高三数学数学归纳法PPT教学课件 (2)
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高三数学精品课件： 数学归纳法
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
解析：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a12＋2a1－2＝ 0.∴a1＝ 3－1(a1＞0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
法的原理．
素养
2.能用数学归纳
☆
形成
法证明一些简单
的数学命题.
考查 主要通过数学归纳法证明问题，考查
角度 逻辑推理能力.
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋3k1＋3＝(k＋1 1＋k＋1 2 ＋k＋1 3＋…＋31k)＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1>56＋3k1＋3×3 －k＋1 1＝56， 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立． 综合①②可知原命题成立．
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
高三数学总复习《数学归纳法》课件
k(2k+1),则当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2 2 k 1
2
=-k(2k+1)+(2k+1) =-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)
=-(k+1)
. 2 k 1
2
即当n=k+1时,等式也成立.
k 1 当n k 1时, 2 k 1 7 3 9
(2k 7) 3k 1 2 3k 1 9
k k 1 2 k 7 3 9 3 18 ( 3 1). 由于3k 1 1是2的倍数, 故18(3k 1 1)能被36整除,
下列命题总成立的是(
)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 答案:D
解析:若f(3)≥9,只能推出,当k≥3时f(k)>k2,所以A不正确;若
典例某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前
n项积为n2. (1)写出这个数列的前五项; (2)写出这个数列的通项公式,并加以证明.
分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式,要注意观察
数列中各项与其序号变化的关系,归纳出构成数列的规律,同 时还要特别注意第一项与其他各项的差异,必要时可分段表 示,证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.本题中要特别 注意第一个步骤的处理.
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k(k ≥1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin(k 1) =
（2）假设当n k( 2) 时，不等式成立，即 1 则当n k 1时， 左式 1
k 1 k 1
1 2
1 3
k
k 1
k
k (k 1) 1 k 1
kk 1 k 1
k 1 k 1
k 1 右式
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．
求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 （2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
答案接上见课本(或见板书)
1 1 1 1 1.求证: 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
数学归纳法课件高中数学课件下载
数学归纳法课件高中数学课件教学内容：本节课的教学内容来自于高中数学教材必修三的第二章第三节，主要是数学归纳法。
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，可以用来证明与自然数有关的命题。
本节课将详细介绍数学归纳法的定义、步骤和应用。
教学目标：1. 理解数学归纳法的定义和步骤，能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和证明能力，提高学生解决数学问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习和运用，培养学生的数学兴趣和探索精神。
教学难点与重点：重点：数学归纳法的定义和步骤，以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
难点：如何正确地选择归纳基础和归纳步骤，以及如何写出简洁明了的证明过程。
教具与学具准备：教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
教学过程：一、情景引入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题引导学生思考，如何用数学的方法来证明一个命题的正确性。
学生可以尝试用直观的方法来解决这个问题，为后续学习数学归纳法打下基础。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师引导学生回顾已学的数学证明方法，提出数学归纳法的概念。
2. 教师详细讲解数学归纳法的两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
3. 教师通过例题讲解数学归纳法的应用，引导学生理解并掌握数学归纳法的证明过程。
三、随堂练习（10分钟）学生分组讨论并完成随堂练习，教师巡回指导并解答学生的疑问。
四、课堂小结（5分钟）板书设计：板书数学归纳法板书内容：一、定义：数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。
二、步骤：1. 归纳基础：证明当n取某个值时，命题成立。
2. 归纳步骤：假设当n取某个值时，命题成立，证明当n取这个值的下一个值时，命题也成立。
作业设计：1. 请用数学归纳法证明：对于任意的自然数n，都有n²+n+41是一个质数。
答案：当n=1时，1²+1+41=43，43是一个质数。
假设当n=k时，k²+k+41是一个质数。
当n=k+1时，(k+1)²+(k+1)+41=k²+2k+1+k+1+41=k²+k+42=(k²+k+41)+1。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
2021届高三数学一轮复习-《第44讲 数学归纳法》课件 (共10张PPT)
2．证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化 成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用 归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式—— 凑结论。
3．用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利 用证明不等式的方法（如放缩）把式子化为n数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图 形的性质，在求由“n=k到n=k+l”增加的元素个数时，可以 先用不完全归纳法找其变化规律。
【知识要点】
1. 归纳法
2. 数学归纳法
3. 数学归纳法证明步骤
【典例剖析 】 考点1 用数学归纳法证明等式
例1：
考点2 用数学归纳法证明不等式
例2：
考点3 用数学归纳法证明整除性问题
例3：
例4：
考点4 归纳—猜想—证明
【方法总结 】
1．数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题 的一种方法。它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法 的完善。
5．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性 结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正 整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项 an或前n项和Sn解决与自然数有关的探索性、开放性问题等， 猜想必须准确，证明必须正确，既用到合情推理，又用到演 绎推理．猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析， 再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可 靠性，二者相辅相成。
3．用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利 用证明不等式的方法（如放缩）把式子化为n数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图 形的性质，在求由“n=k到n=k+l”增加的元素个数时，可以 先用不完全归纳法找其变化规律。
【知识要点】
1. 归纳法
2. 数学归纳法
3. 数学归纳法证明步骤
【典例剖析 】 考点1 用数学归纳法证明等式
例1：
考点2 用数学归纳法证明不等式
例2：
考点3 用数学归纳法证明整除性问题
例3：
例4：
考点4 归纳—猜想—证明
【方法总结 】
1．数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题 的一种方法。它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法 的完善。
