2019年高三文科数学小题狂练：解三角形专练(解析附后)

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【2019届最新模拟试题汇编】(文科三角函数与解三角形专题)V3.0(解析版)

鹰鹰鹰鹰
鹰
，所以， × Ι
中，由余弦定理，
,由正弦定理， Ι sin鹰∠ 礀Ι
鹰
sin Ι 鹰
sin∠
梦
∠
鹰
鹰
cos ,即,所以 Ι
sin
，以为
Ι .
∠
cos Ι cos绀【点睛】
Ι
∠
, 所以， sin∠ 礀=cos绀
Ι ,
∠
Ι
鹰sin鹰 ∠
鹰所以∠
Ι
sin Ι cos , 所以
,所以 sin∠
Ι
也可以由角分线定理，再用余弦定理解
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 5．已知（1）求角（2）若分别为三个内角的对边,鹰，求 cos Ι 的面积. cos cos
【答案】（1）【解析】【分析】
2019 届全国各地最新模拟试题汇集(文科三角函数与解三角形专题)V3.0
1．已知函数绀Ι礀 Ι 鹰（1）求函数绀Ι礀 Ι 鹰（2）在中，
Ι Ι 分别是 Ι Ι鹰鹰Fra bibliotek鹰鹰Ι
鹰鹰 Ι 的对称轴；对称中心；单调递增区间；所对的边，当，对称中心为绀；（2） . Ι 鹰，a Ι 鹰时，求
π
绀 π礀
绀
，∴sin Ι Ιπ 绀
鹰
∴sin Ι sin绀π Ι sin cos 由正弦定理：
cos cos Ι
sin
Ι
礀礀 Ι sin绀
鹰
×鹰
礀
×
鹰
Ι
鹰

文科数学解三角形专题高考题练习附答案

文科数学解三角形专题高考题练习附答案解三角形专题练习1、在b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ?=- ??，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。

2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 3、在ABC ?中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积.4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=r u r r满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 9、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。

专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)

