第4章 随机过程的非线性变换

RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )] RXY ( u )h(u)du
h( )
h( )
0

R X ( ) * h ( )


RYX (t1 , t2 )
0
0


0
RX ( v u)h(u)h(v)dudv
R
X
h( )
dx h( x) H ()e j x d


如果h(x)不满足绝对可积的条件，可用拉普拉斯变换
H ( s) h( x)e sx dx

h( x )
2 j j
1
j
λ为常数。
H (s)e sx ds
1.一般关系
RY ( ) E{h[ X (t )]h[ X (t)]}





e j1x1 j2 x2 f X ( x1 ,x2 , )dx1dx2



e j1x1 j2 x2 X (1 , 2 , )d1d2
4.2 非线性系统分析的变换法
如果h(x)满足绝对可积的条件，
H () h( x)e
j x
E[ X1 X 2 X 3 X 4 ] E[ X1 X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1 X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1 X 4 ]E[ X 2 X 3 ]
X1 X 2 X (t) X 3 X 4 X (t )
E{ X (t ) X (t )} E[ X (t )]E[ X (t )] E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )]
fW ( ) f X ( x)
X (t ) 0 X (t) 0
dx U (x) ( ) P W (t) 0 d x
1 fW ( ) ( ) f X ( ) U( ) 2
1 1 1 2 E[W (t)] E[ X (t )] E[ X (t ) ] 0 2 2 2 2
全波线性检波器的相关函数
dRZ ( ) 2 dRX ( )

RX ( )
0
RX ( ) 2arcsin( R ( ) / R (0)) dRZ ( ) X X dRX ( ) dRX ( ) 0 dRX ( )
RX ( )
RZ ( ) RZ ( ) |RX ( )0
随机过程的非线性变换
x ( n)
y h( x ) y ( n)
已知：输入的统计特性和系统的非线性变换关系 求解：输出的统计特性 研究对象：无惰性时不变非线性系统 分析方法： 直接分析法；
变换法；
级数展开法。
随机过程的非线性变换
4.1 直接分析法
4.2 变换法 4.3 级数展开法
4.1 直接分析法



h( x1 )h( x2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2
若输入X(t)二阶严平稳， 则输出是广义平稳的。
对于比于线性系统
平稳性讨论
对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从-加 入(双侧随机信号) 则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；
Rw ( ) E[W (t )W (t )] ？？
4.1 直接分析法
X (t )
y h( x )
Y (t )
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的概率密度和统计特征 方法：直接根据随机变量的函数理论求解 特点：简单、直观
缺点：如果h(x)较复杂，求解困难。
4.2 非线性系统分析的变换法






h( x1 )h( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2




h( x1 )h( x2 )

1 4 2


e j1x1 j2 x2 X (1 , 2 , )d1d2 dx1dx2

1 4 2



z2 2 f Z (z) exp 2 U ( z ) 2 2
全波线性检波
均值：
E[ Z (t )]

2
z2 2z E[ Z (t )] zf Z (z)dz exp 2 dz 0 2 2 或 x2 x E[ Z (t )] x f x ( x)dx 2 exp 2 dx 0 2 2 自相关函数：
(k) d h( X 1 ) (k) h ( X1 )= dX 1k
全波线性检波器的相关函数
Z (t) X (t) RZ ( ) E[ X (t ) X (t) ]
d X (t ) d X (t) dRZ ( ) E dRX ( ) dX (t ) dX (t)
d (k) RY ( ) (k) (k) h ( x ) h ( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2 1 (k) dRX ( )
d (k) RY ( ) (k) (k) E h ( X ) h ( X 2 ) 1 (k) dRX ( )
随机过程的变换
随机过程
| |
输出
线性放大器
线性滤波器 ……
平方律检波 全波线性检波
……
线性系统
非线性系统
随机过程的变换
基本定理
直接分析法
冲击响应法 频谱法
线 性 变 换
分析方法
典型应用：限带过程
最佳线性滤波器
系统设计
非 线 性 变 换
变换法
匹配滤波器
广义匹配滤波器
级数展开法
第四章 随机过程的非线性变换
特征函数： X (, t) E[e
1 f X ( x,t ) 2
j X (t)
] e j x f X ( x,t )dx