5．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性 结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正 整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项 an或前n项和Sn解决与自然数有关的探索性、开放性问题等， 猜想必须准确，证明必须正确，既用到合情推理，又用到演 绎推理．猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析， 再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可 靠性，二者相辅相成。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋ ＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝ －2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
完整版《数学归纳法》课件
完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。
b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。
c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。
4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
c. 应用数学归纳法解决实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。
2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。
b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。
c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。
b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。
数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
解：(1)f′(x)＝r－rxr 1＝r(1－xr 1)，令 f′(x)＝0，解得 x ＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(0,1)内是减函数； 当 x＞1 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(1，＋∞)内是增函数． 故函数 f(x)在 x＝1 处取得最小值 f(1)＝0. (2)由(1)知，当 x∈(0，＋∞)时，有 f(x)≥f(1)＝0，即 xr≤rx ＋(1－r)，
a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk ak· ＝ ， 1－bk＋1 1－bk＋1
从而 a 1
b1
a
b2 2
…… a k
bk
a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b bk 1 a k 1 ≤( ) k＋1a k 1 . 1－bk＋1
bk 1
又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得 a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk 1 ( ) k＋1a k 1 ≤ · 1－bk＋1 1－bk＋1 (1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1·k＋1， b 从而 a 1
是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想—— 证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． [例1] n∈N＋)， 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
[解] (1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 n(n + 1)(n + 2) 3
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如 何证明它们都是绿色的？ 模拟演示 （2）课本作业 P50. 习题4. 1 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
1
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
点击下图进入阶段质量检测
[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan
2020高三数学总复习数学归纳法PPT课件
n∈N*等式都成立．
课堂考点探究
探究点二 用数学归纳法证明不等式
例 2 [2016·烟台一摸] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知对任意 n∈N*，点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b>0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图像上．
(1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对 任意 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成 立．
n＋1
课堂考点探究
[总结反思] 用数学归纳法证明与n有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不 等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．第二种 形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，以免出现判断失误，然后猜出从 某个n值开始都成立的结论．
课堂考点探究
变式题已知函数 f1(x)＝x＋2 1，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]，且 an＝ffnn（（00））－＋12. (1)试证明{an}为等比数列，并求其通项公式； (2)设 bn＝（－21a）n n－1，g(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，求证：g(bn)≥n＋2 2.
[总结反思] “归纳—猜想—证明” 属于探索性问题的一种，一般 要经过计算、观察、归纳，然 后猜想出结论，再用数学归纳 法证明．在用这种方法解决问 题时，应保证猜想的正确性和 数学归纳法步骤的完整性．
课堂考点探究
变式题
解：由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1 xn，
已知数列{xn}满足 x1＝12， 得 x2＝23，x4＝58，x6＝1231，
故对任意 n∈N*，原不等式成立．
课堂考点探究
探究点三 归纳——猜想——证明
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋…＋ )＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 ＝( ＋…＋ ＋ )＋( － ) 2k 2k＋1 k＋2 k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋…＋ ＋ ＋ ＝右边， 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
线段(或射线)
直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又 被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分 割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时， 命题成立．
由(1)，(2)知，命题成立．
点击下图进入创新演练
除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到
“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整
除．
证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成 立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)· 7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时，
数学归纳法 (1)数学归纳法的概念：
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成
立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证 明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法叫做数 学归纳法． (2)数学归纳法适用范围：
高三数学数学归纳法2
有时,由" 假设n k时命题成立"易于 推出n k 2时命题成立, 这时, 只要 在步骤(1)中证明归纳假设的基础存 在时, 分别证明, n n1及n n2时, 命 题都成立, 这里n1 , n2一个是奇数, 一 个是偶数, 那么, 欲证命题则对于一 切大于或等于n1 , n2中较大者的自然 数都成立.