专题06 三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在的图像大致为[,]-ππA．B．C．D ．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A ，再()f x 注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．B ．33C ．D ．【答案】D【解析】=tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒tan 45tan 301tan45tan 30︒+︒-︒︒故选D.2==+【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−，则=14bc A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，2224a b c -=由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=，故选A ．3462b c ∴=⨯=【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=4π43πsin x ωωωA ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sin α=π2A ．B 15C D 【答案】B【解析】，，2sin 2cos 21αα=+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭ sin 0,α>，又，，又，2sin cos αα∴=22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5αα∴==sin 0α>sin α∴=故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为()2sin sin2f x x x =-A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由，()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=得或，sin 0x =cos 1x =，．[]0,2πx ∈ 0π2πx ∴=、或在的零点个数是3，()f x ∴[]0,2π故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x 的取值范围可求得零点.()0f x =sin 0x =cos 1x =7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x 为偶函数时，对任意的恒成立，即，()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得对任意的恒成立，从而.从而“”是cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =“为偶函数”的充分必要条件，故选C.()f x 【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数为偶函数()f x 等价于恒成立进行判断.()=()f x f x -8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是APB ∠锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则，22AOB APB ∠=∠=β所以，22242OABS ⨯==扇形ββ因为，且都已确定，ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形AOBOAB S S △扇形，所以当最大时，阴影部分面积最大.ABP S △观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为=4β+S △POB + S △POA =4β+ABP AOBOAB S S S S=+-△△阴影扇形|OP ||OB |sin （π−β）+|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B.1212【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），()f x ()y f x =所得图象对应的函数为.若，则()g x 2π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．2CD ．22【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；()f x (0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=∵的最小正周期为π，∴，()f x 2ππ,T ∴==ω2ω=∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又，π(4g =2A =∴，()2sin 2f x x =3π(8f =故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质()g x 逐步得出的值即可.,,A ωϕ10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+，23172(cos 48x =-++，当时，，1cos 1x -≤≤ ∴cos 1x =min ()4f x =-故函数的最小值为．()f x 4-【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而cos x 1cos 1x -≤≤简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知ABC △b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】3π4【解析】由正弦定理，得．，∴sin sin sin cos 0B A A B +=(0,),(0,)A B ∈π∈π sin 0,A ∴≠，即，sin cos 0B B +=tan 1B =-3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边(0,π)为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】由，得，()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=解得，或.tan 2α=1tan 3α=-πππsin 2sin 2cos cos 2sin444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)222222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭，222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭当时，上式tan 2α=2222212221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当时，上式=1tan 3α=-22112()1()2233[1()13⨯-+---+综上，π2sin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原tan α问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若ABC △90ABC ∠=︒4AB =3BC =D AC ，则___________，___________．45BDC ∠=︒BD =cos ABD ∠=【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,ABD △sin sin AB BD ADB BAC =∠∠3π4,4AB ADB =∠=，，所以5AC =34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.ABD △14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知ABC △．sinsin 2A Ca b A +=（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.33()【解析】（1）由题设及正弦定理得．sin sinsin sin 2A CA B A +=因为sin A 0，所以．≠sinsin 2A CB +=由，可得，故．180A B C ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222BB B=因为，故，因此B =60°．cos02B ≠1sin 22B =（2）由题设及（1）知△ABC 的面积．ABC S =△由正弦定理得．()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故．122a <<ABC S <<△因此，△ABC 面积的取值范围是．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.V ABC 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，，cos B =．–2b c =12-（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．【答案】（1），；（27b =5c =33【解析】（1）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-．2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-因为，2b c =+所以．2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-解得．5c =所以．7b =（2）由得．1cos 2B =-sin B =由正弦定理得．sin sin a A B b ==在中，．ABC △B C A +=π-所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=.3sin 4sin c B a C =（1）求的值；cos B （2）求的值.sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.14-357+【解析】（1）在中，由正弦定理，得，ABC △sin sin b cB C =sin sin b C c B =又由，得，即．3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =又因为，得到，．2b c a +=43b a =23c a =由余弦定理可得．222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅（2）由（1）可得，从而，215sin 1cos B B =-=15sin 22sin cos B B B ==，故227cos 2cos sin 8B B B =-=-．71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =，求c 的值；23（2）若，求的值．sin cos 2A B ab =sin()2B π+【答案】（1）2c=【解析】（1）因为，23,3a c b B ===由余弦定理，得，即.222cos 2a c b B ac +-=23=213c =所以3c =（2）因为，sin cos 2A Bab =由正弦定理，得，所以.sin sin a b A B =cos sin 2B B b b =cos 2sin B B =从而，即，故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为，所以，从而.sin 0B >cos 2sin 0B B =>25cos B =因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作，垂足为E .AE BD ⊥由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，.'6, 8DE BE AC AE CD =====因为PB ⊥AB ，所以.84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.12154cos 5BD PB PBD ===∠因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知，10AD ==从而，所以∠BAD 为锐角.2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，1P 1PB AB ⊥1P 此时；11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.2222156321CQ QA AC =-=-=综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离321PQ =PD +CD +CQ =17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.321解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为.34因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为，43-直线PB 的方程为.42533y x =--所以P （−13，9），.15PB ==因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：.36(44)4y x x =-+-……在线段AD 上取点M （3，），因为，15422221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，此时（−13，9）；1P 1PB AB ⊥1P 1P 当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由，得a =Q （9），此时，线段QA 15(4)AQ a ==>4+4+上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （，9）时，d 最小，此时P ，Q两点间的距离4+.4(13)17PQ =+--=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为（百米）.17+【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数.()sin ,f x x x =∈R （1）已知函数是偶函数，求的值；[0,2),θ∈π()f x θ+θ（2）求函数的值域．22[([(124y f x f x ππ=+++【答案】（1）或；（2）．π2θ=3π233[1-【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x 都有()sin()f x x θθ+=+，sin()sin()x x θθ+=-+即，sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+故，2sin cos 0x θ=所以．cos 0θ=又，因此或．[0,2π)θ∈π2θ=3π2（2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎭．π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因此，函数的值域是．[1+【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与α轴正半轴重合，终边经过点，则x (1)P cos 2=αAB ．13C ．D ．13-【答案】B【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，αx (21)P ，所以，26cos 21-==+α因此.故选B.21cos 22cos 13=-=αα【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即α(21)P -，cos α可得出结果.21．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知，，则4cos 5=-α()π,0∈-απtan 4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA ．B ．717C ．D ．17-7-【答案】C【解析】，∴，()4cos ,π,05a =-∈- αππ,2⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭α，33sin ,tan 54∴=-=αα则.故选C ．πtan 1tan 41tan -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ααα31143714-==-+【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求tan α，然后根据两角差的正切公式即可求cos α解．22．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数的相π()sin()6f x x =+ω(0)>ω邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则π2π6()g x ()g x =A ．B ．πsin()3x +πsin(23x +C ．D ．cos 2x πcos(23x +【答案】C【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，π()sin()(0)6f x x =+>ωωπ2π22T =πT =所以，解得，2ππ=ω2=ω将函数的图象向左平移个单位，π()sin(26f x x =+π6得到的图象，故选C ．ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．23．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数，()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为π0,0,2A >><ωϕ()()0f a x f a x +--=aA ．B ．π12π6C ．D ．π4π3【答案】B【解析】由图象易知，，，即，且，即，2A =(0)1f =2sin 1=ϕπ2<ϕ6π=ϕ由图可知，所以，即，11π(0,12f =11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω122,11k k -=∈Z ω又由图可知，周期，且，11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω0>ω所以由五点作图法可知，2,2k ==ω所以函数，π()2sin(2)6f x x =+因为，所以函数关于对称，()()0f a x f a x +--=()f x x a =即有，所以可得，ππ2π,62a k k +=+∈Z ππ,26k a k =+∈Z 所以的最小正值为.a π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由,,A ϕω()f x易知的图象关于对称，即可求得a 的值.()()0f a x f a x +--=()f x x a =24．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在中，，，分别为角，ABC △a b c A ，的对边，若的面积为，且，则B C ABC △S ()22a b c =+-πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1BCD【答案】D【解析】由，得，()2243S a b c =+-222143sin 22ab C a b c ab =+-+∵，∴，2222cos a b c ab C +-=3sin 2cos 2ab C ab C ab =+，即，则，cos 1C C -=π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62C ⎛⎫-=⎪⎝⎭∵，∴，∴，即，0πC <<ππ5π666C -<-<ππ66C -=π3C =则，πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3212622++=故选D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利C 用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．C 25．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，，的对边ABC △A B C 分别为，，，若，则角a b c 1a =cos )cos 0A C C b A ++=A =A ．B ．2π3π3C ．D ．π65π6【答案】D【解析】∵，1a=cos )cos 0A C C bA ++=，cos cos cos A C C A bA +=-，)cos A C B b A+==-，sin cos B b A =-，3sin sin cos A B B A =-∵，即，sin 0B >3cos A A =-3tan A =∵，∴.故选D ．(0,π)A ∈5π6A =【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本，再由正弦定理得到3cos (3)cos 0A C C b A ++=3sin cos a B b A =-，结合，即可求得的值．3tan A =(0,π)A ∈A 26．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在中，、、分别是内角、ABC △a b c A 、.BC 3cos sin (cos cos )b A A aC c A =+（1）求角的大小；A （2）若，，求的周长．a =ABC △ABC △【答案】（1）；（2）.π3A =【解析】（1，cos sin (cos cos )A A a C c A =+∴由正弦定理可得：，cos sin (sin cos sin cos )B A A A C C A =+sin sin()sin sin A A C A B =+=，cos B A sin sin A B =∵，sin 0B≠∴，tan A =∵，(0,π)A ∈∴．π3A =（2）∵，，，π3A =a =ABC △1353sin 2bc A ∴==∴，5bc =∴由余弦定理可得：，2222cos a b c bc A =+-即，解得：222212()3()15b c bc b c bc b c =+-=+-=+-33b c +=∴的周长为.ABC △3333a b c ++=+=【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1，由3cos sin sin B A A B =，可求，结合，可求．sin 0B ≠tan 3A =(0,π)A ∈π3A =（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的5bc =b c +=ABC △周长的值．27．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数.1(=cos cos )+2f x x x x -）（1）求的值；π(3f（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．π[0,]2x ∈()2c f x c <<+c 【答案】（1）1；（2）.1(1,)2--【解析】（1）21(cos cos +2f x x x x -12cos 22x x -，π=sin(2)6x -所以.π(13f =（2）因为，π02x ≤≤所以，ππ5π2666x -≤-≤所以.1sin 226x π-≤-≤（）1由不等式恒成立，得，解得.()2c f x c <<+1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩112c -<<-所以实数的取值范围为.c 1(1,)2--【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；（2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组，求解不()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦等式组可得c 的取值范围.。

