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鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题(附答案)

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初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形本章综合与测试-章节测试习题(4)

初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形本章综合与测试-章节测试习题(4)

章节测试题1.【答题】如图，DE是的中位线，过点C作CF//BD交DE的延长线于点F，则下列结论中正确的是（）A. EF=CFB. EF=DEC. CF＜BDD. EF＞DE【答案】B【分析】【解答】2.【答题】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边相等，一组对角相等C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D. 一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线【答案】C【分析】【解答】3.【答题】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC 的中点，以下说法中错误的是（）A. B. OA=OCC. ∠BOE=∠OBAD. ∠OBE=∠OCE【答案】D【分析】【解答】4.【答题】已知正多边形的一个外角为72°，则这个多边形的边数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【分析】【解答】5.【答题】如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m.又向左转24°，一照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A. 140mB. 150mC. 160mD. 240m【答案】B【分析】【解答】6.【答题】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，得出其和等于830°，则该多边形的边数是（）A. 7B. 8C. 7或8D. 9【答案】C【分析】【解答】7.【答题】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】C【分析】【解答】8.【答题】如图，在中，∠BAD=120，连接BD，作AE//BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB=（）A. 2B. 1C. 3D. 2【答案】B【分析】【解答】9.【答题】在中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有______对．【答案】4【分析】【解答】10.【答题】已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是______【答案】10【分析】【解答】11.【答题】平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边之间的距离是8cm，则两条短边之间的距离是______cm．【答案】10【分析】【解答】12.【答题】在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（-2，5），B（-3，-1），C（1，-1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是______．【答案】（2，5）【分析】【解答】13.【答题】如图，的三边长分别是A，B，C，连接各边中点构成，再顺次连接的各边中点得到再顺次连接的各边中点得到，则的周长是______.继续做下去，则的周长是______．【答案】【分析】【解答】14.【题文】（8分）如图，的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC 上，G，H在BD上，AF=CE，BH=DG.求证：GF//HE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴．又∵，∴，即．同理得，∴四边形EGFH是平行四边形，∴．【分析】【解答】15.【题文】（10分）如图：在中，，为的中点．求证：．【答案】提示：可证和都是等腰三角形，则，.由，，，得，从而结论得证．【分析】【解答】16.【题文】（10分）如图，在中，，，分别是，边的中点，在的延长线上，．求证：四边形是平行四边形．【答案】提示：可证，，根据“内错角相等，两直线平行”可证明，由平行四边形的定义可证得结论．【分析】【解答】17.【题文】（10分）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边三角形、等边三角形.已知，，垂足为，连接．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明：∵中，，∴．又∵是等边三角形，，∴.∴且，∴．∵，∴，∴．又∵是等边三角形，∴，∴．∵，∴，∴四边形ADFE是平行四边形．【分析】【解答】18.【题文】（12分）如图，已知是的边上一点，，交于点，且，猜想线段与线段有什么关系，并加以证明．【答案】解：线段CD与线段AE的关系是：平行且相等．证明：∵，∴.∵，，∴，∴.∴四边形ADCE是平行四边形，∴，．【分析】【解答】。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．34．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．255．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C 和∠D的度数．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：参考答案:一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，∴S△BDH：S＝（×4）：3＝2：3，∴S△BDH＝S，∴+S＝14﹣×14，∴S＝．故选：D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．3【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．25【解答】解：一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形CEOQ、CEIM、CEGI、AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共9个，一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共6个，还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN，共10个，9+6+10＝25个，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，∴GC′＝，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 1.5．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝S．【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为，∴＝＝＝，∵△ABC的面积为S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案为：S．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成8个三角形．【解答】解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；七边形可分割成7﹣2＝5个三角形∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝14．【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD 的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为4．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．【解答】解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB 于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：②③④．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝CD∴AC＝DB∵BC＝BC，AC＝DB，AB＝DC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC＝∠CDB∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC∴△ABO≌△CDO∴OA＝OD≠OC∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD∴由等腰梯形的性质得出其对称轴只有一条所以①不正确，②③④正确．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF＝AB，EF∥AB，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BECD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】解：（1）证明：延长BD交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD（SAS），∴AB＝AE，BD＝DE，∵M为BC的中点，∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，∵DM＝2，DM＝CE，∴CE＝4，∴AC＝10+4＝14．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF，∵CE＝CF，∠C＝90°，∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°，∴MG＝NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG＝MN，∴AE＝2NG＝NG＝×2MN＝MN，即AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成4个三角形，……；则n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为2018．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成（n﹣1）个三角形．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：3，4，（n﹣2）；（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；故答案为：2018；（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．【解答】解：连接AC．∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．连接BD．∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，∴CE⊥AD，又∵∠ECD＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，∴CE＝＝＝，又∵在Rt△BCE中，BC＝4，∴BE＝＝＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，∴∠CGH＝∠CMG＝45°，∴CG＝CM，∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，∴∠BCG＝∠ECM，又∵BC＝EC，∴△BCG≌△ECM（SAS），∴∠CEM＝∠CBG＝45°，又∵∠BEC＝45°，∴∠MEG＝90°，又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，∴H是MG的中点，∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【解答】证明：连接AC，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C（附答案）一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h13．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．44．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．35．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．2810．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是厘米．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为，平移距离．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是（写出一组符合条件的组合）．20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是．（填正确结论的序号）三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB（1）若∠DAB＝72°，∠2＝°，∠3＝°；（2）求证：AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定【解答】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（AC+BC+AB）＝×（6+8+10）cm＝12cm．故选：A．2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h1【解答】解：如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线，∴h1＝2OC，同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2＝2OC，∴h1＝h2．3．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B＝60°，∴AC＝BC，∴CD≠BC．②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③．故选：C．4．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．3【解答】解：∵面积为4的正方形折叠以后展开面积不变，∴若把最后折叠成的三角形展开后面积仍为4．沿中位线减去小三角形，小三角形的面积与原三角形面积之比为，故剩下部分展开所得图形的面积是×4＝3．故选：D．5．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形【解答】解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；（2）为菱形，有两个角为60°；（3）为等腰梯形．故选：D．6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵图中是一个正六边形和两个等边三角形，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣120°＝60°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣∠2﹣60°＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，∵∠3＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣70°＝50°．∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，即60°﹣∠1+120°﹣∠2+50°＝180°，∴∠1+∠2＝50°．故选：B．7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，∴OB＝EF＝OD，∴BE＝OF，OE＝DF，∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝，当AE⊥BD时，AE＝＝＝；若此时CF⊥BD，则AE+CF＝，而AE⊥BD时，CF与BD不垂直，当E为OB的中点，F为OD的中点时，∵∠BAC＝90°，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，∴选项A、B、C错误；故选：D．8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；B、∵AB∥CD，∴∠CDO＝∠ABO，∠OAB＝∠OCD，∵AO＝CO，∴△DCO≌△ABO，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；C、∵AB∥DC AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故本选项不能判定这个四边形是平行四边形；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项能判定这个四边形是平行四边形；故选：C．9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．28【解答】解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．10．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解答】解：①正确，等腰梯形同一底上的两角相等；②正确，可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而根据对应角相等可以得到∠DBC＝∠ACB；③错误，应该是S△ABC＝S△DCB；④错误，AC不一定等于BC，故∠CAB不一定等于∠CBA，故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝30°．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴∠CAB＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB＝30°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，故答案为：30°．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是6厘米．【解答】解：∵△ABC的周长是12cm，∴△ABC三条中位线围成的三角形的周长＝×12＝6（cm）．故答案为：6．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于3．【解答】解：如图，过E作EF∥AD，交BC于F，则∠CEF＝90°，∵E是AB的中点，∴F是BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AD＝2，∴Rt△CEF中，CF＝＝＝2，∵AD平分∠BAC，AD⊥CE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∴G是CE的中点，∵GD∥EF，∴D是CF的中点，∴CD＝DF＝BF＝，∴BC＝3，故答案为：3．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是1．【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝4，BD＝BC＝3，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝1．故答案是：1．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为AB方向，平移距离1．【解答】解：∵AF＝BF＝1，AE＝EC，∴EF∥BC，EF＝BC＝BD，同理FD∥AC，FD＝AC＝AE，∴△AFE沿AB方向平移1个单位得到△FDB；故答案为：AB方向，1．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝5，解得n＝7．故这个多边形是七边形．故答案为：七．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为720°．【解答】解：正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故答案为：720°．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝40°．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B﹣∠A＝100°，∴2∠A＝80°，∴∠A＝40°；故答案为：40°．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是①④或②④（答案不唯一）（写出一组符合条件的组合）．【解答】解：由①④，可以推出四边形ABCD是平行四边形，由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形．故答案为①④或②④．（答案不唯一）20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是①②④．（填正确结论的序号）【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，∴AB＝CD，CD＝EF，AB∥CD，CD∥EF，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形；故①正确；∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，∴AD＝BC＝（平行四边形ABCD的周长﹣AB﹣CD），CF＝DE＝（平行四边形的周长﹣CD﹣EF），∴AD＝BC＝CF＝DE，∴△ADE是等腰三角形；故②正确；∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵∠CFE＝110°，∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等；故③错误；∵∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝25°，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．【解答】解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝27°．∴∠BGA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAG＝83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．【解答】解：（1）连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，（2）∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝＝．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．所以共有132种分割方案．26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB （1）若∠DAB＝72°，∠2＝54°，∠3＝36°；（2）求证：AE∥CF．【解答】（1）解：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B＝360°，∠D＝∠B＝90°，∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠D+∠B）＝180°，∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∠DAB＝72°，∴∠1＝∠DAB＝36°，∠2＝∠DCB，∴∠1+∠2＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，∴∠2＝54°，∵∠3+∠2+∠B＝180°，∴∠3＝180°﹣∠B﹣∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，故答案为：54，36；（2）证明：由（1）得∴∠1＝36°，∠3＝36°，∴∠1＝∠3，∴AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠ABF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ABE和△ACD中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠CDF＝∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠CDF＝90°，∵DE＝AB，∴DE＝DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FEC＝135°．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，又∵∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∵∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2（附答案）一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,、、A B C 三点的坐标分别是()()()1,2,4,2,2,1--,若以A B C D 、、、为顶点的四边形为平行四边形,则点D 的坐标不可能是（ ）A ．()7,1-B ．()3,1--C ．()1,5D ．()2,52．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．以上都有可能3．一个多边形从一个顶点出发共引3条对角线，那么这个多边形对角线的总数为（ ）A ．5B ．37C ．8D ．94．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，如果AC ：BC=4：3，AB=10cm ，那么BD 的长为（ ）A ．3cmB ．cmC ．6cmD ．12cm5．下列结论正确的是（ ）A ．平行四边形是轴对称图形B ．平行四边形的对角线相等C ．平行四边形的对边平行且相等D ．平行四边形的对角互补，邻角相等 6．如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，那么一个顶点处需要（ ）A ．三个正三角形、两个正六边形 B ．四个正三角形、两个正六边形C ．两个正三角形、两个正六边形D ．三个正三角形、一个正六边形7．如图是六边形ABCDEF ，则该图形的对角线的条数是( )A ．6B ．9C ．12D ．188．如图，在□ABCD 中，AB ＝26，AD ＝6，将□ABCD 绕点A 旋转，当点D 的对应点D ′落在AB 边上时，点C 的对应点C ′恰好与点B 、C 在同一直线上，则此时△C ′D ′B 的面积为（）9．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为（）A．2 B．192C．22D．110．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD 长的取值范围是( )A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞1011．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（）A．B．C．D．12．如图，在ABCD中，50C︒∠=，55BDC︒∠=，则ADB∠的度数是( )A．105︒B．75︒C．35︒D．15︒二、填空题13．正十二边形的内角和是.正五边形的外角和是.14．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则三角形的周长为______cm.15．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB=6，△OCD的周长为23，▱ABCD的两条对角线的和是．16．过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是____，内角和为____，外角和为____17．如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为________．18．如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为______ ．19．以不在同一条直线上的A 、B 、C 三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作________个.20．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB,CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且3AE =，则平行四边形ABCD 的周长是____．21．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8cm AD =，5cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE =__________cm ．22．已知一个四边形的边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且a 2+b 2+c 2+d 2＝2ac+2bd ，则此四边形的形状为_____________.23．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，已知B （-1,0），C （9,0），则点F 的坐标为______________.24．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，则m+n 是________．三、解答题25．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．27．如图，Rt△PQR中，∠PQR=90°，当PQ=RQ时，．根据这个结论，解决下面问题：在梯形ABCD中，∠B=45°，AD//BC，AB=5，AD=4，BC=，P 是线段BC上一动点，点P从点B出发，以每秒个单位的速度向C点运动．（1）当BP= 时，四边形APCD为平行四边形；（2）求四边形ABCD的面积；（3）设P点在线段BC上的运动时间为t秒，当P运动时，△APB可能是等腰三角形吗？如能，请求出t的值；如不能，请说明理由28．如图所示，在ABCD中，CE∥BD，EF⊥AB交BA延长线于点F，E，D，A在一条直线上，那么有DF＝12AE，请你说明理由．(提示：直角三角形中斜边中线等于斜边的一半)29．如图，▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A =45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE =DF ，连接EF 交BD 于O ．（1）求证：EO =FO ；（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG =1时，求AE 的长．30．如图，CD 是△ABC 的高，E ，F ，G 分别是BC ，AB ，AC 的中点，求证：FG ＝DE.31．如图1 ，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ．（1）求证： CD CE =．（2）如图2所示，点P 是平行四边形ABCD 的边BC 所在直线上一点，若BE CE =，且3AE =，4DE = ，求APD ∆的面积．32．如图，每个小正方形的边长都是1，在网格线上建立坐标系，已知(2,0)A -，(1,2)B --，(2,1)C -，(1,1)D .（1）画出四边形ABCD ；（2）判断四边形ABCD 的形状并说明理由.33．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O（0，0），A（-3，0），B（0，2），求平行四边形第四个顶点C的坐标．∆的边长为4，D为AC边上的一个动点，延长AB至点E使34．如图，等边ABC=，连接DE，交BC于点P．BE CD=．（1）求证：DP PE（2）若点D为AC的中点，求BP的长．35．如图，求x的值．参考答案1．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．2．D【解析】【分析】【详解】解：根据内角和可得：多边形的边数=1620°÷180°+2=11，则原来多边形的边数可能为10、11和12.故选：D．考点：多边形的内角和3．D【解析】试题分析：根据从一个顶点出发共引3条对角线可得这个多边形为六边形，则总的对角线的条数为：2362)3(⨯=-n n =9条. 考点：多边形的对角线4．A【解析】试题分析：由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由AC ：BC=4：3，AB=10cm ，即可求得AC 与BC 的长，然后由垂径定理求得BD 的长． 解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵AC ：BC=4：3，AB=10cm ，∴AC=8cm ，BC=6cm ，∵OD ⊥BC ，∴BD=3cm ．故选A ．考点：圆周角定理；垂径定理．5．C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A 、平行四边形不一定是轴对称图形，故A 错误；B 、平行四边形的对角线不相等，故B 错误；C 、平行四边形的对边平行且相等，故C 正确；D 、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键． 6．C【解析】【分析】根据平面镶嵌的概念逐一判断即可得．【详解】正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°，A．由3×60°+2×120°=420°≠360°知三个正三角形、两个正六边形不符合题意；B．由4×60°+2×120°=480°≠360°知四个正三角形、两个正六边形不符合题意；C．由2×60°+2×120°=360°知两个正三角形、两个正六边形符合题意；D．由3×60°+120°=300°≠360°知三个正三角形、一个正六边形不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．7．B【解析】【分析】n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．【详解】六边形的对角线的条数=() 6632⨯-=9．故选B．【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）．8．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可推出∠C′BD′=∠C=∠D′AB′=∠BD′C′，因此可得△C′BD′为等腰三角形，进而可推出△C′BD′的高，即可算出面积．【详解】如图：∵□ABCD中绕点A旋转后得到□AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=26，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵点C′、B、C在一条直线上，而AB//CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH=D′H，∵AB=26，AD=6，∴BD′=20，∴D′H=10，∴C′H2226-10，∴△C′D′B的面积=12·BD′·C′H=12×20×24=240，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的性质和等腰三角形的性质，根据题意求出三角形的高是解题关键．9．B【解析】【分析】直接利用三角形的中位线定理得出2DE =，且//DE AC ，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG 以及DG 的长．【详解】连接DE∵在边长为4的等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线，60C ∠=°∴2DE =，且//DE AC ，2BD BE EC === ∵EF ⊥AC 于点F∴30FEC ∠=︒，90DEF EFC ==︒∠∠∴112FC EC == 故根据勾股定理得22213EF =-=∵G 为EF 的中点 ∴32EG = ∴2219DG DE EG =+= 故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键．10．C【解析】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD ＜9．故选C ．11．B解：A ．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；B ． 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行 四边形；C ． 上、下这一组对边平行，可能为梯形；D ．上、下这一组对边平行，可能为梯形；故选B ．12．B【解析】【分析】由三角形内角和得到∠CBD 的度数，由AD ∥BC 即可得到答案.【详解】解：∵50C ︒∠=，55BDC ︒∠=，∴∠CBD=180°-50°-55°=75°，在ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD=75°.故选择：B.【点睛】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和与平行线的性质.13．1800°；360°【解析】试题分析：多边形的内角和定理=(n －2)×180°，任意多边形的外角和都是360°. 考点：多边形的内角和和外角和14．48【解析】∵三角形的三条中位线的长度分别为6cm 、7cm 、11cm ，∴这个三角形的三条边分别为12cm ，14cm ，22cm ，∴这个三角形的周长=12+14+22=48cm .故答案为：48.【解析】试题分析：首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为23，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣6=17，∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=34，故答案为：34．16．9 1260°360°【解析】【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）可求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算即可得内角和，根据多边形外角和定理可得答案. 【详解】设多边形的边数为n，∵过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，∴n-3=6，解得：n=9，即多边形的边数是9，∴此多边形的内角和为：(9-2)×180°=1260°，由多边形外角和定理得：多边形的外角和为360°，故答案为：9；1260°；360°【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式及多边形外角和定理，熟练掌握公式及定理是解题关键.17．24°【解析】【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的每个内角为108°和正六边形的每个内角为120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°∴∠BAC=360°-120°-108°=132°∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=(180132)242-︒=︒故答案是：24︒．【点睛】考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的内角和正六边形的内角求法是解题的关键．18．60°【解析】分析：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出答案．详解：∵只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，∴该正多边形的每个内角度数为360°÷6=60°．故答案为：60°．点睛：此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．19．3【解析】【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．【详解】已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．综上所述，可以作3个平行四边形．故答案为3.【点睛】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．20．18【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行,进而得出AE=DE=AB,再求出ABCD的周长【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E,∴.∠ECD=∠ECB∵在平行四边形ABCD中、AD∥BC,AB=CD，AD=BC∴∠DEC=∠ECB,∴∠DEC=∠DCE∴DE=DC∵AD=2AB∴AD=2CD∴AE=DE=AB=3∴AD=6∴四边形ABCD的周长为:2×(3+6)=18.故答案为:18.【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用平行四边形的对边相等且互相平行 21．3【解析】如图所示：∵DE 平分ADC ∠，∴12∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，∴13∠=∠，∴32∠=∠．∵DC EC =，∵5CD AB ==，∴5EC =．∵8AD =，∴3BE =．22．平行四边形【解析】由a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd,可整理为(a−c)2+(b−d)2=0，即a=c ，b=d.则这个四边形一定是平行四边形.故答案为：平行四边形.23．（4,6）【解析】如图，延长AF 交BC 于点G ．易证DF 是△ABG 的中位线，由三角形中位线定理可以求得点F 的坐标．解：如图，延长AF 交BC 于点G ．∵B（-1，0），C（9，0），∴BC=10．∵AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，∴AG⊥BC，则BG=CG=5．∴G（4，0）∴在直角△ABG中，由勾股定理得2222AB BG-=-．135则F（4，6）．故答案是：（4，6）．“点睛”本题考查了三角形中位线定理和坐标与图形性质．利用勾股定理求得AG的长度是解题的关键．24．13【解析】∵过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，∴m−3=7，n=3，∴m=10，n=3，∴m+n=10+3=13，故答案为13.25．见解析【解析】试题分析：根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，在根据平行四边形的性质证明△ABE与△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．试题解析：四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE ∥CF （内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE=∠CDF ，在△ABE 与△DCF 中，ABE CDF AEF CFE AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE=CF ，∴四边形AECF 是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 26．详见解析.【解析】试题分析：（1）要证明AB =CF 可通过△AEB ≌△FEC 证得，利用平行四边形ABCD 的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD 的性质可得AB =CD ，由△AEB ≌△FEC 可得AB =CF ，所以DF =2CF =2AB ，所以AD =DF ，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED ⊥AF . 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠BAE =∠F ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，在△AEB 和△FEC 中，BAE F AEB FEC BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△FEC （AAS ），∴AB =CF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∵AB =CF ，DF =DC +CF ，∴DF=2CF，∴DF=2AB，∵AD=2AB，∴AD=DF，∵△AEB≌△FEC，∴AE=EF，∴ED⊥AF .点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质. 27．（1）；（2）；（3）当，，5时，△APB是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）因为APCD是平行四边形，所以CP=AD，从而求出BP；（2）只要求出梯形ABCD的高即可；（3）△ABP为等腰三角形有三种情况：①AP=BP，②AB=BP，③AB=AP．试题解析：（1）因为APCD是平行四边形，所以CP=AD=4，所以BP=；（2）做AE⊥BC于E，所以∠AEB=90°，因为∠B=45°，所以AE=BE，所以AB=AE，因为AB=5，所以AE=，故.（3）①当AP=BP时，有∠B=∠BAP=45°，所以∠APB=90°，由（2）可知，此时P和E重合，所以BP=AE=，于是（秒）；②当AB=BP时（如图2），BP=5，∴（秒）；③当AB=AP时（如图3），有∠B=∠APB，因为∠B=45°，所以∠BAP=90°，由题可知：，于是（秒）；综①②③得：当当，，5时，△APB 是等腰三角形．考点：1．四边形综合题；2．梯形的性质．28．答案见解析【解析】试题分析：首先根据平行四边形的性质可得AD =BC ，AD ∥BC ，再证明四边形EDBC 是平行四边形，可得ED =CB ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论． 试题解析：证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ．∵CE ∥BD ，∴四边形EDBC 是平行四边形，∴ED =CB ，∴ED =AD ．∵EF ⊥AB ，∴△EF A 是直角三角形，∴DF =12AE ． 点睛：此题考查了平行四边形的性质和判定，以及直角三角形的性质，关键是正确证明ED =AD ．29．（1）见解析；（2）AE ＝3．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可； （2）先证出AE=GE ，再证明DG=DO ，得出OF=FG=1，即可得出结果．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠OBE =∠ODF ．在△OBE 与△ODF 中，OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴EO=FO；（2）∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．30．详见解析【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得FG＝12BC，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝12BC，由此即可证得结论.【详解】证明：∵F，G分别是AB，AC的中点，∴FG是△ABC的中位线，FG＝12 BC.∵CD是△ABC的高，∴△BCD是直角三角形．∵点E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC. ∴FG ＝DE.【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，熟知三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键.31．（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义结合两直线平行，内错角相等可得CDE CED ∠=∠，然后利用等角对等边证明即可；（2）先证得ABE ∆为等腰三角形，设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，利用三角形内角和定理以及平行线性质定理证得90AED ∠=︒，再利用同底等高的两个三角形面积相等即可求得答案．【详解】（1）DE 平分ADC ∠，ADE CDE ∴∠=∠， 又四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，ADE CED =∠∴∠，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴=；（2）CE CD =，BE CE =，BE CD AB ==∴，ABE ∴∆为等腰三角形，∴设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，1802ABE a ∠=︒-∴，1802DCE β∠=︒-，又180ABE DCE ∠+∠=︒，180********αβ︒-+︒-=︒∴，90αβ∴+=︒，90AED ∴∠=︒，即AED ∆为直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴1134622APD AED S S AE ED ===⨯⨯=． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等角对等边的性质，同底等高的两个三角形面积相等，证得AED ∆为直角三角形是正确解答(2)的关键． 32．（1）见详解；（2）平行四边形，见详解【解析】【分析】（1）根据点的坐标描出点，得到图形；（2）根据点的坐标特点可得AB=CD ，AD=BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得结论．【详解】解：（1）如下图（2）如图所示：四边形ABCD 为平行四边形，∵(2,0)A -，(1,2)B --，(2,1)C -，(1,1)D∴()()()()2222=-2+10-2=511115AB CD +=++--=，∴AB=CD ，同理可得AD=BC∴四边形ABCD 为平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的判定方法．33．有三种情形，坐标分别为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【解析】【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【详解】设C点的坐标为（x，y），∵BOAC时平行四边形，①当BC=AO时，∵O（0，0），A（-3，0），B（0，2）∴AO=3，∴BC=3，∴C点坐标为C（3，2）或C（-3，2）②BO=AC时，∵BO=2，∴AC=2，∴C点坐标为C（-3，-2）．则C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，点的坐标与图形的性质.解答本题关键要注意分两种情况进行求解，不能忽略任何一种可能的情况，同学们一定要注意这一点．34．（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】(1)过点D作DF AB,构造三角形全等，可证得CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP;(2)若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=12BC=12⨯4=2,点P是BF的中点，得到BP=12BF=14⨯4=1.【详解】（1）(1)证明：过点D作DF∥AB，交BC于F.∵△ABC 为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°. ∴△CDF 为正三角形。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题(附答案)3

