第2课时直角三角形的两个锐角互余

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八年级数学人教版(上册)第2课时直角三角形的两个锐角互余

°
3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则
∠1＋∠2＝( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
第3题图
4.如图，CE，BF 是△ABC 的两条高.若∠A＝70°，∠BCE＝ 30°，则∠EBF＝ 20°，∠FBC＝ 40°.
(1)∠ACB＝ 90°.
(2)如图 2，如果 AE 是△ABC 的角平分线，AE 与 CD 相交于点 F，那么∠CFE 与∠CEF 相等吗？请说明理由.
解：∠CFE＝∠CEF，理由：∵AE 平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°－(∠CDA＋∠BAE)， ∠CEA＝180°－(∠BCA＋∠CAE)，
易错点直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解 8.如图，已知∠AOD＝30°，点 C 是射线 OD 上的一个动点.在点 C 的运动过程中，△AOC 恰好是直角三角形，则此时∠A 所有可能的度数为 60°或90° .
9.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；
③∠A＝90°－∠B；④3∠A＝2∠B＝∠C，其中能确定△ABC 是直
∴∠CEF＝∠DFA． ∵∠DFA＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.
13.直线 EF，GH 之间有一个 Rt△ABC，其中∠BAC＝90°， ∠ABC＝α.
(1)如图 1，点 A 在直线 EF 上，B，C 在直线 GH 上.若∠α＝60°， ∠FAC＝30°.试说明：EF∥GH.
解：∵∠EAB＝180°－∠BAC－∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC ＝30°，∴∠EAB＝60°.
又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC． ∴EF∥GH.

11.2.1直角三角形的两个锐角互余(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直角三角形的定义和锐角互余的概念这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形相关的实际问题，如计算屋顶的倾斜角度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量直角三角形的两个锐角。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的定义、锐角互余的概念及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的基本概念。直角三角形是一种有一个角为90°的三角形。锐角互余是指直角三角形中的两个锐角之和等于90°。这一性质在解决实际问题中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个直角三角形的两个锐角，并验证它们的和是否为90°，展示锐角互余在实际中的应用。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的两个锐角互余》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的倾斜部分、墙壁与地面形成的角等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形锐角互余的奥秘。
五、教学反思
在本次教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解直角三角形的两个锐角互余这一概念。首先，通过引入日常生活中的实例，我希望让学生感受到数学知识就在我们身边，提高他们对数学的兴趣。从课堂反馈来看，这个方法还是起到了一定的效果，同学们在讨论中积极参与，表现出较高的热情。

11.2.1三角形的内角2

变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形． A C
D
B
2.如图，∠C=90°, ∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？
为什么？ A D
解：在Rt△ABC中，
∠A+ ∠2 =90°. ∵ ∠1=∠2, ∴ ∠A+∠1=90°, ∴△ADE是直角三角形. E C
八年级
上册
11.2.1 三角形的内角（第2课时）
• 学习目标： 1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余． 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． • 学习重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
复习三角形的内角和
问题1 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？ A
例如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？
A
C E
D
B
例题讲解
例如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？解：在Rt△AEC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠CAE +∠AEC =90° （直角三角形两锐角互余）．在Rt△BDE 中， A ∵ ∠D =90°，
B
C
探索直角三角形的性质
问题2 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A， ∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ A
即∠A +∠B + 90° =180°

八年级数学上册11.2.2直角三角形两锐角互余教案(新版)新人教版

直角三角形的两个锐角互余教学目标：1.巩固上节课知识：“三角形内角和为180°”；“所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”；2.认识直角三角形，探索图形性质；3.得出结论：“直角三角形的两个锐角互余”；教学方法：此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。

课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。

最后老师归纳强调。

此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.教学过程：1.回顾上节课所学知识：师：（1）三角形内角和为180°；（2）所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（ ppt显示一张“知识回顾”的主题页，以提问的方式，让同学自己回忆上节课知识，学生回答上一点，ppt显示一条；）师：总结这一小节，做知识强调。

(鼓励同学们的积极参与，激发积极性；）随后ppt放映一张直角三角形的图片，师：今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么嚒？生：看到ppt，异口同声的说：直角三角形。

