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数学沪科版八年级(上册)12.2.4分段函数

课堂小测
（2）求出返程途中，s(千米)与时间t(时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？
解：设s=kx+b,由图象过（14，180）、（15，120）
得1145kk
b b
180,解得 120,
k -60, b 1020.
∴S=-60t+1020 .
令S=0，得t=17.
∴返程途中S 与时间t的函数关系是
车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩.
该小汽车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系可以用
图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列
问题：
s（千米）
180
BC
（1）小明全家在旅游景点 120
游玩了多少小时？
解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时.
A
D
O 5 8 10 14 15 t（时）
因此，2.7x-11.2=26.6，解方程，得 x=14. 即该户本月用水量为14m3.
方法总结要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
新知探究
例2 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务.某地区现有土地100万平方千米，沙漠200万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示. (1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
S=-60t+1020（14≤x≤17），
小明全家当天17:00到家.
新知探究
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.

分段函数的不定积分和分段函数的定积分

分段函数的不定积分和分段函数的定积分下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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专题十——分段函数

专题十——分段函数1 1．已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x ，则不等式2sgn )1(>⋅+x x 的解集是 2．已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是。

3．函数f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩1 x >00 x =0-1 x <0，g(x)=x2 f(x-1)(x ∈R)，则函数g(x)的单调递减区间是______________.4．对任意实数x 规定y 取14,1,(5)2x x x -+-三个值中的最小值，则函数y 的最大值为 5．若关于x 的不等式|x+2|+|x-1|<a 的解集为φ，则a 的取值范围是6．已知x 是实数，若⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=31,21min x x S ，那么S 的取值范围是 7．已知函数36,0()5,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则((1))f f 值为8．已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）=9．已知⎩⎨⎧><+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是．在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 . 10．已知函数f(x)=(31)4(1)log (1)a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩在R 不是单调函数．．．．．．， a 的取值范围是 11．已知函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，在R 是单调．．．增函数．．， a 的取值范围是 . 12．已知函数 (0)()(3)4 (0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是．13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧<-≥+0,40,422x x x x x x 若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 14. 已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____ ____.。

(完整word版)初中一次函数分段函数典例题

识别分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。

K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。

这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说是同一函数中的自变量X在几种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

(完整word版)分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）y xACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若xy0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x-->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。

分段函数练习 Microsoft Word 文档

一次函数——分段函数【学习目标】：1.分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象．2.及多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．3.用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力．4.并感知数学建模的一般思想．【教学重难点】：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决：对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析问题的能力。

【自学指导】：1)注意P9例1中的分析部分，知晓如何确定自变量的取值范围。

2)注意P119中的例2两个函数解析式是如何得到的，对自变量又有什么要求，依据是什么？一、情境导入：1. 如图6-5-2中的折线ABC，为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象.当t≥3时，该图象的解析式为；从图象中可知，通话3分钟需要付电话费元；通话7分钟需付电话费元.二、学法指导：分段函数图像的独特性。

一次分段函数的书写形式。

分段函数应注意那些（自变量的取自范围和因变量的取值范围）。

【师生共同探究，总结】：(一)函数解析式这个整体只是一个函数,并非是几个不同函数的简单组合,而是函数Y的几种不同的表达式.，不能认为它是两个不同的函数，只能说是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

一次函数与一次函数构成的两段分段函数；常数函数与一次函数构成的两段分段函数；三段型分段函数；四段型分段函数；五段型分段函数。

三、独立解决小试牛刀1．（江苏省宿迁市2005年初中毕业暨升学考试）我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达公里处．038512y(元)四、当堂反馈 1．（资阳市2005年中考题）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B 地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图7. 根据图象解决下列问题： (1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？ (2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)？在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x 的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面. 2．(连云港市2005年）据某气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度（km/h ）与时间（h ）的函数图象如图所示．过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为h 内沙尘暴所经过的路程(km)．（1）当时，求的值；（2）将s 随变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若城位于地正南方向，且距地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到城？如果不会，请说明理由．3．（南京市2005年中考数学试题）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示；根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升， ①求排水时y 与x 之间的关系式。

初中一次函数分段函数典例

所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x 的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.3 / 11解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2(2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15综上可得0.65(0100)0.815(100)x x y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥ (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。