2019高考数学二轮(文科)小题专项练习(四) 解析版

∴ab＝25，
又＝＝＝，
∴a＝5，b＝5，
∴a＋b＝5＋5，故选A.
11．A∵absinC＝20sinB，
∴abc＝20b，
即ac＝20，
∴b2＝a2＋c2－2accosB＝41－40×＝36，
∴b＝6，故选A.
12．D由题可知∵AC＝2，
sinA＝sin＝cosα＝，
sinB＝sin＝cos2α＝2cos2α－1＝，
在△ABC中，sinB≠0，sinA≠0，∴2cosA＋＝0，
∴cosA＝－，
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝3c2＋c2＋2c2·＝7c2，
∴＝，故选D.
10．A∵tan＝，∴tanA＝，∴sinA＝，cosA＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
∵S△ABC＝25，∴S△ABC＝absinC＝ab＝25，
7．B由＝sin2θ，
得＝2sinθcosθ，
即2(cosθ＋sinθ)＝2sinθcosθ，
∴1＋2sinθcosθ＝3sin2θcos2θ，
∴sinθcosθ＝－，或sinθcosθ＝1(舍)，
∴sin2θ＝－，故选B.
8．D由sinα－cosα＝，
得sin2α－2sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋3cos2α，
小题专项练习(四)三角恒等变换
与正余弦定理os2＝＝＝，故选C.
2．B∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝＝，
∴tanα＝，
∴tan＝＝－，故选B.
3．D由正弦定理得＝，
∴sinB＝，
又>2，B∈(0，π)，∴B＝或B＝，
∴cosB＝或cosB＝－，故选D.
4．B∵α∈，

2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形(题型专练)含解析

1.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A2.在△ABC中，若A=，B=，BC=3，则AC=()A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由正弦定理可得:=，即有AC===2.3.在△ABC中，若a2+b2<c2，则△A BC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】C【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2，因为a2+b2<c2，所以2abcosC<0，所以C为钝角，△ABC是钝角三角形.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=()A. B. C. D.【答案】C【解析】将已知等式利用正弦定理化简得:=，即c2-b2=ac-a2，所以a 2+c 2-b 2=ac ，所以cosB==.因为B 为三角形的内角，所以B=.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B9．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】C【解析】由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．10．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A ．11．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A ．32B ．34C ．32或 3 D ．32或34【答案】D【解析】由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，即1＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.总上之，△ABC 的面积等于34或32. 12．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A ．310B ．1010C ．55 D ．31010【答案】D【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC＝23a ，∴AC ＝⎝⎛⎭⎫a 32＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010，故选D ．13．如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3-6-1 【答案】314．已知△ABC 中，AB ＝3，BC＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．【答案】32【解析】由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.(2)因为C=180°-(∠BAC+B)，∠BAC=60°，所以sinC=sin(∠BAC+B)=cosB+sinB ，由(1)知2sinB=sinC ，所以tanB=，即B=30°.21.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2，且b=2，求a 和c 的值.22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点(a ，b)在直线x(sinA-sinB)+ysi nB=csinC 上. (1)求角C 的值.(2)若2cos 2-2sin 2=，且A<B ，求.【解析】(1)将(a ，b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC ，由正弦定理==得:a(a-b)+b 2=c 2，即a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得c osC==，因为0<C<π，所以C=. 24.在△ABC 中，a=3，b=2，B=2A. (1)求cosA 的值. (2)求c 的值.25．已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ． (1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积．【解析】(1)∵2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ， ∴2sin A ·cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，即2sin A ·cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ． 4分又0＜A ＜π，∴sin A ≠0. ∴2cos A ＝1，cos A ＝12.6分(2)由(1)知cos A ＝12，∴sin A ＝32.∵△ABC 内接于单位圆，asin A＝2R ＝2，∴a ＝2sin A ＝ 3. 8分由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1， 10分∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34.12分26．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(si n B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．【解析】(1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sin B sin C 5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分27．如图3-6-3，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC ．图3-6-3(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3， sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.28．如图3-7-19，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P 的仰角60°，若山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】(1)在△BCP 中，tan ∠PBC ＝PCBC⇒BC ＝2.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠BCA ⇒2sin 15°＝ABsin 45°，所以AB ＝2(3＋1)，船的航行速度是每小时6(3＋1)千米． (2)在△BCD 中，由余弦定理得：CD ＝6，在△BCD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DBC ＝CB sin ∠CDB ⇒sin ∠CDB ＝22，所以，山顶位于D 处南偏东135°.29．如图3-7-17，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3-7-17(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，9分即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 12分。

2019高考真题名校模拟(文数)解三角形(含答案)