3.从" 假设n k时命题成立" 推导 " n k 1时命题成立"的一般方法
例1.用数学归纳法证明 : 1 4 2 7 3 10 n(3n 1) n(n 1)
2
例2.用数学归纳法证明 : 1 1 1 1 2 2 2 2 3 n 1 2 ( n N , 且 n 2) n
这也说明缺少步骤(1)这个 基础,步骤(2)就没意义了.
2.弄清几个问题 : (1)n0宜取尽可能小的自然数, 这样可 使命题成立的范围较大, 但不一定必 须取1; (2)必须先证明n n0时结论正确, 不能 因为在步骤(2)中得到了n k 1的命 题成立的结论, 证明就完成了.
因为, 得到" n k 1时命题成立" 结论的前提是" n k时命题成立" , 它只是假定, 称为归纳假设, 它必 须以" n n0时命题成立"为基础.
2 2
a1 1, a2 1, a3 1, a4 1 如果由此作出结论：对于任何 n N , a (n 5n 5) 1都成立，
* 2 2
那就是错,而不 完成第二步,就作出判断可能 得出不正确的结论.
在为单靠步骤(1),我们无法递 推下去,即对于n取2,3,4,5,……时, 命题是否正确,我们无法判定.
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
b1
a
b2 2
… a k ≤a1b1＋a2b2＋…
bk
此时 0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是
a a
1
b1
b2 2
… a k a k 1 ＋1＝( a 1 a
b2 1 bk 1 2
bk
bk 1
b1
a
b2 2
… a k )a k 1
bk
ห้องสมุดไป่ตู้
bk 1
＝(a
b1 1 bk 1 1
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
…a
bk 1 bk 1 k
)
1 －b
k＋1a k 1 .
bk 1
b1 b2 bk 因 ＋ ＋…＋ ＝1，由归纳假设可得 1－bk＋1 1－bk＋1 1－bk＋1 a
b1 1 bk 1 1
a
b2 1 bk 1 2
…a
bk 1 bk 1 k
b1 b2 ≤a1· ＋ a2 · ＋…＋ 1－bk＋1 1－bk＋1
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
a
b2 2
… a k ≤a1b1＋a2b2＋…
bk
此时 0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是
a a
1
b1
b2 2
… a k a k 1 ＋1＝( a 1 a
b2 1 bk 1 2
bk
bk 1
b1
a
b2 2
… a k )a k 1
bk
ห้องสมุดไป่ตู้
bk 1
＝(a
b1 1 bk 1 1
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
…a
bk 1 bk 1 k
)
1 －b
k＋1a k 1 .
bk 1
b1 b2 bk 因 ＋ ＋…＋ ＝1，由归纳假设可得 1－bk＋1 1－bk＋1 1－bk＋1 a
b1 1 bk 1 1
a
b2 1 bk 1 2
…a
bk 1 bk 1 k
b1 b2 ≤a1· ＋ a2 · ＋…＋ 1－bk＋1 1－bk＋1
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
数学归纳法完整版课件
数学归纳法完整版课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，这是高中数学的一个重要部分。
教学内容基于教材第四章第四节“数学归纳法”，详细内容包括：1. 数学归纳法的定义与基本思想；2. 数学归纳法证明步骤；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明等式和不等式；3. 培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义、证明步骤及在实际问题中的应用。
难点：如何引导学生从具体问题中发现规律，并运用数学归纳法进行证明。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个与数学归纳法相关的生活实例，引发学生思考，激发学习兴趣。
例：有一堆砖，第1块砖摞1厘米，以后每增加1块砖，摞的高度增加2厘米。
求第n块砖摞的高度。
2. 知识讲解（10分钟）详细讲解数学归纳法的定义、证明步骤，通过例题解释如何运用数学归纳法。
例题：证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：证明2+4+6++2n = n(n+1)。
4. 互动讨论（5分钟）邀请几名学生分享解题思路，共同讨论解决方法。
六、板书设计1. 板书左侧：数学归纳法的定义与证明步骤；2. 板书右侧：例题及解题过程。
七、作业设计1. 作业题目：证明1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2。
答案：数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3++k^3 = (1+2++k)^2；（3）当n=k+1时，等式左侧为1^3+2^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等于(1+2++k)^2+(k+1)^3；（4）将(1+2++k)^2+(k+1)^3展开，得到(1+2++k+k+1)^2，即(1+2++n)^2，等式成立。
高三数学_数学归纳法(第二、三课时)_ppt
(2)当n k 1时要证明什么？
选 讲
