地了解函数及其性质。
其中导数的几何意义是学生求大部分切线问题的关键。
而使用导数的几何意义时，首先应该了解切点的位置，然后根据“切点处的导数等于过该点的切线方程”此一几何性质，可以求出切线斜率，进而得出切线方程。
此专题旨在带领学生复习导数的基本概念和强调导数几何意义，并且指明切点的重要性，帮助学生总结出求切线问题的通用步骤。
学生的瓶颈在于切点未知类型问题上不敢解，即使设出切点坐标，对于如何求解坐标也不够熟练。
本专题编入了几道切点未知类型题目，进行反复训练，从而帮助学生打破瓶颈，落实知识点，建立信心。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数的基本性质。
2. 学会利用导数求曲线的切线方程。
3. 能够运用切线方程解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的几何意义2. 导数的基本性质3. 利用导数求切线方程4. 切线方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的几何意义，利用导数求切线方程。
2. 教学难点：导数的基本性质，切线方程的应用。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法、案例分析法、互动讨论法。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的定义和性质，引导学生思考导数与切线的关系。
2. 讲解导数的几何意义：解释导数表示曲线在某点的切线斜率。
3. 讲解利用导数求切线方程：引导学生利用导数求出曲线的切线斜率，进而写出切线方程。
4. 例题解析：分析具体例子，引导学生步骤性地解决求切线方程的问题。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固求切线方程的方法。
7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思在课后对教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，针对性地调整教学策略。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对用导数求切线方程的掌握程度。
八、教学计划1. 课时安排：2课时。
2. 教学进度：第1课时讲解导数的几何意义和求切线方程的方法，第2课时进行例题解析和课堂练习。
九、教学资源1. 教案、课件、练习题。
2. 相关数学教材、参考书。
十、教学注意事项1. 注意引导学生理解导数与切线的关系。
2. 强调切线方程在实际问题中的应用。
3. 关注学生的学习进度，及时解答疑问。
六、教学案例分析1. 案例一：直线与圆的切线方程问题描述：给定直线y=2x+3和圆(x-1)^2+(y-2)^2=4，求直线与圆的切点坐标及切线方程。
解决方案：利用导数求出直线的切线方程，联立直线和圆的方程，求解切点坐标。
2. 案例二：函数的导数与切线问题描述：给定函数f(x)=x^3-3x+2，求函数在x=1处的切线方程。
《导数的应用——切线问题》教教学设计
《导数的应用——切线问题》教案【教学目标】：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；会用导数解决与切线相关的问题。
2、过程与方法：经历用导数几何意义求切线学习过程，体会导数的几何意义在求曲线切线问题方面的应用。
3、情感态度与价值观： 体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。
【教学重点】：利用导数的几何意义解决切线问题； 【教学难点】：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率及曲线的切线。
【教学过程】 知识回顾：一、求切线1、求过曲线上某个定点处的切线例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程。
（学生自己完成）解 点（1，1）在曲线上．因为y ′＝－1(2x －1)2，在点（1，1）处的切线斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －2＝0总结：求过曲线上某个定点处的切线的步骤： i ）求导函数)('x f ii ）算斜率)(0'x f k ='00()()f x x x f x =函数在处的导数就是:00'0(),())(),y f x P x f x k f x P ==曲线在点（处的切线PT 的斜率。
即在点处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-iii ）由点斜式写出直线方程 2、曲线的切线经过某个定点例2 已知函数f (x )＝x 3－3x (x ∈R ）的图像为曲线C ，曲线C 的切线l 经过点A (2，2)，求切线l 的方程．解 设切点为(t ，t 3－3t )，切线l 的斜率为k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 因为l 过点A (2， 2)，所以2－(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )， 即t 3－3t 2＋4＝0，解得t ＝2或t ＝－1． ①当t ＝2时，l ：9x －y －16＝0； ②当t ＝－1时，l ：y ＝2．综上，切线l 的方程为y ＝2或9x －y －16＝0 总结：求过某个定点的切线的步骤： i ）设切点))(,(00x f xii ）求导函数)('x f ，写出直线方程 iii ）把已知点带入切线方程，解出切点坐标。
导数与切线复习完整讲义
f (1) = −2, f (1) = 0,
即
a + b − 3 = −2, 3a + 2b − 3 = 0,
…………3 分
解得
a = 1, b = 0.
f ( x) = x 3 − 3 x.
3 （3）设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 = x0 − 3 x0 2 f ( x0 ) = 3 x0 −3， 2 − 3. 切线的斜率为 3 x0
数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1．求直线 l 的方程及 m 的值； 解：依题意知：直线 l 是函数 f ( x) = ln x 在点 (1, 0) 处的切线，故其斜率 k = f (1) = = 1 ， 所以直线 l 的方程为 y = x − 1 ． 又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切，所以由
答案：k=0，过点（1，2）的切线问题。 类型六：某直线不是曲线的切线 例 8.若对任意 m∈R，直线 x＋y＋m＝0 都不是曲线 f（x）＝ x − ax 的切线，则实数 a 的取值范围。
3
提示： f '( x)
3x 2 a
1
a
3x 2 1 1
a 1
类型七：切线的应用求最小值
1 ( x 0) 上求一点 P，使 P 到直线 x + 2 y − 4 = 0 的距离最小？ x 1 析: 数形结合，平行于直线 x + 2 y − 4 = 0 且与 y = ( x 0) 相切的切点即为所求。 x
+
0 0 极大值
（0，2） —
2 0 极小值
（2，+∞） +
…………12 分
g (0) 0 g (2) 0
高中数学,导数的几何意义,曲线在某点处的切线方程
高中数学，导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程1. 引言1.1 概述高中数学是我们学习生涯中的一门重要课程，其中导数作为微积分的基本概念之一，在数学和科学领域都有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化规律以及曲线在不同点处的特性。
而曲线在某点处的切线方程，则是通过导数概念所获得的重要结果之一。
1.2 目的本文旨在通过对高中数学中导数和曲线在某点处切线方程这两个关键概念进行深入探讨，帮助读者更全面地理解和运用这些知识。
我们将分析导数的几何意义，揭示其与曲线形状和斜率之间的关系，以及如何求解曲线在某点处的切线方程。
同时，我们还将介绍一些实际应用和案例分析，展示导数和切线方程在物理、经济等领域中的实际应用价值。
1.3 结构本文主要分为五个部分：引言、数学中的导数概念、曲线在某点处的切线方程、实际应用和案例分析、结论与展望。
接下来，我们将逐一介绍这些部分的内容。
在引言中，我们将概述本文的主题、目的以及整体结构，为读者提供一个全面的了解。
2. 数学中的导数概念:2.1 导数定义:导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数表示为f'(x)或者dy/dx。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
2.2 导数的几何意义:几何上，导数可以被解释为函数曲线在某一点上切线的斜率。
换句话说，它代表了曲线在该点处的瞬时变化率。
如果导数为正值，则曲线在该点上升；如果导数为负值，则曲线下降；如果导数为零，则曲线具有拐点。
2.3 导数与变化率的关系:导数也可以被理解为函数值随着自变量（通常是x）变化而改变的速率。
当我们考虑时间作为自变量时，导数描述了物体位置、速度和加速度之间的关系。
例如，在物理学中，速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
总结：在数学中，导数不仅仅是一个单独存在的概念，而且有着广泛的应用。
它能够帮助我们理解函数曲线的特性，如上升下降趋势、拐点位置以及最大值和最小值等。
高中数学教案：利用导数求函数的切线方程