4.4解三角形五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一正、余弦定理1．（2018课标全国lI ．7,5分）在△ABC 中，,1,552cos==BC C ==AB AC 则,5( ) 24.A 30.B 29.C 52.D2．（2016课标全国I ．4，5分）△ABC 的内角A ．B ．C 的对边分别为a ，b ，c ．已知,32cos ,2,5===A c a 则b= ( )2.A3.B 2.C 3.D3．（2017课标全国I ．11,5分）△ABC 的内角A ，B ．C 的对边分别为a ．b ．c ．已知)cos (sin sin sin C C A B -+2,20===c a ，则C=( )12.πA 6.πB 4.πC 3.πD4．（2018课标全国l ，16，5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ．b ，c ，已知,sin 4sin sin C B mas B c C b =+,8222=-+a c b 则△ABC 的面积为_________ 5．（2017课标全国Ⅲ．15,5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ．b ．c ．已知,3,6,60===c b C 则A=_________6．（2016课标全国II ,15，5分）△ABC 的内角A ．B ，C 的对边分别为a ，b ．c ，若,1,135cos ,54cos ===a C A 则b=_________7．（2017课标全国Ⅱ．16，5分）△ABC 的内角A ．B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若,c o s c o s co s 2A c C a B b += 则B=_________8．（2014大纲全国．18，12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知,31tan ,cos 2cos 3==A A c C a 求B ．9．(2015课标I ．17,12分．0.452）已知a ．b ，c 分别为△ABC 内角A ．B ，C 的对边，.sin sin 2sin 2C A B =;cos ,)1(B b a 求若=(2)设,900=B 且,2=a 求△ABC 的面积．考点二解三角形及其应用1．(2018课标全国III ,11,5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为,4222cb a -+ 则C=( )2.πA 3.πB 4.πC 6.πD2．（2016课标全国Ⅲ，9，5分）在△ABC 中，BC B ,4π=边上的高等于=A BC sin ,31则( )103.A 1010.B 55.C 10103.D 3．（2014课标I ．16,5分．0.372）如图，为测量山高MN ．选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角C MAN o ,60=∠点的仰角45=∠CAB 以及;75=∠MAC 从C 点测得.60 =∠MCA 已知山高,100m BC =则山高=MN ________.m4．(2015课标II.17.12分．0.139)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分.2,DC BD BAC =∠ (1)求;sin sin CB∠∠(2)若,60=∠BAC 求.B ∠5．（2014课标II ．17，12分，0.154）四边形ABCD 的内角A 与C 互补．.2,3,14.====DA CD BC B (1)求C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积．B 组自主命题·省（区、市）卷题组考点一正、余弦定理1．（2016山东．8,5分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知⋅-==)sin 1(2,22A b a c b 则A= ( )43.πA 3.πB 4.πC 6.πD 2．（2015广东，5,5分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ．c ．若23cos ,32,2===A c a且b<c ．则b=( )3.A 22.B 2.C 3.D3．（2014江西，5，5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ．b ，c ．若3a=2b ．则AAB 222s i n s i ns i n2-的值为 ( )91.A 31.B 1.C 27.D 4．（2018浙江．13,6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,60,2,7,,, ===A b a c b a 若．则=B sin ______=c ,_______5．（2015北京．11,5分）在△ABC 中，,326,3π=∠==A b a 则∠B=________ 6．（2015重庆．13,5分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,sin 2sin 3,41cos ,2,,,B A C a c b a ===且则c=_________ 7．（2016浙江．16,14分）在△ABC 中，内角A ．B ．C 所对的边分别为a ，b ．c ．已知.cos 2B a c b =+ (1)证明：;2B A = (2)若,32cos =B 求C cos 的值．8．（2014陕西，16，12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：);sin(2sin sin C A C A +=+ (2)若a ，b ，c 成等比数列，且B a c cos ,2求=的值．考点二解三角形及其应用1．（2018北京．14,5分）若△ABC 的面积为),(43222b c a -+且∠C 为钝角，则∠B=______ac,的取值范围是________2．（2015湖北．15,5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北o75的方向上，仰角为,30则此山的高度CD=_______ m ．3．（2017浙江．14，6分）已知.2,4,===∆BC AC AB ABC 点D 为AB 延长线上一点，,2=BD 连接CD ．则△BDC 的面积是_________=∠BDC cos ,_________4．（2018天津．16,13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知⋅=)6cos(sin πB a A b(1)求角B 的大小；(2)设,3,2==c a 求b 和)2sin(B A -的值．5．（2017山东，17.12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知,3,6,3=-=⋅=∆ABC S b求A 和a.6．（2015浙江．16,14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ．b ，c ．已知.2)4tan(=+A π(1)求AA A2cos 2sin 2sin +的值； (2)若,3,4==a B π求△ABC 的面积．7．（2015陕西．17，12分）△ABC 的内角A ．B ，C 所对的边分别为a ，b ．c ．向量)sin ,(cos )3,(B A n b a m ==与平行． (1)求A ；(2)若,2,7==b a 求△ABC 的面积，突破方法方法1 三角形形状的判定例1 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ．c ． (1)若,sin cos cos A a B c C b =+判断△ABC 的形状： (2)若,13:11:5sin :sin :sin =C B A 判断△ABC 的形状：(3)若C ms B A ab c b a ==-+sin 2,222α且试确定△ABC 的形状1-1 在△ABC 中，c b a cc a B ,,22cos2（+=分别为角A ．B ，C 的对边）．则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 1-2 在△ABC 中，已知)cos 2(sin sin ,cos 2C B A c B a -⋅=,212sin2+=C 则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角非等边三角形 D ．等腰直角三角形方法2有关三角形面积问题的解法例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c .cos sin 3A c C a -= (1)求A ；(2)若ABC a ∆=,2的面积为,3求b ，c ．2-1（2017吉林第三次调研测试）在△ABC 中，a ．b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若,60,3,10===B b a 则△ABC 的面积为( )21.A 23.B 1.C 3.D三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一正、余弦定理1．(2018海南二模）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ．C 的对边，已知tan )3(,322-+=c b a=+=2cos 2,32BA bc A ,cos )12(C -则△ABC 的面积为 ( ) 433.+A 4623.+B 4623.-C 233.-D 2．（2017陕西渭南二模）已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足直线02=++c by ax 与圆422=+y x 相离，则△ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能3．（2017吉林长春普通高中一模）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a 若,sin cos 21B A b = 且,6,32=+=c b a 则△ABC 的面积为________考点二解三角形及其应用1．（2017黑龙江大庆一中考前冲刺）已知△ABC 中，==B A ,6π,1,4=a π则b 等于 ( ) 2.A 1.B 3.C 2.D2．（2017吉林梅河口五中一模）已知△ABC 的三个内角A ，B ．C 所对边长分别是a ，b ，c ，若,3sin sin sin :ba ca C A B ++=-则角B 的大小为( )6.πA 3.πB 32.πC 65.πD3．（2018甘肃一诊）在△ABC 中，三个内角A ．B ，C 的对边分别为,,,c b a 若),,2(),cos ,(cos b c a n C B m +== 且.n m ⊥(1)求角B 的大小：(2)若,8,7=+=c a b 求△ABC 的面积．4．（2018宁夏银川4月质量检测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ．c ，已知ABa b 2sin sin = (1)求角A ；(2)若ABC b ∆=,32的面积为,233求a 的值．B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（每题5分，共10分） 1．（2018宁夏银川4月质量检测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ．c ，已知△ABC 的面积为,3且,2cos )cos(ba cB B A +=+则c 的最小值是( )2.A 22.B 32.C 4.D2．（2017黑龙江齐齐哈尔八中三模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为3,2,3．则=C co s ( ) 65.A 934.B 63.C 21.D二、填空题（每题5分，共15分）3．（2018内蒙古包头一模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知,2cos cos 2cos bac B C A -=-则=c a__________4．（2017陕西渭南二模）在△ABC 中，a ．b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a=2且,2cos cos b B c C b =+ 则b=_________ 5．（2017重庆质量调研（第一次））如图所示，在直角梯形BECD 中．A 为线段CE 上一点，,60,15,o DAC BAE EC DC =∠=∠⊥ ,24,30m AB DBA ==∠ 则CD 为_____m ．三、解答题（共25分）6．（2017海南海口4月调研）在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为.0cos sin 4cos sin ,,,=-B A c A C b c b a(1)求证：;tan 4tan A B =(2)若,5,10,3)tan(==-=+b a B A 求c 的值．7．（2017新疆乌鲁木齐三模）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.sin 2sin )2(sin )2(C c B a b A b a =+++(1)求C 的大小；(2)若,3=c 求△ABC 周长的最大值，答案。