须证明x 2( k 1) y 2( k 1)能被x y整除。
怎样利用假设x 2 k y 2 k能被x y整除这一条件？
仿照例4，将x 2( k 1) y 2( k 1)化为x 2 k x 2 y 2k y 2
然后再变形
证明：1.当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边>右边
当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，∴左>右；
当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，∴左>右．
因此当n=1，2，3时，不等式成立．
2.假设当n=k(k3且kN)时，不等式成立．即2k+2>k2． 因为2k+1+2=2· 2k+2=2(2k+2)2>2k22 =k2+2k+1+k22k3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k3) (因k3，则k30,k+1>0） k2+2k+1=(k+1)2． 所以2k+1+2>(k+1)2． 故当n=k+1时，原不等式也成立． 根据1和2，原不等式对于任何 nN*都成立
选 讲
根据（1）（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立。
补充）
是否存在常数a、b、c使得下面等式 成立
n( n 1) 2 1 2 2 3 n( n 1) (an bn c ) 12
2 2 2
注意： 存在性问题，一般都要通过“观察---归 纳—猜想---证明”的过程
例 题
几何问题
例6 平面内有n(n>1) 条直线，其中任何两条 不平行，任何三条不过同一点，证明交点的 个数f(n)等于n(n-1)/2. 分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图， 观察交点的变化规律。
选 讲
须证明x 2( k 1) y 2( k 1)能被x y整除。
怎样利用假设x 2 k y 2 k能被x y整除这一条件？
仿照例4，将x 2( k 1) y 2( k 1)化为x 2 k x 2 y 2k y 2
然后再变形
证明：1.当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边>右边
当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，∴左>右；
当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，∴左>右．
因此当n=1，2，3时，不等式成立．
2.假设当n=k(k3且kN)时，不等式成立．即2k+2>k2． 因为2k+1+2=2· 2k+2=2(2k+2)2>2k22 =k2+2k+1+k22k3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k3) (因k3，则k30,k+1>0） k2+2k+1=(k+1)2． 所以2k+1+2>(k+1)2． 故当n=k+1时，原不等式也成立． 根据1和2，原不等式对于任何 nN*都成立
选 讲
根据（1）（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立。
补充）
是否存在常数a、b、c使得下面等式 成立
n( n 1) 2 1 2 2 3 n( n 1) (an bn c ) 12
2 2 2
注意： 存在性问题，一般都要通过“观察---归 纳—猜想---证明”的过程
例 题
几何问题
例6 平面内有n(n>1) 条直线，其中任何两条 不平行，任何三条不过同一点，证明交点的 个数f(n)等于n(n-1)/2. 分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图， 观察交点的变化规律。
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1•(n2 12)2(n2 22)....n(n2 n2) an4 bn2 c 对一切正整数n成立？证明你的结论。
例5、（优化设计P202例3） 设 a 0 为常数，且
a n 3 n 1 2 a n 1 (n N * )
证明: n 1 时 ,a n 1 5 [ 3 n ( 1 ) n 1 2 n ] ( 1 ) n 2 n a 0
5．某个命题与正整数n有关，如果当nk(k N )
时命题成立，那么可推得当 nk1
时命题也成立. 现已知当 n5时该命题不成立，
那么可推得（ ） A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立
【典型例题选讲】 【例1】用数学归纳法证明等式问题：
Ｃ． (k 1)2
Ｄ． 1(k1)2 [(k1)21] 3
4．用数学归纳法证明：
( n 1 ) ( n 2 )( n n ) 2 n 1 3 ( 2 n 1 )
（ nN）“时，从 nk到 nk1
”时，左边应增添的式子是 （ ）
A． 2k1
Ｂ． 2(2k1)
Ｃ． 2k 1 k 1
Ｄ． 2k 2 k 1
时，若已假设 nk(k2为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证
（）
A. nk1时等式成立 B. nk2时等式成立
C.n2k2时等式成立 D. n2(k2)时等式成立
2．设 f(n)111 1(n N ) n1n2 n3 2n
则 f(n1)f(n) (
)
Ａ． 1 2n 1
Ｂ． 1 2n 2
C．
1 ( n 2 1 2 ) 2 ( n 2 2 2 ) n ( n 2 n 2 ) 1 n 2 ( n 1 ) ( n 1 ) 4
【例２】用数学归纳法证明整除问题：
求证： n35n(nN) 被6 整除.