利用导数求函数的切线方程课程目标知识提要利用导数求函数的切线方程利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数在点处的导数；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为．精选例题利用导数求函数的切线方程1. 是抛物线上一点，若过点的切线与直线，垂直，则过点的切线方程为．【答案】【分析】设，则，故，所以，所以切线方程为，即．2. 直线是函数的图象上的点处的切线，则的值是．【答案】3. 过点与曲线相切的直线方程是．【答案】4. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则．【答案】【分析】由题意，在点处的切线的斜率为，又切线过坐标原点，所以．5. 曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】，故曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即．6. 已知正实数，满足，则的最小值等于．【答案】【分析】由，解得：，，，，，令，解得：，令，解得：，函数在递减，在递增，．最小值7. 曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．【答案】；8. 函数的图象在点处的切线方程是．【答案】【分析】因为，所以，，所以，所以的图象在点处的切线方程为，即．9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】10. 若直线是曲线的切线，则的值为．【答案】或【分析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，又，，解得，或，．11. 曲线上的点到直线的距离的最小值是．【答案】【分析】对求导得，令，得，，即与直线平行的曲线的切线的切点坐标是，曲线上任意一点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即．12. 若抛物线与直线相切，则．【答案】【分析】设切点为．易知．由得所以．又在直线上，所以，解得．13. 在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．【答案】【分析】设．因为，．所以．所以，．14. 曲线在点处的切线方程为．【答案】15. 若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是．【答案】16. 两曲线与在交点处的两切线的斜率之积为．【答案】【分析】两曲线与的交点坐标为，所以，．所以．17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，则．【答案】【分析】由得，则，即，即．所以，解得．故．18. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为．【答案】或【分析】的导数为，的导数为，由题可知，所以或．19. 曲线在点处的切线方程为．【答案】20. 已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．【答案】【分析】曲线在点处的切线方程为，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，所以．21. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．【答案】22. 过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为．【答案】【分析】设，则，因为过点的切线方程的斜率为，所以，整理得，又，所以点的横坐标是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以点．23. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则．【答案】24. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则．【答案】【分析】设直线与曲线的切点为，直线和曲线的切点为，根据函数在切点处的导数值就是切线的斜率可得，，解得，，所以，，．25. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则．【答案】26. 若直线与曲线相切，则．【答案】27. 曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】对函数求导为，即曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即．28. 曲线在点处的切线的斜率为．【答案】【分析】因为，故．29. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则．【答案】【分析】，．30. 已知函数，则在点处的线方程为【答案】31. 求曲线的平行于直线的切线方程．【解】设切点为．因为，所以曲线在切点处的切线斜率为．令，得，所以切点的坐标为，于是切线方程是．32. 求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程．【解】设切点为．函数的导数为，故切线的斜率，所以，故，所以，故所求的直线方程为，即．33. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求实数，的值．【解】因为的图象经过点，所以．①由，得．由条件，得，②由①②解得，．(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．【解】由（）知，，令，得或，因为函数在区间上单调递增，所以，或，则有或，所以或．34. 已知函数的图象为曲线．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围；【解】由题意得，则，即曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围是．(2)若曲线存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．【解】设一条切线的斜率为，则由（2）中条件并结合（1）中结论可知，解得或，令或，解得，所以所求的切点横坐标的取值范围是．35. 已知函数及的图象上一点，过点作直线．(1)求使直线和的图象相切，且以为切点的直线方程；【解】由，得，过点且以为切点的直线的斜率为，所以所求直线方程为．(2)求使直线和的图象相切，且切点异于点的直线方程．【解】设过点的直线与切于另一点，则．又直线过点，故其斜率可表示为．又，即，解得（舍去）或，所以所求直线的斜率．故直线的方程为，即．36. 已知抛物线，过原点作的切线，使切点在第一象限，求切线方程·【解】设点的坐标为，则，①，②将①代人②得．因为为切点，所以，所以或．当时，，．当时，，．因为在第一象限，所以切线的斜率，故所求切线方程为．37. 1．已知曲线．(1)求曲线在点处的切线方程；【解】，则．由题意可知点为切点，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)求曲线过点的切线方程．【解】，则．由题意可知点不一定为切点，故设切点为，，曲线过点的切线方程为，所以，．解得或，即切点为或．所以曲线过点的切线方程为或．38. 已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：(1)斜率最小的切线方程；【解】，所以当时，，，所以斜率最小的切线过，又斜率的最小值，所以切线方程为．(2)切线的倾斜角的取值范围．【解】由得，所以．又因为，所以．故的取值范围为．39. 已知曲线：．求曲线在点处的切线方程．【解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为，即．40. 设函数，当曲线斜率最小的切线与直线平行时，求的值．【解】，即当时，函数取得最小值，因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为，所以，即，即．41. 用定义求的导数，并求在处的切线方程．【解】在处的导数即为该点处切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即．42. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；【解】因为，所以在点处的切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，即．(2)求过点的函数的切线方程．【解】设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，即因为点在切线上，所以，即，所以，解得或，所以所求的切线方程为或．43. 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数，，的值．【解】曲线过，，，．，，．联立解①、②、③得，，．44. 求过点作曲线的切线的方程．【解】设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，即．因为切线过点，所以，所以．因此，所求的切线方程为．45. 已知函数．(1)求这个函数的导函数；【解】．(2)求这个函数在点处的切线方程．【解】．所以切点，因为，所以函数在处的切线斜率为．所以该函数在点处的切线方程为．46. 已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线，求实数，，的值．【解】求导可得，，．由题意得方程组解得47. 过函数（，）的图象上任意一点的切线与轴交于点，求证：．【解】，所以，过点的切线为，令，得，因为，所以，所以，即，又．所以．48. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．【解】设双曲线上任意一点．因为，所以点处的切线方程为．令，得．令，得．所以．所以三角形的面积为定值．49. 求函数过点的切线方程．【解】．若切点为，，切线方程为．若不是切点，设切点坐标，则所以切线方程为．50. 求曲线在点的切线方程．【解】点在曲线上，，切线的斜率是，所以切线方程是，即．51. 已知曲线上一点，求过点的切线方程．【分析】要注意此题中的点不一定是切点．【解】设切点为．因为，所以切线斜率为，由直线斜率公式，得，所以，整理得，即，解得或，所以切线斜率或，又切线过点，所以所求切线方程为或．52. 设函数的图象与轴交点为，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．【解】的图象与轴的交点为，的坐标为．又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而．又切线斜率，故在处的导数．而，从而．又函数在处取得极值，，，即，．解得所求函数解析式为．53. 已知函数．(1)若函数在处的切线平行于轴，求实数的值．【解】函数的定义域为，因为，所以，依题意有，即，解得．(2)求函数的单调区间．【解】．当时，因为，所以，所以函数在上是增函数．当时，令，则．因为，所以方程的两根分别为，，因为，所以，又因为，所以．所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数．综上可知，当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．54. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，求，的表达式．【解】两个函数的图象都过点，所以，，即，．又，，由已知，所以．结合前面的方程，解得，．所以，．55. 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式；【答案】【解】方程可化为当时，又，于是解得故(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】【解】设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为即令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值．56. 设直线与曲线相切于点，直线过且垂直于，若交轴于点，又作垂直于轴于，求的长．