师：情绪很兴奋的表扬同学们说：对，今天我们学习探究的就是它——直角三角形。

（老师以此引入知识主题，进入学习）2.课程探究：随后ppt放映：关于“我们一起来动手”的动画提示。

师：（用激励提问的语气）：“那么老师说它非一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来”。

师：将全班分组（五组以内），让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，老师重点要求作出“直角等腰三角形”、“30°直角三角形”两个RT △，让后让同学利用量角尺量出各角的度数并记录（PPT显示数据记录表一），根据数据记录来发现、探究、总结直角三角形锐角之间的规律和联系。

11.2.2直角三角形的性质和判定教案-人教版八年级数学上册

∵ ∠A+∠B=90°
∴ △ABC是直角三角形．
应用三角形内角和定理探究直角三角形的性质与判定，巩固提高学生的推理证明能力。通过过对问题的解决，体验成功的快乐
课堂练习
完成课本14页练习1题。
学生独立完成，教师巡视指导。学生板演，师生共同检查，规范书写解题过程。
通过练习检测学生对知识的掌握情况。
课堂小结
直角三角形的两个锐角互Байду номын сангаас。
（2）教师介绍直角三角形的表示方法和
直角三角形的性质的几何推理格式
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
2.例题讲解（课本14页例3）
例如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
教师引导学生进行思路分析，板书解答过程。
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
梳理知识，形成体系，提高学生语言概括能力。
练习与检测
习题11.2复习巩固4题
课本第14页练习2题
板书设计
11.2.2直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
推理格式：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°
学情分析
上节课已经学过三角形的内角和是180°，据此证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直角三角形两内角互余定理解决一些简单的实际问题的能力。
教学目标
1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的推理证明能力。

2.6 直角三角形第2课时直角三角形的判定浙教版数学八年级上册课件

（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
C
A
D
B
C
A
D
B
1. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°，
∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
C
∴2(∠ A+∠B)=180°，即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A
直角三角形的判定定理
A
①文字语言：有两个角互余的三角形是直角三角形.
②几何语言：
∵在△ABC中， ∠A＋∠B＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形.
C
B
做一做：
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
C
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
2
∴BC=EB，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠DBE=90° ，
1
∴∠1+∠DBE=90°，
A
B
D
∴∠CBE=180°-（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形.
这节课我们学到了什么？
判定一个三角形是直角三角形的方法： ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形； ② 有两个角互余的三角形是直角三角形.
12
D
B
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2. 已知，如图，A、B、C、D同在一条直线上. ∠A=∠D= 90°，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△BCE是等腰直角三角形.

直角三角形两锐角互余

(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ B ）
A. 400
B. 500
C. 100
D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ A ） A. 500 二、填空（1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠B = 600 600 750 B. 400 C. 100 D. 450
（2）∠C =900，∠A =300，则∠B =
（3）∠B =800，∠A =3∠C，则∠A =
三（1）如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D, ∠ACD与∠B有什么样的关系？为什么？
C
（2）如图，∠C=90°,∠1=∠2,
A
D
B
△ACD是直角三角形吗？为什么？
E
C
A D B
4.如图：已知在△ABC中， EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B=450 ， 0 ， 0 ∠F=30 ∠CGF=70 ， A 求∠A的度数.
如图在直角三角形ABC中∠C=90°由三角形内角和定理，得∠A+∠B+ ∠C=180° 即 ∠A+∠B+ 90°=180°
A
所以 ∠A+∠B= 90° 结论；直角三角形的两锐角互余
C
B
“直角三角形”可用符号“Rt△” 来表示如“直角三角形ABC”可以写成“Rt△ABC”
例题：如图∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E， ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△CAE中
∠CAE+ ∠CEA=90°
在Rt△DBE中
C
E
D
∠DBE+ ∠DEB=90°