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题(附答案)3

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC．若AD＝5，AB＝3，则对角线BD的长为（）A．B．2C．9D．82．如图在▱ABCD中，已知AC＝5cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．14cm B．.16cm C．.18cm D．.20cm3．如图，在▱ABCD中，点M是边CD上的一点，且AM平分∠DAB，BM平分∠ABC，则∠AMB的度数为（）A．100°B．95°C．90°D．85°4．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（）A．B．C．D．5．把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中虚线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为12cm2，则打开后梯形的周长是多少cm（）A．32B．15C．2+10D．206．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C7．下列说法不能判断平行四边形是（）A．一组对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边相等，一组对角相等D．两组对边相等8．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．AE＝CF D．∠BAE＝∠DCF 9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴二．填空题（共10小题）11．在▱ABCD中，BE平分∠ABC交射线AD于点E，BC＝6，DE＝2，则▱ABCD的周长等于．12．如图，在平面直角坐标系中，若▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），则点D的坐标是．13．如图所示，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、AC、CE．写出图中任意一对全等三角形．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠C＝60°，BC﹣AD＝4，则梯形的腰AB＝．15．如图，用三个边长为10的等边三角形拼成如图所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去…则第n次截得的一个等腰梯形的周长是．16．若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝，CD＝时，四边形ABCD是平行四边形．17．如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形可添加的条件有（写出所有正确条件的序号）18．如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有个平行四边形．19．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是．20．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．22．如图所示，已知点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使BE＝AD，连结AE、AC．（1）求证：△AEB≌△CAD；（2）若AD＝DC，∠BAD＝100°，求∠E的大小．24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE⊥BC于点E，AE＝BE，BF⊥AE求证：（1）AD＝EF；（2）S△ABE＝S梯形AECD．25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF ∥BE（1）求证：BE＝DF；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．26．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）27．已知如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，∠ADC的平分线DF交BC（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：EF与BD互相平分．28．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D、点O别是BC、AC的中点，AE∥BC （1）求证：四边形ABDE是平行四边形（2）如图2，若F是CE上一动点，直接写出与四边形ABDF面积相等的三角形和四边形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC．若AD＝5，AB＝3，则对角线BD的长为（）A．B．2C．9D．8【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，OA＝OC，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，AB＝3，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴BO＝＝＝，∴BD＝2BO＝2．故选：B．2．如图在▱ABCD中，已知AC＝5cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．14cm B．.16cm C．.18cm D．.20cm【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵△ACD的周长为13cm，AC＝5cm，∴AD+CD＝13cm﹣5cm＝8cm，∴▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝16cm；故选：B．3．如图，在▱ABCD中，点M是边CD上的一点，且AM平分∠DAB，BM平分∠ABC，则∠AMB的度数为（）A．100°B．95°C．90°D．85°【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AM平分∠DAB，BM平分∠ABC，∴∠BAM＝∠DAM，∠ABM＝∠CBM，∴∠BAM+∠ABM＝×180°＝90°，∴∠AMB＝90°；故选：C．4．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，过O作OF⊥CB，连接OB，∵OF⊥CB，∴BF＝BC＝1，∴OE＝1，设AE＝x，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OB＝OA＝x+1，根据勾股定理，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，得12﹣x2＝（x+1）2﹣12，整理，得2x2+2x﹣1＝0，解得x＝，故OA＝AE+OE＝+1＝．故选：A．5．把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中虚线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为12cm2，则打开后梯形的周长是多少cm（）A．32B．15C．2+10D．20【解答】解：因为剪掉的部分为两个全等的直角三角形，其面积和为12cm2，已知剪掉的部分一个直角边为3cm，则另一直角边等腰梯形的高为4，则其斜边即等腰梯形的腰长为5，因为把长为8cm的矩形按虚线对折，则折叠后的长方形的长为4，剪掉3，则可知等腰梯形的上底为2，下底为8，则等腰梯形的周长＝2+5+8+5＝20．故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C【解答】解：D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故选：A．7．下列说法不能判断平行四边形是（）A．一组对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边相等，一组对角相等D．两组对边相等【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；B、一组对边平行，一组对角相等是平行四边形，不符合题意；C、一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，符合题意；D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意；故选：C．8．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．AE＝CF D．∠BAE＝∠DCF 【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；C、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：C．9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、由∠BAE＝∠DCF，从而推出△DFC≌△BEA，然后得出∠DFC＝∠BEA，∴∠CFE＝∠AEF，∴FC∥AE，由全等可知FC＝AE，所以四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：B．10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共10小题）11．在▱ABCD中，BE平分∠ABC交射线AD于点E，BC＝6，DE＝2，则▱ABCD的周长等于20．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴AE+DE＝AD＝BC＝6，∴AE+2＝6，∴AE＝4，∴AB＝CD＝4，∴▱ABCD的周长＝4+4+6+6＝20，故答案为：20．12．如图，在平面直角坐标系中，若▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），则点D的坐标是（8，3）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（2，3），（1，﹣1），（7，﹣1），∴BC＝6，顶点D的坐标为（8，3）．故答案为：（8，3）．13．如图所示，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、AC、CE．写出图中任意一对全等三角形△ABF≌△CDE，答案不唯一．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS），还有△AFC≌△CEA，△ABC≌△CDA，故答案为：△ABF≌△CDE，答案不唯一；14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠C＝60°，BC﹣AD＝4，则梯形的腰AB＝4．【解答】解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE＝AB，BE＝AD，∵AB＝DC，BC﹣AD＝4，∴DE＝DC，CE＝BC﹣BE＝BC﹣AD＝4，∵∠C＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴AB＝CE＝4．故答案为：4．15．如图，用三个边长为10的等边三角形拼成如图所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去…则第n次截得的一个等腰梯形的周长是50×．【解答】解：周长：C0＝50，C1＝50×，C2＝50×，C3＝50×，…，Cn＝50×．故答案为50×16．若AD＝8，AB＝4，那么当BC＝8，CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：在四边形ABCD中，AB和CD是对边，BC和DA是对边，∵AD＝8，AB＝4，∴当BC＝8，CD＝4时，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：8，4．17．如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形可添加的条件有②③④（写出所有正确条件的序号）【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，不能证明四边形DEBF是平行四边形；②∠ADE＝∠CBF时，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；③AF＝CE时，AE＝CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；④∠AEB＝∠CFD时，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形；故答案为：②③④．18．如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有6个平行四边形．【解答】解：∵M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，∴AM＝BM＝DN＝CN，AB∥CD，AD∥BC，MN∥BC，∴四边形AMND、四边形BCNM、四边形AMCN、四边形BNDM、四边形MQNP是平行四边形，∴图中有6个平行四边形；故答案为：6．19．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是①②④⑤⑥．【解答】解：连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；∵根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误；∵BN⊥AC，DM⊥AC，∴∠BNO＝∠DMO＝90°，在△BNO和△DMO中∴△BNO≌△DMO（AAS），∴BN＝DM，∵S△ADE＝×AE×DM，S△ABE＝×AE×BN，∴S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确；∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∴⑥正确；故答案为：①②④⑤⑥．20．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是等腰梯形．【解答】解：∵放置在一张矩形纸片上，∴AD∥BC，AB和DC不平行，∴四边形ABCD是梯形．∵∠ABC＝∠EDC，∠BCD＝∠EDC，∴∠ABC＝∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形．故答案为：等腰梯形．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．【解答】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AE＝CF，OA﹣AE＝OC﹣CF，∴OE＝OF．∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．22．如图所示，已知点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠DFC，∴∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使BE＝AD，连结AE、AC．（1）求证：△AEB≌△CAD；（2）若AD＝DC，∠BAD＝100°，求∠E的大小．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠BCD，∠D+∠BCD＝180°，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D，∵AB＝CD，BE＝AD，∴△AEB≌△CAD（SAS）；（2）∵△AEB≌△CAD，AD＝DC，∴AB＝BE，∴∠E＝∠EAB，∵AB＝CD，∠BAD＝100°，∴∠D＝∠BAD＝100°，∴∠ABE＝100°，∴∠E＝．24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE⊥BC于点E，AE＝BE，BF⊥AE 于点F．求证：（1）AD＝EF；（2）S△ABE＝S梯形AECD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠2．（1分）∵DE⊥BC，∴DE⊥AD．∴∠3＝90°．∵BF⊥AF，∴∠4＝90°，∴∠3＝∠4．（2分）∵AE＝BE，（3分）∴△ADE≌△EFB．∴AD＝EF．（5分）（2）∵△ADE≌△EFB，∴BF＝DE．在Rt△ABF和Rt△DEC中，∴Rt△ABF≌Rt△DEC．（8分）∴△ADE≌△BFE．∴S△ABF+S△BEF＝S△DEC+S ADE，∴S△ABE＝S梯形AECD．（10分）25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF ∥BE（1）求证：BE＝DF；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE＝DF；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，∵OD＝AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD＝AC，∴平行四边形ABCD为矩形．26．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）【解答】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连结BD．在△ABFD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADC＝∠CBD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．已知如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，∠ADC的平分线DF交BC 于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：EF与BD互相平分．【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理：CF＝CD，∴AB＝AE＝CD＝CF，∵∠A＝∠C，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴EF与BD互相平分．28．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D、点O别是BC、AC的中点，AE∥BC （1）求证：四边形ABDE是平行四边形（2）如图2，若F是CE上一动点，直接写出与四边形ABDF面积相等的三角形和四边形．【解答】（1）证明：∵点D、点O别是BC、AC的中点，∴OD∥AB，∴DE∥AB，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：点D是BC的中点，∴AE平行且等于DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形ADCE是矩形，∵四边形ADCE是矩形，∴AD∥CE，∴S△ADC＝S△ADF＝S△AED，∴四边形ABDF面积＝S△ABC＝S四边形ABDE＝S矩形ADCE。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题1（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠BCE＝28°，则∠D＝（）A．28°B．38°C．52°D．62°2．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．72°3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF 的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC＝∠CDB＝90°，AB＝AD＝DC．则cos∠DPC的值是（）A．B．C．D．5．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）A．1B．3﹣C．﹣1D．4﹣26．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①②B．②④C．③④D．①③7．已知四边形ABCD，在①AB∥CD；②AD＝BC；③AB＝CD；④∠A＝∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．①②B．①③C．①④D．②③8．在▱ABCD中，E，F是对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BEDF 一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．∠ABE＝∠CDF C．BF∥DE D．BE＝DF9．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是．12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是．13．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是．14．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75°，则这个梯形的高等于．15．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝7，且AB∥DE，则三角形DEC的周长是．16．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA ＝cm时，四边形ABCD是平行四边形．17．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件，则使四边形ABCD成为平行四边形．18．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为．19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是形．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，OB的长．22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连结BE、DF．求证：DE＝BF．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EB＝EC，求证：EA＝ED．24．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝2，BD平分∠ABC．∠A＝60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．25．如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．（1）求证：DE＝DF（2）若BH：HC＝11：5；①求：DF：DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形．26．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．求证：四边形CDBF是平行四边形．27．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且BE⊥AC，求▱ABCD的面积．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于点E，∠ADC的平分线DF交AB于点F．（1）若AD＝4，AB＝6，求BF的长．（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠BCE＝28°，则∠D＝（）A．28°B．38°C．52°D．62°【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∵∠BCE＝28°，∴∠B＝62°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝62°，故选：D．2．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．72°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CAD＝∠ACB，∠D+∠BCD＝180°，∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD，∴∠D＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠ACD，∴∠D＝2∠ACD，∴∠D+∠DCB＝5∠ACD＝180°，∴∠ACD＝36°，∴∠D＝72°，在▱ABCD中，∠B＝∠D＝72°，故选：D．3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF 的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°，∴∠C＝105°，又∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣105°＝75°，故选：D．4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC＝∠CDB＝90°，AB＝AD＝DC．则cos∠DPC的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB+∠ABC＝180°，AD∥BC，∴∠DAP＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAP＝∠ACD，∴∠DAP＝∠ABD＝∠DBC，∵∠BAC＝∠CDB＝90°，∴3∠ABD＝90°，∴∠ABD＝30°，在△ABP中，∵∠ABD＝30°，∠BAC＝90°，∴∠APB＝60°，∴∠DPC＝60°，∴cos∠DPC＝cos60°＝．故选：A．5．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）A．1B．3﹣C．﹣1D．4﹣2【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE＝DE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G＝30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG＝AD＝，AE＝EG＝2，∴AG＝AE+EG＝2+2＝4，∵AE⊥AF，∴AF＝AG tan30°＝4×＝4，GF＝AG÷cos30°＝4÷＝8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN＝AD＝，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM＝CN，∵MG＝AG•cos30°＝4×＝6，∴CN＝MG﹣MN﹣CG＝6﹣﹣＝6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠F AM＝∠G＝30°，∴FM＝AF•sin30°＝4×＝2，∴BF＝BM﹣MF＝6﹣2﹣2＝4﹣2．故选：D．6．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）A．①②B．②④C．③④D．①③【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：D．7．已知四边形ABCD，在①AB∥CD；②AD＝BC；③AB＝CD；④∠A＝∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．①②B．①③C．①④D．②③【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③；所以不能推出四边形ABCD为平行四边形的是①②；故选：B．8．在▱ABCD中，E，F是对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BEDF 一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．∠ABE＝∠CDF C．BF∥DE D．BE＝DF【解答】解：如图，连接BD与AC相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形BEDF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若AE＝CF，则OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、∠ABE＝∠CDF能够利用“角角边”证明△BCF和△ADE全等，从而得到CF＝AE，然后同A，故本选项不符合题意；C、BF∥DE能够利用“角角边”证明△BOE和△DOF全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、若BE＝DF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；故选：D．9．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AE∥CF，AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFE，∠ABE＝∠CDF，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∠BCF＝∠DAE∴AD∥BC，故选：D．10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是14．【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．则HI＝AB•sin B＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，同理，CF＝CD＝AB＝6，∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，∴＝＝＝2，∴HG＝2，GI＝，则S△ADG＝AD•HG＝×8×2＝8，S△EFG＝EF•GI＝×4×＝2，∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．故答案是：14．12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是．【解答】解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．∵M为BC的中点，∴BM＝CM．在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（AAS），∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，∵N为边DC的中点，∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，∴∠AEH＝30°，∴AH＝AE＝4，∴EH＝＝4，∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，∴EN＝＝7，∴AB＝×7＝．故答案为．13．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是（3，3）．【解答】解：作DE⊥OC于G，如图：由题意可得：OA＝AF＝2，∴∠AFO＝∠AOF，∵AB∥OF，∠BAO＝∠OAF，∴∠BAO＝∠AOF，∠BAF+∠AFO＝180°，解得，∠BAO＝60°，∴∠DOC＝60°，∵AO＝2，AD＝AB＝8，∴OD＝6，∴OG＝OD＝3，DG＝OG＝3，∴点D的坐标为（3，3）；故答案为：（3，3）．14．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75°，则这个梯形的高等于5．【解答】解：如图，AB＝CD，AD∥BC，BD＝BC＝10，∠C＝75°．作DH⊥BC于H．∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝75°，∴∠DBC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴DH＝BD＝5．故答案为515．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝7，且AB∥DE，则三角形DEC的周长是13．【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DE，∴ABED是平行四边形，∴DE＝CD＝AB＝5，EB＝AD＝4，∴EC＝7﹣4＝3，则△DEC的周长＝DE+DC+EC＝5+5+3＝13．故答案是：13．16．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA ＝7cm时，四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，∵OB＝OD时，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：7．17．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件AD＝BC或AB∥CD，则使四边形ABCD成为平行四边形．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD＝BC或AB∥CD．18．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为AB＝2BC．【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，∴AE＝2AF，∵纸条的两边互相平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△ADF，∴，即．故答案为：AB＝2BC19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次．【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，解得：t＝16，此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．∴共3次．故答案为：3．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形．【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形，故答案为：等腰梯．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD＝10cm，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝8cm，∴OA＝AC＝4cm，∴OB＝＝＝2（cm）．22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连结BE、DF．求证：DE＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，AD∥BC∴∠EDB＝∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EB＝EC，求证：EA＝ED．【解答】解：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠DCE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE，∴EA＝DE．24．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝2，BD平分∠ABC．∠A＝60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【解答】解：∵DC∥AB，AD＝BC，∴∠A＝∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A＝60°，∴∠ABD＝∠ABC＝30°．∴∠ADB＝90°．∵AD＝2，∴AB＝2AD＝4．∴BD＝．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB＝∠ABD＝∠CBD．∵BC＝2，∴DC＝BC＝2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH＝BG．∵∠A＝60°，∴∠ADH＝30°．∴AH＝AD＝1，DH＝．∵DC＝HG＝2，∴AB＝4．∴梯形ABCD的面积＝．25．如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．（1）求证：DE＝DF（2）若BH：HC＝11：5；①求：DF：DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF；（2）①解：设BH＝11x，则HC＝5x，BC＝16x，则，DH＝3x，∵EG∥AB，∴△EDH∽△ADB，∴，∵DE＝DF，∴；②证明：∵，∴，∵，∴＝，∴FH∥AC，∴PH∥AC，∵EG∥AB，∴四边形HGAP为平行四边形．26．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．求证：四边形CDBF是平行四边形．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF＝BD．∴四边形CDBF是平行四边形27．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且BE⊥AC，求▱ABCD的面积．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：∵AE＝CF，OE＝OF，EF＝2AE＝2，∴AE＝CF＝OE＝OF＝1，AC＝4，CE＝3，∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的面积＝2△ABC的面积＝2××AC×BE＝4×3＝12．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于点E，∠ADC的平分线DF交AB于点F．（1）若AD＝4，AB＝6，求BF的长．（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDF，∵∠ADC的平分线DF交AB于点F．∴∠ADF＝∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AF＝AD＝4，∵AB＝6，∴BF＝2；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC．又∵∠ADF＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，∴∠ADF＝∠CBE．∴△ADF≌△CBE（AAS）．∴AF＝CE．∴AB﹣AF＝CD﹣CE即DE＝FB．又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：72．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（）A．B．C．D．13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN 的取值范围是（）A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤4．（体验探究题）下列说法正确的是（）①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形A．1个B．2个C．3个D．4个5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（）A．6B．2C．D．6.56．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°8．在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（）组．（1）AB∥CD（2）AD∥BC（3）AB＝CD（4）AD＝BC（5）∠A＝∠C （6）∠B＝∠DA．7B．8C．9D．109．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A．2＜AD＜14B．1＜AD＜7C．6＜AD＜8D．12＜AD＜1610．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．6二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE是△ABC的中位线，则DE＝．12．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果DE＝10，那么BC＝．13．如图，E是△ABC内一点，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，已知ED＝1，EB＝3，EA＝4，则AC＝．14．如图M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1，则△ABC的周长为．15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点且DE＝1，则BC＝．16．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝．17．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部，且∠BAG＝90°，连结FG，则∠EFG的大小是度．18．已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝度．19．用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，则较短边的长度为20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝．三．解答题（共8小题）21．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．22．如图，在△ABC中，D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求边BC上的高．【友情提示】辅助定理：△ABC中，D为AB中点，且DE∥BC交AC于E，则DE∥BC，且DE＝BC．23．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．24．已知三角形ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．判断AF与FC之间有什么数量关系？并加以证明．25．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．26．已知：如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°．求∠A+∠D的度数．27．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE ＝CF．28．如图已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE．△BCD．△ACF，求证：四边形DEAF是平行四边形．参考答案:一．选择题（共10小题）1．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴S△ADE＝，连接AM，根据题意，得S△ADM＝S△ADE＝S△ABC＝，∵DE∥BC，DM＝BC，∴DN＝BN，∴DN＝BD＝AD．∴S△DNM＝S△ADM＝，∴S四边形ANME＝＝，∴S△DMN：S四边形ANME＝：＝1：5．故选：A．2．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（）A．B．C．D．1【解答】解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D在△ABC的中位线上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ＝BC，∵AE＝AC﹣CE，AF＝AB﹣BF，在△BCE与△P AE中，∠P AE＝∠ACB，∠APE＝∠CBE，∴△BCE∽△P AE，＝…①同理：△CBF∽△QAF，＝…②①+②，得：+＝．∴+＝3，又∵＝6，AC＝AB，∴△ABC的边长＝．故选：C．3．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN 的取值范围是（）A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选：D．4．（体验探究题）下列说法正确的是（）①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵顺次连接四边形的中点，它们的两组对边分别平行于四边形的两条对角线，∴围成的四边形是平行四边形．正确；②∵矩形的对角线相等，∴顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形．正确；③∵梯形的对角线不一定互相相垂直，∴顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形不是矩形．错误；④∵对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形四个角都是直角．正确．故选：C．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（）A．6B．2C．D．6.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝12，取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：∵P、Q分别是BE、DC的中点，∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，∴PF∥ED，PF＝DE＝1，FQ∥BC，FQ＝BC＝6，∵DE∥AC，AC⊥BC，∴PF⊥FQ，∴PQ＝＝＝；故选：C．6．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°【解答】解：四边形ABCD中，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，∴∠BAD+∠BCD＝360﹣65﹣65＝230°．∵OA＝OB＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝∠ABC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝230﹣65＝165°．故选：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝40°，∴∠B＝140°，故选：C．8．在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（）组．（1）AB∥CD（2）AD∥BC（3）AB＝CD（4）AD＝BC（5）∠A＝∠C （6）∠B＝∠DA．7B．8C．9D．10【解答】解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有（1）（2），（1）（3），（1）（5），（1）（6），（2）（4），（2）（5），（2）（6），（3）（4），（5）（6）；故选：C．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A．2＜AD＜14B．1＜AD＜7C．6＜AD＜8D．12＜AD＜16【解答】解：延长AD至点E，使AD＝ED，连接BE、CE．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴CE＝AB（平行四边形的对边相等），在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故选：B．