【配套K12】2019年高考数学小题精练+B卷及解析：专题(09)解三角形及解析含答案

2019年高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（09）解三角形及解析专题（09）解三角形1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝，则sin A ＋cos A ＝（）A ．B ．－C ．D ．－【答案】A2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B【解析】∵bcos C+ccos B=2acos A ，∴由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A ，可得：sin （B+C ）=sin A=2sin A cos A ， ∵A ∈（0，π），sin A≠0， ∴cos A=12， ∴可得A=3π．故选：B ．3．在ABC ∆中,角A B C 、、所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得，222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】试题分析：因为2222a b c +=，所以由余弦定理可知，．故选C ．考点：余弦定理． 5．在△ABC 中，其面积，则BC 长为（）A ．B ． 75C ． 51D ． 49【答案】D6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C 【解析】，，则，则，三角形为等腰三角形，选C ． 7．在△ABC 中，，则等于（）A ． 1B ． 2C ．D ． 3 【答案】B【解析】根据正弦定理，，，，则，则，，选B ．8．在△ABC 中，若则A=( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,,,,则，选B ． 9．在锐角中，已知，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A10．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，【答案】A考点：余弦定理；基本不等式求最值．11．如图，ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且,2,2AC CD AC AB AD ===，则sin B等于（）A B C D 【答案】C考点：正余弦定理的综合应用．【思路点晴】本题主要考查的是解三角形以及正余弦定理的应用,属于中档题目．题目先根据AD AC 32=设出x AD 2=,从而AB CD AC ,,均可用x 来表示,达到变量的统一,因此只需列出等式求出x 的值即可．先由余弦定理求出ADC ∠cos ,接下来由ADB ∠和ADC ∠互补,得出其正弦值相等,再从ADB ∆中使用正弦定理,从而求出sin B ．12．在ABC ∆中，已知10103cos ,21tan ==B A ，若ABC ∆最长边为10，则最短边长为（） A ．2 B ．3 C ．5D ．22【答案】A 【解析】试题分析：由021tan >=A ，得51sin ,52cos ==A A ，由010103cos >=B ，得101sin =B ，于是021sin sin cos cos )cos(cos <-=+-=+-=B A B A B A C ，即C ∠为最大角，故有10=c ，最短边为b ，于是由正弦定理CcB b sin sin =，求得2=b ．考点：解三角形．【思路点晴】由于021tan >=A ，010103cos >=B ，所以角A 和角B 都是锐角．利用同角三角函数关系，分别求出51sin ,52cos ==A A ，101sin =B ，利用三角形的内角和定理，结合两角和的余弦公式，可求得cos 0C <，所以C 为最大角，且10=c ，由于sin sin A B >所以B 为最小的角，b 边为最小的边，再利用正弦定理可以求出b 的值．专题09 解三角形1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B2．在ABC ∆中,角A B C 、、所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A ．． C ． 12 D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得, 222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．3．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知85b c =， 2C B =，则cos C =（） A ．725 B ． 725- C ． 725± D ． 2425【答案】A【解析】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos 8422C C C = sin2C =，故，由二倍角公式得．考点：正弦定理及二倍角公式．【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化．4．在ABC∆中, 60,A a=︒=sinAa b csinB sinC++++=（）A．B．．D．【答案】C点睛：由正弦定理及已知可得sinA，sinB，sinC，则sin sin sina b cA B C++==++5．在ABC∆中，cos cosa Ab B=，则ABC∆的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在ABC∆中，cos cosa Ab B=,∴由正弦定理2sin sina bRA B==，得2sin,2sin,sin cos sin cosa R Ab R B A A B B==∴=，112222sin A sin B∴=，22,22sin A sin B A B ∴=∴=或22A B π=-， A B ∴=或2A B π+=， ABC ∴∆为等腰或直角三角形，故选C ．6．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果． 7．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A ． 15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． (10，＋∞) C． (0,10) D ． 400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin 104040sin sin 0,3sin 334a C c C C A ⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦ ,选D ． 8．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（） A ．B ．)2 C ．( D ． ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ,2cos 64B B <<∈故选A ．9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分为,,a b c ， 1,sin 62b C A π===．若D 是BC 的中点，则AD = ( )A ．74 B ． C ． 14 D ． 12【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．10．ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】考点：解三角形．11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（）A B ．34CD ．13【答案】A【解析】考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系． 12．在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，则B ∠=________．【答案】23π【解析】试题分析：由正弦定理得cos cos 2B bC a c=-+CA Bsin sin 2sin +-=，化简得A B C B sin cos 2)sin(-=+，即21cos -=B ，所以在ABC ∆中，B ∠=23π．考点：正弦定理、三角恒等变换．。