人教版八年级上册数学第2课时三角形的两个锐角互余课件

直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
A
几何语言在Rt△ABC 中， ∵∠C ＝ 90°， ∴∠A +∠B ＝ 90°．
B
C
有两个直角三角形，它们有一组锐角对应相等，另一组锐角的数量关系是什么？两个直角三角形可以组合成哪些图形？
D A
B
C
E
F
F (C)
C
B A
D
E
D (C)
A B(E)
A. ∠A＋∠B＝∠C
B. ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶3∶4
1
1
C. ∠A ＝ 2∠B＝ 3 ∠C
D. ∠A ＝ 2∠B＝ 3∠C
2. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有___∠_A__=_∠__B_C_D_，____∠_B__=_∠__A_C_D____，互余的角有： _∠_A_与__∠__B_，__∠__A_与__∠_A_C__D_，__∠_B__与_∠__B_C_D__，_∠__A_C__D_与__∠_B_C__D___.
Hale Waihona Puke AB∴∠CAE ＝∠DBE．
探究 1
1. 如图（1），∠B = ∠C = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？请说明理由.
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D.
A
B
O
方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠D.
根据三角形内角和定理，
∠ACB＝180°－∠CAB －∠ABC

《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》第2课时参考课件

(由边的关系推知角的度数)
A
几何语言表示：
∵△ABC是直角三角形，AC= AB ,
30°
∴∠B=30°
B
C
（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
么这条直角边所对的角等于30° ）
例2.如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西
向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
A
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD= 1 AB=BD
2
∵BC= 1 AB
2
∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形 C
∴∠B=60°，
D B
∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=30°
结论直角三角形的性质定理4：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的
一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
C
∴∠A=90°-∠B=30°.
思考：若AB=5,则AD=?
D （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
（3）三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
议一议
在右图中，△ABC是直角三角形，CD是 A 斜边AB上的中线，
①AB=10cm,CD的长为多少cm?
②CD=2cm，则AB的长为多少？
C
③若∠A =40°，则其他角为多少度？
④若∠A=30°，你能得到什么结论？
C
AB 2BC 26 12m
（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
2.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,且 DB= 1 BC,求∠A的度数。
2
A 解：∵CD⊥AB于点D,
D B
∟
∴△BDC为Rt△

人教版八年级数学上册直角三角形的性质和判定课件

八年级数学上（RJ）教学课件
11.2 与三角形有关的角
第2课时直角三角形的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点）
讲授新课
一直角三角形的两个锐角互余
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD ∴∠CED=90° ∴△DCE是直角三角形 ∴∠C+∠D=90° ∵∠A=∠C ∴∠A+∠D=90° ∴△ABD是直角三角形
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
A．∠A+∠B=∠C
在Rt解△AB：C 中∵，∠CC=D90°⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴2 ∠与BE三A角=∠形B有∴DF关=的∠90角°，BEA=∠BDF=90°，
直角三角形的两个锐角互余
∴∠ABE+∠A=90°， A．40°
B．50°
证明：∵∠ACB=90°，
∠C有什么关∴系？∠请说A明理+由∠. BFC=180°.
二有两个角互余的三角形是直角三角形问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，已知 ∠A +∠B=90° ，求证：△ABC 是直角三角形
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
几何语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，