【解】设，则．由已知，所以，点处的切线的斜率．因为直线垂直于，所以，所以，，令，将代入，可得，易知，所以，．57. 知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，，则为定值．【解】曲线在点处的切线方程为：，即．由得，即，解得或，故．进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和．又，所以，因此有．58. 设定义在上的函数．(1)求的最小值；【解】当且仅当即时，的最小值为．(2)若曲线在点处的切线方程为，求的值．【解】由题意得：由①②得：59. 已知函数，，直线．又．(1)求的值；【解】．由，得，解得．(2)求函数的单调区间；【解】由（1），得，则．当变化时，和的变化如下：所以的增区间为，减区间为．(3)是否存在的值，使得直线既是曲线的切线，又是的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【解】因为直线恒过点．设直线切曲线于点．因为，所以切线方程是，将代入上式，解得．当时，切线方程为；当时，切线方程为．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以是曲线与的公切线．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以不是公切线．综上，当时，是曲线与的公切线．60. 已知曲线．(1)求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；【解】将代入曲线的方程，得，即切点．因为，所以．所以过点的切线方程为，即．(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【解】由可得，解得或．从而求得公共点为和．因此，切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点．课后练习1. 曲线在点处的切线方程为．2. 曲线的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为．3. 已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是．4. 已知函数，则函数的单调递增区间为．5. 若曲线在处的切线斜率为，则实数的值为．6. 曲线在点处的切线方程为．7. 曲线在点处的切线的斜率．8. 若轴是曲线的一条切线，则．9. 曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）10. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是．11. 已知函数，则；函数图象在点处的切线方程为．12. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为．13. 已知偶函数的图象经过点，且在处的切线方程是，则的解析式为．14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．15. 曲线上的点到直线的最短距离为．16. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（填锐角、直角或钝角）．17. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．18. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为．19. 设为曲线上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是．20. 函数在点处的切线方程为．21. 曲线在点处的切线方程为．22. 已知函数的图象在点处的切线为，则函数的图象在点处的切线方程为．23. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为．24. 已知直线是曲线的切线，则的值为．25. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．26. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于，此时点的坐标是．27. 函数的图象在点处的切线方程为．28. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．29. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．30. 函数在处的切线的斜率是．31. 已知，，直线与函数，的图象都相切于点．(1)求直线的方程；(2)求函数的解析式．32. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间．33. 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；；，，记点的坐标为．(1)试求与的关系；(2)求．34. 如图，已知函数及其导数的图象，求的图象在点处的切线方程．35. 已知函数的导数函数为．若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围．36. 已知函数在处取得极值．(1)求实数，的值；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程．37. 若直线是曲线上一点处的切线，求实数．38. 已知函致．(1)当时，求证：曲线与其在点处的切线只有一个公共点；(2)若曲线在点处的切线为，且它们只有一个公共点，求函数的所有极值之和．39. 在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，求的范围．40. 已知直线与曲线相切，分别求的方程，使之满足：(1)与曲线相切于点；(2)经过点；(3)平行于直线．41. 已知曲线上一点．试求：(1)在点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程．42. 设是的最小值点，求曲线在处的切线方程．43. 求函数的导数，并求出及函数在处切线的方程．44. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明：曲线的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．45. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值．46. 已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．47. 设抛物线（为不等于的常数）上的两点，的切线互相垂直．证明：(1)过，的直线必过定点；(2)两切线的交点在某定直线上48. 已知抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线．(1)求；(2)设，是异于且与及都相切的两条直线，，的交点为，求到的距离．49. 已知函数(1)求的单调区间；(2)曲线在点处的切线恒过轴上一个定点，求此定点坐标；(3)若，，曲线在点处的切线与轴的交点为，试比较与的大小，并加以证明．50. 已知曲线和它们交于点，过点的两条切线与轴分别交于两点．求的面积．51. 求函数在点处的切线方程．52. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求＝在上的最大值．53. 已知函数．若曲线与曲线在处的切线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一条直线．54. 已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．55. 求曲线在点处的切线方程．56. 请解答下列问题：(1)求函数在处的切线的方程；(2)过原点作曲线的切线，求切线的方程．57. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．58. 已知函数有极大值，为常数，且．(1)求的值；(2)若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．59. 已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．(1)若在点的法线的斜率为，求点的坐标；(2)设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．60. 已知点在曲线上移动，设点处切线倾斜角为，求倾斜角的取值范围．利用导数求函数的切线方程-出门考姓名成绩1. 已知，则曲线在点处的切线方程为．2. 曲线在点处的切线方程为．3. 已知曲线与的交点为，两曲线在点处的切线分别为，，则切线，及轴所围成的三角形的面积为．4. 曲线在点处的切线倾斜角为．5. 设为奇函数（为常数）图象上一点，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为．6. 曲线通过点，在点处的切线垂直于轴，则的最小值为．7. 过点作曲线的切线，则切线方程为．8. 经过原点且与曲线相切的直线方程是．9. 设函数．若曲线在点处与直线相切，则的值为．10. 函数的图象在点处的切线方程是，则等于．11. 曲线在处的切线方程为．12. 曲线在处的切线的方程为．13. 函数在点，处的切线方程为．14. 已知函数，其中是的导函数，为自然对数的底数，则在点处的切线方程为．15. 函数的图象在点处切线的斜率是．16. 若曲线与在它们的公共点处具有公切线，则．17. 曲线在点处的切线的倾斜角的大小为．18. 曲线在处的切线方程是．19. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．20. 曲线在处的切线方程为．21. 函数在处的切线方程．22. 已知为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是23. 已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为．24. 曲线在点处的切线方程为．25. 点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是．26. 已知直线与曲线相切，则实数．27. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．28. 在平面直角坐标系中，若曲线在（为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数的值为．29. 曲线上一点处切线斜率，则点纵坐标取值范围是．30. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点．若的面积为，则的面积为．31. 