10．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．6【解答】解：如图，已知等腰梯形ABCD，AD＝AE，AC＝BC＝10cm，求AD的长．作AF∥CD∵AD∥BC∴四边形AFCD是平行四边形∴DC＝AF，AD＝FC又∵等腰梯形∴AB＝DC＝AF∵AE⊥BF∴△ABE≌△AFE∴EF＝BE∴2EF＝BC﹣AD＝10﹣AD∴在△AEC中：AC2＝AD2+（EF+AD）2即：100＝AD2+（5+AD）2∴AD＝6或AD＝﹣10（去掉）∴上底的长为6cm故选：D．二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE是△ABC的中位线，则DE＝3．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故答案为：3．12．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果DE＝10，那么BC＝20．【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴BC＝2DE＝20，故答案为：20．13．如图，E是△ABC内一点，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，已知ED＝1，EB＝3，EA＝4，则AC＝7．【解答】解：延长BE交AC于F，Rt△ABE中，AE＝4，BE＝3，由勾股定理得：AB＝5，∵AE平分∠BAF∴∠BAE＝∠F AE，在△ABE和△AFE中，∵，∴△ABE≌△AFE（ASA），∴AB＝AF＝5，BE＝EF，∵D为BC的中点，∴ED为△BFC的中位线，∴FC＝2ED＝2×1＝2，∴AC＝AF+FC＝5+2＝7，故答案为：7．14．如图M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1，则△ABC的周长为24．【解答】解：延长BN交AC于D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，∴AD＝AB＝6，BN＝ND，又M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝2，∴AC＝AD+DC＝8，则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8+10＝24，故答案为：24．15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点且DE＝1，则BC＝2．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2．故答案为2．16．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝8．【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，∴n﹣3＝5，解得n＝8．故答案为：8．17．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部，且∠BAG＝90°，连结FG，则∠EFG的大小是45度．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∵∠AFE＝∠BAF＝＝120°，∵∠BAG＝90°，∴∠F AG＝120°﹣90°＝30°，又∵AF＝AB＝AG，∴∠AFG＝＝75°，∴∠EFG＝∠AFE﹣∠AFG＝120°﹣75°＝45°，故答案为：45．18．已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝45度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C．∵∠A：∠B＝1：3∴∠B＝3∠A．∴∠A+3∠A＝180°．解得：∠A＝45°，∠B＝135°．∴∠C＝∠A＝45°．故答案为：4519．用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，则较短边的长度为8cm【解答】解：设长边为3xcm，则短边长为2xcm；根据题意得：2（2x+3x）＝40，解得：x＝4，∴较短边为2×4＝8（cm）．故答案为8cm；20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝2或12．【解答】解：如图1中，当点D在线段BC上时，∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF＝5，∵AB＝AC＝7，∴BF＝7﹣5＝2，∠B＝∠C，∵∠FDB＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∴DF＝BF＝2．如图2中，当点D在BC的延长线上时，同法可证：DE＝AF＝5，FB＝FD，∵AB＝AC＝7，∴DF＝FB＝5+7＝12，综上所述，DF的值为2或12．故答案为2或12．三．解答题（共8小题）21．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，FG＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．如图，在△ABC中，D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求边BC上的高．【友情提示】辅助定理：△ABC中，D为AB中点，且DE∥BC交AC于E，则DE∥BC，且DE＝BC．【解答】解：（1）∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5，∴DB＝＝＝3；（2）过A作AE⊥BC交线段CB延长线于E，∵DB⊥BC，∴AE∥DB．∵D为AC的中点，∴DB为△ACE的中位线．∴AE＝2DB＝6．∴边BC上的高为6．23．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【解答】（1）证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF＝FD，又点E是AB的中点，∴EF∥BC；（2）解：∵AF＝FD，点E是AB的中点，∴EF＝BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF＝S△ABD，∴S△AEF＝S四边形BDFE＝3，∴△ABD的面积＝12．24．已知三角形ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．判断AF与FC之间有什么数量关系？并加以证明．【解答】解：AF＝FC，理由如下：取BF的中点G，连接DG，则DG是△BCF的中位线，∴DG∥AC，DG＝CF，∴∠EAF＝∠EDG，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF＝FC．25．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n．根据题意得：n•（n﹣3）＝3n，解得：n＝9．∴这个多边形的边数是9．26．已知：如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°．求∠A+∠D的度数．【解答】解：作BM∥AF，CN∥DE，∵AF∥DE，∴BM∥AF∥DE∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∠A+∠ABM＝180°，∠NCD+∠D＝180°，∵∠B＝130°，∠C＝110°，∴∠DCN+∠ABM＝240°﹣180°＝60°，∴∠A+∠D＝300°．27．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE ＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．28．如图已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE．△BCD．△ACF，求证：四边形DEAF是平行四边形．【解答】证明：∵△ABE，△BDC都是等边三角形，∴BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠DBA，∠ABC＝60°﹣∠DBA，∴∠DBE＝∠ABC，在△DBE和△ABC中，，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FDC，∴DF＝AB＝AE．∵DE＝AF，EA＝DF，∴四边形DEAF为平行四边形。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题B(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题B(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题B（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，连接△A1B1C1三边的中点构成△A2B2C2，再连接△A2B2C2三边的中点构成△A3B3C3…依此类推，当△A1B1C1的周长为1cm时，△A2017B2017C2017的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．已知；如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，则AC 的长等于（）A．7B．C．D．6.53．如图，△ABC的周长为31，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.64．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E为BC中点，则DE等于（）A．3B．2C．4D．56．一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD ＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD 的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．88．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD9．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝3，则线段BC的长等于．12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝16，BC＝18，则EF的长为．13．如图，小强作出边长为1的第1个等边△A1B1C1，计算器面积为S1，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C1，作出第2个等边△A2B2C2，计算其面积为S2，用同样的方法，作出第3个等边△A3B3C3，计算其面积为S3，按此规律进行下去，…，由此可得，第20个等边△A20B20C20的面积S20＝．14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A、B的点C，分别在AC、BC上取中点D、E，测得DE＝5米，则A、B两点间的距离为米．15．如图，A，B两地无法直接测量距离，现在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若测得DE的长为30m，那么A，B两地间的距离是m．16．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝．17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2．延长BA至点E，使得AE＝AB，连接EC交AD于点F．当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为．19．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：．证明：．25．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画条对角线，过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）26．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．（1）若∠1＝48°，求∠2的度数；（2）求证：AB∥DE．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接CF（1）如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；（2）如图2，若CD⊥CF，求证：AD＝AC+AF．28．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）S△ABC＝．（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．参考答案:一．选择题（共10小题）1．如图，连接△A1B1C1三边的中点构成△A2B2C2，再连接△A2B2C2三边的中点构成△A3B3C3…依此类推，当△A1B1C1的周长为1cm时，△A2017B2017C2017的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：由△A1B1C1的周长为1cm，连接△A1B1C1三边中点构成第二个三角形为△A2B2C2，它的周长是△A1B1C1的周长的，则△A2B2C2的周长为，同理，△A3B3C3周长为（）2，△A4B4C4周长为（）3，则△A2017B2017C2017周长为（）2016＝（cm），故选：D．2．已知；如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，则AC 的长等于（）A．7B．C．D．6.5【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝4，则DF＝2，AF＝＝2，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC＝AF＝3．故选：C．3．如图，△ABC的周长为31，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.6【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝31﹣BC＝31﹣12＝19，∴DE＝BE+CD﹣BC＝7，∴PQ＝DE＝3.5．故选：B．4．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵△ABC周长为1，∴第2012个三角形的周长为1：22011．故选：C．5．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E为BC中点，则DE等于（）A．3B．2C．4D．5【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠HAD，在△ACD和△AHD中，，∴△ACD≌△AHD（ASA），∴CD＝DH，AC＝AH＝6，∴BH＝AB﹣AH＝4，∵CD＝HD，BE＝EC，∴DE＝HB＝2，故选：B．6．一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD ＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DH＝DE＝2．∴GH＝3+3+2＝8，F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣4﹣2＝2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．故选：D．7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD 的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝20÷2＝10，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝6，CD＝4，∴AB＝CD＝4，故选：A．8．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【解答】解：A、AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选：C．9．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D；A．AE＝CF时，由AE∥CF，AE＝CF，可以得出四边形AECF是平行四边形；B．AF＝EC时，不能得出四边形AECF一定为平行四边形；C．∠DAF＝∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；D．∠AFD＝∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；故选：B．10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形【解答】解：四边形AEBC是平行四边形，∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AC，BD是对角线，∴AD＝BC，AC＝BD，∵△ABD沿AB对折到△ABE，AE＝AD，∴AE＝BC，AC＝BE，∴四边形AEBC是平行四边形．故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝3，则线段BC的长等于6．【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE＝3，∴BC＝2DE＝6．故答案为：6．12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝16，BC＝18，则EF的长为1．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，BC＝18，∴DE＝BC＝9．∵∠AFB＝90°，AB＝16，∴DF＝AB＝8，∴EF＝DE﹣DF＝9﹣8＝1．故答案为：1．13．如图，小强作出边长为1的第1个等边△A1B1C1，计算器面积为S1，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C1，作出第2个等边△A2B2C2，计算其面积为S2，用同样的方法，作出第3个等边△A3B3C3，计算其面积为S3，按此规律进行下去，…，由此可得，第20个等边△A20B20C20的面积S20＝．【解答】解：正△A1B1C1的面积是，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A2B2C2的面积是×；因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是，面积是×（）2；依此类推△A n B n∁n与△A n﹣1B n﹣1C n﹣1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n﹣1．所以第20个正△A20B20C20的面积是．故答案为：．14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A、B的点C，分别在AC、BC上取中点D、E，测得DE＝5米，则A、B两点间的距离为10米．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴AB＝2DE＝10（米），故答案为：10．15．如图，A，B两地无法直接测量距离，现在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若测得DE的长为30m，那么A，B两地间的距离是60m．【解答】解：∵D，E分别是CA，CB的中点，∴AB＝2DE＝60m，故答案为：60．16．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝15；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝495．【解答】解：由画图，可得：当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．将数值将P4＝1，P5＝5代入公式，得：，解得：，∴P n＝n•••，∴六边形对角线交点个数P6＝15，P12＝495，故答案为：15，495．17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2．延长BA至点E，使得AE＝AB，连接EC交AD于点F．当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为或．【解答】解：作CM⊥AD于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴AF∥BC，∵AE＝AB，∴AF是△ABC的中位线，∴BC＝2AF＝2，EF＝CF，∴AF＝DF＝，分两种情况：①CF＝CD＝1时，∵CM⊥AD，∴DM＝FM＝，∴CM＝＝＝；②CF＝DF＝时，设DM＝x，则FM＝﹣x，∵CM⊥AD，∴CM2＝CD2﹣DM2＝CF2﹣FM2，即12﹣x2＝（）2﹣（﹣x）2，解得：x＝，∴CM＝＝；综上所述，当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为或；故答案为：或．19．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为（5，3）或（1，﹣3）．【解答】解：①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC．∵点A（2，3），B（3，0），∴E（，），∴C（5，3），②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，F A＝FC′，∵B（3，0），∴F（，0），∴＝，＝0，∴m＝1，n＝﹣3，∴C（1，﹣3），故答案为（5，3）或（1，﹣3）．20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次．【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，解得：t＝16，此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．∴共3次．故答案为：3．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形DEAF是平行四边形，∵∠CAB＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：OA＝OF，OD＝OE．证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．【解答】求证：OA＝OF，OD＝OE，证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．25．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线（用含n 的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？有重复③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）【解答】解：故答案：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）（2）有重复（3）26．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．（1）若∠1＝48°，求∠2的度数；（2）求证：AB∥DE．【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF的各内角相等，∴一个内角的大小为，∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°．∵∠F AB＝120°，∠1＝48°，∴∠F AD＝∠F AB﹣∠DAB＝120°﹣48°＝72°．∵∠2+∠F AD+∠F+∠E＝360°，∠F＝∠E＝120°，∴∠ADE＝360°﹣∠F AD﹣∠F﹣∠E＝360°﹣72°﹣120°﹣120°＝48°．（2）证明：∵∠1＝120°﹣∠DAF，∠2＝360°﹣120°﹣120°﹣∠DAF＝120°﹣∠DAF，∴∠1＝∠2，∴AB∥DE．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接CF（1）如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；（2）如图2，若CD⊥CF，求证：AD＝AC+AF．【解答】（1）解：∵AB⊥AC，AE⊥BC，∴∠BAC＝∠AEB＝90°，BC＝＝＝5，由△ABC的面积得：AE＝＝，∴EF＝BE＝＝＝，∴AF＝EF﹣AE＝﹣＝；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，BC∥AD，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAF＝90°，∵CD⊥CF，∴∠DCF＝90°，∴∠F＝∠D＝∠B，在△ABE和△CFE中，，∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AE＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∵AD＝BC＝BE+CE＝EF+AE＝AF+2AE，∴AD＝AC+AF．28．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）S△ABC＝ 6.5．（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）S△ABC＝3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5；故答案为：6.5；（2）存在；理由如下：∵S△BCP＝CP×3＝2S△ABC＝2×6.5＝13，∴CP＝，∴OP＝CP+2＝，或OP＝CP﹣2＝，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）当以BC为对角线时，点D的坐标为（﹣1，﹣2）；当以AB为对角线时，点D的坐标为（1，8）；当以AC为对角线时，点D坐标为（5，2）；综上所述，点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题1（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，∠C＝75°，则∠ABD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°2．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝55°，则∠A＝（）A．35°B．55°C．125°D．145°4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④5．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．66．在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD8．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．2810．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴二．填空题（共10小题）11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝；③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝．其中正确的是填序号12．如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于．13．如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BC＝12，∠ABC＝60°，则梯形ABCD的周长为．15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，射线AB绕点A 逆时针旋转分别与BD、BC交于点F、E，旋转角∠BAE＝∠DBC，则BE＝．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形．17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是．18．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是．19．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加的一个条件是（只需添加一个正确的即可）．20．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，要使它成为等腰梯形，还需添加一个条件，这个条件可以是．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝2AD．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE＝CF．试判断△GAB的形状，并说明理由．24．学生在讨论命题：“如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB＝DC．”的证明方法时，提出了如下三种思路．思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形思路2：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．思路3：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形．请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，DC＝13cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度在射线BC上运动到c点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上，以每秒1cn的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发．当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（l）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．26．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC（1）求C点的坐标．（2）如图2，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出H点坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．28．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，∠C＝75°，则∠ABD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°【解答】解：∵在▱ABCD中，∠C＝75°，∴∠A＝∠C＝75°．∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠A＝75°．∴∠ABD＝180°﹣75°×2＝30°．故选：B．2．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．对角线相等D．对角线互相平分【解答】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，∴选项A、B、D正确．C错误．故选：C．3．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1＝55°，则∠A＝（）A．35°B．55°C．125°D．145°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠BCD，∵∠1＝55°，∴∠BCD＝180°﹣∠1＝125°，∴∠A＝∠BCD＝125°．故选：C．4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解答】解：①正确，等腰梯形同一底上的两角相等；②正确，可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而根据对应角相等可以得到∠DBC＝∠ACB；③错误，应该是S△ABC＝S△DCB；④错误，AC不一定等于BC，故∠CAB不一定等于∠CBA，故选：A．5．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．6【解答】解：如图，已知等腰梯形ABCD，AD＝AE，AC＝BC＝10cm，求AD的长．作AF∥CD∵AD∥BC∴四边形AFCD是平行四边形∴DC＝AF，AD＝FC又∵等腰梯形∴AB＝DC＝AF∵AE⊥BF∴△ABE≌△AFE∴EF＝BE∴2EF＝BC﹣AD＝10﹣AD∴在△AEC中：AC2＝AD2+（EF+AD）2即：100＝AD2+（5+AD）2∴AD＝6或AD＝﹣10（去掉）∴上底的长为6cm故选：D．6．在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，5）D．（7，3）【解答】解：当以OB为对角线时，点C的坐标为（3，﹣3）；当以OD为对角线时，点C的坐标为（﹣3，3）；当以BD为对角线时，点C坐标为（7，3）；综上所述，点C的坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）；故选：C．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B+C＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．8．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D；A．AE＝CF时，由AE∥CF，AE＝CF，可以得出四边形AECF是平行四边形；B．AF＝EC时，不能得出四边形AECF一定为平行四边形；C．∠DAF＝∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；D．∠AFD＝∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；故选：B．9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．28【解答】解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝；③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝．其中正确的是①②③④⑤填序号【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE＝AB＝，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD＝＝，∴BD＝2OD＝，故②正确；③由②知：∠BAC＝90°，∴S▱ABCD＝AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB，∵AB＝BC，∴OE＝BC＝AD，故④正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝，∴S△AOE＝S△EOC＝OE•OC＝＝，∵OE∥AB，∴＝＝，∴＝，∴S△AOP＝S△AOE＝×＝；故⑤正确；正确的有：①②③④⑤，故答案为：①②③④⑤．12．如图，在▱ABCD中，EC平分∠BCD，交AD边于点E，AE＝3，BC＝5，则AB的长等于2．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，AB＝CD，∴DE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝CD＝2，∴AB＝2；故答案为：2．13．如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3，∵∠ODA＝90°，∴AD＝4．故答案为：4．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BC＝12，∠ABC＝60°，则梯形ABCD的周长为30．【解答】解：过点A作AE∥BC于点E，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝EC，AE＝CD，∵AB＝CD，∴AB＝AE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∵AB＝AD，∴AD＝AB＝CD＝BE＝CE＝BC＝×12＝6，∴梯形ABCD的周长为：AB+AD+CD+BC＝30．故答案为：30．15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，射线AB绕点A 逆时针旋转分别与BD、BC交于点F、E，旋转角∠BAE＝∠DBC，则BE＝．【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，又∵∠BAE＝∠DBC，∴△ABE∽△BCD，∴＝，∵BC＝3，AB＝CD＝2，∴＝，∴BE＝．故答案为：．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出15个平行四边形．【解答】解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）．18．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是2≤a+2b≤5．【解答】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH＝EP＝a，∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，如图2，OC＝1，AC＝BC＝，Rt△CHP中，∠HCP＝30°，∴PH＝，CH＝，则OH的最大值是：OC+CH＝1+＝，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．19．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加的一个条件是BF＝DE（答案不唯一）（只需添加一个正确的即可）．【解答】解：添加的一个条件为BF＝DE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO、BO＝DO，∵BF＝DE，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；故答案为：BF＝DE（答案不唯一）．20．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，要使它成为等腰梯形，还需添加一个条件，这个条件可以是AB＝DC或AC＝BD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CDA．【解答】解：根据在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，可添加条件∠B＝∠C或∠BAD＝∠ADC；根据对角线相等的梯形是等腰梯形，可添加条件AC＝BD；根据有两腰相等的梯形是等腰梯形，可添加条件AB＝CD，故答案为：AB＝CD或AC＝BD或∠B＝∠C，或∠BAD＝∠CDA．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝2AD．【解答】（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，∵DF⊥AC，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝，或x＝0（舍去），∴EC＝；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵AB＝AF＝FH，∴CD＝FH，∵DF⊥AC，∴∠DEC＝∠HEF＝90°，在△DEC和△HEF中，，∴△DEC≌△HEF（AAS），∴EC＝EF，DE＝EH，∵DF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∵AF＝FH，DF⊥AC，∴AE＝HE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，DE＝AD，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠EDC＝∠H＝22.5°，∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，∴CF＝CH，∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．【解答】（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，解得：x＝1，即PG＝1，∴GC＝4，∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；（2）证明：连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF（AAS），∴BF＝AF，NF＝EF，∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，∴∠ANB＝∠CEA，在△ANB和△CEA中，，∴△ANB≌△CEA（SAS），∴∠CAE＝∠ABN，∵∠NBF＝∠EAF，∴∠ABF＝∠F AC＝45°∴FC＝AF＝BF，∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），∴CM＝NE，又∵NF＝NE＝MC，∴AF＝MC+EC，∴AD＝MC+2EC．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE＝CF．试判断△GAB的形状，并说明理由．【解答】解：△GAB是等腰三角形，理由是：∵在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∴∠D＝∠C，在△ADE和△BCF中∴△ADE≌△BCF，∴AE＝BF，∠DEA＝∠CFB，∵∠GFE＝∠CFB，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵AE＝BF，∴GA＝GB，∴△GAB是等腰三角形．24．学生在讨论命题：“如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB＝DC．”的证明方法时，提出了如下三种思路．思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形思路2：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．思路3：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形．请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．【解答】证明：过点D作DE∥AB，交BC于E，∵DE∥AB，∴∠1＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠C，∴DE＝DC，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∴AB＝CD．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，DC＝13cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度在射线BC上运动到c点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上，以每秒1cn的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发．当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（l）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ＝CP当P从B运动到C时，∵DC＝13cm，BC＝21cm，∴DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t．∴16﹣t＝21﹣2t解得t＝5当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21∴16﹣t＝2t﹣21，解得t＝，∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）△PQD是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当PQ＝PD时作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，当P从B运动到C时时，∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）由AH＝BP得，解得秒；当点P从C向B运动时，观察图象可知，只有由题意：2t﹣21＝（16﹣t），解得t＝秒．Ⅱ．当PQ＝QD，当P从B运动到C时时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，∵PQ2＝t2+122∴（16﹣t）2＝122+t2解得（秒）；Ⅲ．当QD＝PD，当P从C运动到B时，则DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2即3t2﹣32t+144＝0∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．26．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC（1）求C点的坐标．（2）如图2，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出H点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，∵△ABC是等腰直角三角形∴AC＝AB，∠CAB＝90°∵∠DAC+∠DCA＝90°，∠DAC+∠OAB＝90°∴∠DAC＝∠OAB，且AC＝AB，∠CDA＝∠AOB＝90°∴△ACD≌△BAO（AAS）∴OA＝CD＝2，AD＝OB＝4∴OD＝6∴点C（﹣6，﹣2）（2）设点H（x，y）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），点B（0，﹣4），若四边形ABHC是平行四边形，∴AH与BC互相平分∴，∴x＝﹣4，y＝﹣6∴点H坐标（﹣4，﹣6）若四边形ABCH是平行四边形∴AC与BH互相平分∴，∴x＝﹣8，y＝2∴点H坐标（﹣8，2）若四边形CAHB是平行四边形∴AB与CH互相平分∴＝，＝∴x＝4，y＝﹣2∴点H坐标（4，﹣2）综上所述：点H坐标为（﹣4，﹣6）或（﹣8，2）或（4，﹣2）27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；又∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE∥CF，AE＝CF＝AD，∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．28．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：在▱ABCD中，DC∥AB，DC＝AB，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EB∥FD，EB＝FD，∴四边形EBFD是平行四边形。