2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(六) 解三角形含解析

小题必刷卷(六)解三角形考查范围;第22讲~第23讲题组一刷真题角度1正弦定理1.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.πB.πC.πD.π2.[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC中,B=π,BC边上的高等于BC,则sin A=()A.B.C.D.3.[2016·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .角度2余弦定理4.[2016·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A.B.C.2D.35.[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.26.[2016·山东卷]△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.πB.πC.πD.π7.[2013·全国卷Ⅰ]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.58.[2016·北京卷]在△ABC中,∠A=π,a=c,则= .角度3三角形的面积9.[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为-,则C=()A.πB.πC.πD.π10.[2013·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π,C=π,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-111.[2018·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.12.[2018·北京卷]若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是. 角度4正、余弦定理综合应用13.[2018·浙江卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= .14.[2016·上海卷]已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.图6-115.[2014·全国卷Ⅰ]如图6-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.题组二刷模拟16.[2018·浙江绍兴3月模拟]在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=()A.2B.3C.5D.1017.[2018·新疆维吾尔自治区二模]在△ABC中,“A>60°”是“sin A>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.[2018·北京朝阳区二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,A=π,B=π,则c=()A.B.-C.D.19.[2018·成都七中月考]在△ABC中,角B为π,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cos A=()A.B.C.D.20.[2018·广东茂名二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cos C+c=2a,且b=,c=3,则a=()A.1B.C.2D.421.[2018·合肥三模]△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(C-A)=sin B,且b=4,则c2-a2=()A.10B.8C.7D.422.[2018·山东潍坊二模]在△ABC中, a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且-=,则A=()A.πB.πC.πD.π23.[2018·云南保山二模]在△ABC中,若3(·+·)=2||2,则tan A+的最小值为()A.B.2C. D.24.[2018·广东江门一模]已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,则四边形ABCD面积的最大值为()A.B.2+2C.2+2D.425.[2018·广西钦州三模]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B= .图6-226.[2018·东北三省四市二模]如图6-2,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB=m.27.[2018·昆明二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos C=,c=3,且=,则△ABC的面积等于.28.[2018·马鞍山二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2A+3cos A=1,b=5,△ABC的面积S=5,则△ABC的周长为.29.[2018·江西上饶二模]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是.小题必刷卷(六)1.B[解析] 因为sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A sin C-sin A cos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sinA=-cos A,得A=π.又由正弦定理=,得π=,解得sin C=,所以C=π.2.D[解析] 作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则有AD=BD=1,AB=,由余弦定理得AC=.由正弦定理得π=,解得sin A==.3.[解析] 因为cos A=,cos C=,且A,C为三角形内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin A cosC+cos A sin C=,又因为=,所以b==.4.D[解析] 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去),故选D.5.A[解析] 由已知得cos C=2cos2-1=2×-1=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=25+1-2×5×1×-=32,所以AB=4,故选A.6.C[解析] ∵b=c,a2=2b2(1-sin A),∴2b2sin A=b2+c2-a2=2bc cos A=2b2cos A,∴tan A=1,即A=π.7.D[解析] 由23cos 2A+cos 2A=0,得25cos 2A=1.因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=.在△ABC中,根据余弦定理,得49=b2+36-12b×,即b2-b-13=0,解得b=5或-(舍去).8.1[解析] 由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得,3c2=b2+c2-2bc cosπ,整理得2+-2=0,解得=1或=-2(舍去).9.C[解析] 由三角形的面积公式可得,-=ab sin C,由余弦定理得-=cos C,所以cos C=sin C,又C∈(0,π),所以C=π.10.B[解析] =⇒c=2.又A+B+C=π,∴A=π,∴△ABC的面积为×2×2×sinπ=2×=+1.11.[解析] 由b2+c2-a2=8 得2bc cos A=8,可知A为锐角,且bc cos A=4.由已知及正弦定理得sin B sin C+sinC sin B=4sin A sin B sin C,因为sin B≠0,sin C≠0,所以可得sin A=,所以A=30°,所以bc cos 30°=4,即bc=,所以△ABC的面积S=bc sin A=××=.12.π(2,+∞)[解析] 由正弦定理得S△ABC=ac sin B=(a2+c2-b2),即sin B=cos B,∵∠B为三角形的内角,∴∠B=π.由正弦定理得==π-=·+,又∵∠C为钝角,∴π+A<π,即A<π,∴0<tan A<,∴>2.13.3[解析] 由正弦定理=,得sin B==.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得c2-2c-3=0,则c=3.14.[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为-=-,所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,R=.15.150[解析] 在Rt△ABC中,BC=100(m),∠CAB=45°,所以AC=100(m).在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有∠=∠,即AM=°°×100 =100(m),于是在Rt△AMN中,有MN=sin 60°×100=150(m).16.A[解析] 因为C为钝角,sin C=,所以cos C=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos C,即45=25+BC2-2×5×BC×-,解得BC=2(舍去BC=-10).故选A.17.B[解析] 由“A>60°”不一定推出“sin A>”,如A=135°>60°,但sin 135°<sin 120°=,反之,若sinA>,则有A>60°.故选B.18.A[解析] 在△ABC中,a=1,A=π,B=π,由正弦定理可得b==.由余弦定理得cos A=-=,可得c2-c+1=0,所以c=或c=-,又因为C>B,所以c>b,所以c=.故选A.19.A[解析] 作AH⊥BC,垂足H在CB的延长线上,易知△AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=a,由余弦定理得cos A==,故选A.20.D[解析] 因为2b cos C+c=2a, 由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin B cos C+2cosB sin C,所以sin C=2cos B sin C,因为sin C≠0,所以cos B=,又0<B<π,所以B=π.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,又因为b=,c=3,所以a2-3a-4=0,可得a=4(负值舍去).故选D.21.B[解析] sin(C-A)=sin B=sin(A+C),即2sin C cos A-2cos C sin A=sin A cos C+cos A sin C,即sin C cos A=3sinA cos C,由正弦定理和余弦定理得c·-=3a·-,即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2,即4c2-4a2=2b2=2×16=32,则c2-a2=8,故选B.22.C[解析] 利用正、余弦定理将已知等式化为-=·-·-,化简整理得b2+c2-a2=bc,所以cos A=-=,因为A是三角形的内角,所以A=π.故选C.23.B[解的] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有3(·+·)=3(-bc cos A+ac cos B)=2c2,由正弦定理得sin A cos B=5cos A sin B,所以tan A=5tan B,则tan A+=5tan B+≥2,当且仅当tan B=时,等号成立,故选B.24.C[解析] 如图,设∠DAB=θ,BC=CD=,则BD=.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos θ,即()2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,所以2=4-4cos θ.所以四边形ABCD的面积S=×22×sin θ+2=2sin θ+(2-2cosθ)=2sinθ-π+2,因为0<θ<π,所以-π<θ-π<π,所以当θ-π=π,即θ=π时,S有最大值,且Sma=2+2.故选C.25.[解析] 因为△ABC中,a=b,A=2B,根据正弦定理,得sin A=sin B,又sin A=sin 2B=2sin B cos B,所以cos B=.26.20[解析] D=180°-15°-30°=135°,在△BCD中,=∠,即°=°,得BC=°°=20(m),因为△ABC是直角三角形,且∠ACB=45°,所以AB=BC=20(m).27.[解析] 由题意得=,即tan A=tan B,所以A=B,即a=b,由余弦定理得c2=2a2-2a2cos C=a2=9,得a=(负值舍去),易得sin C=,所以S△ABC=×6×=.28.9+[解析] 由cos 2A+3cos A=1,得2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去),所以sin A=,又因为S=5,b=5,所以bc sin A=×5×c×=5,所以c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-2×5×4×=21,即a=,所以△ABC的周长为5+4+=9+.29.(1,2)[解析] 因为b2=a(a+c),所以cos B=-=-=-,由正弦定理得-=cos B,又sin C=sin(A+B),所以sin(A+B)-sin A-2sin A cos B=0,得sin(B-A)=sin A.因为A,B为△ABC的内角,所以B-A=A或B-A+A=π(舍),故B=2A.因为△ABC为锐角三角形,所以ππ得π<A<π,故π<B<π,则0<cos B<,即0<-<,解得1<<2.。

