中考数学构造法解题技巧

构造法在初中数学中的应用

所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学

对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求

解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：

一、构造方程

构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真

分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获

得问题解决。

例1:如果关于x的方程ax+b=2 （2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？

解：原方程整理得（a-4）x=15-b

???此方程有无数多解，?—-4=0且15-b=0

分别解得a=4, b=15

2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

4 _ 2

g 住W+4 例匕己知实数鮎b 分别满足卩『 ? 和bfm ■求代数式 / 的值*

4 _ 2 * * 解析’由于实数2、b 分别满足孑一匚

17丿I 和存F+酹7 = 0,于是可知。从而.我们可以将/和戸看

成是方程尸11的两个不等的实根。不妨设方程（I 啲两个不尊的实根分别为％与耳,

_ 2 風、4

且7 .也=于是由一无二茨方程韦达定理.可知—1 妁=3.所以 胪

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3:已知3, 5, 2x ，3y 的平均数是 4。20，18, 5x , -6y 的平均数是1。求 一

分析：这道题考查了平均数概念， 根据题目的特征构造二元一次方程组，

从而解出 x 、y 的值，再求出 的值。

解：根据题意得（3 + 5 + 2x+3y=4X4

20 + 18+5/+ (-6y) = 4X1

解得f x = -2

所 iy. x ;+y : =

80

y=4

二、构造几何图形

1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可

以通过构造适当的图形把其两者联系起来， 从而构造出几何图形， 把代数问题转化为几何问

题来解决?增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

例4:已知「」?卜 二二4、，则x 的取值范围是（） 和b J -b--3=0.也就是它们分别滿足 的值。

1< x W5 B x <1C1 v x v 5 D x >5

分析：根据绝对值的几何意义可知：|兀-1| + ］兀_：5|二4「表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3,只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5）, 那么它到1与5的距离之和都等于4,所以1< x < 5,故选A。

2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问

题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。

例5:如图，在△ ABC中，/ B=2/ C,/ BAC的平分线交BC于点D。求证：AB+ BD

=AC

分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性

质，往往能够找到解题途径。因此，延长CB到点F,使BF=AB连接AF,则厶BAF为等腰三

角形，且/ F=/ 1.再根据三角形外角的有关性质，得出/ ABD/ 1+/ F ,即

/ ABD=/ 1=2/ F,而/ ABD=/ C,所以/ C=/ 仁/ F , △ AFC为等腰三角形，即AF=AC

又可得△ FAD为等腰三角形，因此，AF=DF=DB+BF=DB+A即AB+ BD= AG

三、构造函数模型，解数学实际问题

在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言

转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学

知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题

实践能力。

例6:（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品获总利润为y （元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

解；（1 ）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x ）件，由题意得:

+10(50-z)< 290

解得：30W x w 32

?/ x是正整数

??? x = 30 或31 或32

???有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品

31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。

（2）由题意得；y = 700X+1200 （50-x ）=-500x+60000

??? y随x的增大而减小