已知，是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程．32. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．(1)求直线的方程；(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积．33. 求曲线在点处的切线方程，与过点的切线的方程．34. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求曲线过点处的切线方程．35. 求曲线的斜率等于的切线方程．36. 若直线是函数的图象上点处的切线，求及点坐标．37. 已知曲线，求曲线上的一点处的切线的方程．38. 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．39. 已知函数，，．(1)若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；(2)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(3)对（2）中的和任意的，证明：．40. 已知曲线，点是曲线上的点．(1)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；(3)设与为两个给定的不同的正整数，与是满足(2)中条件的点的坐标，证明：．41. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．42. 曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．43. 设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为．(1)求，的值；(2)当时，求的最值；(3)证明：．44. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程．45. 若曲线的一条切线与直线垂直，求切线的方程．46. 已知曲线上一点．(1)求曲线在点处切线的斜率；(2)求曲线在点处切线的方程．47. 已知函数其中．(1)若曲线（）在处的切线与直线平行，求的值；(2)求函数在区间上的最小值．48. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．(1)已知函数，求证：直线为曲线的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．49. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．50. 已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；(2)若，求的极值；(3)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．51. 已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．(1)求的值和切线的方程；(2)设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．52. 设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(1)求的值；(2)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．53. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．54. 已知为抛物线：上的点，直线过点且与抛物线相切，直线：（）交抛物线于点，交直线于点．(1)求直线方程；(2)设面积为，求；(3)抛物线与直线，围成的平面图形的面积为，求证：的值与的取值无关．55. 已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．56. 已知函数．(1)求曲线过点的切线方程；(2)若过轴上的点可以作曲线的三条切线，求的取值范围．57. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．58. 已知函数，（为常数），直线与函数，的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为，求直线的方程及的值．59. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于．(1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值．60. 已知函数，其导函数的图象过原点．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若存在，使得，求的最大值；。
利用导数研究函数图象的切线问题教案
利用导数研究函数图象的切线问题【教学背景】函数导数的几何意义是，函数图象在某点处的切线斜率是函数在该点处的导数值。
研究切线问题有助于学生提升对导数几何意义的认识，形成数形结合的思想方法。
更进一步的，研究满足给定条件下函数对应曲线切线的个数问题，实际上是研究方程的根问题和函数的零点问题，这是利用导数研究函数性质的重要内容，有助于提升逻辑推理、数学运算等数学素养。
因此，设计以切线问题为线索展开导数的复习。
【学情分析】学生在高三第一轮复习后，能够利用导数求解简单的切线问题、掌握利用导数研究函数单调性、极值、最值、零点等性质的知识和方法，能够解决不等式证明问题、恒成立等常见问题，有利用导数研究函数性质和图象的意识。
在复杂的函数导数问题中，往往需要对问题先作分析，通过适当转化确定要研究的函数对象。
而学生习惯于“看见函数就求导”，在遇到困难后又难以解决。
表现出分析问题、推理论证能力不足。
【教学目标】1.能够利用导数知识求函数的切线方程、判断函数的零点个数。
2.经历对切线问题分析、转化、解决的过程，体会数形结合、分析转化、函数方程的数学思想方法。
3.通过探究研讨活动，培养建立模型、逻辑推理、数学运算等数学素养。
【重难点】教学重点：利用导数求函数图象的切线方程，利用导数研究函数的零点个数。
教学难点：建立方程，转化问题，判断零点个数。
【教学设计】一、 知识回顾 练习1：已知函数2()f x x =，经过点(1,0)P 且与曲线()y f x =相切的直线方程是__________设计意图：引导学生回顾以下两个问题，引入切线问题的研究。
1.切线与导数的关系是什么？2.过某点作曲线()y f x =切线，求解切线方程的一般方法是什么？学生活动预设：直接回答问题，可以求导或者联立计算判别式。
二、切线问题探究探究1.已知函数3()f x x =，过点(1,)P t 存在几条直线与曲线()y f x =相切？请说明理由。
问题解决思路：1.设切点00(,)M x y ，满足的方程是什么？2.如何判断方程根的个数？3.切点个数是切线条数吗？4.求解切线个数问题的本质是什么？学生活动预设：作函数图象直观感知结果，通过求导代数证明。
第3课利用导数求切线方程
第3课利用导数求切线方程镇江一中高三一轮复习教学案利用导数求切线方程一、教学目标:1、理解并掌握函数在某点处的导数的几何意义;2、注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，会求曲线在某点处的切线方程及过((某点的切线方程;3、能够转化题中与曲线的切线相关的条件(即曲线的切线问题转化为导数问题)，进而求出函数的解析式并研究其相关性质.二、知识梳理:1、函数在点处的导数的几何意义是__________________________________;2、求曲线在点处的切线方程的步骤:第一步:求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率;第二步:在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为:.三、典型例题:2x1y,例1:(1)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________. 24 3(2)曲线在点处的切线的倾斜角为_________. (13)，yxx,,，242(3)设曲线在点(1，)处的切线与直线平行，则_____. aa,2x,y,6,0y,axx，1y,(4)设曲线在点处的切线与直线垂直，则a,________. (32)，axy，，,10x,11yx,，2(5)已知函数yfx,()的图象在点Mf(1(1))，处的切线方程是，则2,ff(1)(1)，,___________.好问的人，只做了五分种的愚人;耻于发问的人，终身为愚人。
镇江一中高三一轮复习教学案143例2:已知曲线. yx,，33(1)求曲线在点处的切线方程; 2,4，，(2)求曲线过点的切线方程; 2,4，，(3)求斜率为4的曲线的切线方程.1532[变式]:若存在过点(1,0)的直线与曲线y,x和y,ax，x,9都相切，则a 4等于__________.143y,x，x(1,)例3:(1)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 33 bfxax(),,(2)设函数，曲线yfx,()在点(2(2))，f处的切线方程为x74120xy,,,.fx()(?)求的解析式;好问的人，只做了五分种的愚人;耻于发问的人，终身为愚人。
苏教版高中数学选修2-2 利用导数求函数的切线方程 教案