鲁教版(五四学制)八年级上册《第5章平行四边形》单元测试卷含答案解析

鲁教版(五四学制)八年级上册《第5章平行四边形》单元测试卷含答案解析

八年级数学上册《第5章平行四边形》单元测试卷（河南省濮阳六中）一、选择题（2’×12=24’）1．以下平行四边形的性质错误的是( )A．对边平行 B．对角相等C．对边相等 D．对角线互相垂直2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是( )A．105°B．115°C．125°D．65°3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD=BC B．AB=AD，CB=CD C．AB=CD，AD=BC D．∠B=∠C，∠A=∠D4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为( )A．28°，120°B．120°，28° C．32°，120° D．120°，32°5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( )A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )A．7个B．8个C．9个D．11个7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为( )A．11cm B．5.5cm C．4cm D．3cm8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=( )A．110°B．30°C．50°D．70°9．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )A．①②③④B．①③④ C．①②D．③④10．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )A．1：2：3：4 B．3：4：4：3 C．3：3：4：4 D．3：4：3：411．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜1612．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．A．3个B．4个C．1个D．2个二、填空题（3’×8=24’）13．一组对边平行且相等的四边形一定是__________形．14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：BC=4：1，则AB的长是__________cm．15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是__________．16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC=__________cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE=__________cm，▱ABCD的面积S▱ABCD=__________cm2．17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=__________度，∠CAD=__________度．18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为__________．19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是__________四边形．20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为__________．三、解答题：（共72分）21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．24．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN且BM=DN．25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=CF．26．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．27．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．鲁教五四新版八年级数学上册《第5章平行四边形》单元测试卷（河南省濮阳六中）一、选择题（2’×12=24’）1．以下平行四边形的性质错误的是( )A．对边平行 B．对角相等C．对边相等 D．对角线互相垂直【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的概念（有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）和平行四边形的性质进行判断．【解答】解：A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意；B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线相互平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是( )A．105°B．115°C．125°D．65°【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠D+∠A=180°，∵∠A=65°，∴∠D=115°．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，关键是推出∠A+∠D=180°，题目比较典型，难度不大．3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD=BC B．AB=AD，CB=CD C．AB=CD，AD=BC D．∠B=∠C，∠A=∠D【考点】平行四边形的判定．【专题】推理填空题．【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．【解答】解：A、根据AD∥CD，AD=BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据AB=AD，BC=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB=CD，AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据∠B=∠C，∠A=∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为( )A．28°，120°B．120°，28° C．32°，120° D．120°，32°【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠B=∠D，∠BAD+∠D=180°．即可求得∠ABC、∠CAB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，∴∠BAD+∠D=180°，∵∠D=120°，∠CAD=32°，∴∠ABC=∠D=120°，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠BAD﹣∠CAD=60°﹣32°=28°．故选B．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行，对角相等，熟记性质是解题的关键．5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( )A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质可知，A、B、C正确，因为平行四边形的两组对角分别相等，所以∠2+∠4=180°不一定正确，只有当四边形是矩形时才正确．【解答】解：由▱ABCD的性质及图形可知：A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )A．7个B．8个C．9个D．11个【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形，共9个．故选C．【点评】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为( )A．11cm B．5.5cm C．4cm D．3cm【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=17，继而求出AC的长．【解答】解：如图：∵▱ABCD的周长是28cm，∴AB+BC=14cm．∵△ABC的周长是17cm，∴AC=17﹣（AB+AC）=3cm．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=( )A．110°B．30°C．50°D．70°【考点】平行四边形的性质．【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE=∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°∵∠E+∠F=∠ADE∴∠E+∠F=70°故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．9．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )A．①②③④B．①③④ C．①②D．③④【考点】平行四边形的判定．【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABCD是平行四边形；③和④不一定能判定四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴①能判定；∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴②能判定；∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，∴③不一定能；∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，∴④不一定能；以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，不能进行推理论证是解决问题的关键．10．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )A．1：2：3：4 B．3：4：4：3 C．3：3：4：4 D．3：4：3：4【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等即可判断．【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知选D．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．11．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．【分析】根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，∴2（AB+BC）=2（BC+BC）=32，∴BC=10，∴AB=6，∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．A．3个B．4个C．1个D．2个【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD=S△ABC，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD=AC•DE，S△ABC=AC•BF，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE=BF，∠AED=∠BFC，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF=CD，BE=AB，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形；④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF=BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形．故选A．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．二、填空题（3’×8=24’）13．一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【分析】直接利用平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出答案即可．【解答】解：一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形．故答案为：平行四边．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：BC=4：1，则AB的长是40cm．【考点】平行四边形的性质．【专题】方程思想．【分析】如图：因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，又因为平行四边形的周长等于100 cm，AB：BC=4：1，所以可求得这个平行四边形较长的边长的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形的周长等于100 cm，∴AB+CD+AD+BC=100cm，∴AB+BC=50cm，∵AB：BC=4：1，∴BC=10cm，AB=40cm，∴AB的长是40cm．故答案为40．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质，在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，设一个角x，由四边形的内角和定理得到方程2x+4x=360°，解得x=60°，则它的邻角是2x=120°【解答】解：设一个角x，则另一个角为2x．∵平行四边形∴2（x+2x）=360°，即x=60°，则2x=120°∴这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．故答案为120°，60°．【点评】本题考查平行四边形的性质以及四边形的内角和定理．运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC=10cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE=4cm，▱ABCD的面积S▱ABCD=40cm2．【考点】平行四边形的性质．【分析】首先根据平行四边形对边相等的性质可求得BC的长度，又由∠B=60°，即可求得AD与BC的距离AE的长，继而求得S□ABCD的值．【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，∴CD=AB=8cm，AD=BC=10cm，∵∠B=60°，AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=4（cm），∴AE==4（cm），∴S□ABCD=BC•AE=10×4=40（cm2）．故答案为：10；4；40．【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握平行四边形的性质是关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=60度，∠CAD=30度．【考点】平行四边形的性质．【分析】利用锐角三角关系得出∠B=60°，再利用平行四边形的性质得出∠DAC的度数．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，∴cosB==，∴∠B=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=120°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=30°．故答案为：60，30．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及锐角三角关系，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为10．【考点】三角形中位线定理．【专题】计算题．【分析】根据三角形的中位线定理，可得△ABC的各边长为△DEF的各边长的2倍，从而得出△DEF的周长即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是△A BC三边的中点，∴AB=2EF，AC=2DE，BC=2DF，∵AB+AC+BC=20，∴DE+EF+DF=10，故答案为10．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是基础知识要识记．19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是平行四边形．【考点】因式分解的应用．【分析】首先配方可得（a﹣b）2+（c﹣d）2=0，再根据偶次幂的非负性可得a﹣b=0，c﹣d=0，进而得到a=b，c=d，然后再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0∴（a﹣b）2+（c﹣d）2=0解得：a=b，c=d，∴这个四边形的形状是平行四边形．故答案为：平行．【点评】此题主要考查了因式分解的运用，平行四边形的判定，关键是掌握完全平方公式和平行四边形的判定方法．20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为7．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长，本题可解．【解答】解：设DF=x，FC=y，∵▱ABCD，∴AD=BC，CD=AB，∵BE为折痕，∴AE=EF，AB=BF，∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，∴BC=AD=8﹣x，AB=CD=x+y，∴y+x+y+8﹣x=22，解得y=7．故答案为7．【点评】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列出方程求得答案．三、解答题：（共72分）21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF．【解答】解：AE=CF．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥EC．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AE=CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可求得BC=AD=8，又由AC⊥BC，利用勾股定理即可求得AC的长，然后由平行四边形的对角线互相平分，求得OA的长，继而求得平行四边形ABCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∵AB=10，AC⊥BC，∴AC==6，∴OA=AC=3，∴S=BC•AC=8×6=48．平行四边形ABCD【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等，对角线互相平分．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后判断出OE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∵AE=EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的性质，熟记性质与定理是解题的关键．24．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN且BM=DN．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，即可得到OA=OC，OB=OD，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得四边形BMDN是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DM，BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵M、N分别是OA、OC的中点，∴OM=ON又∵OB=OD∴四边形BMDN是平行四边形，∴BM∥DN且BM=DN．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确证得四边形BMDN是平行四边形是解题的关键．25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=CF．【考点】三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△CEG，可得AF=DG，由三角形中位线定理可得DG=CF，可证得结论．【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF=∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG=CF，∵E为AD中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG=AF，∴AF=CF．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，作辅助线构造三角形中位线找到GD和AF、CF 的关系是解题的关键．26．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．27．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．【考点】平行四边形的判定．【专题】动点型．【分析】（1）已知条件为：AP∥BQ，只需让AP=BQ即可证得四边形ABQP为平行四边形（2）已知条件为：AP∥BQ，只需让PD=QC即可证得四边形PDCQ为平行四边形【解答】解：（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2秒钟后，四边形PDCQ 为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是6×2+15×2=42cm．【点评】本题用到的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形的两组对边分别相等．。