专题2 分段函数

专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】 (1)由题意：当 0≤x≤20 时，v(x)＝60；当解答】由题意： ≤ ≤ ＝；由题意 200a＋b＝0， ห้องสมุดไป่ตู้ ＝， 20≤x≤200 时， v(x)＝ax＋b， ≤ ≤ 设＝＋，再由已知得 20a＋b＝60，＋＝， 1 ＝－ a＝－3，解得 b＝200. ＝ 3 ， ≤ ， 60，0≤x<20，故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝1 的表达式为＝－ ) ≤ ≤ 3(200－x)，20≤x≤200.
专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】解答】＋ ( ≤ ) x＋8(0<x≤4)， (1)因为 m＝4，所以 y＝ 24 因为＝，＝ ) － x－2(x>4).
当 0<x≤4 时，x＋8≥4，显然符合题意； ≤ ＋ ≥ ，显然符合题意； 24 综上，当 x>4 时， ≥4⇒4<x≤8.综上，0<x≤8. ⇒ ≤ 综上 ≤ x－2 －所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天．
专题二 │ 要点热点探究
【点评】在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段点评】在处理分段函数的单调性时，函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．
a . 2
专题二 │ 要点热点探究
(ii)当 1< 当上大于 0，，所以
f(x)在区间1，在区间， a a 上为减函数，在上为减函数，上为增函数，，e上为增函数， 2 2 a 3a a a a <f(e)＝e2；时，ymin＝ 2 －2ln2，且此时 f ＝ 2 2 a 2 <e， 2<a<2e 时，′(x)在1， f′ 在，即 2 ， a a 上小于 0，，e ，在 2 2

2.11分段函数、绝对值函数Microsoft Word 文档

2．11分段函数与绝对值函数——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二．建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。

2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。

4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（） A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=<C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是( )4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()3(01)log (1)xx f x x x x ⎧<⎪⎪=≤≤⎨>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域。

经典分段函数专题

经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关类型五;与求导和函数性质有关类型六：数形结合咼考真题2010IlX 已知函数心）』"+ 1'心°,则满足不等式/（1-X 2）>∕（2x ）的X 的围是1, XVo【解析】考查分段函数的单调性。

卩一XnXW （-1返-1） l-x 2>020112x + a,x < 1右√(l -α) = ∕(l + d), -x-2a,x≥ 1则a 的值为201210 .（程组求解）设/⑴是定义在R 上且期为2的函数，在区间上,UX +1» -1 ≤ .¥ < 0 >bx + 2八. 其中e beR •若/,0 ⅛ Λ ⅛ 1 > x + 1【解析】因为T = 2、所以/(-1) = /(1),求得2a+b = O.1 31 1由 =T = 2得/£)=于(一三，解得3" + ” = —2.IK （分类程求解）已知实数a≠0,函数/（x ）=/U) = 则a + 3b 的值为▲a = 2b = -4所以 a + 3b = -∖0. 2013H ・(分区间二次不等式求解)已知/(X)是定义在R 上的奇函数。

当x>0时,fw = x 2-4x,则不等式/(x) > X 的解集用区间表示为 __________________ -【答案】(-5, 0) U (5, + 8)【解析】做出f(x) = x 2-4x (x>0)的图像如下图所示。

由于/(X)是定义在R 上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x< 0的图像n 不等式/(x) > X,表示函数y= /(X) 的图像在y=x 的上，观察图像易得：解集为(-5, 0) u(5, +8)。