利用导数求函数的切线方程课程目标知识提要利用导数求函数的切线方程利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数在点处的导数；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为．精选例题利用导数求函数的切线方程1. 是抛物线上一点，若过点的切线与直线，垂直，则过点的切线方程为．【答案】【分析】设，则，故，所以，所以切线方程为，即．2. 直线是函数的图象上的点处的切线，则的值是．【答案】3. 过点与曲线相切的直线方程是．【答案】4. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则．【答案】【分析】由题意，在点处的切线的斜率为，又切线过坐标原点，所以．5. 曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】，故曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即．6. 已知正实数，满足，则的最小值等于．【答案】【分析】由，解得：，，，，，令，解得：，令，解得：，函数在递减，在递增，．最小值7. 曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．【答案】；8. 函数的图象在点处的切线方程是．【答案】【分析】因为，所以，，所以，所以的图象在点处的切线方程为，即．9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】10. 若直线是曲线的切线，则的值为．【答案】或【分析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，又，，解得，或，．11. 曲线上的点到直线的距离的最小值是．【答案】【分析】对求导得，令，得，，即与直线平行的曲线的切线的切点坐标是，曲线上任意一点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即．12. 若抛物线与直线相切，则．【答案】【分析】设切点为．易知．由得所以．又在直线上，所以，解得．13. 在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．【答案】【分析】设．因为，．所以．所以，．14. 曲线在点处的切线方程为．【答案】15. 若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是．【答案】16. 两曲线与在交点处的两切线的斜率之积为．【答案】【分析】两曲线与的交点坐标为，所以，．所以．17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，则．【答案】【分析】由得，则，即，即．所以，解得．故．18. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为．【答案】或【分析】的导数为，的导数为，由题可知，所以或．19. 曲线在点处的切线方程为．【答案】20. 已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．【答案】【分析】曲线在点处的切线方程为，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，所以．21. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．【答案】22. 过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为．【答案】【分析】设，则，因为过点的切线方程的斜率为，所以，整理得，又，所以点的横坐标是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以点．23. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则．【答案】24. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则．【答案】【分析】设直线与曲线的切点为，直线和曲线的切点为，根据函数在切点处的导数值就是切线的斜率可得，，解得，，所以，，．25. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则．【答案】26. 若直线与曲线相切，则．【答案】27. 曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】对函数求导为，即曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即．28. 曲线在点处的切线的斜率为．【答案】【分析】因为，故．29. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则．【答案】【分析】，．30. 已知函数，则在点处的线方程为【答案】31. 求曲线的平行于直线的切线方程．【解】设切点为．因为，所以曲线在切点处的切线斜率为．令，得，所以切点的坐标为，于是切线方程是．32. 求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程．【解】设切点为．函数的导数为，故切线的斜率，所以，故，所以，故所求的直线方程为，即．33. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求实数，的值．【解】因为的图象经过点，所以．①由，得．由条件，得，②由①②解得，．(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．【解】由（）知，，令，得或，因为函数在区间上单调递增，所以，或，则有或，所以或．34. 已知函数的图象为曲线．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围；【解】由题意得，则，即曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围是．(2)若曲线存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．【解】设一条切线的斜率为，则由（2）中条件并结合（1）中结论可知，解得或，令或，解得，所以所求的切点横坐标的取值范围是．35. 已知函数及的图象上一点，过点作直线．(1)求使直线和的图象相切，且以为切点的直线方程；【解】由，得，过点且以为切点的直线的斜率为，所以所求直线方程为．(2)求使直线和的图象相切，且切点异于点的直线方程．【解】设过点的直线与切于另一点，则．又直线过点，故其斜率可表示为．又，即，解得（舍去）或，所以所求直线的斜率．故直线的方程为，即．36. 已知抛物线，过原点作的切线，使切点在第一象限，求切线方程·【解】设点的坐标为，则，①，②将①代人②得．因为为切点，所以，所以或．当时，，．当时，，．因为在第一象限，所以切线的斜率，故所求切线方程为．37. 1．已知曲线．(1)求曲线在点处的切线方程；【解】，则．由题意可知点为切点，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)求曲线过点的切线方程．【解】，则．由题意可知点不一定为切点，故设切点为，，曲线过点的切线方程为，所以，．解得或，即切点为或．所以曲线过点的切线方程为或．38. 已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：(1)斜率最小的切线方程；【解】，所以当时，，，所以斜率最小的切线过，又斜率的最小值，所以切线方程为．(2)切线的倾斜角的取值范围．【解】由得，所以．又因为，所以．故的取值范围为．39. 已知曲线：．求曲线在点处的切线方程．【解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为，即．40. 设函数，当曲线斜率最小的切线与直线平行时，求的值．【解】，即当时，函数取得最小值，因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为，所以，即，即．41. 用定义求的导数，并求在处的切线方程．【解】在处的导数即为该点处切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即．42. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；【解】因为，所以在点处的切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，即．(2)求过点的函数的切线方程．【解】设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，即因为点在切线上，所以，即，所以，解得或，所以所求的切线方程为或．43. 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数，，的值．【解】曲线过，，，．，，．联立解①、②、③得，，．44. 求过点作曲线的切线的方程．【解】设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，即．因为切线过点，所以，所以．因此，所求的切线方程为．45. 已知函数．(1)求这个函数的导函数；【解】．(2)求这个函数在点处的切线方程．【解】．所以切点，因为，所以函数在处的切线斜率为．所以该函数在点处的切线方程为．46. 已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线，求实数，，的值．【解】求导可得，，．由题意得方程组解得47. 过函数（，）的图象上任意一点的切线与轴交于点，求证：．【解】，所以，过点的切线为，令，得，因为，所以，所以，即，又．所以．48. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．【解】设双曲线上任意一点．因为，所以点处的切线方程为．令，得．令，得．所以．所以三角形的面积为定值．49. 求函数过点的切线方程．【解】．若切点为，，切线方程为．若不是切点，设切点坐标，则所以切线方程为．50. 求曲线在点的切线方程．【解】点在曲线上，，切线的斜率是，所以切线方程是，即．51. 已知曲线上一点，求过点的切线方程．【分析】要注意此题中的点不一定是切点．【解】设切点为．因为，所以切线斜率为，由直线斜率公式，得，所以，整理得，即，解得或，所以切线斜率或，又切线过点，所以所求切线方程为或．52. 设函数的图象与轴交点为，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．【解】的图象与轴的交点为，的坐标为．又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而．又切线斜率，故在处的导数．而，从而．又函数在处取得极值，，，即，．解得所求函数解析式为．53. 已知函数．(1)若函数在处的切线平行于轴，求实数的值．【解】函数的定义域为，因为，所以，依题意有，即，解得．(2)求函数的单调区间．【解】．当时，因为，所以，所以函数在上是增函数．当时，令，则．因为，所以方程的两根分别为，，因为，所以，又因为，所以．所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数．综上可知，当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．54. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，求，的表达式．【解】两个函数的图象都过点，所以，，即，．又，，由已知，所以．结合前面的方程，解得，．所以，．55. 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式；【答案】【解】方程可化为当时，又，于是解得故(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】【解】设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为即令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值．56. 设直线与曲线相切于点，直线过且垂直于，若交轴于点，又作垂直于轴于，求的长．【解】设，则．由已知，所以，点处的切线的斜率．因为直线垂直于，所以，又直线过点，所以，，令，将代入，可得，易知，所以，．57. 