11.2.1 第2课时直角三角形的两个锐角互余人教版数学八年级上册课堂教案

第十一章三角形11.1 与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时直角三角形的两个锐角互余一、教学目标1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.二、教学重难点重点：掌握直角三角形的性质及判定.难点：利用直角三角形的性质与判定解决有关问题.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.三角形的内角和是多少度?2.按角的大小分类，三角形可以分为哪三类？3.直角三角形中，有一个角一定是°.[学生回答]学生根据老师提出的问题，复习与本节课相关的知识（180°；锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；90）【新知探究】知识点1 直角三角形的性质[课件展示]问题1：如下图所示的是我们常用的一副三角板,你知道它们两锐角的度数之和吗?通过量角器测量一下吧！[动手操作]学生利用量角器测量，教师根据学生量得的数据，总结得到结论30°+60°=90°，45°+45°=90°.[提出问题]对于任意的三角形，这个结论成立吗？[课件展示]如图，在△ABC中，已知∠C=90°，（1）你能求出∠A ，∠B的度数吗？（2）你能求出∠A +∠B的度数吗？你是怎么得到的？学生独立思考，教师点名回答，总结:∠A +∠B=90°.[提出问题]由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？[归纳总结]直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个性质呢？（在△ABC 中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°．）为了书写方便，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．此时，提醒学生注意：Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例1 如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？【变式】如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？[提出问题]与例1有哪些共同点与不同点？让学生对比两题的图形[归纳总结][课件展示]跟踪训练1.（2021苏州模拟）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　B　）A．40°B．50°C．60°D．70°[课件展示]跟踪训练2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，则∠C的度数为（　A　）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°[课件展示]跟踪训练3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=32°，求∠D的度数．解：∵∠BAC=90°，∠1=32°，∴∠ABC=90°-32°=58°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD= ∠ABC=29°.∵CD∥AB，∴∠D=∠ABD=29°．提醒学生注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.知识点2 直角三角形的判定[提出问题]有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如何验证？提示学生运用三角形内角和去验证.(在△ABC中，由三角形内角和可知∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.)[归纳总结]直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个判定方法呢？对比刚才的“直角三角形的性质”写一写吧！（在△ABC 中，∵∠A +∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．）[归纳总结]直角三角形的性质与判定之间的关系：[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：[归纳总结]【课堂小结】【课堂训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，则∠1等于（　A　）A．30°B．40° C．50°D．60°2.如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（　A　）A．40°B．50°C．60°D．70°3.下列说法中错误的是（　D　）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：2：4，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC为直角三角形4.如图，将一张长方形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2=_____90°___.5.在△ABC中，若∠A=51°，∠B=39°，则这个三角形是____直角________三角形.6.（2020•白银模拟）在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为45°或30° ．7.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？8.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为多少时，△AOP为直角三角形．【教学反思】上课开始，通过复习引入，为本节课做好铺垫.本节课是在学生学习了与三角形内角和基础上，让学生动手操作，量量角器上的两个锐角的度数，初步了解“直角三角形的两锐角之和为90°”，但测量有误差，激发学生探索欲望，学生需要再证明这一结论成立.通过例1与其变式，例2与其变式的学习，归纳出两类基本图形，也为以后的课程（全等三角形，相似三角形）做好了准备.。

直角三角形两锐角互余证明

直角三角形两锐角互余证明在一个阳光明媚的下午，我们的故事从一个直角三角形开始。

你想啊，直角三角形可真是个神奇的家伙，直角一边稳稳的，像个老实人，而另外两个锐角就像那俩调皮的小子，总是想着怎么互相捉弄。

不过呢，今天我们要聊的就是这两个小家伙——直角三角形的锐角，嘿，他们可是有个秘密呢！你们知道吗，这两个锐角竟然是互余的！听起来是不是有点复杂？其实没那么难，来，让我们一起揭开这个秘密吧。

我们得知道什么叫互余。

简单来说，互余就是两个角加起来恰好等于九十度。

想象一下，就像两块拼图，拼在一起刚好凑成一幅完整的图画，刚刚好，不多不少。

这不就是我们的两个锐角吗？他们就像一对最佳搭档，绝对不愿意让自己的总和超过九十度。

再说了，假如其中一个锐角大了，另一个就得小了，互相之间像是一种奇妙的平衡关系。

那你说，这个秘密是怎么来的呢？其实很简单，直角三角形的一个角是直角，等于九十度。

剩下的两个锐角相加，自然就得等于九十度啦。

这就好比你有个大蛋糕，切成了三块，其中一块是最大的，你知道，剩下的两块必须得一起拼成这块蛋糕的余量，才能合在一起。

这样一来，我们就有了两个锐角的互余关系。

想象一下，如果我们把这两个锐角分别命名为A和B。

哎呀，这俩小家伙真是有趣，A角看着B角，总是说：“嘿，兄弟，咱俩今天一起好好凑个数吧！”B角则一脸笑容回应：“没问题，老大，只要咱们俩加起来是九十度，今天的任务就完成了！”听起来是不是特别生动？这就是直角三角形的锐角们在日常生活中的小对话。