广东省惠州市2019年高考数学复习专题解三角形后考卷文

解三角形后考卷考试时间：40分钟考试范围：正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式的应用。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（每小题5分）1.由下列条件解ABC ∆，其中有两解的是（）A.︒===80,45,20C A b oB. 60,28,30===B c aC. 45,16,14===A c aD. 120,15,12===A c a2.已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且75A ∠=o ，则b =（）A.2 B ．4＋．4— 3.在△ABC 中，7AC =，2BC =， 60B =，则BC 边上的高等于（）A ．32B ．332C 36+339+4已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若2cosA a b =，3B π=，1c =，则ABC ∆的面积等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题（每小题5分）5已知ABC ∆的三边长成公差为2，则这个三角形的周长是 .6设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ， c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为 .7在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 .8在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin sin sin sin cos21A B B C B ++=．若23C π=，则a b= ．三、解答题（每题20分）9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=22cos -cos cos cos .A B A A B B =（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.10. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知3a =，cos A =2B A π=+. （1）求b 的值；（2）求ABC ∆的面积.答案：CABCA 56789\10\（2）cos cos sin 2B A A π⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ 8分 ()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 10分sin cos cos sin A B A B =+ 11分13⎛=+= ⎝⎭， 12分 ∴ABC S ∆=11132sin 332223ab C =⨯⨯=分。

2019高考数学文科总复习第9单元【解三角形】测试A卷及答案解析

9．【答案】A
【解析】 SABC
1 2
AB AC sin A
1 2 2
AC
sin
π 3
3 AC 1 ， 2
由余弦定理 BC2 4 1 2 2 1 1 3 BC 3 ，故选 A． 2
10．【答案】C
4
2019 高考数学文科总复习第 9 单元【解三角形】测试 A 卷及答案解析
【解析】因为 C 角最大，且 cosC a2 b2 c2 9 25 36 0 ，所以 C 角为钝角，
A
3
247 4
cm2
．
18．【答案】（1） 6 ；（2） 4 5 3 ． 18
【解析】（1）在
△ABC
中，由
a sin
A
b sin
B
，可得
a
sinBbFra biblioteksin
A
，
又 bsin A 3csin B ，可得 a 3c ，又 a 3 ，故 c 1
由 b2 a2 c2 2ac cos B ， cos B 2 ，可得 b 6 ． 3
A
，
整理得
sin
2A
π 6
1 ，∴
2A
π 6
π 2
，
A
π 3
，从而
C
π 3
，
∴ △ABC 是等边三角形，故答案为等边三角形．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1） 8 cm ， △ABC 为等腰三角形；（2） 3 247 cm2 ． 4
20．（12 分）已知 a 、 b 、 c 分别为 △ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边，且满足 cos B 4 ， b 2 ．

2019年高考数学高频考点测试专题29三角函数解三角形3综合应用文含解析

专题29 三角函数解三角形3（综合应用）【考点讲解】一、具本目标：一、1.掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理与余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.3.考纲解读：利用正弦定理与余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关知识；两个定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.二、知识概述：1.正、余弦定理：【特别提醒】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.用正、余弦定理及与三角形有关的内角和定理、边角关系、勾股定理及逆定理等相关定理解决问题时，切记要用准用对相关的公式，会从实际问题中抽象出数学问题，将复杂的图形转化为三角形或者特殊的三角形来解决是解决平面几何问题的重要想法，希望能通过本节内容的提示，对考生有一定的帮助.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【真题分析】1.【2018年浙江卷】在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ,,．若，则=Bsin ___________，=c ___________．【答案】3721， 2.【15重庆文】设ABC ∆中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2=a ，41cos -=C ，，则=c ．【解析】由正弦定理得可得，由余弦定理可得所以4=c.【答案】43.【16海南文理】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若54co s =A ，135cos =C ，1=a ，则=b ．【解析】由题意可知由正弦定理可得：，可得1321=b .【答案】13214.【2016上海文理】已知ABC △的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】35.【17浙江】已知ABC ∆，，2=BC ，点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则BCD ∆的面积是，．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为2，．【答案】215，410.6.【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知，a =2，cC =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知所以有，所以原等式可整理成:,也就是：，即，因为是三角形△ABC ，所以有43π=A .由正弦定理得：，得【答案】B7.【2018年理新课标I 卷】在平面四边形ABCD 中，.5=BD（1）求ADB ∠cos ；（2）若（2）由题设及（1）知，.在BCD ∆中，由余弦定理得所以.5=BC8.【2015全国新课标2理】在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠； (Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】本题考点是三角形的面积公式与正余弦定理的综合应用问题.(Ⅰ)，，因为，，所以2AB AC =．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得：，．．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．【模拟考场】1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ． 3【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334 B ．736 C.213 D ．334或736【解析】sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cos B sin A ，sin2A ＝2sin A cos A ， sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.【答案】D 3.已知cb a ,,分别为ABC ∆三个内角CB A ,,的对边，2=a ，且，则A B C ∆面积的最大值为____________．【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，由2=a ，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故，所以60=A ，又，故．【答案】4.在ABC ∆中，120=B ，2=AB ，A 的角平分线3=AD ，则=AC ．5.在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，，则cos A 的值为_______．【解析】∵代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得．【答案】14-．6.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以，又，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得，所以8a =.【答案】8 7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（I ）求C ；（II ）若，求ABC △的周长．8.在C ∆AB 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）如果sin 3B =，2b =，求C ∆AB 的面积．【解析】（Ⅰ）∵∴.∵()0,πA∈ ∴3πA = （Ⅱ）由正弦定理得：∴∵∴解得：1c =∵0c >∴1c =∴C ∆AB 的面积.。