201413.(期函数+数形结合求围)已知f(x)是定义在R 上且期为3的函数,当x∈[03) 时,f(x) =∣Λ-2-2x + l∣.g 函数y = f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数H 的取值围是一 ▲. 【答案】(Om【解析】作出函数/U)=Λ∙2-2Λ + 1,X ∈[0,3)的图象，可见/(0) = 1 当x = l 时，1 7/(x)IK C /(3) = -.程f(x)-cι = °在x∈[-3,4]±有 10个零点，即函数y = fW 和图象与直线)=0在[-3,4]上有10个交点，由于函数/⑴的期为3,因此直线y = d 与函数/(X)= Λ-2-2Λ + i,x∈[0,3)的应该是4个交点，则有6∕∈(0 i)2a + b = 03cZ 一2'解得2015 13.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数/(A)=IliixI,0,0 <x≤ 1亠S8W = ∖l , ZlI n 1.则程I/W+ ^(x) 1=1实根的个数为 12 _41—2,牙 > 1【答案】4【解析】由题意得：求函数r=/(A-)⅛τ=l-^∙)交点个数以及函数J- =∕(X) ⅛ι∙= -l-g(χ)交点个数之和, L0<x<L因⅜j'=l-5(χ)=7-r s x≥2 ,所以函顼尸/(工)与JyL-g(x)有两个交点，又X l-Ll <x< 2-LO<r<ly = -l-g(x> 5-Λ∖X≥2,所以函y = ∕(x)⅛τ=-l-^(x)W两个交点，因此共有4个交点.v a -3.1 < X<2【芳点定位】函数与方程【名师点暗】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法将程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数•这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势(单调性，极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢.201611.(程求解)设f(*)是定义在R上且期为2的函数，在区间[71)上X + a,一ISXV(Xf(x)≈∖ 2V f上-1 O≤Λ<L5[Ij1则f(5a)的值是 ______________其中aeR.若/[-∣j = /【答案】；{ s∖ (9∖ 1 1 3*⅛2Γ⅛Γ^^2+" = iδ1则八夕3 2则/(56∕) = ∕(3) = ∕(-l) = -l + ^ = -l + - = -j2017 年r~ X^D14 •设/(X)是定义在R上且期为1的函数，在区间[OJ) ±l f(x) = [ 9 n其中集合X, X e D,D = {x∣x = -, n∈N*}t则程 /(X)-Igx = 0 的解的个数是▲ n【答案】8【解析】由于/(X)∈[0,1),则需考虑l≤x<10的情况，在此围，x∈Qfiχ∈D⅛, ⅛A∙=-√Λ<7∈N∖∕^≥2I且"4互质，P若IgXeQ l则由IgXe(0,1),可设lgx = -5m,n∈N∖∕n≥2l且加』互质, In因此IO-=^l则IO n=(V l此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg"Q, P P因此IgX不可能与每个期XeD对应的部分相等,只需考虑IgX与每个期X^D的部分的交点,画岀函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个期X^D的部分，且X = I处(Ig牙)'="=丄丁 <],则在x = l附近仅有一个交点,XlnIO InIO因此程/U)-IgX = O的解的个数为8・【考点】函数与程【名师点睛】对于程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值.结合函数的单调性、草图确定其中参数围・从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、期性等・由题意得彳弓个。

分段函数专题

1、(2008 四川广安)“5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒件，共捐助救灾款元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元．（用含的式子表示）（2）写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．（3）该经销商两次至少共捐助多少元？2、（2008年云南省双柏县）依法纳税是每个公民应尽的义务．从2008年3月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过2000元，不需交税；超过2000元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率(%)1 不超过500元的 52 超过500元至2 000元的部分103 超过2 000元至5 000元的部分154 超过5 000元至20 000元的部分20………（1）某工厂一名工人2008年3月的收入为2 400元，问他应交税款多少元？（2）设x表示公民每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当2500≤x≤4000时，请写出y关于x的函数关系式；（3）某公司一名职员2008年4月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？3、《彭城晚报》2001年4月12日报导了“养老保险执行新标准”的消息。

云龙中学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出徐州市区企业职工养老保险个人月缴费y(元)随个人月工资x(元)变化的图象(如图)。