鲁教版(五四制)八年级数学上册第五章平行四边形单元测试题及参考答案

鲁教版(五四制)八年级数学上册第五章平行四边形单元测试题及参考答案

鲁教版（五四制）八年级数学上册第五章平行四边形单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．八边形的内角和为（）A．180°B．360°C．1 080°D．1 440°2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C D．14．如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．105．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC6．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=12DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE7．在□ABCD中,EF∥BC，GH∥AB,EF，GH的交点P在对角线BD上，图中面积相等的平行四边形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对8．在如图所示的四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,AC,BD相交于点O.小雨同学用大头针把一根平放在四边形上的细木条固定在点O处,拨动细木条,使它随意停留在任意位置(设细木条与边分别相交于点E,F),小雨观察几次拨动的结果发现:①OE=OF;②AE=CF:③DE=BF;④△AOE≌△COF;⑤△DOE≌△BOF，其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=__________°.10．如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB 的延长线于点F，则∠BEF的度数为__．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．12．若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是_________.13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若EF=8，则CD的长为．14．在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-4,2),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为________________．15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．16．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为__________．17．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的15，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．18．我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.19．如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点F在线段AC上,AF=12FC，AD与BF相交于点E．求证:点E是AD的中点.20．如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过点A作AF∥BE,连接ED 并延长交AF于点F,连接AE,CF.求证:四边形AFCE是平行四边形.21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E.F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G.求证：(1)四边形AECF是平行四边形．(2)EF与GH互相平分．参考答案1．C【解析】试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）×180º可得八边形的内角和为（8-2）×180º=1080º，故答案选C.考点：n边形的内角和公式.2．D【解析】试题分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．故选D．3．A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：如图∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，∴AB=2BC=2又∵点D. E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=12AB=1故选：A 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．4．C【解析】试题分析：∵直线a∥b，点A、B、C在直线a上，∴点D到直线a的距离与点C到直线B 的距离相等．又∵AB=EF=2，∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，∴S△ABD=S△CEF=5．故选C．考点：三角形的面积．5．D【解析】根据平行四边形判定定理进行判断：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D．考点：平行四边形的判定．6．D【解析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=12DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选D．“点睛”此题考查了平行四边形的性质，还考查了三角形中位线定理，解决问题的方法是采用排除法解答．7．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD=S△CBD．∵BP是平行四边形BEPH的对角线，∴S△BEP=S△BHP，∵PD是平行四边形GPFD的对角线，∴S△GPD=S△FPD．∴S△ABD-S△BEP-S△GPD=S△BCD-S△BHP-S△PFD，即S▱AEPG=S▱HCFP，∴S▱ABHG=S▱BCFE，同理S▱AEFD=S▱HCDG．即：S▱ABHG=S▱BCFE，S▱AGPE=S▱HCFP，S▱AEFD=S▱HCDG．故选D．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分．8．A【解析】【分析】①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠DAO=∠BCO，在△AOE和△COF中，∵AOE COF OA OCDAO BCO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；故①和④结论成立；②由①知：△AOE≌△COF，∴AE=CF，故②结论成立；③∵四边形ABCD为平行四边形；∴AD=CD，∵AE=CF，∴DE=BF，故③结论成立．⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠ADO=∠CBO，在△DOE和△BOF中，∵ADO CBO OB ODADO CBO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴△DOE≌△BOF（ASA）,则一定成立的是：①②③④⑤；故答案为①②③④⑤．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF F是解题的关键．9．48【解析】∵正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正五边形的每个内角是：（5-2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，∴∠1=108°-60°=48°，故答案为48°【点睛】运用了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．10．50°．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案为50°．【点睛】本题考查平行四边形的性质．11．AF=CE（答案不唯一）．【解析】【分析】【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形. 12．35【解析】【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入()32n n-中即可得出结论．【详解】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n-2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：()32n n-=1072⨯=35．故答案为35．【点睛】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．13．8【解析】试题分析：根据三角形的中位线的性质可得：AB=2EF=16，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：CD=AB=8.考点：(1)、直角三角形的性质；(2)、三角形中位线的性质14．(-3,0)或(5,0)或(-5,4)【解析】【分析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质、A、B、C的坐标求出即可．【详解】解：如图有三种情况：①平行四边形AD1CB，∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），∴AD1=BC=4，OD1=3，则D的坐标是（-3，0）；②平行四边形AD2BC，∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），∴AD2=BC=4，OD2=1+4=5，则D的坐标是（5，0）；③平行四边形ACD3B，∵A（1，0），B（ 0，2），C（-4，2），∴D3的纵坐标是2+2=4，横坐标是-（4+1）=-5，则D的坐标是（-5，4），故答案为（-3，0）或（5，0）或（-5，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．15．3 2【解析】【分析】【详解】解：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）=32．故答案为：32．16【解析】解：连接B′E，∵将△ABC沿AC所在直线翻折到同一平面内，若点B的落点记为B′，∴B′E=BE，∠B′EA=∠BEA=45°，∴∠B′EB=90°，∴∠B′ED=180°﹣∠BEB′=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE=DE=BD=×2=1，∴B′E=BE=DE=1，∴在Rt △B′ED 中，DB′==．故答案为．17．这个多边形的每一个内角的度数为150°，它的边数为12【解析】【分析】已知关系为：一个外角=一个内角×15，隐含关系为：一个外角+一个内角=180°，由此即可解决问题．【详解】解：设这个多边形的每一个内角为x°，那么180﹣x=15x ， 解得x=150，那么边数为360÷（180﹣150）=12．答：这个多边形的每一个内角的度数为150°，它的边数为12．【点睛】本题考查了多边形内角与外角的关系，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数=360÷一个外角的度数．18．见解析【解析】【分析】根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH 是平行四边形.【详解】证明:如图,连接BD,∵点E,H分别为边AB,DA的中点,∴EH∥BD,EH=12BD,∵点F,G分别为边BC,CD的中点, ∴FG∥BD,FG=12BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中点四边形EFGH是平行四边形.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定、矩形、菱形的判定等知识，正确掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．19．见解析【解析】【分析】取CF得中点M，连接DM，由已知条件可证明DM是△BFC的中位线，所以DM∥BF，又因为AF=AM，所以可得AE=DE．【详解】取线段CF得中点M,连接DM ,∵AF=12FC,∴AF=FM=CM,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴DM是△BFC的中位线,∴DM∥BF,∵AF=FM,∴AE=DE,即点E是AD的中点.【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用，根据题意证明DM∥BF是解题的关键．20．见解析【解析】【分析】根据已知条件能证明△ADF≌△CDE，则AF=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【详解】证明:∵D是AC的中点,∴AD=CD,∵AF∥BE,∴∠DAF=∠DCE.在△ADF和△CDE中,∠DAF=∠DCE,AD=CD,∠ADF=∠CDE,∴△ADF≌△CDE,∴AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=12AE•BF，即可得出结果．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF=，∵AD ∥BC ，∴∠D=∠ECF ，∠DAF=∠E ，在△ADF 和△ECF 中， D ECF DAF E AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴△ADF 的面积=△ECF 的面积，∴平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积=12AE•BF=12×4×考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．22．见解析【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD 是平行四边形,由平行四边形的性质可得://AB CD ,AB CD =, 根据AE CF =,利用平行四边形的判定定理可得:四边形AECF 是平行四边形,()2由()1得四边形AECF 是平行四边形,根据平行四边形的性质可得://AF CE ,根据AE CF =,//AB CD ,AB CD =,可得://BE DF ,BE DF =,根据平行四边形的判定定理可得:四边形BFDE 是平行四边形,再根据平行四边形的性质可得://BF DE ,根据平行四边形的判定定理可得:四边形EGFH 是平行四边形,由平行四边形的性质可得:EF 与GH 互相平分.【详解】()1四边形ABCD 是平行四边形,//AB CD ∴,AB CD =,AE CF =,∴四边形AECF 是平行四边形,()2由()1得:四边形AECF 是平行四边形,//∴,AF CE=,AB CD,AB CD=,//AE CF∴,BE DF//BE DF=,∴四边形BFDE是平行四边形,∴,//BF DE∴四边形EGFH是平行四边形,∴与GH互相平分.EF【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理和平行四边形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理和平行四边形的性质.。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（）A．B．6C．10D．52．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（）A．B．3﹣C．﹣1D．13．在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D的度数为（）A．40°B．130°C．60°D．140°4．下列图形中，只有一条对称轴的图形是（）A．等腰梯形B．矩形C．等边三角形D．圆5．下列说法中：①角平分线上点到角两边距离相等；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③等腰梯形对角线相等；④全等的两个图形一定成轴对称．其中正确有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD7．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④8．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形9．如图，▱ABCD中，EG∥FH∥CD，则图中平行四边形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．∠DBC＝∠ACB C．∠DAC＝∠DBC D．∠ACD＝∠DAC 二．填空题（共10小题）11．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝7，AC＝10，BD＝14，则△AOD的周长为．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD＝6，AB ＝10，则△AOB的面积为．14．在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A＝100°，那么∠C的度数是．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为．16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是．17．如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）18．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．19．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有对．20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若再加上一个条件，则可得梯形ABCD是等腰梯形．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A 出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．22．如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E、G分别是OA、OC的中点，过点O作任一条直线交AD于点H，交BC于点F，求证：（1）OH＝OF；（2）HG＝FE．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE＝BC．判断△ACE 的形状，并说明理由．24．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝8，则各顶点的坐标是A（2，4），D（0，0），求点B、C的坐标．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AB＝CD，E，F分别为AB、CD上的点，连接BC，分别为AF、ED相交于点G，H．∠B＝∠C，BH＝CG．（1）求证：AG＝DH；（2）求证：四边形AFDE是平行四边形．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE ＝CG，AH＝CF，（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图（2）若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段（不包括EH）28．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（）A．B．6C．10D．5【解答】解：过D作DE⊥BC，∵▱ABCD中，AC⊥BC，∴AD∥CE，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE＝AD＝BC＝3，连接BD，在Rt△BDE中，BD＝，故选：A．2．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（）A．B．3﹣C．﹣1D．1【解答】解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），∴AB＝＝，BC＝3，∵若点A关于BP的对称点为A'，∴BA′＝BA＝，在△BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC﹣BA′，∴A′C≥3﹣，即A′C的最小值为3﹣，故选：B．3．在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠D的度数为（）A．40°B．130°C．60°D．140°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°．故选：D．4．下列图形中，只有一条对称轴的图形是（）A．等腰梯形B．矩形C．等边三角形D．圆【解答】解：A、等腰梯形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，故本选项符合题意；B、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故本选项不符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，故本选项不符合题意；D、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故本选项不符合题意；故选：A．5．下列说法中：①角平分线上点到角两边距离相等；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③等腰梯形对角线相等；④全等的两个图形一定成轴对称．其中正确有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①角平分线上点到角两边距离相等，符合角平分线的性质，故本小题正确；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，符合等腰三角形的性质，故本小题正确；③等腰梯形对角线相等，符合等腰梯形的性质，故本小题正确；④全等的两个图形不一定成轴对称，故本小题错误．故选：B．6．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．7．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④【解答】解：以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．理由：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．8．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形【解答】解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．故选：A．9．如图，▱ABCD中，EG∥FH∥CD，则图中平行四边形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，且EG∥FH∥CD∴四边形ABGE，四边形EGHF，四边形FHCD，四边形ABHF，四边形EGCD，∴图中平行四边形有6个，故选：D．10．在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．∠DBC＝∠ACB C．∠DAC＝∠DBC D．∠ACD＝∠DAC 【解答】解：A、∵∠ABC＝∠DCB，∴BD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、∵∠DAC＝∠DBC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA∴OB＝OC，OD＝OA，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB＝∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝∠ACB，∴OA＝OD，OB＝OC，∴AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；D、根据∠ACD＝∠DAC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确．故选：D．二．填空题（共10小题）11．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝80°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，解得：，∴∠C＝∠A＝80°．故答案为：80°．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC＝7，AC＝10，BD＝14，则△AOD的周长为19．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，∵BC＝7，BD＝14，AC＝10，∴AD＝7，OA＝5，OD＝7，∴△AOD的周长为：AD+OA+OD＝7+5+7＝19．故答案为：19．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD＝6，AB ＝10，则△AOB的面积为12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，∴S△AOB＝S△ADO，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝8，∴OD＝4，∴S△AOB＝S△ADO＝×AD×DO＝×6×4＝12，故答案为1214．在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A＝100°，那么∠C的度数是80°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°∵∠A＝100°，∴∠B＝80°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠C＝∠B＝80°．故答案为：80°．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为4．【解答】解：过C作CE平行于BD交AB的延长线于E，则四边形BECD是平行四边形，∵AC⊥BD，即∠AOB＝90°，又CE∥BD，∴∠ACE＝∠AOB＝90°，∴AC⊥CE，∵四边形BECD是平行四边形，∴AE＝AB+BE＝AB+CD＝8．∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∵BD＝CE，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝BD＝CE＝＝4．故答案为：4．16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件AD＝BC，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC．故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．18．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是③④，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，如果AF＝CF，则无法证明四边形AFCE是平行四边形，故①不合题意；如果AE＝CF，则无法证明四边形AFCE是平行四边形，故②不合题意；如果∠BAE＝∠FCD，则△ABE≌△DFC（ASA）∴BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故③符合题意；如果∠BEA＝∠FCE，则AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故④符合题意；故答案为：③④19．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有3对．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝S△CBD．∵BP是平行四边形BEPG的对角线，∴S△BEP＝S△BGP，∵PD是平行四边形HPFD的对角线，∴S△HPD＝S△FPD．∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△HPD＝S△BCD﹣S△BGP﹣S△PFD，即S▱AEPH＝S▱GCFP，∴S▱ABGH＝S▱BCFE，同理S▱AEFD＝S▱GCDH．即：S▱ABGH＝S▱BCFE，S▱AHPE＝S▱GCFP，S▱AEFD＝S▱GCDH故答案为：320．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若再加上一个条件AB＝CD，则可得梯形ABCD 是等腰梯形．【解答】解：添加条件是AB＝CD，理由是：∵梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴梯形ABCD是等腰梯形（有两腰相等的梯形是等腰梯形），故答案为：AB＝CD．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A 出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠P AO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝5﹣t；（2）∵AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5﹣t，t＝，∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；（3）t＝，如图，Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∴AO＝CO＝AC＝2，∵，∴AB•AC＝BC•EF，∴3×4＝5×EF，∴，∴，∵OE是AP的垂直平分线，∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，∴，∴t＝或﹣（舍），∴当t＝秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．22．如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E、G分别是OA、OC的中点，过点O作任一条直线交AD于点H，交BC于点F，求证：（1）OH＝OF；（2）HG＝FE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OA＝OC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO，∠DHO＝∠BFO，且OD＝OB∴△DHO≌△BFO（AAS）∴OH＝OF（2）∵E、G分别是OA、OC的中点，且OA＝OC∴OG＝OE，且OH＝OF∴四边形HGFE是平行四边形∴HG＝FE23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE＝BC．判断△ACE 的形状，并说明理由．【解答】解：△ACE是等腰三角形．理由如下：∵AD∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，在△BCD和△EDC中，∵，∴△BCD≌△EDC（SAS）∴BD＝CE，∵等腰梯形的对角线相等，所以AC＝CE，∴△ACE是等腰三角形．24．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝8，则各顶点的坐标是A（2，4），D（0，0），求点B、C的坐标．【解答】解：作AE⊥x轴，BF⊥x轴分别于E，F．∵A（2，4），D（0，0），∴DE＝CF＝2，∵CD＝8，AB＝4，∴EF＝8﹣2﹣2＝4，∴B（6，4），C，8，0）．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．【解答】解：∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，又∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AB＝CD，E，F分别为AB、CD上的点，连接BC，分别为AF、ED相交于点G，H．∠B＝∠C，BH＝CG．（1）求证：AG＝DH；（2）求证：四边形AFDE是平行四边形．【解答】证明：（1）∵BH＝CG，∴BH+HG＝CG+HG，∴BG＝CH，在△ABG与△CDH中，∴△ABG≌△CDH（SAS），∴AG＝DH；（2）∵△ABG≌△CDH，∴∠AGB＝∠CHD，∴AF∥DE，∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴四边形AFDE是平行四边形．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE ＝CG，AH＝CF，（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图（2）若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段（不包括EH）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，且AE＝CG，AH＝CF∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理EF＝GH∴四边形EFGH是平行四边形（2）∵四边形EFGH是平行四边形∴EH∥FG∴∠HEG＝∠EGF∵EG平分∠HEF∴∠HEG＝∠FEG∴∠EGF＝∠FEG∴EF＝FG，且四边形EFGH是平行四边形∴四边形EFGH是菱形∴EH＝EF＝FG＝GH28．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC（平行四边形的对边平行且相等）．又∵点E、F分别在线段AD、线段CB的延长线上，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠CFO（两直线平行，内错角相等）．在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AFCE为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．（2）解：∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE＝CF＝8，∴BF＝CF﹣BC＝8﹣6＝2。

第五章平行四边形能力提升20212022学年鲁教版五四制八年级上册数学单元测试卷.docx

第五章平行四边形能力提升20212022学年鲁教版五四制八年级上册数学单元测试卷.docx

第五章平行四边形能力提升_2021-2022学年鲁教版八年级上册数学单元测试卷【满分：100分】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知在oABCD中，ZB = 4ZA,则ZC的度数为（）A.18°B.36°C.72°D.144°2.从一个多边形的一个顶点出发共可作10条对角线，则这个多边形共有对角线的条数为（）A.35B.65C.70D.1303.下列说法中错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4.一个正多边形的内角和为540。

，则这个正多边形的每个外角的度数为（）A.60°B.72°C.90°D.10805.如图在平行四边形ABCO中，顶点OA,C的坐标分别为（0,0） , （2,3） , （〃z,0）,贝U顶点B的坐标为（）C. (2,3 + m)D. (3,2 + ni)6.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分ZZMB, AB = 7 , BC=4,则CE等于（）7. 如图，在RtAABC 中，ZACB = 90°，点D, E 分别是边AB, AC 的中点，延长BC 到点F, 使CF=-BC.若AB = 10,则EF 的长是（）2A.6B.5C.3D.- 2 8. 如图，AABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PDPAB, PEP BC,PFP AC ,若AABC 的周长为18,则PD+PE+PF = ()9. 如图，在YABCD 中，分别是AZ ）,BC 边的中点，G,H 是对角线3。

上的两点，且 BG = DH ,则下列结论中不正确的是（）A.GF^FHB.GF = EHC.EF 与 AC 互相平分D.EG=FH10. 如图，在oABCD 中，。

为对角线AC 的中点，AC±AB,点E 为AD 的中点，OF±BC, ZD = 53°,则ZFOE 的度数是（）A.6B.5C.4D.3 C.6D.条件不够，不能确定A.137°B.1530C.127°D.143°二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.12.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与相交于点。

初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形本章综合与测试-章节测试习题(2)

初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形本章综合与测试-章节测试习题(2)

章节测试题1.【题文】（10分）如图，平行四边形的对角线，交于点，，，．（1）求的长；（2）求平行四边形的面积．【答案】（1）4.（2）24．【分析】【解答】2.【题文】（10分）如图，四边形中，，与交于点，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明：∵，∴．在和中，∴（ASA）．∴．∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：由勾股定理得．又∵，∴，∴．又∵，∴．【分析】【解答】3.【题文】（12分）在中，是边上一点，线段垂直于的平分线于点，点边的中点，连接．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）证明：在和中，∴（ASA）．∴，．∵，∴．（2）解：在中，．∴．由（1）得．∴．【分析】【解答】4.【题文】（12分）（1）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多，求这个正多边形的边数；（2）已知一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．【答案】解（1）设内角是，外角是．由题意得解得而任意多边形的外角和都是，所以正多边形外角的个数是．即这个正多边形的边数是12．（2）设这个多边形的边数为．由题意得．解得．答：这个多边形的边数为9．【分析】【解答】5.【答题】下列选项中不属于平行四边形的性质的是（）A. 一组对角相等B. 对角线互相平分C. 一组对边平行相等D. 对角线互相垂直【答案】D【分析】【解答】平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直，选D.6.【答题】若n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【分析】【解答】由题意得，解得，选C.7.【答题】在中，若，则∠C的度数是（）A. 120°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】C【分析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，，，选C.8.【答题】如图5-5-1所示，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的长的取值范围是（）A. 2cm＜OA＜5cmB. 2cm＜OA＜8cmC. 1cm＜OA＜4cmD. 3cm＜OA＜8cm【答案】C【分析】【解答】在中，，，，四边形ABCD是平行四边形，，，选C．9.【答题】如图5-5-2，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E 是边CD的中点，连接OE. 若，则∠1的度数为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 25°【答案】B【分析】【解答】在中，，．四边形ABCD是平行四边形，．又E是CD的中点，OE是的中位线，．10.【答题】如图5-5-3所示，M是的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为，△ABM的面积为，则下列关于的关系中，正确的是（）A. B.C. D. 的关系无法确定【答案】B【分析】【解答】过M作于点E，四边形ABCD是平行四边形，．的面积的面积的面积，，的关系是．选B．11.【答题】如图5-5-4，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，，BE平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A. AE=6cmB. ED=2cmC.D.【答案】C【分析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，，，，故D中的结论不符合题意；BE平分，，，，故C中的结论符合题意；，，故A中的结论不符合题意；，，故B中的结论不符合题意．选C．12.【答题】在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A. BE=DFB. AE=CFC. AF∥CED. ∠BAE=∠DCF【答案】B【分析】【解答】如图，由得，所以．所以结合选项A或D的条件可得到，进而得到，所以能得出四边形AECF一定为平行四边形；结合选项C的条件可得到，所以，所以能得出四边形AECF一定为平行四边形；只有选项B的条件不能得出四边形AECF一定为平行四边形．13.【答题】（2020山东青岛市南期中）如图5-5-5，在中，AB=10cm，AD=15cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A. 20cmB. 22cmC. 25cmD. 30cm【答案】C【分析】【解答】在中，点O是BD的中点，，EO所在直线是线段BD 的中垂线，，的周长．选C．14.【答题】如图5-5-6，在中，，AB=6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的长度的最小值为（）A. 3B.C. 6D.【答案】D【分析】【解答】四边形PAQC为平行四边形，，PQ的最小值为AQ，CP两平行线间的距离，如图，过点O作于点D，则PQ长度的最小值为20D．在中，，，，，在中，，PQ长度的最小值为．15.【答题】如图5-5-7，，则∠1=______．【答案】40°【分析】【解答】，．16.【答题】（2020山东滨州博兴期中）如图5-5-8，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于坐标原点O，点A的坐标为（-3，2），点B的坐标为（-1，-2），则点C的坐标为______．【答案】（3，-2）【分析】【解答】平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于坐标原点O，，A 点与C点关于原点对称，C点的坐标为（3，-2）．17.【答题】如图5-5-9，已知P是的边BC上一点，且AB=AD=AP，若，那么∠CDP的度数为______．【答案】30°【分析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，，．18.【答题】小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°，则这个多边形的边数为______．【答案】14【分析】【解答】设这个多边形的边数为n，多加的一个外角的度数为，则，内角和是的倍数，，，小明多加的一个外角的度数为，这个多边形的边数为14．19.【答题】如图5-5-10，已知四边形ABCD中，，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=______．【答案】270°【分析】【解答】由题意及多边形的性质知，，，，，．20.【答题】如图5-5-11，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD=16，则EF的长为______．【答案】8【分析】【解答】，，又F是BC的中点，EF是的中位线，又，．。

鲁教版(五四制)八年级数学上册 第5章 平行四边形 单元测试卷(含解析)

鲁教版(五四制)八年级数学上册 第5章 平行四边形 单元测试卷(含解析)