知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，，则为定值．【解】曲线在点处的切线方程为：，即．由得，即，解得或，故．进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和．又，所以，因此有．58. 设定义在上的函数．(1)求的最小值；【解】当且仅当即时，的最小值为．(2)若曲线在点处的切线方程为，求的值．【解】由题意得：由①②得：59. 已知函数，，直线．又．(1)求的值；【解】．由，得，解得．(2)求函数的单调区间；【解】由（1），得，则．当变化时，和的变化如下：所以的增区间为，减区间为．(3)是否存在的值，使得直线既是曲线的切线，又是的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【解】因为直线恒过点．设直线切曲线于点．因为，所以切线方程是，将代入上式，解得．当时，切线方程为；当时，切线方程为．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以是曲线与的公切线．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以不是公切线．综上，当时，是曲线与的公切线．60. 已知曲线．(1)求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；【解】将代入曲线的方程，得，即切点．因为，所以．所以过点的切线方程为，即．(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【解】由可得，解得或．从而求得公共点为和．因此，切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点．课后练习1. 曲线在点处的切线方程为．2. 曲线的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为．3. 已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是．4. 已知函数，则函数的单调递增区间为．5. 若曲线在处的切线斜率为，则实数的值为．6. 曲线在点处的切线方程为．7. 曲线在点处的切线的斜率．8. 若轴是曲线的一条切线，则．9. 曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）10. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是．11. 已知函数，则；函数图象在点处的切线方程为．12. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为．13. 已知偶函数的图象经过点，且在处的切线方程是，则的解析式为．14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．15. 曲线上的点到直线的最短距离为．16. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（填锐角、直角或钝角）．17. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．18. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为．19. 设为曲线上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是．20. 函数在点处的切线方程为．21. 曲线在点处的切线方程为．22. 已知函数的图象在点处的切线为，则函数的图象在点处的切线方程为．23. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为．24. 已知直线是曲线的切线，则的值为．25. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．26. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于，此时点的坐标是．27. 函数的图象在点处的切线方程为．28. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．29. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．30. 函数在处的切线的斜率是．31. 已知，，直线与函数，的图象都相切于点．(1)求直线的方程；(2)求函数的解析式．32. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间．33. 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；；，，记点的坐标为．(1)试求与的关系；(2)求．34. 如图，已知函数及其导数的图象，求的图象在点处的切线方程．35. 已知函数的导数函数为．若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围．36. 已知函数在处取得极值．(1)求实数，的值；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程．37. 若直线是曲线上一点处的切线，求实数．38. 已知函致．(1)当时，求证：曲线与其在点处的切线只有一个公共点；(2)若曲线在点处的切线为，且它们只有一个公共点，求函数的所有极值之和．39. 在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，求的范围．40. 已知直线与曲线相切，分别求的方程，使之满足：(1)与曲线相切于点；(2)经过点；(3)平行于直线．41. 已知曲线上一点．试求：(1)在点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程．42. 设是的最小值点，求曲线在处的切线方程．43. 求函数的导数，并求出及函数在处切线的方程．44. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明：曲线的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．45. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值．46. 已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．47. 设抛物线（为不等于的常数）上的两点，的切线互相垂直．证明：(1)过，的直线必过定点；(2)两切线的交点在某定直线上48. 已知抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线．(1)求；(2)设，是异于且与及都相切的两条直线，，的交点为，求到的距离．49. 已知函数(1)求的单调区间；(2)曲线在点处的切线恒过轴上一个定点，求此定点坐标；(3)若，，曲线在点处的切线与轴的交点为，试比较与的大小，并加以证明．50. 已知曲线和它们交于点，过点的两条切线与轴分别交于两点．求的面积．51. 求函数在点处的切线方程．52. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求＝在上的最大值．53. 已知函数．若曲线与曲线在处的切线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一条直线．54. 已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．55. 求曲线在点处的切线方程．56. 请解答下列问题：(1)求函数在处的切线的方程；(2)过原点作曲线的切线，求切线的方程．57. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．58. 已知函数有极大值，为常数，且．(1)求的值；(2)若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．59. 已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．(1)若在点的法线的斜率为，求点的坐标；(2)设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．60. 已知点在曲线上移动，设点处切线倾斜角为，求倾斜角的取值范围．利用导数求函数的切线方程-出门考姓名成绩1. 已知，则曲线在点处的切线方程为．2. 曲线在点处的切线方程为．3. 已知曲线与的交点为，两曲线在点处的切线分别为，，则切线，及轴所围成的三角形的面积为．4. 曲线在点处的切线倾斜角为．5. 设为奇函数（为常数）图象上一点，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为．6. 曲线通过点，在点处的切线垂直于轴，则的最小值为．7. 过点作曲线的切线，则切线方程为．8. 经过原点且与曲线相切的直线方程是．9. 设函数．若曲线在点处与直线相切，则的值为．10. 函数的图象在点处的切线方程是，则等于．11. 曲线在处的切线方程为．12. 曲线在处的切线的方程为．13. 函数在点，处的切线方程为．14. 已知函数，其中是的导函数，为自然对数的底数，则在点处的切线方程为．15. 函数的图象在点处切线的斜率是．16. 若曲线与在它们的公共点处具有公切线，则．17. 曲线在点处的切线的倾斜角的大小为．18. 曲线在处的切线方程是．19. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．20. 曲线在处的切线方程为．21. 函数在处的切线方程．22. 已知为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是23. 已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为．24. 曲线在点处的切线方程为．25. 点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是．26. 已知直线与曲线相切，则实数．27. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．28. 在平面直角坐标系中，若曲线在（为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数的值为．29. 曲线上一点处切线斜率，则点纵坐标取值范围是．30. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点．若的面积为，则的面积为．31. 已知，是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程．32. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．