请你根据图象解答下面的问题：(1)张总工程师五月份工资是3000元，这月他个人应缴养老保险____元；(2)小王五月份工资为500元，这月他应缴养老保险____元；(3)李师傅五月份个人缴养老保险56元，求他五月份的工资是多少？4、新《个人所得税》规定，公民全月工薪不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累计实行计算：全月应纳税所得额税率不超过500元部分 5%超过1500至2000元的部分10%...... ......（1）冯先生5月份的工薪为1800元，他应缴纳税金多少元？（2）设某人月工薪为X元（1600<X<2100）应缴纳税金为Y元，试写出Y与X得关系式（3）若费先生5月份的缴纳税金很多于160元，也不多于175元，试问费先生该月的工薪在什么范围内？5、参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住住院医疗费（元）报销率（%）不超过500元的部分0超过500～1000元的部分60超过1000～3000元的部分80……7、为了增强农民抵御大病风险的水平，三明市政府根据本地的实际情况，制定了2010年全市新型农村合作医疗住院统筹补偿方案，其中县级定点医疗机构的住院补偿费标准为：起付线400元（即医疗费400元及以下自理），医疗费超过400元的部分补偿比例为60%，封顶线（即最高补偿费）为60000元．（1）享受合作医疗的李大妈在一次住院治疗中的医疗费为18000元．则她这次住院医疗得到的补偿费为多少元？（2）王老伯在一次住院治疗中得到的补偿费为60000元，他的住院医疗费最少为多少元？（3）设享受合作医疗的农民在一次住院治疗中的医疗费为x元，按规定得到的补偿费为y元，根据补偿费标准，得到y与x的函数图象如图所示．分段写出y与x的函数关系式及相对应的自变量x的取值范围．第2题第5题图 11y (千米)200150100509876x (时)4513-2O-128、荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城．若“五一”黄金周有甲，乙两个旅行团到该景点参观，两团人数之和为120人，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W 元，甲团人数x 人，①求W 与x 的函数关系式；②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？9、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象实行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；（2）请解释图中点B 的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？10、在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与B 港的距离分别为y1、y2（km ），y1、y2与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ，a= ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km 时能够相互望见，求甲、乙两船能够相互望见时x 的取值范围11、表示快递车距离A 地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时．⑴请在图11中画出货车距离A 地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象；⑵求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；⑶求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时？ 6 人数人) 100 50 0 8门票价格(元) 4第5题。

人教版八年级数学下册19.2.5分段函数

把它误认为是几个函数.
7
引导探究
1、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了
按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(
元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示. （1）分别写出当0≤x≤15,x＞15时，y与x的函数
关系式；
（2）若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
8
跟踪练习
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线
分段函数的解析式应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况，分段函数是一个
函数，不要把它误认为是几个函数.
1、理解分段函数的概念； 2、会根据题意求出分段函数的解析式并画
（2）服药5时，血液中含药量为
出函数图象.
5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
则当 0≤x≤30 时，y 与 x 之间的函数解析式为____________；
（2）服药5时，血液中含药量为
3、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）
的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
2、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网
2、当0≤x≤2时，y关于x的关系式为 y=5x . 当x＞2时，超过的部分可表示为 x-2 ，y关于x 的关系式为_y_=_5_×__2_+_(_5_×__0_._8_)_(_x_-_2) ____. 3、思考中的购买1.5千克种子是第一种收费标准，还是第二种？为什么？3千克呢？
5分钟后比一比谁的效果好！

一次函数---分段函数doc

八年级主备人：孙金莲集体备课时间： 5.8个人授课时间：序号：sx14课题：一次函数———分段函数学生姓名：学案序号：一目标导学，引入新课亲爱的同学，通过本节课的学习，相信你一定可以达成下列目标：（1）能利用一次函数的性质和图像解决简单的数学问题，发展学生的数学应用意识。

（2）根据题目条件确定分段函数关系式，解决实际问题．（3）能把实际问题抽象成数学问题，运用数学知识于实际问题中。

二自主学习，合作交流通过自主学习教材P94~95的内容，尝试完成下列思考，培养你的自主学习能力：１．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/㎏，如果一次购买2㎏以上的种子，超过2㎏部分的种子价格打8折。

（1）填表：２．从A地向B 地打长途电话，通话时间不超过3min收费2元，超过3min后每分钟加收1元。

写出通话费用y（单位：元）关于通话时间x（单位：min）的函数关系式。

有10元时，打一次电话最多可以通话多长时间？（通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min 计算）３．小组交流上面学习过程中的收获。

三．疑难点拔，因势利导下面学习材料，将由教师与你一起完成，并要求由此形成规范的过程书写和优化的思考方法。

甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间，两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元的价格部分打7折。

（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出（1）中函数图像（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？四．练习检测，自我反思通过下面独立练习，你将可以自查本次课学习目标的达成水平，并由此作好后续学习调整。

１教材P95练习 2（直接写在教材空白处）２某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。

居民每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其图象如图所示：（1）分别写出50≤<x 和5>x 时，y 与x 的函数解析式；（2）若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？五．拓展延伸，个性发展如果上面学习内容，你已经非常熟悉，请尝试完成下列计算：某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴ 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式；⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？补充作业（《新观察》P95-96）六．学后反思，自我小结：。