2019高考数学文科总复习第9单元【解三角形】测试B卷及答案解析

第九单元解三角形卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =，4CA =，且BC CA ⋅=-ABC △的面积是（）A ．6B ．C ．3D5．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（）A ．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则c o s A =（）A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（） A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（）A ．不能做出这样的三角形B ．能做出一个锐角三角形C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（） A ．()4,2 B ．(]4,2C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A B A--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，21AB BC ⋅=-．（1）求ABC △的面积；（2）若7a =，求角C ．18．(12分)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距)13(5+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？19．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小；（2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n ，+=m n ．（1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，a =，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．21．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且aca b C 53cos +=．（1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA 在BC 上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒<<︒）且与点A 相距其中海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．第九单元解三角形卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅==AC BC <，∴B A <，即60B <︒，∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cosBC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-cos θ=， ∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=△，故选C ． 5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cBB ++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得2π1sin sin 3sin sin 32a b c B B B B B ⎤⎫⎛⎫++=++-=++⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 3π3sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =， ∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=，∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=，解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t ，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而121t t -，故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =，由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+，即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C【解析】)cos cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin cos cos sin )cos cos 4cos cos B C B C B C B C B C ⇔++=)3cos()sin B C B C A A +=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅，∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a-+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<．15．【答案】【解析】∵cos 2A =，∴223cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴a == 16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2s i n c o s s i n a c C C C =，∴cos 2a C c =，又222c o s 2a b c C ab+-=，∴22222a a b c c ab+-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >，故24168555a c -=-=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-，21BA BC ⋅=，cos BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∴35ac =，∵1ABCS =（2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos 32b a c ac B =+-=，∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒．在ADB △中，有sin 45sin75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75AB BD ︒==︒，又120CBD ∠=︒，∴100CD == 因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时．19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形．【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得c b c b c b a)2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒．（2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒．由3sin sin =+CB ，得sin sin(120)B B +︒-=∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒，所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A ⎫+=-⎪⎪⎝⎭m n 且+=m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin 161624A A A A +++-+=11sin 22A A -=-，即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a =，∴2c =，a =；∴ABC △外圆的半径12R a =22b c a r +-== ∴面积比为223)22(2222+=-=r R ．21．【答案】（1）45；（2 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C >，∴3cos 5A =-，∴4sin 5A =．（2）由正弦定理得B b A a sin sin =，∴410sin sin b A B a ⨯=== ∵53cos-=A ，∴A 为钝角，∴B 为锐角，∴π4B =．∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ．所以BA 在BC上的投影为cos cos BA B c B =22．【答案】（1）海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ，由于090θ︒<<︒，所以cos θ，由余弦定理得BC所以船的行驶速度为3=海里/小时)．（2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得，222222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠===⋅从而sin ABC∠===，在ABQ△中，由正弦定理得：sinsin45AB ABCAQABC∠=︒-∠（），由于5540AE AQ=>=，所以点Q位于点A和点E之间，且15QE AE AQ=-=．过点E作BCEP⊥于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt QPE△中，sin sin(45)157PE QE PQE QE ABC=⋅∠=⋅︒-∠==，所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。

专题解三角形-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题15 解三角形【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在ABC △中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ×BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.【命题意图】三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用. 【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则 1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C. 2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ,h B =c sin A =a sin C ,h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B. 6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解4===2.sin sin sin a b c R R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径②当A为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时,需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．3.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.△中，角A，B，C的对边分别为a，1．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABCC=︒，则c=b，c，若ABC△的面积和周长分别为20，60A．7B．8C．5D．6【答案】A【解析】由题意可得，11sin sin6022ABC S ab C ab ==︒△，∴1sin602ab ︒=40ab =. ∵20a b c ++=，∴20c a b -=+．由余弦定理可得，()()222222cos60320120c a b ab a b ab c =+-︒=+-=--，解得7c =．故选A ．【名师点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到()2222a b a b ab +=+-.2．【陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校际联考数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC △的面积为AB ．3C D 【答案】D【解析】在ABC △中，2227cos 28b c a A bc +-==，将2b c =，a =22246748c c c +-=，解得：2c =，由7cos 8A =得sin A ==，所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D.【名师点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12⨯（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.3．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次)4月二诊数学试题卷】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3B π=，1cos 3A =，b =，则边c 的长为A． B．C．D．【答案】B【解析】因为1cos 3A =，()0,A ∈π，所以sin 3A =，在ABC △中()11sin sin 323C A B =+=+=由正弦定理sin sin b c B C=，所以sin sin 6b c C B ===故选B.【名师点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △为锐角三角形，且满足2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是 A ．2b a = B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =【答案】B【解析】依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C AC A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角形内角和定理以及正弦定理边角互化，属于基础题.5．【甘青宁2019届高三3月联考数学试题】在ABC △中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =A． BC．D【答案】B【解析】在三角形ABD 中，由余弦定理得254996513cos 2577014A +-===⨯⨯.在三角形ABC 中，由余弦定理得BC ==故选B.【名师点睛】本小题主要考查利用余弦定理计算角的余弦值和边长，属于基础题.6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2,a c A ===且b c <，则b =A ．3B ．C ．2D 【答案】C【解析】因为cos A =，所以1sin 2A ==且6A π=，由正弦定理可得：sin sin a c A C=，即：212=，解得：sin 2C =，所以3C π=或23C π=，当3C π=时，362B πππ=π--=，此时B C >，与b c <矛盾，所以3C π=舍去. 当23C π=时，2366B πππ=π--=，由余弦定理可得：2222cos 4122242b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以2b =，故选C.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计算能力，属于中档题.7．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1,sin sin ,234A B C a π===，则ABC △的面积为___________.【解析】由正弦定理得sin ,sin sin 3sin 3a ab B Bc C C A A ====，所以164sin sin 33bc B C ==，从而1sin 2ABC S bc A ==△. 【名师点睛】本题考查了正弦定理、面积公式，正确使用公式是解题的关键.8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学试题】在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC △，则ab 的最小值为___________. 【答案】48【解析】在ABC △中222a b ab c ++=，结合余弦定理2222cos a b ab C c +-=，可得1cos 2C =-，所以sin 2C =，1sin 2ab C =代入化简可得4ab c =，代入222a b ab c ++=中可得222216a b a b ab +=-，因为222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号，所以22216a b ab ab -≥，解不等式可得48ab ≥，所以ab 最小值为48.【名师点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题. 9．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且2sin c A =，c =ABC △的面积为，则a b +的值为___________. 【答案】52sin c A =2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=.所以ABC △的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5.【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 10．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1a =，且BC 边上的高等于tan A ，则ABC △的周长的取值范围为___________.【答案】(2,1+ 【解析】由题可知：11tan sin 22ABC S a A bc A ∆==, 故cos 1bc A =222221122b c a b c bc bc +-+-⇒⋅==，即223b c +=,又22222b c b c ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则b c +≤当且仅当b c =时，取等号.又1b c a +>=，则21a b c <++≤,所以ABC △的周长的取值范围为(2,1.故填(2,1.【名师点睛】本题考查解三角形中的周长最值问题的求解，关键是能够通过余弦定理建立等量关系，+的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.从而求得b c。