X ( , t)e j x d
X (1 , 2 , )
f X ( x1 ,x2 , )= 1 4 2

X (1 , 2 , )



h( x1 )h( x2 )e j1x1 j2 x2 dx1dx2 d 1d 2
H (1 ) H (2 )
2.Prince定理
假定输入为零均值平稳正态随机过程，输出过 程为Y(t)=h[X(t)],则输出的自相关函数满足：
GY () 2 4 () 2GX () GX ()
全波线性检波
Z (t) X (t)
X (t) 为零均值平稳正态随机过程，方差为 2
一维概率密度：
f Z (z) [ f X ( x1 ) J1 ]x1 z [ f X ( x2 ) J 2 ]x2 z U (z) [ f X ( z ) f X ( z )]U ( z ) 2 f X ( z )U ( z )
) R X Y ( ) * h ( ) RY (
( ) * h ( ) * h ( )
典型的非线性系统：三类检波器
平方律检波器 全波线性检波器 半波线性检波器
y x2
z x
x x w 2
平方律检波器
假定输入为零均值，方差为 2 的平稳正态随机过程 输出概率密度：



RZ ( ) E[Z(t ) Z( )] E[ X (t ) X ( ) ] =



x1 x2 f X ( x1 , x2 , )dx1dx2 =？？
半波线性检波器
X (t) X (t) W (t) 2
X (t ) W (t) 0
y h( x) 不单调
fY ( y, t ) J1
其中
J1 dx1 / dy J 2 dx2 / dy
4.1 直接分析法
二维概率密度
Y (t1 ) h[X(t1 )]
Y (t 2 ) h[X(t 2 )]
fY ( y1, y2 , t1, t2 ) J f X ( x1, x2 , t1, t 2 )
x1 y1 x2 y1 x1 y2 x2 y2
J
4.1 直接分析法
2. 均值和自相关函数
E[Y (t )] E{h[ X (t )]} h( x) f X ( x, t )dx


RY (t1 , t 2 ) E[Y(t1 ) Y(t 2 )] E{h[X(t1 )]h[X(t 2 )]}
fY ( y) J1 f X ( x1 ) J2 f X ( x2 )
fY ( y, t ) J1 f X ( x1, t ) J2 f X ( x2 , t ) 1 1 fY ( y ) f X ( y ) f X ( y ) 2 y 2 y
y exp 2 U ( y ) 2 y 2 1
mY (t ) mX h(u)du
0

m X H (0)

Y
RX
R ( t , t ) E { X ( t ) Y ( t )} R (R XY X ( v)h(v)dv ( ) ) R ( )
R XY ( ) h( )
XY
RX ( )
d X 1 dX 1 X 0 X 0
d (k) RY ( ) (k) (k) E h ( X ) h ( X 2 ) 1 (k) dRX ( )
dRZ ( ) 1 P[ X (t ) X (t) 0] (1) P[ X (t ) X (t) 0] dRX ( ) 1 P[ X (t ) X (t) 0] 习题：P30:1.13 2 1 sin (R X ( ) / R X (0)) 1 P[ X (t ) X (t) 0] 2
平方律检波器
假定输入为零均值，方差为 2 的平稳正态随机过程 输出均值：
E[ y(t)] E{X (t )} RX (0)
2
2
自相关函数：
RY ( ) E{Y (t )Y (t )} E{X 2 (t ) X 2 (t )}
平方律检波器
利用P91 2.38,Xk零均值正态随机变量
2 arcsin( RX ( ) / RX (0))
0

dRX ( )
RZ ( ) |RX ( )0 E[ X (t ) X (t) ] E[ X (t ) ]E[ X (t) ]
E[ X (t) ] 2



2

2
全波线性检波器的相关函数
RZ ( )
X (t )
y h( x )
Y (t )
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的概率密度和数字特征 方法：直接根据随机变量的函数理论求解
4.1 直接分析法
1. 概率密度
X (t )
y h( x )
Y (t )
y h( x) 单调
fY ( y, t ) J f X (x, t)
2 2 2 2
2 2 RY ( ) RX (0) 2RX ( )
平方律检波器
输出产生了新的频率分量
2 2 RY ( ) RX (0) 2RX ( )
GY () 2 4 () 2GX () GX ()
平方律检波器
输出产生了新的频率分量
2 2 RY ( ) RX (0) 2RX ( )
RX ( )
2 arcsin( RX / 2 )
0

dRX
2

2
2 2

( sin cos )
sin1 ( RX ( ) / RX (0))
RZ (0) 2
半波线性检波器的相关函数