分段函数知识点及常见题型总结精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版分段函数知识点及常见题型总结资料编号:20190726 一、分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集; （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.二、几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=（[]x表示不大于x的最大整数）.其图象如图（1）所示.图（1）取整函数的图象图（2）绝对值函数的图象2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222x x x x x y ,其图象如图（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决. 3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2x x x x x x x x f 为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图（4）所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图（3）图（4）符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 三.分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【】（A ）21-（B ）2 （C ）4 （D ）11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【】（A ）0 （B ）2- （C ）1- （D ）1 2.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【】（A ）2- （B ）2或25-（C ）2或2- （D ）2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于_________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x ∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或.习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【】（A ）][1,0 （B ）][2,0 （C ）](1,∞- （D ）](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是____________.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_________.例4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11图（5）∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意. 综上,a 的值为43-. 习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________.习题8. 设函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【】（A ）x - （B ）2x - （C ）x （D ）2x习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【】（A ）1± （B ）1- （C ）2-或1- （D ）1±或2- 4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 . 5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域（图象法）. 例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域.解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ;当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y图（6）其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-; 当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【】（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）无最大值解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图（6）所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【】（A ）{}5,4,2 （B ）()5,2 （C ）()4,2 （D ）()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【】（A ）R （B ）)[∞+,0 （C ）[]3,0 （D ）[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x x x x f .（1）用分段函数的形式表示该函数; （2）画出该函数的图象; （3）写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象;（2）求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; （3）当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图（7）。

分段函数专题

A分段函数专题题型一、分段函数的图象1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是（）题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式。

题型三、分段函数的值域、最值1、求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．2.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值题型四、与分段函数有关的解不等式、解方程及求值问题1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、(2011年高考北京卷理科13)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______ 3、(2011年高考陕西卷理科11)设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a = 4.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=,0),2()1(,0),1(log )(2x x f x f x x x f 则)2009(f 的值为（）A.-1B.0C.1D.2题型五、分段函数的单调性问题已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（）（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3) (D)(1,3)题型六、分段函数创新题1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x x y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（）A.21≥m B. 1≥m C. 21<m D. 0>m 2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x xx R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.题型七、分段函数应用题（2011年高考湖北卷理科17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）总结：1、求解析式：利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式方程：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

初中分段函数

初中分段函数四川汶川大地震后，某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成，已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶，为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到提高，这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶，由于机器损耗原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加一顶帐篷，平均每顶的成本就增加20元，设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶（1）直接写出Y与X之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）若这批帐篷的订购价格为1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区，设车间每天的利润为W元，试求出W与X之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？2.我市高新技术开发区的某公司，有480万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件。

设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）。

（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总赢利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？3.信每封信的质量不超过20g付邮资120分，超过20g但不超过40g付邮资240分，超过40g但不超过60g 的付邮资360分，依此类推，试画出不超过90g的函数y（分）关于信函的质量x（g）的函数关系图像。

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分段函数专题
1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）
之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费元；
（２）求y与x之间的函数关系式；
（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
2、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.
(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;
(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
3 、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：
（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上
基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即
下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之
间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何
奖
励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务
多少时间？
5、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分）与相应话费y （元）之间的函数图像如图所示。

（1）月通话时间为100分钟时，应缴纳话费多少元？
（2）当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式。

（3）月通话时间为280分钟时，应缴纳话费多少元？
7、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3
m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元．
（1）分别求出0≤x ≤20和x ＞20时y 与x 的函数表达式；月份四月份五月份六月份
交费金额 30元 34元 42.6元
8、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）设每月用水量为吨，应交水费为y 元，写出y 与之间的函数关系式；
（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？
9、因长期干旱,甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值,为灌溉需要,由乙水库向甲水库匀速供水,20h 后,甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉,又经过20h,甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉,再经过40h,乙水库停止供水.甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同,图中的折线表示甲水库蓄水量Q(万m 3)与时间t(h)之间的函数关系.
求: (1)线段BC 的函数表达式;
(2)乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度;
(3)乙水库停止供水后,经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值?
10、右图是某汽车行驶的路程S (km)与时间t (min)的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
（2）汽车在中途停了多长时间？（3）求S 与t 的函数关系式.
0 9 16 30 t /min S /km 40 12
11、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b a
>）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求b的值，并写出当10
x>时，y与x之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，
求他们上月分别用水多少吨？
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