鲁教版（五四制）八年级数学上册第5章平行四边形单元测试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：，；，；，；，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为．A. 1B. 2C. 3D. 42.平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是A. 4cm，6cmB. 6cm，8cmC. 8cm，12cmD. 20cm，30cm3.如图所示，的对角线AC，BD相交于点O，，，，的周长为A. 11B. 13C. 16D. 224.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，且AC：：3，那么AC的长为A. B. C. 3 D. 45.如图，在▱ABCD中，，，的平分线BE交AD于点E，则DE的长是A. 4B. 3C.D. 26.一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于A. B. C. D.7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若，，，则▱ABCD的面积A. 20B. 24C. 40D. 608.如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是A. B.C. D.9.如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得，如果的周长是24cm，那么的周长是A. 6cmB. 12cmC. 18cmD. 48cm10.在中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分，交DE于点，，则EF的长为．A. 1B. 2C. 3D. 411.将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为，那么原多边形的边数是A. 10B. 11C. 12D. 1312.如图，的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则的面积是A. B. 5 C. D. 6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的大小为．14.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分和，若，，则的周长是______．15.已知：在中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，，，则的面积是______ ．16.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于__________．17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若，的周长是18cm，则EF的长为______ ．18.如图，的值为______ ．19.在中，，，，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长等于______．20.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多，则这个多边形共有对角线________条．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，，求证：，．22.如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，，，．求证：≌；若，求；若，求证：四边形ABCD是平行四边形．23.如图，在中，AD、BE是中线，它们相交于点F，，交AD于点G．找出图中的一对相似三角形，并说明理由；求AG与DF的比．24.如图，点O是内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四边形；若M为EF的中点，，和互余，求BC的长度．25.如图所示，在四边形ABCD中，，，，点P从点A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，，不符合是平行四边形的条件；，满足四边形是平行四边形．故选B．2.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．【解答】解：A．，不能够成三角形，故此选项错误；B.，不能够成三角形，故此选项错误；C.，不能构成三角形，故此选项错误；D.，能够成三角形，故此选项正确；故选D．3.【答案】D【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质．注意证得OE是的中位线是关键．由的对角线AC，BD相交于点O，，易得OE是的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．【解答】解：的对角线AC，BD相交于点O，，，，，，是的中位线，，的周长．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．由平行四边形ABCD得，，即，，又因AC：：3，所以OA：：3，设，，因，所以在中，由勾股定理得，解得，由，即可得出答案．【解答】解：平行四边形ABCD，，，，，：：3，：：3，设，，，，在中，由勾股定理得，解得：，．故选D．5.【答案】B【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，注意证得是等腰三角形是解此题的关键．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，平分，，，，．故选B．6.【答案】B【解析】解：设此多边形为n边形，根据题意得：，解得：，这个正多边形的每一个外角等于：．故选：B．首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：，外角和等于．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，平行四边形面积的求法首先根据平行四边形的性质求出OA、OB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用平行四边形的面积公式进行解答，即可求解解题的关键掌握判定三角形是直角三角形的思路与方法．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，，，，，又，，，，是直角三角形，，，平行四边形ABCD的面积为：．故选B．8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了图形的轴对称，轴对称变换，三角形内角和定理根据翻折不变性，由已知条件，根据三角形内角和定理得到，即可求解．【解答】解：如下图，把纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，故选B9.【答案】B【解析】解：、E分别是的边AB、BC的中点，，同理，，，．故选：B．利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的一半，据此即可求解．本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：的周长是的周长的一半是关键．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．利用中位线定理，得到，根据平行线的性质，可得，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到，进而求出DF的长，易求EF的长度．【解答】解：在中，D、E分别是BC、AC的中点，，，．．平分，．在中，，，．．故选：A．11.【答案】B【解析】解：设多边形截去一个角的边数为n，则，解得，截去一个角后边上增加1，原来多边形的边数是11，故选：B．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．12.【答案】A【解析】【分析】首先根据中线的性质，可得的面积的面积的面积的面积和的面积，然后根据三角形中位线的性质可得的面积的面积，进而得到的面积．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．解：点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，是的中线，BE是的中线，CE是的中线，AF是的中线，AG是的中线，的面积的面积的面积的面积，同理可得的面积，的面积的面积，又是的中位线，的面积的面积，的面积是，故选A．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，．由折叠的性质可得，．14.【答案】24【解析】【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．根据平行四边形性质得出，，推出，求出，在中求出，由勾股定理求出BP，证出，，得出，即可求出答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，又和BP分别平分和，，在中，；平分，，，，，是等腰三角形，，同理：，即，在中，，，，的周长；故答案为24．15.【答案】32【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：平行四边形的对边相等且平行，全等三角形的对应边、对应角分别相等．利用平行四边形的性质可证明≌，所以可得的面积为3，进而可得的面积为8，又因为的面积的面积，进而可得问题答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，又，在与中，，的面积为8，的面积的面积，的面积，故答案为32．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解等于减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去和是关键．利用减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去和即可求得．【解答】解：等边三角形的内角的度数是，正方形的内角度数是，正五边形的内角的度数是：，则故答案是17.【答案】3cm【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，又，，的周长是18cm，，故答案为：3cm．根据厘米可得出，继而求出AB，判断EF是的中位线即可得出EF的长度．本题主要考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分和三角形中位线的判定定理及性质．18.【答案】【解析】解：四边形的内角和是，．故答案为：．根据四边形的内角和解答即可．此题考查四边形的内角和问题，关键是根据四边形的内角和是来解答．19.【答案】2【解析】解：，，，，E分别是AC，BC的中点，，故答案为：2．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求出多边形的边数，再根据n边形对角线的总条数为求解即可．解：设这个多边形的边数为n，由题意得，解得．则该多边形的对角线的条数为．故答案为14．21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，又，，即，≌，，，，．【解析】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够运用其性质解决一些简单的证明问题，解题的关键是能够证得≌可由题中条件求证≌，得出，，即，进而可求证DF与BE平行．22.【答案】证明：，，在和中，≌；解：≌，，，，；证明：，≌，，，，，，，，，，≌，，，四边形ABCD是平行四边形．【解析】证出，由SAS证明≌即可；由全等三角形的性质得出，求出，再由三角形内角和定理即可得出结果；由等腰三角形的性质得出，得出，证出，再证出，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．23.【答案】解：∽，理由如下：，．又，∽．、BE是中线，，为的中位线，，，．∽，，，．【解析】由，可得出，再结合对顶角相等即可得出∽；根据中位线定理可得出、，再利用相似三角形的性质即可得出，进而即可得出．本题考查了相似三角形的判定与性质、中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：由利用相似三角形的判定定理证出∽；根据相似三角形的性质结合中位线定理找出、．24.【答案】解：、G分别是AB、AC的中点，，，、F分别是OB、OC的中点，，，，，四边形DEFG是平行四边形；和互余，，，为EF的中点，，，由可知．【解析】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．25.【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，根据题意可得：，，，，若四边形ABQP是平行四边形，则，，解得：，后四边形ABQP是平行四边形；则，，解得：，后四边形PQCD是平行四边形；综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．若四边形ABQP是平行四边形，则，进而求出t的值；若四边形PQCD是平行四边形，则，进而求出t的值．。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题1(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题1(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题1（附答案）一、单选题1．如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（）A．27-32B．28-32C．28-42D．29-522．如图,在四边形ABCD中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A、C 同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形( )A．1 B．2 C．3 D．2或33．能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形C．正方形和正五边形D．正五边形和正十边形4．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．235．如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD＝CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④AD∥BC;⑤△CDE △ABF其中正确的是（）个6．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（）A．655B．1255C．32D．427．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).A．5B．21+C．212+D．512+二、填空题8．如图，在Rt△ABC中, 90B∠=，AB=3，30BCA∠=点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小值是_______.9．如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，A D′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为___度．10．如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为．11．如图，△ACB 中，∠ACB =90°，在AB 的同侧分别作正△ACD 、正△ABE 和正△BCF . 若四边形CDEF 的周长是24，面积是17，则AB 的长是_______.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA=OB ，点C 在第一象限，OC=3，连接BC ，AC ，若∠BCA=90°，则BC+AC 的值为_________．13．如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝3：2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，如果AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，那么DP ：DC 等于_____．14．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=90°,AB=4cm ，BC=8cm ，E 、F 是AD ，DC 的中点，连接EF 、BE 、BF ，已知四边形ABCD 的面积为36，△DEF 的面积是△DAC面积的，求△BEF 的面积_____.15．已知从六边形的一个顶点出发，可以引m 条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成n 个三角形，则m n -=______.16．如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，2BC =，30A ︒∠=，点D 是AB 的中点，P 是AC 边上一动点，连接DP ，将DPA 沿着DP 折叠，A 点落到F 处，DF 与AC 交于点E ，当DPF 的一边与BC 平行时，线段DE 的长为_____.17．在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC 的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段A n D n的长度为______________.三、解答题18．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E点，DE∥BC，DF∥AB．（1）若∠BCE＝25°，请求出∠ADE的度数；（2）已知：BF＝2BE，DF交CE于P点，连结BP，AB⊥BP．①猜想：△CDF的边DF与CD的数量关系，并说明理由；②取DE的中点N，连结NP．求证：∠ENP＝3∠DPN．19．如图，在△ABC中，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线．过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求证：DH＝12 BF．20．我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．21．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标是，点D的坐标是．（2）在坐标轴上是否存在一点P，S△P AC＝14S四边形ABDC，若存在这样一点，请求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图2，在线段CO上取一点G，使OG＝3CG在线段OB上取一点F，使OF＝2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积．23．如图，已知直线l1：y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于点B，经过A点的直线l2与直线l1所夹的锐角为45°．（1）过点B作CB⊥AB，交l2于C，求点C的坐标．（2）求l2的函数解析式．（3）在直线l1上存在点M，直线l2上存在点N，使得点A、O、M、N四点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．24．如图：五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =BC =8，CD =5． （1）说明∠A ，∠E ，∠D 之间的数量关系；（2）平移五边形ABCDE ，使D 点移动到C 点，画出平移后的五边形A 'B 'C 'CE '，并求出顺次连接A 、A '、E '、C 、D 、E 、A 各点所围成的图形的面积； （3）在∠BAE 和∠E 'CD 的内部取一点F ，使∠EAF =13∠EAB ，∠FCE '=13∠DCE ' ，求∠AFC 与∠AED 之间的数量关系．25．AF CD ∥，AB DE ∥，且120A ∠=︒，80B ∠=︒，求D ∠和C ∠的度数.26．如图所示，ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 上一点，BD CE =，AE BC =，求证：2AD BE =.27．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，AD =24，BC =26，点P 从点A 出发，以1的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为.（1）为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?28．分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为AB 上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD 上找出另一点Q ，使AP ＝CQ ；（2）如图②，已知四边形ABCD 为平行四边形，BD 为对角线，点P 为BD 上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD 上找出一点Q ，使BP ＝DQ ．29．在平面直角坐标系中，过点(1,3)C 、(3,1)D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 、B ． (1)求直线CD 和直线OD 的解析式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ，是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若AOC ∆沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中，设平移距离为2t ，AOC ∆与OBD ∆重叠部分的面积记为s ，试求s 与t 的函数关系式．参考答案1．C 【解析】 【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝，然后由中位线性质得DG ＝AG ＝△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长. 【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G, ∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90° 在Rt △AGF 中AG ===∵EF ∥BC ∴1AG AFDG FC== ∴FG 是△ADC 的中位线 ∴DC=2GF=2∴ ∵ △DEG 的周长为10，∴ 在Rt △ADB 中，点E 是AB 边的中点，点G 是AD 的中点， ∴AB=2DE ，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE ）∴△ABC 的周长为： 故答案为C 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2．D 【解析】 【分析】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ 或CQ=PD ，计算即可求出t 值. 【详解】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形 则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t 要使构成平行四边形 则：AP=BQ 或CQ=PD进而可得：62t t =- 或29t t =- 解得2t = 或3t = 故选D. 【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 3．D 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是要看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A 、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°，由于60m+108n=360，得m=6-95n ，显然n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；B 、正方形、正六边形内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C 、正方形、正五边形内角分别为90°、108°，当90n+108m=360，显然n 取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144，两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．4．A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴122DE AB==，故选：D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.5．B【解析】【分析】根据条件∠BAC=∠ACD=90°，∠ABC=∠ADC可以判断四边形ABCD是平行四边形，于是可判断答案①②④正确，由④再进一步判断答案③也正确，即可做出选择．【详解】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，且∠ABC=∠ADC∴AB∥CD且∠ACB=∠CAD∴BC∥AD∴四边形ABCD是平行四边形．∴答案①④正确；∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°∴∠ACE=∠D而∠D=∠ABC∴∠ACE=∠D=∠ABC∴答案②正确；又∵∠CEF+∠CBF=90°，∠AFB+∠ABF=90°且∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFE∴∠CEF=∠AFB=∠CFE∵∠ECD=∠CAD，∠EBC=∠EBA∴∠ECD+∠EBC=∠CFE=∠BEC∴答案③正确．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB<BF，∴△CDE与△ABF不会全等，答案⑤错误.故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形中角的相互转化，会运用三角形的全等及角的互余关系进行角的转化是解题关键．6．B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝对比两种情况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝2125，∴CD 125．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.7．B【解析】【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝22，即可得到结论．【详解】 取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2． ∵E 为BC ′的中点，∴EM 12=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12=AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．3【解析】【分析】DE 2OD =,当且仅当OD 取得最小值时DE 取得最小值，即OD BC.⊥【详解】解：在Rt △ABC 中, 90B ∠= ，AB=3当OD BC ⊥时，OD 的值最小∴当OD BC ⊥时，OD AB在平行四边形ADCE 中，O 是AC 的中点∴OD 是ABC 的中位线13OD 22AB ∴== DE 2OD 3.∴==故答案为3.【点睛】此题重点考察学生对直角三角形和平行四边形的应用，掌握直角三角形和平行四边形的性质是解题的关键.9．22.【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°， ∴∠NMD'=101°-79°=22°；故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN 和∠AMD'是解决问题的关键. 10．143或285【解析】【分析】设点A 落在BC 边上的A′点，分两种情况：①当A′C=13BC=2时；②如图2，当A′B=13BC=2时，过A′点作AB 延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，3．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=285．即AE=285；②如图2，当A′B=13BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，3在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=143．即AE=143；所以AE的长为5.6或143．故答案为5.6或143．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．11．19【解析】【分析】依据全等三角形的性质，即可得到DE=CB=CF，EF=AC=DC，进而得出四边形CDEF是平行四边形，再根据∠CFG=30°，即可得到CG=12CF ，进而根据四边形CDEF 的周长和面积，得到AC 与BC 的和与积，再利用勾股定理及完全平方公式的变形即可解答．【详解】如图，过C 作CG ⊥EF 于G ，设BC=a ，AC=b ，∵△ACD ，△ABE ，△BCF 都是等边三角形，∴AD=AC ，AE=AB ，∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAE=∠CAB ，∴△ADE ≌△ACB ，∴DE=CB=CF=a ，同理可得，EF=AC=DC=b ，∴四边形CDEF 是平行四边形，∵∠ACD=∠BCF=60°，∠ACB=90°，∴∠DCF=150°，∴∠CFG=30°，∴CG=12CF ∵四边形CDEF 的周长是24，面积是17，∴a+b=12,ab=34∵∠ACB=90°∴AB 2=22221446876a b a b ab∴AB=219【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定四边形CDEF 是平行四边形，作辅助线构造含30°角的直角三角形．12．32【解析】【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=32【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C 、A 、D 三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y 轴的情况，此时四边形OACB 刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.13【解析】【分析】连接DE 、DF ，过F 作FN⊥AB 于N ，过C 作CM⊥AB 于M ，根据平行四边形的性质得到AD∥BC ，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝60°，∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°，∴∠BFN ＝∠MCB ＝30°，∵AB ：BC ＝3：2，∴设AB ＝3a ，BC ＝2a ，∴CD ＝3a ，∵AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，∴BF ＝a ，BE ＝2a ，∵∠FNB ＝∠CMB ＝90°，∠BFN ＝∠BCM ＝30°，∴BM ＝12BC ＝a ，BN ＝12BF ＝12a ，FN ，CM a ，∴AF ，∵F 是BC 的中点， ∴S △DF A ＝12S 平行四边形ABCD ，即12AF×DP＝12CD×CM，∴PD＝33 13，∴DP：DC＝3:13．故答案为：3:13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．14．13【解析】【分析】过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,先利用勾股定理和中位线定理求出AC和EF的长，然后利用面积法求出相应的高MN，BP，再利用面积公式求出的面积.【详解】解：过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,∵AB=4，BC=8，∴AC=,∵E、F是AD，DC的中点，∴EF=∵四边形ABCD的面积=36,∴,即,∴∴，∴∴=13.【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线以及三角形面积问题，正确做出辅助线和利用面积法求出相应的高MN，BP是解题的关键.15．﹣1【解析】【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），.分别求出m、n的值即可得出m n【详解】根据题意，画出图形：总结规律“多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n ﹣3）；组成的三角形的个数为（n ﹣2）”可知，对角线共有6﹣3=3条，分成6﹣2=4个三角形，则3,4m n ==所以341m n -=-=-故答案为﹣1【点睛】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n ﹣3）及组成的三角形的个数为（n ﹣2），掌握规律能轻松快速解答本题.16．1或2或23 【解析】【分析】当DPF 的一边与BC 平行时，会有三种情况，需分别讨论，①：//DF BC ，②//DP BC ，③：//PF BC ，分别计算出每种情况时线段DE 的长即可.【详解】当DPF 的一边与BC 平行时，有三种情况，分别讨论:①：//DF BC如下图所示，当//DF BC 时，90AED C ︒∠=∠=，则在Rt AED △中，30A ︒∠=，2AD =，则 12AD DE ==; ②: 如下图所示，当//DP BC 时，点A 的对应点F 与点C 、E 重合，由折叠的性质可知2AD DE ==；③: 当//PF BC 时,如下图所示，90CPF APF C ︒∠=∠=∠=，因为折叠，30A F ︒∠=∠=，过点D 作AC 边上的垂线，垂足为H ，则60DEH ︒∠=，根据中位线定理可知12BC DH ==，继而可23DE =【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，熟知折叠的性质和中位线定理的应用是解题关键，本题属于三角形综合题 . 17．123n n a - 【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A 1D 1=C 1C ，总结规律，根据规律解答．【详解】∵A 1C 1∥AC ，A 1D 1∥BC ，∴四边形A 1C 1CD 1为平行四边形，∴A 1D 1=C 1C=13a=11123a -，同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，∴A2D2=C1C2=29a=21223a-，……∴线段A n D n=123nna-，故答案为：123nna-．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（1）∠ADE＝50°；（2）①CD＝2DF；见解析；②见解析．【解析】【分析】（1）利用角平分线得出∠ACB=2∠BCE=50°，再利用两直线平行，同位角相等即可得出结论；（2）先判断出四边形BEDF是平行四边形，进而得出DE=2DF，再利用角平分线及平行线得出DE=CD，即可得出结论；（3）先利用倍长中线法得出NG=NP，∠EGN=∠DPN，再用直角三角形的中线得出∠EGN=∠EBN，再构造出菱形判断出∠BEN=∠BHN，即可得出结。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合培优测试题（附答案） 一、单选题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E 点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC 设ED ＝kAE ，下列结论：①若k ＝1，则BE ＝CE ；②若k ＝2，则△EFC 与△OBE 面积相等：③若△ABE ≌△FEC ，则EF ⊥BD ．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．②③2．如图：已知AB ＝10，点C 、D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．03．如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，取A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出233333++++4444n =（ ）A ．1B ．144n n - C ．11-4n D ．414n n + 4．如图，点O 为正六边形的中心，P ，Q 分别从点A （1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（ ）A ．1322⎛- ，B ．()10，C ．1322⎛-- ，D ．()10-，二、填空题5．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2AD ，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，作BF ⊥AD ，垂足为F ，连接EF ，小明得到三个结论：①∠FBC =90°；②ED =EB ；③EBF EDF EBC S S S ∆∆∆=+．则三个结论中一定成立的是____________．6．如图，已知60XOY ∠=，点A 在边OX 上，4OA =，过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为一边在XOY ∠内作等边三角形ABC ，点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY 于点E ，则2OD OE +的最大值与最小值的积是______．7．如图，在三角形纸片ABC 中，90C =∠，30A ∠=，9AC =，将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落在斜边上的点E 处，折痕记为BD ，剪去△ADE 后得到双层△BDE ，再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____．8．如图，CM 是ABC 的中线，2,,,AB AC AD BC CN DN ===若100ACB ∠=︒，则NMC ∠的度数为___________________．9．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE ＝12EB ，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 的值为_____．10．在ABC ∆中，120BAC D ︒∠=，为BC 的中点，6AE =，把AD 绕点A 逆时针旋转120︒，得到AF ，若7,CF ACF AEC =∠=∠，则AC =________11．如图，菱形ABCD 的边长为6，M 、N 分别是边BC 、CD 的上点，且MC ＝2MB ，ND ＝2NC ．点P 是对角线上BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值是_____．三、解答题12．已知，在ABC 中，以AC 、BC 为边分别向形外作等边ACD 和BCE ，M 为CD 中点，N 为CE 中点，P 为AB 中点．（1）如图(a )所示，当120ACB ∠=︒时，MPN ∠的度数为__________．（2）如图(b )所示，当()0180ACB αα∠=<<时，MPN ∠的度数是否发生变化？证明你的结论．13．在平面直角坐标系中，直线()403y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E 、交OB 于点S ，点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，45EGN ∠=︒，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ，连接BF 、RQ ，BF 交x 轴于点V ，若C 为BR 中点，222EQ EF PM =+=，ERQ ABF ∠=∠，求点V 的坐标．14．我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明）在ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .结论1：'//B D AC ；结论2：'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形……请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.（应用与探究）在平行四边形ABCD 中，已知30B ∠=︒，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .（1）如图1，若3AB ='75AB D ∠=︒，则ACB =∠______，BC =______； （2）如图2，23AB =1BC =，'AB 与边CD 相交于点E ，求AEC ∆的面积； （3）已知23AB =BC 长为多少时，'AB D ∆是直角三角形？15．如图①，将正方形ABOD 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点D 的坐标为（2，3），（1）点B 的坐标为 ；（2）若点P 为对角线BD 上的动点，作等腰直角三角形APE ，使∠P AE ＝90°，如图②，连接DE ，则BP 与DE 的关系（位置与数量关系）是 ，并说明理由；（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF ，连接EF 、FD ，如图③，在 P 点运动过程中当EF 取最小值时，此时∠DFE ＝ °；（4）在（1）的条件下，点 M 在 x 轴上，在平面内是否存在点N ，使以 B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，DE 平分ADC ∠，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG 、FG ，GEC FDC ∠=∠． （1）若 2.5CF =，4AE =，求BE 和FG 的长．（2）求证：12FDC AGE ∠=∠．17．感知：如图()1，在ABC 中，120BAC ∠=︒，,AB AC =点,D E 分别在边,AB AC 上，,AD AE =连接,,,BE DE MN 点,,M P N 分别为,,DE BE BC 的中点，则PM 与PN 的数量关系是： ．探究：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转，如图()2，连接,,BD CE()1证明： PM PN =()2PMN ∠的度数为 _应用：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若3,9,AD AB PMN ==面积的最大值为___________．18．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD ＝α，∠BCD＝β（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB = 6cm ，BC = 12cm ，∠B = 30︒，点P 在BC 上由点B向点C 出发，速度为每秒2cm；点Q 在边AD上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ，当点P 运动到点C时，P 、Q 同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时四边形ABPQ 为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？（3）连接AP ，是否存在某一时刻t，使∆ABP 为等腰三角形？并求出此刻t的值．20．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．(1)求G点坐标(2)求直线EF解析式(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由21．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．22．在△ABC中，AB=AC，点E是AC的中点，线段AE以A为中心顺时针旋转，点E 落在线段BE上的D处，线段CE以C为中心顺时针旋转，点E落在BE的延长线上的点F处，连接AF，CD，（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；23．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．24．如图所示，四边形ABCD 中，C DAB ∠=∠，CDA CBA ∠=∠，连接BD ，延长DA 到H ，使AH AD =，连接BH ，3BC =，4CD =，6DB =，求BH 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，点A (1，4)，点B (3，2)，连接OA ，OB ．（1）求直线OB 与AB 的解析式；（2）求△AOB 的面积．（3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分．①在y 轴上是否存在一点P ，使△P AB 周长最小．若存在，请直接写出．．．．点P 坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△ABO 的边长为4．（1）求点A 的坐标．（2）若点P 从点O 出发以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，运动时间为t 秒，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并直接写出t 的范围．（3）在（2）的条件下，当点P 在点B 的右侧时，若S ＝3，在平面内是否存在点Q ，使点P 、Q 、A 、B 围成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线211:2(0)C y ax ax a =+>与x 轴交于点A ，顶点为点P ．（1）直接写出抛物线1C 的对称轴是_______，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标_______；（2）把抛物线1C 绕点M （m ，0）旋转180︒得到抛物线2C （其中m >0），抛物线2C 与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q ．①当m =1时，求线段AB 的长；②在①的条件下，是否存在△ABP 为等腰三角形，若存在请求出a 的值，若不存在，请说明理由；③当四边形APBQ 为矩形时，请求出m 与a 之间的数量关系，并直接写出当a =3时矩形APBQ 的面积．28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，证明：BME CNE ∠=∠． 请将证明BME CNE ∠=∠的过程填写完整：证明：连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ．F 是AD 的中点，H 是BD 的中点，//HF ∴________，HF =_______，同理：//HE _______，HE =_______，1BME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠，又AB CD =，HF HE ∴=，12∠∠∴=，BME CNE ∴∠=∠．（2）运用上题方法解决下列问题：问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，请判断OMN 的形状，并说明理由；问题二：如图3，在钝角ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接GD ，若60EFC ∠=︒，AGD △是直角三角形且90AGD ∠=︒，求证：AB CD =．参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，不能证明△BAE ≌△CDE ，则①错误；根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，得到BF=2CF ，结合面积的计算方法，即可判断②；连接DF ，不能证明四边形DEBF 是菱形，则③错误；然后得到答案．【详解】解：当k ＝1时，DE=AE ，不能证明△BAE ≌△CDE ，∴BE ≠CE ；故①错误；当k ＝2时，DE=2AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∵点O 是BO 的中点，∴OB=OD ，∵∠EOD=∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB ，∴DE=BF ，∴AD -DE=BC -BF ，∴AE=CF ，∴BF=2CF ， ∴1111=3326EFC BEC ABCD ABCD S S S S ∆∆==•四边形四边形， ∵12BOEDOE BDE S S S ∆∆∆==， ∴16BOE ABCD S S ∆=四边形， ∴EFC BOE S S ∆∆=，故②正确；连接DF ，如图：∵△ABE≌△FEC，∴AE=FC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，不能证明DEBF是菱形，∴EF与BD无法证明互相垂直，故③错误；∴正确的选项只有②；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而分别进行判断．