(1)求直线的方程；(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积．33. 求曲线在点处的切线方程，与过点的切线的方程．34. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求曲线过点处的切线方程．35. 求曲线的斜率等于的切线方程．36. 若直线是函数的图象上点处的切线，求及点坐标．37. 已知曲线，求曲线上的一点处的切线的方程．38. 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．39. 已知函数，，．(1)若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；(2)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(3)对（2）中的和任意的，证明：．40. 已知曲线，点是曲线上的点．(1)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；(3)设与为两个给定的不同的正整数，与是满足(2)中条件的点的坐标，证明：．41. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．42. 曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．43. 设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为．(1)求，的值；(2)当时，求的最值；(3)证明：．44. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程．45. 若曲线的一条切线与直线垂直，求切线的方程．46. 已知曲线上一点．(1)求曲线在点处切线的斜率；(2)求曲线在点处切线的方程．47. 已知函数其中．(1)若曲线（）在处的切线与直线平行，求的值；(2)求函数在区间上的最小值．48. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．(1)已知函数，求证：直线为曲线的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．49. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．50. 已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；(2)若，求的极值；(3)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．51. 已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．(1)求的值和切线的方程；(2)设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．52. 设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(1)求的值；(2)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．53. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．54. 已知为抛物线：上的点，直线过点且与抛物线相切，直线：（）交抛物线于点，交直线于点．(1)求直线方程；(2)设面积为，求；(3)抛物线与直线，围成的平面图形的面积为，求证：的值与的取值无关．55. 已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．56. 已知函数．(1)求曲线过点的切线方程；(2)若过轴上的点可以作曲线的三条切线，求的取值范围．57. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．58. 已知函数，（为常数），直线与函数，的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为，求直线的方程及的值．59. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于．(1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值．60. 已知函数，其导函数的图象过原点．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若存在，使得，求的最大值；。
导数的几何意义之切线方程
导数的几何意义之求切线方程考点一：求切线方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y =f (x )在点x =x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)·(x -x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．考点二：求切线方程曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】1.曲线y =e xx +1在点1,e2 处的切线方程为( )A.y =e 4x B.y =e2xC.y =e 4x +e 4D.y =e 2x +3e4【答案】C【详解】设曲线y =e x x +1在点1,e2 处的切线方程为y -e2=k x -1 ，因为y =e xx +1，所以y=e x x +1 -e x x +1 2=xe x x +12，所以k =y x =1=e4所以y -e 2=e4x -1所以曲线y =e x x +1在点1,e 2 处的切线方程为y =e4x+e4.故选：C 2.若曲线y =x -12在点a ,a-12处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )A.64B.32C.16D.8【答案】A【详解】求导数可得y=-12x -32，所以在点a ,a -12 处的切线方程为：y =-12a -32x +32a -12，令x =0，得y =32a -12；令y =0，得x =3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×32a -12×3a =94a 12=18，解得a =64故选A ．3.已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3 B.2C.1D.12【答案】A【详解】设切点为x 0,y 0 ，x 0>0，由题知：y =12x -3x，所以12x 0-3x 0=12，解得：x 0=3或x 0=-2(舍去).故选：A4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0，b )处的切线方程是x -y +1=0，则( )A.a =1，b =1 B.a =-1，b =1C.a =1，b =-1 D.a =-1，b =-1【答案】A【详解】由题意可知k =y |x =0=(2x +a )|x =0=a =1，又(0，b )在切线上，解得：b =1.故选：A .5.设曲线y =x +1x -1在点(3，2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =A.2 B.12C.-12D.-2【答案】D【详解】y =x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,y |x=3=-2(3-1)2=-12,直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2,故选D6.若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0，则x0>0，函数y=x的导数为y =12x，则直线l的斜率k=12x0，设直线l的方程为y-x0=12x0x-x0，即x-2x0y+x0=0，由于直线l与圆x2+y2=15相切，则x01+4x0=15，两边平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-1 5(舍)，则直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.故选：D.7.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】-∞,-4∪0,+∞【详解】∵y=(x+a)e x，∴y =(x+1+a)e x，设切点为x0,y0,则y0=x0+ae x0,切线斜率k=x0+1+ae x0,切线方程为：y-x0+ae x0=x0+1+ae x0x-x0,∵切线过原点，∴-x0+ae x0=x0+1+ae x0-x0,整理得：x20+ax0-a=0,∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是-∞,-4∪0,+∞,故答案为：-∞,-4∪0,+∞8.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.由y =1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，故答案为4．9.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点Ρ处的切线垂直，则Ρ的坐标为．【答案】(1，1)【详解】设P(x0,y0).对y=ex求导得y′=ex，令x=0，得曲线y=ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y=1x(x>0)上点P处的切线斜率为-1，由y x=x0=-1x02=-1，得x0=1，则y0=1，所以P的坐标为(1，1)．10.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】y=1e x，y=-1e x【解析】法一：当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y=1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；因为y=ln x 是偶函数，图象为：所以当x<0时的切线，只需找到y=1e x关于y轴的对称直线y=-1e x即可.法二：因为y=ln x ，当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y =1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y =1x，所以y |x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-e x+e，即y=-1e x；故答案为：y=1e x；y=-1e x.【趁热打铁】一、单选题1.