再进一步想想，这种互余的关系其实在很多地方都能找到。

比如说，生活中我们总是需要找到一种平衡，才能让事情顺利进行。

就像家庭里，父母和孩子之间的关系也有种微妙的互补。

孩子需要的是父母的关心，而父母则需要孩子的理解。

是不是很像我们今天聊的锐角呢？这让我们发现，生活中的许多关系都有这种互相成就的感觉。

再说说数学的魅力。

很多人觉得数学就是枯燥无味的数字和公式，但其实它就像是一扇窗户，让我们看到世界的另一面。

11.2.1直角三角形两个锐角互余教学设计 2022-2023学年人教版数学八年级上册

11.2.1 直角三角形：两个锐角互余教学设计一、教学目标•理解直角三角形的定义和性质；•掌握一个锐角和直角互余的概念；•能够应用互余角的概念解决与直角三角形有关的问题。

二、教学重点和难点1. 教学重点•直角三角形的定义和性质；•锐角和直角互余的概念；•应用互余角解决与直角三角形有关的问题。

2. 教学难点•运用互余角概念解决实际问题。

三、教学过程1. 导入与展示•引导学生回顾直角三角形的定义，并提醒他们直角三角形内的两个锐角之和是多少。

•提问：是否存在一种情况，两个锐角的和不是90度，但它们又有特殊的关系？•引入本节课的内容：直角三角形中，两个锐角互余的情形。

2. 概念讲解与例题演示•讲解互余角的概念：当两个角的和等于90度时，它们互为互余角。

•以示意图辅助讲解：直角三角形ABC，角A为直角，角B是一个锐角，则角C必为互余角。

•指导学生通过观察图形，得出直角三角形中两个锐角互余的结论。

•给出一些例题，引导学生理解互余角的概念，并使用该概念解决相关问题。

3. 练习与巩固•学生个人完成教材中相关习题，并互相核对答案。

•以小组形式进行讨论和解答。

•选取几道典型习题，进行板书讲解和解题技巧分享。

4. 拓展与应用•结合实际生活中的问题，让学生应用互余角的概念解决相关问题，如建筑、装修等。

•引导学生思考和讨论，在解决实际问题中灵活运用互余角的概念。

5. 总结与反思•回顾本节课的重点内容，学生以适当的方式总结和归纳所学的知识点。

•引导学生思考互余角的概念在实际问题中的应用，以及学习过程中的反思和感受。

四、板书设计直角三角形的定义和性质：- 直角三角形：一个角为90度的三角形。

- 锐角：小于90度的角。

互余角的概念：- 互余角：两个角的和等于90度。

直角三角形的互余角：- 直角三角形中，两个锐角互余。

五、教学资源准备•教材：人教版数学八年级上册•教学辅助工具：白板、黑板、多媒体设备等六、课后作业1.完成教材中相关的练习题；2.在生活中寻找直角三角形，并用互余角的概念解释其两个锐角的关系。

11.2.1 第2课时直角三角形的两个锐角互余人教版数学八年级上册精选课件

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂训练
1.如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（ D ） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF
课堂训练
2.如图，已知直线 AB∥CD，∠C=80°，∠A=40°, 则∠E=（ C ） A．80° B．30° C．40° D．60°
新知探究
知识点2 三角形的外角的性质问题如图 .
（1）△ABC的三个内角有什么关系？
∠A+∠B+∠ACB=180°.
三角形的外角
（2）△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
与外角相邻的内角
∠ACD与∠ACB互补，即∠ACD+∠ACB=180°.
新知探究
知识点2 三角形的外角的性质（3）△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360°. 到什么B结论？ F
CD
新知探究
知识点3 三角形的外角和
三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
新知探究
理∠2=∠C+∠D,∠3=∠E +∠F.
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F.
∵∠1、∠2、∠3是△PMN的外角, C
∴∠1+∠2+∠3=360°.

人教版八年级上数学课件1.1第2课时直角三角形的性质和判定

解：∠A=∠C.理由如下：
A
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
与图1有哪些共同点与不同点？
B o
D
C 图2
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD、BC相交于点E.
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中,
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
直角三角形的性质与判定
课堂总结
性质
直角三角形的两个锐角互余
判有两个角互余的三角定形是直角三角形
第1题
第2题
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=__5_2_°____.
3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三
角形是_直__角__三__角__形___.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ B ） A．40° B．50° C．60° D．70°
？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
1.直角三角形的两个锐角互余．
A
▼应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． B
C
2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直
角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．
例1 （1）如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O， ∠A与∠D有什么关系？