2．C【解析】【分析】本题通过做辅助线构造新三角形，继而利用等边三角形性质求证四边形HFPE为平行四边形，进一步结合点G中点性质确定点G运动路径为△HCD中位线，最后利用中位线性质求解．【详解】延长AE与BF使其相交于点H，连接HC、HD、HP，如下图所示：由已知得：∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°，∴AH ∥PF ，BH ∥PE ，∴四边形HFPE 为平行四边形，∴EF 与PH 互相平分，又∵点G 为EF 中点，∴点G 为PH 中点，即在点P 运动过程中，点G 始终为PH 的中点，故点G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ． ∵10AB =，2==AC BD ，∴10226CD AB AC DB =--=--=， ∴116322MN CD ==⨯=，即点G 的移动路径长为3． 故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形性质以及动点问题，此类型题目难点在于辅助线的构造，需要多做类似题目积累题感，涉及动点运动轨迹时，其路径通常是较为特殊的线段或图形，例如中位线或圆．3．C【解析】【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.【详解】解：∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且△ABC 的面积为1，∴△A 1B 1C的面积为114⨯ ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积31144==-； ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=11A B C △的面积- 22A B C △的面积22113444=-= …∴第n 个四边形的面积1113444n n n-=-= ∴23213333111111114444444444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.4．A【解析】【分析】根据题意可求出正六边形的周长，以及点P ，Q 相遇所需的时间为2秒，从而得出两点第一次相遇的地点为点C ，第二次相遇的地点为点E ，第三次相遇的地点为点A ，第四次相遇的地点为点C ，因此两点的相遇是3次一循环，202036731=⨯+，因此第2020次相遇的地点为点C ，求点C 坐标即可．【详解】解：由题意可得：1OA OB AB ===∴正六边形的周长为166⨯=∵点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度∴第一次相遇的时间为6(12)2s ÷+=此时点P 的路程为122⨯=，点P ，Q 第一次相遇的地点为点C依次类推，得出：点P ，Q 第二次相遇的地点为点E ，点P ，Q 第三次相遇的地点为点A ，点P ，Q 第四次相遇的地点为点C ，∴点P ，Q 两点的相遇是3次一循环，∵202036731=⨯+∴第2020次相遇的地点为点C∵1,30OC OA COM ==∠=︒ ∴1133,2222CM OC OM OC ==== ∴13(,)2C - 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是在平面直角坐标系中找规律以及正六边形的性质，解直角三角形等，有一定的难度，解此题的关键是找出两点相遇的规律，从而确定相遇的点的坐标．5．①③【解析】【分析】由垂直的定义得到∠AFB ＝90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB ＝∠CBF ＝90°，故①正确；延长FE 交BC 的延长线与M ，根据全等三角形的性质得到EF ＝EM ＝12FM ，根据直角三角形的性质得到BE ＝12FM ，等量代换的EF ＝BE ，故②错误；由于BEF BME S =S △△，DFE CMES=S△△，于是得到EBF BME MEC EBC EDF EBCS=S=S+S=S+S△△△△△△，故③正确．【详解】解：∵BF⊥AD，∴∠AFB＝90°，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，平行线之间内错角相等，∴∠AFB＝∠FBC＝90°，故①正确；如下图所示，延长FE交BC的延长线于M，又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，平行线之间内错角相等，∴∠DFE＝∠M，且CD与MF交于点E，两相交直线对顶角相等，∴∠DEF＝∠CEM，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，而平行四边形ABCD中，AB∥CD，平行线之间内错角相等，∴∠CEB＝∠ABE，∴∠ABE=∠EBC=∠CEB，故BCE为等腰三角形，其中BC=CE，又∵AB=2AD，故CD=2BC=2CE，∴CE=DE，在DFE与CME中，DFE MDEF CEMDE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DFE≌CME（AAS），∴EF＝EM＝12FM，又∵∠FBM＝90°，∴BE＝12FM，∴EF＝BE，∵EF≠DE，故②错误；又∵EF＝EM，∴BEF BMES=S△△，∵△DFE≌△CME，∴DFE CMES=S△△，∴EBF BME MEC EBC EDF EBC S =S =S +S =S +S △△△△△△，故③正确，故答案为：①③．【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，本题需要添加辅助线，构造出全等三角形DFE ≌CME ，这是解题的关键．6．40【解析】【分析】结合题意，得四边形ODPE 是平行四边形，从而得到22OD OE OH +=；结合点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，推导得当点P 在AC 上时，OH 取最小值；当点P 与点B 重合时，OH 取最大值；再分别根据两种情况，结合平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质计算，即可完成求解．【详解】过点P 做PH OY ⊥交于点H∵AC OY ⊥∴//AC PH∵60XOY ∠=∴60HEP ∠=∴12EH EP = ∵//PD OY ，//PE OX∴四边形ODPE 是平行四边形∴OD EP =∴1122EH EP OD == ∴()22222OD OE EH OE EH OE OH +=+=+=∵点P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点结合图形，得：当点P 在AC 上时，OH 取最小值；当点P 与点B 重合时，OH 取最大值； 当点P 在AC 上时，OH OC =∵60XOY ∠=，AC OY ⊥ ∴114222OC OA ==⨯= ∴2OD OE +最小值24OH ==；当点P 与点B 重合时，如下图，AC 和BD 相交于点G∴OH OE EH =+∵//PD OY ，60XOY ∠=，AC OY ⊥∴60BDA ∠= ,906030OAC ∠=-= ，332AC ==∵等边三角形ABC∴60CAB CBA ∠=∠= ,23AB AC ==∴306090DAB OAC CAB ∠=∠+∠=+=∴9030DBA BDA ∠=-∠=∴12DBA CBA ∠=∠ ∴GB 是等边三角形ABC 的角平分线∴12CG AG AC == 又∵//PD OY ，即//DG OC∴DG 是AOC △的中位线 ∴122AD OD OA ===∴4BD ===，2EB OD ==∴4OE BD ==∵//PE OX∴60HEB XOY ∠=∠=∴112EH EB == ∴415OH OE EH =+=+=∴2OD OE +最大值210OH ==∴2OD OE +最大值与最小值的积41040=⨯=故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、等边三角形、等边三角形中位线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．7．2【解析】【分析】利用三角函数先求解,,AB BC 得到DE 是AB 的中垂线，由对折的性质求解,,CD DE 分情况讨论， ①如图中，当3DE FE ==时，沿着直线EF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB 时，沿着直线DF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的2倍，从而可得答案．【详解】 解：如图，90,30,9,C A AC ∠=︒∠=︒=2,AB BC ∴= 222,AB AC BC =+()22281,BC BC ∴=+∴33,BC = 63,AB ∴=由对折设,CD DE x == 33,90,BC BE BED C ==∠=∠=︒33,AE AB BE ∴=-=,AE BE ∴=DE ∴是AB 的中垂线，9,AD BD x ∴==-在Rt BDC 中，()()222933,x x -=+ ∴3x =，∴3DE CD ==，①如图中，当3DE FE ==时，沿着直线EF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，30,90,A DCB ∠=︒∠=60,30,ABC DBE ∴∠=︒∠=︒90,DEB ∠=︒60,EDB ∴∠=︒DEF ∴为等边三角形，过E 作EH BD ⊥于H ，3,2DH FH ∴== 223333,22EH ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ 13393223,2DEF S S ∴==⨯⨯⨯=平行四边形②如图中，当FD=FB 时，沿着直线DF 将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，过F 作FH BD ⊥于H ，936,BD =-=3,DH BH ∴==30,DBE ∠=︒2BF BH ∴=222,BF BH FH =+()2229,FH FH ∴=+3,FH ∴=122636 3.2DBF S S ∴==⨯⨯⨯=平行四边形综上：所得平行四边形的面积是93,6 3. 故答案为：93,6 3. 【点睛】 本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含30角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．8．40︒【解析】【分析】延长CM 到H ，使MH=CM ，连接BH 、DH 、AH ，得ACBH ，由平行四边形性质将已知条件集中到一起，得等腰ADH 和BHM △，由三角形内角和求得40DHM ∠=︒，在由中位线定理可得//MN DH ，从而求出40CMN DHM ∠=∠=．【详解】解：延长CM 到H ，使MH=CM ，连接BH 、DH 、AH ，∵12AM BM AB ==，CM HM =∴四边形ACBH 是ACBH ，∴AC BH =，BC AH =，又∵2AB AC =，AD BC =， ∴12BM BH AC AB ===，AD AH =， ∴BMH BHM ∠=∠，ADH AHD ∠=∠，在ACBH 中，//AH BC ，//AC BH ，∴CAB ABH ∠=∠，CBA BAH ∠=∠，设CAB ABH x ∠=∠=，CBA BAH y ∠=∠=，则1902BMH x ∠=︒-，1902ADH y ∠=︒-． ∵在ACBH 中，100AHB ACB ∠=∠=︒，∴80HBC HAC ∠=∠=︒，即80x y +=︒ ，又∵DHM BMH ADH AHB ∠=∠+∠-∠， ∴11909010022DHM x y ∠=︒-+︒--︒=()180402x y ︒-+=︒， 又,M N 分别为,CD CH 中点，∴//MN DH ，∴40CMN DHM ∠=∠=．故答案为：40︒．【点睛】本题综合考查了平行四边形性质和判定、等腰三角形性质和判定、三角形内角和等知识点，倍长中线构造三角形全等，将已知条件集中到一起是解题的关键，本题角的关系比较复杂，设参数能简化书写和思维．9．【解析】【分析】连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S △DEC =S △DFA =12S 平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ ，求出BF=1，BE=2，BN=12，BM=a ，FN=3，CM=3，求出AF=13，CE=213，代入求出即可． 【详解】解：连接DE 、DF ，过F 作FN ⊥AB 于N ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S △DEC ＝S △DFA ＝12S 平行四边形ABCD ， 即12AF ×DP ＝12CE ×DQ ， ∴AF ×DP ＝CE ×DQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵∠DAB ＝60°，∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°，∴∠BFN ＝∠MCB ＝30°，∵AB ＝3，BC ＝2，∴设AB ＝3a ，BC ＝2a ，∵AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，∴BF ＝1，BE ＝2，BN ＝12，BM ＝1， 由勾股定理得：FN ＝32，CM 3， AF 2213(3)()22++13CE 223(3)+＝3 13DP ＝3DQ∴DP ：DQ ＝313故答案为：313【点睛】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ 和求出AF、CE的值．10．10【解析】【分析】过点D作//DG CE交AB于点G，过点E作EH AC⊥的延长线于点H，证明()ACF AGD AAS≅△△，从而可知AC AG=，7CF DG==，根据三角形中位线判定和性质进而可得14CE=，再由30°直角三角形性质求出132AH AE==，33HE=，在Rt EHC中利用勾股定理求出HC，由AC HC AH=-即可求出答案．【详解】解：过点D作//DG CE交AB于点G，过点E作EH AC⊥的延长线于点H，120BAC FAD∠=∠=︒FAC DAG∴∠=∠，//DG CE，AGD AEC∴∠=∠，ACF AEC∠=∠，ACF AGD∴∠=∠在AFC△与ADGFAC DAGFCA AGDAF AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFC ADG AAS∴≅△△AC AG∴=，7CF DG==AD是ABC∆的中线，∴点D 是BC 的中点，//DG CEDG ∴是BCE 的中位线，14CE ∴=，60EAH ∠=︒，132AH AE ∴== 由勾股定理可知：33HE =，在Rt EHC 中，()2222143313CH CE EH =-=-=， ∴13310AC HC AH =-=-=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的性质及判定，涉及勾股定理、三角形中位线的性质，中线的性质，解题关键是构造三角形全等，并利用中位线性质求出CE 的长． 11．6【解析】【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小【详解】连接AC ，求出BM=BQ=13BC=2、CN=13CD=2，则MP+NP=QN=BC=6．12．（1）60°；（2）MPN ∠的度数不变，仍是60°，证明见解析．【解析】【分析】（1）设AC 中点G 、BC 中点H ，连接MG 、PG ；NH ，PH ，利用中位线定理可以证明△MGP 和△PHN 全等，然后利用角之间的关系即可得出答案；（2）由题意可知MF 是等边△ACD 的中位线，PG 是△ABC 的中位线，根据中位线的性质可知四边形CFPG 是平行四边形，再根据平行四边形的性质可证明△MFP ≌△PGN ，即可得出答案.【详解】解：（1）60°取AC ，BC 的中点分别为G ，H ，连接MG ，GP ，PH ，HN又M 是CD 的中点，P 是AB 的中点，N 是CE 的中点∴MG=12AD ，MG ∥AD ，NH=12EB ，NH ∥EB ，GP=12BC ，GP ∥BC ，HP =12AC ，HP ∥AC 又∵△ACD 和△ABE 均为等边三角形∴AD=AC ，BC=BE ，∠MGC=∠DAC=60°，∠CGP=∠ECB=60°, ∠PHC=∠ACD=60°, ∠CHN=∠CBE=60°∴MG= HP ，NH= GP ，∠MGP=∠PHN=120°在△MGP 和△PHN 中MG PH MGP PHN GP HN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MGP ≌△PHN∴∠MPG=∠PNH∴∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°（2）MPN ∠的度数不变，仍是60°，证明：如图所示，取AC 、BC 的中点分别为F ，G ，连接MF 、FP 、PG 、GN ，∵MF 是等边ACD 的中位线，∴1122MF AD AC ==，MF AD ，∴60CFM CAD ∠=∠=．∵PG 是ABC 的中位线， ∴12PG AC =，PG AC ，∴60CGN CBE ∠=∠=，∴MF PG =，CFM CGN ∠=∠．同理FP NG =，∴四边形CFPG 是平行四边形，∴CFP CGP ∠=∠，∴MFC CFP CGN CGP ∠+∠=∠+∠，即MFP PGN ∠=∠， ∴()SAS MFP PGN ≌，∴FMP GPN ∠=∠．∵PG AC ，∴12∠=∠．在MFP 中，180MFC CFP FMP FPM ∠+∠+∠+∠=． 又∵60MFC ∠=，∴120CFP FMP FPM ∠+∠+∠=．∵13CFP ∠=∠+∠，∴13120FMP FPM ∠+∠+∠+∠=．∵12∠=∠，FMP GPN ∠=∠，∴23120GPN FPM ∠+∠+∠+∠=．又∵32180FPM MPN GPN ∠+∠+∠+∠+∠=，∴60MPN ∠=．【点睛】本题考查了全等三角形和平行四边形的判定与性质，难度较高，需要熟练掌握相关基础知识. 13．（1）b=8；（2）382d n =+；（3）8,03V ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数解析式()403y x b b =-+>，得出3,04b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B b ，然后根据勾股定理即可求解；（2）过点C 作CI x ⊥轴于点I ，过点D 作DJ x ⊥轴于点J ，设点(,)C t nt ，可得点()2,2C n --，然后证得四边形D CIJ 是平行四边形，即可求解；（3）过点E 作E ET P ⊥，交过点N 且垂直于x 轴的垂线于点T ，连接PT ，根据PH EH ⊥，可得TEN EPH ∠=∠，进而得到PHE ENT ∆≅∆，进而得到四边形T PMN 是平行四边形，过点C 作N CW O ⊥，B CD O ⊥，可证明CDB CRW ∆≅∆，进而得到REQ BSE ∆≅∆，过点V 作B VK A ⊥，根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）0y =时，34x b = 0x =时，y b =∴3,04b A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B b 34b OA ∴= OB b =222AB OA OB =+()2223104b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 8b ∴=或8-0b >8b ∴=（2）过点C 作CI x ⊥轴于点I ，过点D 作DJ x ⊥轴于点J设点(,)C t nt(4)8nt n t =++2t ∴=-∴点()2,2C n --2CI n ∴=-90CIR DJR ∠=∠=︒//CI DJ ∴//CD IJ∴四边形CIJD 是平行四边形2DJ CI n ∴==-4283n x -=+ 362n x ∴=+ 336(2)822n n CD IJ ∴==+--=+ 382d n ∴=+（3）过点E 作ET PE ⊥，交过点N 且垂直于x 轴的垂线于点T ，连接PTPH EH ⊥90PET ENT PHE ∴∠=∠=∠=︒90PEH TEN PEH EPH ∴∠+∠=∠+∠=︒TEN EPH ∴∠=∠PH EN =PHE ENT ∴∆≅∆TN EH ∴=PE ET =45EPT ∴∠=︒45EGN ∠=︒EGN EPT ∴∠=∠//MN PT ∴180ENT PHE ∠+∠=︒//TN PM ∴∴四边形PMNT 是平行四边形TN PM ∴=PM EH ∴= 2EQ =，45QEH ∴∠=︒，45CER ∴∠=︒，过点C 作CW ON ⊥，CD OB ⊥，可证明CDB CRW ∆≅∆，2CD RW OW ∴===，4CW ∴=，2OS OE ∴==，22SE =，6RE BS ==，135REQ BSF ∠=∠=︒22SF EF EQ =+=REQ BSE ∴∆≅∆ERQ FBS ∴∠=∠ERQ ABF ∠=∠FBS ABF ∴∠=∠过点V 作VK AB ⊥，设OV a =，则VK a =，在Rt AKV ∆中，90VKA ∠=︒，2AK =，6AV a =- 222VK AK AV ∴+=即2222(6)a a +=-解得83a =， 8,03V ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，熟练利用勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质进行逻辑推理是解题关键．14．【发现与证明】见解析；【应用与探究】（1）45︒；332+；（2）73（3）436、、或2 【解析】【分析】 【发现与证明】根据翻折对称的性质,平行四边形的性质和三角形内角和定理即可证；【应用与探究】（1）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，利用翻折对称的性质和【发现与证明】的结论即可求出ACB ∠；根据30所对的直角边是斜边的一半、等腰直角三角形和勾股定理即可求出BC .（2）过A 点作AN CD ⊥，垂足分别为N ,利用平行四边形的性质、30所对的直角边是斜边的一半和勾股定理CE 和AN 的长即可求出AEC ∆的面积；（3）根据题意：应该分三类讨论：①'90AB D ∠=︒；②'90ADB ∠=︒；③'90DAB ∠=︒.【详解】解：【发现与证明】设AD 与B C '相交于点F ，∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴ACB=ACB '∠∠，BC B C '=.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC =. ∴,B C AD ACB CAD '=∠=∠.∵CAD=AC 12B 80AFC '︒-∠=∠∠ ∴AF CF =，故'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形（结论2证毕） ∴B F DF '=，∴FB D=B 1802F B FD D ''︒-∠='∠∠ 又∵AFC B FD '∠=∠，∴CAD B DF '∠=∠∴'//B D AC .（结论1证毕）.【应用与探究】（1）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒，ACB=ACB '∠∠∵'75AB D ∠=︒ ∴4CB 5D '=∠︒又∵'//B D AC∴ACB CB 45D ''∠=∠=︒∴5ACB=4∠︒∴AMC ∆为等腰直角三角形，AM CM =∵AM BC ⊥，30B ∠=︒，3AB =∴1322AM AB ==，2232BM AB AM =-= ∴332BC BM CM BM AM =+=+=+ （2）过A 点作AN CD ⊥，垂足分别为N ,∵30B ∠=︒，23AB =，1BC =，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，23CD =，1AD =又∵AN CD ⊥∴1122AN AD ==，223DN AD AN =-= 由【发现与证明】结论：可设AE CE x ==则332EN CD CE ND x =--=- 由勾股定理可得：222AN EN AE +=∴2221332x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：73x = ∴AEC ∆的面积为：1732CE AN •= （3）①当'90AB D ∠=︒时，如下图所示∵'//B D AC∴''90B AC AB D ∠=∠=︒∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒， 23AB AB∴6CB 0D '=∠︒又∵'//B D AC ，'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形∴6B 0C DAC A CB D '==∠∠='∠︒∴''30B AD B AC DAC ∠=∠-∠=︒∴2AD B D '=根据勾股定理：222AD B D AB ''=+解得：4BC AD ==；②当'90ADB ∠=︒时∵30B ∠=︒，23AB =，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，23CD =，AD BC =∴6C 0B D '=∠︒∵'//B D AC ，'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形∴D 60C B AC A CDB ''==∠=∠∠︒，18090DAC ADB '=-∠=∠︒∴30DAB '∠=︒∴132B D AB ''== 利用勾股定理：223BC AD AB B D ''==-=③当'90DAB ∠=︒时，设AD 与B C '相交于点F ，此时有两种情况，如图1：∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴30AB C B '∠=∠=︒， 23ABAB∴60AFB '∠=︒又∵'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形，AFB '∠是三角形AFC ∆的外角 ∴1302DAC B FA '∠=∠=︒ ∵'//B D AC∴30B DA DAC ∠∠'==︒∴243B D AB ''==利用勾股定理：226BC AD B D AB ''==-=如图2所示：∵30B ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形∴30ADC ∠=︒，AD BC =∴60AFD ∠=︒ 又∵'AB C ∆与平行四边形ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形，AFD ∠是三角形AFC ∆的外角∴1302B AC DFA '=∠=∠︒ ∵'//BD AC∴30AB D B AC ''∠=∠=︒∴2B D AD '=∵ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆∴23AB AB根据勾股定理：222AB AD B D解得：2BC AD ==综上所述：BC 长为436、、或2时，'AB D ∆是直角三角形【点睛】此题考查的是：（1）平行四边形的性质；（2）翻折对称的性质；（3）平行线的性质及判定；（4）等腰三角形的判定和性质；（5）勾股定理；（6）30所对的直角边是斜边的一半；（7）分类思想的应用，此题难度较大，掌握勾股定理解直角三角形、分类讨论的数学思想与画图是解决此题的关键.15．（1）点B的坐标为（－3，2）；（2）BP与DE的关系是垂直且相等，证明详见解析；（3）∠DFE＝150 °；（4）存在，点N坐标为（22＋2，1）或（－22＋2，1）或（17－3，－1）或（－17－3，－1）或（－1，5）【解析】【分析】（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，证明△BEO≌△OFD，则可得OF=BE，OE=FD，根据点D的坐标（2，3），可求得点B坐标；（2）如图，通过证明△ABP≌△ADE(SAS)，可得∠4=∠5，BP=DE，进而可证明∠BDE=90°，则，BP与DE垂直且相等得证；（3）由等边△APF和等腰直角△P AE，可知△AFE为等腰三角形，顶角为30°，且EF为底边，所以当腰AF最小时，底边EF则最小，故而AP垂直BD时，AF=AP此时取最小值，此时易证△AFE≌△PFD，故而∠AFE=∠PFD=75°，根据周角为360°，即可计算∠EFD的度数；（4）分情况讨论，①当BD为菱形的边时，通过作图构造直角三角形，使用勾股定理先求对应点M坐标，再根据菱形的性质及平移思想，求点N坐标；②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，同样构造直角三角形，使用勾股定理求解即可．【详解】解（1）：过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，∵ABOD为正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，∴△BEO≌△OFD，∴OF=BE，OE=FD，∴点B的坐标为（－3，2），故答案为：（－3，2）；（2）BP与DE的关系是：垂直且相等；证明：如图，∵正方形ABOD，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵∠P AE＝90°，∴∠BAD－∠3＝∠P AE－∠3，即∠1＝∠2，∵AP＝AE，∴△ABP≌△ADE(SAS)，∴∠4＝∠5，BP＝DE，∵∠4＋∠6＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，即∠BDE=90°，∴BP⊥DE，∴BP与DE垂直且相等，故答案为：垂直且相等；（3）∵△APF为等边三角形，△P AE为等腰直角三角形，且∠P AE=90°，∴AF=AE，∠F AE=30°，即△AFE为等腰三角形，且EF为底边，∴当EF最小时，AF=AE应该取最小值，即AP应当取最小值，∵四边形ABOD为矩形，BD为ABOD一条对角线，∴当AP⊥BD时，EF有最小值，如下图所示，∴AP=PD=AE，∠P AD=∠APD=90°，∴∠EAF=∠DPF=30°，又∵AF=PF，∴△AFE≌△PFE，∴∠PFD=∠AFE=75°，∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，即，当EF取最小值时，∠DFE=150°，故答案为：150；（4）∵D（2，3）,∴OD13∴BD26，①当BD为菱形的边时，（Ⅰ）如图，作BQ⊥x轴于Q，MB＝BD＝26，在Rt△BQM中根据勾股定理，可得M1（22－3，0）、M2（－22－3，0），∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，∴N1（22＋2，1）、N2（－22＋2，1）；（Ⅱ）如图，作TP垂直x轴于P，MD＝BD26Rt△DPM中根据勾股定理，可得M317＋2，0）、M4172，0），∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，∴N317－3，－1）、N4173，－1）②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，如图，作AJ∥x轴交y轴于R，过点D作JK⊥x轴垂足为K，交AJ于点J，。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题A(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题A(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题A（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（）A．32°B．38°C．64°D．30°2．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．54．如图，EF为△ABC的中位线，∠B＝50°，则∠EFC为（）A．40°B．45°C．50°D．55°5．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF ＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，E是AB的中点，若S平行四边形ABCD＝20，则S△DOE的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF9．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形二．填空题（共10小题）11．如图，边长为2的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠C等于90°，BC＝6，AB＝10，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE，则△ADE的面积是．13．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．14．如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，若AB＝12，AC＝16，则MD等于．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6，BD＝8，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则EF＝．16．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是边形．17．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．18．如图，E是▱ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝°19．已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝8，DC＝4，点M、N分别为边AB、DC的中点，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，到达点A后立即原路返回，点P到达点C后点Q同时停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，若AD，BC长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则四边形ABCD的面积为cm2．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．22．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．23．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．24．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的面积．25．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C 点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有对角线．26．（1）如图①所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝度；（2）如图②所示，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝度；（3）如图③所示，在七角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝度．27．已如：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．求证：OE＝OF，AE＝CF．28．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．参考答案:一．选择题（共10小题）1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（）A．32°B．38°C．64°D．30°【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，∴GF＝AD，GF∥AD，GE＝BC，GE∥BC．又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，∴∠EFG＝∠FEG，∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣84°）＝116°，∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝32°．故选：A．2．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：C．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵D，E分别是边AB、AC的中点，∴CB＝2DE，∵BC＝6，∴DE＝3．故选：B．4．如图，EF为△ABC的中位线，∠B＝50°，则∠EFC为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【解答】解：∵EF是中位线，∴DE∥AB，∴∠EFC＝∠B＝50°，故选：C．5．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF＝BG，∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF＝（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝MB，在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE＜（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；故选：A．6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵图中是一个正六边形和两个等边三角形，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣120°＝60°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣∠2﹣60°＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，∵∠3＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣70°＝50°．∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，即60°﹣∠1+120°﹣∠2+50°＝180°，∴∠1+∠2＝50°．故选：B．7．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，E是AB的中点，若S平行四边形ABCD＝20，则S△DOE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，∴EM：AN＝BE：AB，∴EM＝AN，∵平行四边形ABCD的面积为20，∴2××AN×BD＝20，∴S OED＝×OD×EM＝××BD×AN＝S四边形ABCD＝．故选：C．8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC．A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．9．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB＝60°，∴△EFC是等边三角形，CH＝，∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，∴△ABD≌△BCF，故①正确，∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，故③正确，S△AEF＝S△AEC＝•S△ABD＝故④错误，故选：C．10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形【解答】解：四边形AEBC是平行四边形，∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AC，BD是对角线，∴AD＝BC，AC＝BD，∵△ABD沿AB对折到△ABE，AE＝AD，∴AE＝BC，AC＝BE，∴四边形AEBC是平行四边形．故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，边长为2的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵边长为2的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝1，BD＝1，∴DF＝BD•sin∠B＝1×＝，∴四边形BCED的面积为：×DF×（DE+BC）＝××（1+2）＝．故答案为：．12．如图，Rt△ABC中，∠C等于90°，BC＝6，AB＝10，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE，则△ADE的面积是6．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝＝8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝3，AD＝AC＝4，∴△ADE的面积＝×AD×DE＝6，故答案为：6．13．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件D是BC的中点，使△BED与△FDE全等．【解答】解：当D是BC的中点时，△BED≌△FDE，∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF∥BC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，∴四边形BEFD是平行四边形，∴△BED≌△FDE，故答案为：D是BC的中点．14．如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，若AB＝12，AC＝16，则MD等于2．【解答】解：延长BD交AC于H，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴BD＝DH，AH＝AB＝12，∴HC＝AC﹣AH＝4，∵M是BC中点，BD＝DH，∴MD＝CH＝2，故答案为：2．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6，BD＝8，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则EF＝5．【解答】解：∵点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，∴EG为△ABD的中位线，GF为△DAC的中位线，∴EG＝BD＝4，EG∥BD，GF＝AC＝3，GF∥AC，∵AC⊥BD，∴EG⊥GF，在Rt△GEF中，EF＝＝5．故答案为5．16．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是12边形．【解答】解：由题意可知，n﹣2＝10，解得n＝12．所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．17．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝900°．【解答】解：分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，∴180×5＝900°．故答案为：900．18．如图，E是▱ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝65°【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F＝∠BAE＝50°，．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝65°，∴∠D＝∠B＝65°．故答案是：65．19．已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝8，DC＝4，点M、N分别为边AB、DC的中点，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，到达点A后立即原路返回，点P到达点C后点Q同时停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为1或或．【解答】解：设t秒后，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．由题意PN∥MQ，当PN＝MQ时，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则有：2﹣t＝4﹣3t或2﹣t＝3t﹣4或t﹣2＝12﹣3t，解得t＝1或或．故答案为1或或．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，若AD，BC长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则四边形ABCD的面积为30cm2．【解答】解：过A作AE∥BD，交CB的延长线与点E，如图，∵AD∥C，∴四边形ADBE为平行四边形，∴BE＝AD＝4，AE＝BD＝5，∴CE＝BC+BE＝9+4＝13，∴AE2+AC2＝CE2，∴△ACE为直角三角形，∵四边形ADBE为平行四边形，∴S△ADC＝S△ADB＝S△AEB，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABE＝S△ACE＝AC•AE＝×5×12＝30（cm2），故答案为：30．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M，N分别是AB，CD的中点，∴NP，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，PN∥BC，PM∥AD，∴∠NPD＝∠DBC，∠MPB＝∠ADB，∵AD＝BC，∴PN＝PM，故△NMP是等腰三角形．∴∠PMN＝∠PNM．22．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．【解答】解：∵□ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）＝36，则BC+CD＝18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，∴OD＝OB＝BD＝6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，∴OE＝BC，∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝6+9＝15，即△DOE的周长为15．23．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．【解答】证明：∵CD＝CA，CF平分∠ACB，∴F是AD中点，∵AE＝EB，∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD．24．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，∵EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴四边形BDEF是菱形，过F作FH⊥BC于H，∵∠ABC＝60°，BF＝CD＝6，∴FH＝×6＝3，∴四边形BDEF的面积＝6×3＝18．25．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有35对角线．【解答】解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（4）特例验证：十边形有＝35对角线．故答案为：（1）1，1，1，1，2；5，9；；35．26．（1）如图①所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180度；（2）如图②所示，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180度；（3）如图③所示，在七角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝180度．【解答】解：（1）如图①所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180度；（2）如图②所示，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C+∠E，同理可得∠AFB＝∠B+∠D，在△AFG中，∵∠A+∠1+∠AFB＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图③所示，∵∠CMD是△MDG的外角，∴∠D+∠G＝∠CMD．同理∠A+∠E＝∠ANB，∠C+∠F＝∠BHC，∠CMD+∠ANB＝∠BIH，∵在△BHI中，∠B+∠BIH+∠BHI＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝180°．故答案为：180；180；180．27．已如：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．求证：OE＝OF，AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF，AE＝CF．28．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．【解答】解：四边形BDFC是平行四边形．理由如下：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°，∴BC∥AF，∴∠BCE＝∠FDE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BE＝EF，∵CE＝DE，BE＝EF，∴四边形BDFC为平行四边形。