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( )A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-23.曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=04.曲线y=x2x-1在点(1，1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.曲线y=x3-2x+4在点1，3处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.135°7.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e8.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( ).A.2eB.eC.2D.19.曲线y=e x在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e2B.2e2C.e2D.e2210.曲线y=13x3+x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.13C.29D.2311.曲线y=e-2x+1在点0,2处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D.112.曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e2B.4e2C.2e2D.e213.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.-9B.-3C.9D.1514.已知曲线y=x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.415.已知曲线y=ae x+x ln x在点1,ae处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-116.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则α的值为( )A.1B.2C.-1D.-217.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=( )A.0B.1C.2D.318.已知曲线y=x4+ax2+1在点-1，a+2处切线的斜率为8，a=( )A.9B.6C.-9D.-619.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=020.设曲线y=ax2在点1,a处的切线与直线2x-y-6 =0平行，则a=( )A.-1B.1C.-12D.12二、填空题21.曲线y=cos x-x2在点0,1处的切线方程为.22.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为．23.曲线y=xe x+2x+1在点(0，1)处的切线方程为．24.曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为．25.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为26.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.27.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16，则a=. 28.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是．29.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a=．30.已知函数y=f x 的图像在点M1，f1处的切线方程是y=12x+2，则f1 +f 1 =．31.直线y=12x+b是曲线y=ln x,x>0的一条切线，则实数b=．32.已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y= ax2+a+2x+1相切,则a=．33.曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=．34.已知a∈R，设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为.35.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．36.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=．【求导训练】1.求下列函数的导数：(1)y=x2+1x+x；(2)y=x sin x-x ln x；(3)y=sin x ln xx；(4)y=x x-11x+1；(5)y=e x tan x；(6)y=x2-1x+ln x；(7)y=x sin x+e x ln x-2；(8)y=x-x2x ln x；(9)y=3x+23；(10)y=sin2x；(11)y=4x-6；(12)y=ln4x+5．2.求下列函数的导数：(1)y=e-x+22x+15；(2)y=cos3x-1-ln-2x-1；(3)y=sin2x+cos2x；(4)y=2x-1x．3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=x+110；(2)y=e3x+1；(3)y=sin-2x+5；(4)y=ln3x-1；(5)y=32x-1；(6)y=tan-x+1．4.求下列函数的导数：(1)y=x2+3x+3e x+1(2)y=cos(2x+1)x(3)y=ln x1+2x(4)y=(x+1)(x+2)(x+3)(5)y=x ln x+x2-x+2(6)y=ln2+x3+e x-1e x5.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=12x-12；(2)y=sin-x+1；(3)y=e-2x+1；(4)y=cos x+3．6.求下列函数的导数：(1)y=2x+310；(2)y=e2x+1；(3)y=ln3x-2．7.求下列函数的导数：(1)y=13x-1；(2)y=cos(1-2x)．8.求下列函数的导数：(1)y=(2x-3)3；(2)y=ln(5x+1)．9.求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=ln(2x-1)．10.计算下列函数y=f x 的导数，其中：(1)f x =π2+sin-x；(2)f x =3x-1x3；(3)f x =12x-53-4x；(4)f x =cos xx2．。
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利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程
江南中教研组
曲线y f（x）在点x0的导数f（X。
）就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：
1.
曲线y f （x）在点x0的导数f（X。
）就是曲线在该点的切线的斜
率，有k f （X o）;
2. 切点在曲线y f （x）上，有y o f (X o)
3. 切点在切线上，有切线方程y y o k(x x o)
最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线y 2x2 1在x=1的切线方程为 ___________ ；
解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；
由题意可知，切点的坐标为（1, 5）又T y 4x，二切线的斜率为4, •••切线的方程为y — 5 = 4（x —1），即y=4x + 1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线y x2的一条切线的斜率是4，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐
标，进而求切线方程；
设切点的坐标为（X°,X。
2）
I y 2x，•切线的斜率为2x。
，• 2x o= —4，
• X。
2 •切点的坐标为（一2，4）
•切线的方程为y =—4x —4
解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线y x2的切线过点（0, 4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐
标，进而求切线方程；
设切点坐标为P x o，y o ,
••• y 2x
则在点P处的切线方程为：
y y o 2x o x x o
•••过点P 0,4，且y。
x；
4 ( x0) 2x o 0 X。
x o 2 或x o 2
当x o 2时，切点为(2, 4)，此时切线方程为y=—4x + 4，
当x o 2时，切点为P 2, 4，此时切线方程为y=4x + 4，
•••过点(0，4)的切线方程为：y=—4x + 4，y=4x + 4。
由于切点坐标、切线斜率均可用切点横坐标表示，故可轻松利用待定系
数法，但要充分利用三个等量关系。
还有一种题型求过曲线上一点的切线的方程。
例四：求曲线y 3x x3过点P 2, 2的切线方程
解析：同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解。
如：显然点P在曲线y 3x x3上, f (x) 3 3x2 f (2) 9 过点P (2，-2)的切线方程为：y 2 9x2，即9x y 16 o
由于点P2, 2恰好在曲线y f(x)上，因此很容易得到一条切线方程，即以点P为切点的切线。
本题求的是“经过点P的切线”，而不是“点P处的切线”，因而不排除有其他切线经过P。
因此本题切线应有两条，一条以点P为切点，另一条不以点P为切点但经过点P，故解法应同例三；
设切点坐标为P x o，y o，则在点P处的切线方程为：
y y o 3 3x f x X。
•••过点P 2, 2，且y o 3x o X o
2 3x o x；
3 3x[ 2 x o
整理，得：x；3x0 4 0 即：x0 1 x0 2 $ 0 x0 1 或x0 2 当X0 1时，切点为1, 2，此时切线方程为y 2 ,
当X0 2时，切点为P 2, 2，此时切线方程为9x y 16 0
•••过点P 2, 2的切线方程为：y 2或9x y 16 0
当点P在曲线y f(x)上，要求过点P的切线时，一定要注意可能存在两种情况：一是点P本身即为切点；二是切线是以曲线y f (x)上的另一点Q为切点，但该切线恰好过点P。
解题时勿混淆了“在P点处的切线”与“过 5 点的切线”两概念，否则会因概念理解不够深刻而“大意失荆州”。
利用导数的几何意义求切线方程关键是要把握三个等量关系，充分利用数学思想方法，同时也要注意题目的条件。