例３、（优化设计P202例1）
比较2n与n2的大小 (nN*)
)例题202优化Ｐ(、4例 :c 使等式 、b、是否存在常数使 a
11 2Байду номын сангаас1 2n2
Ｄ． 1 1
2n1 2n2
3．用数学归纳法证明
1 2 2 2 ( n 1 ) 2 n 2 ( n 1 ) 2 2 2 1 2 n ( 2 n 2 1 ) 3
时，由 nk的假设到证明 nk1
时，等式左边应添加的式子是（ B ）
A． (k1)22k2 Ｂ． (k1)2k2
3.用数学归纳法证明一个与正整数有关 的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正 确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所 有正整数n都正确
1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的 验证过程； ②成败的关键取决于第二步对的证明： 1）突破对“归纳假设”的运用； 2）用好命题的条件； 3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.
数学归纳法
高三备课组
基本知识：
1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常 采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第 一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明 方法就叫做数学归纳法
2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意 义的最小的正整数n0，如果当k=n0时，命题成立， 再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命 题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出 当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所 有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
【小结】
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明 确首取值n0并验证真假（必不可少）.“假设n=k时 命题正确”并写出命题形式
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式 左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为： 两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假 设要用到，结论写明莫忘掉
中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有 “等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等， 要积累这几种题型的证题经验.
递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
基础题
1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 2 (1 1 1 ) 2 3 4 n 1n 2 n 4 2 n
例5、（优化设计P202例3） 设 a 0 为常数，且
a n 3 n 1 2 a n 1 (n N * )
证明: n 1 时 ,a n 1 5 [ 3 n ( 1 ) n 1 2 n ] ( 1 ) n 2 n a 0
5．某个命题与正整数n有关，如果当nk(k N )
时命题成立，那么可推得当 nk1
时命题也成立. 现已知当 n5时该命题不成立，
那么可推得（ ） A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立
【典型例题选讲】 【例1】用数学归纳法证明等式问题：
Ｃ． (k 1)2
Ｄ． 1(k1)2 [(k1)21] 3
4．用数学归纳法证明：
( n 1 ) ( n 2 )( n n ) 2 n 1 3 ( 2 n 1 )
（ nN）“时，从 nk到 nk1
”时，左边应增添的式子是 （ ）
A． 2k1
Ｂ． 2(2k1)
Ｃ． 2k 1 k 1
Ｄ． 2k 2 k 1
时，若已假设 nk(k2为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证
（）
A. nk1时等式成立 B. nk2时等式成立
C.n2k2时等式成立 D. n2(k2)时等式成立
2．设 f(n)111 1(n N ) n1n2 n3 2n
则 f(n1)f(n) (
)
Ａ． 1 2n 1
Ｂ． 1 2n 2
C．
1 ( n 2 1 2 ) 2 ( n 2 2 2 ) n ( n 2 n 2 ) 1 n 2 ( n 1 ) ( n 1 ) 4
【例２】用数学归纳法证明整除问题：
求证： n35n(nN) 被6 整除.
例３、（优化设计P202例1）
比较2n与n2的大小 (nN*)
)例题202优化Ｐ(、4例 :c 使等式 、b、是否存在常数使 a
11 2Байду номын сангаас1 2n2
Ｄ． 1 1
2n1 2n2
3．用数学归纳法证明
1 2 2 2 ( n 1 ) 2 n 2 ( n 1 ) 2 2 2 1 2 n ( 2 n 2 1 ) 3
时，由 nk的假设到证明 nk1
时，等式左边应添加的式子是（ B ）
A． (k1)22k2 Ｂ． (k1)2k2
3.用数学归纳法证明一个与正整数有关 的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正 确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所 有正整数n都正确
1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的 验证过程； ②成败的关键取决于第二步对的证明： 1）突破对“归纳假设”的运用； 2）用好命题的条件； 3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.
数学归纳法
高三备课组
基本知识：
1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常 采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第 一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明 方法就叫做数学归纳法
2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意 义的最小的正整数n0，如果当k=n0时，命题成立， 再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命 题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出 当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所 有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
【小结】
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明 确首取值n0并验证真假（必不可少）.“假设n=k时 命题正确”并写出命题形式
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式 左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为： 两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假 设要用到，结论写明莫忘掉
中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有 “等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等， 要积累这几种题型的证题经验.
递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
基础题
1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 2 (1 1 1 ) 2 3 4 n 1n 2 n 4 2 n