微分方程初值问题的数值解法

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一、Euler方法及其改进
1. 显式Euler方法
将[a , b ]n 等分, 记 微分法:
ba h , xk a kh (k 0,1, n
, n)
y ( xk 1 ) y ( xk ) y ( xk 1 ) y ( xk ) y( xk ) xk 1 xk h k 0,1, , n 1
也称折线法 x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有 h y ( xk 1 ) y ( xk ) [ f ( xk , y ( xk )) f ( xk 1 , y ( xk 1 ))] 2 h yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 )] 2 称之为梯形公式.这是一个隐式公式,通常用迭代法求解.具体做 法: (0) (0) 先用Euler法求出初值 yk ,1 即 ,将其代入梯形公式 yk 1 yk h f ( xk , yk ) 的右端,使之转化为显式公式,即 h ( l 1) (l ) yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk (☆ ) 1 )] 2
x0
x
a x0 x1
xn
b
. xi xi xi 1 称为
, yn ,
代要用到 yn1, yn2 ,…, ynk+1 .
显式单步迭代: 隐式单步迭代:
yn1 yn h ( xn , yn , h)
yn1 yn h ( xn , yn , yn1 , h)
(其中L 称为Lipschitz常数),则对任何 [a ,b]上存在唯一连续可微解 y = y (x).
( x0 , y )D ,0 初值问题 (1)在
f ( x, y ) L max | | ( x , y )D y f 此时Lipschitz条件显然成立. 故常用 在D上连续有界来代 y
R} 定理2: 如果函数 f (x , y)在区域 D {( x, y) | a x b, y 上 关于 y 满足Lipschitz条件, 则(1)是稳定的.
初值问题(1)与下列积分方程的解等价:
y( x) y0 f (t , y(t ))dt
初值问题的数值解就是求一系列节点 上函数 y= y (x)的近似值 y0 , y1 , 步长. 一般取等步长 h . 单步迭代: 计算 yn+1时仅用 yn ; 多步迭代: 计算 yn+1时除用 yn 外, 还要用到 yn1, yn2 ,…; k 步迭
h yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk h f ( xk , yk ))] 或 2 也称为预估-校正法.
有时为了方便,预估-校正格式也写成下面形式:
yk 1 yk 1 2 [ K1 K 2 ] K1 h f ( xk , yk ) K h f ( x h, y hK ) k k 1 2
Taylor公式推导:
h2 y ( xk 1 ) y ( xk ) h y( xk ) y ( k ), xk k xk 1 2 yk 1 yk h f ( xk , yk ) k 0,1, , n 1
Euler公式几何意义:
y
P1 P0
P2 Pk
3. 改进的Euler方法
把Euler法作为预报(称为预估公式),把隐式的梯形公式作为校 正(称为校正公式 ),则得改进的Euler方法:
yk 1 yk h f ( xk , yk ) h y y [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 )] k 1 k 2
积分法:
yk 1 yk h f ( xk , yk ) y ( x0 ) y0
积分项利用矩形公式计算
(1) y( xk 1 ) y( xk )
xk 1
xk
f (t , y(t ))dt
(★)

xk 1
xk
f (t , y(t ))dt h f ( xk , yk ) y( xk 1 ) y( xk ) h f ( xk , yk )
( l 1) (l ) 直至满足: | yk y 1 k 1 |
(l 1) y y 取 k 1 类似地,可得 yk 2 , yk 3 , k 1
注: 当 f (x , y)关于y满足Lipschitz条件且步长h 满足
1 hL 1 2
时,迭代格式 (☆) 收敛 .
引言
初值问题的数值解法:求初值问题的解在一系列节点的值 y ( xn )的近似值 yn 的方法.本章数值解法的特点:都是采用“步进 式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进. 常微分方程初值问题: dy f ( x, y ), x [a, b] dx y ( x0 ) y0
替 f (x , y)关于 y 满足Lipschitz条件. 除了要保证(1)有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的,即 (1)的解连续依赖于初始值和函数 f (x , y). 也就是说, 当初始值 y0 及函数 f (x , y)有微小变化时, 只能引起解的微小变化.
注: 如无特别说明,总假设(1)的解存在唯一且足够光滑. 在 f 连续有界, 则 f (x , y)对变量 y 可微的情形下, 若偏导数 y 可取L为
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求未知函数 y= y (x) . 基本知识: R} 定理1: 如果函数 f (x , y)在区域 D {( x, y) | a x b, y 上 连续,且关于 y 满足Lipschitz条件
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | ( x, y1 ) D, ( x, y2 ) D, 0 L