《高等几何》课程期末练习

《高等几何》课程期末练习

一.选择与填空题

1.非零向量a 与b 的内积0=⋅b a

，那么（ ）.

A. a 与b 平行 B . a 与b 垂直 C ．a 与b 线性相关 D.无法判定

解 选B ．由定义1.4，><⋅⋅=⋅b a b a b a ,cos ，所以，a 与b

垂直的充要条件是0=⋅b a ．

2．若向量a 与b

线性相关，那么（ ）.

A ．存在实数21,k k ，使021=+b k a k

B ．存在不全为0的实数21,k k ，使021=+b k a k

C ．a 与b 不平行

D ．a

与b 垂直

解 选Ｂ．由向量的线性相关性定义即可得出．

3.设a

与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ ）．

A ．b a b a ≤⋅

B ． b a b a =⋅

C ． b a b a ≥⋅

D ． b a b a >⋅ 解 选Ａ．因为1,cos >≤

，所以b a b a b a b a ⋅>≤<⋅⋅=⋅,cos ．

4．平行射影保持如下哪种关系和量不变（ ）。

A ．垂直关系

B ． 平行关系

C ．长度

D ． 角度

解 选Ｂ．因为平行射影是仿射对应，由定理２．１，二直线的平行性是仿射不变性质．

5．平行射影把（ ）.

A.平行线投影为平行线

B.把平行线投影为相交线

C.保持线段的长度不变

D.保持图形面积不变

解 选Ａ．因为平行射影是仿射对应，由定理２．１，二直线的平行性是仿射不变性质．

6．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。

A ． 角度

B ． 交比

C ． 面积

D ． 长度

解 选Ｂ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变．

7．在中心射影下，（ ）. A.交比不变. B.平行线变成平行线.

C.直角三角形变成直角三角形

D.平行四边形变成平行四边形. 解 选Ａ．由定理４．８，两个点列经过中心投影交比不变．

8．点列之间的射影对应是由（ ）．

A ．三对对应点唯一确定

B ． 两对对应点唯一确定

C ．四对对应点唯一确定

D ． 无限对对应点唯一确定

解 选Ａ．因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定唯一一个射影对应．

9．仿射变换把正方形变成( ).

A ．正方形

B ．矩形

C ．平行四边形

D ．不能确定

解 选Ｃ．由定理２．１，两直线间的平行性是仿射不变性．而角度不是仿射不变量．

10．仿射对应下，哪些量不变。（ ） A ．长度 B ． 角度 C ．单比

D ． 面积

解 选Ｃ．由定理２．３，共线三点的简比（单比）是仿射不变量．

11．仿射对应是平行射影的充分必要条件为（ ）．

A ．象点与原象点的连线平行

B ． 象点与原象点的连线交于一点

C ． 不可判定

D ．象点与原象点不平行 解 选Ａ．由平行射影的定义即可得出．

12．在实轴R 上，三点C B A ,,坐标分别为6,5,2，那么三点的单比()ABC 为（ ）. A.4 B.1- C.0

D. 8

解 选Ａ．由单比公式45

62

6)(=--==

BC AC ABC ． 13．线段AB 的中点C 与AB 上哪一点调和共轭（ ）。 A ．A B ．B C ． AB 上无穷远点

D ．C

解 选Ｃ．两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．

14.在射影平面上，两直线0423321=++x x x 与021=-x x 的交点为（ ）.

A.()5,4,4-

B.()1,1,0-

C.()2,1,2-

D.()1,2,3.

解 选Ａ．取41=x ，代入021=-x x 得42=x ，将41=x 和42=x 代入

0423321=++x x x 得53-=x ．

注意：齐次坐标不是唯一的． 15.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（ ）.

A.有一个交点

B.没有交点

C.有无数个交点

D.无法判定

解 选Ａ．因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点． 16.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.

A. 三角形与圆

B.圆与椭圆

C.四边形与正方形

D.等腰三角形与直角三角形 解 选Ａ．因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在．

17． A 、B 、C 、D 为直线上的互异的四点，C 、D 在A 、B 之内，则四点交比（AB ，CD ）（ ）． A ． 大于零 B ．小于零C ． 等于零 D ． 无穷大

18．方程02321=+-u u u 表示的点为（

）．

A ．（1，1，2）

B ． （2，1，1）

C ．（1，1，1）

D ． （1，－1，2）

19. 直线上 A 、B 、C 、D 为互异的四点，C 、D 在A 、B 之内，则四点交比（AB ，CD ）（ ）． A ． 大于零 B ． 小于零 C ． 等于零 D ． 不确定 解 选Ａ．由定义４．２的公式AD

BC BD

AC CD AB ⋅⋅=

),(即可得出．

20．无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（ ）． A ． 半径 B ． 直径 C ． 渐近线 D ． 切线 解 选Ｂ．由定义５．７即可得出．

21．若点P 在二次曲线Γ上，那么它的极线一定是Γ的（ ）． A ．切线 B ． 直径 C ． 半径 D ．渐近线 解 选Ａ．由定理5.12即可得出． 22．极线上的点与极点（ ）．

A ．共轭

B ．不共轭

C ．可能不共轭

D ．不可判定 解 选Ａ．由极线与极点的定义即可得出．

23. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（ ）．

A ．一条二次曲线

B ． 一条直线

C ．一个点

D ． 两个点

解 选Ａ．由二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是一条二次曲线．

24.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线是（ ）.

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

解 选Ｃ．由定义5.6即可得出．

25.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）.

A.平行公理不同

B.长度的算法不同

C.结合公理不同

D.角度的算法不同 解 选Ａ．

26．三角形内角和等于180度（ ）．

A ． 与欧氏平行公设等价

B ．与罗氏平行公设等价

C ． 与椭圆几何平行公设等价

D ．不可判定 解 选Ａ．

二、计算题

1.已知向量{}3,2,1=a

，{}0,1,2-=b ，计算a ，b 的模长与夹角．

解 a ，b

的模长分别为

2

22321++=a ＝14， 2220)1(2+-+=b ＝5，

003)1(221=⨯+-⨯+⨯=⋅b a

a ，

b 的夹角余弦=),cos(b a 05140

==b

a b a

所以夹角为

2

π

．