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鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题（附答案）一．选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）A．12B．24C．36D．482．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）3．如图在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点H，I，G分别是AD，AB，CD 的中点，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），点E，F分别是BP，CP的中点，则当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会（）A．一直增大B．保持不变C．一直减小D．先增大后减小4．在△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点．若DE＝4，则AB的长度是（）A．12B．9C．8D．65．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）26．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使其是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．BC＝AD B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 二．填空题（共10小题）10．已知一个三角形各边的比为2：3：4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为cm．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是．12．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．观察图形，可知图③有个三角形，按这种方式继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示）13．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝9，则MN＝．14．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝．15．过九边形的一个顶点有条对角线．16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．17．如图，平行四边形ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为．18．已知平面直角坐标系内，O（0，0），A（2，6），C（6，0），若以O，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则点B不可能在第象限．19．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为．三．解答题（共8小题）20．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．21．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC＝2DM．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．23．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD，EF（1）求证：CD＝EF；（2）求EF的长．24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）25．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．26．如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF＝AD，则BC：AB的值是．27．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），B（3，0），C（﹣5，4）．（1）求△ABC的面积；（2）过A作AD⊥BC于D，延长AD交x轴于点E，求AE的长；（3）在（2）的条件下，设BC交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标．参考答案:一．选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线．∴点E是AC中点，∴CE＝AE＝6．∵DE＝5，∴BC＝10．∵∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，∴根据勾股定理得，BE＝8，∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．故选：B．2．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）【解答】解：∵△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，∴△ABC是等边三角形，△DBC等腰直角三角形，∵AB＝12，∴BC＝12，∴BD＝6，连接AD交BC于O，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，BO＝CO，∴AD＝AO+OD＝6+6，∵点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，∴EH∥AD，EH＝AD，FG∥AD，FG＝AD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥BC，∴EH⊥BD，HG⊥AD，∴EH⊥HG，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝AD＝3+3，HG＝BC＝6，∴四边形EFGH的面积＝18（+1），故选：B．3．如图在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点H，I，G分别是AD，AB，CD 的中点，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），点E，F分别是BP，CP的中点，则当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会（）A．一直增大B．保持不变C．一直减小D．先增大后减小【解答】解：连接IG，如图所示：则S△IHG的值不变，设BP＝x，则BE＝x，CF＝（BC﹣x），S△BIE＝BI•BE＝BI×x＝x•BI，S△FCG＝CG•CF＝CG×（BC﹣x）＝CG•BC﹣x•CG，∵在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点I，G分别是AB，CD的中点，∴CG＞BI，四边形IBCG是梯形，∴S梯形IBCG＝•BC＝BC•BI+BC•CG，S四边形IEFG＝S梯形IBCG﹣S△BIE﹣S△FCG＝BC•BI+BC•CG﹣x•BI﹣CG•BC+x•CG ＝（2BI+CG）BC+（CG﹣BI）x，∵（2BI+CG）BC是定值，CG＞BI，∴S四边形IEFG随x值的增大而增大，∵S△IHG的值不变，∴S五边形EFGHI随x值的增大而增大，即当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会一直增大；故选：A．4．在△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点．若DE＝4，则AB的长度是（）A．12B．9C．8D．6【解答】解：∵D，E分别是边AC、BC的中点，∴AB＝2DE，∵DE＝4，∴AB＝8．故选：C．5．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2【解答】解：由图（1）可知：顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3＝（1+1）2；图（2）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3+5＝（2+1）2；同理如果把三条边分成3等分可得到1+3+5+7＝（3+1）2个全等的小三角形，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（n+1）2个全等的小三角形．故选：D．6．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°【解答】解：四边形ABCD中，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，∴∠BAD+∠BCD＝360﹣65﹣65＝230°．∵OA＝OB＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝∠ABC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝230﹣65＝165°．故选：D．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；或∵AC⊥AB，∴AB＜OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确．故选：C．8．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使其是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．BC＝AD B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC【解答】解：∵AB∥CD，∴当AB＝CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故B 正确，当BC∥AD时，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知该条件正确；故D正确；当∠A＝∠C时，可求得∠B＝∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故C正确当BC＝AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；故A错误，故选：A．9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，在△DEF与△CBF中，，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF＝BF，∵DF＝CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C．二．填空题（共10小题）10．已知一个三角形各边的比为2：3：4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为8cm．【解答】解：由题意，设三边分别为2xcm，3xcm，4xcm，则各边中点所得的三角形的边长分别为xcm，1.5xcm，2xcm则x+1.5x+2x＝18，解得x＝4，∴2x＝8cm原三角形最短的边的长为8cm；故答案为：8．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是6．【解答】解：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD＝AC＝4，DE＝BC＝3，DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴△ADE的面积＝×AD×DE＝6，故答案为：6．12．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．观察图形，可知图③有9个三角形，按这种方式继续下去，第n个图形中有4n﹣3个三角形（用含n的代数式表示）【解答】解：第①是1个三角形，1＝4×1﹣3；第②是5个三角形，5＝4×2﹣3；第③是9个三角形，9＝4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：9，4n﹣3．13．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝9，则MN＝2．【解答】解：∵BD＝AB，AB＝5，∴BD＝5，∵BC＝9，∴DC＝4，∵BD＝AB，BM⊥AD，∴AM＝MD，又N是AC的中点，∴MN＝DC＝2，故答案为：2．14．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝23°．【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，∴∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣66°）＝134°，∴∠FEG＝（180°﹣∠FGE）＝23°，故答案为：23°．15．过九边形的一个顶点有6条对角线．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故答案为：616．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：如图所示，∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∴∠1+∠2+∠3＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．17．如图，平行四边形ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为45°．【解答】解：∵平行四边形中两个内角的度数之比为1：3，∴设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，∴x+3x＝180，解得：x＝45，∴其中较小的内角是45°．故答案为：45°．18．已知平面直角坐标系内，O（0，0），A（2，6），C（6，0），若以O，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则点B不可能在第三象限．【解答】解：连接A、O、C三点如下图示，得△AOC．以任意两条边做平行四边形的两条边，分别作平行线，使其为平行四边形，则得到的另一点就是点B，由此可得B点不可能在第三象限．故答案为：三．19．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为AB＝2BC．【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，∴AE＝2AF，∵纸条的两边互相平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△ADF，∴，即．故答案为：AB＝2BC三．解答题（共8小题）20．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，∴AD＝23﹣10＝13，∵AB＝13，∴AB＝CD，∵AE平分∠BAC，∴DE＝BE，AE⊥BD，∵BD＝10，∴DE＝5，∴AE＝＝＝12；（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，∴EF＝CD＝＝5．21．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC＝2DM．【解答】解：（1）直角△ABE中，AE＝AB＝4，在直角△ACD中，AD＝AC＝2，则DE＝AE﹣AD＝4﹣2＝2；（2）延长CD交AB于点F．在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AC＝AF，CD＝DF，又∵M是BC的中点，∴DM是△CBF的中位线，∴DM＝BF＝（AB﹣AF）＝（AB﹣AC），∴AB﹣AC＝2DM．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．23．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD，EF（1）求证：CD＝EF；（2）求EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF；（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，∴CD＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝CD＝＝．24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．25．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【解答】解：如图所示，连接CG，∵∠COG＝∠AOB，∴∠6+∠7＝∠OCG+∠OGC，又∵五边形CDEFG中，∠1+∠2+∠OCG+∠OGC+∠3+∠4+∠5＝540°，∴∠1+∠2+∠6+∠7+∠3+∠4+∠5＝540°．26．如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF＝AD，则BC：AB的值是．【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，∵EF＝AD，∴BC＝AD＝5EF，∴DE＝5EF，∴DF＝CE＝4EF，∴AB＝CD＝9EF，∴BC：AB＝5：9；故答案为：．27．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），B（3，0），C（﹣5，4）．（1）求△ABC的面积；（2）过A作AD⊥BC于D，延长AD交x轴于点E，求AE的长；（3）在（2）的条件下，设BC交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标．【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣5，4），∴AC＝5，OA＝4，AC∥OB，∴△ABC的面积＝AC×OA＝×5×4＝10；（2）∵B（3，0），∴OB＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AC∥OB，∴∠DBE＝∠C，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（ASA），∴BE＝AC＝5，∴OE＝BE﹣OB＝2，∴AE＝＝＝2；（3）解：分两种情况：①AE为对角线时，四边形AGEF是菱形，则GE∥AF，GE＝EF＝AF，设GE＝EF＝AF＝x，则OF＝4﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，点G的坐标为（﹣2，）；②EF 为对角线时，点G的坐标为（﹣2，﹣）；综上所述，G是y轴左侧的点，以A、G、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣）．。

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